Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

19Systèmes de points ; introduction aux solides

Une plongeuse quitte le tremplin, se groupe, fait deux saltos et se déplie ; pendant tout ce temps, un point de son corps — son centre de masse — décrit la même parabole banale qu’une pierre. Un yo-yo lâché de la main met trois fois plus de temps qu’une pierre à atteindre le bout de sa ficelle, et y arrive en tournant à deux mille tours par minute. Une sphère pleine bat une sphère creuse sur n’importe quel plan incliné, quelles que soient leurs tailles et leurs masses. La mécanique du point, développée dans les chapitres précédents, s’étend aux systèmes de plusieurs points — et aux solides de la vie courante — par une poignée de théorèmes : le centre de masse se déplace comme un point, l’énergie et le moment cinétique se scindent en une part de centre de masse et une part « autour » de lui, et un solide qui tourne autour d’un axe fixe est un système à un degré de liberté que gouverne son moment d’inertie.

19.1 Centre de masse et quantité de mouvement

Définition 19.1 (Centre de masse ; quantité de mouvement d’un système)

Pour des points de masses $m_i$ situés en $M_i$ , de masse totale $M = \sum m_i$ , le centre de masse (barycentre) $G$ est défini par

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

quelle que soit l’origine $O$ . La quantité de mouvement du système vaut $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ .

Théorème 19.2 (Théorème du centre de masse)

Dans un référentiel galiléen,

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

le centre de masse se déplace comme un point matériel de masse $M$ soumis à la résultante des seules forces extérieures. Pour un système fermé sans force extérieure, $\vect P$ se conserve et $G$ se déplace uniformément.

Démonstration. On somme la deuxième loi de Newton sur les points ; les forces intérieures se compensent par paires d’action et de réaction ; et $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ en dérivant deux fois la définition de $G$ . ∎

Exemple 19.3 (Plongeuse, recul, choc)

Le $G$ de la plongeuse suit une parabole sous son seul poids, quelles que soient ses vrilles — ses muscles sont des forces intérieures. Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ qui tire une balle de $10\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\vect P = \vect 0$ avant comme après, donc le fusil recule à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Deux voitures, $1000\,\mathrm{kg}$ à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $1500\,\mathrm{kg}$ à l’arrêt, qui s’accrochent : $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — quantité de mouvement conservée, tandis que $60\%$ de l’énergie cinétique est passée en tôles froissées et en chaleur. La quantité de mouvement se conserve dans tout choc ; l’énergie cinétique seulement dans les chocs élastiques (Exercice 19.12).

19.2 Les théorèmes de König

Définition 19.4 (Référentiel barycentrique)

Le référentiel barycentrique $\mathcal R^*$ a son origine en $G$ et est en translation par rapport au référentiel galiléen $\mathcal R$ (ses axes gardent des directions fixes). Les grandeurs qu’on y mesure sont étoilées : $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ , et $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ .

Théorème 19.5 (Théorèmes de König)

Le moment cinétique en un point $O$ et l’énergie cinétique d’un système se scindent en la contribution de leur centre de masse, portant toute la masse, et les contributions dans le référentiel barycentrique :

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

où $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ et $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ ne dépendent pas de l’origine du référentiel.

Démonstration. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ et $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ; on développe $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ et $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ : les termes croisés contiennent $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ ou $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ et s’annulent. ∎

Exemple 19.6 (Une roue qui roule)

Une roue de masse $M$ , de rayon $R$ , de moment d’inertie $J$ par rapport à son axe, qui roule sans glisser à la vitesse $v$ : le point de contact est immobile, donc $\omega = v/R$ , et $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — soit les trois quarts de $Mv^2$ pour un disque homogène ( $J = \tfrac12 MR^2$ ) et $Mv^2$ pour un cerceau. C’est ce second terme qui fait qu’on allège les roues d’un vélo : leur rotation coûte une énergie que la masse du cadre ne coûte pas.

