Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

16Forces centrales : planètes et satellites

Trente et un satellites font deux fois le tour de la Terre par jour, chacun une horloge et une radio, et un téléphone qui en entend quatre sait où il se trouve à quelques mètres près. La comète de Halley tombe vers le Soleil pendant trente-huit ans, en fait le tour en quelques semaines, puis s’en éloigne pendant trente-huit ans encore. Une sonde à destination de Mars quitte la Terre exactement à la vitesse qui fera effleurer à sa trajectoire l’orbite de Mars. Tout cela est le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe par une force qui décroît comme l’inverse du carré de la distance, et tout cela découle de deux grandeurs conservées — l’énergie et le moment cinétique — plus une idée nouvelle, le potentiel effectif. Ce chapitre en tire la forme et les vitesses des orbites, les trois lois de Kepler, et l’arithmétique qui place un satellite là où on le veut.

16.1 Forces centrales conservatives

Définition 16.1 (Force centrale ; force centrale conservative)

Une force est centrale de centre $O$ si elle est toujours portée par $\vect{OM}$ : $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ . Elle est centrale conservative si son intensité ne dépend que de $r = OM$ : $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ , ce qui la fait dériver d’une énergie potentielle $E_p(r)$ avec $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ .

Théorème 16.2 (Mouvement sous une force centrale conservative)

Un point de masse $m$ soumis à une seule force centrale conservative :

conserve son moment cinétique $\vect L_O$ ; son mouvement est plan et, en coordonnées polaires dans ce plan, $r^2\dot\theta = C$ est constant (loi des aires, Corollaire 15.5) ;
conserve son énergie mécanique $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ , que l’on peut écrire

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

Le mouvement radial est donc celui d’un point à une dimension dans le potentiel effectif $E_{p,\mathrm{eff}}$ : les points de rebroussement radiaux sont les racines de $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ , le mouvement est lié s’il est piégé entre deux d’entre eux, et circulaire si $r$ se place en un minimum de $E_{p,\mathrm{eff}}$ .

Démonstration. La partie 1 est le Corollaire 15.5. La force est conservative et aucune autre force n’agit, donc $E_m$ se conserve ; dans le plan, $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ et $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ . Le terme $mC^2/2r^2$ , énergie cinétique du mouvement angulaire, joue le rôle d’une barrière centrifuge répulsive dans le problème radial, auquel s’applique l’analyse à une dimension du Chapitre 13. ∎

16.2 La gravitation newtonienne

Définition 16.3 (Gravitation universelle)

Une masse ponctuelle $M$ en $O$ attire une masse ponctuelle $m$ en $M$ avec

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ à l'infini}),

avec $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Un corps à symétrie sphérique attire, à l’extérieur de lui-même, comme si toute sa masse était en son centre (admis ; c’est une conséquence du théorème de Gauss, Chapitre 26).

Proposition 16.4 (Le potentiel effectif de la gravitation)

Pour $E_p = -GMm/r$ ,

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

tend vers $+\infty$ quand $r \to 0$ (pour $L \neq 0$ ), vers $0^-$ à l’infini, et présente un minimum unique en $r_c = L^2/GMm^2$ , de valeur $-G^2M^2m^3/2L^2$ . D’où : $E_m < 0$ — mouvement lié entre un rayon minimal et un rayon maximal (périgée et apogée) ; $E_m \geq 0$ — non lié, le corps vient de l’infini et y retourne ; $E_m$ égale au minimum — orbite circulaire de rayon $r_c$ .

