विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

17विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में आवेशित कण

अध्याय 7 के निशान खींचने वाले दोलनदर्शी के भीतर इलेक्ट्रॉनों का कोई पुंज दो पट्टिकाओं के बीच के विभवांतर से पर्दे पर इधर से उधर हाँका जाता है; किसी द्रव्यमान वर्णक्रममापी के चुंबक के भीतर दो समस्थानिकों के आयन मिलीमीटरों भर अलग हो जाते हैं, क्योंकि एक दूसरे से आठ प्रतिशत भारी है; और किसी अस्पताल के साइक्लोट्रॉन के भीतर प्रोटॉन दो सौ चक्करों तक बाहर की ओर सर्पिल बनाते हैं और फिर प्रकाश की एक-तिहाई चाल से निकलकर किसी अर्बुद को जला देते हैं। ये तीनों एक ही गतिकी हैं: किसी एकसमान क्षेत्र में — चाहे विद्युत हो या चुंबकीय — कोई आवेश, और न्यूटन का नियम। यह अध्याय उसे हल करता है — विद्युत क्षेत्र में परवलय, चुंबकीय क्षेत्र में वृत्त और कुंडलिनी — और उसे उन यंत्रों में बदल देता है जो आवेशित कणों को छाँटते, त्वरित करते और मापते हैं।

बर्कली में लॉरेंस का 60-इंच साइक्लोट्रॉन, 1939 (अमेरिकी ऊर्जा विभाग): चुंबक के ध्रुवों के बीच प्रोटॉन बाहर की ओर सर्पिल बनाते हैं और हर चक्कर में दो बार धक्का पाते हैं, ठीक जैसा सप्ताहांत समस्या में है।

17.1 लोरेंत्स बल

परिभाषा 17.1 (लोरेंत्स बल)

आवेश $q$ का कोई कण, जो $\vect v$ वेग से किसी विद्युत क्षेत्र $\vect E$ और किसी चुंबकीय क्षेत्र $\vect B$ में चल रहा हो, यह बल पाता है

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

विद्युत भाग $\vect E$ के अनुदिश होता है ( $q < 0$ के लिए उसके विपरीत) और गति से स्वतंत्र रहता है; चुंबकीय भाग $\vect v$ और $\vect B$ दोनों पर लंब होता है, चाल के समानुपाती होता है, और विराम में पड़े किसी कण के लिए लुप्त हो जाता है। मात्रक: $\vect E$ $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ में (या $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ में), और $\vect B$ टेस्ला में ( $\mathrm{T}$ ): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ ।

प्रतिज्ञप्ति 17.2 (लोरेंत्स बल का कार्य)

चुंबकीय बल कोई कार्य नहीं करता: उसकी शक्ति $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ शून्य है, अतः अकेला चुंबकीय क्षेत्र वेग की दिशा तो बदल देता है, पर चाल या गतिज ऊर्जा कभी नहीं। विद्युत बल की शक्ति $q\vect E\cdot\vect v$ है, और दो बिंदुओं के बीच उसका कार्य $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ है (अध्याय 27): यानी आवेश $q$ का कोई कण विभवांतर $U$ पार करके गतिज ऊर्जा $\abs{qU}$ पा लेता है।

उपपत्ति. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ । स्थिरवैद्युत क्षेत्र विभव से व्युत्पन्न होता है, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , अतः $q\vect E$ संरक्षी है और उसकी $E_p = qV$ है। ∎

परिभाषा 17.3 (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट)

इलेक्ट्रॉन-वोल्ट वह गतिज ऊर्जा है जो कोई मूल आवेश एक वोल्ट पार करके पाता है: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ । रसायन कुछ $\mathrm{eV}$ पर रहता है, X-किरण नलिकाएँ दसियों $\mathrm{keV}$ पर, नाभिकीय भौतिकी $\mathrm{MeV}$ पर, और कण-भौतिकी $\mathrm{GeV}$ तथा $\mathrm{TeV}$ पर।

टिप्पणी 17.4 (गुरुत्व की उपेक्षा क्यों)

$1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ के क्षेत्र में किसी इलेक्ट्रॉन के लिए — जो प्रयोगशाला का एक साधारण मान है — विद्युत बल $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ है, जबकि भार $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : यानी $10^{13}$ गुना छोटा। इस अध्याय की हर गणना से भार बिना दुबारा सोचे हटा दिया जाता है। (आपेक्षिक सीमा दूसरी बात है: नीचे के सूत्र $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ के लिए ही सही हैं, अर्थात् इलेक्ट्रॉनों के लिए लगभग $50\,\mathrm{keV}$ से नीचे और प्रोटॉनों के लिए $100\,\mathrm{MeV}$ से नीचे; देखिए वर्ष 3 का खंड।)

