Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

2Optique géométrique : rayons, réflexion, réfraction

Une paille plantée dans un verre d’eau paraît brisée à la surface ; un nageur qui regarde vers le haut depuis le fond d’un bassin voit tout le ciel comprimé dans un disque brillant, cerné par un miroir du fond ; une fibre de verre plus fine qu’un cheveu porte une communication téléphonique d’un bout à l’autre d’un océan avec moins de pertes qu’un fil de cuivre n’en subit en traversant une rue. Trois lois — la lumière va tout droit, se réfléchit à angles égaux, se courbe selon la règle de Snell-Descartes — rendent compte de tout cela ; ce chapitre les énonce précisément, marque où elles cessent d’être vraies, et les met au travail.

Un prisme dévie un faisceau blanc vers sa base et l’étale : l’indice du verre dépend de la longueur d’onde, et le violet est le plus dévié.

2.1 Le modèle de l’optique géométrique

Définition 2.1 (Rayon lumineux ; milieu homogène)

Dans le modèle de l’optique géométrique, la lumière se propage le long de rayons lumineux : des courbes orientées, rectilignes dans un milieu homogène (mêmes propriétés en tout point), qui transportent de l’énergie indépendamment les uns des autres. Un faisceau est un ensemble de rayons ; une source ponctuelle émet des rayons dans toutes les directions.

Définition 2.2 (Indice de réfraction)

Un milieu transparent laisse passer la lumière ; celle-ci y progresse à la vitesse $v < c$ . Son indice de réfraction vaut

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

Vide : $n = 1$ ; air : $1.0003$ ; eau : $1.33$ ; verre ordinaire : $1.5$ à $1.6$ ; diamant : $2.42$ . Une onde de fréquence $\nu$ garde sa fréquence en entrant dans un milieu, si bien que sa longueur d’onde se contracte de $\lambda_0 = c/\nu$ dans le vide à $\lambda = \lambda_0/n$ .

Remarque 2.3 (Dispersion)

Dans la matière, l’indice dépend légèrement de la longueur d’onde — le milieu est dispersif. Pour le verre dans le visible, la loi empirique de Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ convient bien : $n$ est plus grand pour le bleu que pour le rouge, de $0.01$ à $0.02$ environ. Le prisme et l’arc-en-ciel, à la fin de ce chapitre, vivent de cette différence.

Remarque 2.4 (Limites du modèle)

La lumière est une onde, et une onde qui franchit une ouverture de largeur $a$ s’étale d’un angle de l’ordre de $\lambda/a$ (diffraction, Chapitre 5). Les rayons en donnent une bonne description tant que toute ouverture, toute lentille et tout obstacle sont bien plus grands que la longueur d’onde ( $0.4\,$ à $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour la lumière visible) : un trou de $1\,\mathrm{mm}$ étale un faisceau de $10^{-3}$ radian, négligeable sur un banc ; un trou de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ l’étale sur tout le demi-espace, et aucune description en termes de rayons ne survit. Le cœur de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’une fibre monomode de télécommunication est déjà hors du modèle.

Proposition 2.5 (Retour inverse de la lumière)

Le trajet d’un rayon ne dépend pas du sens dans lequel la lumière le parcourt : si la lumière va de $A$ à $B$ le long d’un trajet, la lumière issue de $B$ suit le même trajet jusqu’à $A$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

2.2 Réflexion et réfraction

Définition 2.6 (Incidence)

Un rayon qui rencontre en un point $I$ la surface séparant deux milieux (un dioptre) fait avec la normale à cette surface en $I$ l’angle d’incidence $i_1$ . Le plan d’incidence contient le rayon incident et la normale.

Théorème 2.7 (Lois de la réflexion et de la réfraction (Snell-Descartes))

À la surface séparant deux milieux d’indices $n_1$ (côté incident) et $n_2$ :

les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d’incidence ;
le rayon réfléchi fait avec la normale l’angle $i_1' = i_1$ , de l’autre côté de la normale ;
le rayon réfracté fait avec la normale un angle $i_2$ tel que

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 2.8 (D’où viennent ces lois)

Les deux lois découlent du principe de Fermat : entre deux points, la lumière suit le trajet de durée minimale. La réflexion à angles égaux est le plus court chemin brisé touchant le miroir ; la loi de Snell-Descartes est le trajet qui échange un parcours plus long dans le milieu rapide contre un parcours plus court dans le milieu lent (Exercice 2.12). Le volume de deuxième année démontre les deux lois à partir de la nature ondulatoire de la lumière à une interface.

