Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

11Cinématique du point

La voiture d’un grand huit aborde la boucle à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , ralentit en montant, reste suspendue un instant au sommet, puis repart en rugissant ; ses passagers se sentent écrasés dans leur siège en bas et presque sans poids en haut. Décrire ce parcours — où est la voiture, à quelle vitesse elle va, comment sa vitesse tourne et varie — c’est la cinématique, et cela demande plus que les $x$ , $y$ , $z$ d’une route droite : des coordonnées polaires pour tout ce qui tourne, et un repère qui voyage avec la voiture elle-même. Ce chapitre met en place ces outils, démontre les formules de la vitesse et de l’accélération dans chacun d’eux, et les applique aux mouvements que tous les chapitres suivants invoqueront : circulaire, hélicoïdal, harmonique, et le mouvement le long d’une courbe quelconque.

11.1 Position, vitesse, accélération

Définition 11.1 (Référentiel ; position ; trajectoire)

Un référentiel est un solide pris pour fixe (le laboratoire, la Terre, un train), muni d’une horloge. Un point matériel $M$ — un corps dont la taille n’importe pas au mouvement étudié — est repéré à chaque instant par son vecteur position $\vect{OM}(t)$ depuis une origine $O$ liée au référentiel ; la courbe décrite par $M$ est sa trajectoire. Un mouvement est toujours un mouvement par rapport à un référentiel : le même voyageur est au repos dans le train et en mouvement dans la gare.

Définition 11.2 (Vitesse et accélération)

La vitesse et l’accélération de $M$ dans le référentiel sont

\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

dérivées de fonctions vectorielles : la dérivée d’un vecteur s’obtient en dérivant ses composantes dans une base fixe dans le référentiel. La vitesse est tangente à la trajectoire et orientée dans le sens du mouvement ; sa norme $v$ est la valeur de la vitesse. Unités : $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Proposition 11.3 (Coordonnées cartésiennes)

Avec une base orthonormée fixe $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ et $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$ ,

\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

où le point désigne $\dd/\dd t$ .

Démonstration. Les vecteurs de base sont constants ; seules les composantes varient. ∎

Exemple 11.4 (Projectile)

Lancée de $O$ à la vitesse $v_0$ sous un angle $\alpha$ au-dessus de l’horizontale, une balle a pour coordonnées (dynamique : chapitre suivant) $x = v_0\cos\alpha\,t$ , $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$ . Alors $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ et $\vect a = -g\vect e_z$ : l’accélération est constante tandis que la vitesse tourne ; au sommet ( $\dot z = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g$ ) la vitesse est horizontale et l’accélération lui est perpendiculaire. En éliminant $t$ : $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ , une parabole.

La parabole d’un projectile : la vitesse est tangente à la trajectoire et tourne, l’accélération g est constante. Au sommet, vitesse et accélération sont perpendiculaires : la valeur de la vitesse est momentanément stationnaire alors que sa direction change encore. — La parabole d’un projectile : la vitesse est tangente à la trajectoire et tourne, l’accélération $\vect g$ est constante. Au sommet, vitesse et accélération sont perpendiculaires : la valeur de la vitesse est momentanément stationnaire alors que sa direction change encore.

11.2 Coordonnées cylindriques

Définition 11.5 (Coordonnées cylindriques et base locale)

Le point $M$ est repéré par $r \geq 0$ (distance à l’axe $z$ ), l’angle $\theta$ que fait sa projection sur le plan $xy$ avec $\vect e_x$ , et $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$ , où

\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

et $\vect e_z$ forment la base locale $(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z)$ , orthonormée directe, qui se déplace avec $M$ . Dans le plan ( $z$ fixé), ce sont les coordonnées polaires $(r, \theta)$ .

Lemme 11.6 (Dérivées de la base locale)

\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

Démonstration. En dérivant les composantes : $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$ , et de même pour $\vect e_\theta$ . La dérivée d’un vecteur unitaire qui tourne lui est perpendiculaire, et a pour norme la vitesse angulaire. ∎

Théorème 11.7 (Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

Démonstration. Dérivons $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ à l’aide du lemme : $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$ . Dérivons une seconde fois : $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; puis on regroupe. ∎

Coordonnées polaires : la base locale ( e_r, e_ ) tourne avec M ; la vitesse a une composante radiale r et une composante orthoradiale r. Ici la trajectoire (en rouge) s’enroule vers l’extérieur, donc r > 0 et v s’écarte de la tangente au cercle vers l’extérieur. — Coordonnées polaires : la base locale $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ tourne avec $M$ ; la vitesse a une composante radiale $\dot r$ et une composante orthoradiale $r\dot\theta$ . Ici la trajectoire (en rouge) s’enroule vers l’extérieur, donc $\dot r > 0$ et $\vect v$ s’écarte de la tangente au cercle vers l’extérieur.

