Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

17Particules chargées dans les champs E et B

Dans l’oscilloscope qui traçait les courbes du Chapitre 7, un faisceau d’électrons est dirigé sur un écran par la tension entre deux plaques ; dans l’aimant d’un spectromètre de masse, les ions de deux isotopes se séparent de quelques millimètres parce que l’un est huit pour cent plus lourd que l’autre ; dans le cyclotron d’un hôpital, des protons s’enroulent vers l’extérieur sur deux cents tours avant d’en sortir au tiers de la vitesse de la lumière pour brûler une tumeur. Ces trois situations relèvent de la même dynamique : une charge dans un champ uniforme, électrique ou magnétique, et la loi de Newton. Ce chapitre la met en œuvre — la parabole dans un champ électrique, le cercle et l’hélice dans un champ magnétique — et en tire les instruments qui trient, accélèrent et mesurent les particules chargées.

Le cyclotron de 60 pouces de Lawrence à Berkeley, 1939 (département de l’Énergie des États-Unis) : entre les pôles de l’aimant, les protons s’enroulent vers l’extérieur en recevant deux impulsions par tour, exactement comme dans le problème du week-end.

17.1 La force de Lorentz

Définition 17.1 (Force de Lorentz)

Une particule de charge $q$ animée de la vitesse $\vect v$ dans un champ électrique $\vect E$ et un champ magnétique $\vect B$ subit la force

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

La part électrique est portée par $\vect E$ (ou par son opposé, si $q < 0$ ) et ne dépend pas du mouvement ; la part magnétique est perpendiculaire à la fois à $\vect v$ et à $\vect B$ , proportionnelle à la vitesse, et s’annule pour une particule au repos. Unités : $\vect E$ en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (ou $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ), $\vect B$ en teslas ( $\mathrm{T}$ ) : $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ .

Proposition 17.2 (Travail de la force de Lorentz)

La force magnétique ne travaille pas : sa puissance $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ est nulle, si bien qu’un champ magnétique seul change la direction de la vitesse mais jamais sa valeur ni l’énergie cinétique. La force électrique a pour puissance $q\vect E\cdot\vect v$ , et entre deux points son travail vaut $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ (Chapitre 27) : une particule de charge $q$ qui franchit une tension $U$ gagne l’énergie cinétique $\abs{qU}$ .

Démonstration. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ . Le champ électrostatique dérive du potentiel, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , donc $q\vect E$ est conservative avec $E_p = qV$ . ∎

Définition 17.3 (L’électronvolt)

L’électronvolt est l’énergie cinétique que gagne une charge élémentaire en franchissant un volt : $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . La chimie vit à quelques eV, les tubes à rayons X à des dizaines de keV, la physique nucléaire au MeV, la physique des particules au GeV et au TeV.

Remarque 17.4 (Pourquoi on néglige la pesanteur)

Pour un électron dans un champ de $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — une valeur modeste de laboratoire — la force électrique vaut $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , contre un poids $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : $10^{13}$ fois plus petit. Le poids est écarté de tous les calculs de ce chapitre sans autre forme de procès. (La limite relativiste est une autre affaire : les formules qui suivent valent pour $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ , c’est-à-dire en dessous d’environ $50\,\mathrm{keV}$ pour les électrons et $100\,\mathrm{MeV}$ pour les protons ; voir le volume de troisième année.)

17.2 Champ électrique uniforme

Proposition 17.5 (Accélération et déviation)

Dans un champ uniforme $\vect E$ , l’accélération $\vect a = q\vect E/m$ est constante : le mouvement est celui d’un projectile, avec $q\vect E/m$ à la place de $\vect g$ .

Lâchée sans vitesse et accélérée sous une tension $U$ , la particule atteint $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
Entrant à la vitesse $v_0$ selon $x$ dans une région de longueur $L$ où $\vect E = E\vect e_y$ , elle suit la parabole $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ et en sort déviée de l’angle $\alpha$ tel que $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , comme si elle était venue en ligne droite du milieu des plaques.