Réflexion et réfraction à la surface séparant deux milieux. Le rayon réfracté se rapproche de la normale lorsque n_2 > n_1 ; les trois rayons et la normale sont dans un même plan, celui de la figure. — Réflexion et réfraction à la surface séparant deux milieux. Le rayon réfracté se rapproche de la normale lorsque $n_2 > n_1$ ; les trois rayons et la normale sont dans un même plan, celui de la figure.

Proposition 2.9 (Dans quel sens le rayon se courbe)

En entrant dans un milieu plus réfringent ( $n_2 > n_1$ ), un rayon se rapproche de la normale ( $i_2 < i_1$ ) ; en entrant dans un milieu moins réfringent, il s’en écarte ( $i_2 > i_1$ ). Un rayon porté par la normale traverse sans être dévié.

Démonstration. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ , et $\sin$ est croissant sur $[0, \pi/2]$ . ∎

Exemple 2.10 (Profondeur apparente)

Une pièce de monnaie repose à la profondeur $h$ sous l’eau ( $n = 1.33$ ), observée presque à la verticale. Un rayon issu de la pièce atteint la surface sous un petit angle $i_2$ (dans l’eau) et en sort sous $i_1$ avec $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; pour de petits angles, $i_1 \approx n\,i_2$ . L’œil prolonge le rayon émergent vers l’arrière : la pièce semble venir d’une profondeur $h'$ telle que $\tan i_1 \approx x/h'$ et $\tan i_2 \approx x/h$ pour le même point de la surface, situé à la distance $x$ de la verticale ; d’où $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ . Un bassin de $2.0\,\mathrm{m}$ de profondeur en paraît $1.5\,\mathrm{m}$ ; un poisson voit le pêcheur $1.33$ fois plus haut qu’il n’est.

Théorème 2.11 (Réflexion totale)

La lumière qui passe d’un milieu d’indice $n_1$ vers un milieu moins réfringent ( $n_2 < n_1$ ) n’est réfractée que si $i_1 \leq i_c$ , où l’angle limite vérifie

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Pour $i_1 > i_c$ , il n’y a pas de rayon réfracté : la surface renvoie toute la lumière — c’est la réflexion totale.

Démonstration. La loi de Snell-Descartes exige $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; cette quantité dépasse $1$ dès que $\sin i_1 > n_2/n_1$ , et alors aucun angle $i_2$ n’existe. Pour $i_1 = i_c$ , le rayon réfracté rase la surface ( $i_2 = 90^\circ$ ). Que toute l’énergie soit alors réfléchie est un énoncé sur les intensités, dont l’optique géométrique ne traite pas ; le traitement ondulatoire du volume de deuxième année le confirme. ∎

Rayons issus d’une source S sous l’eau. Sous l’angle limite (i_c = 48.8 pour eau–air) une partie de la lumière sort ; à i_c le rayon réfracté rase la surface ; au-delà, la surface est un miroir parfait — le disque de ciel brillant du nageur est borné par cet angle. — Rayons issus d’une source $S$ sous l’eau. Sous l’angle limite ( $i_c = 48.8^\circ$ pour eau–air) une partie de la lumière sort ; à $i_c$ le rayon réfracté rase la surface ; au-delà, la surface est un miroir parfait — le disque de ciel brillant du nageur est borné par cet angle.

Exemple 2.12 (Diamants et nageurs)

Verre–air : $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , ce qui explique qu’un prisme à $45^\circ$ réfléchisse totalement et remplace un miroir dans les jumelles. Diamant–air : $i_c = 24.4^\circ$ ; un diamant taillé piège la lumière qui entre par sa table et la renvoie presque tout entière par la table — l’éclat vient de la réflexion totale, le feu de la dispersion. Eau–air : $i_c = 48.8^\circ$ ; en regardant vers le haut, un plongeur voit tout le ciel dans un cône de demi-angle $48.8^\circ$ (la « fenêtre de Snell ») et, au-delà, le fond du bassin réfléchi.