19.3 Le problème à deux corps

Proposition 19.7 (Masse réduite)

Deux points qui n’interagissent qu’entre eux (force $\vect F$ exercée sur $m_2$ par $m_1$ , et $-\vect F$ sur $m_1$ ) : $G$ se déplace uniformément, et la position relative $\vect r = \vect{M_1M_2}$ obéit à

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

c’est l’équation d’un unique point fictif de masse réduite $\mu$ soumis à $\vect F$ autour d’un centre fixe. Dans $\mathcal R^*$ , $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ et $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ .

Démonstration. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ . Dans $\mathcal R^*$ , $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ et $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ; on substitue dans $E_k^*$ et $\vect L^*$ . ∎

Exemple 19.8 (Quand le centre bouge aussi)

Au Chapitre 16, le Soleil était fixe : ce n’est exact qu’à la limite $m \ll M$ ; en général, la troisième loi de Kepler s’écrit $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ . Pour la molécule de HCl qui vibre au Problème 13.1, la masse qui oscille dans le puits est $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ , ce qui élève la fréquence de $1.4\%$ ; pour l’atome d’hydrogène, le $\mu$ de l’électron diffère de $m_e$ d’une part sur $1836$ — mesurable dans le spectre.

19.4 Solide en rotation autour d’un axe fixe

Définition 19.9 (Solide ; rotation autour d’un axe fixe)

Un solide est un système dont les points gardent des distances mutuelles fixes. S’il tourne autour d’un axe $\Delta$ fixe dans le référentiel, chaque point décrit un cercle centré sur $\Delta$ à la même vitesse angulaire $\omega = \dot\theta$ ; un point situé à la distance $r_i$ de l’axe a pour vitesse $r_i\omega$ .

Proposition 19.10 (Moment d’inertie ; moment cinétique ; énergie cinétique)

Avec le moment d’inertie $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (une intégrale $\int r^2\,\dd m$ pour un corps continu) :

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

Valeurs classiques (masse $M$ ) : anneau mince ou cylindre creux autour de son axe, $MR^2$ ; disque homogène ou cylindre plein, $\tfrac12 MR^2$ ; tige mince de longueur $L$ autour de son centre, $\tfrac{1}{12}ML^2$ , autour d’une extrémité, $\tfrac13 ML^2$ ; sphère pleine autour d’un diamètre, $\tfrac25 MR^2$ . Théorème de Huygens : par rapport à un axe $\Delta$ parallèle à un axe $\Delta_G$ passant par $G$ et distant de $d$ , $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ .

Démonstration. $L_\Delta$ et $E_k$ : Proposition 15.9. Tige autour d’une extrémité : $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ; autour du centre, $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ . Disque : un anneau de rayon $r$ , de largeur $\dd r$ et de masse $(2Mr/R^2)\dd r$ donne $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ; l’anneau et la sphère sont admis (la sphère demande une intégrale double). Huygens : avec $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ , le terme croisé se somme à zéro par définition de $G$ . ∎

À gauche : le moment d’inertie d’un disque, sommé anneau par anneau. À droite : le théorème de Huygens — par rapport à un axe passant par le bord d’un disque, parallèle à celui de son centre, J = 1/2 MR2 + MR2. — À gauche : le moment d’inertie d’un disque, sommé anneau par anneau. À droite : le théorème de Huygens — par rapport à un axe passant par le bord d’un disque, parallèle à celui de son centre, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ .

Théorème 19.11 (Dynamique d’un solide autour d’un axe fixe)

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe $\Delta$ dans un référentiel galiléen,

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

les moments des forces extérieures par rapport à l’axe entraînent l’accélération angulaire, et un moment $\mathcal M_\Delta$ délivre la puissance $\mathcal M_\Delta\omega$ . Une liaison pivot idéale (palier sans frottement) n’exerce aucun moment par rapport à son axe et n’accélère donc ni ne freine la rotation.

Démonstration. Le Théorème 15.8 projeté sur $\Delta$ , avec $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ et $J_\Delta$ constant pour un solide ; on multiplie par $\dot\theta$ pour la forme énergétique (les forces intérieures d’un solide ne travaillent pas : les distances ne changent pas). ∎

Exemple 19.12 (Pendule pesant ; pendule de torsion)

Un solide de masse $M$ qui pivote autour d’un axe horizontal situé à la distance $d$ de $G$ : le moment du poids vaut $-Mgd\sin\theta$ , donc $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ et les petites oscillations ont pour période

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

soit celle d’un pendule simple de longueur $J_\Delta/Md$ — pour une tige homogène pivotant à une extrémité, $2L/3$ . Un disque suspendu à un fil de constante de torsion $C$ (moment de rappel $-C\theta$ ) : $J\ddot\theta = -C\theta$ , $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — c’est la balance de torsion qui a mesuré $G$ et la loi de Coulomb.

