विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

19कणों के निकाय; दृढ़ पिंडों का परिचय

कोई गोताखोर तख़्ते से कूदती है, सिमटती है, दो कलाबाज़ियाँ खाती है और फिर सीधी हो जाती है; इस सबके दौरान उसके शरीर का एक बिंदु — उसका द्रव्यमान केंद्र — ठीक वही सादा परवलय खींचता है जो कोई पत्थर खींचता। हाथ से छोड़ा गया कोई यो-यो अपनी डोरी के सिरे तक पहुँचने में पत्थर से तीन गुना समय लेता है, और वहाँ दो हज़ार चक्कर प्रति मिनट से घूमता हुआ पहुँचता है। किसी भी ढाल पर ठोस गोला खोखले गोले से जीत जाता है, चाहे उनके आकार या द्रव्यमान कुछ भी हों। पिछले अध्यायों में चली आई एक बिंदु की यांत्रिकी कुछ ही प्रमेयों के सहारे बहुत-से बिंदुओं के निकायों तक — और रोज़मर्रा के दृढ़ पिंडों तक — फैल जाती है: द्रव्यमान केंद्र किसी बिंदु की तरह चलता है, ऊर्जा और कोणीय संवेग द्रव्यमान-केंद्र वाले भाग तथा उसके “चारों ओर” वाले भाग में बँट जाते हैं, और किसी स्थिर अक्ष के परितः घूमता पिंड अपने जड़त्व आघूर्ण से शासित एक ही स्वातंत्र्य-कोटि का निकाय होता है।

19.1 द्रव्यमान केंद्र और संवेग

परिभाषा 19.1 (द्रव्यमान केंद्र; निकाय का संवेग)

$m_i$ द्रव्यमानों के, $M_i$ पर स्थित कणों के लिए, जिनका कुल द्रव्यमान $M = \sum m_i$ है, द्रव्यमान केंद्र (भारकेंद्र) $G$ इस प्रकार परिभाषित होता है

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

किसी भी मूलबिंदु $O$ के लिए। निकाय का संवेग $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ है।

प्रमेय 19.2 (द्रव्यमान केंद्र की प्रमेय)

किसी जड़त्वीय तंत्र में,

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

यानी द्रव्यमान केंद्र $M$ द्रव्यमान के किसी बिंदु कण की तरह चलता है, जिस पर केवल बाह्य बलों का परिणामी लगता है। बिना किसी बाह्य बल वाले संवृत निकाय के लिए $\vect P$ संरक्षित रहता है और $G$ एकसमान चलता है।

उपपत्ति. न्यूटन के दूसरे नियम को कणों पर जोड़ दीजिए; आंतरिक बल क्रिया–प्रतिक्रिया युग्मों में कट जाते हैं; और $G$ की परिभाषा को दो बार अवकलित करने पर $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ । ∎

उदाहरण 19.3 (गोताखोर, प्रतिक्षेप, संघट्ट)

गोताखोर का $G$ केवल उसके भार के अधीन परवलय पर चलता है, चाहे वह जैसे भी मरोड़े — उसकी माँसपेशियाँ आंतरिक बल हैं। $4.0\,\mathrm{kg}$ की कोई राइफ़ल $10\,\mathrm{g}$ की गोली $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलाती है: पहले और बाद में $\vect P = \vect 0$ , अतः राइफ़ल $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पीछे हटती है। दो कारें, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $1000\,\mathrm{kg}$ और विराम में $1500\,\mathrm{kg}$ , जो टकराकर आपस में फँस जाती हैं: $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — संवेग संरक्षित, जबकि गतिज ऊर्जा का $60\%$ मुड़ी हुई धातु और ऊष्मा में चला गया। संवेग हर संघट्ट में संरक्षित रहता है; गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्टों में (अभ्यास 19.12)।

19.2 कोनिग की प्रमेयें

परिभाषा 19.4 (भारकेंद्रीय तंत्र)

भारकेंद्रीय तंत्र $\mathcal R^*$ का मूलबिंदु $G$ पर है और वह जड़त्वीय तंत्र $\mathcal R$ के सापेक्ष स्थानांतरण में है (उसकी अक्षें स्थिर दिशाएँ बनाए रखती हैं)। उसमें मापी गई राशियों पर तारांकन लगाया जाता है: $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ , और $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ ।