2.3 La fibre optique

Définition 2.13 (Fibre à saut d’indice)

Une fibre optique à saut d’indice est un cœur de verre cylindrique d’indice $n_1$ entouré d’une gaine d’indice $n_2$ légèrement plus faible. La lumière qui entre dans le cœur à l’intérieur d’un cône de demi-angle $\theta_a$ autour de l’axe est guidée par réflexions totales successives sur la surface cœur–gaine. L’ouverture numérique vaut $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ .

Proposition 2.14 (Cône d’acceptance et étalement intermodal)

Pour une fibre dont la face d’entrée est dans l’air,

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

Sur une longueur $L$ , le rayon guidé selon l’axe et le rayon guidé le plus incliné arrivent avec un décalage

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

entre eux (dispersion intermodale).

Démonstration. Un rayon entrant à l’angle $\theta$ de l’axe est réfracté sous $\theta'$ avec $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ et rencontre la gaine sous l’incidence $i = 90^\circ - \theta'$ . Le guidage impose $\sin i \geq n_2/n_1$ , c’est-à-dire $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , soit $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; il suffit de multiplier par $n_1$ . Le rayon axial parcourt $L$ à la vitesse $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$ . Le rayon le plus incliné zigzague sous l’angle $\theta'_{\max}$ tel que $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; son trajet vaut $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ , donc $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ , et $\Delta t = t_1 - t_0$ . ∎

Une fibre à saut d’indice. Un rayon qui entre dans le cône d’acceptance de demi-angle _a rencontre la gaine sous l’incidence i ≥ i_c et se trouve guidé par réflexions totales ; le rayon axial suit le plus court chemin, le rayon guidé le plus incliné le plus long — une impulsion s’étale dans le temps. — Une fibre à saut d’indice. Un rayon qui entre dans le cône d’acceptance de demi-angle $\theta_a$ rencontre la gaine sous l’incidence $i \geq i_c$ et se trouve guidé par réflexions totales ; le rayon axial suit le plus court chemin, le rayon guidé le plus incliné le plus long — une impulsion s’étale dans le temps.

Exemple 2.15 (Les chiffres d’une fibre de télécommunication)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , donc les rayons guidés restent à moins de $8.2^\circ$ de l’axe. Étalement intermodal : $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Sur $2\,\mathrm{km}$ une impulsion s’étale de $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ , ce qui plafonne le débit vers $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : le problème du week-end suit cette limitation jusqu’à son remède, la fibre monomode.

2.4 Le miroir plan

Proposition 2.16 (Image dans un miroir plan)

Tous les rayons issus d’un point $A$ et réfléchis par un miroir plan semblent provenir du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir : $A'$ est l’image de $A$ . Elle est virtuelle (aucune lumière n’y passe) et le miroir est rigoureusement stigmatique : tout point a une image ponctuelle exacte.

Démonstration. Un rayon issu de $A$ qui frappe le miroir en $I$ sous l’incidence $i$ repart sous $i$ de l’autre côté de la normale. La droite réfléchie et la normale en $I$ font l’angle $i$ , tout comme la droite $IA$ ; par symétrie par rapport au plan du miroir, la droite réfléchie est la symétrique de la droite $IA$ , et passe donc par le point symétrique $A'$ — et cela pour tout $I$ . ∎

Proposition 2.17 (Rotation d’un miroir)

Faire tourner un miroir plan d’un angle $\alpha$ autour d’un axe de son plan, perpendiculaire au plan d’incidence, fait tourner le rayon réfléchi de $2\alpha$ .

Démonstration. La normale tourne de $\alpha$ , donc l’incidence passe de $i$ à $i + \alpha$ ; le rayon réfléchi, à $i + \alpha$ de l’autre côté de la nouvelle normale, s’est écarté de $\alpha$ (la normale) $+ \alpha$ (l’angle) $= 2\alpha$ de son ancienne direction. ∎

Exemple 2.18 (Le levier du galvanomètre)

Un minuscule miroir collé sur le cadre d’un galvanomètre, éclairé par une lampe, projette une tache sur une règle placée à $2\,\mathrm{m}$ : une rotation de $1\,\mathrm{mrad}$ du cadre déplace la tache de $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — un levier optique qui amplifie sans frottement, principe du galvanomètre à miroir et du scanner laser.