Trois solides en mouvement : un pendule pesant qui oscille autour d’un pivot (moment du poids par rapport à l’axe), un pendule de torsion (moment du fil), et un solide qui roule sans glisser sur un plan incliné — plus son J/MR2 est grand, plus il roule lentement. — Trois solides en mouvement : un pendule pesant qui oscille autour d’un pivot (moment du poids par rapport à l’axe), un pendule de torsion (moment du fil), et un solide qui roule sans glisser sur un plan incliné — plus son $J/MR^2$ est grand, plus il roule lentement.

Proposition 19.13 (Roulement sans glissement sur un plan incliné)

Un solide de révolution ( $J = kMR^2$ par rapport à son axe) lâché sur un plan incliné d’angle $\alpha$ roule sans glisser avec l’accélération

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

soit $\tfrac57 g\sin\alpha$ pour une sphère pleine, $\tfrac23 g\sin\alpha$ pour un disque et $\tfrac12 g\sin\alpha$ pour un cerceau — indépendamment de la masse et du rayon.

Démonstration. Énergie : $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ le long de la pente (le frottement statique au point de contact, immobile, ne travaille pas), donc $v^2 = 2ah$ avec le $a$ annoncé ; ou bien Newton pour $G$ et le théorème du moment cinétique en $G$ avec le frottement $f$ : $Ma = Mg\sin\alpha - f$ , $kMR^2\dot\omega = fR$ , $a = R\dot\omega$ . ∎

Remarque 19.14 (Systèmes déformables)

Pour un système qui n’est pas rigide, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ : les forces intérieures travaillent (muscles, ressorts, frottements internes). La patineuse qui ramène ses bras, la plongeuse qui se groupe, le cycliste qui se met en danseuse gagnent tous de l’énergie cinétique sans travail extérieur — le théorème du centre de masse reste vrai, l’énergie vient de l’intérieur.

19.5 Exercices

Exercice 19.1 ★

Des masses de $2.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 0$ et de $3.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 1.0\,\mathrm{m}$ : position de $G$ . Le système Terre–Lune ( $81:1$ , $384\,000\,\mathrm{km}$ ) : distance de $G$ au centre de la Terre ; comparer au rayon terrestre.

Solution

Solution de Exercice 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ . Terre–Lune : $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ du centre de la Terre, donc à l’intérieur de la Terre ( $6370\,\mathrm{km}$ ) : la Terre oscille autour d’un point situé $1700\,\mathrm{km}$ sous sa surface.

Exercice 19.2 ★

Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ tire une balle de $10\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vitesse de recul ; énergies cinétiques de la balle et du fusil ; d’où vient cette énergie ?

Solution

Solution de Exercice 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Balle $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ , fusil $8\,\mathrm{J}$ : cette énergie vient de la poudre ; le corps léger en prend presque tout ( $E_k = p^2/2m$ à $p$ égal).

Exercice 19.3 ★

Une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ percute une voiture de $1500\,\mathrm{kg}$ à l’arrêt ; elles restent accrochées. Vitesse commune ; fraction d’énergie cinétique perdue.

Solution

Solution de Exercice 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k$ : $200\,\mathrm{kJ}$ avant, $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ après : $60\%$ perdus.

Exercice 19.4 ★

Établir le moment d’inertie d’une tige homogène de masse $M$ et de longueur $L$ par rapport à un axe perpendiculaire passant par une extrémité, puis par son centre ; vérifier le théorème de Huygens entre les deux.

Solution

Solution de Exercice 19.4.

Extrémité : $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ; centre : $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ; Huygens avec $d = L/2$ : $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ .

Exercice 19.5 ★★

Énergie cinétique d’un cylindre homogène qui roule et d’un cerceau qui roule, de même masse et de même vitesse, en multiples de $\tfrac12 Mv^2$ . Lequel s’arrête le premier sur un sol plat rugueux, et lequel monte le plus haut sur une pente ?

