विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

18अजड़त्वीय तंत्र; पृथ्वी पर गतिकी

बाईं ओर मुड़ती किसी बस में खड़े होकर आप दाईं ओर झुक जाते हैं, किसी ऐसे बल से धकेले हुए जिसे कोई लगाता ही नहीं। घूमते चक्र पर नचाई गई बाल्टी का पानी अपनी सतह को कटोरे-सा खोखला कर लेता है। किसी संग्रहालय के गुंबद के नीचे कोई लोलक घंटों झूलता रहता है और उसके झूलने की रेखा धीरे-धीरे घूमती जाती है, घंटे भर में कुछ अंश, मानो कोई अदृश्य हाथ उसे घुमा रहा हो। इनमें से कोई भी नया बल नहीं है: यह बस वह रूप है जो न्यूटन के नियम तब ले लेते हैं जब गति का वर्णन जिस तंत्र में किया जा रहा है वही स्वयं त्वरित हो रहा हो या घूम रहा हो। यह अध्याय दिखाता है कि वेग और त्वरण एक तंत्र से दूसरे में कैसे बदलते हैं, गतिकी के नियम जड़त्वीय बल जोड़ देने से कैसे सुधर जाते हैं, और वे बल सबसे महत्वपूर्ण घूर्णी तंत्र पर — यानी पृथ्वी पर — क्या करते हैं।

पेरिस के पैंथियन का फूको लोलक, जहाँ वह 1851 में पहली बार टाँगा गया था: 67\, m तार, 28\, kg का गोलक, और झूलने का ऐसा तल जो फ़र्श के सापेक्ष घूमता जाता है। छायाचित्र: ओल्गा ख़ोमित्सेविच, CC BY 2.0। — पेरिस के पैंथियन का फूको लोलक, जहाँ वह 1851 में पहली बार टाँगा गया था: $67\,\mathrm{m}$ तार, $28\,\mathrm{kg}$ का गोलक, और झूलने का ऐसा तल जो फ़र्श के सापेक्ष घूमता जाता है। छायाचित्र: ओल्गा ख़ोमित्सेविच, CC BY 2.0।

18.1 तंत्र बदलना: शुद्धगतिकी

परिभाषा 18.1 (सापेक्ष गति; स्थानांतरण में और घूर्णन में तंत्र)

मान लीजिए $\mathcal R$ कोई तंत्र है (मूलबिंदु $O$ ) और $\mathcal R'$ कोई दूसरा (मूलबिंदु $O'$ ), जो उसके सापेक्ष चल रहा है। $\mathcal R'$ स्थानांतरण में है यदि उसकी अक्षें $\mathcal R$ में स्थिर दिशाएँ बनाए रखें ( $\mathcal R'$ के हर बिंदु का वेग $O'$ का वेग हो); और वह किसी स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः घूर्णन में है यदि $\Delta$ दोनों तंत्रों में स्थिर हो और $\mathcal R'$ उसके परितः कोणीय वेग $\Omega(t)$ से घूमता हो। किसी बिंदु $M$ के, $\mathcal R'$ के सापेक्ष, वेग और त्वरण $\vect v'$ तथा $\vect a'$ वही हैं जो $\mathcal R'$ का कोई स्थिर प्रेक्षक मापता है।

प्रमेय 18.2 (वेगों और त्वरणों का संयोजन)

$\mathcal R'$ जो $\vect v_{O'}$ वेग और $\vect a_{O'}$ त्वरण से स्थानांतरण कर रहा हो:

$\vect v = \vect v' + \vect v_{O'}, \qquad \vect a = \vect a' + \vect a_{O'} .$
$\mathcal R'$ जो स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः $\Omega$ से घूम रहा हो (अक्ष के अनुदिश सदिश $\vect\Omega = \Omega\vect e_z$ ); और $H$ अक्ष पर $M$ का प्रक्षेप हो:

$\vect v = \vect v' + \vect\Omega\wedge\vect{HM}, \qquad \vect a = \vect a' + \underbrace{\big(-\Omega^2\vect{HM} + \dot\Omega\,\vect e_z\wedge\vect{HM}\big)}_{\vect a_e} + \underbrace{2\vect\Omega\wedge\vect v'}_{\vect a_C} .$

$\vect a_e$ वाहक त्वरण है ( $\mathcal R'$ के उस बिंदु का त्वरण जो $M$ से संपाती है: एकसमान घूर्णन के लिए अक्ष की ओर अभिकेंद्र), और $\vect a_C = 2\vect\Omega\wedge\vect v'$ कोरिओलिस त्वरण, जो केवल तभी होता है जब $M$ घूर्णी तंत्र के सापेक्ष चल रहा हो।

