विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

21द्रवस्थैतिकी

तीन सौ मीटर की गहराई पर कोई पनडुब्बी अपने कवच के हर वर्ग मीटर पर किसी लदे हुए ट्रक का भार उठाए रहती है। कोई बाँध किसी झील को ऐसी दीवार से रोके रखता है जो तली पर मोटी और ऊपर पतली होती है, और इसका कारण झील की लंबाई से कोई वास्ता नहीं रखता। एक लाख टन का कोई जहाज़ इसलिए तैरता है कि वह एक लाख टन पानी हटा देता है, और समुद्र से किसी नदी में आते ही एक बालिश्त और गहरा धँस जाता है। इनमें से हर एक एक ही संबंध का परिणाम है — विराम में पड़े किसी तरल में दाब नीचे की ओर $\rho g$ की दर से बढ़ता है — और यह अध्याय उसे व्युत्पन्न करता है, द्रवों तथा वायुमंडल पर लगाता है, और उसी से किसी दीवार पर लगने वाला बल तथा आर्किमिडीज़ का नियम निकाल लेता है।

आपात-स्थिति के अभ्यास में सतह पर आती कोई पनडुब्बी (अमेरिकी नौसेना): उसकी गिट्टी-टंकियाँ खाली कर दी गई हैं, अतः वह अपने हटाए गए पानी से हलकी है और ऊपर उठ आती है — यानी 7000\, t पर आर्किमिडीज़ की प्रमेय। — आपात-स्थिति के अभ्यास में सतह पर आती कोई पनडुब्बी (अमेरिकी नौसेना): उसकी गिट्टी-टंकियाँ खाली कर दी गई हैं, अतः वह अपने हटाए गए पानी से हलकी है और ऊपर उठ आती है — यानी $7000\,\mathrm{t}$ पर आर्किमिडीज़ की प्रमेय।

21.1 विराम में पड़े तरल में दाब

प्रतिज्ञप्ति 21.1 (दाब की समदैशिकता)

विराम में पड़े किसी तरल में, किसी छोटे पृष्ठ $\dd S$ पर, जो किसी बिंदु $M$ पर रखा हो, तरल जो बल लगाता है वह $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ है, जो पृष्ठ पर लंब और उसी की ओर होता है, और जिसका दाब $P(M)$ बिंदु पर तो निर्भर करता है पर पृष्ठ की दिशा पर नहीं।

आंशिक उपपत्ति. विराम में पड़ा तरल कोई स्पर्शरेखीय बल संचरित नहीं करता (वरना वह बहने लगता): अतः बल अभिलंब होता है। $M$ पर तरल का कोई नन्हा त्रिभुजाकार प्रिज़्म लीजिए, जिसके फलक अलग-अलग दिशाओं में हों: वह अपने फलकों पर के दाब-बलों और अपने भार के अधीन साम्य में है; भार आयतन की तरह बढ़ता है (आकार की तीसरी घात) और दाब-बल क्षेत्रफलों की तरह (दूसरी घात), अतः पर्याप्त छोटे प्रिज़्म के लिए केवल दाब-बल ही गिने जाते हैं, और हर दिशा में उनका संतुलन हर फलक पर वही $P$ माँगता है। ∎

प्रमेय 21.2 (द्रवस्थैतिकी का मूल संबंध)

एकसमान गुरुत्व $\vect g = -g\vect e_z$ ( $z$ ऊपर की ओर) में विराम में पड़े किसी तरल में दाब केवल $z$ पर निर्भर करता है और

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

जहाँ $\rho$ उस तल पर तरल का घनत्व है। दाब नीचे की ओर बढ़ता है; और समान दाब के पृष्ठ (समदाब पृष्ठ) क्षैतिज होते हैं, जैसे किसी द्रव की मुक्त सतह भी।

उपपत्ति. तरल की कोई क्षैतिज परत लीजिए, $S$ क्षेत्रफल की, $z$ और $z + \dd z$ के बीच: उसे नीचे से $P(z)S$ ऊपर की ओर धकेलता है, ऊपर से $P(z + \dd z)S$ नीचे की ओर, और उसका भार $\rho gS\,\dd z$ उसे नीचे खींचता है। विराम में: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ । तरल की क्षैतिज परतों पर गुरुत्व से कोई क्षैतिज बल नहीं आता, अतः क्षैतिज दिशा में $P$ एकसमान रहता है। ∎

बाएँ: तरल की किसी क्षैतिज परत का साम्य — नीचे का दाब ऊपर के दाब से उतना ही अधिक होना चाहिए जितना परत का प्रति एकांक क्षेत्रफल भार है। दाएँ: संयुक्त पात्र — किसी जुड़े हुए द्रव में कोई क्षैतिज रेखा हर जगह वही दाब पाती है, अतः मुक्त सतहें एक ही तल पर ठहरती हैं, चाहे आकार कुछ भी हों।

उपप्रमेय 21.3 (असंपीड्य तरल)

एकसमान घनत्व $\rho$ के किसी द्रव में, ऐसे किसी बिंदु से $h$ गहराई पर, जहाँ दाब $P_0$ है, दाब यह होता है

P = P_0 + \rho gh .