17.2 एकसमान विद्युत क्षेत्र

प्रतिज्ञप्ति 17.5 (त्वरण और विक्षेपण)

किसी एकसमान क्षेत्र $\vect E$ में त्वरण $\vect a = q\vect E/m$ अचर रहता है: अतः गति ठीक किसी प्रक्षेप्य जैसी होती है, जिसमें $q\vect E/m$ $\vect g$ की जगह ले लेता है।

विराम से छोड़कर किसी विभवांतर $U$ से त्वरित किया गया कण $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ तक पहुँचता है।
$v_0$ चाल से $x$ के अनुदिश ऐसे किसी $L$ लंबाई के क्षेत्र में घुसने पर जहाँ $\vect E = E\vect e_y$ है, वह परवलय $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ पर चलता है और $\alpha$ कोण से विक्षेपित होकर निकलता है, जहाँ $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , मानो वह पट्टिकाओं के बीचोंबीच से सीधी रेखा में आया हो।

उपपत्ति. ऊर्जा: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ । विक्षेपण: $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; निर्गम पर $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ को $L$ पर लीजिए; और निर्गम पर स्पर्शरेखा $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ अक्ष को $x = L/2$ पर काटती है। ∎

स्थिरवैद्युत विक्षेपण: पट्टिकाओं के बीच इलेक्ट्रॉन (यहाँ q < 0, इसलिए धनात्मक पट्टिका की ओर विक्षेपित) किसी परवलय पर चलता है; और उनके आगे वह सीधा उड़ता है, मानो पट्टिकाओं के मध्यबिंदु से आ रहा हो — यही कैथोड-किरण दोलनदर्शी की ज्यामिति है। — स्थिरवैद्युत विक्षेपण: पट्टिकाओं के बीच इलेक्ट्रॉन (यहाँ $q < 0$ , इसलिए धनात्मक पट्टिका की ओर विक्षेपित) किसी परवलय पर चलता है; और उनके आगे वह सीधा उड़ता है, मानो पट्टिकाओं के मध्यबिंदु से आ रहा हो — यही कैथोड-किरण दोलनदर्शी की ज्यामिति है।

उदाहरण 17.6 (दोलनदर्शी की नलिका)

$U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ से त्वरित इलेक्ट्रॉन ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी $c$ का दसवाँ भाग — बस आपेक्षिक होने से पहले) $4.0\,\mathrm{cm}$ लंबी और $1.0\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर रखी उन पट्टिकाओं को पार करते हैं जिन पर $100\,\mathrm{V}$ है: $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , और पट्टिकाओं के केंद्र से $30\,\mathrm{cm}$ आगे रखे पर्दे पर बिंदु $3.0\,\mathrm{cm}$ खिसक जाता है — यानी $0.3\,\mathrm{mm}$ प्रति वोल्ट, जो नलिका की सुग्राहिता है, और जो पूरी तरह ज्यामिति तथा त्वरक विभवांतर से तय होती है।

17.3 एकसमान चुंबकीय क्षेत्र

प्रमेय 17.7 (एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति)

आवेश $q$ , द्रव्यमान $m$ और वेग $\vect v_0$ वाला कोई कण, जिसका वेग किसी एकसमान $\vect B$ पर लंब हो, अचर चाल $v_0$ से ऐसा वृत्त खींचता है जिसकी त्रिज्या और कोणीय आवृत्ति हैं

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

जहाँ साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\omega_c$ चाल से स्वतंत्र है; और घूर्णन की दिशा $q$ के चिह्न पर निर्भर करती है। यदि $\vect v_0$ में कोई घटक $v_\parallel$ भी हो, जो $\vect B$ के अनुदिश हो, तो वह घटक अपरिवर्तित रहता है और गतिपथ $mv_\perp/\abs qB$ त्रिज्या तथा $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ पिच वाली एक कुंडलिनी होती है, जो क्षेत्र-रेखाओं के चारों ओर लिपटी रहती है।