उपपत्ति. स्थानांतरण: $\vect{OM} = \vect{OO'} + \vect{O'M}$ , जहाँ $\vect{O'M}$ के घटक उभयनिष्ठ आधार में लिए गए हैं; दो बार अवकलित कीजिए। घूर्णन: $\Delta$ के परितः बेलनाकार निर्देशांक लीजिए, $\mathcal R$ में $(r, \theta, z)$ और $\mathcal R'$ में $(r, \theta', z)$ , जहाँ $\theta = \theta' + \int\Omega\,\dd t$ है। फिर $\mathcal R$ में प्रमेय 11.7 से, $\dot\theta = \dot\theta' + \Omega$ के साथ: $\vect v = \dot r\vect e_r + r(\dot\theta' + \Omega)\vect e_\theta + \dot z\vect e_z = \vect v' + r\Omega\vect e_\theta$ , और $r\Omega\vect e_\theta = \vect\Omega\wedge\vect{HM}$ । त्वरण के लिए, $\ddot\theta = \ddot\theta' + \dot\Omega$ : $\vect a = [\ddot r - r(\dot\theta' + \Omega)^2]\vect e_r + [r(\ddot\theta' + \dot\Omega) + 2\dot r(\dot\theta' + \Omega)]\vect e_\theta + \ddot z\vect e_z$ ; फैलाकर और समूहित करने पर, $\vect a = \vect a' - r\Omega^2\vect e_r + r\dot\Omega\vect e_\theta + 2\Omega(-r\dot\theta'\vect e_r + \dot r\vect e_\theta)$ , और अंतिम कोष्ठक $2\vect\Omega\wedge\vect v'$ है, क्योंकि $\vect e_z\wedge\vect e_r = \vect e_\theta$ , $\vect e_z\wedge\vect e_\theta = -\vect e_r$ । ∎

उदाहरण 18.3 (घूमते चक्र पर चलना)

अभ्यास 11.12 में ऐसे किसी व्यक्ति का त्वरण निकाला गया था जो $u$ चाल से त्रिज्या के अनुदिश ऐसे चक्र पर चल रहा है जो $\Omega$ से घूम रहा है: $-ut\Omega^2\vect e_r + 2u\Omega\vect e_\theta$ । नई भाषा में: सापेक्ष त्वरण शून्य, वाहक त्वरण $-r\Omega^2\vect e_r$ , और कोरिओलिस $2\vect\Omega\wedge u\vect e_r = 2u\Omega\vect e_\theta$ ।

18.2 अजड़त्वीय तंत्र में गतिकी: जड़त्वीय बल

प्रमेय 18.4 (अजड़त्वीय तंत्र में न्यूटन का नियम)

जो तंत्र $\mathcal R'$ जड़त्वीय नहीं है, उसमें किसी कण की गति इस नियम का पालन करती है

m\vect a' = \sum\vect F + \vect F_e + \vect F_C, \qquad \vect F_e = -m\vect a_e, \qquad \vect F_C = -m\vect a_C = -2m\vect\Omega\wedge\vect v' :

न्यूटन का दूसरा नियम तभी तक लागू रहता है जब तक वास्तविक बलों में वाहक बल जोड़ दिया जाए (एकसमान घूर्णी तंत्र के लिए यह अपकेंद्र बल $+m\Omega^2\vect{HM}$ है, जो अक्ष से दूर की ओर होता है; और स्थानांतरण करते तंत्र के लिए $-m\vect a_{O'}$ ), तथा साथ में कोरिओलिस बल भी। ये जड़त्वीय बल अन्योन्यक्रियाएँ नहीं हैं: इन्हें कोई पिंड नहीं लगाता, इनकी कोई प्रतिक्रिया नहीं होती, और किसी जड़त्वीय तंत्र में ये लुप्त हो जाते हैं।

उपपत्ति. $m\vect a = \sum\vect F$ जड़त्वीय तंत्र $\mathcal R$ में लागू है; उसमें $\vect a = \vect a' + \vect a_e + \vect a_C$ प्रतिस्थापित कीजिए और दोनों पदों को दाईं ओर ले जाइए। ∎

उदाहरण 18.5 (झुकता यात्री, साहुल)

$a = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ पर ब्रेक लगाती किसी बस में लटकता पट्टा, बस के तंत्र में, गुरुत्व के साथ-साथ आगे की ओर एक जड़त्वीय बल $ma$ भी अनुभव करता है: वह आभासी गुरुत्व $\vect g' = \vect g - \vect a_{O'}$ के अनुदिश लटकता है, यानी आगे की ओर $\arctan(a/g) = 17^\circ$ झुका हुआ। स्थिर खड़ा रहना चाहने वाले यात्री को उसी आभासी ऊर्ध्वाधर की ओर झुकना पड़ता है। मुक्त रूप से गिरती किसी लिफ़्ट में $\vect g' = \vect 0$ : भीतर से देखने पर भारहीनता।

जड़त्वीय बल। बाएँ: ब्रेक लगाती बस में साहुल आभासी गुरुत्व g - a_O' के अनुदिश लटकता है, यानी आगे की ओर झुका हुआ। दाएँ: से घूमते किसी तंत्र में कण अक्ष से दूर की ओर अपकेंद्र बल अनुभव करता है और, यदि वह चल रहा हो, तो अपने सापेक्ष वेग पर लंब एक कोरिओलिस बल भी। — जड़त्वीय बल। बाएँ: ब्रेक लगाती बस में साहुल आभासी गुरुत्व $\vect g - \vect a_{O'}$ के अनुदिश लटकता है, यानी आगे की ओर झुका हुआ। दाएँ: $\Omega$ से घूमते किसी तंत्र में कण अक्ष से दूर की ओर अपकेंद्र बल अनुभव करता है और, यदि वह चल रहा हो, तो अपने सापेक्ष वेग पर लंब एक कोरिओलिस बल भी।

उदाहरण 18.6 (घूमती बाल्टी)

अपने ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $\Omega$ से घूमती किसी बाल्टी का पानी घूर्णी तंत्र में गुरुत्व और अपकेंद्र बल के अधीन विराम में रहता है: उसकी मुक्त सतह आभासी गुरुत्व $\vect g' = -g\vect e_z + \Omega^2r\vect e_r$ पर लंब होती है (विराम में पड़े किसी तरल की सतह क्षेत्र के अभिलंब होती है, अध्याय 21)। उसकी ढाल $\dd z/\dd r = \Omega^2r/g$ है, अतः $z = \Omega^2r^2/2g$ : यानी एक परवलयज। $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ पर $10\,\mathrm{cm}$ की बाल्टी का किनारा केंद्र से $5\,\mathrm{cm}$ ऊपर खड़ा रहता है — यही द्रव-दर्पण दूरदर्शी का सिद्धांत है, जिसका घूमता पारद ठीक वही परवलयी आकार ले लेता है जो किसी दर्पण को चाहिए।