प्रमेय 19.5 (कोनिग की प्रमेयें)

किसी निकाय का, किसी बिंदु $O$ के परितः, कोणीय संवेग और उसकी गतिज ऊर्जा दो भागों में बँट जाते हैं: पूरा द्रव्यमान लिए हुए उसके द्रव्यमान केंद्र का योगदान, और भारकेंद्रीय तंत्र में के योगदान:

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

जहाँ $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ और $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ तंत्र के मूलबिंदु पर निर्भर नहीं करते।

उपपत्ति. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ और $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ; $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ और $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ को फैलाइए: मिश्रित पदों में $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ या $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ आ जाता है और वे लुप्त हो जाते हैं। ∎

उदाहरण 19.6 (लुढ़कता पहिया)

$M$ द्रव्यमान, $R$ त्रिज्या और अपनी धुरी के परितः $J$ जड़त्व आघूर्ण वाला कोई पहिया $v$ चाल से बिना फिसले लुढ़क रहा है: संस्पर्श बिंदु विराम में है, अतः $\omega = v/R$ , और $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — यानी एकसमान चकती के लिए $Mv^2$ का तीन-चौथाई ( $J = \tfrac12 MR^2$ ), और छल्ले के लिए पूरा $Mv^2$ । दूसरा पद ही वह कारण है जिससे साइकिल के पहिये हलके बनाए जाते हैं: उनके घूर्णन में वह ऊर्जा लगती है जो ढाँचे के द्रव्यमान में नहीं लगती।

19.3 द्वि-पिंड समस्या

प्रतिज्ञप्ति 19.7 (समानीत द्रव्यमान)

केवल आपस में अन्योन्यक्रिया करते दो कण (बल $\vect F$ जो $m_2$ पर $m_1$ से लगता है, और $-\vect F$ जो $m_1$ पर): $G$ एकसमान चलता है, और सापेक्ष स्थिति $\vect r = \vect{M_1M_2}$ इस नियम का पालन करती है

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

यानी समानीत द्रव्यमान $\mu$ के किसी एक काल्पनिक कण का समीकरण, जो किसी स्थिर केंद्र के परितः $\vect F$ के अधीन चल रहा हो। $\mathcal R^*$ में, $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ और $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ ।

उपपत्ति. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ । $\mathcal R^*$ में, $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ और $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ; इन्हें $E_k^*$ और $\vect L^*$ में रखिए। ∎

उदाहरण 19.8 (जब केंद्र भी चलता है)

अध्याय 16 में सूर्य स्थिर था: यह केवल $m \ll M$ की सीमा में यथार्थ है; सामान्यतः केप्लर का तीसरा नियम $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ कहता है। समस्या 13.1 के कंपमान हाइड्रोजन क्लोराइड अणु के लिए, कूप में दोलन करता द्रव्यमान $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ है, जो आवृत्ति को $1.4\%$ बढ़ा देता है; और हाइड्रोजन परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन का $\mu$ , $m_e$ से $1836$ में एक भाग जितना भिन्न है — जो वर्णक्रम में मापा जा सकता है।

19.4 स्थिर अक्ष के परितः घूमता दृढ़ पिंड

परिभाषा 19.9 (दृढ़ पिंड; स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन)

दृढ़ पिंड (ठोस) ऐसा निकाय है जिसके बिंदु आपसी दूरियाँ स्थिर रखते हैं। यदि वह तंत्र में स्थिर किसी अक्ष $\Delta$ के परितः घूमे, तो उसका हर बिंदु $\Delta$ पर केंद्रित कोई वृत्त खींचता है, और सब एक ही कोणीय वेग $\omega = \dot\theta$ से; अक्ष से $r_i$ दूरी पर के बिंदु की चाल $r_i\omega$ होती है।

प्रतिज्ञप्ति 19.10 (जड़त्व आघूर्ण; कोणीय संवेग; गतिज ऊर्जा)

जड़त्व आघूर्ण $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ के साथ (संतत पिंड के लिए समाकल $\int r^2\,\dd m$ ):

