Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

4Instruments d’optique et œil

Du dernier rang d’une salle de concert, une paire de jumelles ramène le visage de la chanteuse à portée de bras ; un microscope transforme une goutte d’eau d’étang en ménagerie ; un téléphone épais comme un doigt photographie la Voie lactée. Chacun de ces instruments n’est qu’un petit nombre de lentilles minces disposées dans un seul but : présenter à l’œil, ou à un capteur, une image plus grande, plus lumineuse ou plus fine que celle que l’œil formerait seul. Ce chapitre commence donc par l’œil lui-même — ce qu’il peut et ce qu’il ne peut pas — puis construit la loupe, le microscope, la lunette et l’appareil photographique à partir de la relation de conjugaison du chapitre précédent.

La lunette de 40 pouces de l’observatoire Yerkes (1897), toujours la plus grande lunette jamais construite : un objectif d’un mètre et un tube de dix-neuf. Au-delà de cette taille, une lentille fléchit sous son propre poids, et l’astronomie s’est tournée vers les miroirs.

Une petite lunette au crépuscule : un objectif de grande distance focale et un oculaire de courte — la lunette afocale de ce chapitre, pointée vers la Lune de son problème du week-end.

4.1 L’œil

Définition 4.1 (Œil réduit)

L’œil réduit modélise la cornée et le cristallin par une seule lentille mince convergente de distance focale variable, et la rétine par un écran situé à une distance fixe $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ derrière elle. Des muscles changent la courbure du cristallin pour maintenir sur la rétine l’image de l’objet regardé : c’est l’accommodation. L’iris, devant le cristallin, est un diaphragme de diamètre variable, de $2\,$ à $8\,\mathrm{mm}$ : la pupille.

Définition 4.2 (Punctum remotum, punctum proximum)

Le punctum remotum est le point objet vu net sans accommoder ; le punctum proximum est le point le plus proche vu net avec l’accommodation maximale. Pour un œil normal (emmétrope), le punctum remotum est à l’infini et le punctum proximum à $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ , la distance minimale de vision distincte conventionnelle. La différence des vergences nécessaires aux deux est l’amplitude d’accommodation : environ $4\,\delta$ chez un jeune adulte, décroissante avec l’âge.

Exemple 4.3 (La vergence de l’œil)

Objet lointain : une image à $d = 17\,\mathrm{mm}$ signifie $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ . Objet à $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ . Quatre dioptries d’accommodation sur soixante : le cristallin n’ajoute que quelques pour cent au travail de la cornée, mais ces quelques pour cent font toute la lecture.

Proposition 4.4 (Défauts et corrections)

Un œil myope est trop convergent : son punctum remotum est à distance finie $D_r$ ; une lentille divergente de distance focale $f' = -D_r$ (portée près de l’œil) image l’infini sur le punctum remotum et rétablit la vision de loin. Un œil hypermétrope n’est pas assez convergent : son punctum remotum est virtuel (derrière l’œil) et son punctum proximum trop éloigné ; une lentille convergente le corrige. La presbytie est la perte d’accommodation avec l’âge : le punctum proximum recule et la lecture exige des lentilles convergentes, quel que soit le punctum remotum.

Démonstration. Une lentille placée près de l’œil forme avec lui un système dont l’objet doit être ce que l’œil sait voir : la lentille doit transformer un objet à l’infini en une image virtuelle sur le punctum remotum, $\overline{OA'} = -D_r$ pour $\overline{OA} = -\infty$ , d’où $f' = \overline{OA'} = -D_r$ . Les autres cas relèvent du même argument avec les points pertinents. ∎

L’œil réduit : une lentille mince de distance focale variable et une rétine 17\, mm derrière elle. Au repos, elle met au point les objets lointains ; en accommodant, elle raccourcit f' pour amener sur la rétine l’image d’un objet proche. L’image est renversée — le cerveau la remet à l’endroit. — L’œil réduit : une lentille mince de distance focale variable et une rétine $17\,\mathrm{mm}$ derrière elle. Au repos, elle met au point les objets lointains ; en accommodant, elle raccourcit $f'$ pour amener sur la rétine l’image d’un objet proche. L’image est renversée — le cerveau la remet à l’endroit.