विधि 18.7 (अजड़त्वीय तंत्र में काम करना)

वह तंत्र चुनिए जिसमें प्रश्न सबसे सरल हो (बस, घूमता चक्र, पृथ्वी); वास्तविक बलों की सूची बनाइए; $-m\vect a_e$ जोड़िए और, यदि पिंड उस तंत्र में चल रहा हो, तो $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ भी; फिर विधि 12.10 की तरह आगे बढ़िए। जाँच: जड़त्वीय बल ऊर्जा-संतुलन में कभी “किसी के द्वारा किया गया कार्य” बनकर नहीं आते — कोरिओलिस बल $\vect v'$ पर लंब है, अतः कोई कार्य नहीं करता; और अपकेंद्र बल किसी एकसमान घूर्णी तंत्र में स्थितिज ऊर्जा $-\tfrac12 m\Omega^2r^2$ से व्युत्पन्न होता है।

18.3 पार्थिव तंत्र

परिभाषा 18.8 (भूकेंद्रीय और पार्थिव तंत्र)

भूकेंद्रीय तंत्र का मूलबिंदु पृथ्वी के केंद्र पर है और उसकी अक्षें स्थिर तारों की ओर संकेत करती हैं; एक दिन या उससे कम की गतियों के लिए वह उत्कृष्ट सन्निकटन तक जड़त्वीय है (सूर्य के परितः उसका अपना त्वरण केवल $6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ है, और पूरी पृथ्वी पर लगभग एक-सा)। भूमि से जुड़ा पार्थिव तंत्र उसके सापेक्ष ध्रुवीय अक्ष के परितः इस दर से घूमता है

\Omega = \frac{2\pi}{86\,164\,\mathrm{s}} = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} .

प्रतिज्ञप्ति 18.9 (भार, और $g$ का परिवर्तन)

पार्थिव तंत्र में विराम में पड़ा कोई पिंड गुरुत्वीय आकर्षण $m\vect{\mathcal G}$ और अपकेंद्र बल $m\Omega^2\vect{HM}$ अनुभव करता है; इनका योग ही वह है जो तराजू मापता है और साहुल-रेखा दिखाती है: यानी भार $m\vect g = m\vect{\mathcal G} + m\Omega^2\vect{HM}$ । अपकेंद्र पद भूमध्य रेखा पर सबसे बड़ा है, $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , यानी $g$ का $0.35\%$ ; वह ध्रुवों से भूमध्य रेखा तक $g$ को घटाता जाता है और मध्य अक्षांशों पर ऊर्ध्वाधर को पृथ्वी के केंद्र से $0.1^\circ$ तक हटा देता है।

उपपत्ति. प्रमेय 18.4 को $\vect v' = \vect 0$ के साथ लगाइए (कोई कोरिओलिस बल नहीं); $\Omega^2R = (7.29\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6$ । विचलन-कोण $m\vect{\mathcal G}$ और अपकेंद्र बल के त्रिभुज से निकल आता है (अभ्यास 18.6)। ∎

प्रतिज्ञप्ति 18.10 (पृथ्वी पर कोरिओलिस बल)

अक्षांश $\lambda$ पर क्षैतिज दिशा में $v'$ चाल से चलता कोई पिंड इस परिमाण का क्षैतिज कोरिओलिस बल अनुभव करता है

F_C = 2m\Omega v'\sin\lambda ,

जो उत्तरी गोलार्ध में गति के दाईं ओर होता है और दक्षिणी में बाईं ओर, चाहे यात्रा की दिशा कोई भी हो; और ऊर्ध्वाधर गिरता कोई पिंड पूर्व की ओर $2m\Omega v'\cos\lambda$ से विक्षेपित होता है।

उपपत्ति. $\vect\Omega = \Omega(\cos\lambda\,\vect e_N + \sin\lambda\,\vect e_z)$ में वियोजित कीजिए (उत्तर और स्थानीय ऊर्ध्वाधर)। क्षैतिज $\vect v'$ के लिए $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ का एक क्षैतिज भाग $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ है — यानी $90^\circ$ घड़ी की दिशा में $\vect v'$ से घूमा हुआ, ऊपर से देखने पर, $\lambda > 0$ के लिए — और एक ऊर्ध्वाधर भाग (गुरुत्व के सामने नगण्य)। ऊर्ध्वाधर $\vect v' = -v'\vect e_z$ के लिए: $-2m\Omega\cos\lambda\,\vect e_N\wedge(-v'\vect e_z) = 2m\Omega v'\cos\lambda\, \vect e_E$ , यानी पूर्व की ओर। ∎

बाएँ: अक्षांश पर पृथ्वी के घूर्णन-सदिश का एक ऊर्ध्वाधर घटक होता है और एक उत्तर की ओर । दाएँ: उत्तरी गोलार्ध में ऊपर से देखने पर, क्षैतिज दिशा में चलता कोई पिंड कोरिओलिस बल से अपनी दाईं ओर धकेला जाता है और उसका पथ घड़ी की दिशा में मुड़ जाता है। — बाएँ: अक्षांश $\lambda$ पर पृथ्वी के घूर्णन-सदिश का एक ऊर्ध्वाधर घटक $\Omega\sin\lambda$ होता है और एक उत्तर की ओर $\Omega\cos\lambda$ । दाएँ: उत्तरी गोलार्ध में ऊपर से देखने पर, क्षैतिज दिशा में चलता कोई पिंड कोरिओलिस बल से अपनी दाईं ओर धकेला जाता है और उसका पथ घड़ी की दिशा में मुड़ जाता है।

