Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

5Propagation d’un signal : ondes progressives et stationnaires

Pincez une corde de guitare et toute une salle entend une note ; posez un doigt en son milieu et la note saute d’une octave. Placez-vous entre deux haut-parleurs qui jouent le même son et, en marchant lentement, vous traversez tous les quelques décimètres des zones de quasi-silence. La lumière de deux trous d’aiguille peint des raies sur un écran. Rien n’est transporté d’un endroit à un autre dans aucun de ces phénomènes — ni air, ni corde, ni verre ne voyage — et pourtant quelque chose se propage : un signal. Ce chapitre décrit comment un signal se déplace, ce qu’est une onde sinusoïdale et ce qui arrive lorsque deux ondes se rencontrent : la superposition, les interférences et les ondes stationnaires, que tous les chapitres d’ondes à venir — acoustique, optique, physique quantique — réutiliseront.

Six cordes, six fréquences fondamentales : chacune est une onde stationnaire fixée au sillet et au chevalet, que les doigts raccourcissent pour monter la hauteur du son.

5.1 Les signaux

Définition 5.1 (Signal ; signal sinusoïdal)

Un signal est une grandeur physique qui varie dans le temps et porte de l’information : la surpression acoustique sur un microphone, la tension aux bornes d’une antenne, le déplacement transversal d’un point d’une corde. Le signal sinusoïdal

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

a pour amplitude $A > 0$ , pulsation $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), fréquence $f = \omega/2\pi$ , période $T = 1/f$ et phase à l’origine $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ est sa phase à l’instant $t$ .

Remarque 5.2 (Spectre)

Tout signal périodique de période $T$ est une somme de sinusoïdes de fréquences $f_1 = 1/T$ (le fondamental) et de ses multiples $nf_1$ (les harmoniques) ; la liste de leurs amplitudes est le spectre du signal. Une flûte et un violon qui jouent la même note partagent le fondamental et diffèrent par le spectre — c’est le timbre. La décomposition (celle de Fourier) est énoncée et utilisée au Chapitre 9 ; elle importe ici parce que les sinusoïdes se propagent simplement, et que ce qui vaut pour chaque sinusoïde vaut, par addition, pour tout signal.

Proposition 5.3 (Battements)

La somme de deux sinusoïdes de même amplitude et de fréquences voisines $f_1 > f_2$ ,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

est une sinusoïde à la fréquence moyenne, dont l’amplitude $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ enfle et s’éteint à la fréquence de battement $f_1 - f_2$ .

Démonstration. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . Le facteur lent s’annule deux fois par période $2/(f_1 - f_2)$ qui lui est propre, donc l’enveloppe $\abs{\cdot}$ a pour fréquence $f_1 - f_2$ . ∎

Battements entre 22\, Hz et 20\, Hz : une oscillation à 21\, Hz dont l’enveloppe (en pointillés) bat deux fois par seconde — la différence des fréquences. — Battements entre $22\,\mathrm{Hz}$ et $20\,\mathrm{Hz}$ : une oscillation à $21\,\mathrm{Hz}$ dont l’enveloppe (en pointillés) bat deux fois par seconde — la différence des fréquences.

Exemple 5.4 (Accorder à l’oreille)

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ et une corde à $443\,\mathrm{Hz}$ sonnés ensemble palpitent trois fois par seconde ; tendre la corde ralentit la palpitation, et lorsqu’elle cesse la corde est accordée. L’oreille entend la fréquence moyenne ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) comme hauteur et l’enveloppe à $3\,\mathrm{Hz}$ comme une intensité qui vacille : les battements rendent audible un écart de fréquence de moins d’un pour cent.

5.2 Ondes progressives

Définition 5.5 (Onde progressive, célérité)

Un signal $s(x, t)$ défini le long d’un axe est une onde progressive se déplaçant dans le sens $+x$ à la célérité $c$ si

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

pour une certaine fonction $f$ (ou $F$ ) : la forme est emportée sans déformation, décalée de $c\,\Delta t$ pendant la durée $\Delta t$ . Une onde qui se déplace vers $-x$ s’écrit $g(t + x/c)$ . Un milieu où toute forme se propage sans déformation à la même $c$ est non dispersif.

