विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

14यांत्रिक दोलित्र: अवमंदन और अनुनाद

किसी बच्चे के झूले को गलत क्षण पर धकेलिए और कुछ ख़ास नहीं होता; उसे प्रति आवर्तकाल एक बार, हलके से धकेलिए, और दस-बारह झूलों में बच्चा चाप के शिखर पर चीख़ रहा होता है। कपड़े धोने की कोई मशीन अपने घुमाव-चक्र की एक ख़ास चाल पर ज़ोर से थरथराती है और उससे ऊपर शांत हो जाती है। शराब का कोई गिलास तब गाने लगता है जब गीली उँगली ठीक उपयुक्त दर से उसकी कोर पर घूमती है, और तब चटक जाता है जब कोई गायक वही स्वर पर्याप्त ऊँची आवाज़ में पकड़े रखता है। इनमें से हर एक अनुनाद है: कोई निकाय, जिसकी अपनी एक स्वाभाविक आवृत्ति है, उसी के आसपास प्रणोदित होने पर चक्र दर चक्र ऊर्जा जमा करता जाता है, जब तक घर्षण उसे उतनी ही तेज़ी से बहा न ले जाए जितनी तेज़ी से वह आ रही है। यह अध्याय यांत्रिक दोलित्र को लेता है — मुक्त, अवमंदित, फिर प्रणोदित — और वे अनुनाद-वक्र व्युत्पन्न करता है जिनके विद्युत जुड़वाँ अध्याय 8 में आ चुके हैं।

14.1 आवर्त दोलित्र

परिभाषा 14.1 (आवर्त दोलित्र)

कोई निकाय, जिसका किसी स्थायी साम्यावस्था से विस्थापन $x$ इसका पालन करता है

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

वह स्वाभाविक कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ (आवर्तकाल $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ) वाला आवर्त दोलित्र है। हल $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ का आयाम और कला आरंभिक शर्तों से तय होते हैं, और उसका आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र होता है (समकालिकता)।

प्रतिज्ञप्ति 14.2 (आवर्त दोलित्र कहाँ-कहाँ से आते हैं)

$m$ द्रव्यमान, $k$ दृढ़ता की स्प्रिंग पर: $\omega_0^2 = k/m$ (हुक का नियम)।
$\ell$ लंबाई का सरल लोलक, छोटे कोणों पर: $\omega_0^2 = g/\ell$ ।
किसी स्थितिज ऊर्जा $E_p$ की किसी स्थायी साम्यावस्था के पास कोई भी कण: $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (प्रतिज्ञप्ति 13.12)।
LC परिपथ: $\omega_0^2 = 1/LC$ , जहाँ $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ ।

ऊर्जा $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ अचर रहती है, और प्रति आवर्तकाल दो बार गतिज तथा स्थितिज रूप के बीच छलकती है।

उपपत्ति. $F = -kx$ के साथ न्यूटन का दूसरा नियम; लोलक का समीकरण $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ , जिसमें $\sin\theta \approx \theta$ ; $E_p$ के निम्निष्ठ पर टेलर का सूत्र; और LC परिपथ का पाश नियम। ऊर्जा: अवकलन कीजिए और समीकरण का प्रयोग कीजिए। ∎

उदाहरण 14.3 (डोलता बेलन)

$S$ अनुप्रस्थ काट का कोई ऊर्ध्वाधर बेलन $h$ गहराई तक डूबा हुआ तैरता है ( $mg = \rho_wgSh$ , उत्प्लावन अध्याय 21 से)। उसे $x$ नीचे दबाने पर उस पर ऊपर की ओर अतिरिक्त बल $\rho_wgSx$ लगता है: $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , अतः $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — ठीक उतना ही जितना $h$ लंबाई के किसी लोलक का। $1\,\mathrm{m}$ तक डूबा कोई प्लव $2\,\mathrm{s}$ के आवर्तकाल से डोलता है, उसका द्रव्यमान चाहे जो हो।

14.2 अवमंदित दोलित्र

प्रतिज्ञप्ति 14.4 (अवमंदित दोलित्र)

श्यान घर्षण $-\alpha\dot x$ के साथ समीकरण यह हो जाता है

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

यानी अध्याय 7 का प्रामाणिक द्वितीय कोटि का रूप: $Q > \tfrac12$ के लिए एक छद्म-आवर्ती क्षय $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ , जिसमें $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; और ऊर्जा $\eu^{-2t/\tau}$ की तरह क्षीण होती है तथा

Q = 2\pi\,\frac{\text{संचित ऊर्जा}}{\text{प्रति आवर्तकाल खोई ऊर्जा}} \quad (Q \gg 1) .