Démonstration. Les limites se lisent ; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ en $r_c$ , puis on substitue. Le cas circulaire est $\dot r = 0$ pour toujours, ce qui n’est possible qu’au minimum. ∎

Le potentiel effectif de la gravitation newtonienne : l’attraction -GMm/r plus la barrière centrifuge L2/2mr2. En dessous de l’énergie nulle, le mouvement radial est piégé entre deux points de rebroussement (périgée, apogée) ; au minimum, l’orbite est circulaire ; à énergie nulle ou positive, le corps s’échappe. — Le potentiel effectif de la gravitation newtonienne : l’attraction $-GMm/r$ plus la barrière centrifuge $L^2/2mr^2$ . En dessous de l’énergie nulle, le mouvement radial est piégé entre deux points de rebroussement (périgée, apogée) ; au minimum, l’orbite est circulaire ; à énergie nulle ou positive, le corps s’échappe.

Théorème 16.5 (Orbites circulaires)

Sur une orbite circulaire de rayon $r$ autour d’une masse $M$ :

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

En particulier, $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ est le même pour toutes les orbites circulaires autour du même centre (troisième loi de Kepler).

Démonstration. Le mouvement circulaire uniforme réclame la force centripète $mv^2/r = GMm/r^2$ ; puis $T = 2\pi r/v$ ; enfin $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ et $E_p = -GMm/r$ . ∎

Exemple 16.6 (Trois orbites)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ . Orbite basse ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ , $400\,\mathrm{km}$ d’altitude) : $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $T = 92\,\mathrm{min}$ . Géostationnaire ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ , un jour sidéral) : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ , $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . La Lune ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ) : $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — et son accélération centripète $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vaut $g/3600$ à soixante rayons terrestres : la loi en carré inverse, vérifiée par Newton lui-même.

16.3 Les lois de Kepler et la forme des orbites

Théorème 16.7 (Trajectoires dans un champ newtonien)

La trajectoire d’un corps dans le champ d’une masse fixe $M$ est une conique dont $O$ est un foyer : une ellipse si $E_m < 0$ , une parabole si $E_m = 0$ , une hyperbole si $E_m > 0$ . Pour l’ellipse de demi-grand axe $a$ et d’excentricité $e$ :

(Kepler I) le centre de force est en un foyer ; le périgée et l’apogée sont en $r_p = a(1 - e)$ et $r_a = a(1 + e)$ ;
(Kepler II) la vitesse aréolaire est constante (loi des aires) ;
(Kepler III) la période vérifie $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
l’énergie ne dépend que de $a$ , $E_m = -GMm/2a$ , de sorte que la vitesse à la distance $r$ est donnée par

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 16.8 (Ce qui est démontré et ce qui est admis)

Kepler II et la classification par l’énergie ont été démontrées ci-dessus. Que les orbites liées soient exactement des ellipses dont $O$ est un foyer, avec Kepler III et $E_m = -GMm/2a$ en général, demande l’intégration de l’équation radiale (le volume de deuxième année la fait) ; pour les orbites circulaires ( $a = r$ , $e = 0$ ), chaque énoncé se réduit au Théorème 16.5, ce qui est la vérification que nous pouvons faire ici. La relation $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ découle de $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ une fois cette formule d’énergie accordée.

À gauche : une orbite elliptique autour du foyer O — demi-grand axe a, demi-petit axe b, distance focale c = ea ; le corps est le plus rapide au périgée P et le plus lent à l’apogée A. À droite : une hyperbole (énergie positive) et une parabole (énergie nulle) autour du même foyer — les trajectoires non liées des comètes et des sondes. — À gauche : une orbite elliptique autour du foyer $O$ — demi-grand axe $a$ , demi-petit axe $b$ , distance focale $c = ea$ ; le corps est le plus rapide au périgée $P$ et le plus lent à l’apogée $A$ . À droite : une hyperbole (énergie positive) et une parabole (énergie nulle) autour du même foyer — les trajectoires non liées des comètes et des sondes.

Exemple 16.9 (La comète de Halley)

Périhélie $0.586\,\mathrm{AU}$ , aphélie $35.1\,\mathrm{AU}$ : $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ , $e = 0.967$ , $T = \sqrt{17.8^3} = 75$ ans (Kepler III en unités astronomiques et en années, où $T^2 = a^3$ pour le Soleil). Avec $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , la vitesse au périhélie vaut $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et à l’aphélie $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — soixante fois moins, comme l’exige la loi des aires ( $r_pv_p = r_av_a$ ).

