Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

9Filtres et fonctions de transfert

Dans l’enceinte d’un haut-parleur, une bobine et un condensateur décident, sans le moindre transistor, que les graves iront au grand cône et les aigus au petit dôme. Le bouton « AC » d’un oscilloscope supprime une composante continue qui dérive lentement et garde l’ondulation qui la surmonte. Une alimentation transforme un secteur redressé et pulsé en une tension continue avec un seul condensateur. Ces trois objets sont des filtres : des circuits linéaires qui traitent chaque fréquence différemment. Comme tout signal périodique est une somme de sinusoïdes, savoir ce qu’un circuit fait de chaque sinusoïde — sa fonction de transfert — c’est savoir ce qu’il fait de tout. Ce chapitre définit les fonctions de transfert, trace leurs diagrammes de Bode pour les circuits du premier et du second ordre des chapitres précédents, et s’en sert pour prévoir ce que devient un signal carré à la sortie d’un filtre.

9.1 Fonction de transfert et diagramme de Bode

Définition 9.1 (Fonction de transfert)

Un circuit linéaire ayant une tension d’entrée $\underline U_e$ et une tension de sortie $\underline U_s$ (prise à vide) possède la fonction de transfert

\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e}, \qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,

avec le gain $G$ (rapport des amplitudes) et le déphasage $\varphi$ de la sortie par rapport à l’entrée. Un filtre est un tel circuit utilisé pour sa dépendance en fréquence : une sinusoïde d’amplitude $E$ à la pulsation $\omega$ ressort en $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$ .

Définition 9.2 (Décibels ; diagramme de Bode)

Le gain en décibels vaut $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$ : un facteur $10$ fait $20\,\mathrm{dB}$ , un facteur $2$ fait $6\,\mathrm{dB}$ , et $1/\sqrt2$ fait $-3\,\mathrm{dB}$ . Le diagramme de Bode porte $G_{\mathrm{dB}}$ et $\varphi$ en fonction de $\log_{10}\omega$ (ou de $f$ ). La fréquence de coupure est celle où $G$ tombe à $G_{\max}/\sqrt2$ ( $-3\,\mathrm{dB}$ sous le maximum) ; la bande passante est l’ensemble des fréquences situées à moins de $3\,\mathrm{dB}$ du maximum. Une décade est un facteur $10$ en fréquence, une octave un facteur $2$ .

Méthode 9.3 (Reconnaître un filtre d’un coup d’œil)

Avant tout calcul, regarder les limites : à très basse fréquence un condensateur est un circuit ouvert et une bobine un fil ; à très haute fréquence, l’inverse. Remplacer l’un et l’autre et lire si la sortie vaut l’entrée (elle passe) ou zéro (elle est bloquée). Passe le bas, bloque le haut : passe-bas ; l’inverse : passe-haut ; bloque les deux : passe-bande ; laisse passer les deux : coupe-bande. Ensuite seulement, calculer $\underline H$ par un diviseur de tension.

9.2 Filtres du premier ordre

Proposition 9.4 (Passe-bas du premier ordre)

Le diviseur RC de sortie prise aux bornes de $C$ (ou le diviseur RL de sortie prise aux bornes de $R$ ) a pour caractéristiques

\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{ou } \frac{R}{L}\Big), \qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .

Asymptotes de Bode : $G_{\mathrm{dB}} = 0$ pour $\omega \ll \omega_c$ , et une droite descendant de $20\,\mathrm{dB}$ par décade pour $\omega \gg \omega_c$ , les deux se coupant en $\omega_c$ où la courbe vraie est à $-3\,\mathrm{dB}$ et $\varphi = -45^\circ$ . Pour $\omega \gg \omega_c$ , $\underline H \approx \omega_c/(j\omega)$ : la sortie est proportionnelle à l’intégrale de l’entrée — le filtre y est un intégrateur.

Démonstration. Diviseur de tension :

\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .