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

मानक मान (द्रव्यमान $M$ ): पतला छल्ला या खोखला बेलन अपनी अक्ष के परितः, $MR^2$ ; एकसमान चकती या ठोस बेलन, $\tfrac12 MR^2$ ; $L$ लंबाई की पतली छड़ अपने केंद्र के परितः, $\tfrac{1}{12}ML^2$ , और एक सिरे के परितः, $\tfrac13 ML^2$ ; ठोस गोला किसी व्यास के परितः, $\tfrac25 MR^2$ । ह्यूगेंस की प्रमेय: ऐसी किसी अक्ष $\Delta$ के परितः जो अक्ष $\Delta_G$ के समांतर हो और $G$ से जाती उस अक्ष से $d$ दूरी पर हो, $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ ।

उपपत्ति. $L_\Delta$ और $E_k$ : प्रतिज्ञप्ति 15.9। छड़, उसके सिरे के परितः: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ; और केंद्र के परितः, $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ । चकती: $r$ त्रिज्या, $\dd r$ चौड़ाई और $(2Mr/R^2)\dd r$ द्रव्यमान का छल्ला: $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ; छल्ला और गोला स्वीकृत मान लिए गए हैं (गोले के लिए द्विसमाकल चाहिए)। ह्यूगेंस: $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ के साथ, मिश्रित पद $G$ की परिभाषा से शून्य पर जुड़ जाता है। ∎

बाएँ: किसी चकती का जड़त्व आघूर्ण, छल्ले-दर-छल्ला जोड़ा हुआ। दाएँ: ह्यूगेंस की प्रमेय — किसी चकती के किनारे से जाती उस अक्ष के परितः जो उसके केंद्र से जाती अक्ष के समांतर है, J = 1/2 MR2 + MR2। — बाएँ: किसी चकती का जड़त्व आघूर्ण, छल्ले-दर-छल्ला जोड़ा हुआ। दाएँ: ह्यूगेंस की प्रमेय — किसी चकती के किनारे से जाती उस अक्ष के परितः जो उसके केंद्र से जाती अक्ष के समांतर है, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ ।

प्रमेय 19.11 (स्थिर अक्ष के परितः किसी ठोस की गतिकी)

किसी जड़त्वीय तंत्र में स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः घूमते किसी ठोस के लिए,

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

यानी अक्ष के परितः बाह्य बलों के आघूर्ण ही कोणीय त्वरण चलाते हैं, और कोई आघूर्ण $\mathcal M_\Delta$ शक्ति $\mathcal M_\Delta\omega$ देता है। कोई आदर्श धुरी (घर्षणरहित धारक) अपनी अक्ष के परितः कोई आघूर्ण नहीं लगाती, अतः वह घूर्णन को न तेज़ करती है न रोकती है।

उपपत्ति. प्रमेय 15.8 को $\Delta$ पर प्रक्षेपित कीजिए, जहाँ $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ है और दृढ़ पिंड के लिए $J_\Delta$ अचर; ऊर्जा वाले रूप के लिए $\dot\theta$ से गुणा कीजिए (दृढ़ पिंड के आंतरिक बल कोई कार्य नहीं करते: दूरियाँ बदलती ही नहीं)। ∎

उदाहरण 19.12 (संयुक्त लोलक; ऐंठन लोलक)

$M$ द्रव्यमान का कोई ठोस किसी क्षैतिज अक्ष के परितः धुरी पर घूमता है, जिसकी दूरी $d$ द्रव्यमान केंद्र $G$ से नापी जाती है: भार का आघूर्ण $-Mgd\sin\theta$ है, अतः $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ , और छोटे झूलों का आवर्तकाल यह होता है

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

यानी $J_\Delta/Md$ लंबाई के किसी सरल लोलक का आवर्तकाल — एक सिरे पर धुरी वाली एकसमान छड़ के लिए $2L/3$ । ऐंठन नियतांक $C$ वाले किसी तार से लटकी चकती (प्रत्यानयन आघूर्ण $-C\theta$ ): $J\ddot\theta = -C\theta$ , $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — यही वह ऐंठन तुला है जिसने $G$ और कूलॉम का नियम मापा।

गति में तीन ठोस: किसी धुरी के परितः झूलता संयुक्त लोलक (अक्ष के परितः भार का आघूर्ण), कोई ऐंठन लोलक (तार का आघूर्ण), और किसी ढाल पर बिना फिसले लुढ़कता कोई ठोस — उसका J/MR2 जितना बड़ा, वह उतना ही धीरे लुढ़कता है। — गति में तीन ठोस: किसी धुरी के परितः झूलता संयुक्त लोलक (अक्ष के परितः भार का आघूर्ण), कोई ऐंठन लोलक (तार का आघूर्ण), और किसी ढाल पर बिना फिसले लुढ़कता कोई ठोस — उसका $J/MR^2$ जितना बड़ा, वह उतना ही धीरे लुढ़कता है।