उदाहरण 18.11 (छोटे बल, बड़े परिणाम)

अक्षांश $45^\circ$ पर $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ की कोई रेलगाड़ी: $a_C = 2 \times 7.29\times 10^{-5} \times 27.8 \times 0.71 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , यानी $g$ का तीन-हज़ारवाँ भाग — एकतरफ़ा पटरी की दाहिनी रेल कुछ तेज़ी से घिसती है। किसी निम्न-दाब केंद्र की ओर $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती हवा भीतर आते-आते दाईं ओर मुड़ती जाती है और अंत में उस केंद्र का चक्कर घड़ी की उलटी दिशा में लगाने लगती है: उत्तरी गोलार्ध का हर चक्रवात उसी दिशा में घूमता है और हर दक्षिणी उसकी उलटी दिशा में। $45^\circ$ पर $100\,\mathrm{m}$ गहरे किसी कूप में गिराया गया पत्थर साहुल-रेखा से $1.6\,\mathrm{cm}$ पूर्व की ओर गिरता है (अभ्यास 18.7)।

प्रतिज्ञप्ति 18.12 (फूको का लोलक)

अक्षांश $\lambda$ पर छोटे आयाम से झूलता कोई लोलक अपने दोलन-तल को भूकेंद्रीय तंत्र के केवल स्थानीय ऊर्ध्वाधर घूर्णन के सापेक्ष स्थिर रखता है: पार्थिव तंत्र में देखने पर वह तल (ऊपर से, उत्तरी गोलार्ध में) घड़ी की दिशा में कोणीय दर $\Omega\sin\lambda$ से घूमता है, अर्थात् एक पूरा चक्कर इतने समय में

T_F = \frac{23.93\,\mathrm{h}}{\sin\lambda} .

आंशिक उपपत्ति. ध्रुव पर ( $\lambda = 90^\circ$ ) तर्क ज्यामितीय है: तनाव को छोड़कर गोलक पर कोई क्षैतिज बल नहीं लगता, और तनाव का क्षैतिज घटक झूलने के अनुदिश ही होता है; अतः भूकेंद्रीय तंत्र में झूलने का तल स्थिर रहता है जबकि पृथ्वी उसके नीचे $\Omega$ से घूमती जाती है; भूमि से देखने पर वह तल $-\Omega$ से घूमता है। अक्षांश $\lambda$ पर क्षैतिज कोरिओलिस बल $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ है: ठीक वही, जो स्थानीय ऊर्ध्वाधर के परितः $\Omega\sin\lambda$ से घूमता कोई तंत्र उत्पन्न करता। तल के साथ $-\Omega\sin\lambda$ से घूमते किसी तंत्र में वह बल प्रथम कोटि तक लुप्त हो जाता है और लोलक एक साधारण तलीय दोलक भर रह जाता है; अतः पार्थिव तंत्र में तल $\Omega\sin\lambda$ से पुरस्सरण करता है। उपेक्षित द्वितीय-कोटि पदों सहित पूरी गणना सप्ताहांत समस्या में है। ∎

टिप्पणी 18.13 (ज्वार-भाटा, दो पंक्तियों में)

पृथ्वी के केंद्र के तंत्र में, जो चंद्रमा की ओर मुक्त रूप से गिर रहा है, चंद्रमा का आकर्षण एकसमान नहीं है: निकट की ओर कुछ अधिक प्रबल, दूर की ओर कुछ क्षीण। यह अंतर, कोटि $2GM_{\text{चंद्र}}R/d^3 \approx 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , महासागरों को दो उभारों में खींच देता है — यानी दिन में दो ज्वार — और सूर्य का योगदान, जो चंद्रमा के योगदान का $46\%$ है, दोनों के एक रेखा में आने या समकोण पर पड़ने के अनुसार बृहत् और लघु ज्वार बनाता है (अभ्यास 18.12)।

18.4 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

$2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से त्वरित होती किसी कार में एक साहुल लटका है: ऊर्ध्वाधर के साथ कोण, और $mg$ के मात्रक में तनाव। वही कार उसी दर से ब्रेक लगाए तो?

हल

हल — अभ्यास 18.1.

$\tan\alpha = a/g = 0.255$ , $\alpha = 14^\circ$ (साहुल पीछे की ओर रह जाता है); $T = m\sqrt{g^2 + a^2} = 1.03\,mg$ । ब्रेक लगाने पर: वही कोण और वही तनाव, पर साहुल आगे की ओर झुका।

अभ्यास 18.2 ★

हर $4.0\,\mathrm{s}$ में एक चक्कर लगाते किसी घूमते झूले की अक्ष से $3.0\,\mathrm{m}$ दूर एक बच्चा बैठा है। घूर्णी तंत्र में अपकेंद्र त्वरण, $g$ के अंश के रूप में; और उसे कौन-सा वास्तविक बल देता है?

हल

हल — अभ्यास 18.2.