Définition 4.5 (Diamètre apparent et résolution angulaire)

Le diamètre apparent d’un objet de hauteur $h$ situé à la distance $D$ vaut $\theta \approx h/D$ (petits angles). L’œil ne distingue deux points que si leur écart angulaire dépasse sa résolution angulaire, environ $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (une minute d’arc) : l’espacement des cônes et la diffraction à la pupille fixent tous deux cette limite.

Remarque 4.6 (À quoi sert un instrument)

Amené au punctum proximum, un détail de $1\,\mathrm{mm}$ est vu sous $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : treize fois la limite de résolution ; un détail de $0.05\,\mathrm{mm}$ est vu sous $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ et reste invisible. Les instruments qui regardent des objets proches (loupe, microscope) augmentent le diamètre apparent au-delà de ce que peut faire le simple rapprochement de l’objet ; ceux qui visent des objets lointains (lunette) augmentent le diamètre apparent de ce dont on ne peut s’approcher ; l’appareil photographique remplace la rétine par un capteur capable d’intégrer la lumière pendant des secondes et d’être agrandi ensuite.

4.2 La loupe

Définition 4.7 (Grossissement)

Pour un instrument utilisé par l’œil, le grossissement vaut $G = \theta'/\theta$ , où $\theta'$ est le diamètre apparent de l’image vue à travers l’instrument et $\theta$ celui de l’objet vu à l’œil nu — placé au punctum proximum $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ pour un objet proche, laissé en place pour un objet lointain.

Proposition 4.8 (La loupe)

Une lentille convergente de distance focale $f' < d_m$ , l’objet étant dans son plan focal objet, donne une image à l’infini, vue sans accommodation, avec

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

Démonstration. Objet $AB$ de hauteur $h$ dans le plan focal : les rayons issus de $B$ repartent parallèles, sous l’angle du rayon passant par $O$ , $\theta' = h/f'$ . Œil nu au mieux : $\theta = h/d_m$ . Rapport $d_m/f'$ . ∎

Exemple 4.9 (La loupe d’horloger)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , vendue « $10\times$ ». Un détail de $0.05\,\mathrm{mm}$ est alors vu sous $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , confortablement résolu. Pousser $G$ plus haut demande un $f'$ de quelques millimètres, donc une minuscule lentille collée à l’œil — c’est la limite de la lentille unique, et la raison d’être du microscope.

4.3 Le microscope

Définition 4.10 (Microscope composé)

Un microscope est un objectif $L_1$ de courte distance focale $f_1'$ qui forme d’un objet proche une image intermédiaire réelle et agrandie dans le plan focal objet d’un oculaire $L_2$ (de distance focale $f_2'$ ), lequel joue le rôle de loupe. La distance $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ entre le foyer image de l’objectif et le foyer objet de l’oculaire est l’intervalle optique, normalisé à $160\,\mathrm{mm}$ sur les instruments classiques.

Proposition 4.11 (Grossissement d’un microscope)

L’image finale étant à l’infini,

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

Démonstration. L’image intermédiaire $A_1B_1$ est dans le plan focal objet de l’oculaire, c’est-à-dire en $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; la relation de Newton donne $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ . L’oculaire montre alors $A_1B_1$ (de hauteur $\abs{\gamma_1} h$ ) à l’infini sous l’angle $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ , contre $\theta = h/d_m$ à l’œil nu. ∎

Le microscope : l’objectif forme une image intermédiaire A_1B_1 réelle, agrandie et renversée, dans le plan focal objet de l’oculaire ; l’oculaire la renvoie à l’infini, où l’œil au repos la voit sous un grand angle. — Le microscope : l’objectif forme une image intermédiaire $A_1B_1$ réelle, agrandie et renversée, dans le plan focal objet de l’oculaire ; l’oculaire la renvoie à l’infini, où l’œil au repos la voit sous un grand angle.

