Physics · किताब 3 · Bachelor Year 1

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

11बिंदु की शुद्धगतिकी

झूला-रेलगाड़ी की डिब्बी 90 km/h90\,\mathrm{km}/\mathrm{h} पर पाश में घुसती है, चढ़ते हुए धीमी पड़ती है, शिखर पर एक क्षण को ठहरी-सी रहती है, और फिर गरजती हुई निकल जाती है; उसमें बैठे लोग तल पर सीट में दबे हुए और शिखर पर लगभग भारहीन अनुभव करते हैं। उस सवारी का वर्णन — डिब्बी कहाँ है, कितनी तेज़ चलती है, उसका वेग किस तरह मुड़ता और बदलता है — शुद्धगतिकी है, और इसके लिए सीधी सड़क वाले xx, yy, zz से कहीं अधिक चाहिए: जो कुछ घूमता है उसके लिए ध्रुवीय निर्देशांक, और स्वयं डिब्बी के साथ चलता हुआ एक आधार। यह अध्याय वही औज़ार जुटाता है, उनमें से हर एक में वेग और त्वरण के सूत्र सिद्ध करता है, और उन्हें उन गतियों पर लगाता है जिन्हें आगे का हर अध्याय बुलाएगा: वृत्तीय, कुंडलिनी, आवर्त, और किसी भी वक्र के अनुदिश गति।

11.1 स्थिति, वेग और त्वरण

परिभाषा 11.1 (निर्देश तंत्र; स्थिति; गतिपथ)

निर्देश तंत्र कोई दृढ़ पिंड है जिसे स्थिर मान लिया जाता है (प्रयोगशाला, पृथ्वी, कोई रेलगाड़ी), और उसके साथ एक घड़ी। बिंदु कण MM — ऐसा पिंड जिसका आकार अध्ययन की जा रही गति के लिए महत्वहीन हो — हर क्षण अपने स्थिति सदिश OM→(t)\vect{OM}(t) से नियत होता है, जो तंत्र से जुड़े किसी मूल बिंदु OO से खींचा जाता है; MM जो वक्र खींचता है वही उसका गतिपथ है। गति सदा किसी तंत्र के सापेक्ष गति होती है: वही यात्री रेलगाड़ी में विराम में है और स्टेशन में गतिमान।

परिभाषा 11.2 (वेग और त्वरण)

तंत्र में MM के वेग और त्वरण हैं

v→= ⁣dOM→ ⁣dt,a→= ⁣dv→ ⁣dt= ⁣d2OM→ ⁣dt2,\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

जो सदिश फलनों के अवकलज हैं: किसी सदिश का अवकलज उसके घटकों को ऐसे आधार में अवकलित करके मिलता है जो तंत्र में स्थिर हो। वेग गतिपथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है और गति की दिशा में इंगित करता है; उसका परिमाण vv चाल कहलाता है। मात्रक: m/s\mathrm{m}/\mathrm{s}, m/s2\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}।

प्रतिज्ञप्ति 11.3 (कार्तीय निर्देशांक)

किसी स्थिर लांबिक-प्रसामान्य आधार (e→x,e→y,e→z)(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z) और OM→=x e→x+y e→y+z e→z\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z के साथ,

v→=x˙ e→x+y˙ e→y+z˙ e→z,a→=x¨ e→x+y¨ e→y+z¨ e→z,\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

जहाँ बिंदु  ⁣d/ ⁣dt\dd/\dd t को दर्शाता है।

उपपत्ति. आधार सदिश अचर हैं; केवल घटक बदलते हैं। ∎

उदाहरण 11.4 (प्रक्षेप्य)

OO से चाल v0v_0 और क्षैतिज से α\alpha कोण पर फेंकी गई किसी गेंद के निर्देशांक (गतिकी, अगला अध्याय) हैं x=v0cos⁡α tx = v_0\cos\alpha\,t, z=v0sin⁡α t−12gt2z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2। तब v→=v0cos⁡α e→x+(v0sin⁡α−gt)e→z\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z, a→=−ge→z\vect a = -g\vect e_z: त्वरण अचर रहता है जबकि वेग मुड़ता जाता है; शिखर पर (z˙=0\dot z = 0, t=v0sin⁡α/gt = v_0\sin\alpha/g) वेग क्षैतिज होता है और त्वरण उस पर लंब। tt का लोप करने पर: z=xtan⁡α−gx2/(2v02cos⁡2α)z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha), यानी एक परवलय।

प्रक्षेप्य का परवलय: वेग गतिपथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश रहता है और मुड़ता जाता है, जबकि त्वरण g अचर है। शिखर पर वेग और त्वरण परस्पर लंब हैं: चाल क्षण भर के लिए ठहरी हुई है, पर दिशा तब भी बदल रही है।
प्रक्षेप्य का परवलय: वेग गतिपथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश रहता है और मुड़ता जाता है, जबकि त्वरण g→\vect g अचर है। शिखर पर वेग और त्वरण परस्पर लंब हैं: चाल क्षण भर के लिए ठहरी हुई है, पर दिशा तब भी बदल रही है।

11.2 बेलनाकार निर्देशांक

परिभाषा 11.5 (बेलनाकार निर्देशांक और स्थानीय आधार)