Solution

Solution de Exercice 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : cylindre $1.5$ , cerceau $2$ fois $\tfrac12 Mv^2$ . À vitesse égale, le cerceau a plus d’énergie : il roule plus loin sur un sol plat (à frottement égal) et monte plus haut ( $h = v^2(1 + k)/2g$ ).

Exercice 19.6 ★★

Masse réduite de HCl ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) et de l’atome d’hydrogène ( $m_p = 1836m_e$ ) ; correction relative à une fréquence de vibration ou orbitale calculée avec la seule masse légère.

Solution

Solution de Exercice 19.6.

HCl : $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ; atome : $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ . Les fréquences varient en $\propto 1/\sqrt\mu$ : $+1.4\%$ pour HCl, $+0.027\%$ pour l’hydrogène (le décalage isotopique entre les spectres de H et de D en dépend).

Exercice 19.7 ★★

Une tige homogène de $1.0\,\mathrm{m}$ pivote librement autour d’une extrémité. Période des petites oscillations ; longueur du pendule simple de même période ; le point de la tige (le centre de percussion) où un coup sec ne produit aucune réaction au pivot est à cette distance — pourquoi un batteur le cherche-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 19.7.

$J = ML^2/3$ , $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ; longueur équivalente $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ . Un coup au centre de percussion met la tige en rotation autour du pivot sans réaction impulsive en ce point : frapper la balle au « point idéal » de la batte, et les mains ne ressentent rien.

Exercice 19.8 ★★

Un disque ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ , $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) est suspendu à un fil et oscille en torsion avec une période de $2.0\,\mathrm{s}$ . Constante de torsion du fil.

Solution

Solution de Exercice 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ .

Exercice 19.9 ★★

Un volant d’inertie de moment d’inertie $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ tourne à $3000\,\mathrm{rpm}$ . Énergie stockée ; moment de freinage qui l’arrête en $10\,\mathrm{s}$ ; nombre de tours pendant le freinage.

Solution

Solution de Exercice 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; tours : $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ .

Exercice 19.10 ★★★

Une sphère pleine, un cylindre plein et un cerceau sont lâchés ensemble en haut d’un plan incliné. Ordre d’arrivée et rapport de leurs accélérations. Le résultat dépend-il de leurs rayons ou de leurs masses ?

Solution

Solution de Exercice 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : sphère ( $k = 2/5$ ) $0.714$ , cylindre ( $1/2$ ) $0.667$ , cerceau ( $1$ ) $0.500$ fois $g\sin\alpha$ : la sphère d’abord, le cerceau en dernier ; ni masse ni rayon nulle part.

Exercice 19.11 ★★★

Pendule balistique : une balle de $10\,\mathrm{g}$ à $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se fiche dans un bloc de $2.0\,\mathrm{kg}$ suspendu à un fil de $1.0\,\mathrm{m}$ . Vitesse juste après l’impact ; hauteur atteinte ; fraction de l’énergie cinétique de la balle perdue. Pourquoi ne peut-on pas utiliser la conservation de l’énergie pour l’impact lui-même ?

Solution

Solution de Exercice 19.11.

Quantité de mouvement : $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; puis l’énergie : $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ . $E_k$ : $800\,\mathrm{J}$ avant, $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ après : $99.5\%$ perdus en déformation et en chaleur. Le choc est inélastique — l’énergie ne s’y conserve pas, la quantité de mouvement si (la tension du fil est verticale et le choc bref).

Exercice 19.12 ★★★

Choc élastique frontal de $m_1$ à la vitesse $v_1$ sur $m_2$ au repos : établir $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ et $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ . Fraction d’énergie transférée lorsqu’un neutron heurte un proton ; un noyau de carbone ( $12m_n$ ) ; un noyau de plomb ( $207m_n$ ). Pourquoi modère-t-on les réacteurs avec des noyaux légers ?