Exemple 4.12 (Un microscope d’étudiant)

Objectif $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , oculaire $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ . L’objet est en $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$ , soit à $4.1\,\mathrm{mm}$ de l’objectif. Faire la mise au point, c’est déplacer tout le tube de fractions de millimètre.

Remarque 4.13 (La limite de résolution)

Grossir sans limite ne servirait à rien : la lumière est une onde, et un objectif qui accepte les rayons dans un demi-angle $u$ (dans un milieu d’indice $n$ ) ne peut séparer deux points plus proches qu’environ $\lambda/(2n\sin u)$ — le traitement ondulatoire du volume de deuxième année l’établit. Avec $n\sin u \approx 1.4$ (immersion à huile) et $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , la limite est voisine de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Pour rendre ce détail visible à l’œil ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ à $25\,\mathrm{cm}$ , soit $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), un grossissement d’environ $400$ suffit ; au-delà de $1000$ , l’image n’est que plus grande, pas plus riche : c’est le grossissement vide.

4.4 La lunette astronomique

Proposition 4.14 (Lunette astronomique)

Un objectif $L_1$ et un oculaire $L_2$ tels que $F_1' = F_2$ forment un système afocal : une étoile (à l’infini) est vue à l’infini, l’œil au repos l’observe, et

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

L’image du bord de l’objectif à travers l’oculaire est le cercle oculaire : un disque brillant de diamètre $D/\abs G$ situé $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ derrière l’oculaire, là où la pupille de l’œil doit se placer pour recevoir toute la lumière.

Démonstration. Le grossissement $G$ a été obtenu à la Proposition 3.18. Vu de $L_2$ , l’objectif est un objet situé en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ ; Descartes donne $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , et le grandissement $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ ramène le diamètre $D$ à $D/\abs G$ . Tout rayon entrant dans l’objectif ressort par le cercle oculaire, puisque chaque point de l’objectif y est imagé. ∎

La lunette astronomique : le faisceau parallèle venu d’une étoile est focalisé par l’objectif dans le plan focal commun, puis renvoyé à l’infini par l’oculaire, sous un angle G fois plus grand. Toute la lumière collectée par l’objectif de diamètre D passe par le cercle oculaire, de diamètre D/ G. — La lunette astronomique : le faisceau parallèle venu d’une étoile est focalisé par l’objectif dans le plan focal commun, puis renvoyé à l’infini par l’oculaire, sous un angle $\abs G$ fois plus grand. Toute la lumière collectée par l’objectif de diamètre $D$ passe par le cercle oculaire, de diamètre $D/\abs G$ .

Proposition 4.15 (Ce qu’apporte une lunette)

Par rapport à l’œil nu (pupille $d_p$ ) :

diamètre apparent : multiplié par $\abs G$ ;
lumière recueillie d’une source ponctuelle : multipliée par $(D/d_p)^2$ , pourvu que le cercle oculaire ne soit pas plus grand que la pupille de l’œil, c’est-à-dire $\abs G \geq D/d_p$ ;
résolution angulaire : la diffraction à l’objectif la limite à $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (critère de Rayleigh), très en dessous de l’ $\epsilon$ de l’œil ; le grossissement qui rend cette limite visible est $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , et les grossissements plus forts ne font qu’agrandir la tache.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 4.16 (Une lunette d’amateur de 150 millimètres)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; cercle oculaire $3.1\,\mathrm{mm}$ ; gain de lumière $(150/7)^2 \approx 460$ face à une pupille adaptée à la nuit de $7\,\mathrm{mm}$ ; résolution $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , donc des cratères larges de $1.7\,\mathrm{km}$ sur la Lune ; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — l’oculaire de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) ne montre aucun détail de plus, seulement un disque plus gros et plus terne. Le problème du week-end conçoit cet instrument.