बिंदु MM को तीन राशियाँ नियत करती हैं: r≥0r \geq 0 (zz अक्ष से दूरी), कोण θ\theta, जो xyxy तल पर उसके प्रक्षेप का e→x\vect e_x से कोण है, और zz; तब OM→=r e→r+z e→z\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z, जहाँ

e→r=cos⁡θ e→x+sin⁡θ e→y,e→θ=−sin⁡θ e→x+cos⁡θ e→y,\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

और e→z\vect e_z मिलकर स्थानीय आधार (e→r,e→θ,e→z)(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z) बनाते हैं, जो लांबिक-प्रसामान्य तथा दक्षिणावर्त है और MM के साथ चलता है। तल में (zz स्थिर) ये ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ)(r, \theta) हैं।

प्रमेयिका 11.6 (स्थानीय आधार के अवकलज)

 ⁣de→r ⁣dt=θ˙ e→θ, ⁣de→θ ⁣dt=−θ˙ e→r, ⁣de→z ⁣dt=0→.\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

उपपत्ति. घटकों को अवकलित कीजिए:  ⁣de→r/ ⁣dt=θ˙(−sin⁡θ e→x+cos⁡θ e→y)=θ˙e→θ\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta, और इसी तरह e→θ\vect e_\theta के लिए भी। घूमते हुए एकांक सदिश का अवकलज उस पर लंब होता है, और उसका परिमाण कोणीय दर के बराबर होता है। ∎

प्रमेय 11.7 (बेलनाकार निर्देशांकों में वेग और त्वरण)

v→=r˙ e→r+rθ˙ e→θ+z˙ e→z,a→=(r¨−rθ˙2)e→r+(rθ¨+2r˙θ˙)e→θ+z¨ e→z.\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

उपपत्ति. प्रमेयिका की सहायता से OM→=re→r+ze→z\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z का अवकलन कीजिए: v→=r˙e→r+rθ˙e→θ+z˙e→z\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z। फिर से अवकलन कीजिए: r¨e→r+r˙θ˙e→θ+r˙θ˙e→θ+rθ¨e→θ−rθ˙2e→r+z¨e→z\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z; अब पदों को इकट्ठा कीजिए। ∎

ध्रुवीय निर्देशांक: स्थानीय आधार ( e_r, e_ ) M के साथ घूमता है; वेग में एक त्रिज्य भाग r और एक लंबत्रिज्य भाग r होता है। यहाँ गतिपथ (लाल) बाहर की ओर सर्पिल बनाता है, अतः r > 0 है और v वृत्त की स्पर्शरेखा से बाहर की ओर झुका हुआ है।
ध्रुवीय निर्देशांक: स्थानीय आधार (e→r,e→θ)(\vect e_r, \vect e_\theta) MM के साथ घूमता है; वेग में एक त्रिज्य भाग r˙\dot r और एक लंबत्रिज्य भाग rθ˙r\dot\theta होता है। यहाँ गतिपथ (लाल) बाहर की ओर सर्पिल बनाता है, अतः r˙>0\dot r > 0 है और v→\vect v वृत्त की स्पर्शरेखा से बाहर की ओर झुका हुआ है।

उपप्रमेय 11.8 (वृत्तीय गति)

RR त्रिज्या के वृत्त पर (r=Rr = R, z=0z = 0), कोणीय वेग ω=θ˙\omega = \dot\theta के साथ:

v→=Rω e→θ,a→=−Rω2 e→r+Rω˙ e→θ=−v2R e→r+ ⁣dv ⁣dt e→θ.\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

एकसमान वृत्तीय गति के लिए (ω\omega अचर) त्वरण विशुद्ध रूप से अभिकेंद्र होता है, जिसका परिमाण v2/R=Rω2v^2/R = R\omega^2 है — यद्यपि चाल अचर रहती है।

उपपत्ति. प्रमेय में r˙=r¨=0\dot r = \ddot r = 0 रखिए; v=Rωv = R\omega। ∎

उदाहरण 11.9 (दो वृत्त)

कोई कार 20 m20\,\mathrm{m} त्रिज्या के गोलचक्कर को 36 km/h36\,\mathrm{km}/\mathrm{h} (10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) पर पार करती है: a=v2/R=5.0 m/s2a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, यानी आधा gg, केंद्र की ओर — इतना ही टायरों को देना पड़ता है। चंद्रमा (R=3.84×108 mR = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, T=27.3 dT = 27.3\,\mathrm{d}): ω=2π/T=2.66×10−6 rad/s\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, a=Rω2=2.7×10−3 m/s2a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} — पृथ्वी की साठ त्रिज्याओं की दूरी पर 36003600 गुना कम, पृथ्वी के पृष्ठ के gg के मुक़ाबले; यही तुलना न्यूटन ने की थी (अध्याय 16)।

11.3 गोलीय निर्देशांक

परिभाषा 11.10 (गोलीय निर्देशांक)

बिंदु MM को उसकी दूरी r=OMr = OM, सह-अक्षांश θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] (जो OM→\vect{OM} और e→z\vect e_z के बीच का कोण है) तथा दिगंश φ\varphi (जो xyxy तल पर उसके प्रक्षेप का कोण है) नियत करते हैं: OM→=r e→r\vect{OM} = r\,\vect e_r, जहाँ

e→r=sin⁡θcos⁡φ e→x+sin⁡θsin⁡φ e→y+cos⁡θ e→z;\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

e→θ\vect e_\theta (याम्योत्तर की स्पर्शरेखा के अनुदिश, बढ़ते θ\theta की ओर) और e→φ\vect e_\varphi (अक्षांश-वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश) स्थानीय लांबिक-प्रसामान्य आधार को पूरा करते हैं। पृथ्वी पर θ\theta अक्षांश को 90∘90^\circ में से घटाने पर मिलता है और φ\varphi देशांतर है।