उपपत्ति. $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ को $m$ से भाग दीजिए। ऊर्जा के लिए: $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ प्रति आवर्तकाल $2T/\tau = 2\pi/Q$ अंश खो देती है, जब वह छोटा हो। ∎

उदाहरण 14.5 (गूँजने के समय)

$440\,\mathrm{Hz}$ का कोई स्वरित्र द्विभुज ठोके जाने के दस सेकंड बाद भी सुनाई देता है: उसका आयाम लगभग $5\%$ तक गिर गया, वह भी $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ में, अतः $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ और $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ । किसी कार का निलंबन ( $Q \approx 0.7$ ) एक ही आवर्तकाल में थम जाता है; किसी बच्चे का झूला ( $Q \approx 20$ ) प्रति झूले अपनी ऊर्जा का एक तिहाई खो देता है और हर बार धक्का माँगता है।

14.3 प्रणोदित दोलन और अनुनाद

प्रमेय 14.6 (ज्यावक्रीय रूप से प्रणोदित दोलित्र)

बल $F_0\cos\omega t$ से प्रणोदित होने पर अवमंदित दोलित्र

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

$\sim\tau$ अवधि के किसी क्षणिक चरण के बाद प्रणोदित व्यवस्था $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ में बैठ जाता है, जहाँ $x_r = \omega/\omega_0$ और स्थैतिक विक्षेप $X_0 = F_0/k$ लिखने पर,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

आयाम $X$ का शिखर, $Q > 1/\sqrt2$ के लिए, $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ पर आता है, जहाँ $X_{\max} \approx QX_0$ ; वेग-आयाम $V = \omega X$ का शिखर ठीक $\omega_0$ पर आता है, जहाँ $V_{\max} = F_0/\alpha$ , और उसके अनुनाद-वक्र

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

की बैंड-चौड़ाई $\Delta\omega = \omega_0/Q$ है। $\omega_0$ पर विस्थापन बल से $\pi/2$ पीछे रहता है और वेग उसके साथ समकला रहता है।

उपपत्ति. सम्मिश्र विधि (अध्याय 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , अतः $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; अंश और हर दोनों को $\omega_0^2 = k/m$ से भाग दीजिए। मापांक और कोणांक इसके बाद निकल आते हैं; $X$ का उच्चिष्ठ प्रतिज्ञप्ति 8.10 में निकाला जा चुका है (वही फलन)। वेग: $\underline V = j\omega\underline X$ से $V = \omega X$ मिलता है; और $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ लिखने पर हर बदलकर $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ हो जाता है, अर्थात् RLC वाला रूप। $x_r = 1$ पर $\underline X = -jQX_0$ : यानी $\pi/2$ का पिछड़ाव। ∎

प्रणोदन आवृत्ति के सापेक्ष प्रणोदित दोलित्र का आयाम (बाएँ) और कला (दाएँ), कई गुणता गुणकों के लिए। _0 के पास एक तीखा शिखर, जब Q बड़ा हो; और Q = 1/√2 से नीचे कोई नहीं; विस्थापन समकला ( कम) से विपरीत कला ( अधिक) तक जाता है, और बीच में π/2 का पिछड़ाव, वह भी _0 पर — अनुनाद जितना तीखा, पलटाव उतना ही अचानक। — प्रणोदन आवृत्ति के सापेक्ष प्रणोदित दोलित्र का आयाम (बाएँ) और कला (दाएँ), कई गुणता गुणकों के लिए। $\omega_0$ के पास एक तीखा शिखर, जब $Q$ बड़ा हो; और $Q = 1/\sqrt2$ से नीचे कोई नहीं; विस्थापन समकला ( $\omega$ कम) से विपरीत कला ( $\omega$ अधिक) तक जाता है, और बीच में $\pi/2$ का पिछड़ाव, वह भी $\omega_0$ पर — अनुनाद जितना तीखा, पलटाव उतना ही अचानक।