2.5 Le prisme

Proposition 2.19 (Formules du prisme)

Un rayon qui traverse un prisme d’angle au sommet $A$ et d’indice $n$ dans l’air, dans le plan perpendiculaire à l’arête, avec les angles $i$ (entrée), $r$ , $r'$ (à l’intérieur) et $i'$ (sortie) comptés depuis les normales, vérifie

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

et il est dévié de $D = i + i' - A$ . La déviation est minimale lorsque le trajet est symétrique, $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; alors

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

Démonstration. La loi de Snell-Descartes à chaque face ; $r + r' = A$ parce que les deux normales font l’angle $A$ (dans le quadrilatère formé par le sommet, les deux points d’incidence et l’intersection des normales). La déviation totale vaut $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ . Par le retour inverse de la lumière, la déviation est la même fonction de $i$ et de $i'$ ; si le minimum était atteint en $i_0 \neq i_0'$ , il le serait aussi à l’incidence renversée $i_0'$ , ce qui donnerait deux minima, que la monotonie de $D(i)$ de part et d’autre de son minimum interdit : le minimum est en $i = i'$ . Alors $r = r' = A/2$ et $D_{\min} = 2i - A$ ; en reportant $i = (A + D_{\min})/2$ dans $\sin i = n\sin(A/2)$ , on obtient la formule. ∎

Un rayon traversant un prisme d’angle au sommet A : réfracté vers la base à l’entrée puis de nouveau à la sortie, il est dévié de D = i + i' - A par rapport à sa direction initiale (en pointillés). Dessiné au minimum de déviation, le trajet est symétrique. — Un rayon traversant un prisme d’angle au sommet $A$ : réfracté vers la base à l’entrée puis de nouveau à la sortie, il est dévié de $D = i + i' - A$ par rapport à sa direction initiale (en pointillés). Dessiné au minimum de déviation, le trajet est symétrique.

Exemple 2.20 (Mesurer un indice)

Un prisme de $60^\circ$ que l’on tourne jusqu’à ce que la déviation d’un faisceau jaune soit la plus faible : $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Alors $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ . Le minimum de déviation est la manière classique de mesurer l’indice d’un verre — ce minimum, net, se trouve en faisant osciller le prisme et reste insensible aux petits défauts de réglage.

Remarque 2.21 (Prismes minces et spectroscopes)

Pour $A$ petit et une incidence petite, les sinus valent les angles et $D \approx (n - 1)A$ , indépendamment de $i$ : un prisme mince dévie tous les rayons du même angle — un coin de verre est un « prisme » qui courbe la lumière, et une lentille se révélera être un empilement de tels coins. Comme $n$ dépend de $\lambda$ , la déviation en dépend aussi : un prisme étale la lumière blanche en un spectre (le bleu le plus dévié), c’est le cœur du spectroscope à prisme.

2.6 L’arc-en-ciel

Exemple 2.22 (L’arc-en-ciel de Descartes)

Un rayon de soleil entre dans une goutte de pluie sphérique sous l’incidence $i$ , s’y réfracte ( $\sin i = n\sin r$ ), se réfléchit une fois sur la face arrière, puis ressort après une seconde réfraction. Chaque réfraction le dévie de $i - r$ , la réflexion interne de $\pi - 2r$ : la déviation totale vaut $D(i) = \pi + 2i - 4r$ . Les rayons remplissent la goutte pour toutes les valeurs de $i$ ; l’observateur voit la lumière la plus vive là où beaucoup de rayons repartent dans presque la même direction, c’est-à-dire là où $D$ est stationnaire : $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ . En différentiant la loi de Snell-Descartes, $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , si bien que la condition s’écrit $2\cos i = n\cos r$ ; en élevant au carré et en utilisant $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , il vient

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

Pour l’eau, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ . La lumière revient du côté du Soleil, à $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ de la direction antisolaire : l’arc-en-ciel est un cône de demi-angle $42^\circ$ autour de l’ombre de la tête de l’observateur. Le rouge ( $n = 1.331$ ) est à $42.4^\circ$ , le violet ( $n = 1.343$ ) à $40.6^\circ$ — rouge à l’extérieur, violet à l’intérieur.