Corollaire 11.8 (Mouvement circulaire)

Sur un cercle de rayon $R$ ( $r = R$ , $z = 0$ ), avec la vitesse angulaire $\omega = \dot\theta$ :

\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

Pour un mouvement circulaire uniforme ( $\omega$ constante), l’accélération est purement centripète, de norme $v^2/R = R\omega^2$ , bien que la vitesse soit constante en norme.

Démonstration. On pose $\dot r = \ddot r = 0$ dans le théorème ; $v = R\omega$ . ∎

Exemple 11.9 (Deux cercles)

Une voiture prend un rond-point de rayon $20\,\mathrm{m}$ à $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , un demi- $g$ , dirigé vers le centre — ce que les pneus doivent fournir. La Lune ( $R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ) : $\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , le $3600$ ^e du $g$ terrestre, à soixante rayons terrestres — la comparaison qu’a faite Newton (Chapitre 16).

11.3 Coordonnées sphériques

Définition 11.10 (Coordonnées sphériques)

Le point $M$ est repéré par sa distance $r = OM$ , la colatitude $\theta \in [0, \pi]$ entre $\vect{OM}$ et $\vect e_z$ , et l’azimut $\varphi$ de sa projection sur le plan $xy$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ avec

\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

où $\vect e_\theta$ (tangent au méridien, vers les $\theta$ croissants) et $\vect e_\varphi$ (tangent au parallèle) complètent la base locale orthonormée. Sur la Terre, $\theta$ vaut $90^\circ$ moins la latitude et $\varphi$ est la longitude.

Proposition 11.11 (Vitesse en coordonnées sphériques)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

Démonstration. $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi$ : le premier terme est la rotation dans le plan méridien (comme dans le cas polaire), le second la rotation autour de $\vect e_z$ à la vitesse $\dot\varphi$ d’un vecteur dont la distance à l’axe vaut $\sin\theta$ . Puis $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$ . L’accélération n’est pas utile cette année. ∎

Les coordonnées sphériques (r, , ) et leur base locale : e_r radial, e_ le long du méridien (vers le sud sur un globe), e_ le long du parallèle (vers l’est). — Les coordonnées sphériques $(r, \theta, \varphi)$ et leur base locale : $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ le long du méridien (vers le sud sur un globe), $\vect e_\varphi$ le long du parallèle (vers l’est).

11.4 Le repère de Frenet

Définition 11.12 (Abscisse curviligne ; base de Frenet)

Le long d’une trajectoire, l’abscisse curviligne $s(t)$ est la longueur d’arc depuis un point de référence, comptée algébriquement ; $v = \dot s$ . En $M$ , le vecteur unitaire tangent $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ pointe vers les $s$ croissants ; le rayon de courbure $\rho > 0$ et le vecteur unitaire normal $\vect N$ , dirigé vers la concavité (vers le centre de courbure), sont définis par

\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

$(\vect T, \vect N)$ est la base de Frenet ; $\rho = \infty$ sur une droite, $\rho = R$ sur un cercle de rayon $R$ .

Théorème 11.13 (Accélération dans la base de Frenet)

\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

La composante tangentielle $\dd v/\dd t$ mesure la rapidité avec laquelle la vitesse change en valeur ; la composante normale $v^2/\rho$ , toujours dirigée vers le centre de courbure, la rapidité avec laquelle la direction tourne. Le mouvement est uniforme si et seulement si $\vect a \perp \vect v$ ; il est rectiligne si et seulement si $\vect a \parallel \vect v$ .

Démonstration. $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$ . Puis $\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$ . Que $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ résulte de $\vect T\cdot\vect T = 1$ dérivé. ∎

La base de Frenet en un point d’une courbe : T dans le sens du mouvement, N vers le centre de courbure C. L’accélération se décompose en une part tangentielle v T (accélérer ou freiner) et une part normale (v2/ ) N (tourner). — La base de Frenet en un point d’une courbe : $\vect T$ dans le sens du mouvement, $\vect N$ vers le centre de courbure $C$ . L’accélération se décompose en une part tangentielle $\dot v\vect T$ (accélérer ou freiner) et une part normale $(v^2/\rho)\vect N$ (tourner).