प्रतिज्ञप्ति 19.13 (ढाल पर बिना फिसले लुढ़कना)

कोई घूर्णज ठोस (अपनी अक्ष के परितः $J = kMR^2$ ), जिसे $\alpha$ कोण की किसी ढाल पर छोड़ा गया हो, इस त्वरण से बिना फिसले लुढ़कता है

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

ठोस गोले के लिए $\tfrac57 g\sin\alpha$ , चकती के लिए $\tfrac23 g\sin\alpha$ , और छल्ले के लिए $\tfrac12 g\sin\alpha$ — द्रव्यमान और त्रिज्या से स्वतंत्र।

उपपत्ति. ऊर्जा: ढाल के अनुदिश $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ (विराम में पड़े संस्पर्श बिंदु पर स्थैतिक घर्षण कोई कार्य नहीं करता), अतः $v^2 = 2ah$ , जहाँ $a$ ऊपर दिया हुआ है; अथवा $G$ के लिए न्यूटन और $G$ के परितः आघूर्ण प्रमेय, घर्षण $f$ के साथ: $Ma = Mg\sin\alpha - f$ , $kMR^2\dot\omega = fR$ , $a = R\dot\omega$ । ∎

टिप्पणी 19.14 (विरूप्य निकाय)

जो निकाय दृढ़ नहीं है, उसके लिए गतिज ऊर्जा प्रमेय यह कहती है: $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ , यानी आंतरिक बल भी कार्य करते हैं (माँसपेशियाँ, स्प्रिंग, निकाय के भीतर का घर्षण)। बाँहें भीतर खींचती स्केटर, सिमटती गोताखोर, पैडलों पर खड़ा साइकिल-सवार — सब बिना किसी बाह्य कार्य के गतिज ऊर्जा पा लेते हैं; द्रव्यमान केंद्र की प्रमेय सच बनी रहती है, और ऊर्जा भीतर से आती है।

19.5 अभ्यास

अभ्यास 19.1 ★

$x = 0$ पर $2.0\,\mathrm{kg}$ और $x = 1.0\,\mathrm{m}$ पर $3.0\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान: $G$ की स्थिति। पृथ्वी–चंद्र निकाय ( $81:1$ , $384\,000\,\mathrm{km}$ ): पृथ्वी के केंद्र से $G$ की दूरी; पृथ्वी की त्रिज्या से उसकी तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ । पृथ्वी–चंद्र: पृथ्वी के केंद्र से $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ , यानी पृथ्वी के भीतर ही ( $6370\,\mathrm{km}$ ): पृथ्वी अपनी सतह से $1700\,\mathrm{km}$ नीचे के किसी बिंदु के परितः डोलती है।

अभ्यास 19.2 ★

$4.0\,\mathrm{kg}$ की कोई राइफ़ल $10\,\mathrm{g}$ की गोली $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलाती है। प्रतिक्षेप चाल; गोली और राइफ़ल की गतिज ऊर्जाएँ; और वह ऊर्जा आई कहाँ से?

हल

हल — अभ्यास 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । गोली $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ , राइफ़ल $8\,\mathrm{J}$ : यह ऊर्जा बारूद की रासायनिक ऊर्जा से आई; हलका पिंड उसका लगभग सारा हिस्सा ले जाता है ( $E_k = p^2/2m$ , जहाँ $p$ दोनों के लिए समान है)।

अभ्यास 19.3 ★

$20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर चलती $1000\,\mathrm{kg}$ की कोई कार विराम में खड़ी $1500\,\mathrm{kg}$ की कार से टकराकर उससे फँस जाती है। उभयनिष्ठ चाल; गतिज ऊर्जा का खोया हुआ अंश।

हल

हल — अभ्यास 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k$ : पहले $200\,\mathrm{kJ}$ , बाद में $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ : यानी $60\%$ खो गया।

अभ्यास 19.4 ★

$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की किसी एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण उसके सिरे से जाती लंब अक्ष के परितः व्युत्पन्न कीजिए, फिर केंद्र से जाती अक्ष के परितः; और दोनों के बीच ह्यूगेंस की प्रमेय जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 19.4.