टिप्पणी 14.7 (दो अनुनाद, एक परिपथ)

संगति $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ प्रणोदित दोलित्र को अध्याय 8 के श्रेणी RLC पर प्रतिचित्रित कर देती है: वेग-अनुनाद ही धारा का अनुनाद है (सदा $\omega_0$ पर, बैंड-चौड़ाई $\omega_0/Q$ ), और आयाम-अनुनाद आवेश का, यानी संधारित्र-विभवांतर का अनुनाद है ( $\omega_0$ से थोड़ा नीचे, और कम $Q$ पर होता ही नहीं)। अवशोषित शक्ति, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , $\omega_0$ पर शिखर पर पहुँचती है, जहाँ उसका मान $F_0^2/2\alpha$ है, और अर्ध-शक्ति बिंदु वही वेग-बैंड-चौड़ाई देते हैं — ठीक जैसे RLC के लिए।

उदाहरण 14.8 (अनुनादी चालें)

किसी कार के निलंबन का $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ होता है (समस्या 7.1)। हर $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ पर नालियों वाली किसी सड़क पर प्रणोदन आवृत्ति $v/\lambda$ होती है: अतः अनुनाद $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर, यानी लगभग $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — वही चाल जिस पर नालीदार सड़क कार को सबसे अधिक हिलाती है, और यही कारण है कि $Q \approx 0.7$ वाला अवमंदक लगाया जाता है: $Q = 5$ होता तो पिंड सड़क के आयाम से पाँच गुना उछलता। अनुनाद से ऊपर ( $x_r \gg 1$ ) आयाम $X_0/x_r^2$ की तरह गिरता है: तेज़ी से आते उभारों के ऊपर से पिंड “तैर” जाता है — यानी पृथक्करण, अनुनाद का दूसरा चेहरा।

14.4 आधार-प्रणोदन: पृथक्करण और भूकंपमापी

प्रतिज्ञप्ति 14.9 (अपने आधार से हिलाया गया दोलित्र)

मान लीजिए किसी द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक का आधार $x_g(t)$ से चलता है (कार के नीचे की सड़क, भूकंपमापी के नीचे की भूमि), और $u$ आधार के सापेक्ष द्रव्यमान का विस्थापन हो तथा $x = x_g + u$ उसका निरपेक्ष विस्थापन (साम्यावस्था से)। तब

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

और $x_g = X_g\cos\omega t$ के लिए, जहाँ $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

$x_r \gg 1$ के लिए: $U \to X_g$ (द्रव्यमान अंतरिक्ष में स्थिर रहता है — कोई भूकंपमापी भूमि का विस्थापन पढ़ता है) और $X \to 0$ (द्रव्यमान हिलने से पृथक रहता है); और $x_r \ll 1$ के लिए: $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (कोई त्वरणमापी) तथा $X \approx X_g$ (द्रव्यमान आधार के पीछे-पीछे चलता है)।

उपपत्ति. स्प्रिंग और अवमंदक सापेक्ष गति पर लगते हैं: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , और $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ । सम्मिश्र रूप में $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , जिससे $U/X_g$ मिलता है; और फिर $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ । ∎

अपने आधार के द्वारा हिलाया गया कोई द्रव्यमान। बाएँ: सापेक्ष गति U/X_g — _0 से नीचे एक त्वरणमापी (लघुगणकीय पैमानों पर ढाल 2), और उससे ऊपर एक भूकंपमापी। दाएँ: निरपेक्ष गति X/X_g — कम आवृत्ति पर द्रव्यमान आधार के पीछे चलता है, और _0 से काफ़ी ऊपर उससे पृथक हो जाता है; ऊँचा Q एक ख़तरनाक शिखर के सिवा कुछ नहीं देता। — अपने आधार के द्वारा हिलाया गया कोई द्रव्यमान। बाएँ: सापेक्ष गति $U/X_g$ — $\omega_0$ से नीचे एक त्वरणमापी (लघुगणकीय पैमानों पर ढाल $2$ ), और उससे ऊपर एक भूकंपमापी। दाएँ: निरपेक्ष गति $X/X_g$ — कम आवृत्ति पर द्रव्यमान आधार के पीछे चलता है, और $\omega_0$ से काफ़ी ऊपर उससे पृथक हो जाता है; ऊँचा $Q$ एक ख़तरनाक शिखर के सिवा कुछ नहीं देता।