Exemple 11.14 (Freiner dans un virage)

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dans un virage de rayon $100\,\mathrm{m}$ freine à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . La part normale domine : un virage est d’abord un changement de direction, et l’adhérence des pneus (chapitre suivant) limite $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$ , ce qui explique qu’on freine avant le virage.

11.5 Mouvements de référence

Proposition 11.15 (Mouvement rectiligne uniformément accéléré)

Sur un axe, avec $\ddot x = a$ constante, à partir de $x_0$ et $v_0$ : $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ , et $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Démonstration. On intègre deux fois ; on élimine $t$ entre les deux premières relations. ∎

Proposition 11.16 (Mouvement hélicoïdal)

$r = R$ , $\theta = \omega t$ , $z = v_zt$ ( $R$ , $\omega$ , $v_z$ constants) : la vitesse $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ est constante, l’accélération $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ est centripète et de norme constante, et le rayon de courbure vaut $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$ .

Démonstration. La Théorème 11.7 avec $\dot r = 0$ , $\ddot\theta = 0$ , $\ddot z = 0$ ; le mouvement est uniforme, donc $\vect a$ est purement normale et $v^2/\rho = R\omega^2$ . ∎

Proposition 11.17 (Mouvement harmonique)

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , $\ddot x = -\omega^2 x$ . La vitesse est en avance d’un quart de période sur la position et l’accélération est opposée à la position ; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . C’est la projection sur un diamètre d’un mouvement circulaire uniforme de rayon $A$ et de vitesse angulaire $\omega$ .

Démonstration. On dérive ; pour la projection, on prend $x = A\cos\theta$ avec $\theta = \omega t + \varphi$ . ∎

Méthode 11.18 (Choisir ses coordonnées)

Mouvement rectiligne ou parabolique, accélération constante : cartésiennes.
Mouvement autour d’un axe ou d’un point (cercles, spirales, orbites, plateaux tournants) : cylindriques ou polaires ; la base bouge, donc on utilise la Théorème 11.7, jamais une dérivation naïve des composantes.
Une courbe donnée (piste, virage, boucle) lorsque la loi des vitesses est connue : Frenet, qui sépare le « à quelle vitesse » du « dans quelle direction ».

Quel que soit le choix, $\vect v$ et $\vect a$ sont des vecteurs qui dépendent du référentiel, et un résultat n’est complet qu’avec le référentiel nommé.

11.6 Exercices

Exercice 11.1 ★

Une voiture part du repos avec $x(t) = 2.0\,t^2$ (unités SI). Vitesse et accélération à $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; distance parcourue pendant les $5\,\mathrm{s}$ initiales ; temps pour atteindre $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Solution

Solution de Exercice 11.1.

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $t = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}$ .

Exercice 11.2 ★

Un point se déplace dans un plan avec $r = 2.0\,\mathrm{m}$ et $\theta = 3.0\,t$ (en rad, unités SI). Donner $\vect v$ et $\vect a$ dans la base polaire, leurs normes, et la nature du mouvement.

Solution

Solution de Exercice 11.2.

$\dot r = 0$ , $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ; $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Mouvement circulaire uniforme : vitesse constante en norme, accélération centripète.

Exercice 11.3 ★

Un point de l’équateur ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , jour sidéral $86\,164\,\mathrm{s}$ ) : vitesse et accélération dans le référentiel géocentrique. Comparer l’accélération à $g$ .

Solution

Solution de Exercice 11.3.

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , soit $g/290$ .

Exercice 11.4 ★

Une balle est lancée avec $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $\alpha = 40^\circ$ ; ses coordonnées sont celles de l’Exemple 11.4. Trouver la durée de montée jusqu’au sommet, la hauteur maximale, la portée et la vitesse à l’arrivée au sol.

Solution

Solution de Exercice 11.4.

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sommet à $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$ , hauteur $7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}$ . Portée $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$ . À l’arrivée : $(9.19, -7.71)$ , soit $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $40^\circ$ sous l’horizontale.

Exercice 11.5 ★★

Un cycliste à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aborde un virage de rayon $25\,\mathrm{m}$ et accélère de $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Donner $\vect a$ dans la base de Frenet et sa norme ; et après $5\,\mathrm{s}$ de la même accélération sur le même virage ?