16.4 Satellites

Proposition 16.10 (Vitesse de libération ; orbite géostationnaire)

Depuis la surface d’un corps de masse $M$ et de rayon $R$ , la vitesse de lancement minimale pour atteindre l’infini est $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ , où $v_c = \sqrt{GM/R}$ est la vitesse circulaire au ras du sol : $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ pour la Terre. Un satellite géostationnaire orbite dans le plan équatorial avec la période sidérale de la Terre, à $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ( $35\,800\,\mathrm{km}$ au-dessus du sol).

Démonstration. $E_m \geq 0$ : $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ . Kepler III avec $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ . ∎

Proposition 16.11 (Transfert de Hohmann)

Pour faire passer un satellite d’une orbite circulaire de rayon $r_1$ à une orbite circulaire coplanaire de rayon $r_2 > r_1$ par deux impulsions brèves, on allume en $r_1$ pour entrer sur l’ellipse de transfert de périgée $r_1$ et d’apogée $r_2$ ( $a = (r_1 + r_2)/2$ ), on se laisse porter une demi-période, puis on rallume en $r_2$ pour circulariser :

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

Démonstration. Les vitesses sur l’ellipse de transfert par $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ en $r_1$ et $r_2$ ; on retranche les vitesses circulaires ; et la demi-période du Théorème 16.7. ∎

Un transfert de Hohmann entre deux orbites circulaires : une première impulsion sur l’orbite intérieure porte l’apogée à r_2 ; une demi-ellipse plus tard, une seconde impulsion relève le périgée — la route à deux impulsions la moins gourmande en ergols, et celle qui mène une sonde à Mars. — Un transfert de Hohmann entre deux orbites circulaires : une première impulsion sur l’orbite intérieure porte l’apogée à $r_2$ ; une demi-ellipse plus tard, une seconde impulsion relève le périgée — la route à deux impulsions la moins gourmande en ergols, et celle qui mène une sonde à Mars.

Exemple 16.12 (De l’orbite basse à la géostationnaire)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ , $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , et $5.3\,\mathrm{h}$ de transit. Le total, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , vaut la moitié de ce qu’a déjà coûté la mise en orbite basse : le « dernier kilomètre » vers une orbite haute est cher, et les satellites emportent leur propre moteur pour le franchir.

Remarque 16.13 (Centres répulsifs)

Pour une force répulsive en carré inverse (deux charges de même signe, Chapitre 26), le potentiel effectif n’a pas de puits : toute trajectoire est une hyperbole, la particule s’approche, est déviée et repart. Une particule $\alpha$ lancée droit sur un noyau d’or a une distance d’approche minimale que l’énergie seule fixe, $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — c’est ainsi que Rutherford a majoré la taille du noyau (Exercice 16.11).

16.5 Exercices

Exercice 16.1 ★

La Station spatiale internationale orbite à $400\,\mathrm{km}$ d’altitude ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ , $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ ). Vitesse, période, nombre de levers de Soleil que son équipage voit par jour.

Solution

Solution de Exercice 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ; $1440/92 \approx 16$ levers de Soleil par jour.

Exercice 16.2 ★

Trouver le rayon et l’altitude de l’orbite géostationnaire à partir du jour sidéral $86\,164\,\mathrm{s}$ , ainsi que la vitesse orbitale.

Solution

Solution de Exercice 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : altitude $35\,800\,\mathrm{km}$ ; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercice 16.3 ★

Vitesse de libération de la Terre et de la Lune ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R = 1740\,\mathrm{km}$ ). Pourquoi la Lune ne garde-t-elle pas d’atmosphère ?

Solution

Solution de Exercice 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : Terre $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Lune $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Les molécules d’un gaz, à quelques centaines de mètres par seconde, ont une queue de distribution au-delà de $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; aux échelles géologiques, le gaz lunaire a fui.