Proposition 5.6 (Retard)

Le signal reçu en $x_2$ est le signal émis en $x_1 < x_2$ , retardé de $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

Démonstration. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

Exemple 5.7 (Quelques célérités)

Le son dans l’air, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : un tonnerre $3\,\mathrm{s}$ après l’éclair place l’impact à $1\,\mathrm{km}$ . Le son dans l’eau, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dans l’acier, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les ondes transversales sur une corde de tension $F$ et de masse linéique $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ , comme l’annonçait l’analyse dimensionnelle (Exercice 1.5) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour une corde de guitare. La lumière dans le vide, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dans le verre, $c/n$ . La célérité est une propriété du milieu, non de la source : un murmure et un cri arrivent ensemble.

Proposition 5.8 (Onde progressive sinusoïdale)

Une source sinusoïdale $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ lance

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

L’onde est périodique dans le temps (de période $T$ ) et dans l’espace (de période la longueur d’onde $\lambda$ ) ; $k$ est le nombre d’onde ; deux points distants de $d$ oscillent avec le déphasage $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — en phase si $d = n\lambda$ , en opposition de phase si $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . La vitesse à laquelle se déplace une crête, $v_\varphi = \omega/k$ , est la vitesse de phase ; ici $v_\varphi = c$ .

Démonstration. Il suffit de substituer $f(u) = A\cos(\omega u)$ dans $f(t - x/c)$ . À $x$ fixé, le signal se reproduit après $T = 2\pi/\omega$ ; à $t$ fixé, il se reproduit après $\lambda$ avec $k\lambda = 2\pi$ . Pour deux points $x_1$ et $x_2 = x_1 + d$ , les phases diffèrent de $kd$ . Une crête ( $\omega t - kx = \text{const}$ ) se déplace à $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

La double périodicité d’une onde progressive sinusoïdale : un instantané à temps fixé se reproduit toutes les longueurs d’onde et glisse à la vitesse c ; le signal en un point fixé se reproduit à chaque période T, avec = cT. — La double périodicité d’une onde progressive sinusoïdale : un instantané à temps fixé se reproduit toutes les longueurs d’onde $\lambda$ et glisse à la vitesse $c$ ; le signal en un point fixé se reproduit à chaque période $T$ , avec $\lambda = cT$ .

Définition 5.9 (Dispersion)

Un milieu est dispersif lorsque la vitesse de phase dépend de la fréquence. Un signal non sinusoïdal, somme de sinusoïdes, se déforme alors en voyageant, ses composantes se séparant peu à peu. Le son dans l’air et la lumière dans le vide sont non dispersifs ; la lumière dans le verre (Chapitre 2) et les vagues en eau profonde sont dispersives — la longue houle d’une tempête lointaine arrive un jour avant le clapot court.

5.3 Superposition et interférences

Théorème 5.10 (Superposition)

Dans un milieu linéaire, lorsque plusieurs ondes se propagent ensemble, le signal résultant en chaque point et à chaque instant est la somme des signaux que chaque onde produirait seule.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 5.11 (Linéarité)

La superposition est un énoncé sur les équations du milieu (linéaires en le signal), vrai tant que les amplitudes restent faibles : un son sous le seuil de la douleur, une lumière sous les intensités de découpe laser, une corde pincée doucement. Deux faisceaux lumineux se croisent sans se perturber ; deux rides se traversent et ressortent intactes. Ce que l’on observe là où elles se recouvrent est l’objet des interférences.

Théorème 5.12 (Deux signaux sinusoïdaux de même fréquence)

En un point où arrivent deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ et $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , la somme est une sinusoïde de même fréquence dont l’amplitude vérifie

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

Pour des ondes dont l’intensité (puissance par unité d’aire) est proportionnelle à $A^2$ , les intensités obéissent à la formule de Fresnel

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

Les interférences sont constructives ( $A = A_1 + A_2$ ) lorsque $\Delta\varphi = 2n\pi$ , destructives ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) lorsque $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ , $n \in \Z$ .