उदाहरण 14.10 (मशीनें कोमल आधारों पर क्यों बैठती हैं)

$f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ पर सधे रबर के आधारों पर रखी $50\,\mathrm{Hz}$ की कोई मोटर ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — यानी कंपन का नौ-दसवाँ हिस्सा फ़र्श तक पहुँचता ही नहीं। आधारों को अंतर्ज्ञान के सुझाव से भी कोमल होना पड़ता है: उन्हें कड़ा करने पर $f_0$ $50$ Hz की ओर चढ़ जाता है और पृथक्करण नष्ट हो जाता है। यही सूत्र, दूसरी ओर से पढ़ा जाए, तो नालीदार सड़क पर उदाहरण 14.8 वाली कार बन जाता है।

14.5 ऊर्जा: कोई अनुनाद कैसे बनता है

प्रतिज्ञप्ति 14.11 (प्रणोदित व्यवस्था में ऊर्जा-संतुलन)

स्थायी प्रणोदित व्यवस्था में प्रणोदक बल द्वारा दी गई औसत शक्ति घर्षण द्वारा क्षय की गई औसत शक्ति $\tfrac12\alpha V^2$ के बराबर होती है। अनुनाद पर संचित ऊर्जा $\tfrac12 mV_{\max}^2$ प्रति आवर्तकाल दी गई ऊर्जा की $Q/2\pi$ गुनी होती है: दोलित्र प्रणोदन का कार्य लगभग $Q$ चक्रों तक जमा करता है, तब कहीं जाकर हानियाँ आवक के बराबर होती हैं — और उतने ही चक्र ( $\sim\tau/T$ ) क्षणिक चरण भी चलता है।

उपपत्ति. ऊर्जा प्रमेय का एक आवर्तकाल पर औसत लीजिए: स्थायी अवस्था में $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ , अतः $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ । अनुनाद पर $V_{\max} = F_0/\alpha$ , संचित $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ , प्रति आवर्त दी गई $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; अनुपात $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ । ∎

उदाहरण 14.12 (झूला)

$2.5\,\mathrm{m}$ लंबाई का कोई झूला ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) हर आवर्तकाल में $0.5\,\mathrm{m}$ पर $50\,\mathrm{N}$ का धक्का पाता है: यानी प्रति चक्र $25\,\mathrm{J}$ । वह तब तक बढ़ता है जब तक प्रति आवर्तकाल की हानि $2\pi E/Q$ $25\,\mathrm{J}$ के बराबर न हो जाए: $E = 80\,\mathrm{J}$ ; और $30\,\mathrm{kg}$ के बच्चे के साथ $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ से $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ मिलता है। किसी और लय पर धकेलने से धक्कों का कार्य चिह्न बदलता रहता और औसत में कुछ भी न बचता।

किसी अनुनाद का आरंभ (Q = 5, प्रणोदन t = 0 पर _0 पर चालू): आयाम QX_0 की ओर कालांक = 2Q/ _0 के साथ बढ़ता है, यानी लगभग Q/π आवर्तकालों में — का क्षणिक चरण प्रणोदित व्यवस्था पर अध्यारोपित। — किसी अनुनाद का आरंभ ( $Q = 5$ , प्रणोदन $t = 0$ पर $\omega_0$ पर चालू): आयाम $QX_0$ की ओर कालांक $\tau = 2Q/\omega_0$ के साथ बढ़ता है, यानी लगभग $Q/\pi$ आवर्तकालों में — अध्याय 7 का क्षणिक चरण प्रणोदित व्यवस्था पर अध्यारोपित।