पानी: हर $10\,\mathrm{m}$ पर $1\,\mathrm{bar}$ अधिक। किसी जुड़े हुए द्रव के एक ही तल पर के दो बिंदु एक ही दाब पर होते हैं; संयुक्त पात्रों की मुक्त सतहें एक ही तल पर ठहरती हैं; और किसी बंद द्रव पर कहीं भी लगाया गया दाब बिना घटे हर बिंदु तक पहुँच जाता है (पास्कल का सिद्धांत)।

उपपत्ति. $\dd P/\dd z = -\rho g$ को अचर $\rho$ के साथ समाकलित कीजिए; बाकी समदाब पृष्ठों की क्षैतिजता और किसी तल पर $P$ की अद्वितीयता है। ∎

उदाहरण 21.4 (दाबमापी और दाबयंत्र)

पारद ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) की कोई U-नली, जिसके स्तंभ $h = 760\,\mathrm{mm}$ से भिन्न हों, $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ का दाबांतर मापती है — यानी वायुमंडल, जो पानी का $10.3\,\mathrm{m}$ ऊँचा स्तंभ थामे रहता है। कोई द्रवचालित दाबयंत्र: कोई बल $F_1$ , जो $S_1$ क्षेत्रफल के किसी पिस्टन पर लगे, पूरे द्रव में दाब को $F_1/S_1$ से बढ़ा देता है; और बड़े पिस्टन $S_2$ पर वह $F_2 = F_1S_2/S_1$ देता है — यानी पचास गुने क्षेत्रफल के लिए पचास गुना अधिक, पचास गुनी कम यात्रा की क़ीमत पर (ऊर्जा संरक्षित रहती है: $F_1d_1 = F_2d_2$ )।

21.2 वायुमंडल

प्रतिज्ञप्ति 21.5 (समतापी वायुमंडल)

मोलर द्रव्यमान $M$ की किसी आदर्श गैस के लिए, जो एकसमान ताप $T$ पर और एकसमान गुरुत्व में हो,

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

जहाँ वह मापक ऊँचाई है: हवा के लिए लगभग $8\,\mathrm{km}$ ; और दाब हर $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ पर आधा हो जाता है।

उपपत्ति. $\rho = PM/RT$ (अवस्था समीकरण), अतः $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : यानी एक प्रथम-कोटि रैखिक समीकरण, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ । ∎

उदाहरण 21.6 (विरल हवा)

$T = 260\,\mathrm{K}$ (निचले वायुमंडल का एक औसत) के साथ, $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : $5000\,\mathrm{m}$ पर $P = 0.52P_0$ , और एवरेस्ट के शिखर पर $0.31P_0$ — जो मापे गए $0.54$ तथा $0.33$ के पास ही है; वास्तविक वायुमंडल ऊँचाई के साथ ठंडा होता जाता है, जिसे वर्ष 2 का खंड ध्यान में लेता है। यही प्रतिरूप यह भी बताता है कि समुद्र अलग क्यों है: पानी आठ सौ गुना सघन और लगभग असंपीड्य है, अतः उसका दाब रैखिक रूप से बढ़ता है, हर दस मीटर पर एक बार, और कोई मापक ऊँचाई नहीं होती।

समतापी वायुमंडल: दाब (और घनत्व) ऊँचाई के साथ चरघातांकी रूप से गिरता है, और हर 5.5\, km पर आधा हो जाता है। हवा का दस में से नौ भाग 17\, km से नीचे ही रहता है। — समतापी वायुमंडल: दाब (और घनत्व) ऊँचाई के साथ चरघातांकी रूप से गिरता है, और हर $5.5\,\mathrm{km}$ पर आधा हो जाता है। हवा का दस में से नौ भाग $17\,\mathrm{km}$ से नीचे ही रहता है।

21.3 दीवारों पर बल

प्रतिज्ञप्ति 21.7 (किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल)