Démonstration. Énergie : $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ . Déviation : $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; à la sortie, $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ évaluée en $L$ ; la tangente à la sortie, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ , coupe l’axe en $x = L/2$ . ∎

Déviation électrostatique : entre les plaques, l’électron (ici q < 0, dévié vers la plaque positive) suit une parabole ; au-delà, il file tout droit, comme s’il venait du milieu des plaques — c’est la géométrie de l’oscilloscope à tube cathodique. — Déviation électrostatique : entre les plaques, l’électron (ici $q < 0$ , dévié vers la plaque positive) suit une parabole ; au-delà, il file tout droit, comme s’il venait du milieu des plaques — c’est la géométrie de l’oscilloscope à tube cathodique.

Exemple 17.6 (Le tube d’oscilloscope)

Des électrons accélérés sous $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , le dixième de $c$ — tout juste non relativiste) traversent des plaques de $4.0\,\mathrm{cm}$ distantes de $1.0\,\mathrm{cm}$ et portant $100\,\mathrm{V}$ : $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , et sur un écran situé $30\,\mathrm{cm}$ au-delà du centre des plaques la tache se déplace de $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ par volt, la sensibilité du tube, fixée uniquement par la géométrie et la tension d’accélération.

17.3 Champ magnétique uniforme

Théorème 17.7 (Mouvement dans un champ magnétique uniforme)

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ , de vitesse $\vect v_0$ perpendiculaire à un champ $\vect B$ uniforme, décrit un cercle à vitesse constante $v_0$ , de rayon et de pulsation

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

la pulsation cyclotron $\omega_c$ étant indépendante de la vitesse ; le sens de rotation dépend du signe de $q$ . Si $\vect v_0$ a en outre une composante $v_\parallel$ selon $\vect B$ , cette composante reste inchangée et la trajectoire est une hélice de rayon $mv_\perp/\abs qB$ et de pas $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ enroulée autour des lignes de champ.

Démonstration. La force $q\vect v\wedge\vect B$ est perpendiculaire à $\vect v$ et à $\vect B$ ; la vitesse est constante (pas de travail) et la composante selon $\vect B$ ne subit aucune force. Dans le plan perpendiculaire à $\vect B$ , la force a la norme constante $\abs qv_\perp B$ , toujours perpendiculaire à la vitesse : c’est un mouvement circulaire uniforme (Théorème 11.13) avec $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ . Puis $\omega_c = v_\perp/R$ ; la période $2\pi m/\abs qB$ multipliée par $v_\parallel$ donne le pas. ∎

À gauche : une charge dont la vitesse est perpendiculaire à B tourne à la pulsation cyclotron qB/m, la force magnétique fournissant l’accélération centripète. À droite : avec une composante de vitesse selon B, une hélice s’enroule autour de la ligne de champ — c’est le mouvement des électrons piégés dans le champ terrestre. — À gauche : une charge dont la vitesse est perpendiculaire à $\vect B$ tourne à la pulsation cyclotron $\abs qB/m$ , la force magnétique fournissant l’accélération centripète. À droite : avec une composante de vitesse selon $\vect B$ , une hélice s’enroule autour de la ligne de champ — c’est le mouvement des électrons piégés dans le champ terrestre.

Exemple 17.8 (Ordres de grandeur)

Un électron de $1\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dans $1\,\mathrm{mT}$ : $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , un tour en $36\,\mathrm{ns}$ — la même période à toute énergie, et c’est ce qui rend le cyclotron possible. Un proton du vent solaire ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dans les $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestres : $R = 92\,\mathrm{m}$ ; il ne peut pas traverser les lignes de champ, seulement s’enrouler le long d’elles vers les pôles — c’est l’aurore polaire.

17.4 Instruments

Proposition 17.9 (Sélecteur de vitesse et spectromètre de masse)

Dans des champs uniformes croisés $\vect E \perp \vect B$ , une particule qui se déplace perpendiculairement aux deux passe sans être déviée si et seulement si $v = E/B$ , quelles que soient sa charge et sa masse (sélecteur de vitesse). Dans un champ magnétique seul, une particule de vitesse connue décrit un demi-cercle de diamètre $2mv/\abs qB$ : le mesurer donne $m/q$ (spectromètre de masse). Des ions accélérés sous une tension $U$ puis courbés dans $B$ arrivent en

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

et deux isotopes de masses $m$ et $m + \Delta m$ se séparent de $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ .

Démonstration. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ exige $vB = E$ avec la bonne orientation. $R = mv/qB$ avec $v = \sqrt{2qU/m}$ ; puis on différentie $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{const}$ . ∎

Exemple 17.10 (Les isotopes du carbone)

Des ions $^{12}$ C et $^{13}$ C une fois chargés, accélérés sous $20\,\mathrm{kV}$ dans $0.50\,\mathrm{T}$ : $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ et $14.7\,\mathrm{cm}$ , soit $5.8\,\mathrm{mm}$ d’écart — deux taches distinctes sur le détecteur, et le rapport de leurs intensités donne l’abondance isotopique, matière première de la datation au carbone et de toute analyse isotopique.

Proposition 17.11 (Cyclotron)

Deux demi-cylindres creux (les « dees ») dans un champ $\vect B$ uniforme, avec entre eux une tension alternative $U$ à la pulsation cyclotron : la particule décrit des cercles à l’intérieur de chaque dee (où le champ électrique est nul), est accélérée de $\abs qU$ à chacune des deux traversées de l’intervalle par tour, et s’enroule vers l’extérieur avec $R \propto v$ ; au rayon d’extraction $R_{\max}$ , son énergie cinétique vaut

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

indépendante de la tension, qui ne fixe que le nombre de tours.

Démonstration. Comme $\omega_c$ ne dépend pas de la vitesse, une tension de fréquence fixe reste en phase avec la particule tour après tour ; et $v = \abs qBR/m$ au rayon $R$ . ∎

Le cyclotron : deux dees dans un champ magnétique uniforme ; la particule tourne à l’intérieur des dees et reçoit deux impulsions par tour à la traversée de l’intervalle, toujours en phase parce que sa période ne dépend pas de sa vitesse. L’énergie au bord ne dépend que de B et du rayon. — Le cyclotron : deux dees dans un champ magnétique uniforme ; la particule tourne à l’intérieur des dees et reçoit deux impulsions par tour à la traversée de l’intervalle, toujours en phase parce que sa période ne dépend pas de sa vitesse. L’énergie au bord ne dépend que de $B$ et du rayon.

Exemple 17.12 (Un cyclotron d’hôpital)

Protons, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , à $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ . Avec $50\,\mathrm{kV}$ sur les dees, $100\,\mathrm{keV}$ par tour : $270$ tours en $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Au-delà de quelques dizaines de MeV, l’augmentation relativiste de la masse (volume de troisième année) désynchronise les protons ; les machines de thérapie à $230\,\mathrm{MeV}$ modulent la fréquence ou le champ pour compenser — c’est le sujet du problème du week-end.

Proposition 17.13 (Effet Hall)

Un ruban d’épaisseur $d$ parcouru par un courant $I$ de porteurs de charge $q$ et de densité $n$ , plongé dans un champ $B$ perpendiculaire au ruban, développe en travers de sa largeur la tension de Hall

U_H = \frac{IB}{nqd} :

proportionnelle à $B$ (un magnétomètre) et inversement proportionnelle à $n$ (une sonde de la densité et du signe des porteurs).

Démonstration. La force magnétique $qv_dB$ sur les porteurs (de vitesse de dérive $v_d$ ) les pousse vers un bord jusqu’à ce que le champ électrique transversal $E_H$ l’équilibre : $qE_H = qv_dB$ , et $U_H = E_Hw$ en travers de la largeur $w$ ; avec $I = nqv_dwd$ , $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ . ∎

17.5 Exercices

Exercice 17.1 ★

Convertir $1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ et $1\,\mathrm{MeV}$ en joules. Vitesse d’un électron puis d’un proton accélérés du repos sous $1.0\,\mathrm{kV}$ .

Solution

Solution de Exercice 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . $v = \sqrt{2eU/m}$ : électron $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; proton $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ fois moins vite).

Exercice 17.2 ★

Un électron de $1.0\,\mathrm{keV}$ entre perpendiculairement dans un champ de $1.0\,\mathrm{mT}$ . Rayon, pulsation cyclotron, période.

Solution

Solution de Exercice 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ .

Exercice 17.3 ★

Un proton à $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans le champ terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ) : rayon de son cercle. Que se passe-t-il si sa vitesse fait $30^\circ$ avec le champ ?

Solution

Solution de Exercice 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ . À $30^\circ$ : une hélice de rayon $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ et de pas $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ , qui dérive le long de la ligne de champ.

Exercice 17.4 ★

Un sélecteur de vitesse a $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ et $B = 20\,\mathrm{mT}$ . Quelle vitesse passe ? Qu’advient-il des ions plus rapides, et de la même vitesse avec la charge opposée ?