सिरा: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ; केंद्र: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ; और $d = L/2$ के साथ ह्यूगेंस: $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ ।

अभ्यास 19.5 ★★

एक ही द्रव्यमान और चाल वाले, लुढ़कते एकसमान बेलन और लुढ़कते छल्ले की गतिज ऊर्जा, $\tfrac12 Mv^2$ के गुणजों में। खुरदरे समतल फ़र्श पर कौन पहले रुकता है, और किसी ढाल पर कौन अधिक ऊँचा चढ़ता है?

हल

हल — अभ्यास 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : बेलन के लिए $1.5$ , छल्ले के लिए $2$ गुना $\tfrac12 Mv^2$ । समान चाल पर छल्ले के पास अधिक ऊर्जा होती है: वह समतल फ़र्श पर अधिक दूर तक लुढ़कता है (घर्षण समान) और अधिक ऊँचा चढ़ता है ( $h = v^2(1 + k)/2g$ )।

अभ्यास 19.6 ★★

हाइड्रोजन क्लोराइड ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) का और हाइड्रोजन परमाणु ( $m_p = 1836m_e$ ) का समानीत द्रव्यमान; और केवल हलके द्रव्यमान से निकाली गई कंपन या कक्षीय आवृत्ति में सापेक्ष संशोधन।

हल

हल — अभ्यास 19.6.

हाइड्रोजन क्लोराइड: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ; परमाणु: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ । आवृत्तियाँ $\propto 1/\sqrt\mu$ : हाइड्रोजन क्लोराइड के लिए $+1.4\%$ , और हाइड्रोजन के लिए $+0.027\%$ (H तथा D के वर्णक्रमों का समस्थानिक विस्थापन इसी पर टिका है)।

अभ्यास 19.7 ★★

$1.0\,\mathrm{m}$ लंबी कोई एकसमान छड़ एक सिरे के परितः स्वतंत्र रूप से धुरी पर घूमती है। छोटे दोलनों का आवर्तकाल; उसी आवर्तकाल वाले सरल लोलक की लंबाई; छड़ का वह बिंदु (आघात-केंद्र), जहाँ तेज़ प्रहार धुरी पर कोई प्रतिक्रिया नहीं देता, उसी दूरी पर होता है — बल्लेबाज़ उसे क्यों ढूँढ़ता है?

हल

हल — अभ्यास 19.7.

$J = ML^2/3$ , $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ; तुल्य लंबाई $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ । आघात-केंद्र पर पड़ा प्रहार छड़ को धुरी के परितः घुमा देता है, बिना वहाँ कोई आवेगी प्रतिक्रिया दिए: गेंद को बल्ले के इसी “मीठे बिंदु” पर मारिए और हाथों को कोई झनझनाहट नहीं होगी।

अभ्यास 19.8 ★★

कोई चकती ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ , $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) किसी तार से लटकी है और $2.0\,\mathrm{s}$ आवर्तकाल से ऐंठन में दोलन करती है। तार का ऐंठन नियतांक निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ।

अभ्यास 19.9 ★★

$10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ जड़त्व आघूर्ण का कोई जड़त्व चक्र $3000\,\mathrm{rpm}$ से घूमता है। संचित ऊर्जा; उसे $10\,\mathrm{s}$ में रोक देने वाला ब्रेक-आघूर्ण; और ब्रेक लगने के दौरान चक्करों की संख्या।

हल

हल — अभ्यास 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; चक्कर: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ ।

अभ्यास 19.10 ★★★

कोई ठोस गोला, कोई ठोस बेलन और कोई छल्ला किसी ढाल के शिखर से एक साथ छोड़े जाते हैं। पहुँचने का क्रम, और उनके त्वरणों का अनुपात। क्या परिणाम उनकी त्रिज्याओं या द्रव्यमानों पर निर्भर करता है?