$h$ गहराई का कोई द्रव, जो $L$ चौड़ाई की किसी ऊर्ध्वाधर आयताकार दीवार से टिका हो (वायुमंडलीय दाब दोनों फलकों पर लगकर कट जाता है), यह क्षैतिज बल लगाता है

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

जो दाब-केंद्र पर लगे किसी एक बल के तुल्य है, और वह केंद्र $2h/3$ गहराई पर होता है — परिणामी नीचे लगता है, जहाँ दाब सबसे बड़ा है।

उपपत्ति. $x$ गहराई पर प्रमापी दाब $\rho gx$ है; $\dd x$ ऊँचाई की पट्टी पर बल $\rho gxL\,\dd x$ है; उसे $0$ से $h$ तक समाकलित कीजिए। सतह-रेखा के परितः उसका आघूर्ण $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ है; और $F$ से भाग देने पर उत्तोलक भुजा $2h/3$ मिलती है। ∎

किसी बाँध पर दाब गहराई के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (तीर), अतः परिणामी गहराई के दो-तिहाई पर लगता है: दीवार को तली पर ही सबसे मोटी होना चाहिए। बल h और L पर निर्भर करता है, इस पर नहीं कि पीछे कितना पानी पड़ा है। — किसी बाँध पर दाब गहराई के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (तीर), अतः परिणामी गहराई के दो-तिहाई पर लगता है: दीवार को तली पर ही सबसे मोटी होना चाहिए। बल $h$ और $L$ पर निर्भर करता है, इस पर नहीं कि पीछे कितना पानी पड़ा है।

उदाहरण 21.8 (एक बाँध)

$h = 20\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — यानी बीस हज़ार टन, जो सतह से $13\,\mathrm{m}$ नीचे लगता है, और उतना ही चाहे पीछे की झील कोई पोखर हो या कोई खाड़ी: यही द्रवस्थैतिक विरोधाभास है।

21.4 आर्किमिडीज़ की प्रमेय

प्रमेय 21.9 (आर्किमिडीज़)

विराम में पड़े किसी तरल में डूबे किसी पिंड को दाब-बलों से एक परिणामी मिलता है — यानी उत्प्लावन बल — जो उसके हटाए गए तरल के भार के बराबर और उसके विपरीत होता है,

\vect\Pi = -\rho_{\text{तरल}}V_{\text{डूबा}}\,\vect g ,

और वह हटाए गए तरल के द्रव्यमान केंद्र पर लगता है (यानी उत्प्लावन केंद्र पर)।

उपपत्ति. पिंड के पृष्ठ पर लगने वाले दाब-बल केवल उस पृष्ठ के आकार पर और बाहर के तरल पर निर्भर करते हैं। कल्पना कीजिए कि पिंड की जगह उतना ही आयतन भरता विराम में पड़ा तरल है: वह तरल अपने भार और उन्हीं दाब-बलों के अधीन साम्य में है, अतः दाब-बल उसके भार को संतुलित करते हैं — उनका योग $-\rho V\vect g$ है, जो उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर लगता है। अब कल्पना हटा लीजिए; दाब-बल वही-के-वही रहते हैं। ∎

उपप्रमेय 21.10 (तैरना)

$\rho_b$ घनत्व का कोई पिंड $\rho_f > \rho_b$ घनत्व के किसी तरल में अपने आयतन के $\rho_b/\rho_f$ अंश तक डूबकर तैरता है; और यदि $\rho_b > \rho_f$ हो तो वह डूब जाता है, जिसका आभासी भार $(\rho_b - \rho_f)Vg$ होता है।

उपपत्ति. भार $\rho_bVg$ उत्प्लावन बल $\rho_fV_{\text{डूबा}}g$ के बराबर है। ∎

कोई तैरता पिंड: उसका भार, जो उसके द्रव्यमान केंद्र G पर लगता है, उत्प्लावन बल को संतुलित करता है, जो उत्प्लावन केंद्र C पर लगता है (यानी डूबे हुए आयतन के केंद्र पर)। बर्फ़ (= 917\, kg/ m3) समुद्री पानी (1025\, kg/ m3) में: सतह से 89\% नीचे। — कोई तैरता पिंड: उसका भार, जो उसके द्रव्यमान केंद्र $G$ पर लगता है, उत्प्लावन बल को संतुलित करता है, जो उत्प्लावन केंद्र $C$ पर लगता है (यानी डूबे हुए आयतन के केंद्र पर)। बर्फ़ ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) समुद्री पानी ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) में: सतह से $89\%$ नीचे।

उदाहरण 21.11 (तीन उत्प्लावन)