Solution

Solution de Exercice 11.5.

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Après $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 11.6 ★★

Un point suit la spirale $r = b\theta$ , $\theta = \omega t$ ( $b$ et $\omega$ constants). Calculer $\vect v$ , la vitesse et $\vect a$ dans la base polaire. D’où vient le terme $2\dot r\dot\theta$ ?

Solution

Solution de Exercice 11.6.

$r = b\omega t$ , $\dot r = b\omega$ , $\ddot r = 0$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ , $v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta$ . Le terme $2\dot r\dot\theta$ a deux moitiés égales : la direction de la vitesse radiale tourne à la vitesse $\dot\theta$ (d’où $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$ ), et s’éloigner augmente la vitesse orthoradiale $r\dot\theta$ (encore $\dot r\dot\theta$ ).

Exercice 11.7 ★★

Hélice : $R = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vitesse, accélération, pas de l’hélice, rayon de courbure.

Solution

Solution de Exercice 11.7.

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers l’axe ; pas de l’hélice $v_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$ .

Exercice 11.8 ★★

Un piston se déplace selon $x = 0.10\cos(10t)$ (unités SI). Donner $v_{\max}$ , $a_{\max}$ , les relations de phase entre $x$ , $v$ et $a$ , et les positions où $\abs v$ et $\abs a$ sont les plus grands.

Solution

Solution de Exercice 11.8.

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ est en avance d’un quart de période sur $x$ , et $a = -\omega^2x$ est opposée à $x$ . $\abs v$ est maximale en $x = 0$ , $\abs a$ aux extrémités $x = \pm A$ .

Exercice 11.9 ★★

En partant de $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$ , établir $\dd\vect e_r/\dd t$ et $\dd\vect e_\theta/\dd t$ , puis la vitesse et l’accélération polaires de la Théorème 11.7.

Solution

Solution de Exercice 11.9.

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$ . Puis $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ , et une seconde dérivation par la règle du produit donne l’accélération de la Théorème 11.7.

Exercice 11.10 ★★★

Pour le projectile de l’Exemple 11.4, trouver le rayon de courbure de la trajectoire au sommet et au point de lancement (utiliser la composante normale de $\vect g$ ). Lequel est le plus petit, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 11.10.

Sommet : $v = v_0\cos\alpha$ , $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$ . Lancement : $v = v_0$ , $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$ . Le rayon au sommet est plus petit d’un facteur $\cos^3\alpha$ : la parabole se courbe le plus là où elle est la plus lente et où tout $\vect g$ est normal.

Exercice 11.11 ★★★

Une roue de rayon $R$ roule sans glisser à la vitesse $v$ ; un point de sa jante a pour coordonnées $x = vt - R\sin(vt/R)$ , $y = R - R\cos(vt/R)$ (une cycloïde). Calculer sa vitesse et son accélération ; montrer qu’au moment où il touche le sol sa vitesse s’annule et son accélération vaut $v^2/R$ vers le haut ; trouver sa vitesse au sommet.

Solution

Solution de Exercice 11.11.

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ , $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R)$ , $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$ . Au sol ( $vt/R = 2\pi n$ ) : $\dot x = \dot y = 0$ et $\vect a = (0, v^2/R)$ , vers le haut. Au sommet ( $vt/R = \pi$ ) : $\dot x = 2v$ , $\dot y = 0$ , donc une vitesse $2v$ .

Exercice 11.12 ★★★

Une personne s’éloigne le long d’un rayon d’un plateau tournant à $\omega$ constante, à la vitesse constante $u$ par rapport au plateau : $r = ut$ , $\theta = \omega t$ . Calculer $\vect a$ dans la base polaire, identifier les deux termes, et les évaluer pour $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ à $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Lequel n’a aucun équivalent pour une personne qui marche sur le sol ?

Solution

Solution de Exercice 11.12.

$\ddot r = 0$ , $\dot r = u$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$ . À $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Le premier est le terme centripète de la rotation ; le second, $2\dot r\dot\theta$ , n’existe que parce que la direction radiale tourne elle-même — sur le sol, marcher droit à vitesse constante ne donne aucune accélération.