उपपत्ति. बल $q\vect v\wedge\vect B$ $\vect v$ पर और $\vect B$ पर लंब है; चाल अचर है (कोई कार्य नहीं) और $\vect B$ के अनुदिश घटक पर कोई बल नहीं लगता। $\vect B$ पर लंब तल में बल का परिमाण अचर $\abs qv_\perp B$ है, और वह सदा वेग पर लंब रहता है: यानी एकसमान वृत्तीय गति (प्रमेय 11.13), जिसमें $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ । तब $\omega_c = v_\perp/R$ ; और आवर्तकाल $2\pi m/\abs qB$ को $v_\parallel$ से गुणा करने पर पिच मिलती है। ∎

बाएँ: जिस आवेश का वेग B पर लंब है वह साइक्लोट्रॉन आवृत्ति qB/m से चक्कर लगाता है, और चुंबकीय बल अभिकेंद्र त्वरण देता है। दाएँ: B के अनुदिश वेग-घटक होने पर कोई कुंडलिनी क्षेत्र-रेखा के चारों ओर लिपट जाती है — यही पृथ्वी के क्षेत्र में फँसे इलेक्ट्रॉनों की गति है। — बाएँ: जिस आवेश का वेग $\vect B$ पर लंब है वह साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\abs qB/m$ से चक्कर लगाता है, और चुंबकीय बल अभिकेंद्र त्वरण देता है। दाएँ: $\vect B$ के अनुदिश वेग-घटक होने पर कोई कुंडलिनी क्षेत्र-रेखा के चारों ओर लिपट जाती है — यही पृथ्वी के क्षेत्र में फँसे इलेक्ट्रॉनों की गति है।

उदाहरण 17.8 (परिमाण की कोटियाँ)

$1\,\mathrm{mT}$ में $1\,\mathrm{keV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , और एक चक्कर $36\,\mathrm{ns}$ में — हर ऊर्जा पर वही आवर्तकाल, और यही साइक्लोट्रॉन को संभव बनाता है। पृथ्वी के $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ में सौर पवन का कोई प्रोटॉन ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $R = 92\,\mathrm{m}$ ; वह क्षेत्र-रेखाओं को पार नहीं कर सकता, केवल उनके अनुदिश ध्रुवों की ओर सर्पिल बना सकता है — यही ध्रुवीय ज्योति है।

17.4 यंत्र

प्रतिज्ञप्ति 17.9 (वेग चयनक और द्रव्यमान वर्णक्रममापी)

एक-दूसरे को काटते एकसमान क्षेत्रों $\vect E \perp \vect B$ में, दोनों पर लंब चलता कोई कण बिना विक्षेपित हुए तभी निकलता है जब $v = E/B$ हो, उसका आवेश और द्रव्यमान चाहे जो हो (वेग चयनक)। अकेले चुंबकीय क्षेत्र में ज्ञात चाल का कोई कण $2mv/\abs qB$ व्यास का अर्धवृत्त खींचता है: उसे नापने पर $m/q$ मिल जाता है (द्रव्यमान वर्णक्रममापी)। किसी विभवांतर $U$ से त्वरित आयन, जब $B$ में मोड़े जाएँ, यहाँ गिरते हैं

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

जहाँ $m$ और $m + \Delta m$ द्रव्यमान वाले दो समस्थानिक $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ भर अलग हो जाते हैं।

उपपत्ति. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ के लिए ठीक दिशा के साथ $vB = E$ चाहिए। $R = mv/qB$ , जहाँ $v = \sqrt{2qU/m}$ ; अब $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{नियतांक}$ का अवकलन कीजिए। ∎

उदाहरण 17.10 (कार्बन के समस्थानिक)

$20\,\mathrm{kV}$ से त्वरित एकल आवेशित $^{12}$ C और $^{13}$ C आयन $0.50\,\mathrm{T}$ में: $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ और $14.7\,\mathrm{cm}$ , यानी $5.8\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर — संसूचक पर दो अलग बिंदु, और उनकी तीव्रताओं का अनुपात ही समस्थानिक बहुलता है, जो रेडियोकार्बन तिथि-निर्धारण और हर समस्थानिक विश्लेषण का कच्चा माल है।

प्रतिज्ञप्ति 17.11 (साइक्लोट्रॉन)

किसी एकसमान $\vect B$ में दो खोखले अर्ध-बेलन (“डी”), और उनके बीच साइक्लोट्रॉन आवृत्ति पर कोई प्रत्यावर्ती विभवांतर $U$ : कण हर डी के भीतर चक्कर लगाता है (वहाँ कोई क्षेत्र नहीं), प्रति चक्कर दोनों अंतराल-पारों में से हर एक पर $\abs qU$ से त्वरित होता है, और $R \propto v$ के साथ बाहर की ओर सर्पिल बनाता है; निष्कर्षण त्रिज्या $R_{\max}$ पर उसकी गतिज ऊर्जा है