प्रतिज्ञप्ति 11.11 (गोलीय निर्देशांकों में वेग)

v→=r˙ e→r+rθ˙ e→θ+rsin⁡θ φ˙ e→φ.\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

उपपत्ति.  ⁣de→r/ ⁣dt=θ˙ e→θ+sin⁡θ φ˙ e→φ\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi: पहला पद याम्योत्तर तल में होने वाला घूर्णन है (ठीक ध्रुवीय स्थिति की तरह), और दूसरा e→z\vect e_z के परितः φ˙\dot\varphi दर से होने वाला वह घूर्णन है जिसमें सदिश की अक्ष से दूरी sin⁡θ\sin\theta है। तब v→= ⁣d(re→r)/ ⁣dt\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t। त्वरण की इस वर्ष आवश्यकता नहीं पड़ेगी। ∎

गोलीय निर्देशांक (r, , ) और उनका स्थानीय आधार: e_r त्रिज्य दिशा में, e_ याम्योत्तर के अनुदिश (भूगोलक पर दक्षिण की ओर), और e_ अक्षांश-वृत्त के अनुदिश (पूर्व की ओर)।
गोलीय निर्देशांक (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi) और उनका स्थानीय आधार: e→r\vect e_r त्रिज्य दिशा में, e→θ\vect e_\theta याम्योत्तर के अनुदिश (भूगोलक पर दक्षिण की ओर), और e→φ\vect e_\varphi अक्षांश-वृत्त के अनुदिश (पूर्व की ओर)।

11.4 फ्रेने आधार

परिभाषा 11.12 (वक्ररेखीय भुजांक; फ्रेने आधार)

गतिपथ के अनुदिश वक्ररेखीय भुजांक s(t)s(t) किसी संदर्भ बिंदु से नापी गई चाप लंबाई है, जिसे बीजीय रूप से गिना जाता है; v=s˙v = \dot s। MM पर एकांक स्पर्श सदिश T→= ⁣dOM→/ ⁣ds\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s बढ़ते ss की ओर इंगित करता है; वक्रता त्रिज्या ρ>0\rho > 0 और अवतल पक्ष (वक्रता केंद्र) की ओर इंगित करता एकांक अभिलंब सदिश N→\vect N इस प्रकार परिभाषित हैं:

 ⁣dT→ ⁣ds=1ρ N→.\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

(T→,N→)(\vect T, \vect N) ही फ्रेने आधार है; सरल रेखा पर ρ=∞\rho = \infty, और ρ=R\rho = R उस वृत्त पर जिसकी त्रिज्या RR है।

प्रमेय 11.13 (फ्रेने आधार में त्वरण)

v→=v T→,a→= ⁣dv ⁣dt T→+v2ρ N→.\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

स्पर्शरेखीय घटक  ⁣dv/ ⁣dt\dd v/\dd t बताता है कि चाल कितनी तेज़ी से बदल रही है; और अभिलंब घटक v2/ρv^2/\rho, जो सदा वक्रता केंद्र की ओर होता है, यह बताता है कि दिशा कितनी तेज़ी से मुड़ रही है। गति एकसमान है यदि और केवल यदि a→⊥v→\vect a \perp \vect v; और वह सरल रेखीय है यदि और केवल यदि a→∥v→\vect a \parallel \vect v।

उपपत्ति. v→=( ⁣dOM→/ ⁣ds)( ⁣ds/ ⁣dt)=vT→\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T। तब a→=v˙T→+v  ⁣dT→/ ⁣dt=v˙T→+v( ⁣dT→/ ⁣ds)s˙=v˙T→+(v2/ρ)N→\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N। और  ⁣dT→/ ⁣ds⊥T→\dd\vect T/\dd s \perp \vect T इस तथ्य से निकलता है कि T→⋅T→=1\vect T\cdot\vect T = 1 को अवकलित किया जाए। ∎

किसी वक्र के एक बिंदु पर फ्रेने आधार: T गति के अनुदिश, N वक्रता केंद्र C की ओर। त्वरण दो भागों में बँट जाता है — एक स्पर्शरेखीय भाग v T (तेज़ होना या ब्रेक लगना) और एक अभिलंब भाग (v2/ ) N (मुड़ना)।
किसी वक्र के एक बिंदु पर फ्रेने आधार: T→\vect T गति के अनुदिश, N→\vect N वक्रता केंद्र CC की ओर। त्वरण दो भागों में बँट जाता है — एक स्पर्शरेखीय भाग v˙T→\dot v\vect T (तेज़ होना या ब्रेक लगना) और एक अभिलंब भाग (v2/ρ)N→(v^2/\rho)\vect N (मुड़ना)।

उदाहरण 11.14 (मोड़ में ब्रेक)