Démonstration. Développons : $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ avec $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . Géométriquement : $A$ est la longueur de la somme de deux vecteurs de longueurs $A_1$ et $A_2$ faisant l’angle $\Delta\varphi$ (loi des cosinus). ∎

Proposition 5.13 (Deux sources en phase ; différence de marche)

Deux sources qui émettent en phase à la longueur d’onde $\lambda$ , aux distances $d_1$ et $d_2$ d’un point $M$ , arrivent en $M$ avec $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ , où $\delta = d_2 - d_1$ est la différence de marche. Les interférences en $M$ sont constructives si $\delta = n\lambda$ , destructives si $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

Démonstration. Chaque onde arrive avec le retard de phase $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ de son trajet (Proposition 5.8) ; la différence vaut $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . On applique alors le Théorème 5.12. ∎

Exemple 5.14 (Deux haut-parleurs)

Deux haut-parleurs distants de $2.0\,\mathrm{m}$ émettent en phase le même son à $850\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). Sur la médiatrice, $\delta = 0$ : fort partout. Le long du segment qui les joint, $\delta$ varie de $2\lambda$ par longueur d’onde de déplacement, si bien que les zones calmes ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) se suivent tous les $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — une onde stationnaire, objet de la section suivante. Inversez les fils d’un haut-parleur pour qu’il émette en opposition de phase, et le fort et le calme échangent leurs places.

Exemple 5.15 (Trous d’Young)

Deux trous d’aiguille $S_1$ et $S_2$ , distants de $a$ , éclairés par une même source monochromatique (de sorte qu’ils émettent en phase), envoient la lumière sur un écran situé à la distance $D \gg a$ . En un point de l’écran à la hauteur $x$ de l’axe, la différence de marche vaut

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(pour $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , puis on soustrait). Les franges brillantes sont en $x = n\lambda D/a$ : l’interfrange vaut

i = \frac{\lambda D}{a} .

Avec $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — une règle mesure la longueur d’onde de la lumière. Dans un milieu d’indice $n$ , la différence à utiliser est celle des chemins optiques $n \times$ longueur, puisque $\lambda = \lambda_0/n$ .

Trous d’Young : deux sources en phase, distantes de a, atteignent le point M d’un écran lointain par des trajets qui diffèrent de ax/D. L’intensité sur l’écran, 4I_0 2(π x/i), alterne franges brillantes et sombres espacées de i = D/a. — Trous d’Young : deux sources en phase, distantes de $a$ , atteignent le point $M$ d’un écran lointain par des trajets qui diffèrent de $\delta \approx ax/D$ . L’intensité sur l’écran, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ , alterne franges brillantes et sombres espacées de $i = \lambda D/a$ .

Remarque 5.16 (Cohérence)

La formule de Fresnel suppose un déphasage fixe. Deux lampes distinctes ont des phases qui sautent au hasard des milliards de fois par seconde ; la moyenne de $\cos\Delta\varphi$ est nulle et les intensités s’additionnent simplement : pas de franges. Les interférences exigent des sources cohérentes — en pratique, deux ondes issues d’une seule source, par deux trous, deux fentes, les deux faces d’une lame mince, ou une lame séparatrice. Deux haut-parleurs alimentés par un même générateur sont cohérents ; deux chanteurs ne le sont pas.

5.4 Ondes stationnaires

Théorème 5.17 (Onde stationnaire)

Deux ondes sinusoïdales de même amplitude et de même fréquence se propageant en sens contraires s’additionnent en

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

une onde stationnaire : chaque point oscille en phase (ou en opposition de phase) avec une amplitude $2A\abs{\cos kx}$ qui dépend de la position — nulle aux nœuds $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ , maximale aux ventres $x = n\lambda/2$ ; deux nœuds sont distants de $\lambda/2$ . Rien ne se propage : les variables $x$ et $t$ sont séparées.

Démonstration. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ avec $a = \omega t - kx$ et $b = \omega t + kx$ . ∎

Proposition 5.18 (Modes d’une corde fixée à ses deux extrémités)

Une corde de longueur $L$ et de célérité $c$ , fixée en $x = 0$ et $x = L$ , ne peut entretenir une onde stationnaire sinusoïdale que si $L$ contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde :

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Ce sont ses modes propres ; $f_1 = c/2L$ est le fondamental et les $f_n$ ses harmoniques. Excitée à une extrémité à une fréquence proche de $f_n$ , la corde entre en résonance sur la forme du mode $n$ (expérience de Melde) ; pincée, elle vibre sur une superposition de modes, et l’oreille entend $f_1$ comme hauteur.