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

जो विभवांतर से स्वतंत्र है, और विभवांतर केवल चक्करों की संख्या तय करता है।

उपपत्ति. चूँकि $\omega_c$ चाल पर निर्भर नहीं करता, इसलिए नियत आवृत्ति का विभवांतर चक्कर दर चक्कर कण के साथ ताल में बना रहता है; और $v = \abs qBR/m$ , जहाँ त्रिज्या $R$ है। ∎

साइक्लोट्रॉन: किसी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में दो डी; कण डियों के भीतर चक्कर लगाता है और अंतराल के विभवांतर से प्रति चक्कर दो बार धक्का पाता है, वह भी सदा समकला में, क्योंकि उसका आवर्तकाल उसकी चाल पर निर्भर नहीं करता। कोर पर ऊर्जा केवल B और त्रिज्या पर निर्भर है। — साइक्लोट्रॉन: किसी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में दो डी; कण डियों के भीतर चक्कर लगाता है और अंतराल के विभवांतर से प्रति चक्कर दो बार धक्का पाता है, वह भी सदा समकला में, क्योंकि उसका आवर्तकाल उसकी चाल पर निर्भर नहीं करता। कोर पर ऊर्जा केवल $B$ और त्रिज्या पर निर्भर है।

उदाहरण 17.12 (अस्पताल का साइक्लोट्रॉन)

प्रोटॉन, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , और $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ पर। डियों पर $50\,\mathrm{kV}$ के साथ प्रति चक्कर $100\,\mathrm{keV}$ : यानी $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ में $270$ चक्कर। कुछ दसियों $\mathrm{MeV}$ से ऊपर द्रव्यमान की आपेक्षिक वृद्धि (वर्ष 3 का खंड) प्रोटॉनों की ताल बिगाड़ देती है; इसलिए $230\,\mathrm{MeV}$ की चिकित्सा-मशीनें आवृत्ति या क्षेत्र को घटा-बढ़ाकर भरपाई करती हैं — यही सप्ताहांत समस्या का विषय है।

प्रतिज्ञप्ति 17.13 (हॉल प्रभाव)

$d$ मोटाई की कोई पट्टी, जिसमें धारा $I$ बह रही हो और जिसके वाहकों का आवेश $q$ तथा घनत्व $n$ हो, और जो पट्टी पर लंब किसी क्षेत्र $B$ में रखी हो, अपनी चौड़ाई के दोनों किनारों के बीच यह हॉल विभवांतर पैदा करती है

U_H = \frac{IB}{nqd} :

जो $B$ के समानुपाती है (यानी एक चुंबकत्वमापी) और $n$ के व्युत्क्रमानुपाती (यानी वाहक-घनत्व और उनके चिह्न का एक प्रोब)।

उपपत्ति. वाहकों पर लगता चुंबकीय बल $qv_dB$ (अपवाह चाल $v_d$ ) उन्हें एक किनारे की ओर धकेलता रहता है, जब तक अनुप्रस्थ विद्युत क्षेत्र $E_H$ उसे संतुलित न कर दे: $qE_H = qv_dB$ , और $U_H = E_Hw$ चौड़ाई $w$ पर; तथा $I = nqv_dwd$ के साथ $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ । ∎

17.5 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

$1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ , $1\,\mathrm{MeV}$ को जूल में बदलिए। विराम से $1.0\,\mathrm{kV}$ से त्वरित किसी इलेक्ट्रॉन और किसी प्रोटॉन की चाल।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ । $v = \sqrt{2eU/m}$ : इलेक्ट्रॉन $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; प्रोटॉन $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ गुना धीमा)।

अभ्यास 17.2 ★

$1.0\,\mathrm{keV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन $1.0\,\mathrm{mT}$ के क्षेत्र में लंबवत घुसता है। त्रिज्या, साइक्लोट्रॉन कोणीय आवृत्ति, आवर्तकाल।

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ ।

अभ्यास 17.3 ★

पृथ्वी के क्षेत्र ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ) में $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ का कोई प्रोटॉन: उसके वृत्त की त्रिज्या। यदि उसका वेग क्षेत्र से $30^\circ$ बनाए तो क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ । $30^\circ$ पर: $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ त्रिज्या और $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ पिच वाली एक कुंडलिनी, जो क्षेत्र-रेखा के अनुदिश बहती जाती है।

अभ्यास 17.4 ★

किसी वेग चयनक का $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ और $B = 20\,\mathrm{mT}$ है। कौन-सी चाल पार होती है? तेज़ आयनों का क्या होता है, और उसी चाल पर विपरीत आवेश का?