90 km/h90\,\mathrm{km}/\mathrm{h} (25 m/s25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) पर चलती कोई कार 100 m100\,\mathrm{m} त्रिज्या के मोड़ में 2.0 m/s22.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} से ब्रेक लगाती है: aT=−2.0 m/s2a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, aN=625/100=6.25 m/s2a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, a=4+39=6.6 m/s2a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}। अभिलंब भाग हावी है: मोड़ सबसे पहले एक मुड़ना है, और टायरों की पकड़ (अगला अध्याय) aT2+aN2\sqrt{a_T^2 + a_N^2} को सीमित करती है, इसीलिए ब्रेक मोड़ से पहले लगाया जाता है।

11.5 कुछ मानक गतियाँ

प्रतिज्ञप्ति 11.15 (एकसमान त्वरित सरल रेखीय गति)

किसी अक्ष पर x¨=a\ddot x = a अचर हो, और आरंभ x0x_0 तथा v0v_0 से हो, तो v=v0+atv = v_0 + at, x=x0+v0t+12at2x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2, और v2−v02=2a(x−x0)v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)।

उपपत्ति. दो बार समाकलन कीजिए; पहले दो संबंधों में से tt का लोप कीजिए। ∎

प्रतिज्ञप्ति 11.16 (कुंडलिनी गति)

r=Rr = R, θ=ωt\theta = \omega t, z=vztz = v_zt (अचर RR, ω\omega, vzv_z): चाल v=R2ω2+vz2v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2} अचर है, त्वरण a→=−Rω2e→r\vect a = -R\omega^2\vect e_r अचर परिमाण का अभिकेंद्र त्वरण है, और वक्रता त्रिज्या ρ=v2/a=R(1+vz2/R2ω2)>R\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R है।

उपपत्ति. r˙=0\dot r = 0, θ¨=0\ddot\theta = 0, z¨=0\ddot z = 0 के साथ प्रमेय 11.7; गति एकसमान है, अतः a→\vect a विशुद्ध रूप से अभिलंब है और v2/ρ=Rω2v^2/\rho = R\omega^2। ∎

प्रतिज्ञप्ति 11.17 (सरल आवर्त गति)

x=Acos⁡(ωt+φ)x = A\cos(\omega t + \varphi): x˙=−Aωsin⁡(ωt+φ)\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), x¨=−ω2x\ddot x = -\omega^2 x। वेग स्थिति से चौथाई आवर्तकाल आगे रहता है और त्वरण स्थिति के विपरीत होता है; vmax⁡=Aωv_{\max} = A\omega, amax⁡=Aω2a_{\max} = A\omega^2। यह AA त्रिज्या और ω\omega कोणीय वेग वाली किसी एकसमान वृत्तीय गति का किसी व्यास पर प्रक्षेप है।

उपपत्ति. अवकलन कीजिए; प्रक्षेप के लिए x=Acos⁡θx = A\cos\theta लीजिए, जहाँ θ=ωt+φ\theta = \omega t + \varphi। ∎

विधि 11.18 (निर्देशांकों का चुनाव)

  • सरल रेखीय या परवलयिक गति, अचर त्वरण: कार्तीय।
  • किसी अक्ष या बिंदु के परितः गति (वृत्त, सर्पिल, कक्षाएँ, घूमते चक्र): बेलनाकार/ध्रुवीय; आधार स्वयं चलता है, इसलिए प्रमेय 11.7 का प्रयोग कीजिए, कभी भी भोलेपन से घटकों का अवकलन नहीं।
  • कोई दिया हुआ वक्र (पटरी, मोड़, पाश) जब चाल का नियम ज्ञात हो: फ्रेने, जो “कितनी तेज़” को “किस ओर” से अलग कर देता है।

चुनाव जो भी हो, v→\vect v और a→\vect a तंत्र पर निर्भर सदिश हैं, और कोई परिणाम तभी पूरा है जब तंत्र का नाम भी दिया गया हो।

11.6 अभ्यास

अभ्यास 11.1 ★

कोई कार विराम से चलना आरंभ करती है, x(t)=2.0 t2x(t) = 2.0\,t^2 (SI मात्रक)। t=3.0 st = 3.0\,\mathrm{s} पर वेग और त्वरण; पहले 5 s5\,\mathrm{s} में तय की गई दूरी; 100 km/h100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} तक पहुँचने में लगा समय।

हल

हल — अभ्यास 11.1.

v=4.0tv = 4.0t: 3.0 s3.0\,\mathrm{s} पर 12 m/s12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; a=4.0 m/s2a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; x(5)=50 mx(5) = 50\,\mathrm{m}; 100 km/h=27.8 m/s100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} के लिए t=27.8/4.0=6.9 st = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}।

अभ्यास 11.2 ★

कोई बिंदु किसी तल में r=2.0 mr = 2.0\,\mathrm{m} और θ=3.0 t\theta = 3.0\,t (rad, SI) के साथ चलता है। ध्रुवीय आधार में v→\vect v और a→\vect a, उनके परिमाण, तथा गति की प्रकृति बताइए।

हल

हल — अभ्यास 11.2.

r˙=0\dot r = 0, θ˙=3.0 rad/s\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}: v→=rθ˙ e→θ=6.0 e→θ\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta (m/s\mathrm{m}/\mathrm{s}); a→=−rθ˙2e→r=−18 e→r\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r (m/s2\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2})। एकसमान वृत्तीय गति: अचर चाल, अभिकेंद्र त्वरण।