$\Omega = 2\pi/4.0 = 1.57\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Omega^2r = 7.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0.75g$ , जो घूर्णी तंत्र में बाहर की ओर है; भीतर की ओर वास्तविक बल सीट (घर्षण और पट्टा) देती है।

अभ्यास 18.3 ★

पृथ्वी का कोणीय वेग $\Omega$ , भूमध्य रेखा पर अपकेंद्र त्वरण, और $g$ की तुलना में उसका अंश निकालिए। किस घूर्णन-आवर्तकाल पर भूमध्य रेखा की वस्तुएँ उड़ जातीं?

हल

हल — अभ्यास 18.3.

$\Omega = 2\pi/86164 = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , यानी $g$ का $0.35\%$ । उड़ जाने के लिए $\Omega^2R = g$ चाहिए: $T = 2\pi\sqrt{R/g} = 84\,\mathrm{min}$ — यानी अभी से सत्रह गुना तेज़।

अभ्यास 18.4 ★

$400\,\mathrm{t}$ की कोई रेलगाड़ी अक्षांश $45^\circ$ पर $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है। कोरिओलिस त्वरण और पटरियों पर पार्श्व बल; उत्तर की ओर जाते हुए कौन-सी रेल दबती है? और पूर्व की ओर जाते हुए?

हल

हल — अभ्यास 18.4.

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2 \times 7.29\times10^{-5} \times 27.8 \times 0.707 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $F = 1.1\,\mathrm{kN}$ । उत्तर की ओर जाते हुए: पूर्व की ओर धक्का, यानी दाहिनी (पूर्वी) रेल पर; पूर्व की ओर जाते हुए: दक्षिण की ओर धक्का, फिर भी दाहिनी रेल पर।

अभ्यास 18.5 ★★

$10\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की कोई बाल्टी $2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ से घूमती है, फिर $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ से। केंद्र के सापेक्ष किनारे पर पानी की ऊँचाई। घूमता पारद-कुंड अच्छा दूरदर्शी दर्पण क्यों बनता है?

हल

हल — अभ्यास 18.5.

$z = \Omega^2r^2/2g$ : $2\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ पर $2.0\,\mathrm{mm}$ , और $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ पर $5.1\,\mathrm{cm}$ । परवलयज किसी समांतर पुंज को एक बिंदु पर केंद्रित करता है: घूमता पारद एक पूर्ण, सस्ता और स्वयं चमकता रहने वाला परवलयी दर्पण है (जिसे झुकाया नहीं जा सकता)।

अभ्यास 18.6 ★★

दिखाइए कि अक्षांश $\lambda$ पर साहुल-रेखा पृथ्वी के केंद्र से लगभग $\Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g$ रेडियन हट जाती है, और $45^\circ$ पर उसे चाप-मिनटों में निकालिए। केवल घूर्णन के कारण भूमध्य रेखा पर $g$ ध्रुव की तुलना में कितना कम है?

हल

हल — अभ्यास 18.6.

अपकेंद्र त्वरण $\Omega^2R\cos\lambda$ अक्ष से दूर की ओर है; स्थानीय ऊर्ध्वाधर पर उसका लंब घटक $\Omega^2R\cos\lambda \sin\lambda$ है, जो $\vect g$ को $\delta \approx \Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g = 0.034 \times 0.5/9.81 = 1.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 6'$ झुका देता है। भूमध्य रेखा पर: घूर्णन से ही $g$ $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ घट जाता है (चपटेपन से और भी घटता है)।

अभ्यास 18.7 ★★

अक्षांश $45^\circ$ पर $100\,\mathrm{m}$ गहरे किसी कूप में एक पत्थर विराम से गिरता है। कोरिओलिस त्वरण $2\Omega v\cos\lambda$ (पूर्व की ओर) को $v = gt$ के साथ एक छोटा विक्षोभ मानिए; तली पर पूर्व की ओर विचलन निकालने के लिए दो बार समाकलित कीजिए। पूर्व की ओर ही क्यों?

हल

हल — अभ्यास 18.7.

$\ddot x_E = 2\Omega gt\cos\lambda$ : $x_E = \tfrac13\Omega g\cos\lambda\,t^3$ ; $t = \sqrt{2h/g} = 4.5\,\mathrm{s}$ : $x_E = \tfrac13 \times 7.29\times10^{-5} \times 9.81 \times 0.707 \times 92 = 1.6\,\mathrm{cm}$ । पूर्व की ओर इसलिए कि कूप का मुँह तली से अधिक तेज़ी से पूर्व की ओर चलता है (त्रिज्या बड़ी है); पत्थर वह अधिकता अपने साथ रखे रहता है — या, घूर्णी तंत्र में, नीचे की ओर वेग पर कोरिओलिस बल पूर्व की ओर होता है।

अभ्यास 18.8 ★★

पेरिस में ( $\lambda = 48.9^\circ$ ), ध्रुव पर, और भूमध्य रेखा पर फूको लोलक का पुरस्सरण-आवर्तकाल। पेरिस में एक घंटे में तल कितने कोण से घूम जाता है?

हल

हल — अभ्यास 18.8.

$T_F = 23.93/\sin\lambda$ : पेरिस $31.8\,\mathrm{h}$ ; ध्रुव $23.9\,\mathrm{h}$ ; और भूमध्य रेखा पर अनंत (कोई पुरस्सरण नहीं)। पेरिस: प्रति घंटा $360^\circ/31.8 = 11.3^\circ$ ।

अभ्यास 18.9 ★★

$45^\circ$ उत्तर पर किसी निम्न-दाब केंद्र की ओर $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से हवा बहती है। कोरिओलिस त्वरण; हवा अंत में उस केंद्र का चक्कर किस दिशा में लगाती है? छोटे भँवर (चौबच्चे का नाला, बवंडर) इस नियम का पालन क्यों नहीं करते?