Le rayon de Descartes dans une goutte de pluie : deux réfractions et une réflexion interne. Au voisinage de i = 59 la déviation D est stationnaire à 138, et les rayons s’y accumulent : c’est l’arc primaire, à 42 du point opposé au Soleil. — Le rayon de Descartes dans une goutte de pluie : deux réfractions et une réflexion interne. Au voisinage de $i = 59^\circ$ la déviation $D$ est stationnaire à $138^\circ$ , et les rayons s’y accumulent : c’est l’arc primaire, à $42^\circ$ du point opposé au Soleil.

2.7 Exercices

Exercice 2.1 ★

Calculer la vitesse de la lumière dans l’eau ( $n = 1.33$ ), dans le verre ( $1.50$ ) et dans le diamant ( $2.42$ ). Combien de temps la lumière met-elle à traverser $1.0\,\mathrm{km}$ d’une fibre d’indice $1.48$ ?

Solution

Solution de Exercice 2.1.

$v = c/n$ : eau $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , verre $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , diamant $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Fibre : $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercice 2.2 ★

Un rayon dans l’air rencontre l’eau ( $n = 1.33$ ) sous $30^\circ$ , puis sous $60^\circ$ de la normale : trouver les angles réfractés. Un rayon dans l’eau rencontre la surface sous $50^\circ$ : que se passe-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ . Depuis l’eau sous $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , pas de rayon réfracté — réflexion totale ( $i_c = 48.8^\circ$ ).

Exercice 2.3 ★

Calculer l’angle limite pour verre–air ( $n = 1.50$ ), diamant–air ( $2.42$ ) et eau–air ( $1.33$ ). Quel est le diamètre angulaire du disque de ciel que voit un plongeur ?

Solution

Solution de Exercice 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : verre $41.8^\circ$ , diamant $24.4^\circ$ , eau $48.8^\circ$ . Le disque de ciel s’étend sur $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ .

Exercice 2.4 ★

Une personne de $1.70\,\mathrm{m}$ , les yeux $10\,\mathrm{cm}$ sous le sommet du crâne, se tient devant un miroir mural vertical. Trouver le plus petit miroir (hauteur, et position de ses bords au-dessus du sol) dans lequel elle se voit tout entière. La réponse dépend-elle de la distance au miroir ?

Solution

Solution de Exercice 2.4.

Les yeux sont à $1.60\,\mathrm{m}$ . Le rayon venu des pieds atteint l’œil après réflexion à mi-hauteur des yeux, $0.80\,\mathrm{m}$ ; celui venu du sommet du crâne se réfléchit à mi-chemin entre le sommet et les yeux, à $1.65\,\mathrm{m}$ . Miroir de $0.80\,\mathrm{m}$ à $1.65\,\mathrm{m}$ : hauteur $0.85\,\mathrm{m}$ , la moitié de la taille — indépendante de la distance (la règle du milieu vaut à toute distance).

Exercice 2.5 ★★

Une pièce repose à $1.2\,\mathrm{m}$ de profondeur dans un bassin : à quelle profondeur paraît-elle à qui la regarde d’en haut ? Les yeux d’un pêcheur sont à $1.8\,\mathrm{m}$ au-dessus de l’eau : à quelle hauteur paraissent-ils à un poisson qui regarde vers le haut ? Justifier les deux par des rayons peu inclinés.

Solution

Solution de Exercice 2.5.

Aux petits angles, la position apparente est $h' = h/n$ vue depuis le milieu le moins réfringent, $h' = nh$ depuis le plus réfringent. Pièce : $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ . Pêcheur : $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ . Justification : pour un point de la surface à la distance horizontale $x$ , $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ et $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ avec $i_1 = n i_2$ .