Démonstration. Une extrémité fixe est un nœud. L’onde réfléchie en $x = L$ repart en arrière et se superpose à l’onde incidente en une onde stationnaire ; pour que son nœud tombe aussi en $x = 0$ , il faut remplacer $\cos kx$ par $\sin kx$ (décalage de l’origine) et imposer $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ et $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

Les trois premiers modes d’une corde fixée à ses deux extrémités : n demi-longueurs d’onde tiennent dans L ; la corde oscille entre les deux formes extrêmes (sombre et claire), les nœuds restant immobiles. Fréquences f_n = nf_1. — Les trois premiers modes d’une corde fixée à ses deux extrémités : $n$ demi-longueurs d’onde tiennent dans $L$ ; la corde oscille entre les deux formes extrêmes (sombre et claire), les nœuds restant immobiles. Fréquences $f_n = nf_1$ .

Exemple 5.19 (Une corde de guitare)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , accordée sur $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; avec $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ la tension vaut $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — dix kilogrammes suspendus à chaque corde. Un doigt appuyé sur la douzième case divise $L$ par deux et double $f_1$ : c’est l’octave. Un doigt qui se contente d’effleurer le milieu y impose un nœud et tue tous les modes impairs : la corde sonne à $2f_1$ , l’« harmonique » des guitaristes.

Remarque 5.20 (Tuyaux, et un aperçu)

La colonne d’air d’une flûte, ouverte aux deux bouts, a des nœuds de pression aux deux extrémités et les mêmes modes $f_n = nc/2L$ ; un tuyau fermé à une extrémité y a un nœud et un ventre à l’extrémité ouverte, d’où $L = (2n + 1)\lambda/4$ et seules les harmoniques impaires $f = (2n + 1)c/4L$ sonnent — le timbre creux de la clarinette. Confiner une onde entre deux parois quantifie donc ses fréquences ; lorsque l’onde est l’onde de matière d’un électron dans un atome, le même décompte de demi-longueurs d’onde quantifie son énergie (Chapitre 30).

5.5 Exercices

Exercice 5.1 ★

Le tonnerre arrive $6.0\,\mathrm{s}$ après l’éclair : à quelle distance est l’impact ? Un écho de sonar revient après $0.40\,\mathrm{s}$ dans l’eau ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : quelle est la profondeur du fond ?

Solution

Solution de Exercice 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . Aller-retour : profondeur $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5.2 ★

Une onde sonore de $440\,\mathrm{Hz}$ se propage dans l’air ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calculer sa longueur d’onde, le déphasage entre deux microphones distants de $20\,\mathrm{cm}$ le long de la direction de propagation, et les distances auxquelles deux points oscillent en phase.

Solution

Solution de Exercice 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ) ; en phase pour des écarts $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5.3 ★

Une corde a une tension de $80\,\mathrm{N}$ et une masse linéique de $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calculer $c$ , puis la longueur d’onde d’une onde à $200\,\mathrm{Hz}$ sur cette corde.

Solution

Solution de Exercice 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5.4 ★

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ et une corde à $444\,\mathrm{Hz}$ : combien de battements par seconde ? Quelle est la période de l’enveloppe ? On détend la corde et les battements ralentissent à $1\,\mathrm{Hz}$ : quelle est sa fréquence maintenant (deux réponses en principe — laquelle, et comment le vérifier) ?

Solution

Solution de Exercice 5.4.

$444 - 440 = 4$ battements par seconde ; période de l’enveloppe $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . Détendre abaisse la corde : $441\,\mathrm{Hz}$ (atteindre $439\,\mathrm{Hz}$ aurait supposé passer par le silence à $440\,\mathrm{Hz}$ ) ; on vérifie en détendant un peu plus : les battements doivent disparaître, puis revenir.

Exercice 5.5 ★★

Une corde de $0.60\,\mathrm{m}$ , $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , est fixée à ses deux extrémités. Donner les fréquences des trois premiers modes et la position des nœuds du troisième. Où faut-il effleurer la corde pour qu’elle sonne à $600\,\mathrm{Hz}$ ?

Solution

Solution de Exercice 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; puis $400$ et $600\,\mathrm{Hz}$ . Troisième mode : nœuds en $0$ , $0.20$ , $0.40$ , $0.60\,\mathrm{m}$ . Effleurer à $20\,\mathrm{cm}$ (ou $40\,\mathrm{cm}$ ) d’une extrémité : le nœud imposé là ne garde que $n = 3, 6, \dots$ , et la corde sonne à $600\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 5.6 ★★

Deux haut-parleurs distants de $2.0\,\mathrm{m}$ émettent $850\,\mathrm{Hz}$ en phase ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Situer les zones calmes sur le segment qui les joint, et dire ce qu’entend un auditeur qui marche le long de la médiatrice. Qu’est-ce qui change si l’un des deux est câblé en opposition de phase ?