अभ्यास 11.3 ★

भूमध्य रेखा पर स्थित कोई बिंदु (R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, नाक्षत्र दिवस 86 164 s86\,164\,\mathrm{s}): भूकेंद्रीय तंत्र में उसकी चाल और त्वरण। त्वरण की तुलना gg से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 11.3.

v=2πR/T=2π×6.37×106/86164=465 m/sv = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; a=v2/R=0.034 m/s2a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, यानी g/290g/290।

अभ्यास 11.4 ★

कोई गेंद v0=12 m/sv_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से α=40∘\alpha = 40^\circ पर फेंकी जाती है; उसके निर्देशांक उदाहरण 11.4 वाले हैं। शिखर तक लगा समय, अधिकतम ऊँचाई, परास, और भूमि पर पहुँचते समय का वेग निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 11.4.

v0sin⁡α=7.71 m/sv_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v0cos⁡α=9.19 m/sv_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। शिखर t=7.71/9.81=0.79 st = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s} पर, ऊँचाई 7.712/(2×9.81)=3.0 m7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}। परास 2×9.19×0.786=14.5 m2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}। भूमि पर: (9.19,−7.71)(9.19, -7.71), यानी 12 m/s12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, क्षैतिज से 40∘40^\circ नीचे।

अभ्यास 11.5 ★★

10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर चलता कोई साइकिल-सवार 25 m25\,\mathrm{m} त्रिज्या के मोड़ में घुसता है और 1.0 m/s21.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} से त्वरित होता है। फ्रेने आधार में a→\vect a और उसका परिमाण दीजिए; उसी मोड़ पर उतने ही त्वरण के 5 s5\,\mathrm{s} बाद क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 11.5.

aT=1.0 m/s2a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, aN=102/25=4.0 m/s2a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, a=4.1 m/s2a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}। 5 s5\,\mathrm{s} बाद: v=15 m/sv = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, aN=225/25=9.0 m/s2a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, a=9.1 m/s2a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}।

अभ्यास 11.6 ★★

कोई बिंदु सर्पिल r=bθr = b\theta, θ=ωt\theta = \omega t पर चलता है (bb, ω\omega अचर)। ध्रुवीय आधार में v→\vect v, चाल, और a→\vect a निकालिए। 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta पद कहाँ से आता है?

हल

हल — अभ्यास 11.6.

r=bωtr = b\omega t, r˙=bω\dot r = b\omega, r¨=0\ddot r = 0, θ˙=ω\dot\theta = \omega: v→=bω e→r+bω2t e→θ\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta, v=bω1+ω2t2v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}; a→=−bω3t e→r+2bω2 e→θ\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta। 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta पद के दो बराबर आधे हैं: त्रिज्य वेग की दिशा θ˙\dot\theta दर से मुड़ती है (जिससे r˙θ˙ e→θ\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta मिलता है), और बाहर की ओर बढ़ने से लंबत्रिज्य चाल rθ˙r\dot\theta बढ़ जाती है (एक और r˙θ˙\dot r\dot\theta)।

अभ्यास 11.7 ★★

कुंडलिनी: R=2.0 mR = 2.0\,\mathrm{m}, ω=1.0 rad/s\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, vz=0.50 m/sv_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। चाल, त्वरण, कुंडलिनी की पिच, वक्रता त्रिज्या।

हल

हल — अभ्यास 11.7.

v=(2.0×1.0)2+0.52=2.1 m/sv = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; a=Rω2=2.0 m/s2a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} अक्ष की ओर; पिच vz×2π/ω=3.1 mv_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}; ρ=v2/a=4.25/2.0=2.1 m>R\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R।

अभ्यास 11.8 ★★

कोई पिस्टन x=0.10cos⁡(10t)x = 0.10\cos(10t) (SI) के अनुसार चलता है। vmax⁡v_{\max}, amax⁡a_{\max}, xx, vv, aa के बीच के कला-संबंध, तथा वे स्थितियाँ बताइए जहाँ ∣v∣\abs v और ∣a∣\abs a सबसे बड़े हैं।

हल

हल — अभ्यास 11.8.

vmax⁡=Aω=1.0 m/sv_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; amax⁡=Aω2=10 m/s2a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; vv कला में xx से चौथाई आवर्तकाल आगे है, और a=−ω2xa = -\omega^2x xx के विपरीत है। ∣v∣\abs v सबसे बड़ा x=0x = 0 पर होता है, और ∣a∣\abs a चरम बिंदुओं x=±Ax = \pm A पर।

अभ्यास 11.9 ★★

e→r=cos⁡θ e→x+sin⁡θ e→y\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y से आरंभ करके  ⁣de→r/ ⁣dt\dd\vect e_r/\dd t और  ⁣de→θ/ ⁣dt\dd\vect e_\theta/\dd t व्युत्पन्न कीजिए, और फिर प्रमेय 11.7 के ध्रुवीय वेग तथा त्वरण।

हल

हल — अभ्यास 11.9.

e→˙r=θ˙(−sin⁡θ e→x+cos⁡θ e→y)=θ˙ e→θ\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta; e→˙θ=θ˙(−cos⁡θ e→x−sin⁡θ e→y)=−θ˙ e→r\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r। तब v→=r˙e→r+rθ˙e→θ\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta, और गुणनफल-नियम से एक बार और अवकलन करने पर प्रमेय 11.7 का त्वरण मिल जाता है।

अभ्यास 11.10 ★★★

उदाहरण 11.4 के प्रक्षेप्य के लिए गतिपथ की वक्रता त्रिज्या शिखर पर और प्रक्षेप बिंदु पर निकालिए (g→\vect g के अभिलंब घटक का प्रयोग कीजिए)। कौन-सी छोटी है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 11.10.