हल

हल — अभ्यास 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । तेज़ आयन: चुंबकीय बल जीत जाता है, और वे चुंबकीय ओर मुड़ जाते हैं; उसी चाल पर विपरीत आवेश: दोनों बल उलट जाते हैं, फिर भी संतुलित — चयनक चिह्न और द्रव्यमान दोनों के प्रति अंधा है।

अभ्यास 17.5 ★★

दोलनदर्शी: $2.0\,\mathrm{kV}$ पर इलेक्ट्रॉन, $4.0\,\mathrm{cm}$ लंबी और $1.0\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर रखी पट्टिकाएँ, उनके बीच $100\,\mathrm{V}$ , तथा पट्टिकाओं के केंद्र से $30\,\mathrm{cm}$ आगे पर्दा। पर्दे पर विक्षेपण और mm/V में सुग्राहिता। ऊँचा त्वरक विभवांतर सुग्राहिता क्यों घटा देता है?

हल

हल — अभ्यास 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; विक्षेपण $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; सुग्राहिता $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ । तेज़ इलेक्ट्रॉन पट्टिकाओं के बीच कम समय बिताते हैं: $\tan\alpha \propto 1/U_0$ ।

अभ्यास 17.6 ★★

एकल आवेशित $^{12}$ C और $^{13}$ C आयन, $20\,\mathrm{kV}$ से त्वरित होकर, $0.50\,\mathrm{T}$ के क्षेत्र में घुसते हैं ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ )। आधे चक्कर के बाद दोनों बिंदुओं की त्रिज्याएँ और उनके बीच की दूरी।

हल

हल — अभ्यास 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; गिरने के बिंदुओं के बीच दूरी $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ (त्रिज्याएँ $5.8\,\mathrm{mm}$ से भिन्न हैं, और व्यास उससे दुगुने)।

अभ्यास 17.7 ★★

किसी प्रोटॉन साइक्लोट्रॉन का $B = 1.5\,\mathrm{T}$ और $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ है। डी-विभवांतर की आवृत्ति, अधिकतम गतिज ऊर्जा, डियों पर $50\,\mathrm{kV}$ के लिए चक्करों की संख्या, और भीतर बिताया गया समय। निर्गम पर प्रोटॉन का द्रव्यमान किस अंश से बढ़ चुका है ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ )?

हल

हल — अभ्यास 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; प्रति चक्कर $100\,\mathrm{keV}$ : यानी $270$ चक्कर; समय $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ ।

अभ्यास 17.8 ★★

$1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ का कोई इलेक्ट्रॉन $2.0\,\mathrm{mT}$ के क्षेत्र में क्षेत्र-रेखाओं से $30^\circ$ पर घुसता है। उसकी कुंडलिनी की त्रिज्या और पिच; और क्षेत्र के अनुदिश प्रति मीटर चक्करों की संख्या।

हल

हल — अभ्यास 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; आवर्तकाल $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , पिच $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : यानी प्रति मीटर लगभग $64$ चक्कर।

अभ्यास 17.9 ★★

$1.0\,\mathrm{mm}$ मोटी ताँबे की कोई पट्टी $1.0\,\mathrm{T}$ में $5.0\,\mathrm{A}$ ले जाती है ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ )। हॉल विभवांतर। हॉल संवेदक अर्धचालकों ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) के क्यों बनाए जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : यानी माइक्रोवोल्ट से भी कम। $n$ के एक करोड़ गुना छोटा होने पर कोई अर्धचालक मिलीवोल्ट देता है — यानी काम का एक संवेदक।

अभ्यास 17.10 ★★★

न्यूटन के नियम से सिद्ध कीजिए कि किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में (एकसमान हो या न हो), बिना किसी विद्युत क्षेत्र के, कोई आवेश अचर चाल बनाए रखता है। $10\,\mathrm{keV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन प्रबल, असमान क्षेत्र के किसी प्रदेश में घुसता है: क्या बदल सकता है और क्या नहीं?