हल

हल — अभ्यास 18.9.

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , दाईं ओर। चारों ओर से अभिसरित होती हवा दाईं ओर विक्षेपित होती है, अतः वह घड़ी की उलटी दिशा में सर्पिल बनाती हुई भीतर आती है (ऊपर से देखने पर): यही उत्तरी चक्रवात है। चौबच्चा सेकंडों में खाली होता है और बवंडर मिनटों में बनता है: इतने समय में कोरिओलिस विक्षेपण किसी भी आरंभिक घुमाव के सामने नगण्य है।

अभ्यास 18.10 ★★★

डोरी से बँधा हीलियम का कोई गुब्बारा किसी कार के भीतर तैर रहा है। कार जब आगे की ओर त्वरित होती है, तो गुब्बारा किस ओर झुकता है? आभासी गुरुत्व और उत्प्लावन से समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

कार के तंत्र में आभासी गुरुत्व $\vect g - \vect a$ पीछे की ओर झुक जाता है। हवा, जो भारी है, पीछे की ओर “गिरती” है; और गुब्बारा, जो हटाई गई हवा से हलका है, आभासी ऊर्ध्वाधर के अनुदिश ऊपर उठाया जाता है — वह आगे की ओर झुकता है, साहुल की उलटी दिशा में।

अभ्यास 18.11 ★★★

कोई अंतरिक्ष स्थानक $100\,\mathrm{m}$ त्रिज्या का एक वलय है, जिसे इतना घुमाया जाता है कि किनारे पर $1g$ का कृत्रिम गुरुत्व मिले। घूर्णन-आवर्तकाल? कोई अंतरिक्ष-यात्री किनारे के अनुदिश $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है: कोरिओलिस त्वरण, और घूर्णन के साथ तथा उसके विरुद्ध चलने पर उसके आभासी भार पर उसका असर। वह $2.0\,\mathrm{m}$ से एक गेंद गिराता है: वह उसके पैरों से मोटे तौर पर कितनी दूर गिरेगी?

हल

हल — अभ्यास 18.11.

$\Omega^2R = g$ : $\Omega = 0.31\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 20\,\mathrm{s}$ । $a_C = 2\Omega v = 0.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , यानी लगभग $0.1g$ : घूर्णन के साथ चलने पर वह $10\%$ भारी अनुभव करता है (कोरिओलिस बल बाहर की ओर होता है), और उसके विरुद्ध चलने पर हलका। गिराई गई गेंद: जड़त्वीय तंत्र में वह सीधी चलती है जबकि फ़र्श ऊपर की ओर मुड़ता जाता है; गिरने के समय $\sqrt{2h/g} = 0.64\,\mathrm{s}$ में विचलन की कोटि $\tfrac13\Omega\,g\,t^3 \cdot 2 \approx 2 \times 0.31 \times 9.81 \times 0.26/3 \approx 0.5\,\mathrm{m}$ है — यानी कुछ डेसीमीटर, घूर्णन के विरुद्ध।

अभ्यास 18.12 ★★★

दिखाइए कि पृथ्वी के केंद्र पर और सतह के उस बिंदु पर, जो चंद्रमा के सबसे निकट है, चंद्रमा के गुरुत्वीय त्वरण का अंतर लगभग $2GM_Mr/d^3$ होता है ( $r$ पृथ्वी की त्रिज्या, $d$ पृथ्वी–चंद्रमा दूरी); उसे निकालिए, और वही सूर्य के लिए भी; फिर सौर और चांद्र ज्वारों का अनुपात निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.12.

$GM/(d - r)^2 - GM/d^2 \approx 2GMr/d^3$ ( $r/d$ में प्रथम कोटि तक)। चंद्रमा: $2 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22} \times 6.37\times10^6/ (3.84\times10^8)^3 = 1.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; सूर्य: $2 \times 1.33\times10^{20} \times 6.37\times10^6/(1.50\times10^{11})^3 = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; अनुपात $0.46$ : सूर्य के ज्वार चंद्रमा के ज्वारों के लगभग आधे हैं, यद्यपि उसका आकर्षण $180$ गुना बड़ा है — ज्वार $M/d^3$ की तरह बदलते हैं।

18.5 समस्या: फूको का लोलक

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — किसी गुंबद के नीचे 67 मीटर तार पर 28 किलोग्राम का गोलक: उसके झूलने का तल घूमता क्यों है, कितनी तेज़ी से, वह सिद्ध क्या करता है, और यह करने वाला बल कितना छोटा है

1851 में $\ell = 67\,\mathrm{m}$ लंबाई और $m = 28\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का कोई लोलक पेरिस के पैंथियन के गुंबद के नीचे, अक्षांश $\lambda = 48.85^\circ$ पर, लगभग $x_0 = 3.0\,\mathrm{m}$ के आयाम से झूला था। $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

भाग I — लोलक स्वयं।

छोटे दोलनों का आवर्तकाल; जाँचिए कि आयाम छोटा है ( $x_0/\ell$ )।
गोलक की अधिकतम चाल, और निम्नतम बिंदु से उसकी अधिकतम ऊँचाई।
निम्नतम बिंदु पर तनाव, $mg$ के मात्रक में।
अधिकतम चाल पर गोलक पर हवा का कर्षण आँकिए (द्विघाती नियम, $C_xS \approx 0.05\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) और अधिकतम प्रत्यानयन बल $m\omega_0^2x_0$ से तुलना कीजिए।
लंबा तार और भारी गोलक क्यों? (दो कारण, एक आवर्तकाल का, एक अवमंदन का।)

भाग II — ध्रुव पर। वही लोलक उत्तरी ध्रुव पर कल्पित कीजिए।

भूकेंद्रीय तंत्र में गोलक पर लगने वाले बलों की सूची बनाइए और दिखाइए कि कोई भी उसके झूलने का तल नहीं घुमा सकता।
इससे निकालिए कि बर्फ़ पर खड़ा कोई प्रेक्षक उस तल को क्या करते देखता है, और वह कितने समय में अपनी आरंभिक दिशा में लौट आता है।
भूमि पर गोलक के पथ का वर्णन कीजिए (एक गुलाब-आकृति): एक दिन में कितनी पंखुड़ियाँ?