Solution

Solution de Exercice 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ et $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ donnent $v_1 + v_1' = v_2'$ (en divisant l’équation d’énergie par celle de la quantité de mouvement), d’où les formules. Fraction d’énergie transmise à la cible $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : proton $100\%$ ; carbone $4 \times 12/169 = 28\%$ ; plomb $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ . Les noyaux légers prennent l’énergie du neutron en quelques chocs (eau, graphite) ; il en faudrait des centaines avec le plomb.

Un yo-yo qui se déroule : le centre de masse tombe, le disque tourne, et c’est la tension de la ficelle qui lie les deux mouvements — c’est le problème du week-end.

19.6 Problème : le yo-yo

Problème 19.1

Problème du week-end — un disque sur un axe fin au bout d’une ficelle : pourquoi il tombe si lentement, à quelle vitesse il tourne en bas, pourquoi il y « dort », et de quel côté roule une bobine dont on tire le fil

Un yo-yo est un disque homogène de masse $M = 50\,\mathrm{g}$ et de rayon $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ muni d’un axe fin de rayon $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ autour duquel est enroulée une ficelle de longueur $h = 1.0\,\mathrm{m}$ ; l’extrémité supérieure de la ficelle est tenue fixe. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $J = \tfrac12 MR^2$ par rapport à l’axe.

Partie I — Cinématique et énergie.

Où se trouve le centre de masse $G$ du yo-yo ? Pourquoi ?
Montrer, par le théorème de König, que son énergie cinétique vaut $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
Établir $J = \tfrac12 MR^2$ en intégrant sur des anneaux, et calculer $J$ .
La ficelle se déroulant sans glisser de l’axe, relier $v_G$ et $\omega$ .
En déduire $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ et calculer le facteur entre parenthèses. Commenter.

Partie II — La descente.

Bilan des forces sur le yo-yo ; écrire le théorème du centre de masse (axe vertical dirigé vers le bas).
Écrire le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe passant par $G$ (quelles forces ont un moment ?).
Combiner avec la question 4 pour trouver l’accélération $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ ; la calculer.
Calculer la tension de la ficelle et la comparer au poids.
Temps de déroulement des $1.0\,\mathrm{m}$ de ficelle, et vitesse atteinte ; comparer à une pierre lâchée de la même hauteur.
Vitesse angulaire en bas, en rad/s et en tours par minute.
Séparer l’énergie cinétique en bas en ses parts de translation et de rotation.
Vérifier le bilan énergétique : comparer $Mgh$ à l’énergie cinétique en bas, et dire pourquoi la tension de la ficelle, pourtant grande, ne travaille pas.

Partie III — En bas : le « dormeur ». Lorsque la ficelle est entièrement déroulée, elle arrête le centre de masse en quelques millisecondes ; le yo-yo continue de tourner dans la boucle au bout de la ficelle (il « dort »).

Pourquoi la rotation survit-elle à l’arrêt de $G$ ? (Quel théorème, et quelle force aurait-il fallu pour l’arrêter ?)
Estimer la tension moyenne pendant l’arrêt si $G$ est stoppé en $5\,\mathrm{ms}$ .
La boucle frotte sur l’axe avec un moment de frottement $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : combien de temps le yo-yo dort-il ?
Une secousse sèche vers le haut fait mordre la ficelle sur l’axe ; le yo-yo, qui tourne, remonte alors. Par l’énergie, jusqu’à quelle hauteur pourrait-il monter si rien n’était perdu ? Pourquoi, en pratique, moins ?
Pendant la remontée, la tension est-elle plus grande ou plus petite que le poids ? (Signe de $a_G$ .)
Que se passerait-il avec un yo-yo dont l’axe aurait le rayon $R$ (ficelle enroulée sur la jante) ? Calculer son accélération de chute.

Partie IV — La bobine sur la table. Le même objet repose sur une table rugueuse, axe horizontal, et sa ficelle quitte le bas de l’axe horizontalement ; on tire avec une force $F$ . Il roule sans glisser.