Exercice 16.4 ★

Mars a $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ , Jupiter $5.20\,\mathrm{AU}$ : leurs années, par la troisième loi de Kepler. Et un corps à $30\,\mathrm{AU}$ (Neptune) ?

Solution

Solution de Exercice 16.4.

$T = a^{3/2}$ (en années et en AU) : Mars $1.88\,\mathrm{yr}$ ; Jupiter $11.9\,\mathrm{yr}$ ; à $30\,\mathrm{AU}$ : $164\,\mathrm{yr}$ .

Exercice 16.5 ★★

Énergie nécessaire pour placer $1000\,\mathrm{kg}$ sur l’orbite de la Station en partant du repos à la surface (on néglige la rotation terrestre et l’air). Comparer à l’énergie chimique de l’essence ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).

Solution

Solution de Exercice 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — soit $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , l’énergie de $0.7\,\mathrm{kg}$ d’essence par kilogramme mis en orbite (les fusées en demandent bien plus, ayant à soulever leur propre carburant).

Exercice 16.6 ★★

Comète de Halley : périhélie $0.586\,\mathrm{AU}$ , aphélie $35.1\,\mathrm{AU}$ . Calculer $a$ , $e$ , la période, et les vitesses au périhélie et à l’aphélie ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).

Solution

Solution de Exercice 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ . $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ avec $r_p = 8.77\times10^{10}$ m et $a = 2.67\times10^{12}$ m : $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercice 16.7 ★★

Transfert de Hohmann de l’orbite de la Station ( $6770\,\mathrm{km}$ ) à l’orbite géostationnaire ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ) : les deux impulsions, leur somme et la durée.

Solution

Solution de Exercice 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ . $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; sur l’ellipse, en $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , d’où $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . En $r_2$ : $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , contre $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en circulaire : $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Total $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; durée $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ .

Exercice 16.8 ★★

Montrer que le minimum de $E_{p,\mathrm{eff}}$ se trouve en $r_c = L^2/GMm^2$ , et que les petites oscillations radiales autour de ce point ont pour pulsation $\sqrt{GM/r_c^3}$ — la pulsation orbitale elle-même. Que dit ce résultat d’une orbite circulaire légèrement perturbée ?

Solution

Solution de Exercice 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ en $r_c = L^2/GMm^2$ . $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ; en $r_c$ , $L^2 = GMm^2r_c$ donne $E'' = GMm/r_c^3$ , donc $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{orb}}^2$ . Une petite perturbation radiale oscille exactement une fois par révolution : l’orbite se referme sur elle-même — une ellipse peu excentrique, non une rosace.

Exercice 16.9 ★★

Les astronautes flottent à bord de la Station. Expliquer par les forces ; quelle est la valeur de $g$ à leur altitude, et pourquoi cela ne contredit-il pas le fait qu’ils flottent ?

Solution

Solution de Exercice 16.9.

Seule la pesanteur agit, sur la station comme sur l’équipage ; tous deux tombent sur la même orbite, si bien qu’aucune force de contact n’est nécessaire entre eux — aucun plancher n’appuie, d’où l’« impesanteur ». $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : la pesanteur est presque entière ; le poids n’est pas absent, il est entièrement employé à courber la trajectoire.

Exercice 16.10 ★★★

Le « test de la Lune » de Newton : calculer l’accélération centripète de la Lune à partir de $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ et $T = 27.3\,\mathrm{d}$ , et la comparer à $g(R/r)^2$ . Conclure.

Solution

Solution de Exercice 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : la loi de force qui fait tomber une pomme retient la Lune, diluée en $1/r^2$ .

Exercice 16.11 ★★★

Une particule $\alpha$ ( $q = 2e$ , $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) est lancée droit sur un noyau d’or ( $Z = 79$ ), supposé fixe. À l’aide de la conservation de l’énergie avec $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ( $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ ), trouver la distance d’approche minimale ; la comparer au rayon nucléaire, environ $7\,\mathrm{fm}$ . Quelle énergie faudrait-il pour toucher le noyau ?