घनत्वमापी एक भारित नली है जो तब तक डूबती है जब तक अपने ही भार जितना तरल न हटा दे: द्रव जितना सघन, वह उतना ही कम डूबती है — यानी उसके डंडे पर पढ़ा जाने वाला एक घनत्व-मापक। $373\,\mathrm{K}$ की गरम हवा का $2800\,\mathrm{m}^{3}$ का कोई गुब्बारा $3.4\,\mathrm{t}$ ठंडी हवा हटाता है और उसमें $2.6\,\mathrm{t}$ गरम हवा का भार है: यानी $0.7\,\mathrm{t}$ का उत्थापन (समस्या 20.1)। $100\,000\,\mathrm{t}$ का कोई जहाज़ $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ समुद्री पानी हटाता है; मीठे पानी ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) में उसे $2.5\%$ अधिक हटाना पड़ता है और वह गहरा धँस जाता है — यही उसके कवच पर के प्लिमसॉल चिह्नों का कारण है।

टिप्पणी 21.12 (स्थायित्व)

छोटे कोण से झुकाया गया कोई तैरता पिंड तभी लौट आता है जब उत्प्लावन बल, जो अब नए डूबे आयतन के खिसके हुए केंद्र पर लगता है, कोई सीधा करने वाला आघूर्ण पैदा करे — और ऐसा तब होता है जब अधिकेंद्र (वह बिंदु जहाँ उत्प्लावन बल की क्रिया-रेखा पिंड की अक्ष से मिलती है) $G$ से ऊपर पड़े। कवच में नीचे रखी गिट्टी $G$ को नीचे ले आती है और जहाज़ को स्थिर रखती है; और ऊपर से भारी नाव उलट जाती है।

21.5 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

समुद्र के नीचे $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ और $1\,\mathrm{km}$ पर निरपेक्ष दाब ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); और $300\,\mathrm{m}$ पर $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ के किसी झरोखे पर बल।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ( $11\,\mathrm{bar}$ ), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ( $101\,\mathrm{bar}$ )। $300\,\mathrm{m}$ पर: $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ , और $1\,\mathrm{m}^{2}$ पर बल $3.1\,\mathrm{MN}$ (भीतर की $1\,\mathrm{atm}$ के सामने परिणामी: $3.0\,\mathrm{MN}$ )।

अभ्यास 21.2 ★

$1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ को संतुलित करते पारद-स्तंभ की ऊँचाई; और जल-स्तंभ की। कोई चूषण-पंप पानी को लगभग $10\,\mathrm{m}$ से ऊपर क्यों नहीं उठा सकता?

हल

हल — अभ्यास 21.2.

$h = P/\rho g$ : पारद $0.760\,\mathrm{m}$ ; पानी $10.3\,\mathrm{m}$ । कोई पंप अधिक से अधिक पानी के ऊपर निर्वात बना सकता है: तब वायुमंडल स्तंभ को $10.3\,\mathrm{m}$ तक ऊपर धकेलता है, उससे अधिक नहीं।

अभ्यास 21.3 ★

कोई द्रवचालित उत्थापक: $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ के पिस्टन पर $100\,\mathrm{N}$ , तो $200\,\mathrm{cm}^{2}$ के पिस्टन पर भार कितना; और यदि छोटा पिस्टन $20\,\mathrm{cm}$ चले तो हर एक कितनी दूरी तय करता है।

हल

हल — अभ्यास 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (यानी एक टन); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (वही आयतन हटा, वही कार्य)।

अभ्यास 21.4 ★

किसी U-नली में पानी है; एक भुजा में तेल ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) डाला जाता है और वह $12\,\mathrm{cm}$ का स्तंभ बना लेता है। दोनों मुक्त सतहों के बीच ऊँचाई का अंतर।

हल

हल — अभ्यास 21.4.

दोनों भुजाओं में तेल–पानी की अंतरापृष्ठ के तल पर वही दाब: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ , यानी दूसरी भुजा में उस तल से ऊपर $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ पानी; अतः तेल की सतह $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ ऊँची ठहरती है।

अभ्यास 21.5 ★★

$273\,\mathrm{K}$ पर वायुमंडल की मापक ऊँचाई; $5000\,\mathrm{m}$ और $8848\,\mathrm{m}$ पर दाब; और वह ऊँचाई जिस पर $P = P_0/2$ हो। अध्याय 20 में दिए गए मानों से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : $5\,\mathrm{km}$ पर $0.54$ , $8848\,\mathrm{m}$ पर $0.33$ ; और आधा $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ पर — यानी वही आँकड़े जो अध्याय 20 में काम आए।