Solution

Solution de Exercice 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ions plus rapides : la force magnétique l’emporte, ils s’incurvent du côté magnétique ; charge opposée à la même vitesse : les deux forces changent de sens, l’équilibre demeure — le sélecteur est aveugle au signe et à la masse.

Exercice 17.5 ★★

Oscilloscope : électrons sous $2.0\,\mathrm{kV}$ , plaques de $4.0\,\mathrm{cm}$ de long distantes de $1.0\,\mathrm{cm}$ , $100\,\mathrm{V}$ entre elles, écran à $30\,\mathrm{cm}$ au-delà du centre des plaques. Déviation sur l’écran et sensibilité en mm/V. Pourquoi une tension d’accélération plus grande réduit-elle la sensibilité ?

Solution

Solution de Exercice 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; déviation $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; sensibilité $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ . Des électrons plus rapides passent moins de temps entre les plaques : $\tan\alpha \propto 1/U_0$ .

Exercice 17.6 ★★

Des ions $^{12}$ C et $^{13}$ C une fois chargés, accélérés sous $20\,\mathrm{kV}$ , entrent dans un champ de $0.50\,\mathrm{T}$ ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ). Rayons et écart des deux taches après un demi-tour.

Solution

Solution de Exercice 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; écart $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ entre les points d’arrivée (les rayons diffèrent de $5.8\,\mathrm{mm}$ , les diamètres du double).

Exercice 17.7 ★★

Un cyclotron à protons a $B = 1.5\,\mathrm{T}$ et $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ . Fréquence de la tension des dees, énergie cinétique maximale, nombre de tours pour $50\,\mathrm{kV}$ sur les dees, temps passé à l’intérieur. De quelle fraction la masse du proton a-t-elle augmenté à la sortie ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $100\,\mathrm{keV}$ par tour : $270$ tours ; durée $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ .

Exercice 17.8 ★★

Un électron à $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre dans un champ de $2.0\,\mathrm{mT}$ à $30^\circ$ des lignes de champ. Rayon et pas de son hélice ; nombre de tours par mètre le long du champ.

Solution

Solution de Exercice 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; période $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , pas $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : environ $64$ tours par mètre.

Exercice 17.9 ★★

Un ruban de cuivre de $1.0\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur porte $5.0\,\mathrm{A}$ dans $1.0\,\mathrm{T}$ ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). Tension de Hall. Pourquoi les capteurs à effet Hall sont-ils faits de semi-conducteurs ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : moins d’un microvolt. Avec un $n$ dix millions de fois plus petit, un semi-conducteur donne des millivolts — un capteur utilisable.

Exercice 17.10 ★★★

Démontrer, à partir de la loi de Newton, qu’une charge placée dans un champ magnétique quelconque (uniforme ou non), sans champ électrique, garde une vitesse de norme constante. Un électron de $10\,\mathrm{keV}$ entre dans une région de champ intense et non uniforme : qu’est-ce qui peut changer, et qu’est-ce qui ne le peut pas ?

Solution

Solution de Exercice 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; en multipliant scalairement par $\vect v$ : $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ quel que soit $\vect B(\vect r, t)$ , pourvu qu’il n’y ait pas de $\vect E$ . La direction de la vitesse, le rayon de courbure, le pas peuvent tous changer ; la valeur de la vitesse et l’énergie cinétique ( $10\,\mathrm{keV}$ ), non.

Exercice 17.11 ★★★

Une charge $q$ part du repos à l’origine dans $\vect E = E\vect e_y$ et $\vect B = B\vect e_z$ . Écrire les équations du mouvement, montrer que la particule dérive en moyenne à la vitesse $E/B$ selon $\vect e_x$ (indication : chercher une solution de la forme $\vect v = \vect u + \vect w$ avec $\vect u$ constant), et décrire la trajectoire (une cycloïde). Application numérique pour un électron avec $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ et $B = 0.10\,\mathrm{T}$ .