Remarque 4.17 (Télescopes, jumelles, lunettes de Galilée)

Un miroir concave de distance focale $f_1'$ remplace la lentille d’objectif dans le télescope (pas de dispersion chromatique, et un miroir peut faire plusieurs mètres et être soutenu par l’arrière) : tout ce qui précède vaut avec $f_1'$ la distance focale du miroir. L’image est renversée — sans conséquence pour les étoiles ; pour l’usage terrestre, les jumelles insèrent une paire de prismes à réflexion totale pour la redresser, et la lunette de Galilée emploie un oculaire divergent ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), plus courte mais de champ étroit.

4.5 L’appareil photographique

Définition 4.18 (Appareil photographique ; nombre d’ouverture)

Un appareil photographique est une lentille convergente de distance focale $f'$ qui forme une image réelle sur un capteur, en $\overline{OA'} \approx f'$ pour les sujets lointains ; la mise au point déplace l’objectif. Un diaphragme de diamètre $D$ limite le faisceau ; le nombre d’ouverture est $N = f'/D$ (noté $f/N$ ). Le champ angulaire vaut $2\arctan(\ell/2f')$ pour un capteur de largeur $\ell$ .

Proposition 4.19 (Exposition et profondeur de champ)

L’éclairement du capteur varie comme $1/N^2$ , donc le temps de pose donnant une même luminosité varie comme $N^2$ . Un point situé à une autre distance que celle de la mise au point forme une tache de flou ; si l’on exige qu’elle reste sous un diamètre toléré $c$ , un objectif mis au point sur la distance hyperfocale

H = \frac{f'^2}{N c}

rend nette, de façon acceptable, toute la scène de $H/2$ à l’infini.

Démonstration. Éclairement $=$ puissance/aire $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (l’image d’un sujet donné a une taille fixée par $f'$ , et la puissance recueillie croît comme $D^2$ ). Mise au point à la distance $p$ , image en $q \approx f'$ ; un point à l’infini se forme en $f'$ , soit $q - f'$ avant le capteur ; son cône de rayons, de base $D$ à la lentille, a pour diamètre $D(q - f')/q$ sur le capteur (triangles semblables). Avec $1/q = 1/f' - 1/p$ en paraxial, $q - f' \approx f'^2/p$ pour $p \gg f'$ , si bien que le flou vaut $Df'/p = f'^2/(Np)$ ; il égale $c$ pour $p = H$ . La même géométrie du côté proche donne la limite $H/2$ . ∎

Profondeur de champ : l’objectif est mis au point sur un point situé à la distance p (image sur le capteur) ; un point à l’infini se forme en F', avant le capteur, et laisse une tache de flou de diamètre c = Df'/p — plus petite pour une petite ouverture (grand N), d’où le compromis entre netteté et temps de pose. — Profondeur de champ : l’objectif est mis au point sur un point situé à la distance $p$ (image sur le capteur) ; un point à l’infini se forme en $F'$ , avant le capteur, et laisse une tache de flou de diamètre $c = Df'/p$ — plus petite pour une petite ouverture (grand $N$ ), d’où le compromis entre netteté et temps de pose.

Exemple 4.20 (Plein format et téléphone)

Un objectif de $50\,\mathrm{mm}$ sur un capteur large de $36\,\mathrm{mm}$ : champ angulaire $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; à $f/8$ avec $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : mis au point sur $10\,\mathrm{m}$ , tout ce qui est au-delà de $5\,\mathrm{m}$ est net. Un objectif de téléphone, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ à $f/1.8$ sur un capteur de $6\,\mathrm{mm}$ avec $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : même champ angulaire ( $70{}^{\circ}$ de large), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — presque tout est net à la fois, et c’est pourquoi les téléphones simulent le flou d’arrière-plan par le calcul.