अभ्यास 21.6 ★★

$100\,\mathrm{m}$ चौड़ा कोई आयताकार बाँध $20\,\mathrm{m}$ पानी रोके हुए है। कुल बल, दाब-केंद्र की गहराई, और बाँध की तली के परितः पानी का आघूर्ण। कोई बाँध पानी की ओर मुड़ा हुआ क्यों बनाया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; दाब-केंद्र $13.3\,\mathrm{m}$ गहराई पर, अर्थात् तली से $6.7\,\mathrm{m}$ ऊपर; तली के परितः आघूर्ण $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ । बाँध को पानी की ओर मोड़ देने से प्रणोद मेहराब के संपीडन में बदल जाता है, जो घाटी की दीवारों तक पहुँचा दिया जाता है।

अभ्यास 21.7 ★★

किसी हिमशैल का सतह से नीचे रहने वाला अंश (बर्फ़ $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , समुद्री पानी $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); मीठे पानी में $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ घनत्व के किसी लट्ठे का; और उसी लकड़ी के $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ का कोई बेड़ा $75\,\mathrm{kg}$ के कितने लोग ढो सकता है, इससे पहले कि उसका तख़्ता पानी में डूब जाए?

हल

हल — अभ्यास 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ; लट्ठा $60\%$ । बेड़ा: पूरा डूबने पर उत्प्लावन बल $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ , अपना भार $11.8\,\mathrm{kN}$ : यानी $7.8\,\mathrm{kN}$ बचा हुआ, दस लोग… पर दसवें के पैर भीगेंगे: सूखा रहने के लिए नौ ( $800\,\mathrm{kg}$ )।

अभ्यास 21.8 ★★

$20\,\mathrm{g}$ द्रव्यमान का कोई घनत्वमापी, जिसके डंडे का अनुप्रस्थ काट $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ है, पानी में इस तरह तैरता है कि उसका $4.0\,\mathrm{cm}$ डंडा बाहर रहे। $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ घनत्व के नमकीन पानी में कितना डंडा बाहर रहेगा? और सुग्राहिता (प्रति एकांक आपेक्षिक घनत्व कितने सेंटीमीटर)?

हल

हल — अभ्यास 21.8.

डूबा हुआ आयतन $m/\rho$ : पानी में $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; नमकीन पानी में $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ , यानी $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ कम, अर्थात् $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ और डंडा: कुल $7.6\,\mathrm{cm}$ बाहर। सुग्राहिता $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ प्रति एकांक आपेक्षिक घनत्व (यानी प्रति $0.1$ पर $3.6\,\mathrm{cm}$ )।

अभ्यास 21.9 ★★

$3000\,\mathrm{m}^{3}$ आयतन की किसी पनडुब्बी का द्रव्यमान, खाली गिट्टी-टंकियों के साथ, $2800\,\mathrm{t}$ है। सतह पर बाहर रहने वाला अंश (समुद्री पानी); उदासीन उत्प्लावन के लिए भीतर लेने योग्य पानी का द्रव्यमान; और फिर वह किसी मीठे पानी के ज्वारनदमुख में घुस जाए तो?

हल

हल — अभ्यास 21.9.

हटाया गया आयतन $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : यानी $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ) बाहर। उदासीन के लिए: द्रव्यमान $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ : अतः $275\,\mathrm{t}$ भीतर लीजिए। मीठे पानी में: उत्प्लावन बल घटकर $3000\,\mathrm{t}$ रह जाता है: यानी $75\,\mathrm{t}$ भारी — और वह डूब जाएगी, जब तक $75\,\mathrm{t}$ बाहर न निकाले जाएँ।

अभ्यास 21.10 ★★★

किसी बच्चे के गुब्बारे में $1\,\mathrm{bar}$ और $293\,\mathrm{K}$ पर $10\,\mathrm{L}$ हीलियम ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) है; रबर का भार $3.0\,\mathrm{g}$ है। परिणामी उत्थापन; और वह कितने द्रव्यमान की डोरी ढो सकता है।

हल

हल — अभ्यास 21.10.

हटाई गई हवा: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; भीतर की हीलियम $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; रबर $3.0\,\mathrm{g}$ : परिणामी उत्थापन $7.3\,\mathrm{g}$ — यानी सात मीटर हलकी डोरी।

अभ्यास 21.11 ★★★

सिद्ध कीजिए कि किसी ऊर्ध्वाधर आयताकार दीवार पर दाब-केंद्र $2h/3$ पर होता है, इसके लिए सतह-रेखा के परितः दाब-बलों का आघूर्ण निकालिए। और उस दीवार के लिए वह कहाँ होगा जो केवल आंशिक रूप से डूबी हो, मान लीजिए गहराई $h_1$ से $h_2$ तक?