Bien au-dessus de la coupure, $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$ , et diviser une amplitude complexe par $j\omega$ , c’est intégrer (Proposition 8.3) : $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$ . $20\log(\omega_c/\omega)$ perd $20\,\mathrm{dB}$ chaque fois que $\omega$ est multipliée par dix. ∎

Proposition 9.5 (Passe-haut du premier ordre)

Le diviseur CR de sortie prise aux bornes de $R$ (ou LR de sortie prise aux bornes de $L$ ) a pour caractéristiques

\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},

qui montent de $20\,\mathrm{dB}$ par décade sous $\omega_c$ , restent plates au-dessus, et valent $-3\,\mathrm{dB}$ et $+45^\circ$ en $\omega_c$ . Pour $\omega \ll \omega_c$ , $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ : la sortie est proportionnelle à la dérivée de l’entrée.

Démonstration. $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ ; multiplier par $j\omega$ , c’est dériver. ∎

Diagrammes de Bode du passe-bas (en bleu) et du passe-haut (en rouge) du premier ordre : gain en décibels avec ses asymptotes (en pointillés) qui se coupent à la coupure, où le gain vrai vaut -3\, dB, et phase, qui traverse 45 à la coupure. — Diagrammes de Bode du passe-bas (en bleu) et du passe-haut (en rouge) du premier ordre : gain en décibels avec ses asymptotes (en pointillés) qui se coupent à la coupure, où le gain vrai vaut $-3\,\mathrm{dB}$ , et phase, qui traverse $\mp45^\circ$ à la coupure.

Exemple 9.6 (Couplage alternatif)

L’entrée « AC » d’un oscilloscope est un passe-haut de $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$ : un signal à $1\,\mathrm{kHz}$ porté par une composante continue de $5\,\mathrm{V}$ passe avec $-0.0002\,\mathrm{dB}$ et sans sa composante continue. Mais un signal carré à $50\,\mathrm{Hz}$ en ressort visiblement déformé — ses plateaux s’affaissent — parce qu’à $50\,\mathrm{Hz}$ le filtre n’est qu’une décade au-dessus de sa coupure et que les harmoniques basses du signal y sont déphasées (Exercice 9.12).

9.3 Filtres du second ordre

Proposition 9.7 (Le RLC série vu comme trois filtres)

Avec $x = \omega/\omega_0$ , $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ et $Q = \sqrt{L/C}/R$ , le RLC série alimenté par $\underline U_e$ donne, selon l’endroit où l’on prend la sortie :

\begin{align*} \text{aux bornes de } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\ \text{aux bornes de } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\ \text{aux bornes de } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}: \end{align*}

un passe-bas, un passe-bande et un passe-haut du second ordre. Loin de $\omega_0$ , le passe-bas et le passe-haut tombent de $40\,\mathrm{dB}$ par décade, le passe-bande de $20\,\mathrm{dB}$ par décade de chaque côté ; le passe-bande a pour maximum $1$ en $\omega_0$ et pour bande passante $\Delta\omega = \omega_0/Q$ , celle du Théorème 8.9.

Démonstration. Diviseurs de tension avec l’impédance totale $R + j(L\omega - 1/C\omega)$ ; on multiplie numérateur et dénominateur par $jC\omega$ et on utilise $LC\omega_0^2 = 1$ , $RC\omega_0 = 1/Q$ . Le passe-bande n’est autre que la résonance en intensité du chapitre précédent, lue comme une tension aux bornes de $R$ . ∎

Proposition 9.8 (Passe-bas du second ordre : le rôle de $Q$ )

Pour le passe-bas, $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ : pour $Q > 1/\sqrt2$ le gain dépasse $1$ au voisinage de $\omega_0$ (résonance, de crête $\approx Q$ pour $Q$ grand) ; pour $Q = 1/\sqrt2$ la réponse est « la plus plate possible », $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$ , exactement $-3\,\mathrm{dB}$ en $\omega_0$ ; pour un $Q$ plus petit elle s’affaisse trop tôt. La phase va de $0$ à $-\pi$ , en passant par $-\pi/2$ en $\omega_0$ .