हल

हल — अभ्यास 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : गोला ( $k = 2/5$ ) $0.714$ , बेलन ( $1/2$ ) $0.667$ , छल्ला ( $1$ ) $0.500$ गुना $g\sin\alpha$ : यानी गोला पहले, छल्ला अंत में; और कहीं कोई द्रव्यमान या त्रिज्या नहीं।

अभ्यास 19.11 ★★★

प्रक्षेप्य लोलक: $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की $10\,\mathrm{g}$ गोली $1.0\,\mathrm{m}$ डोरी से लटके $2.0\,\mathrm{kg}$ के गुटके में धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद की चाल; पहुँची हुई ऊँचाई; गोली की गतिज ऊर्जा का खोया हुआ अंश। टक्कर के लिए ही ऊर्जा संरक्षण क्यों नहीं लगाया जा सकता?

हल

हल — अभ्यास 19.11.

संवेग: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; फिर ऊर्जा: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ । $E_k$ : पहले $800\,\mathrm{J}$ , बाद में $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ : यानी $99.5\%$ विरूपण और ऊष्मा में खो गया। टक्कर अप्रत्यास्थ है — उसके पार ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती, संवेग रहता है (डोरी का तनाव ऊर्ध्वाधर है और टक्कर बहुत छोटी)।

अभ्यास 19.12 ★★★

$m_1$ , जो $v_1$ चाल से चल रहा है, का विराम में पड़े $m_2$ से आमने-सामने प्रत्यास्थ संघट्ट: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ और $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ व्युत्पन्न कीजिए। कोई न्यूट्रॉन जब किसी प्रोटॉन से टकराता है, किसी कार्बन नाभिक ( $12m_n$ ) से, और किसी सीसा नाभिक ( $207m_n$ ) से, तो हस्तांतरित ऊर्जा का अंश। रिएक्टरों में मंदन हलके नाभिकों से क्यों किया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ और $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ से $v_1 + v_1' = v_2'$ मिलता है (ऊर्जा वाले समीकरण को संवेग वाले से भाग दीजिए), और वहीं से सूत्र। लक्ष्य तक पहुँचा ऊर्जा-अंश $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : प्रोटॉन $100\%$ ; कार्बन $4 \times 12/169 = 28\%$ ; सीसा $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ । हलके नाभिक न्यूट्रॉन की ऊर्जा कुछ ही संघट्टों में ले लेते हैं (पानी, ग्रैफ़ाइट); सीसे को सैकड़ों चाहिए होते।

खुलता हुआ यो-यो: द्रव्यमान केंद्र गिरता है, चकती घूमती है, और डोरी का तनाव ही वह है जो दोनों गतियों को आपस में बाँधता है — यही सप्ताहांत समस्या है।

19.6 समस्या: यो-यो

समस्या 19.1

सप्ताहांत समस्या — डोरी के सिरे पर पतली धुरी वाली एक चकती: वह इतनी धीरे क्यों गिरती है, तली पर कितनी तेज़ी से घूमती है, वहाँ “सोती” क्यों है, और धागा खींचने पर कोई फिरकी किस ओर लुढ़कती है

यो-यो $M = 50\,\mathrm{g}$ द्रव्यमान और $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की एकसमान चकती है, जिसमें $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की एक पतली धुरी है और उस पर $h = 1.0\,\mathrm{m}$ लंबी डोरी लिपटी है; डोरी का ऊपरी सिरा स्थिर पकड़ा गया है। $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; अक्ष के परितः $J = \tfrac12 MR^2$ ।

भाग I — शुद्धगतिकी और ऊर्जा।

यो-यो का द्रव्यमान केंद्र $G$ कहाँ है? क्यों?
कोनिग की प्रमेय से दिखाइए कि उसकी गतिज ऊर्जा $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ है।
छल्लों पर समाकलित करके $J = \tfrac12 MR^2$ व्युत्पन्न कीजिए, और $J$ का मान निकालिए।
डोरी धुरी से बिना फिसले खुलती है: इससे $v_G$ और $\omega$ के बीच संबंध जोड़िए।
इससे $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ निकालिए और कोष्ठक वाला गुणक गिनिए। टिप्पणी कीजिए।