हल

हल — अभ्यास 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; इसका $\vect v$ के साथ अदिश गुणन कीजिए: $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ , चाहे $\vect B(\vect r, t)$ कुछ भी हो, बशर्ते कोई $\vect E$ न हो। वेग की दिशा, वक्रता त्रिज्या, पिच — सब बदल सकते हैं; चाल और गतिज ऊर्जा ( $10\,\mathrm{keV}$ ) नहीं बदल सकते।

अभ्यास 17.11 ★★★

कोई आवेश $q$ मूल बिंदु पर विराम से आरंभ करता है, जहाँ $\vect E = E\vect e_y$ और $\vect B = B\vect e_z$ हैं। गति के समीकरण लिखिए, दिखाइए कि कण औसतन $E/B$ वेग से $\vect e_x$ के अनुदिश अपवाहित होता है (संकेत: $\vect v = \vect u + \vect w$ रूप का हल खोजिए, जहाँ $\vect u$ अचर हो), और गतिपथ का वर्णन कीजिए (एक चक्रज)। किसी इलेक्ट्रॉन के लिए संख्याएँ, $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ ।

हल

हल — अभ्यास 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ । और $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ के साथ: $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — यानी $\vect w$ का $\omega_c$ पर विशुद्ध साइक्लोट्रॉन घूर्णन। विराम से आरंभ करने पर $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ अचर परिमाण $E/B$ से घूमता है, अतः वेग $E/B$ का अपवाह और उतने ही परिमाण के किसी घूमते सदिश का योग है — यानी एक चक्रज, जिसके उभयाग्र वहाँ हैं जहाँ $\vect v = \vect 0$ । इलेक्ट्रॉन: अपवाह $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , मेहराब की ऊँचाई $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 17.12 ★★★

अभ्यास 17.5 के दोलनदर्शी में पट्टिकाओं की जगह ऐसी चुंबकीय विक्षेपण-कुंडली रखिए जो उन्हीं $4.0\,\mathrm{cm}$ पर $1.0\,\mathrm{mT}$ पैदा करे। विक्षेपण कोण (छोटे कोण में: $R$ त्रिज्या का चाप, $L$ लंबाई पर), और पर्दे पर विक्षेपण। दूरदर्शन की नलिकाएँ, जिनके कोण बड़े होते हैं, विद्युत के बजाय चुंबकीय विक्षेपण क्यों काम में लेती हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (लगभग $15^\circ$ ): यानी एक मामूली मिलीटेस्ला के लिए विक्षेपण $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ । पट्टिकाओं से बड़े कोण पाने के लिए किलोवोल्ट और लंबी पट्टिकाएँ चाहिए होतीं; जबकि कोई कुंडली बिना किसी विभवांतर के पुंज को दसियों अंश तक मोड़ देती है।

17.6 समस्या: अर्बुद के विरुद्ध प्रोटॉन

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — किसी अस्पताल की दीवार के पीछे रखा साइक्लोट्रॉन: प्रोटॉन प्रकाश की एक-तिहाई चाल तक कैसे घुमाए जाते हैं, वह सीधी-सादी मशीन चिकित्सक की माँगी ऊर्जा से पहले ही काम करना क्यों बंद कर देती है, और किसी अर्बुद के उपचार में कितने प्रोटॉन लगते हैं

प्रोटॉन: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । साइक्लोट्रॉन: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , निष्कर्षण त्रिज्या $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , डी-विभवांतर का आयाम $U = 50\,\mathrm{kV}$ ।

भाग I — एक चक्कर।

$\vect v$ से चलते ऐसे किसी प्रोटॉन पर लोरेंत्स बल लिखिए जो $\vect B$ पर लंब हो, और दिखाइए कि किसी डी के भीतर उसकी चाल बदल ही नहीं सकती।
उसके वृत्त की त्रिज्या और आवर्तकाल व्युत्पन्न कीजिए; दिखाइए कि आवर्तकाल चाल पर निर्भर नहीं करता।
इन प्रोटॉनों के लिए साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f_c$ निकालिए।
हर अंतराल-पार पर मिली ऊर्जा; और प्रति चक्कर।
डी-विभवांतर को ठीक $f_c$ पर ही क्यों बदलना चाहिए? यदि वह ज़रा-सा हट जाए तो क्या होगा?
प्रोटॉन केंद्र पर नगण्य चाल से डाले जाते हैं: पहले चक्कर के बाद त्रिज्या? और $n$ चक्करों के बाद?