हल

हल — अभ्यास 21.11.

आघूर्ण $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ , बल $\rho gLh^2/2$ : अतः भुजा $2h/3$ । $h_1$ से $h_2$ तक: आघूर्ण $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ , बल $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : गहराई $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ ।

अभ्यास 21.12 ★★★

किसी बेलनाकार घनत्वमापी (द्रव्यमान $m$ , अनुप्रस्थ काट $S$ ) को, जो $\rho$ घनत्व के किसी द्रव में तैर रहा है, $x$ जितना नीचे दबाकर छोड़ दिया जाता है। दिखाइए कि वह सरल आवर्त दोलन करता है और उसका आवर्तकाल दीजिए; फिर उसे $m = 20\,\mathrm{g}$ , $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , पानी के लिए निकालिए। (उदाहरण 14.3 फिर से।)

हल

हल — अभ्यास 21.12.

अतिरिक्त डुबाव $x$ ऊपर की ओर $\rho gSx$ उत्प्लावन जोड़ देता है: $m\ddot x = -\rho gSx$ , $\omega_0^2 = \rho gS/m$ , $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ ।

कोई गर्म-वायु गुब्बारा फुलाते हुए: गरम की गई हवा अपने चारों ओर की ठंडी हवा से कम सघन होती है, और आवरण पर आर्किमिडीज़ का उत्प्लावन उसके भार से अधिक हो जाता है।

21.6 समस्या: पनडुब्बी

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — तीन सौ मीटर नीचे इस्पात का एक कवच: उसकी चादरों पर दाब, डूबने के लिए उसे कितना पानी निगलना और उठने के लिए कितना उगलना पड़ता है, उसमें से निकलती गोताखोर, और ऊपर से गुज़रता तेलवाहक जहाज़

समुद्री पानी: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; मीठा पानी $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । पनडुब्बी का कवच $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ घेरता है; और खाली गिट्टी-टंकियों के साथ उसका द्रव्यमान $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ है।

भाग I — कवच पर दाब।

$300\,\mathrm{m}$ पर निरपेक्ष दाब, पास्कल में और बार में।
उसी गहराई पर $0.80\,\mathrm{m}$ व्यास के किसी गोल द्वार पर बल; किसी ट्रक के भार से तुलना कीजिए।
यदि कवच $10\,\mathrm{m}$ ऊँचा हो और उसका ऊपरी सिरा $300\,\mathrm{m}$ पर हो, तो पेंदी पर कवच के एक वर्ग मीटर पर बल: ऊपरी सिरे से कितना भिन्न?
पानी थोड़ा संपीड्य है ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): $300\,\mathrm{m}$ पर समुद्री पानी सतह की तुलना में किस अंश तक अधिक सघन है? क्या ऊपर निकाले गए दाब के लिए वह मायने रखता है?
भीतर का दल $1\,\mathrm{atm}$ पर हवा में साँस लेता है: कवच को मोटा बेलन क्यों होना चाहिए, और कोई बेलन किसी चपटे संदूक से बेहतर क्यों टिकता है?
$R$ त्रिज्या और $e$ दीवार-मोटाई का कोई पतला बेलनाकार खोल, जिस पर बाहर से $\Delta P$ का अधिदाब हो, अपनी दीवार में $\Delta P\,R/e$ का संपीडन प्रतिबल वहन करता है। $R = 5.0\,\mathrm{m}$ और $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ के लिए, $300\,\mathrm{m}$ पर उसे निकालिए और इस्पात के पराभव प्रतिबल, लगभग $600\,\mathrm{MPa}$ , से तुलना कीजिए।

