24ऊष्मा इंजन और मशीनें

हल — अभ्यास 24.1.

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$। $0.40$ पर: ईंधन से $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$, और नदी में $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ — यानी जितनी बिकती है उससे अधिक ऊष्मा फेंक दी जाती है।

हल — अभ्यास 24.2.

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$। $e_f = 3$ के साथ: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (और $133\,\mathrm{W}$ रसोई में चले जाते हैं)।

हल — अभ्यास 24.3.

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$। $r = 20$ पर पेट्रोल–हवा का मिश्रण, लगभग $900\,\mathrm{K}$ तक संपीडित होकर, स्फुलिंग से पहले ही जल उठता (खटखट) और इंजन नष्ट कर देता; केवल डीज़ल, जो अकेली हवा संपीडित करता है, वहाँ तक जा सकता है।

हल — अभ्यास 24.4.

$e_p \leq 300/20 = 15$: आदर्श शक्ति $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; वास्तविक, $5/3.5 = 1.43\,\mathrm{kW}$; और प्रतिरोधक, $5\,\mathrm{kW}$।

हल — अभ्यास 24.5.

रुद्धोष्म चरण: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} = 10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (अतः $V_C/V_D = 3 = V_B/V_A$)। $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$।

हल — अभ्यास 24.6.

पहला दावा: ऊर्जा $200 = 1000 - 800$ बराबर बैठती है; क्लॉज़ियस $1000/400 - 800/300 = 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, अतः $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: यानी संभव ($\eta = 0.20$)। दूसरा: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: एन्ट्रॉपी नष्ट करनी पड़ती — यानी असंभव। अधिकतम: $\eta_C = 1 - 300/400 = 0.25$, अर्थात् $250\,\mathrm{J}$।

हल — अभ्यास 24.7.

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 - 1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$। $r = 18$ पर ओटो: $1 - 1/3.18 = 0.69$; और $r = 9$ पर: $0.585$। डीज़ल शुद्ध हवा संपीडित करता है: पहले से जल उठने के लिए कोई ईंधन मौजूद ही नहीं होता, और $900\,\mathrm{K}$ की हवा में अंतःक्षिप्त ईंधन आते ही जल जाता है — यानी खटखट की सीमा है ही नहीं।

हल — अभ्यास 24.8.

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314 \times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: यानी प्रति चक्र $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$। पुनर्जनक के साथ $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$। उसके बिना गरम स्रोत को $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 = 6.24\,\mathrm{kJ}$ भी देनी पड़ती है: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$।

हल — अभ्यास 24.9.

दोनों गुटकों की एन्ट्रॉपी: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) = C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (इंजन की अपनी एन्ट्रॉपी हर चक्र में अपने मान पर लौट आती है), अतः $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, और $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (पहला नियम) सबसे छोटे $T_f$ के लिए सबसे बड़ा होता है: यानी उत्क्रमणीय स्थिति, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$। सीधे संस्पर्श में: $T_f = 350\,\mathrm{K}$, कोई कार्य नहीं, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) = 82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$।

हल — अभ्यास 24.10.

(क) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; उत्क्रमणीय अंतर्भाग कोई परिणामी एन्ट्रॉपी का आदान-प्रदान नहीं करता: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$। (ख) आड़ा-तिरछा गुणा कीजिए: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, अतः $y(T_h - 2x) = -xT_c$ और $y = xT_c/(2x - T_h)$। फिर $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; और $u = 2x - T_h$ के साथ, $T_h - x = (T_h - u)/2$ तथा $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) = \tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$। (ग) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 + T_hT_c/u^2) = 0$ $u = \sqrt{T_hT_c}$ पर, जो कोई उच्चिष्ठ है; तब $x = (T_h + \sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, और $\eta^\ast = 1 - y/x = 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$। (घ) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, जबकि $\eta_C = 0.625$: यानी अभ्यास 24.1 का वास्तविक $0.40$ ऐसा इंजन है जो शक्ति के लिए बनाया गया है, दक्षता के लिए नहीं।

हल — अभ्यास 24.11.

चक्र: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ और $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$। $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ हटाइए: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, अर्थात् $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, जिससे $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$। पहला गुणक ज्वालक और कमरे के बीच किसी कार्नो इंजन की दक्षता है, और दूसरा कक्ष तथा कमरे के बीच किसी कार्नो प्रशीतक का निष्पादन गुणांक: यानी सीमा वही है जो दोनों को आदर्श ढंग से जोड़ने पर मिलती है। आँकड़े: $0.25 \times 11 = 2.75$ (वास्तविक अवशोषण प्रशीतक: लगभग $0.6$)।

हल — अभ्यास 24.12.

(क) $0.40\,\mathrm{J}$। (ख) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$। (ग) $0.90\,\mathrm{J}$। (घ) इंजन $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, पंप $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (और इंजन की अपनी $0.37\,\mathrm{J}$, जो $293\,\mathrm{K}$ पर छोड़ी जाती है, घर को गरम कर सकती है: यानी $9.7\,\mathrm{J}$)। एक जूल से अधिक इसलिए कि बाकी बाहर की हवा से उठाया गया है: ऊर्जा संरक्षित रहती है, और दूसरा नियम केवल इतना माँगता है कि एन्ट्रॉपी नष्ट न हो, जिसे कोई उत्क्रमणीय शृंखला ठीक-ठीक निभाती है।