भाग II — कोर तक।

निष्कर्षण पर गतिज ऊर्जा ( $\mathrm{J}$ में और $\mathrm{MeV}$ में), और चाल, $c$ के अंश के रूप में।
आवश्यक चक्करों की संख्या और मशीन में बिताया गया समय।
सर्पिल पथ की कुल लंबाई (परिधियों का योग — उस योग को किसी समाकल से सन्निकट कीजिए)।
क्या प्रश्न 7 का परिणाम $U$ पर निर्भर करता है? $U$ किस पर असर डालता है?
भीतर का निर्वात अच्छा होना चाहिए: यदि माध्य मुक्त पथ सर्पिल की लंबाई से अधिक होना ज़रूरी हो, तो आँकिए कि कोई प्रोटॉन बची-खुची गैस के अणुओं से टकरावों के बीच कितनी दूरी तय करता है; माध्य मुक्त पथ $1/p$ की तरह बदलता है और वायुमंडलीय दाब पर लगभग $70\,\mathrm{nm}$ होता है। कितना दाब चाहिए?
निष्कर्षण पर $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ और उससे आवर्तकाल का सापेक्ष परिवर्तन निकालिए। ऊपर निकाले गए चक्करों की संख्या पर प्रोटॉन विभवांतर के सापेक्ष आवर्तकाल के किस अंश भर खिसक चुका होगा? टिप्पणी कीजिए।

भाग III — $230\,\mathrm{MeV}$ । प्रोटॉन-चिकित्सा को $30\,\mathrm{cm}$ गहरे अर्बुदों तक पहुँचने के लिए लगभग $230\,\mathrm{MeV}$ चाहिए।

आपेक्षिकता-रहित सूत्र से, कौन-सा गुणनफल $BR$ $230\,\mathrm{MeV}$ देगा? और $B = 2.0\,\mathrm{T}$ के साथ कितनी त्रिज्या?
उस ऊर्जा पर $\gamma - 1 = 0.245$ : प्रोटॉन के ऊर्जा पाने के साथ साइक्लोट्रॉन आवर्तकाल का क्या होता है, और नियत आवृत्ति वाला साइक्लोट्रॉन क्यों विफल हो जाता है?
दो उपाय हैं: त्वरण के दौरान विभवांतर की आवृत्ति बदलते रहना (सिंक्रोसाइक्लोट्रॉन), या $B$ को त्रिज्या के साथ इस तरह बढ़ाना कि $B/\gamma$ अचर बना रहे (समकालिक साइक्लोट्रॉन)। हर एक को एक-एक वाक्य में समझाइए और पहले का एक दोष बताइए।
आपेक्षिक संवेग $p = \gamma mv$ है और त्रिज्या $R = p/qB$ अब भी लागू है: $\gamma = 1.245$ और $v = 0.60c$ के साथ $R$ निकालिए, जब $B = 2.0\,\mathrm{T}$ हो, और प्रश्न 13 से तुलना कीजिए।
निकाला गया पुंज $1.0\,\mathrm{m}$ लंबी दो पट्टिकाओं के बीच से गुजरता है, जिन पर $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ है, ताकि उसे छोटे कोण से मोड़ा जा सके: विक्षेपण कोण आँकिए (आपेक्षिकता-रहित रूप से, जहाँ पिछले प्रश्न का $p$ $mv$ की जगह रखा जाए)। क्या यहाँ विद्युत हँकाई व्यावहारिक है?
$1.0\,\mathrm{m}$ पर $1.0\,\mathrm{T}$ के किसी चुंबक से वही हँकाई: कोण? निष्कर्ष निकालिए कि पुंज-मार्ग चुंबक ही क्यों काम में लेते हैं।

भाग IV — मात्रा।

$230\,\mathrm{MeV}$ का कोई प्रोटॉन अपनी अधिकांश ऊर्जा अपनी परास के अंत के पास जमा करता है (ब्रैग शिखर)। यदि वह सारी ऊर्जा $0.50\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान के किसी अर्बुद में अवशोषित हो जाए, तो $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) की मात्रा देने के लिए कितने प्रोटॉन चाहिए?
पुंज-धारा $1.0\,\mathrm{nA}$ है: प्रति सेकंड प्रोटॉन, और सत्र की अवधि।
पुंज द्वारा ले जाई गई शक्ति; किसी बल्ब से तुलना कीजिए।
प्रोटॉन रोगी के भीतर रुकने तक धीमे किए जाते हैं: यदि उनकी एक चौथाई ऊर्जा वहीं खोई जाती हो, तो अंतिम सेंटीमीटर में प्रति प्रोटॉन कितनी ऊर्जा जमा होती है, मोटे तौर पर? और प्रति माइक्रोमीटर इलेक्ट्रॉन-वोल्टों में?
ऊतक में हर आयनन लगभग $30\,\mathrm{eV}$ माँगता है: कोई एक प्रोटॉन अपने पूरे पथ पर कितने आयनन कराता है?
किसी गहरे अर्बुद के लिए प्रोटॉन-पुंज X-किरणों से बेहतर क्यों है — एक वाक्य में, इस बारे में कि ऊर्जा जाती कहाँ है?
लोरेंत्स बल से मात्रा तक की शृंखला का सार दीजिए: किन समीकरणों ने ऊर्जा, त्रिज्या, चक्करों की संख्या और उपचार का समय तय किया।