भाग II — डूबना और तैरना।

खाली टंकियों के साथ सतह पर कवच का कितना आयतन बाहर रहता है?
पनडुब्बी को बीच पानी में ठहरने (उदासीन उत्प्लावन) के लिए गिट्टी-टंकियों को कितने द्रव्यमान का समुद्री पानी भीतर लेना होगा?
$300\,\mathrm{m}$ पर उदासीन उत्प्लावन में आ जाने के बाद, दाब से कवच $0.1\%$ संपीडित हो जाता है। इससे बनने वाला परिणामी बल निकालिए और बताइए कि गहराई के सापेक्ष वह साम्य स्थायी है या नहीं।
नाव उदासीन उत्प्लावन में ही समुद्र से मीठे पानी के किसी ज्वारनदमुख में चली जाती है। परिणामी बल? वह किस ओर जाएगी, और दल को क्या करना होगा?
$20\,\mathrm{t}$ का कोई तारपीडो छोड़ा जाता है। गिट्टी-प्रणाली को तुरंत क्या करना चाहिए, और कितना?
पनडुब्बी अपनी टंकियाँ खाली करने के लिए संपीडित हवा ही क्यों काम में लेती है, और हवा का दाब ही यह सीमा क्यों तय करता है कि वह कितनी गहराई पर उन्हें खाली कर सकती है?
$300\,\mathrm{m}$ पर $275\,\mathrm{m}^{3}$ टंकियाँ खाली करने के लिए $1\,\mathrm{atm}$ पर कितनी हवा चाहिए, आँकिए (बॉयल का नियम, $PV$ अचर)।

भाग III — गोताखोर। कोई गोताखोर अपने फेफड़ों में $6.0\,\mathrm{L}$ हवा लेकर सतह से नीचे जाती है।

$10\,\mathrm{m}$ और $30\,\mathrm{m}$ पर निरपेक्ष दाब।
यदि वह साँस रोककर उतरे, तो $30\,\mathrm{m}$ पर उसके फेफड़ों का आयतन कितना होगा?
वायु-टंकी वाली कोई गोताखोर $30\,\mathrm{m}$ पर परिवेश के दाब की हवा में साँस लेती है और फिर साँस रोककर ऊपर आती है: सतह पर उसके फेफड़ों को कितना आयतन चाहिए होता, और इससे क्या सीख मिलती है।
$1.0\,\mathrm{m}$ लंबी कोई श्वास-नलिका: गोताखोर की छाती पर के पानी और उसके फेफड़ों की हवा के बीच दाबांतर; $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ की छाती पर बल; क्या वह साँस भीतर खींच सकती है?
वायु-टंकी में $200\,\mathrm{bar}$ पर $12\,\mathrm{L}$ है: $30\,\mathrm{m}$ पर वह कितने लीटर हवा बनती है, और प्रति मिनट $20\,\mathrm{L}$ की खपत पर कितनी देर चलती है?

भाग IV — ऊपर से गुज़रता तेलवाहक जहाज़।

$100\,000\,\mathrm{t}$ का कोई तेलवाहक जहाज़ समुद्री पानी में तैरता है: हटाए गए पानी का आयतन।
उसका जल-रेखा क्षेत्रफल $8000\,\mathrm{m}^{2}$ है: मीठे पानी में घुसने पर वह कितना ऊपर उठता या नीचे धँसता है?
$10\,000\,\mathrm{t}$ तेल लादने पर: डूब-गहराई में परिवर्तन।
खाली तेलवाहक का द्रव्यमान केंद्र ऊँचा होता है; इसीलिए वह खाली होने पर समुद्री पानी गिट्टी के रूप में भरे रहता है। अधिकेंद्र के हिसाब से क्यों?
तेलवाहक के कवच की पेंदी पर ( $20\,\mathrm{m}$ डूब-गहराई): दाब और प्रति वर्ग मीटर बल, $300\,\mathrm{m}$ पर की पनडुब्बी से तुलना करके।
तेलवाहक ठीक पनडुब्बी के ऊपर से गुज़रता है। क्या पनडुब्बी उसके $100\,000\,\mathrm{t}$ को अनुभव करती है? दाब-क्षेत्र से समझाइए।
सार दीजिए: वह एक संबंध जिसने इस समस्या का हर आँकड़ा तय किया, और वह प्रमेय जो उसी से निकली।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ ।

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : परिणामी बल $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — यानी 155 टन, एक द्वार पर लदा हुआ ट्रक।

3. पेंदी $10\,\mathrm{m}$ अधिक गहरी: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ अधिक, यानी $3\%$ : कवच पर भार लगभग एकसमान पड़ता है।

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : दाब के लिए नगण्य (तीस लाख में से कुछ किलोपास्कल)।

5. बाहर तीस बार, भीतर एक: कवच एक ऐसा दाब-पात्र है जिस पर भार भीतर की ओर पड़ता है; कोई बेलन (या गोला) दाब को अपनी दीवार के अनुदिश संपीडन में बदल देता है, जिसे इस्पात अच्छी तरह झेल लेता है, जबकि कोई चपटी चादर मुड़ जाती।

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : यानी पराभव प्रतिबल के पास — इस कवच के लिए $300\,\mathrm{m}$ सीमा के निकट है, और अधिक गहरी नावों को मोटा या अधिक मज़बूत इस्पात चाहिए (या टाइटेनियम)।