Démonstration. $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$ : le terme du milieu s’annule pour $Q^2 = \tfrac12$ , est négatif (crête) au-dessus, positif (affaissement) au-dessous ; le comportement au voisinage de $x = 1$ a été analysé à la Proposition 8.10. ∎

Filtres du second ordre issus du RLC série. À gauche, le passe-bas (sortie aux bornes de C) pour trois valeurs de Q : une crête de résonance, la réponse la plus plate, ou un affaissement précoce, toutes rejoignant l’asymptote à -40\, dB par décade (en pointillés). À droite, le passe-bande (sortie aux bornes de R) : une crête de largeur _0/Q qui tombe de 20\, dB par décade de chaque côté. — Filtres du second ordre issus du RLC série. À gauche, le passe-bas (sortie aux bornes de $C$ ) pour trois valeurs de $Q$ : une crête de résonance, la réponse la plus plate, ou un affaissement précoce, toutes rejoignant l’asymptote à $-40\,\mathrm{dB}$ par décade (en pointillés). À droite, le passe-bande (sortie aux bornes de $R$ ) : une crête de largeur $\omega_0/Q$ qui tombe de $20\,\mathrm{dB}$ par décade de chaque côté.

Exemple 9.9 (Un filtre séparateur)

Le haut-parleur de graves et celui d’aigus d’une enceinte, de $8\,\Omega$ chacun, se partagent l’amplificateur à travers un passe-bas (une bobine en série) et un passe-haut (un condensateur en série) coupés à $2\,\mathrm{kHz}$ : $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$ , $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ . À $2\,\mathrm{kHz}$ , chaque haut-parleur reçoit $-3\,\mathrm{dB}$ , soit la moitié de la puissance, et $G_L^2 + G_H^2 = 1$ à toute fréquence : la puissance est partagée, non perdue. Le problème du week-end en dessine une version plus raide.

9.4 Filtrer un signal périodique

Théorème 9.10 (Décomposition de Fourier)

Un signal périodique de période $T = 2\pi/\omega$ (raisonnablement régulier) est la somme d’une constante et de sinusoïdes aux multiples de $\omega$ :

s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),

où $c_0 = \langle s\rangle$ est sa valeur moyenne ; le terme $n = 1$ est le fondamental, les autres les harmoniques, et les amplitudes $c_n$ forment le spectre. Un signal carré d’amplitude $\pm E$ a $c_n = 4E/(n\pi)$ pour $n$ impair et $0$ pour $n$ pair ; un signal triangulaire d’amplitude $\pm E$ a $c_n = 8E/(n\pi)^2$ pour $n$ impair.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 9.11 (Ce qu’il faut en retenir)

Le théorème et le calcul des $c_n$ relèvent du cours de mathématiques de deuxième année. Ici, c’est un outil : les angles vifs réclament beaucoup d’harmoniques (celles du signal carré ne décroissent qu’en $1/n$ ), les signaux lisses en réclament peu (celles du triangle décroissent en $1/n^2$ ). Le contenu harmonique d’un signal est ce dont est fait le timbre d’un instrument, et ce sur quoi agit un filtre.

Proposition 9.12 (Filtrage linéaire d’un signal périodique)

À travers un filtre de fonction de transfert $\underline H$ , le signal du théorème devient

s_{\text{sortie}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):

chaque harmonique est multipliée par le gain et décalée par la phase à sa propre fréquence, puis on additionne. D’où :

un passe-bas de $\omega_c \ll \omega$ ne garde essentiellement que $c_0$ : il moyenne (lissage, suppression d’ondulation), et transforme un signal carré en un petit triangle (intégration) ;
un passe-haut de $\omega_c \ll \omega$ retire $c_0$ et laisse passer le reste (couplage alternatif) ; avec $\omega_c \gg \omega$ , il dérive (pics aux fronts d’un carré) ;
un passe-bande accordé sur $n\omega$ avec $Q \gg 1$ extrait la $n$ -ième harmonique seule : une sinusoïde tirée d’un carré.

Démonstration. La superposition dans un circuit linéaire (Théorème 6.18) appliquée à la somme des entrées sinusoïdales, chacune traitée par la Définition 9.1. ∎

Un signal carré à travers un passe-bas du premier ordre. À gauche : son spectre (harmoniques impaires en 1/n) et le spectre après un filtre coupé au fondamental. À droite : le signal temporel pour _c = (rouge, arcs exponentiels) et _c = 10 (orange, coins seulement arrondis) ; avec _c, la sortie serait un petit triangle autour de la valeur moyenne. — Un signal carré à travers un passe-bas du premier ordre. À gauche : son spectre (harmoniques impaires en $1/n$ ) et le spectre après un filtre coupé au fondamental. À droite : le signal temporel pour $\omega_c = \omega$ (rouge, arcs exponentiels) et $\omega_c = 10\omega$ (orange, coins seulement arrondis) ; avec $\omega_c \ll \omega$ , la sortie serait un petit triangle autour de la valeur moyenne.