Solution

Solution de Exercice 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . Sur le segment, à la distance $x$ du haut-parleur 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; silence pour $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, tous les $20\,\mathrm{cm}$ ; le milieu est fort. Sur la médiatrice, $\delta = 0$ : fort tout du long (seule joue la décroissance en $1/r$ ). En opposition de phase : le fort et le calme s’échangent — silence au milieu et tous les $20\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 5.7 ★★

Trous d’Young : $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , lumière de sodium $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Calculer l’interfrange ; puis pour une lumière bleue à $450\,\mathrm{nm}$ ; combien de franges brillantes tiennent dans $2.0\,\mathrm{cm}$ autour du centre avec la lampe à sodium ?

Solution

Solution de Exercice 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; dans le bleu, $3.4\,\mathrm{mm}$ . Dans $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : franges en $0$ , $\pm 4.4$ , $\pm 8.8$ mm — soit cinq.

Exercice 5.8 ★★

Deux ondes cohérentes d’intensités $I_0$ et $I_0$ interfèrent : donner $I_{\max}$ et $I_{\min}$ . Même question pour $I_0$ et $I_0/4$ . Définir le contraste $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ et le calculer dans les deux cas.

Solution

Solution de Exercice 5.8.

Intensités égales : $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , contraste $1$ . Pour $I_0$ et $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; contraste $2.0/2.5 = 0.8$ .

Exercice 5.9 ★★

Un tuyau de $0.50\,\mathrm{m}$ ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Donner ses trois premières fréquences de résonance s’il est fermé à une extrémité, puis s’il est ouvert aux deux. Lequel est la clarinette, lequel la flûte ?

Solution

Solution de Exercice 5.9.

Fermé–ouvert : $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ , $850\,\mathrm{Hz}$ (harmoniques impaires seulement : la clarinette). Ouvert–ouvert : $nc/2L = 340$ , $680$ , $1020\,\mathrm{Hz}$ (la flûte).

Exercice 5.10 ★★★

En eau profonde, la vitesse de phase d’une onde sinusoïdale vaut $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . La calculer pour $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ puis $100\,\mathrm{m}$ . Une tempête à $1000\,\mathrm{km}$ lève les deux : quelle houle atteint la côte la première, et avec quelle avance ? Pourquoi cela rend-il la mer « dispersive » ?

Solution

Solution de Exercice 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $100\,\mathrm{m}$ . La longue houle d’abord : $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ contre $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , deux jours plus tôt. La vitesse dépend de la longueur d’onde : une mer mêlée se trie par longueur d’onde en voyageant — c’est la dispersion.

Exercice 5.11 ★★★

Montrer qu’effleurer une corde en un point situé à $L/3$ d’une extrémité ne laisse subsister que les modes de fréquences $3f_1, 6f_1, \dots$ , et que pincer une corde en son milieu n’excite aucun mode pair. (Indication : que réclame de chaque $\sin(n\pi x/L)$ la présence, en ce point, d’un nœud ou d’un déplacement maximal ?)

Solution

Solution de Exercice 5.11.

Le mode $n$ a la forme $\sin(n\pi x/L)$ . Imposer un nœud en $x = L/3$ exige $\sin(n\pi/3) = 0$ , c’est-à-dire $n$ multiple de $3$ : fréquences $3f_1, 6f_1, \dots$ Pincer en $L/2$ donne à la corde un déplacement maximal en ce point, auquel le mode $n$ ne peut contribuer que si $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : les modes pairs, qui ont un nœud en $L/2$ , ne reçoivent rien.

Exercice 5.12 ★★★

Un récepteur radio placé à la distance $d$ devant un mur métallique reçoit l’onde directe d’un émetteur lointain et l’onde réfléchie par le mur, qui parcourt $2d$ de plus et gagne à la réflexion un déphasage supplémentaire de $\pi$ . À $f = 100\,\mathrm{MHz}$ , trouver les distances $d$ auxquelles le signal s’annule et celles où il est le plus fort. En quoi cela explique-t-il les « zones mortes » d’un autoradio dans un tunnel ?