Boîte de verres d’essai et monture d’essai d’un opticien : une lentille convergente ou divergente de la bonne vergence, placée devant l’œil, ramène son punctum remotum à l’infini.

4.6 Exercices

Exercice 4.1 ★

La rétine étant $17\,\mathrm{mm}$ derrière le cristallin, calculer la vergence d’un œil normal qui regarde à l’infini, puis à $25\,\mathrm{cm}$ ; en déduire l’amplitude d’accommodation. À quelles distances focales cela correspond-il ?

Solution

Solution de Exercice 4.1.

À l’infini : $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ . À $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ . Amplitude $4.0\,\delta$ .

Exercice 4.2 ★

Un œil myope a son punctum remotum à $40\,\mathrm{cm}$ . Quelle lentille le corrige (distance focale, vergence) ? Un œil hypermétrope ne peut accommoder sur rien de plus proche que $1.0\,\mathrm{m}$ : quelle lentille lui permet de lire à $25\,\mathrm{cm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.2.

Myope : l’infini doit être imagé sur le punctum remotum, $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ . Hypermétrope : un objet à $25\,\mathrm{cm}$ doit être imagé (virtuellement) à $1.0\,\mathrm{m}$ : $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ .

Exercice 4.3 ★

Une loupe a $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ . Donner son grossissement, la position où tenir le timbre, et le diamètre apparent d’un détail de $2\,\mathrm{mm}$ à travers elle, comparé à celui vu à l’œil nu à $25\,\mathrm{cm}$ .

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; timbre dans le plan focal, à $4.0\,\mathrm{cm}$ de la lentille. Détail de $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , contre $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ à $25\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 4.4 ★

Une lunette a $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ . Calculer $G$ avec un oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ puis de $9\,\mathrm{mm}$ , la longueur du tube dans chaque cas, et le diamètre apparent de la Lune ( $0.52^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 4.4.

$G = 900/25 = 36$ et $900/9 = 100$ ; longueurs de tube $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ et $909\,\mathrm{mm}$ ; Lune : $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ et $52^\circ$ .

Exercice 4.5 ★★

Microscope : $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ . Calculer $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ , et la distance objet–objectif. De combien faut-il déplacer le tube pour mettre au point $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ plus profond dans l’objet ?

Solution

Solution de Exercice 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ . $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : objet à $4.1\,\mathrm{mm}$ de l’objectif. L’objet doit rester à cette distance de l’objectif, donc tout le tube se déplace de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — c’est la vis micrométrique.

Exercice 4.6 ★★

Deux phares sont distants de $1.5\,\mathrm{m}$ . À partir de quelle distance l’œil nu ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) cesse-t-il de les distinguer ? Pour une lunette de $D = 100\,\mathrm{mm}$ : calculer sa limite de diffraction ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), la distance à laquelle elle sépare les phares, et le grossissement $G_r$ au-delà duquel elle ne montre rien de nouveau.

Solution

Solution de Exercice 4.6.

Œil nu : $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ . Lunette : $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; les phares restent séparés jusqu’à $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (en principe — l’air et la courbure interviennent bien avant). $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ .

Exercice 4.7 ★★

Un objectif de $50\,\mathrm{mm}$ à $f/2$ : quel est le diamètre de l’ouverture ? Une scène est correctement exposée à $f/2$ en $1/500$ $\mathrm{s}$ ; quel temps de pose à $f/8$ ? Qu’apporte la plus petite ouverture ?

Solution

Solution de Exercice 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ . Exposition $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ fois plus longue, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ . On y gagne de la profondeur de champ (et moins d’aberrations), au prix d’un flou de bougé ou d’un trépied.