भाग II — गिरना।

यो-यो पर लगने वाले बल; द्रव्यमान केंद्र की प्रमेय लिखिए (ऊर्ध्वाधर अक्ष नीचे की ओर)।
$G$ से जाती अक्ष के परितः कोणीय संवेग की प्रमेय लिखिए (किन बलों का आघूर्ण है?)।
प्रश्न 4 के साथ मिलाकर त्वरण $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ निकालिए; और उसका मान गिनिए।
डोरी का तनाव निकालिए और भार से तुलना कीजिए।
$1.0\,\mathrm{m}$ डोरी के खुलने में लगा समय, और तब की चाल; उसी ऊँचाई से गिराए गए पत्थर से तुलना कीजिए।
तली पर कोणीय वेग, रेडियन प्रति सेकंड में और चक्कर प्रति मिनट में।
तली पर गतिज ऊर्जा को उसके स्थानांतरी और घूर्णी भागों में बाँटिए।
ऊर्जा-संतुलन जाँचिए: $Mgh$ की तली पर की गतिज ऊर्जा से तुलना कीजिए, और बताइए कि डोरी का तनाव, बड़ा होते हुए भी, कोई कार्य क्यों नहीं करता।

भाग III — तली पर: सोता यो-यो। जब डोरी पूरी खुल जाती है तो वह द्रव्यमान केंद्र को कुछ ही मिलीसेकंड में रोक देती है; यो-यो डोरी के सिरे के फंदे में घूमता रहता है (“सोना”)।

$G$ के रुक जाने पर भी घूर्णन क्यों बचा रहता है? (कौन-सी प्रमेय, और उसे रोकने के लिए कौन-सा बल चाहिए होता?)
यदि $G$ $5\,\mathrm{ms}$ में रोक दिया जाए, तो रुकने के दौरान औसत तनाव आँकिए।
फंदा धुरी पर घर्षण आघूर्ण $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ से रगड़ता है: यो-यो कितनी देर सोता है?
डोरी पर ऊपर की ओर तेज़ झटका देने से डोरी फिर धुरी को पकड़ लेती है; तब घूमता यो-यो ऊपर चढ़ने लगता है। ऊर्जा से निकालिए: यदि कुछ भी न खोता, तो वह कितनी ऊँचाई तक उठ सकता? और व्यवहार में उससे कम क्यों?
चढ़ने के दौरान तनाव भार से बड़ा होता है या छोटा? ( $a_G$ का चिह्न।)
यदि किसी यो-यो की धुरी की त्रिज्या $R$ के बराबर होती (डोरी किनारे पर लिपटी), तो क्या होता? उसका गिरने का त्वरण निकालिए।

भाग IV — मेज़ पर की फिरकी। वही वस्तु किसी खुरदरी मेज़ पर पड़ी है, धुरी क्षैतिज, और उसकी डोरी धुरी के नीचे से क्षैतिज दिशा में निकलती है; उसे $F$ बल से खींचा जाता है। वह बिना फिसले लुढ़कती है।

मेज़ के साथ संस्पर्श बिंदु $C$ पर फिरकी के पदार्थ का वेग क्या है? इससे निकालिए कि गति हर क्षण $C$ के परितः एक घूर्णन है।
$F$ का आघूर्ण $C$ के परितः निकालिए (उत्तोलक भुजा $R - r$ ), और वही भार तथा मेज़ की प्रतिक्रिया के लिए।
$C$ के परितः कोणीय संवेग की प्रमेय, $J_C = J + MR^2$ (ह्यूगेंस) के साथ लगाकर, $a_G$ निकालिए और दिखाइए कि फिरकी हाथ की ओर लुढ़कती है।
अब डोरी क्षैतिज से $\beta$ कोण ऊपर की ओर खींची जाती है। दिखाइए कि जब $F$ की क्रिया-रेखा $C$ से होकर जाती है, अर्थात् $\cos\beta = r/R$ , तब फिरकी लुढ़कती ही नहीं, और उससे अधिक खड़ी खिंचाई पर वह हाथ से दूर लुढ़कती है। वह कोण निकालिए।
$a_G$ निकालिए, जब $F = 0.20\,\mathrm{N}$ क्षैतिज दिशा में खींचा जाए, और आवश्यक घर्षण बल भी; फिरकी के फिसलने से पहले $F$ को कौन सीमित करता है?
सार दीजिए: प्रयुक्त तीनों प्रमेयें (द्रव्यमान केंद्र, किसी अक्ष के परितः कोणीय संवेग, ऊर्जा) और हर एक ने क्या तय किया।

हल

हल — समस्या 19.1.