Solution

Solution de Exercice 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . Déphasage $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destructif lorsqu’il vaut $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m ; constructif lorsque $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. Les parois et le plafond d’un tunnel réfléchissent l’onde : il s’établit un régime stationnaire, avec des zones mortes toutes les demi-longueurs d’onde sur le trajet de la voiture.

5.6 Problème : la corde de Melde et la guitare

Problème 5.1

Problème du week-end — une corde vibrante sur un banc, une poulie et quelques masses, puis une guitare : comment le décompte des demi-longueurs d’onde fixe chaque note du manche

Une corde de masse linéique $\mu$ est tendue horizontalement avec une tension $F$ entre un petit vibreur électromagnétique placé en $x = L$ (qui l’agite transversalement avec une amplitude minuscule à la fréquence $f$ ) et un point fixe en $x = 0$ ; les ondes transversales s’y propagent à $c = \sqrt{F/\mu}$ (établi dans le volume de deuxième année).

Partie I — Les ondes sur la corde.

Vérifier par analyse dimensionnelle que $\sqrt{F/\mu}$ est une vitesse.
Le vibreur envoie vers $x = 0$ l’onde $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Pourquoi le signe $+kx$ ? Donner $k$ en fonction de $f$ et de $c$ .
Pour $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ et $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , calculer $c$ , $\lambda$ et $k$ .
Deux points de la corde sont distants de $15\,\mathrm{cm}$ . Quel est le déphasage entre leurs mouvements pour cette onde progressive ?
Pour $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , quelle est la vitesse transversale maximale d’un point de la corde ? La comparer à $c$ .

Partie II — Réflexion et onde stationnaire. À l’extrémité fixe $x = 0$ , l’onde est réfléchie en changeant de signe : $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

Pourquoi l’onde réfléchie doit-elle porter $-kx$ dans sa phase, et pourquoi l’amplitude est-elle changée de signe (penser à ce que doit valoir le signal total en $x = 0$ ) ?
Montrer que $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
Situer les nœuds et les ventres ; donner la distance entre deux nœuds voisins.
L’amplitude propre du vibreur est si faible que $x = L$ est pratiquement un nœud. En déduire la condition sur $L$ pour obtenir une onde stationnaire de grande amplitude (résonance), et les fréquences permises $f_n$ .
Avec $L = 1.20\,\mathrm{m}$ et les données de la question 3, combien de demi-longueurs d’onde (« fuseaux ») apparaissent ? La corde est-elle à la résonance ?
En gardant $f = 50\,\mathrm{Hz}$ et $L$ , quelles tensions donnent des résonances à $3$ puis à $6$ fuseaux ?
Inversement, on compte les fuseaux pour mesurer $\mu$ : avec $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ fuseaux à $50\,\mathrm{Hz}$ sur $1.20\,\mathrm{m}$ , calculer $\mu$ .
La tension est fixée par une masse $m$ suspendue à une poulie, $F = mg$ , avec $m$ connue à $\pm1\,\mathrm{g}$ près sur $163\,\mathrm{g}$ et $L$ à $\pm2\,\mathrm{mm}$ près. Quelle mesure limite $\mu$ , et quelle est son incertitude relative ?

Partie III — La guitare. Six cordes de longueur vibrante $L = 650\,\mathrm{mm}$ sont accordées sur $82.4\,\mathrm{Hz}$ (mi grave), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ et $329.6\,\mathrm{Hz}$ (mi aigu).

Quel mode l’oreille prend-elle pour la hauteur ? Exprimer $c$ sur chaque corde à partir de $L$ et de la hauteur, et la calculer pour les deux cordes de mi.
La corde de mi grave a $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , celle de mi aigu $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calculer leurs tensions. Pourquoi les cordes graves sont-elles filées de métal plutôt que simplement tendues davantage ?
La musique occidentale divise l’octave en douze demi-tons égaux : chaque case multiplie la fréquence par $2^{1/12}$ . Montrer que la $n$ -ième case doit se trouver à la distance $L(1 - 2^{-n/12})$ du sillet, et calculer la position des cases $1$ , $5$ , $7$ et $12$ .
L’écart entre cases diminue vers l’aigu : de quel facteur d’une case à la suivante ?
Un capodastre serré sur la case $3$ raccourcit toutes les cordes : de quel facteur monte-t-il chaque hauteur, et quelle est la nouvelle longueur vibrante ?
Effleurer (sans appuyer) la corde de mi grave au-dessus de la case $12$ , puis au-dessus de la case $7$ (en $L/3$ ), donne deux « harmoniques » : lesquelles fréquences, et quels modes survivent ?
Pincer près du chevalet sonne plus clair que pincer au-dessus de la rosace. Expliquer à l’aide de la forme des modes.
Deux cordes sont accordées à la quinte ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Jouées ensemble, un auditeur entend un faible battement à $2\,\mathrm{Hz}$ entre la troisième harmonique de la corde grave et la deuxième harmonique de l’aiguë : quel est le rapport réel $f_2/f_1$ , si $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