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : कोई शक्ति नहीं, अतः अचर चाल।

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , जो $v$ से मुक्त है।

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ ।

4. प्रति पार $eU = 50\,\mathrm{keV}$ , प्रति चक्कर $100\,\mathrm{keV}$ ।

5. जब-जब प्रोटॉन पहुँचे, तब-तब अंतराल त्वरक ध्रुवता पर होना चाहिए, यानी आधे-आधे आवर्तकाल पर; आवृत्ति हटते ही कला खिसकती है और धक्के अंततः मंदन करने लगते हैं।

6. एक चक्कर के बाद $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; और $n$ चक्करों के बाद $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ तथा $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ ।

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ ।

8. $270$ चक्कर; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ ।

10. नहीं: $E_k$ केवल $B$ और $R_{\max}$ पर निर्भर है; $U$ चक्करों की संख्या और समय तय करता है।

11. पथ $560\,\mathrm{m}$ : अतः $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ चाहिए, अर्थात् $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — यानी एक उच्च निर्वात।

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; अतः आवर्तकाल $2.9\%$ बढ़ जाता है। $270$ चक्करों पर यह खिसकाव जुड़कर कई आवर्तकाल हो जाता है — अंतिम चक्कर कला से बाहर होते; व्यवहार में $B$ और अंतःक्षेपण की कला दोनों साध ली जाती हैं, और $27\,\mathrm{MeV}$ इस सीधी-सादी मशीन की सीमा के पास ही है।

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; और $2\,\mathrm{T}$ पर $R = 1.1\,\mathrm{m}$ ।

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ केंद्र से कोर तक $24\%$ बढ़ जाता है: कोई नियत आवृत्ति निराशाजनक रूप से ताल से बाहर हो जाती है।

15. सिंक्रोसाइक्लोट्रॉन: पुंजक के ऊर्जा पाने के साथ आवृत्ति घटाते जाइए — पर एक बार में एक ही पुंजक, अतः औसत धारा कम। समकालिक: $B(R) \propto \gamma$ ऐसा गढ़िए कि आवर्तकाल अचर रहे — सतत पुंज, और यही आधुनिक चुनाव है।

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , यानी आपेक्षिकता-रहित $1.1\,\mathrm{m}$ से थोड़ा-सा अधिक।

17. अनुप्रस्थ आवेग $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; कोण $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : हँकाई के लिए निराशाजनक।

18. चुंबकीय: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , कोण $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : यानी हज़ार गुना अधिक — अतः चुंबक ही।

19. प्रति प्रोटॉन ऊर्जा $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; मात्रा $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : अतः $2.7\times10^{10}$ प्रोटॉन।

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}$ प्रोटॉन प्रति सेकंड: यानी लगभग $4.4\,\mathrm{s}$ ।

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : यानी एक रात-दीप, पर ठीक वहीं पहुँचाया गया जहाँ चाहिए।

22. $1\,\mathrm{cm}$ में $58\,\mathrm{MeV}$ : यानी लगभग $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — अंतिम पथ पर सघन आयनन।

23. प्रति प्रोटॉन $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ आयनन — यही आणविक क्षति कोशिका को मार देती है।

24. X-किरणें अपने पूरे पथ पर ऊर्जा जमा करती हैं, और सबसे अधिक प्रवेश के पास; जबकि प्रोटॉन अपनी अधिकांश ऊर्जा अपनी परास के अंत में जमा करते हैं, आगे के ऊतक को बचाते हुए और पीछे कुछ भी न छोड़ते हुए।

25. $R = mv/eB$ और $T = 2\pi m/eB$ (वृत्त), $E_k = (eBR)^2/2m$ (ऊर्जा), $E_k/2eU$ (चक्कर), मात्रा $=$ (प्रोटॉन $\times$ ऊर्जा)/द्रव्यमान, और धारा $= e \times$ दर (समय)।

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