भाग III — अक्षांश $\lambda$ पर: कोरिओलिस पद। स्थानीय अक्षें लीजिए: $x$ पूर्व, $y$ उत्तर, $z$ ऊपर; दोलन छोटे हैं, अतः गति लगभग क्षैतिज है, $\vect v' \approx (\dot x, \dot y, 0)$ ; और प्रत्यानयन बल $-m\omega_0^2(x, y, 0)$ है, जहाँ $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ ।

इन अक्षों में $\vect\Omega$ लिखिए।
$-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ निकालिए और उसके क्षैतिज घटक रखिए; दिखाइए कि उनमें केवल $\Omega\sin\lambda$ आता है।
$x$ और $y$ के लिए गति के दोनों समीकरण लिखिए; $\omega_F = \Omega\sin\lambda$ रखिए और $\omega_F$ की $\omega_0$ से तुलना कीजिए।
$u = x + jy$ रखिए और दिखाइए कि $\ddot u + 2j\omega_F\dot u + \omega_0^2u = 0$ ।
$u = \eu^{j\alpha t}$ आज़माइए: $\alpha$ के दोनों मान निकालिए, और दिखाइए कि $\omega_F \ll \omega_0$ के लिए वे $\alpha \approx \pm\omega_0 - \omega_F$ हैं।
इससे निकालिए कि $u \approx \eu^{-j\omega_Ft}(A\eu^{j\omega_0t} + B\eu^{-j\omega_0t})$ : गुणक $\eu^{-j\omega_Ft}$ की व्याख्या कीजिए — झूलने का तल किस दिशा में, और किस दर से घूमता है?
पेरिस में पुरस्सरण-आवर्तकाल और एक घंटे में घूमा हुआ कोण निकालिए।
भूमध्य रेखा पर तल क्यों नहीं घूमता?

भाग IV — वह बल कितना छोटा है।

गोलक पर अधिकतम कोरिओलिस बल निकालिए और उसकी तुलना भार से तथा अधिकतम प्रत्यानयन बल से कीजिए।
आधे आवर्तकाल में झूले का अंतिम बिंदु पार्श्व में कितना खिसक जाता है? (तल $\omega_FT/2$ से घूमता है।)
1851 में गोलक पर एक शलाका लगी थी, जो आयाम पर वृत्त में रखी छोटी खूँटियाँ गिराती जाती थी: अगली खूँटी गिरने में लगभग कितना समय लगता था?
लोलक को उस धागे को जलाकर छोड़ा गया था जो गोलक को एक ओर थामे था। उसे हाथ से धकेलकर क्यों नहीं छोड़ा गया?
हवा का कर्षण किसी लोलक को कुछ घंटों में रोक देता है। आधुनिक संग्रहालयों के लोलक नीचे लगे एक छोटे विद्युत्चुंबक से ऊर्जा लौटाते हैं, बिना झूलने के तल को छुए: वह धक्का कड़ाई से त्रिज्य ही क्यों होना चाहिए?

भाग V — वह सिद्ध क्या करता है, और और क्या-क्या करता है।

फूको के प्रदर्शन ने जनता को पृथ्वी के घूर्णन का विश्वास दिलाया। पुरस्सरण-दर ठीक-ठीक किस राशि को मापती है, और क्या यह प्रयोग अक्षांश निर्धारित कर सकता था?
किस अक्षांश पर तल ठीक $48\,\mathrm{h}$ में एक चक्कर लगाता?
कोई घूर्णदर्शी (जिम्बलों में तेज़ी से घूमता पहिया) अपनी अक्ष को भूकेंद्रीय तंत्र में स्थिर रखता है। एक वाक्य में समझाइए कि वह भी घूर्णन को क्यों उजागर करता है, और उसका एक अनुप्रयोग बताइए।
सार दीजिए: इसके लिए ज़िम्मेदार वह एक जड़त्वीय बल, अक्षांश पर उसकी निर्भरता, और पेरिस में वह जो आवर्तकाल देता है।

हल

हल — समस्या 18.1.

1. $T = 2\pi\sqrt{67/9.81} = 16.4\,\mathrm{s}$ ; $x_0/\ell = 0.045$ ( $2.6^\circ$ ): छोटा।

2. $v_{\max} = x_0\omega_0 = 3.0 \times 0.383 = 1.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ऊँचाई $x_0^2/2\ell = 6.7\,\mathrm{cm}$ ।

3. $T = mg + mv_{\max}^2/\ell = mg(1 + 0.002)$ : $1.002\,mg$ ।

4. $\tfrac12\rho C_xSv_{\max}^2 = 0.5 \times 1.2 \times 0.05 \times 1.3 = 0.04\,\mathrm{N}$ , जबकि $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$ : यानी तीन सौ गुना छोटा, फिर भी लोलक को कुछ घंटों में रोक देने के लिए काफ़ी।