Exemple 9.13 (Quelques nombres)

Un signal carré à $1\,\mathrm{kHz}$ d’amplitude $5\,\mathrm{V}$ : harmoniques de $6.37\,\mathrm{V}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ à $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ à $5\,\mathrm{kHz}$ . À travers un passe-bas RC coupé à $10\,\mathrm{Hz}$ ( $\tau = 16\,\mathrm{ms}$ ), la sortie est un triangle d’amplitude $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ autour de zéro ; à travers un passe-bande accordé sur $3\,\mathrm{kHz}$ avec $Q = 20$ , une sinusoïde de $2.1\,\mathrm{V}$ à $3\,\mathrm{kHz}$ avec seulement quelques pour cent des voisines (Exercice 9.8).

9.5 Mettre des filtres en cascade

Proposition 9.14 (Cascade et effet de charge)

Deux filtres en cascade ont $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — les gains se multiplient, les décibels et les phases s’ajoutent — à condition que le second ne charge pas le premier, c’est-à-dire qu’il ne tire de sa sortie qu’un courant négligeable. Sinon il faut réécrire les relations de division pour le réseau complet. Un suiveur à amplificateur opérationnel (Chapitre 10) intercalé entre les étages rend la règle du produit exacte.

Démonstration. $\underline H_1$ a été définie à sortie ouverte ; si l’impédance d’entrée de l’étage suivant est bien plus grande que l’impédance de sortie du premier (sa résistance de Thévenin), la tension de sortie est inchangée et le second étage voit exactement $\underline U_{s1}$ à son entrée. ∎

Exemple 9.15 (Deux étages RC)

Deux passe-bas RC identiques mis bout à bout ne donnent pas $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$ : le $R$ du second étage charge le premier. Le résultat exact est $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ , soit $-9.5\,\mathrm{dB}$ en $\omega_c$ au lieu des $-6\,\mathrm{dB}$ que promet la règle du produit, même si les deux finissent par atteindre la même pente de $-40\,\mathrm{dB}$ par décade.

9.6 Exercices

Exercice 9.1 ★

Convertir en décibels les gains $0.5$ , $10$ , $1/\sqrt2$ , $100$ . Convertir en rapports $-40\,\mathrm{dB}$ et $+6\,\mathrm{dB}$ . Deux filtres en cascade (sans effet de charge) donnent $-6\,\mathrm{dB}$ et $-20\,\mathrm{dB}$ à une certaine fréquence : quel gain total ?

Solution

Solution de Exercice 9.1.

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$ ; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$ ; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$ ; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$ . $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$ ; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$ . Cascade : $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$ , soit un rapport $0.05$ .

Exercice 9.2 ★

Passe-bas RC, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 16\,\mathrm{nF}$ : fréquence de coupure, et gain en décibels à $100\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ et $100\,\mathrm{kHz}$ .

Solution

Solution de Exercice 9.2.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Gains $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$ : $100\,\mathrm{Hz}$ : $-0.04\,\mathrm{dB}$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; $10\,\mathrm{kHz}$ : $-20\,\mathrm{dB}$ ; $100\,\mathrm{kHz}$ : $-40\,\mathrm{dB}$ .

Exercice 9.3 ★

Sans calcul, donner la nature (passe-bas, passe-haut, passe-bande) de : (a) $R$ en série, $C$ en sortie ; (b) $C$ en série, $R$ en sortie ; (c) $L$ en série, $C$ en sortie ; (d) $L$ et $C$ en série, $R$ en sortie.

Solution

Solution de Exercice 9.3.

(a) passe-bas ( $C$ court-circuite la sortie à haute $f$ ) ; (b) passe-haut ( $C$ s’ouvre à basse $f$ ) ; (c) passe-bas du second ordre ( $L$ s’ouvre à haute $f$ , $C$ court-circuite) ; (d) passe-bande ( $C$ bloque les basses $f$ , $L$ les hautes $f$ ).