14.6 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

$80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ दृढ़ता की स्प्रिंग पर रखा $0.20\,\mathrm{kg}$ का कोई द्रव्यमान $5.0\,\mathrm{cm}$ आयाम से दोलन करता है। कोणीय आवृत्ति, आवृत्ति, आवर्तकाल, अधिकतम चाल, कुल ऊर्जा।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ ।

अभ्यास 14.2 ★

पृथ्वी पर और चंद्रमा पर ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) $1.0\,\mathrm{m}$ के लोलक का आवर्तकाल। चंद्रमा पर द्रव्यमान–स्प्रिंग के आवर्तकाल का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : पृथ्वी पर $2.0\,\mathrm{s}$ , चंद्रमा पर $4.9\,\mathrm{s}$ । द्रव्यमान–स्प्रिंग का आवर्तकाल, $2\pi\sqrt{m/k}$ , $g$ को शामिल ही नहीं करता: अपरिवर्तित।

अभ्यास 14.3 ★

किसी दोलित्र का $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ और $Q = 50$ है। आयाम का क्षय-काल $\tau$ ; ऊर्जा के आधी होने का समय; और आयाम के $5\%$ तक गिरने से पहले दोलनों की संख्या।

हल

हल — अभ्यास 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; ऊर्जा $\propto \eu^{-2t/\tau}$ $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ पर आधी हो जाती है; $5\%$ तब, जब $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ बीत जाएँ, यानी लगभग $48 \approx Q$ दोलनों के बाद।

अभ्यास 14.4 ★

स्प्रिंग पर रखा कोई द्रव्यमान ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) $1.0\,\mathrm{N}$ आयाम के किसी बल से प्रणोदित है। स्थैतिक विक्षेप; अनुनाद पर आयाम; और $\omega = 3\omega_0$ पर आयाम।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; अनुनाद पर $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; $3\omega_0$ पर: $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 14.5 ★★

कोई कार ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) $8.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर बने गति-अवरोधकों को पार करती है। अनुनादी चाल? $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर पिंड अवरोधक के आयाम का कितना अंश अनुभव करता है? टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )। $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर: $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — मुश्किल से पृथक; पृथक्करण के लिए $x_r \gg 1$ चाहिए ( $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $x_r = 3.2$ : $0.45$ )।

अभ्यास 14.6 ★★

ऊर्जा-संतुलन से समझाइए कि झूले को उसी के आवर्तकाल पर क्यों धकेलना पड़ता है; $Q = 20$ और प्रति चक्र $25\,\mathrm{J}$ जोड़ते धक्के के लिए स्थायी अवस्था की ऊर्जा निकालिए, और $2.5\,\mathrm{m}$ के झूले पर $30\,\mathrm{kg}$ के बच्चे के लिए आयाम भी।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

किसी धक्के का कार्य तभी धनात्मक होता है जब वह गति के अनुदिश लगे; हर आवर्तकाल पर धकेलने से सारे धक्के जुड़ते जाते हैं; किसी और लय पर वे बारी-बारी से चिह्न बदलते हैं। स्थायी अवस्था: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ ।

अभ्यास 14.7 ★★

किसी मुक्त दोलन के क्रमागत उच्चिष्ठ प्रति आवर्तकाल $10\%$ घटते हैं। $Q$ निकालिए, और यदि $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ हो तो उसके वेग-अनुनाद की बैंड-चौड़ाई भी (हर्ट्ज़ में)।

हल

हल — अभ्यास 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ ।

अभ्यास 14.8 ★★

अनुनाद से काफ़ी नीचे, अनुनाद पर, और काफ़ी ऊपर बल के सापेक्ष विस्थापन की कला दीजिए, तथा अनुनाद पर वेग की कला भी। शक्ति के लिए वेग-अनुनाद ही क्यों मायने रखता है?

हल

हल — अभ्यास 14.8.

विस्थापन: काफ़ी नीचे समकला ( $\varphi = 0$ ), अनुनाद पर $-\pi/2$ , और काफ़ी ऊपर $-\pi$ (विपरीत)। अनुनाद पर वेग: बल के साथ समकला। शक्ति $\vect F\cdot\vect v$ है: अतः यह वेग की कला तय करती है, विस्थापन की नहीं, कि प्रणोदन कितना कार्य करता है।

अभ्यास 14.9 ★★

दिखाइए कि वेग-आयाम $V = \omega X$ ठीक $\omega_0$ पर उच्चिष्ठ है, जहाँ $V_{\max} = F_0/\alpha$ , और यह भी कि $V/V_{\max}$ का रूप $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ है।

हल

हल — अभ्यास 14.9.