शिखर: v=v0cos⁡αv = v_0\cos\alpha, aN=ga_N = g: ρ=v02cos⁡2α/g\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g। प्रक्षेप बिंदु: v=v0v = v_0, aN=gcos⁡αa_N = g\cos\alpha: ρ=v02/(gcos⁡α)\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)। शिखर वाली त्रिज्या cos⁡3α\cos^3\alpha गुना छोटी है: परवलय वहीं सबसे अधिक मुड़ता है जहाँ वह सबसे धीमा है और जहाँ पूरा g→\vect g अभिलंब है।

अभ्यास 11.11 ★★★

RR त्रिज्या का कोई पहिया बिना फिसले vv चाल से लुढ़कता है; उसकी परिधि के किसी बिंदु के निर्देशांक x=vt−Rsin⁡(vt/R)x = vt - R\sin(vt/R), y=R−Rcos⁡(vt/R)y = R - R\cos(vt/R) हैं (एक चक्रज)। उसका वेग और त्वरण निकालिए; दिखाइए कि भूमि को छूते समय उसका वेग लुप्त हो जाता है और त्वरण ऊपर की ओर v2/Rv^2/R होता है; शिखर पर उसकी चाल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 11.11.

x˙=v−vcos⁡(vt/R)\dot x = v - v\cos(vt/R), y˙=vsin⁡(vt/R)\dot y = v\sin(vt/R); x¨=(v2/R)sin⁡(vt/R)\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R), y¨=(v2/R)cos⁡(vt/R)\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)। भूमि पर (vt/R=2πnvt/R = 2\pi n): x˙=y˙=0\dot x = \dot y = 0 और a→=(0,v2/R)\vect a = (0, v^2/R), ऊपर की ओर। शिखर पर (vt/R=πvt/R = \pi): x˙=2v\dot x = 2v, y˙=0\dot y = 0: चाल 2v2v।

अभ्यास 11.12 ★★★

कोई व्यक्ति अचर ω\omega से घूमते किसी चक्र की त्रिज्या के अनुदिश बाहर की ओर चलता है, चक्र के सापेक्ष अचर चाल uu से: r=utr = ut, θ=ωt\theta = \omega t। ध्रुवीय आधार में a→\vect a निकालिए, दोनों पदों को पहचानिए, और u=1.0 m/su = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ω=1.0 rad/s\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} के लिए t=2.0 st = 2.0\,\mathrm{s} पर उनका मान निकालिए। किस पद का भूमि पर चलते व्यक्ति के लिए कोई प्रतिरूप नहीं है?

हल

हल — अभ्यास 11.12.

r¨=0\ddot r = 0, r˙=u\dot r = u, θ˙=ω\dot\theta = \omega: a→=−utω2 e→r+2uω e→θ\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta। t=2.0 st = 2.0\,\mathrm{s} पर: −2.0 e→r+2.0 e→θ-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta (m/s2\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2})। पहला घूर्णन का अभिकेंद्र पद है; दूसरा, 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta, केवल इसलिए है क्योंकि त्रिज्य दिशा स्वयं घूम रही है — भूमि पर अचर चाल से सीधे चलने में तो कोई त्वरण होता ही नहीं।

एक ऊर्ध्वाधर पाश (योमिउरीलैंड, टोक्यो): वृत्त नहीं, बल्कि अश्रु-बूँद के आकार का, ताकि वक्रता वहीं सबसे अधिक हो जहाँ चाल सबसे कम है, यानी शिखर पर — यही सप्ताहांत समस्या की ज्यामिति है। छायाचित्र: जेरेमी थॉम्पसन, CC BY 2.0।
एक ऊर्ध्वाधर पाश (योमिउरीलैंड, टोक्यो): वृत्त नहीं, बल्कि अश्रु-बूँद के आकार का, ताकि वक्रता वहीं सबसे अधिक हो जहाँ चाल सबसे कम है, यानी शिखर पर — यही सप्ताहांत समस्या की ज्यामिति है। छायाचित्र: जेरेमी थॉम्पसन, CC BY 2.0।

11.7 समस्या: झूला-रेलगाड़ी का पाश

समस्या 11.1

सप्ताहांत समस्या — कोई डिब्बी नब्बे किलोमीटर प्रति घंटा की चाल से एक ऊर्ध्वाधर पाश में घुसती है: वह कहाँ धीमी पड़ती है, उसका त्वरण किधर इंगित करता है, सवार कितने gg अनुभव करते हैं, और आधुनिक पाश वृत्त क्यों नहीं होते