Solution

Solution de Exercice 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ , six fois le rayon nucléaire : la particule $\alpha$ rebrousse chemin avant de toucher. Pour atteindre $7\,\mathrm{fm}$ : $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ .

Exercice 16.12 ★★★

Un satellite en orbite basse est freiné par l’atmosphère résiduelle, si bien que son énergie mécanique diminue. Montrer, avec $E_m = -GMm/2r$ et $v = \sqrt{GM/r}$ , qu’il va alors plus vite. Où passe l’énergie, et quelle fraction de l’énergie potentielle perdue devient de la chaleur ?

Solution

Solution de Exercice 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ décroît $\Rightarrow$ $r$ décroît $\Rightarrow$ $v = \sqrt{GM/r}$ croît. L’énergie cinétique $GMm/2r$ augmente de $\abs{\Delta E}$ tandis que l’énergie potentielle $-GMm/r$ diminue de $2\abs{\Delta E}$ : la moitié de l’énergie potentielle libérée devient cinétique, l’autre moitié est dissipée en chaleur par le frottement.

Un satellite GPS (vue d’artiste, NASA) : l’un de la trentaine que compte la constellation à 20\,200\, km du problème du week-end, chacun une horloge sur une orbite képlérienne. — Un satellite GPS (vue d’artiste, NASA) : l’un de la trentaine que compte la constellation à $20\,200\,\mathrm{km}$ du problème du week-end, chacun une horloge sur une orbite képlérienne.

16.6 Problème : les satellites qui vous disent où vous êtes

Problème 16.1

Problème du week-end — une constellation de navigation à vingt mille kilomètres : son orbite, les ergols pour y aller, combien de satellites un téléphone peut voir, et pourquoi leurs horloges doivent être réglées pour retarder

Données : $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , jour sidéral $86\,164\,\mathrm{s}$ , $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les satellites font le tour de la Terre en exactement un demi-jour sidéral, sur des orbites circulaires.

Partie I — L’orbite.

Calculer le rayon orbital et l’altitude.
Calculer la vitesse orbitale.
Calculer l’accélération du satellite et la comparer à $g$ à la surface.
Calculer l’énergie mécanique par kilogramme, ainsi que ses parts cinétique et potentielle.
Pourquoi choisir un demi-jour sidéral plutôt qu’un demi-jour solaire ? Que voit se répéter un observateur au sol ?
Vu d’un satellite, sous quel angle le disque terrestre est-il vu ?
Comparer le rayon de cette orbite à celui de l’orbite géostationnaire : laquelle est la plus haute, et de quel facteur ?

Partie II — Y aller.

Énergie par kilogramme pour passer du repos à la surface à l’orbite finale (on néglige l’air et la rotation terrestre).
Le lanceur atteint d’abord une orbite circulaire basse à $400\,\mathrm{km}$ . Quelle vitesse y a-t-il ?
Transfert de Hohmann de cette orbite vers l’orbite finale : les deux impulsions et leur somme.
Durée du transfert.
Comparer la somme des impulsions à la vitesse de libération depuis l’orbite basse : à quelle distance de « quitter la Terre » cette mission se trouve-t-elle ?
L’étage supérieur et le satellite pèsent $2000\,\mathrm{kg}$ avant le transfert ; la vitesse d’éjection du moteur vaut $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et l’équation de Tsiolkovski donne $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . Quelle masse d’ergols les deux impulsions demandent-elles ?

Partie III — Couverture et datation.