V = \omega X = \frac{\omega(F_0/m)}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}} ;

अंश और हर को $\omega\omega_0/Q$ से भाग दीजिए:

V = \frac{F_0Q/m\omega_0}{\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}} ,

और $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ । वर्गमूल $\geq 1$ है, और $1$ के बराबर ठीक तभी जब $\omega = \omega_0$ हो।

अभ्यास 14.10 ★★★

$F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ के लिए अनुनाद पर अवशोषित औसत शक्ति निकालिए, और $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ हो तो संचित ऊर्जा भी; जाँचिए कि उनका अनुपात $Q/\omega_0$ है, जहाँ $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ और $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 14.11 ★★★

$440\,\mathrm{Hz}$ का कोई स्वरित्र द्विभुज $10\,\mathrm{s}$ तक सुनाई देता है (आयाम $5\%$ तक गिरने तक)। $\tau$ और $Q$ , तथा उसके अनुनाद की बैंड-चौड़ाई आँकिए, और टिप्पणी कीजिए कि वह अच्छा आवृत्ति-मानक क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ । वह मूलतः एक ही आवृत्ति पर अनुक्रिया करता है और उसी का उत्सर्जन करता है: यानी $10^4$ में कुछ भागों तक अच्छा एक मानक।

अभ्यास 14.12 ★★★

किसी तैरते बेलन की डोलने की आवृत्ति (उदाहरण 14.3) न्यूटन के नियम और आर्किमिडीज़ के बल $\rho_wgS(h + x)$ से व्युत्पन्न कीजिए; दिखाइए कि $\omega_0^2 = g/h$ ; और $h = 10\,\mathrm{cm}$ के लिए आवर्तकाल निकालिए। परिणाम द्रव्यमान और तरल से स्वतंत्र क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ , क्योंकि $mg = \rho_wgSh$ : $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ । द्रव्यमान और तरल का घनत्व, दोनों केवल साम्यावस्था की गहराई $h$ के रास्ते ही भीतर आते हैं।

कोई भूकंपलेखी: कोमल निलंबन पर टँगा भारी द्रव्यमान स्थिर रहता है जबकि भूमि चलती है, और कलम अंतर लिख देती है — यही सप्ताहांत समस्या का आधार-प्रणोदित दोलित्र है।

14.7 समस्या: भूकंपलेखी

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — भूमि से कसे किसी डिब्बे के भीतर स्प्रिंग से एक द्रव्यमान लटका है; भूमि हिलती है: कलम क्या दर्ज करती है, वही यंत्र ऊँची आवृत्ति पर विस्थापन और नीची आवृत्ति पर त्वरण क्यों मापता है, और लंबे आवर्तकाल का कोई भूकंपमापी केवल एक लंबी स्प्रिंग क्यों नहीं हो सकता

भूमि से जुड़े किसी दृढ़ ढाँचे के भीतर $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ का कोई द्रव्यमान $k$ दृढ़ता की स्प्रिंग से लटका है; कोई अवमंदक $-\alpha\dot u$ लगाता है, जहाँ $u$ ढाँचे के सापेक्ष द्रव्यमान का विस्थापन है, जिसे उसकी साम्यावस्था की स्थिति से नापा जाता है। भूमि, और इसलिए ढाँचा, $x_g(t)$ से ऊर्ध्वाधर दिशा में चलते हैं। दूर के तारों का तंत्र जड़त्वीय है।

भाग I — समीकरण।

द्रव्यमान की निरपेक्ष स्थिति $x = x_g + u + \text{नियतांक}$ लिखिए, द्रव्यमान पर लगते बलों की सूची बनाइए (जड़त्वीय तंत्र में), और दिखाइए कि

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
उसे प्रामाणिक रूप में लाइए; $\omega_0$ और $Q$ पहचानिए।
यह यंत्र $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ और $Q = 0.70$ के साथ बनाया गया है: $k$ और $\alpha$ निकालिए।
कोई अचर भूमि-त्वरण $a_g$ (मान लीजिए ढाँचे का झुक जाना) कौन-सा स्थायी $u$ देता है? व्याख्या कीजिए।
द्रव्यमान से जुड़ी कलम, जो ढाँचे पर टिके किसी ढोल पर लिखती है, क्या दर्ज करती है?