Exercice 9.4 ★

Un signal carré à $1.0\,\mathrm{kHz}$ d’amplitude $5.0\,\mathrm{V}$ : donner les fréquences et les amplitudes de ses trois premières harmoniques non nulles. Pourquoi n’a-t-il aucune harmonique paire ?

Solution

Solution de Exercice 9.4.

$4E/n\pi$ : $6.37\,\mathrm{V}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ à $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ à $5\,\mathrm{kHz}$ . Le signal carré est antisymétrique par décalage d’une demi-période ( $s(t + T/2) = -s(t)$ ), ce que les harmoniques paires ne sont pas.

Exercice 9.5 ★★

Un passe-haut CR coupé à $10\,\mathrm{kHz}$ reçoit un signal triangulaire d’amplitude $1.0\,\mathrm{V}$ à $100\,\mathrm{Hz}$ . Expliquer pourquoi il se comporte en dérivateur et donner la forme et l’amplitude de la sortie.

Solution

Solution de Exercice 9.5.

À $100\,\mathrm{Hz}$ et à ses harmoniques utiles, $\omega \ll \omega_c$ : $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ , une dérivée divisée par $\omega_c$ . La pente du triangle vaut $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ , donc la sortie est un signal carré d’amplitude $400/(2\pi \times 10^4) = 6.4\,\mathrm{mV}$ .

Exercice 9.6 ★★

Un passe-bas RC coupé à $10\,\mathrm{Hz}$ reçoit un signal carré à $1.0\,\mathrm{kHz}$ d’amplitude $\pm1.0\,\mathrm{V}$ . Montrer que la sortie est un triangle et calculer son amplitude.

Solution

Solution de Exercice 9.6.

Comme $\omega \gg \omega_c$ : $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$ , avec $\tau = 1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$ . L’intégrale de $\pm E$ est un triangle qui monte de $ET/2$ par demi-période : amplitude crête à crête $ET/2\tau$ , donc amplitude $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ autour de zéro.

Exercice 9.7 ★★

Un passe-bas RLC série avec $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ : donner $f_0$ ; trouver $R$ pour la réponse la plus plate ; donner le gain en décibels en $f_0$ et en $10f_0$ .

Solution

Solution de Exercice 9.7.

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ . $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$ : $R = \sqrt2 \times 316 = 447\,\Omega$ . En $f_0$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; en $10f_0$ : $1/\sqrt{1 + 10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$ .

Exercice 9.8 ★★

Un passe-bande ( $Q = 20$ ) accordé sur $3.0\,\mathrm{kHz}$ reçoit le signal carré à $1\,\mathrm{kHz}$ de l’Exercice 9.4. Calculer le gain à $1$ , $3$ et $5\,\mathrm{kHz}$ , ainsi que les amplitudes de sortie de ces harmoniques ; décrire la sortie.

Solution

Solution de Exercice 9.8.

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ avec $x = f/3$ : à $1\,\mathrm{kHz}$ , $x = 1/3$ , $Q(x - 1/x) = -53$ , $G = 0.019$ ; à $3\,\mathrm{kHz}$ , $G = 1$ ; à $5\,\mathrm{kHz}$ , $x = 5/3$ , $21$ , $G = 0.047$ . Sortie : $2.1\,\mathrm{V}$ à $3\,\mathrm{kHz}$ , avec $0.12\,\mathrm{V}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ et $0.06\,\mathrm{V}$ à $5\,\mathrm{kHz}$ — une sinusoïde à $3\,\mathrm{kHz}$ presque pure.

Exercice 9.9 ★★

Deux passe-bas RC identiques ( $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ ) en cascade. Calculer la fonction de transfert exacte (le second charge le premier) et le gain en $\omega_c = 1/RC$ ; comparer au produit des deux gains séparés.

Solution

Solution de Exercice 9.9.

Aux nœuds : avec $a = jRC\omega$ , le premier condensateur voit $R$ en amont et $R + 1/jC\omega$ en aval : $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$ , soit $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ . En $\omega_c$ : $1/3j$ , $G = 1/3$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ ; le produit des deux gains séparés vaudrait $1/2$ , soit $-6\,\mathrm{dB}$ . $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$ .

Exercice 9.10 ★★★

Esquisser les asymptotes de Bode de $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/ (1 + j\omega/\omega_2)$ avec $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et $\omega_2 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : pentes, points de cassure, plateau en décibels à haute fréquence, et phase en $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ .

Solution

Solution de Exercice 9.10.

Sous $\omega_1$ : $0\,\mathrm{dB}$ ; entre $\omega_1$ et $\omega_2$ : montée à $20\,\mathrm{dB}$ par décade ; au-dessus de $\omega_2$ : plateau à $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$ . Phase $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$ : en $\omega = 10^3$ , $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ = 78^\circ$ .

Exercice 9.11 ★★★

Une sinusoïde redressée en double alternance (secteur à $50\,\mathrm{Hz}$ ) a pour valeur moyenne $2E/\pi$ et pour première harmonique, à $100\,\mathrm{Hz}$ , une amplitude $4E/3\pi$ . Un passe-bas RC doit réduire l’ondulation à $100\,\mathrm{Hz}$ sous $1\%$ de la moyenne : trouver la fréquence de coupure et la constante de temps nécessaires. Pourquoi un condensateur seul (avec la résistance de charge) est-il le choix usuel ?

Solution

Solution de Exercice 9.11.

Bien au-dessus de la coupure, $G \approx f_c/f$ ; le taux d’ondulation après filtrage vaut

\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,

d’où $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ et $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$ . La charge elle-même joue le rôle de $R$ : un condensateur à ses bornes ne coûte ni chute de tension ni puissance, là où une résistance en série gaspillerait les deux.

Exercice 9.12 ★★★

Le couplage alternatif d’un oscilloscope est un passe-haut avec $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ et $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$ . Calculer $f_c$ . On applique un signal carré : montrer que chaque plateau devient une exponentielle décroissante et calculer l’affaissement (fraction perdue sur une demi-période) à $50\,\mathrm{Hz}$ puis à $1\,\mathrm{kHz}$ .

Solution

Solution de Exercice 9.12.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) = 10\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$ . Pendant un plateau, le condensateur se charge à travers $R$ : la sortie décroît en $\eu^{-t/\tau}$ depuis chaque front. Affaissement sur $T/2$ : $1 - \eu^{-T/2\tau}$ ; à $50\,\mathrm{Hz}$ ( $T/2 = 10\,\mathrm{ms}$ ) : $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$ ; à $1\,\mathrm{kHz}$ ( $T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ) : $3\%$ .

À l’intérieur d’une enceinte à deux voies : les bobines et les condensateurs du filtre séparateur sont les passe-bas et passe-haut qui envoient les graves au haut-parleur de graves et les aigus au haut-parleur d’aigus.

9.7 Problème : le filtre séparateur d’une enceinte

Problème 9.1

Problème du week-end — un haut-parleur de graves, un haut-parleur d’aigus, une bobine et un condensateur : comment un filtre séparateur passif partage la musique, pourquoi le plus simple laisse fuir les graves vers l’aigu, et ce qu’une vraie bobine mobile impose au dimensionnement

Le haut-parleur de graves et celui d’aigus sont d’abord modélisés par de pures résistances $R = 8.0\,\Omega$ . L’amplificateur est une source de tension idéale $\underline U_e$ . La fréquence de coupure est $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .

Partie I — Filtre séparateur du premier ordre. Le haut-parleur de graves est alimenté à travers une bobine $L$ en série, celui d’aigus à travers un condensateur $C$ en série.

Définir la fonction de transfert de chaque branche (tension aux bornes du haut-parleur sur $\underline U_e$ ) et le gain en décibels.
Montrer que la branche des graves est un passe-bas du premier ordre et donner sa coupure $\omega_c$ en fonction de $R$ et $L$ .
Calculer $L$ pour $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
Montrer que la branche des aigus est un passe-haut du premier ordre ; donner $\omega_c$ et calculer $C$ .
Donner le gain en décibels de chaque haut-parleur en $f_c$ , à $200\,\mathrm{Hz}$ et à $20\,\mathrm{kHz}$ .
Montrer que $G_L^2 + G_H^2 = 1$ à toute fréquence. Qu’est-ce que cela signifie pour la puissance tirée de l’amplificateur ?
Donner la phase de chaque branche en $f_c$ ; de combien les tensions des deux haut-parleurs y diffèrent-elles en phase ?
Quelles sont les pentes des deux réponses, en dB par octave, loin de $f_c$ ?