1. अक्ष पर, चकती के केंद्र में, सममिति से।

2. कोनिग: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ , और भारकेंद्रीय तंत्र में यो-यो अपनी अक्ष के परितः घूमता है: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ ।

3. $\rho$ त्रिज्या और $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ द्रव्यमान का छल्ला: $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ।

4. डोरी स्थिर है और धुरी से खुलती है: धुरी का जो बिंदु उससे संस्पर्श में है वह क्षण भर के लिए विराम में होता है, अतः $v_G = r\omega$ ।

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : यानी गुणक $29$ — लगभग सारी ऊर्जा घूर्णन में है।

6. भार $Mg$ नीचे की ओर, तनाव $T$ ऊपर की ओर: $Ma_G = Mg - T$ ।

7. अक्ष के परितः केवल तनाव का आघूर्ण है (उत्तोलक भुजा $r$ ): $J\dot\omega = Tr$ ।

8. $\dot\omega = a_G/r$ : $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ; फिर $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ , $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ , यानी भार का $97\%$ : डोरी उसे लगभग थामे ही रखती है।

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । पत्थर के लिए: $0.45\,\mathrm{s}$ और $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ ।

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ जबकि $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : यानी गिरने से $28$ गुना अधिक ऊर्जा घूर्णन में।

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ । तनाव डोरी के उस बिंदु पर लगता है जो विराम में है (डोरी हिलती ही नहीं): यानी शून्य शक्ति।

14. रोकने वाला बल डोरी के अनुदिश, अक्ष से होकर लगता है: उसका उस अक्ष के परितः कोई आघूर्ण नहीं; अतः कोणीय संवेग $J\omega$ अछूता रहता है। केवल कोई स्पर्शरेखीय बल (धुरी पर घर्षण) ही घूर्णन को धीमा कर सकता है।

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ , यानी भार से अठारह गुना — इसीलिए उँगली को वह झटका महसूस होता है।

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ ।

17. घूर्णन की पूरी ऊर्जा $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ $Mgh'$ में बदलती है: $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ , यानी लगभग पूरी ऊँचाई; व्यवहार में इससे कम, क्योंकि सोते समय धुरी पर घर्षण होता है और झटके में भी हानि होती है।

18. $a_G$ नीचे की ओर है (ऊपर जाते हुए यो-यो मंदित होता है) जबकि $v_G$ ऊपर की ओर: $T = M(g - a_G) < Mg$ — यानी भार से छोटा।

19. $r = R$ : गुणक $1 + 1/2 = 1.5$ , $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — यानी तेज़ गिरना, थोड़ा घूर्णन: पतली धुरी ही यो-यो को यो-यो बनाती है।

20. बिना फिसले लुढ़कना: $C$ पर के पदार्थ-बिंदु का वेग शून्य है; और जिस दृढ़ पिंड का एक बिंदु विराम में हो, उसका वेग-क्षेत्र उसी बिंदु के परितः एक घूर्णन होता है ( $C$ से जाती अक्ष, वही $\omega$ )।

21. $F$ धुरी के नीचे, मेज़ से $R - r$ ऊँचाई पर, क्षैतिज दिशा में हाथ की ओर लगता है: उसका आघूर्ण $F(R - r)$ है, $C$ के परितः, और उसी दिशा में जो फिरकी को हाथ की ओर लुढ़काती है; भार और प्रतिक्रिया $C$ से होकर जाते हैं (कोई आघूर्ण नहीं)।

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ , $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : यानी हाथ की ओर।

23. $F$ की क्रिया-रेखा $C$ से तब होकर जाती है जब धुरी के नीचे से आती डोरी मेज़ को $C$ पर मिले: $\cos\beta = r/R$ , $\beta = 82^\circ$ । इससे खड़ी खिंचाई पर: $C$ के परितः आघूर्ण उलट जाता है और फिरकी दूर लुढ़कती है (और $\beta$ के पर्याप्त बड़े होने पर उठ जाती है)।

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; घर्षण $Ma_G = F - f$ से (घर्षण $F$ का विरोध करता है): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ; उसे $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ से नीचे रहना चाहिए ( $\mu_s = 0.4$ के लिए), अर्थात् $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ ।

25. द्रव्यमान केंद्र: $G$ का स्थानांतरण और तनाव; किसी अक्ष के परितः कोणीय संवेग: घूर्णन और लुढ़कने की दिशा; ऊर्जा: तली पर चाल और चढ़ाई की ऊँचाई।

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