भाग II — आवर्त भूमि-गति। भूमि $x_g = X_g\cos\omega t$ की तरह चलती है; $x_r = \omega/\omega_0$ लिखिए।

सम्मिश्र आयामों का प्रयोग करके दिखाइए कि $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ ।
$U/X_g$ को $x_r$ और $Q$ के फलन के रूप में निकालिए।
सीमा $x_r \gg 1$ : दिखाइए कि $U \to X_g$ , और भौतिक रूप से समझाइए कि द्रव्यमान करता क्या है (यंत्र माप क्या रहा है?)।
सीमा $x_r \ll 1$ : दिखाइए कि $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , जहाँ $a_g$ भूमि के त्वरण का आयाम है: अब यंत्र क्या है?
$x_r = 1$ पर मान; $Q \approx 0.7$ समझदारी भरा चुनाव क्यों है?
$U/X_g$ का $x_r$ के सापेक्ष रेखाचित्र बनाइए (लघुगणकीय पैमाने), $Q = 0.7$ और $Q = 5$ के लिए।
ऊँची आवृत्ति पर $u$ की कला, $x_g$ के सापेक्ष; व्याख्या कीजिए।

भाग III — भूकंपों के लिए अभिकल्प। दूर के भूकंप $0.05\,$ से $0.1\,\mathrm{Hz}$ तक की पृष्ठ-तरंगें पैदा करते हैं, जिनके आयाम मिलीमीटर भर के होते हैं; स्थानीय झटके $5\,$ से $10\,\mathrm{Hz}$ तक पहुँचते हैं।

$0.05\,\mathrm{Hz}$ की तरंगों को विस्थापन के रूप में दर्ज करने के लिए $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ चाहिए, मान लीजिए $0.02\,\mathrm{Hz}$ । द्रव्यमान के भार के नीचे स्प्रिंग कितनी स्थैतिक रूप से खिंचेगी? टिप्पणी कीजिए।
उसी आवृत्ति का कोई सरल लोलक: कितनी लंबाई?
असली लंबे-आवर्तकाल वाले यंत्र लगभग क्षैतिज “बाग़-फाटक” लोलक काम में लेते हैं, या इलेक्ट्रॉनिक बल-पुनर्भरण। एक-एक वाक्य में समझाइए कि इनमें से हर एक क्या हासिल करता है।
$0.50\,\mathrm{Hz}$ वाले यंत्र के लिए स्थैतिक खिंचाव निकालिए: क्या यह व्यवहार्य है?
उससे, $1.0\,\mathrm{mm}$ आयाम की कोई $0.10\,\mathrm{Hz}$ तरंग कौन-सा $U$ देती है? यंत्र किस व्यवस्था में है?
$1.0\,\mathrm{mm}$ आयाम का कोई $5.0\,\mathrm{Hz}$ स्थानीय झटका: $U$ ? और व्यवस्था?

भाग IV — फ़ोन का त्वरणमापी। सिलिकॉन की स्प्रिंगों पर रखे किसी सूक्ष्म-गढ़े द्रव्यमान का $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ और $Q = 0.7$ है।

$g$ त्वरण-आयाम वाला कोई $10\,\mathrm{Hz}$ का झटका: $U$ निकालिए। ऐसा विस्थापन पढ़ा कैसे जाता है?
पाठ किस आवृत्ति तक $10\%$ के भीतर रहता है, $a_g/\omega_0^2$ की तुलना में?
किसी झटके के प्रति उसकी अनुक्रिया को कौन-सा कालांक $\tau = 2Q/\omega_0$ नियंत्रित करता है, और गिरने का पता लगाने के लिए उसका क्या महत्व है?
भूकंपमापी का $\tau$ : मान, और किसी अचानक भूमि-सोपान के बाद उसका परिणाम।
दोनों यंत्रों के लिए ऊँचे $Q$ के बजाय क्रांतिक (या लगभग क्रांतिक) अवमंदन क्यों चुना जाता है?
फ़ोन को ठीक $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर हिलाया जाता है: पाठ कितने गुना ग़लत होगा?
सार दीजिए: एक यंत्र, दो व्यवस्थाएँ, और किस एक तुलना से यह तय होता है।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. बल: भार (जो स्थैतिक खिंचाव से संतुलित है), स्प्रिंग $-ku$ , अवमंदक $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , जहाँ $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ ।