Partie II — Filtre séparateur du second ordre. Le haut-parleur de graves est maintenant alimenté à travers une bobine $L$ en série, avec un condensateur $C$ en dérivation à ses bornes.

Montrer que $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
Identifier $\omega_0$ et $Q$ en fonction de $L$ , $C$ , $R$ .
Pour $Q = 1/\sqrt2$ , montrer que $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ et que le gain vaut $-3\,\mathrm{dB}$ en $\omega_0$ .
Calculer $L$ et $C$ pour $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ et $Q = 1/\sqrt2$ .
Calculer le gain en décibels à $4\,\mathrm{kHz}$ et $8\,\mathrm{kHz}$ ; en déduire la pente en dB par octave.
La branche des aigus échange les rôles de $L$ et de $C$ ( $C$ en série, $L$ en dérivation) : écrire sa fonction de transfert sans nouveau calcul.
Calculer la phase de chaque branche en $f_0$ . Que faut-il faire du câblage du haut-parleur d’aigus, et pourquoi ?

Partie III — La musique à travers le filtre.

Une note de violoncelle à $220\,\mathrm{Hz}$ porte des harmoniques jusqu’au rang 20. Lesquelles partent surtout vers l’aigu, avec le filtre du premier ordre ?
Qu’advient-il de la 9^e harmonique ?
On utilise un signal carré à $1.0\,\mathrm{kHz}$ comme signal d’essai. Avec le filtre du premier ordre, donner le gain de chaque branche pour son fondamental, sa troisième et sa cinquième harmonique.
L’amplificateur développe accidentellement une composante continue de $1\,\mathrm{V}$ . Quel haut-parleur est protégé, et par quoi ?
Avec le filtre du premier ordre, quelle fraction de la tension et de la puissance d’un son à $500\,\mathrm{Hz}$ atteint l’aigu ? Même question avec celui du second ordre. Pourquoi cela importe-t-il pour la survie du haut-parleur d’aigus ?

Partie IV — Une vraie bobine mobile. Le haut-parleur de graves est en réalité $R = 8.0\,\Omega$ en série avec l’inductance de sa bobine mobile $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$ .

Calculer le module de l’impédance du haut-parleur de graves à $2\,\mathrm{kHz}$ et à $8\,\mathrm{kHz}$ .
Recalculer le gain du passe-bas du premier ordre à $2\,\mathrm{kHz}$ et $8\,\mathrm{kHz}$ avec cette impédance, et comparer aux $-3\,\mathrm{dB}$ et $-12.3\,\mathrm{dB}$ idéaux. Qu’est devenue la pente ?
Un « réseau de Zobel » — $R_z = R$ en série avec $C_z = L_{vc}/R^2$ — est branché en dérivation aux bornes du haut-parleur de graves. Montrer que l’ensemble se comporte comme une résistance pure $R$ à toute fréquence, et calculer $C_z$ .
L’amplificateur délivre $50\,\mathrm{W}$ dans $8\,\Omega$ : quelle tension efficace cela fait-il, et quelle puissance chaque haut-parleur reçoit-il en $f_c$ (filtre du premier ordre) ? À $500\,\mathrm{Hz}$ , combien parvient à l’aigu ?
Récapituler les compromis : pente, phase, nombre de composants, protection du haut-parleur d’aigus, et nécessité d’un réseau de Zobel.

Solution

Solution de Problème 9.1.

1. $\underline H = \underline U_{\text{HP}}/\underline U_e$ ; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$ .

2. $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$ , $\omega_c = R/L$ .

3. $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$ .

4. $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ , $\omega_c = 1/RC$ ; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

5. En $f_c$ : $-3\,\mathrm{dB}$ chacun. À $200\,\mathrm{Hz}$ ( $x = 0.1$ ) : graves $-0.04\,\mathrm{dB}$ , aigus $-20\,\mathrm{dB}$ . À $20\,\mathrm{kHz}$ ( $x = 10$ ) : graves $-20\,\mathrm{dB}$ , aigus $-0.04\,\mathrm{dB}$ .

6. $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$ : à charges égales, les deux puissances totalisent celle qu’absorberait un unique haut-parleur de $8\,\Omega$ — partagée, non perdue.