Au point de contact $C$ avec la table, quelle est la vitesse de la matière de la bobine ? En déduire que le mouvement est, à chaque instant, une rotation autour de $C$ .
Calculer le moment de $F$ par rapport à $C$ (bras de levier $R - r$ ), puis ceux du poids et de la réaction de la table.
À l’aide du théorème du moment cinétique en $C$ avec $J_C = J + MR^2$ (Huygens), trouver $a_G$ et montrer que la bobine roule vers la main.
On tire maintenant la ficelle sous un angle $\beta$ au-dessus de l’horizontale. Montrer que la bobine ne roule pas lorsque la droite d’action de $F$ passe par $C$ , c’est-à-dire $\cos\beta = r/R$ , et qu’elle s’éloigne de la main pour des tractions plus redressées. Calculer cet angle.
Calculer $a_G$ pour $F = 0.20\,\mathrm{N}$ tirée horizontalement, et la force de frottement nécessaire ; qu’est-ce qui limite $F$ avant que la bobine ne glisse ?
Récapituler : les trois théorèmes employés (centre de masse, moment cinétique par rapport à un axe, énergie) et ce que chacun a tranché.

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. Sur l’axe, au centre du disque, par symétrie.

2. König : $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ , et dans le référentiel barycentrique le yo-yo tourne autour de son axe : $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ .

3. Anneau de rayon $\rho$ et de masse $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ : $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

4. La ficelle est fixe et se déroule de l’axe : le point de l’axe en contact avec elle est momentanément immobile, donc $v_G = r\omega$ .

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : facteur $29$ — presque toute l’énergie est dans la rotation.

6. Poids $Mg$ vers le bas, tension $T$ vers le haut : $Ma_G = Mg - T$ .

7. Seule la tension a un moment par rapport à l’axe (bras de levier $r$ ) : $J\dot\omega = Tr$ .

8. $\dot\omega = a_G/r$ : $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ; puis $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ , d’où $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ , soit $97\%$ du poids : la ficelle le retient presque entièrement.

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Une pierre : $0.45\,\mathrm{s}$ et $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ .

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ contre $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : $28$ fois plus d’énergie dans la rotation que dans la chute.

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ . La tension s’applique au point de la ficelle qui est immobile (la ficelle ne bouge pas) : puissance nulle.

14. La force d’arrêt agit le long de la ficelle, donc en passant par l’axe : aucun moment par rapport à lui, et le moment cinétique $J\omega$ n’est pas touché. Seule une force tangentielle (un frottement sur l’axe) pourrait ralentir la rotation.

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ , dix-huit fois le poids — d’où la secousse que sent le doigt.

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ .

17. Toute l’énergie de rotation $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ se convertit en $Mgh'$ : $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ , presque toute la hauteur ; moins en pratique, à cause du frottement sur l’axe pendant le sommeil et des pertes à la secousse.

18. $a_G$ est dirigée vers le bas (le yo-yo ralentit en montant) alors que $v_G$ est vers le haut : $T = M(g - a_G) < Mg$ — plus petite que le poids.

19. Pour $r = R$ : facteur $1 + 1/2 = 1.5$ , $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — chute rapide, peu de rotation : c’est l’axe fin qui fait le yo-yo.

20. Roulement sans glissement : le point matériel en $C$ a une vitesse nulle ; or le champ des vitesses d’un solide dont un point est immobile est une rotation autour de ce point (axe passant par $C$ , même $\omega$ ).

21. $F$ s’applique au bas de l’axe, à la hauteur $R - r$ au-dessus de la table, horizontalement vers la main : son moment vaut $F(R - r)$ par rapport à $C$ , dans le sens qui roule la bobine vers la main ; le poids et la réaction passent par $C$ (moment nul).

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ , $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : vers la main.

23. La droite d’action de $F$ passe par $C$ lorsque la ficelle, partant du bas de l’axe, rencontre la table en $C$ : $\cos\beta = r/R$ , $\beta = 82^\circ$ . Plus redressée : le moment par rapport à $C$ s’inverse et la bobine s’éloigne (et pour $\beta$ assez grand, elle se soulève).

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; le frottement, par $Ma_G = F - f$ (il s’oppose à $F$ ) : $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ; il doit rester sous $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ (pour $\mu_s = 0.4$ ), c’est-à-dire $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ .

25. Centre de masse : la translation de $G$ et la tension ; moment cinétique par rapport à un axe : la rotation et le sens du roulement ; énergie : la vitesse en bas et la hauteur de la remontée.

Termes définis dans ce chapitre

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