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ।

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ।

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : द्रव्यमान एक नियत मात्रा से झुक जाता है — यानी शून्य आवृत्ति पर यंत्र एक त्वरणमापी है (और एक झुकाव-मापी भी)।

5. सापेक्ष विस्थापन $u(t)$ ।

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; अब $\omega_0^2$ से भाग दीजिए।

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ।

8. $U \to X_g$ : द्रव्यमान जड़त्वीय तंत्र में हिलता ही नहीं (उसका जड़त्व उसे स्थिर रखता है, और स्प्रिंग इतनी कोमल है कि उसे घसीट नहीं सकती); ढाँचा उसके चारों ओर चलता है, और कलम भूमि का विस्थापन दर्ज कर लेती है — यानी एक भूकंपमापी।

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : यानी एक त्वरणमापी।

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : कोई शिखर नहीं; दोनों व्यवस्थाएँ सहज ही जुड़ जाती हैं और यंत्र गूँजता नहीं।

11. $Q = 0.7$ के लिए: ढाल $2$ की एक रेखा, जो $1$ तक चढ़ जाती है ( $x_r = 1$ के पास), और फिर $1$ पर सपाट; और $Q = 5$ के लिए: वही, पर $5$ ऊँचाई का एक शिखर $x_r = 1$ पर।

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , यानी ढाँचा चलता है और द्रव्यमान स्थिर रहता है।

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : यानी बेतुका।

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ ।

15. बाग़-फाटक: लोलक लगभग ऊर्ध्वाधर किसी अक्ष के परितः झूलता है, इसलिए $g$ का बहुत छोटा अंश ही उसे लौटाता है और छोटी भुजा से भी लंबा आवर्तकाल मिल जाता है। बल-पुनर्भरण: कोई कुंडली द्रव्यमान को स्थिर रखती है, और उसके लिए आवश्यक धारा भूमि के त्वरण के समानुपाती होती है — दृढ़ता अब इलेक्ट्रॉनिक और समायोज्य है।

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : व्यवहार्य।

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — त्वरणमापी वाली व्यवस्था, जिसे प्रवर्धन चाहिए (प्रकाशिक उत्तोलक या इलेक्ट्रॉनिकी)।

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , यानी विस्थापन का सच्चा अभिलेख।

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — जिसे किसी संधारित्र के अंतराल के परिवर्तन के रूप में पढ़ा जाता है।

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; और $Q = 0.7$ के साथ वह एकदिष्ट रूप से घटता है और $0.9$ से ऊपर बना रहता है, $x_r \approx 0.7$ तक: यानी लगभग $700\,\mathrm{Hz}$ तक।

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : वह किसी गिरावट (दसियों मिलीसेकंड) का पीछा बिना पिछड़े कर लेता है।

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : किसी भूमि-सोपान के बाद अभिलेख आधे सेकंड में बिना गूँज के थम जाता है।

23. ऊँचा $Q$ यंत्र को हर झटके के बाद $f_0$ पर गुँजा देता (जिससे वह भूमि के बजाय स्वयं को दर्ज करता) और $f_0$ के पास शिखर बना देता; $Q \approx 0.7$ सपाट और तेज़ है।

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ , जबकि आदर्श $X_g$ है (या $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): यानी $30\%$ कम।

25. संकेत की आवृत्ति की $f_0$ से तुलना कीजिए: काफ़ी ऊपर हो तो द्रव्यमान एक स्थिर संदर्भ है और $u$ विस्थापन है; काफ़ी नीचे हो तो $u$ त्वरण बटा $\omega_0^2$ है।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

आवर्त दोलित्र

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