Une boucle verticale (Yomiuriland, Tokyo) : une goutte d’eau plutôt qu’un cercle, de sorte que la courbure soit la plus forte au sommet, là où la vitesse est la plus faible — la géométrie du problème du week-end. Photographie : Jeremy Thompson, CC BY 2.0.

11.7 Problème : la boucle du grand huit

Problème 11.1

Problème du week-end — une voiture aborde une boucle verticale à quatre-vingt-dix kilomètres à l’heure : où elle ralentit, où pointe son accélération, combien de $g$ ressentent les passagers, et pourquoi les boucles modernes ne sont pas des cercles

Une voiture, assimilée à un point $M$ , parcourt une boucle circulaire verticale de rayon $R = 10\,\mathrm{m}$ et de centre $C$ . Sa position est donnée par l’angle $\theta$ entre $\vect{CM}$ et la verticale descendante ( $\theta = 0$ en bas, $\pi$ en haut). Les frottements sont négligés, et la loi des vitesses (établie au Chapitre 13) s’écrit

v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

avec $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ la vitesse en bas ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Partie I — Cinématique sur le cercle.

En coordonnées polaires centrées en $C$ (avec $\vect e_r$ de $C$ vers $M$ ), écrire $\vect v$ et $\vect a$ pour un mouvement sur le cercle.
Identifier les vecteurs de Frenet $\vect T$ et $\vect N$ en fonction de $\vect e_r$ et $\vect e_\theta$ , ainsi que le rayon de courbure.
Calculer la vitesse au sommet, puis aux points latéraux $\theta = \pi/2$ et $3\pi/2$ .
Dériver la loi des vitesses par rapport au temps pour montrer que l’accélération tangentielle vaut $a_T = -g\sin\theta$ . Interpréter son signe à la montée et à la descente.
Exprimer l’accélération normale $a_N(\theta)$ et la calculer en bas, sur les côtés et au sommet.
Donner la norme de $\vect a$ aux quatre points et l’angle qu’elle fait avec la verticale au sommet.
En quels points $\vect a$ est-elle perpendiculaire à $\vect v$ ? Parallèle ?

Partie II — Vitesses angulaires et durées.

Exprimer $\dot\theta$ en fonction de $\theta$ et la calculer en bas et au sommet.
Montrer que $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (l’équation du pendule) et commenter.
Pour comparaison, calculer la période des petites oscillations d’un pendule simple de longueur $R$ (l’Exemple 1.8 en a donné la forme ; $k = 2\pi$ ).
Estimer la durée d’un tour de boucle, en utilisant la moyenne des vitesses aux quatre points de référence.
La vitesse minimale au sommet pour que la voiture reste sur le rail (chapitre suivant) vaut $\sqrt{gR}$ . Est-elle atteinte ? Quelle $v_0$ minimale faudrait-il ?

Partie III — Ce que ressentent les passagers. Le poids apparent par unité de masse ressenti par un passager vaut $\vect a - \vect g$ (admis ici, établi au Chapitre 12) ; sa norme, en unités de $g$ , est le « nombre de $g$ ».

Calculer le nombre de $g$ en bas.
Le calculer au sommet, et dire dans quel sens le passager est pressé (siège ou harnais).
Le calculer aux points latéraux.
Les passagers tolèrent brièvement environ $4g$ . Cette boucle passe-t-elle ? Où est le problème ?
Montrer que, pour une boucle circulaire abordée juste assez vite pour passer le sommet (poids apparent nul en haut), le nombre de $g$ en bas vaut nécessairement $6g$ , quel que soit $R$ .

Partie IV — La boucle en clothoïde. Les boucles modernes sont des « gouttes d’eau » : le rayon de courbure est grand en bas et petit en haut.

À l’aide de la forme de Frenet de $\vect a$ , expliquer pourquoi faire varier $\rho$ le long du rail change $a_N$ sans changer la loi des vitesses (qui ne dépend que de la hauteur).
Choisir $\rho_{\text{bas}}$ pour que le nombre de $g$ en bas vaille $3g$ avec $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Au sommet, la hauteur est toujours $2R = 20\,\mathrm{m}$ au-dessus du bas. Choisir $\rho_{\text{haut}}$ pour que le nombre de $g$ y vaille $1.5g$ .
Une clothoïde a une courbure proportionnelle à l’abscisse curviligne, $1/\rho = s/A^2$ . Le long d’une telle entrée, la vitesse étant presque constante, comment $a_N$ croît-elle avec le temps, et pourquoi est-ce plus doux pour la nuque qu’un cercle (où $a_N$ saute à l’entrée) ?
Esquisser qualitativement la forme de boucle obtenue et récapituler en deux phrases pourquoi elle a remplacé le cercle.