Solution

Solution de Exercice 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ . Avec $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ : $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — une pure rotation cyclotron de $\vect w$ à $\omega_c$ . Partant du repos, $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ tourne à norme constante $E/B$ , si bien que la vitesse est la dérive $E/B$ plus un vecteur tournant de même norme — une cycloïde, à rebroussements là où $\vect v = \vect 0$ . Électron : dérive $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , hauteur des arches $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 17.12 ★★★

Dans l’oscilloscope de l’Exercice 17.5, on remplace les plaques par une bobine de déviation magnétique produisant $1.0\,\mathrm{mT}$ sur les mêmes $4.0\,\mathrm{cm}$ . Angle de déviation (aux petits angles : l’arc de rayon $R$ sur une longueur $L$ ) et déviation sur l’écran. Pourquoi les tubes de télévision, aux grands angles, utilisent-ils une déviation magnétique plutôt qu’électrique ?

Solution

Solution de Exercice 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (environ $15^\circ$ ) : déviation $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ pour un modeste millitesla. De grands angles avec des plaques demanderaient des kilovolts et de longues plaques ; une bobine courbe le faisceau de dizaines de degrés sans aucune tension.

17.6 Problème : des protons contre une tumeur

Problème 17.1

Problème du week-end — le cyclotron derrière le mur d’un hôpital : comment des protons sont lancés au tiers de la vitesse de la lumière, pourquoi la machine simple cesse de fonctionner avant l’énergie dont le thérapeute a besoin, et combien de protons il faut pour traiter une tumeur

Protons : $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Cyclotron : $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , rayon d’extraction $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , amplitude de la tension des dees $U = 50\,\mathrm{kV}$ .

Partie I — Un tour.

Écrire la force de Lorentz sur un proton animé de la vitesse $\vect v$ perpendiculaire à $\vect B$ , et montrer que sa vitesse ne peut pas changer à l’intérieur d’un dee.
Établir le rayon de son cercle et sa période ; montrer que la période ne dépend pas de la vitesse.
Calculer la fréquence cyclotron $f_c$ pour ces protons.
Énergie gagnée à chaque traversée de l’intervalle ; puis par tour.
Pourquoi la tension des dees doit-elle alterner exactement à $f_c$ ? Que se passe-t-il si elle en est un peu écartée ?
Les protons sont injectés au centre avec une vitesse négligeable : quel rayon après le premier tour ? Après $n$ tours ?

Partie II — Jusqu’au bord.

Énergie cinétique à l’extraction (en J et en MeV), et vitesse en fraction de $c$ .
Nombre de tours nécessaires et temps passé dans la machine.
Longueur totale du trajet en spirale (somme des circonférences — on approchera la somme par une intégrale).
Le résultat de la question 7 dépend-il de $U$ ? Sur quoi $U$ agit-il ?
Le vide intérieur doit être poussé : estimer la distance qu’un proton parcourt entre deux chocs avec les molécules du gaz résiduel si le libre parcours moyen doit dépasser la longueur de la spirale ; ce libre parcours varie comme $1/p$ et vaut environ $70\,\mathrm{nm}$ à la pression atmosphérique. Quelle pression faut-il ?
Calculer $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ à l’extraction et la variation relative de période qui en résulte. Sur le nombre de tours trouvé plus haut, de quelle fraction de période le proton a-t-il glissé par rapport à la tension ? Commenter.

Partie III — 230 MeV. La protonthérapie demande environ $230\,\mathrm{MeV}$ pour atteindre des tumeurs à $30\,\mathrm{cm}$ de profondeur.

Avec la formule non relativiste, quel produit $BR$ donnerait $230\,\mathrm{MeV}$ ? Avec $B = 2.0\,\mathrm{T}$ , quel rayon ?
À cette énergie, $\gamma - 1 = 0.245$ : qu’advient-il de la période cyclotron à mesure que le proton gagne de l’énergie, et pourquoi un cyclotron à fréquence fixe échoue-t-il ?
Deux remèdes existent : faire varier la fréquence de la tension pendant l’accélération (synchrocyclotron), ou faire croître $B$ avec le rayon de sorte que $B/\gamma$ reste constant (cyclotron isochrone). Expliquer chacun en une phrase et nommer un inconvénient du premier.
La quantité de mouvement relativiste vaut $p = \gamma mv$ et le rayon $R = p/qB$ reste valable : avec $\gamma = 1.245$ et $v = 0.60c$ , calculer $R$ pour $B = 2.0\,\mathrm{T}$ et comparer à la question 13.
Le faisceau extrait passe entre deux plaques de $1.0\,\mathrm{m}$ de long sous $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ pour être dévié d’un petit angle : estimer cet angle (non relativistement, avec le $p$ de la question précédente à la place de $mv$ ). Le pilotage électrique est-il praticable ici ?
Le même pilotage avec un aimant de $1.0\,\mathrm{T}$ sur $1.0\,\mathrm{m}$ : quel angle ? Conclure sur les raisons qui font des aimants la règle dans les lignes de faisceau.