कोई डिब्बी, जिसे बिंदु MM माना गया है, R=10 mR = 10\,\mathrm{m} त्रिज्या और CC केंद्र वाले किसी ऊर्ध्वाधर वृत्तीय पाश पर दौड़ती है। उसकी स्थिति उस कोण θ\theta से दी जाती है जो CM→\vect{CM} और नीचे की ओर की ऊर्ध्वाधर के बीच बनता है (तल पर θ=0\theta = 0 और शिखर पर π\pi)। घर्षण नगण्य है, और चाल का नियम (अध्याय 13 में व्युत्पन्न) यह है:

v2=v02−2gR(1−cos⁡θ),v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

जहाँ v0=25 m/sv_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s} तल पर की चाल है; g=9.81 m/s2g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}।

भाग I — वृत्त पर शुद्धगतिकी।

  1. CC पर केंद्रित ध्रुवीय निर्देशांकों में (e→r\vect e_r CC से MM की ओर), वृत्त पर की गति के लिए v→\vect v और a→\vect a लिखिए।
  2. फ्रेने सदिश T→\vect T तथा N→\vect N को e→r\vect e_r और e→θ\vect e_\theta के पदों में पहचानिए, और वक्रता त्रिज्या भी।
  3. शिखर पर, तथा पार्श्व बिंदुओं θ=π/2\theta = \pi/2 और 3π/23\pi/2 पर चाल निकालिए।
  4. चाल के नियम का समय के सापेक्ष अवकलन करके दिखाइए कि स्पर्शरेखीय त्वरण aT=−gsin⁡θa_T = -g\sin\theta है। ऊपर चढ़ते और नीचे उतरते समय उसके चिह्न की व्याख्या कीजिए।
  5. अभिलंब त्वरण aN(θ)a_N(\theta) व्यक्त कीजिए और उसे तल पर, पार्श्वों पर तथा शिखर पर निकालिए।
  6. चारों बिंदुओं पर a→\vect a का परिमाण दीजिए, और शिखर पर वह ऊर्ध्वाधर से जो कोण बनाता है वह भी।
  7. किन बिंदुओं पर a→\vect a, v→\vect v पर लंब है? और किन पर समांतर?

भाग II — कोणीय दरें और समय।

  1. θ˙\dot\theta को θ\theta के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए और उसे तल पर तथा शिखर पर निकालिए।
  2. दिखाइए कि θ¨=−(g/R)sin⁡θ\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta (यही लोलक का समीकरण है) और उस पर टिप्पणी कीजिए।
  3. तुलना के लिए RR लंबाई के सरल लोलक के छोटे दोलनों का आवर्तकाल निकालिए (उदाहरण 1.8 ने उसका रूप दे दिया था; k=2πk = 2\pi)।
  4. चारों संदर्भ बिंदुओं की चालों के औसत का प्रयोग करके पाश का एक चक्कर लगाने में लगे समय का आकलन कीजिए।
  5. डिब्बी के पटरी पर बने रहने के लिए शिखर पर न्यूनतम चाल gR\sqrt{gR} है (अगला अध्याय)। क्या वह पूरी होती है? न्यूनतम v0v_0 कितना चाहिए?

भाग III — सवार क्या अनुभव करते हैं। किसी सवार को अनुभव होता प्रति एकांक द्रव्यमान आभासी भार a→−g→\vect a - \vect g है (यहाँ स्वीकृत, अध्याय 12 में व्युत्पन्न); gg के मात्रकों में उसका परिमाण “gg-भार” कहलाता है।

  1. तल पर gg-भार निकालिए।
  2. शिखर पर उसे निकालिए, और बताइए कि सवार किस ओर दबता है (सीट की ओर या बंधन की ओर)।
  3. पार्श्व बिंदुओं पर उसे निकालिए।
  4. सवार थोड़ी देर के लिए लगभग 4g4g सह लेते हैं। क्या यह पाश उत्तीर्ण होता है? समस्या कहाँ है?
  5. दिखाइए कि किसी वृत्तीय पाश में, जिसमें प्रवेश की चाल शिखर पार करने भर की ही हो (वहाँ आभासी भार शून्य), तल पर gg-भार अनिवार्यतः 6g6g होता है, चाहे RR कुछ भी हो।

भाग IV — क्लोथॉयड पाश। आधुनिक पाश “अश्रु-बूँद” जैसे होते हैं: वक्रता त्रिज्या तल पर बड़ी और शिखर पर छोटी होती है।

  1. a→\vect a के फ्रेने रूप का प्रयोग करते हुए समझाइए कि पटरी के अनुदिश ρ\rho को बदलने से aNa_N बदल जाता है, जबकि चाल का नियम (जो केवल ऊँचाई पर निर्भर है) नहीं बदलता।
  2. ρतल\rho_{\text{तल}} ऐसा चुनिए कि तल पर gg-भार 3g3g रहे, जब v0=25 m/sv_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s} हो।
  3. शिखर पर ऊँचाई अब भी तल से 2R=20 m2R = 20\,\mathrm{m} ऊपर है। ρशिखर\rho_{\text{शिखर}} ऐसा चुनिए कि वहाँ gg-भार 1.5g1.5g हो।
  4. किसी क्लोथॉयड की वक्रता चाप लंबाई के समानुपाती होती है, 1/ρ=s/A21/\rho = s/A^2। ऐसे किसी प्रवेश-पथ पर, जब चाल लगभग अचर हो, aNa_N समय के साथ किस तरह बढ़ता है, और यह गरदन के लिए वृत्त से (जहाँ प्रवेश पर aNa_N एकाएक कूद जाता है) अधिक कोमल क्यों है?
  5. परिणामी पाश का आकार गुणात्मक रूप से खींचिए और दो वाक्यों में सार दीजिए कि उसने वृत्त की जगह क्यों ले ली।