5. लंबा तार लंबा आवर्तकाल देता है, अतः गोलक धीमा रहता है और सापेक्ष कर्षण छोटा, और प्रति झूला पुरस्सरण दिखने लायक हो जाता है; भारी गोलक इतनी ऊर्जा संचित रखता है कि कर्षण उसे घंटों तक खाता रहे।

6. भार (ऊर्ध्वाधर) और तनाव (तार तथा ऊर्ध्वाधर के तल में, यानी झूलने के तल में ही): किसी भी बल का उस तल पर लंब घटक नहीं है।

7. तल तारों के बीच स्थिर है; बर्फ़ उसके नीचे $\Omega$ से पूर्व की ओर घूमती जाती है, अतः प्रेक्षक को तल घड़ी की दिशा में घूमता दिखता है, जो एक नाक्षत्र दिन, यानी $23.93\,\mathrm{h}$ बाद अपनी आरंभिक दिशा में लौट आता है।

8. हर आधा झूला थोड़ा-सा घूमी हुई जीवा खींचता है: यानी एक गुलाब-आकृति; $86164/8.2 \approx 10500$ आधे झूले, हर एक $0.034^\circ$ आगे।

9. $\vect\Omega = \Omega(0, \cos\lambda, \sin\lambda)$ ।

10. $\vect v' = (\dot x, \dot y, 0)$ के साथ: $\vect\Omega\wedge\vect v' = \Omega(-\sin\lambda\,\dot y,\ \sin\lambda\,\dot x,\ -\cos\lambda\,\dot x)$ , अतः $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ के क्षैतिज घटक $2m\Omega\sin\lambda\,(\dot y, -\dot x)$ हैं: केवल $\Omega\sin\lambda$ आता है।

11. $\ddot x = -\omega_0^2x + 2\omega_F\dot y$ , $\ddot y = -\omega_0^2y - 2\omega_F\dot x$ ; $\omega_F = 7.29\times10^{-5} \times 0.753 = 5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \ll \omega_0 = 0.38\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ।

12. $\ddot u = -\omega_0^2u + 2\omega_F(\dot y - j\dot x) = -\omega_0^2u - 2j\omega_F\dot u$ ।

13. $-\alpha^2 - 2\omega_F\alpha + \omega_0^2 = 0$ : $\alpha = -\omega_F \pm \sqrt{\omega_F^2 + \omega_0^2} \approx -\omega_F \pm \omega_0$ ।

14. कोष्ठक एक तलीय दोलन है (वास्तविक $A = B$ के लिए मूलबिंदु से जाती एक स्थिर रेखा); और गुणक $\eu^{-j\omega_Ft}$ पूरी आकृति को $\omega_F$ से घड़ी की दिशा में घुमाता है: यानी झूलने का तल $\Omega\sin\lambda$ से घड़ी की दिशा में पुरस्सरण करता है।

15. $T_F = 2\pi/\omega_F = 1.14 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 31.8\,\mathrm{h}$ ; प्रति घंटा $11.3^\circ$ ।

16. $\sin\lambda = 0$ : $\vect\Omega$ का स्थानीय ऊर्ध्वाधर घटक लुप्त हो जाता है; अतः क्षैतिज गति के लिए क्षैतिज कोरिओलिस बल शून्य है।

17. $2m\omega_Fv_{\max} = 2 \times 28 \times 5.5\times10^{-5} \times 1.15 = 3.5\,\mathrm{mN}$ ; भार $275\,\mathrm{N}$ (उसका $10^{-5}$ ), प्रत्यानयन बल $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$ : यानी तीन हज़ार गुना छोटा।

18. $\omega_FT/2 = 5.5\times10^{-5} \times 8.2 = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : प्रति आधे झूले $x_0 \times 4.5\times10^{-4} = 1.4\,\mathrm{mm}$ ।

19. वृत्त पर एक-एक सेंटीमीटर की दूरी पर रखी खूँटियाँ हर $\sim 7$ आधे झूलों पर, यानी लगभग हर मिनट गिरती हैं।

20. हाथ का धक्का पार्श्व वेग दे देता है: तब गोलक कोई दीर्घवृत्त खींचता है, जिसका अपना धीमा पुरस्सरण (परिमित आयाम का प्रभाव) फूको वाले पुरस्सरण को ढक देता है।

21. त्रिज्य धक्का झूले के अनुदिश ऊर्जा जोड़ता है, बिना कोई अनुप्रस्थ वेग दिए, अतः तल अछूता रह जाता है; कोई पार्श्व घटक लोलक को दीर्घवृत्त में डाल देता और पुरस्सरण को या तो नकली बना देता या छिपा देता।

22. पुरस्सरण-दर $\Omega\sin\lambda$ को मापती है, यानी पृथ्वी के घूर्णन का ऊर्ध्वाधर घटक; खगोल से $\Omega$ जानते हुए वह दर अक्षांश दे देती है (और उलटा भी)।

23. $\sin\lambda = 23.93/48 = 0.499$ : $\lambda = 30^\circ$ ।

24. उसका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, अतः उसकी अक्ष तारों के बीच स्थिर बनी रहती है जबकि पृथ्वी उसके नीचे घूमती जाती है: यही घूर्णी दिक्सूचक है, जो बिना किसी चुंबक के सच्चा उत्तर खोज लेता है।

25. कोरिओलिस बल $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ ; उसका क्षैतिज भाग $\sin\lambda$ की तरह बढ़ता है; एक चक्कर $23.93\,\text{h}/\sin\lambda$ में, यानी पेरिस में $31.8\,\mathrm{h}$ ।

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