7. $-45^\circ$ (graves) et $+45^\circ$ (aigus) : $90^\circ$ d’écart ; en $f_c$ , les deux membranes ne bougent pas ensemble.

8. $\pm 6\,\mathrm{dB}$ par octave ( $20\,\mathrm{dB}$ par décade).

9. Diviseur entre $jL\omega$ et $R \parallel 1/jC\omega = R/(1 + jRC\omega)$ : $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .

10. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; $L\omega/R = x/Q$ donne $Q = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ .

11. $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ pour $Q^2 = \tfrac12$ ; en $x = 1$ , $G = 1/\sqrt2$ .

12. $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$ ; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

13. $x = 2$ : $1/\sqrt{17}$ , $-12.3\,\mathrm{dB}$ ; $x = 4$ : $1/\sqrt{257}$ , $-24.1\,\mathrm{dB}$ : soit $12\,\mathrm{dB}$ par octave.

14. Échanger $L$ et $C$ échange $x \leftrightarrow 1/x$ (et $Q$ reste) : $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$ .

15. En $x = 1$ : $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ( $-90^\circ$ ), $\underline H_H = jQ$ ( $+90^\circ$ ) : les deux haut-parleurs sont en opposition de phase à la coupure et s’annuleraient acoustiquement ; l’aigu est donc câblé en inversant sa polarité.

16. Les harmoniques au-dessus de $2\,\mathrm{kHz}$ : $n \geq 10$ ( $2.2\,\mathrm{kHz}$ et au-delà) partent surtout vers l’aigu.

17. $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$ : partagée à parts égales, $-3\,\mathrm{dB}$ de chaque côté.

18. Graves ( $G_L$ ) : $x = 0.5$ : $0.89$ ; $x = 1.5$ : $0.55$ ; $x = 2.5$ : $0.37$ . Aigus ( $G_H$ ) : $0.45$ , $0.83$ , $0.93$ .

19. L’aigu : son condensateur série bloque le continu. Le haut-parleur de graves encaisse la composante continue ( $1\,\mathrm{V}$ sur $8\,\Omega$ : $125\,\mathrm{mA}$ , $0.125\,\mathrm{W}$ de chaleur et une membrane décentrée).

20. Premier ordre, $x = 0.25$ : $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ( $-12\,\mathrm{dB}$ ), soit $6\%$ de la puissance. Second ordre : $0.0625/\sqrt{1 + 0.0039} = 0.06$ ( $-24\,\mathrm{dB}$ ), $0.4\%$ . Un haut-parleur d’aigus donné pour quelques watts reçoit $6\%$ d’une note grave jouée fort avec le filtre du premier ordre — il peut brûler.

21. $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$ : à $2\,\mathrm{kHz}$ , $8 + 6.3j$ , $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$ ; à $8\,\mathrm{kHz}$ , $8 + 25.1j$ , $26.3\,\Omega$ .

22. $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$ : à $2\,\mathrm{kHz}$ , $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ( $-4.2\,\mathrm{dB}$ ) ; à $8\,\mathrm{kHz}$ , $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ( $-6.9\,\mathrm{dB}$ ) au lieu de $-12.3\,\mathrm{dB}$ : l’impédance croissante de la bobine mobile contrarie la bobine série, et la pente s’aplatit à quelques dB par octave.

23. Admittances : $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$ ; avec $C_z = L_{vc}/R^2$ , le second terme vaut $jL_{vc}\omega/[R(R + jL_{vc}\omega)]$ , et la somme fait $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)] = 1/R$ . $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

24. $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ efficaces. En $f_c$ , chaque haut-parleur en reçoit la moitié : $25\,\mathrm{W}$ . À $500\,\mathrm{Hz}$ , l’aigu reçoit $6\%$ : $3\,\mathrm{W}$ .

25. Premier ordre : deux composants, puissances complémentaires, pentes douces de $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ , $90^\circ$ entre les haut-parleurs, et des graves qui fuient vers l’aigu. Second ordre : quatre composants, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ , $180^\circ$ à la coupure (il faut inverser l’aigu), protection bien meilleure. Dans les deux cas, l’inductance du haut-parleur de graves doit être domptée par un réseau de Zobel pour que le dimensionnement tienne.

Termes définis dans ce chapitre

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