Exercice 2.6 ★★

Un prisme a $A = 60^\circ$ et $n = 1.52$ . Calculer la déviation minimale. Montrer qu’un rayon ne peut émerger par la seconde face que si $A \leq 2 i_c$ , et vérifier que ce prisme convient.

Solution

Solution de Exercice 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , donc $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ et $D_{\min} = 38.9^\circ$ . L’émergence exige $r' \leq i_c$ ; par ailleurs $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ donne $r \leq i_c$ ; donc $A = r + r' \leq 2i_c$ . Ici $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ , $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : c’est vérifié.

Exercice 2.7 ★★

Une fibre à saut d’indice a $n_1 = 1.50$ , $n_2 = 1.48$ . Calculer son ouverture numérique, son angle d’acceptance, le décalage intermodal par kilomètre et le débit maximal qui en résulte sur $1\,\mathrm{km}$ (prendre $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ ).

Solution

Solution de Exercice 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ . $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Sur $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Exercice 2.8 ★★

Un prisme mince d’angle au sommet $10^\circ$ a $n = 1.510$ pour le rouge et $1.530$ pour le bleu. Calculer la déviation de chaque couleur et la largeur angulaire du spectre qu’il produit.

Solution

Solution de Exercice 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : rouge $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , bleu $5.30^\circ$ ; largeur du spectre $0.20^\circ$ .

Exercice 2.9 ★★

Un rayon rencontre une lame de verre à faces parallèles ( $n = 1.50$ , épaisseur $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) sous $45^\circ$ . Montrer qu’il émerge parallèlement à sa direction incidente, décalé latéralement de $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ , et calculer $d$ .

Solution

Solution de Exercice 2.9.

Entrée : $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ . Les deux faces étant parallèles, l’incidence sur la seconde face vaut $r$ et $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$ , le rayon émergent est parallèle à l’incident. Le long du trajet intérieur, de longueur $e/\cos r$ , le décalage perpendiculaire vaut $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 2.10 ★★★

L’arc secondaire vient des rayons réfléchis deux fois à l’intérieur de la goutte. Montrer que $D = 2\pi + 2i - 6r$ , que la déviation stationnaire vérifie $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ , et calculer l’angle de l’arc secondaire depuis la direction antisolaire pour $n = 1.333$ . Où se situe-t-il par rapport à l’arc primaire, et dans quel ordre ses couleurs se succèdent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 2.10.

Deux réfractions ( $2(i - r)$ ) et deux réflexions ( $2(\pi - 2r)$ ) : $D = 2\pi + 2i - 6r$ . $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ donne $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ . Pour $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : l’arc est à $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ du point antisolaire, en dehors du primaire ( $42^\circ$ ). Le rouge ( $n = 1.331$ ) à $50.4^\circ$ , le violet ( $1.343$ ) à $53.6^\circ$ : les couleurs sont inversées, violet à l’extérieur.

Exercice 2.11 ★★★

Sur une route chaude, l’air juste au-dessus du bitume a pour indice $n_{\text{chaud}} = 1.00026$ , l’air plus frais au-dessus $n_{\text{froid}} = 1.00029$ . En modélisant les couches par une interface nette, trouver l’angle rasant limite (compté depuis la route) au-dessous duquel un rayon venu du ciel est totalement réfléchi vers le haut. L’œil d’un conducteur est à $1.2\,\mathrm{m}$ au-dessus de la route : au-delà de quelle distance la route ressemble-t-elle à de l’eau ?

Solution

Solution de Exercice 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : les rayons situés à moins de $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ de la chaussée sont totalement réfléchis (en général, angle rasant $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ ). Depuis $1.2\,\mathrm{m}$ de hauteur, la ligne de visée rase sous cet angle au-delà de $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : la route y réfléchit le ciel — c’est la « flaque ».

Exercice 2.12 ★★★

Les points $A$ (à la hauteur $a$ au-dessus d’une interface) et $B$ (à la profondeur $b$ en dessous) sont séparés horizontalement de $d$ ; la lumière va à la vitesse $v_1$ au-dessus et $v_2$ en dessous. Écrire la durée du trajet brisé passant par le point d’interface d’abscisse $x$ , et montrer que cette durée est stationnaire exactement lorsque $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — la loi de Snell-Descartes.