Partie IV — Accorder au diapason.

La corde de la ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) est accordée sur le diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ . Quelle harmonique de la corde bat contre le diapason ? Si l’on entend $3\,$ battements par seconde, quelles sont les deux fréquences possibles de la corde ?
On tourne la cheville, la tension monte légèrement et les battements s’accélèrent : laquelle des deux était-ce, et de quelle quantité relative la tension doit-elle changer pour atteindre la bonne hauteur ?
Montrer qu’une variation relative $\dd F/F$ de la tension change la fréquence de $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
Récapituler l’enchaînement des résultats : comment la longueur, la tension et la masse de la corde fixent son fondamental, comment les cases fixent la gamme, et comment les battements l’accordent — et nommer l’unique relation qui est derrière tout cela.

Solution

Solution de Problème 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : le carré d’une vitesse.

2. Une onde qui va vers $-x$ dépend de $t + x/c$ , c’est-à-dire de $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cinquante fois moins que $c$ : les points de la corde se déplacent lentement tandis que la forme file.

6. Elle va vers $+x$ : sa phase est $\omega t - kx$ . À l’extrémité fixe, le déplacement total est nul à tout instant : $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , donc $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. Nœuds : $\sin kx = 0$ , $x = n\lambda/2$ ; ventres $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; nœuds voisins distants de $\lambda/2$ .

9. $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$ , c’est-à-dire $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : quatre fuseaux, nombre entier — il y a résonance.

11. $3$ fuseaux : $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . $6$ fuseaux : $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; c’est la masse qui limite.

14. Le fondamental. $c = 2Lf_1$ : mi grave $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mi aigu $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : mi grave $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; mi aigu $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tensions comparables. Abaisser $f$ d’un facteur $4$ à $L$ et $\mu$ fixés demanderait $16$ fois moins de tension : une corde molle et bourdonnante. Le filage augmente $\mu$ à la place.

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ et $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$ , distance au sillet $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : case 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , case 5 $163\,\mathrm{mm}$ , case 7 $216\,\mathrm{mm}$ , case 12 $325\,\mathrm{mm}$ .

17. Chaque écart vaut $2^{-1/12} = 0.944$ fois le précédent.

18. Facteur $2^{3/12} = 1.19$ (trois demi-tons) ; longueur $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. En effleurant en $L/2$ : modes pairs seulement, hauteur $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; en $L/3$ : multiples de $3$ , hauteur $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. Près d’une extrémité, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ croît avec $n$ : les modes élevés sont relativement plus excités — son clair. Au-dessus de la rosace (près du milieu), les modes pairs sont faibles et le fondamental domine — son rond.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ bat à $2\,\mathrm{Hz}$ avec $2f_2$ : $f_2 = 166$ ou $164\,\mathrm{Hz}$ , rapport $1.509$ ou $1.491$ (la quinte tempérée vaut $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. La quatrième harmonique, $4f$ . Trois battements : $4f = 437$ ou $443\,\mathrm{Hz}$ , donc $f = 109.25$ ou $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. Les battements s’accélèrent quand on tend, donc la corde était trop haute : $110.75\,\mathrm{Hz}$ . Elle doit baisser de $0.75/110.75 = 0.68\%$ , c’est-à-dire la tension de $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , donc $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{const}$ et $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : la longueur fixe $\lambda_1 = 2L$ , la tension et la masse fixent $c$ , les cases multiplient $L$ par $2^{-n/12}$ , les battements révèlent $f - f_{\text{réf}}$ . Derrière tout cela, une seule relation : $\lambda f = c$ , avec la condition d’onde stationnaire $L = n\lambda/2$ .

Termes définis dans ce chapitre

Voir les 393 termes du glossaire