Exercice 4.8 ★★

Calculer la distance hyperfocale d’un objectif de $35\,\mathrm{mm}$ à $f/11$ avec $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , et l’intervalle des distances nettes lorsqu’il est mis au point sur $H$ . Les photographes de rue préréglent ainsi : pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; net de $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ à l’infini. Préréglé sur $H$ , l’appareil n’a plus de mise au point à faire : la photo se prend à l’instant où la scène a lieu.

Exercice 4.9 ★★

Des jumelles « $8\times30$ » ont $G = 8$ et $D = 30\,\mathrm{mm}$ . Calculer le cercle oculaire ; toute la lumière est-elle utilisée par une pupille nocturne de $7\,\mathrm{mm}$ ? Et pour des « $7\times50$ » ? Quelle paire vaut mieux au crépuscule, et pourquoi des « $20\times30$ » sont-elles un mauvais choix ?

Solution

Solution de Exercice 4.9.

$8\times30$ : cercle oculaire $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , toute la lumière entre dans l’œil. $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , à la mesure de la pupille nocturne, et $(50/30)^2 = 2.8$ fois plus de lumière recueillie : la paire du crépuscule. $20\times30$ : cercle oculaire $1.5\,\mathrm{mm}$ , image terne, champ étroit et tremblement de la main grossi vingt fois.

Exercice 4.10 ★★★

Le punctum remotum d’un myope est à $25\,\mathrm{cm}$ de l’œil. Calculer la vergence de la lentille de contact qui le corrige, puis celle de verres de lunettes portés $15\,\mathrm{mm}$ devant l’œil. Quelle correction est la plus forte, et pourquoi les deux diffèrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 4.10.

Lentille de contact : $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ . Lunettes : le punctum remotum est à $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ du verre, donc $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — plus forte. Le verre doit former l’image sur le punctum remotum de l’œil, dont la distance au verre dépend de l’endroit où le verre est placé.

Exercice 4.11 ★★★

Lunette de Galilée : $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ . Trouver l’écart des lentilles pour un système afocal, $G$ , et l’orientation de l’image. Situer le cercle oculaire et expliquer pourquoi le champ est étroit.

Solution

Solution de Exercice 4.11.

Afocal : $F_1' = F_2$ , écart $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (plus court que les $40\,\mathrm{cm}$ d’une lunette de Kepler de même $G$ ). $G = -30/(-10) = +3$ : image droite. Cercle oculaire $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : virtuel, à l’intérieur du tube, là où l’œil ne peut se placer ; derrière l’oculaire, l’œil ne capte que les faisceaux qui l’atteignent par hasard — d’où le champ étroit, reproche classique fait aux jumelles de théâtre.

Exercice 4.12 ★★★

Une lunette de $200\,\mathrm{mm}$ et une pupille de $7\,\mathrm{mm}$ . De quel facteur la lumière reçue d’une étoile est-elle augmentée ? Les astronomes classent les éclats en magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; l’œil atteint la magnitude $6$ : quelle magnitude limite la lunette donne-t-elle ? Combien de fois plus loin une même lampe peut-elle être vue ?

Solution

Solution de Exercice 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : magnitude limite $13.3$ . Le flux étant $\propto 1/r^2$ , la lampe est vue $\sqrt{820} = 29$ fois plus loin.

La face visible de la Lune (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA) : la cible de la lunette du problème du week-end, 3476\, km de diamètre à 384\,000\, km. — La face visible de la Lune (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA) : la cible de la lunette du problème du week-end, $3476\,\mathrm{km}$ de diamètre à $384\,000\,\mathrm{km}$ .

4.7 Problème : concevoir une lunette pour la Lune

Problème 4.1

Problème du week-end — une lunette de 150 millimètres sur une pelouse : choisir les oculaires, placer l’œil, compter la lumière, et découvrir le plus petit cratère qu’elle sait montrer

L’objectif est une lentille convergente $L_1$ de distance focale $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ et de diamètre $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; on dispose d’oculaires $L_2$ de distances focales $25\,\mathrm{mm}$ et $6\,\mathrm{mm}$ . La Lune est à $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ et vue sous $0.52^\circ$ ; la pupille nocturne de l’œil vaut $7\,\mathrm{mm}$ , sa résolution $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Partie I — Le montage afocal.