Solution

Solution de Exercice 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , nul exactement lorsque $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ , c’est-à-dire $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ avec $n = c/v$ .

Un double arc-en-ciel : l’arc primaire à 42, rouge à l’extérieur, le secondaire plus pâle à 51 aux couleurs inversées, et entre les deux la bande sombre d’Alexandre — réfraction, réflexion et dispersion dans chaque goutte. — Un double arc-en-ciel : l’arc primaire à $42{}^{\circ}$ , rouge à l’extérieur, le secondaire plus pâle à $51{}^{\circ}$ aux couleurs inversées, et entre les deux la bande sombre d’Alexandre — réfraction, réflexion et dispersion dans chaque goutte.

2.8 Problème : la liaison par fibre optique

Problème 2.1

Problème du week-end — un fil de verre sous la mer : jusqu’où et à quelle cadence une impulsion lumineuse peut-elle porter un bit avant que la géométrie, le verre et la dispersion ne le brouillent

Une liaison utilise une fibre à saut d’indice de cœur $n_1 = 1.480$ , de gaine $n_2 = 1.465$ , de rayon de cœur $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , à la longueur d’onde $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ . Donnée : $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Partie I — La lumière dans le verre.

Définir l’indice et calculer la vitesse de la lumière dans le cœur.
Combien de temps une impulsion met-elle à parcourir $50\,\mathrm{km}$ selon l’axe ?
Calculer la fréquence de la lumière et sa longueur d’onde dans le cœur.
Pourquoi le cœur est-il gainé de verre d’indice plus faible plutôt que laissé nu dans l’air, ce qui donnerait un saut d’indice plus grand ?

Partie II — Le guidage.

Calculer l’angle limite à la surface cœur–gaine.
En déduire le plus grand angle qu’un rayon guidé peut faire avec l’axe.
Un rayon entre depuis l’air par la face d’entrée plane, sous l’angle $\theta$ avec l’axe. Montrer qu’il est guidé si $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , et calculer l’angle d’acceptance $\theta_a$ .
Donner l’ouverture numérique. Pourquoi un saut d’indice plus grand rend-il la fibre plus facile à alimenter en lumière ?
La fibre est courbée selon un cercle de rayon $R_b$ . On considère un rayon parallèle à l’axe longeant le bord intérieur du cœur : montrer qu’il rencontre la paroi extérieure sous l’incidence $i$ telle que $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , et trouver le plus petit $R_b$ pour lequel il reste guidé.

Partie III — La dispersion intermodale.

Exprimer les durées de parcours du rayon axial et du rayon guidé le plus incliné sur une longueur $L$ .
En déduire l’étalement $\Delta t$ par kilomètre, et sa valeur sur $L = 2\,\mathrm{km}$ .
Un bit est une impulsion brève ; deux impulsions successives doivent rester séparées d’au moins $2\Delta t$ pour être distinguées. Estimer le débit maximal sur $2\,\mathrm{km}$ .
Montrer que le produit (débit) $\times$ (longueur) est une constante pour cette fibre, et le calculer en $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
Dans une fibre à gradient d’indice, l’indice décroît continûment de l’axe vers l’extérieur. Expliquer qualitativement pourquoi cela réduit l’étalement intermodal.
Une fibre monomode a un diamètre de cœur d’environ $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Comparer à $\lambda_0$ et expliquer pourquoi le modèle des rayons ne peut pas la décrire ; qu’y gagne-t-on ?

Partie IV — Atténuation et dispersion chromatique. La fibre atténue la puissance de $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ à $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ . L’émetteur envoie $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ ; le récepteur exige au moins $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ . Comme $n$ dépend de $\lambda$ , deux longueurs d’onde voyagent à des vitesses légèrement différentes : une source de largeur spectrale $\Delta\lambda$ donne un étalement $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ avec $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ .

Quelle fraction de la puissance survit à $100\,\mathrm{km}$ ?
Trouver la longueur maximale avant qu’un amplificateur ne soit nécessaire.
Les amplificateurs sont placés tous les $100\,\mathrm{km}$ : quelle marge, en dB et en rapport de puissances, cela laisse-t-il pour les connecteurs et les épissures ?
Calculer $\Delta t_c$ sur $100\,\mathrm{km}$ pour une source à diode électroluminescente ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) et pour un laser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ) ; en déduire le débit maximal de chacune sur cette longueur (même critère que ci-dessus).
À $850\,\mathrm{nm}$ , la silice atténue $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . Quelle distance le même bilan de puissance permettrait-il alors ? Pourquoi $1550\,\mathrm{nm}$ est-elle la longueur d’onde des télécommunications ?
Un câble coaxial de cuivre atténue environ $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ aux fréquences nécessaires à $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . Comparer l’espacement des amplificateurs à celui de la fibre.

Partie V — La liaison complète.

Pour la fibre à saut d’indice sur $2\,\mathrm{km}$ , quel effet limite le débit : l’étalement intermodal, l’étalement chromatique (source laser) ou l’atténuation ? Donner le débit limite.
Pour une fibre monomode sur $100\,\mathrm{km}$ avec la source laser : quel effet limite, et à quel débit ?
La liaison monomode transporte $80$ lasers dont les longueurs d’onde sont espacées de $0.8\,\mathrm{nm}$ (multiplexage en longueur d’onde), chacun au débit de la question précédente. Capacité totale ?
Former le produit débit–longueur de la liaison à saut d’indice et d’un canal monomode ; de quel facteur la fibre monomode l’emporte-t-elle, et quel fait physique unique en est responsable ?

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , inchangée dans le verre ; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ .

4. Un cœur nu ne guide que tant que sa surface reste parfaitement propre et intacte : poussière, eau ou simple contact remplacent localement l’air par un indice plus élevé et la lumière s’échappe, tandis que les rayures la diffusent. La gaine est une interface scellée et maîtrisée, dont le saut d’indice est choisi.

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; guidé si et seulement si $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , c’est-à-dire $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , soit $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ .

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ . Un saut plus grand élargit le cône, donc capte une plus grande part de la lumière d’une source divergente.

9. Le rayon est tangent au cercle de rayon $R_b$ (bord intérieur) et rencontre le cercle de rayon $R_b + 2a$ (bord extérieur) ; dans le triangle rectangle centre–point de tangence–point d’impact, l’angle au point d’impact entre le rayon et le rayon du cercle (la normale) vérifie $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ . Guidé si et seulement si $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ . Des courbures plus serrées fuient.

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; le rayon le plus incliné parcourt $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , donc $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ .

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; sur $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$ .

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. Les rayons éloignés de l’axe suivent des trajets plus longs, mais dans un indice plus faible, donc plus vite ; avec un profil bien choisi les deux effets se compensent et tous arrivent ensemble.

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : le cœur n’est pas grand devant la longueur d’onde, la diffraction domine et les rayons n’ont plus de sens. Le traitement ondulatoire montre un unique mode guidé : plus aucun étalement intermodal ; ne restent que la dispersion chromatique et l’atténuation.

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , un pour cent.

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , donc $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ .

18. $100\,\mathrm{km}$ coûtent $20\,\mathrm{dB}$ : marge $10\,\mathrm{dB}$ , soit un facteur $10$ en puissance.

19. Diode : $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ . Laser : $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , dix fois moins. La silice est la plus transparente au voisinage de $1550\,\mathrm{nm}$ (son minimum d’atténuation), et c’est là qu’existent les amplificateurs optiques.

21. $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ entre amplificateurs, contre $150\,\mathrm{km}$ : la fibre l’emporte d’un facteur $150$ .

22. Intermodal : $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ) ; chromatique (laser) : $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; atténuation $0.4\,\mathrm{dB}$ , négligeable. C’est l’étalement intermodal qui limite : $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

23. Pas d’étalement intermodal ; chromatique $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; atténuation $20\,\mathrm{dB}$ , dans le bilan. C’est la dispersion chromatique qui limite, vers $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. Saut d’indice : $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; canal monomode : $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — un facteur d’environ $3\times10^4$ . Un seul fait : un unique trajet guidé, donc aucun étalement géométrique (intermodal) des temps d’arrivée.

Termes définis dans ce chapitre

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