Partie IV — La dose.

Un proton de $230\,\mathrm{MeV}$ dépose l’essentiel de son énergie près de la fin de son parcours (le pic de Bragg). Si tout est absorbé dans une tumeur de $0.50\,\mathrm{kg}$ , combien de protons délivrent une dose de $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) ?
Le courant du faisceau vaut $1.0\,\mathrm{nA}$ : protons par seconde, et durée de la séance.
Puissance transportée par le faisceau ; la comparer à celle d’une ampoule.
Les protons sont arrêtés dans le patient : quelle énergie chaque proton dépose-t-il grosso modo dans le dernier centimètre, si un quart de l’énergie s’y perd ? En électronvolts par micromètre ?
Chaque ionisation dans les tissus coûte environ $30\,\mathrm{eV}$ : combien d’ionisations un proton provoque-t-il sur tout son parcours ?
Pourquoi un faisceau de protons vaut-il mieux que des rayons X pour une tumeur profonde, en une phrase sur l’endroit où va l’énergie ?
Récapituler l’enchaînement, de la force de Lorentz à la dose : quelles équations ont fixé l’énergie, le rayon, le nombre de tours et la durée du traitement.

Solution

Solution de Problème 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : puissance nulle, vitesse constante.

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , indépendante de $v$ .

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ .

4. $eU = 50\,\mathrm{keV}$ par traversée, $100\,\mathrm{keV}$ par tour.

5. L’intervalle doit être à la polarité accélératrice chaque fois que le proton s’y présente, à une demi-période d’écart ; hors fréquence, la phase glisse et les impulsions finissent par freiner.

6. Après un tour, $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; après $n$ tours, $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ et $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ .

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ .

8. $270$ tours ; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ .

10. Non : $E_k$ ne dépend que de $B$ et de $R_{\max}$ ; $U$ fixe le nombre de tours et la durée.

11. Trajet $560\,\mathrm{m}$ : il faut $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ , c’est-à-dire $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — un vide poussé.

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; la période croît de $2.9\%$ . Sur $270$ tours, le glissement s’accumule sur plusieurs périodes — les derniers tours seraient déphasés ; en pratique on ajuste $B$ et la phase d’injection, et $27\,\mathrm{MeV}$ est proche de la limite de la machine simple.

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; $R = 1.1\,\mathrm{m}$ à $2\,\mathrm{T}$ .

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ croît de $24\%$ du centre au bord : une fréquence fixe se déphase sans espoir.

15. Synchrocyclotron : on abaisse la fréquence à mesure que le paquet gagne de l’énergie — un seul paquet à la fois, donc un courant moyen faible. Isochrone : on profile $B(R) \propto \gamma$ pour que la période reste constante — faisceau continu, le choix moderne.

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , un peu plus que les $1.1\,\mathrm{m}$ non relativistes.

17. Impulsion transversale $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; angle $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : sans espoir pour piloter.

18. En magnétique : $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , angle $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : mille fois plus — ce seront donc des aimants.

19. Énergie par proton $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; dose $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : $2.7\times10^{10}$ protons.

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{protons}/\mathrm{s}$ : environ $4.4\,\mathrm{s}$ .

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : une veilleuse, délivrée exactement là où il faut.

22. $58\,\mathrm{MeV}$ sur $1\,\mathrm{cm}$ : environ $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — une ionisation dense le long du dernier segment.

23. $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionisations par proton — les dégâts moléculaires qui tuent la cellule.

24. Les rayons X déposent de l’énergie tout au long de leur parcours, surtout près de l’entrée ; les protons déposent l’essentiel de la leur en fin de parcours, épargnant les tissus en amont et ne laissant rien en aval.

25. $R = mv/eB$ et $T = 2\pi m/eB$ (le cercle), $E_k = (eBR)^2/2m$ (l’énergie), $E_k/2eU$ (les tours), dose $=$ (protons $\times$ énergie)/masse et courant $= e \times$ débit (la durée).

Termes définis dans ce chapitre

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