Où faut-il placer l’oculaire pour qu’une étoile soit vue sans accommodation ? Donner la distance objectif–oculaire pour chaque oculaire.
Vérifier, en appliquant la relation de Descartes à chaque lentille tour à tour, qu’un point à l’infini sur l’axe est imagé à l’infini.
Montrer qu’un faisceau venu d’une étoile située à l’angle $\alpha$ de l’axe émerge en faisceau parallèle sous l’angle $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
Calculer $G$ pour chaque oculaire et le diamètre apparent de la Lune à travers chacun.
L’image est renversée. Pourquoi est-ce acceptable ici, et qu’ajouterait une lunette terrestre ?
Où se trouve l’image intermédiaire réelle de la Lune, et quel est son diamètre ? (On peut l’y photographier.)

Partie II — Où placer l’œil.

Montrer que l’oculaire forme du bord de l’objectif une image réelle en $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ derrière lui, de diamètre $D/\abs G$ (le cercle oculaire).
Calculer la position et le diamètre du cercle oculaire pour chaque oculaire.
Pourquoi la pupille de l’œil doit-elle être placée sur le cercle oculaire ? Qu’advient-il du champ si on la place plus loin ?
Pour que la lumière d’une étoile soit intégralement utilisée, le cercle oculaire ne doit pas dépasser la pupille de l’œil : en déduire le grossissement utile minimal de cette lunette la nuit.

Partie III — La résolution.

Calculer la limite de diffraction $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ en radians et en secondes d’arc.
À quel plus petit cratère cet angle correspond-il sur la Lune ? Et pour l’œil nu ?
Définir et calculer le grossissement résolvant $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ . Quel oculaire en est le plus proche ?
Avec l’oculaire de $6\,\mathrm{mm}$ , l’image paraît plus floue et plus terne qu’avec celui de $25\,\mathrm{mm}$ . Expliquer les deux effets.
La turbulence atmosphérique étale les images d’étoiles sur environ $1''$ . Pour quels diamètres d’objectif la limite de Rayleigh cesse-t-elle de compter depuis le sol, et qu’apporte encore un $D$ plus grand ?

Partie IV — La lumière.

De quel facteur l’objectif recueille-t-il plus de lumière que la pupille nocturne ?
Convertir en magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ du rapport) ; si l’œil atteint la magnitude $6$ , quelle magnitude la lunette atteint-elle ?
La pleine Lune délivre au sol un éclairement d’environ $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Quelle puissance entre dans l’objectif, et comment se répartit-elle sur la rétine par rapport à l’observation à l’œil nu (même raisonnement de puissance par unité d’angle solide : comparer la luminance à travers les deux oculaires) ?
Pourquoi une lunette ne rend-elle pas la surface de la Lune plus lumineuse par unité d’aire que l’œil nu, alors qu’elle rend bien les étoiles plus brillantes ?

Partie V — Le champ de vision. L’oculaire porte, dans son plan focal, un diaphragme de champ circulaire de diamètre $20\,\mathrm{mm}$ (oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ ) ou $5\,\mathrm{mm}$ (oculaire de $6\,\mathrm{mm}$ ).

Montrer que le champ réel vaut $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ pour un diaphragme de diamètre $\phi$ .
Le calculer pour les deux oculaires et dire si la Lune entière tient dans le champ.
Calculer le champ apparent (l’angle sous lequel l’œil voit le diaphragme à travers l’oculaire) pour les deux.
La Terre tourne de $15''$ par seconde de temps : combien de temps la Lune met-elle à traverser le champ de chaque oculaire sans suivi ?
Récapituler la conception : quel oculaire pour la Lune entière, lequel pour les cratères, et la taille du plus petit cratère que l’instrument sait révéler — son unique nombre.
Le même objectif est remplacé par un miroir concave de $150\,\mathrm{mm}$ et de même distance focale. Lesquels des résultats précédents changent ?