Un satellite est visible de tout point de la Terre situé dans le cône de demi-angle $\theta$ tel que $\cos\theta = R/r$ autour de la ligne Terre–satellite. Calculer $\theta$ et la fraction $(1 - \cos\theta)/2$ de la surface terrestre qu’il couvre.
Avec $24$ satellites répartis uniformément, combien en voit-on en moyenne depuis un point ? Le minimum de $4$ nécessaire à un point fixe est-il plausible ?
Durée de propagation de la lumière depuis un satellite au zénith ; puis à l’horizon.
Pour situer le récepteur à $3\,\mathrm{m}$ près, avec quelle précision faut-il dater les signaux ?
L’horloge propre du récepteur est un quartz bon marché, faux de quelques millisecondes : pourquoi faut-il quatre satellites au lieu de trois ?
Les horloges des satellites sont atomiques. Donner la stabilité relative nécessaire pour une erreur de $3\,\mathrm{m}$ au bout d’un jour.

Partie IV — Un peu de relativité. Deux effets décalent les horloges des satellites par rapport à celles du sol (formules admises, du volume de troisième année) : le mouvement ralentit une horloge de la fraction $v^2/2c^2$ ; l’altitude l’accélère de $GM(1/R - 1/r)/c^2$ .

Calculer le ralentissement dû à la vitesse, en microsecondes par jour.
Calculer l’accélération due à l’altitude, en microsecondes par jour.
Effet net, et erreur de position qu’il causerait par jour s’il n’était pas corrigé.
Les horloges des satellites sont réglées avant le lancement sur $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ au lieu de $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Vérifier que cela compense l’effet net.
Les orbites ne sont pas exactement képlériennes : nommer trois perturbations et dire comment le système y fait face.
Récapituler l’enchaînement : deux lois de conservation, une orbite, une constellation, et l’unique correction que personne n’aurait devinée.

Solution

Solution de Problème 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; altitude $20\,190\,\mathrm{km}$ .

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ , dix-sept fois plus faible qu’à la surface — mais non nulle : le satellite tombe continûment autour de la Terre.

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

5. La Terre tourne une fois par jour sidéral par rapport aux étoiles (le référentiel de l’orbite) ; après deux orbites, le satellite repasse au-dessus du même point du sol : les traces au sol se répètent chaque jour sidéral.

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : $\beta = 13.9^\circ$ , soit un disque large de $28^\circ$ .

7. La géostationnaire est à $42\,200\,\mathrm{km}$ : $1.59$ fois plus haut ; l’orbite de navigation est en dessous.

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ; en $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; en $r_2$ : $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contre $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en circulaire, $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; total $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ .

12. Libération depuis l’orbite basse : $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; les $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la mission la dépassent — atteindre cette orbite coûte à peu près autant que quitter la Terre tout entière.

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ , soit $1360\,\mathrm{kg}$ d’ergols — les deux tiers de la masse.

14. $\cos\theta = 0.240$ , $\theta = 76^\circ$ ; fraction $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ .

15. $24 \times 0.38 = 9$ en moyenne ; quatre est largement dépassé presque toujours.

16. Au zénith : $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ; à l’horizon : distance $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , soit $86\,\mathrm{ms}$ .

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ .

18. Le décalage de l’horloge du récepteur est une quatrième inconnue, en plus de ses trois coordonnées : quatre distances, quatre équations.

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ .

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ de retard par jour.

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ d’avance par jour.

22. Bilan $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour ; $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ d’erreur par jour.

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ , ce qui correspond au bilan $4.5\times10^{-10}$ ( $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ sur $86\,400\,\mathrm{s}$ ).

24. Le bourrelet équatorial de la Terre, l’attraction de la Lune et du Soleil, la pression de radiation solaire (et de petites poussées des propulseurs) : le segment sol mesure les orbites en continu et téléverse des éphémérides fraîches, que les satellites diffusent.

25. L’énergie et le moment cinétique fixent une orbite circulaire à partir de sa période ; Kepler III la place ; la géométrie fixe la couverture et les temps de propagation ; et les horloges — le cœur du système — doivent être corrigées de la relativité de $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour, faute de quoi le point dérive de dix kilomètres avant la nuit.

Termes définis dans ce chapitre

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