Partie V — Vue depuis le sol. Une caméra au niveau du sol, à $50\,\mathrm{m}$ du centre de la boucle et dans son plan, suit la voiture.

Lorsque la voiture est au sommet et se déplace horizontalement à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , à quelle vitesse angulaire (en rad/s) la caméra doit-elle tourner ? (Coordonnées polaires depuis la caméra.)
Pourquoi une caméra qui tourne à vitesse constante suit-elle mal un mouvement circulaire uniforme ?
Récapituler la leçon du chapitre tirée de cette boucle : quel système de coordonnées a répondu à quelle question.

Solution

Solution de Problème 11.1.

1. $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$ .

2. $\vect T = \vect e_\theta$ (mouvement à $\theta$ croissant), $\vect N = -\vect e_r$ (vers $C$ ), $\rho = R$ .

3. Sommet : $v^2 = 625 - 392 = 233$ , $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Côtés : $625 - 196 = 429$ , $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

4. $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ et $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$ . Négative pour $0 < \theta < \pi$ (ralentissement à la montée), positive à la descente.

5. $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : en bas $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; côtés $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sommet $62.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

6. En bas : $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (pas de part tangentielle) ; côtés : $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sommet : $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigée droit vers le bas, vers $C$ : angle $0$ avec la verticale.

7. Perpendiculaires en bas et au sommet ( $a_T = 0$ ) ; jamais parallèles ( $a_N > 0$ partout).

8. $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : en bas $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , au sommet $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

9. $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : l’équation du pendule simple de longueur $R$ — la voiture sur son rail est un pendule qui passe par le sommet.

10. $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$ .

11. Moyenne de $25$ , $20.7$ , $15.3$ , $20.7$ : environ $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; longueur $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : à peu près $3\,\mathrm{s}$ .

12. $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : oui. Minimum : $v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490$ , soit $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

13. En bas : $\vect a = 62.5$ vers le haut, $\vect g$ vers le bas : $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$ .

14. Au sommet : toutes deux vers le bas, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$ , qui presse le passager dans son siège (vers le centre, donc vers le haut pour le passager la tête en bas).

15. Côtés : $\vect a = 42.9$ horizontale vers $C$ plus $9.8$ vers le bas (tangentielle) ; $\vect a - \vect g$ vaut $42.9$ à l’horizontale : $4.4g$ latéralement, vers le centre.

16. Elle échoue : $7.4g$ en bas (le sommet et les côtés vont bien).

17. Poids apparent nul au sommet : $v_{\text{sommet}}^2 = gR$ ; alors $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ , $a_N = 5g$ en bas et la charge vaut $5g + g = 6g$ , indépendamment de $R$ .

18. $a_N = v^2/\rho$ : $v$ est fixée par la hauteur (l’énergie), $\rho$ par la géométrie du rail ; un $\rho$ différent à la même hauteur change $a_N$ et rien d’autre.

19. $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$ , $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}$ .

20. $v_{\text{sommet}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$ .

21. $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : elle croît linéairement depuis zéro — un taux de variation constant de l’accélération — au lieu de sauter de $0$ à $v^2/R$ à l’entrée d’un cercle, ce que la nuque ressent comme un choc.

22. Une goutte d’eau : large et peu courbée en bas, où la voiture est rapide, resserrée en haut, où elle est lente. Elle maintient la charge au voisinage de $3g$ tout du long et l’amène progressivement.

23. Ligne de visée : distance horizontale $50\,\mathrm{m}$ , hauteur $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$ , élévation $\beta = 21.8^\circ$ . La composante transversale de la vitesse horizontale vaut $v\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

24. Vu d’un point excentré, la vitesse angulaire de la ligne de visée n’est pas constante (rapide quand la voiture est proche, lente quand elle est loin) : une caméra à vitesse constante décroche.

25. Coordonnées polaires en $C$ pour la vitesse et l’accélération sur le cercle ; la décomposition de Frenet pour séparer « accélérer » de « tourner » et pour la clothoïde ; coordonnées polaires depuis la caméra pour la vitesse de suivi ; l’énergie (chapitres suivants) pour la loi des vitesses.

Termes définis dans ce chapitre

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