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : écart $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ ) ou $1206\,\mathrm{mm}$ ( $6\,\mathrm{mm}$ ).

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (image en $F_1'$ ). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , donc $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : image à l’infini.

3. Le faisceau converge dans le plan focal commun à la hauteur $h = f_1'\alpha$ (rayon passant par $O_1$ ) ; de là, le rayon passant par $O_2$ fixe la direction d’émergence, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .

4. $G = -48$ et $-200$ ; Lune : $25^\circ$ et $104^\circ$ .

5. Le haut et le bas n’ont pas de sens dans le ciel ; une lunette terrestre ajoute une paire de prismes redresseurs (ou un relais).

6. Dans le plan focal de $L_1$ , de diamètre $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ .

7. $O_1$ vu comme objet en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; grandissement $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , diamètre $D/\abs G$ .

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , diamètre $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ . $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ derrière, diamètre $0.75\,\mathrm{mm}$ .

9. Tout rayon entré dans l’objectif passe par le cercle oculaire : un œil placé là reçoit tout le champ. Plus en arrière, il n’intercepte que les faisceaux centraux : le champ se réduit à un trou de serrure.

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; à l’œil nu, $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ .

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; l’oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ ( $48$ ) en est le plus proche, un peu en dessous ; celui de $6\,\mathrm{mm}$ ( $200$ ) est trois fois au-dessus.

14. À $G = 200$ , la tache de diffraction est vue sous $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : visiblement floue. La lumière de la Lune s’étale sur une aire $(200/48)^2 = 17$ fois plus grande sur la rétine : image plus terne.

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ . Au-delà, c’est la turbulence qui limite la résolution depuis le sol (sauf optique adaptative) ; un $D$ plus grand recueille encore plus de lumière et atteint des objets plus faibles.

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitude $12.7$ .

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , soit $460$ fois ce que reçoit l’œil nu. L’image rétinienne est $\abs G^2$ fois plus grande en aire : rapport des luminances $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ), $0.012$ ( $G = 200$ ) — soit $(D/\abs G)^2/d_p^2$ , le carré du rapport du cercle oculaire à la pupille.

19. Pour un objet étendu, la lumière recueillie croît comme $D^2$ mais l’aire de l’image comme $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : la luminance ne peut au mieux qu’égaler celle de l’œil nu (cercle oculaire $=$ pupille). Une étoile n’est pas résolue : toute sa lumière tombe dans une seule tache de diffraction, donc son éclat croît comme $(D/d_p)^2$ .

20. Un point vu sous l’angle $\beta$ s’image à la hauteur $f_1'\beta$ dans le plan focal ; le diaphragme laisse passer $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : champ total $\phi/f_1'$ (petits angles).

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : la Lune entière tient. $5/1200 = 0.24^\circ$ : elle ne tient pas.

22. Champ apparent $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ .

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , près de quatre minutes ; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ .

24. L’oculaire de $25\,\mathrm{mm}$ ( $G = 48$ , proche de $G_r$ , lumineux, Lune entière) pour le disque ; celui de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) pour regarder les cratères de plus près, plus terne et plus flou. Le nombre de l’instrument : des cratères jusqu’à $1.7\,\mathrm{km}$ .

25. Mêmes $f_1'$ et $D$ : mêmes $G$ , champs, cercles oculaires, résolution et lumière (à l’obstruction centrale près). Gain : plus d’aberration chromatique. Changement pratique : le foyer se trouve devant le miroir, si bien qu’un petit miroir secondaire doit renvoyer le faisceau vers l’oculaire.

Termes définis dans ce chapitre

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