7. हटाया गया आयतन $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : यानी $268\,\mathrm{m}^{3}$ बाहर ( $9\%$ )।

8. उदासीन: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : अतः $275\,\mathrm{t}$ भीतर लीजिए।

9. उत्प्लावन बल $\rho Vg$ के $0.1\%$ से घट जाता है: $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ नीचे की ओर (यानी तीन टन)। अधिक गहरा $\Rightarrow$ अधिक संपीडन $\Rightarrow$ अधिक भारी: अतः अस्थायी — पनडुब्बी को लगातार संतुलन साधते रहना पड़ता है (और इस्पात का कवच पानी से कम संपीडित होता है, जो मदद करता है; कोई अत्यधिक लचीला कवच बिना लौटे डूबता चला जाता)।

10. उत्प्लावन बल $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ , जबकि भार $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : यानी $0.74\,\mathrm{MN}$ नीचे ( $75\,\mathrm{t}$ ); अतः $75\,\mathrm{t}$ बाहर पंप कीजिए।

11. तुरंत $20\,\mathrm{t}$ हलकी: क्षतिपूर्ति-टंकियों में $20\,\mathrm{t}$ पानी ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) भर लीजिए।

12. पानी को केवल वही चीज़ बाहर धकेल सकती है जो बाहर के समुद्र से ऊँचे दाब पर हो; बोतलों की संपीडित हवा उसे बाहर धकेलती है — पर तभी तक, जब तक बोतल का दाब उस गहराई के परिवेशी दाब से अधिक हो।

13. $PV$ अचर: $31\,\mathrm{bar}$ पर $275\,\mathrm{m}^{3}$ के लिए $1\,\mathrm{atm}$ पर $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ हवा चाहिए — जो $43\,\mathrm{m}^{3}$ की बोतलों में $200\,\mathrm{bar}$ पर रखी जाती है।

14. $10\,\mathrm{m}$ पर $2.0\,\mathrm{bar}$ ; $30\,\mathrm{m}$ पर $4.0\,\mathrm{bar}$ ।

15. $PV$ अचर: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — पसलियों का पिंजर भीतर की ओर दब जाता है; मुक्त गोताखोर इसे अनुभव करते हैं।

16. $4\,\mathrm{bar}$ पर ली गई हवा चार गुना फैल जाती है: $24\,\mathrm{L}$ , जबकि फेफड़ों में $6\,\mathrm{L}$ ही समाती है: यानी फटना। ऊपर आते समय साँस कभी मत रोकिए; लगातार छोड़ते रहिए।

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; छाती पर बल $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ : साँस की माँसपेशियाँ पचास किलोग्राम नहीं उठा सकतीं — कोई श्वास-नलिका पहले कुछ डेसीमीटर में ही काम करती है।

18. $1\,\mathrm{bar}$ पर $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ , अर्थात् $4\,\mathrm{bar}$ पर $600\,\mathrm{L}$ : यानी $30\,\mathrm{min}$ ।

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ ।

20. मीठे पानी में उसे $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ हटाना पड़ता है: यानी $2400\,\mathrm{m}^{3}$ अधिक, अर्थात् $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ अधिक गहरा।

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ अधिक: यानी $1.2\,\mathrm{m}$ अधिक गहरा।

22. खाली होने पर जहाज़ का $G$ ऊँचा बैठता है और कवच कम डूबता है: अधिकेंद्र $G$ से नीचे चला जा सकता है और जहाज़ लहरों में उलट सकता है। कवच में नीचे भरा समुद्री पानी $G$ को नीचे लाता है और डूब-गहराई बढ़ा देता है।

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , यानी $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : पनडुब्बी के $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ से पंद्रह गुना कम।

24. नहीं: पनडुब्बी की गहराई पर दाब $P_0 + \rho gh$ है, जो केवल गहराई से तय होता है। तेलवाहक का भार उसके हटाए गए पानी पर पड़ता है, जो समुद्र-तल को हर जगह इतना कम उठाता है कि उसे मापा भी न जा सके; पनडुब्बी तक कोई अतिरिक्त भार नहीं पहुँचता।

25. $\dd P/\dd z = -\rho g$ — और उसी से यहाँ की हर गहराई, हर बल और हर फेफड़े-आयतन के लिए $P = P_0 + \rho gh$ — तथा आर्किमिडीज़ की प्रमेय, जो उसी संबंध का किसी बंद पृष्ठ पर समाकलन है।