भाग V — भूमि से देखने पर। भूमि-तल पर रखा कोई कैमरा, जो पाश के तल में उसके केंद्र से 50 m50\,\mathrm{m} दूर है, डिब्बी का पीछा करता है।

  1. जब डिब्बी शिखर पर है और 15 m/s15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से क्षैतिज रूप से चल रही है, तब कैमरे को किस कोणीय दर (rad/s) से घूमना चाहिए? (कैमरे से ली गई ध्रुवीय निर्देशांक-व्यवस्था में।)
  2. अचर दर से घूमता कैमरा एकसमान वृत्तीय गति का पीछा करने में खराब क्यों रहता है?
  3. इस पाश से मिले अध्याय के पाठ का सार दीजिए: किस निर्देशांक-व्यवस्था ने किस प्रश्न का उत्तर दिया।
हल

हल — समस्या 11.1.

1. v→=Rθ˙ e→θ\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta; a→=−Rθ˙2 e→r+Rθ¨ e→θ\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta।

2. T→=e→θ\vect T = \vect e_\theta (θ\theta बढ़ते हुए गति), N→=−e→r\vect N = -\vect e_r (CC की ओर), ρ=R\rho = R।

3. शिखर: v2=625−392=233v^2 = 625 - 392 = 233, v=15.3 m/sv = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। पार्श्व: 625−196=429625 - 196 = 429, v=20.7 m/sv = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

4. 2vv˙=−2gRsin⁡θ θ˙2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta और v=Rθ˙v = R\dot\theta: v˙=−gsin⁡θ\dot v = -g\sin\theta। 0<θ<π0 < \theta < \pi के लिए ऋणात्मक (ऊपर चढ़ते समय धीमा पड़ना), और नीचे उतरते समय धनात्मक।

5. aN=v2/R=v02/R−2g(1−cos⁡θ)a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta): तल पर 62.5 m/s262.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; पार्श्वों पर 62.5−19.6=42.9 m/s262.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; शिखर पर 62.5−39.2=23.3 m/s262.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}।

6. तल पर: 62.5 m/s262.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (स्पर्शरेखीय भाग शून्य); पार्श्वों पर: 42.92+9.812=44.0 m/s2\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; शिखर पर: 23.3 m/s223.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, जो सीधे नीचे CC की ओर है: ऊर्ध्वाधर से कोण 00।

7. तल और शिखर पर लंब (aT=0a_T = 0); समांतर कहीं नहीं (aN>0a_N > 0 सर्वत्र)।

8. θ˙=v/R=v02−2gR(1−cos⁡θ)/R\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R: तल पर 2.50 rad/s2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, शिखर पर 1.53 rad/s1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}।

9. θ¨=v˙/R=−(g/R)sin⁡θ\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta: यह RR लंबाई के सरल लोलक का समीकरण है — पटरी पर दौड़ती डिब्बी वही लोलक-गोलक है जो शिखर के पार निकल जाता है।

10. 2πR/g=2π10/9.81=6.3 s2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}।

11. 2525, 20.720.7, 15.315.3, 20.720.7 का माध्य: लगभग 20 m/s20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; लंबाई 2πR=63 m2\pi R = 63\,\mathrm{m}: यानी मोटे तौर पर 3 s3\,\mathrm{s}।

12. gR=9.9 m/s<15.3\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3: हाँ। न्यूनतम: v02≥gR+4gR=5gR=490v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490, v0≥22.1 m/sv_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

13. तल पर: a→=62.5\vect a = 62.5 ऊपर की ओर, g→\vect g नीचे की ओर: ∣a→−g→∣=62.5+9.8=72.3 m/s2=7.4g\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g।

14. शिखर पर: दोनों नीचे की ओर, 23.3−9.8=13.5 m/s2=1.4g23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g, जो सवार को सीट में दबाता है (केंद्र की ओर, यानी उलटे बैठे सवार के लिए ऊपर की ओर)।

15. पार्श्वों पर: a→=42.9\vect a = 42.9 क्षैतिज, CC की ओर, और साथ में 9.89.8 नीचे की ओर (स्पर्शरेखीय); a→−g→\vect a - \vect g क्षैतिज 42.942.9 है: यानी केंद्र की ओर बग़ल में 4.4g4.4g।

16. विफल: तल पर 7.4g7.4g (शिखर और पार्श्व ठीक हैं)।

17. शिखर पर आभासी भार शून्य: vशिखर2=gRv_{\text{शिखर}}^2 = gR; तब v02=gR+4gR=5gRv_0^2 = gR + 4gR = 5gR, तल पर aN=5ga_N = 5g और भार 5g+g=6g5g + g = 6g, जो RR से स्वतंत्र है।

18. aN=v2/ρa_N = v^2/\rho: vv ऊँचाई से तय होता है (ऊर्जा), और ρ\rho पटरी की ज्यामिति से; उसी ऊँचाई पर भिन्न ρ\rho केवल aNa_N को बदलता है।

19. aN+g=3ga_N + g = 3g: aN=2ga_N = 2g, ρ=v02/2g=625/19.6=32 m\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}।

20. vशिखर=15.3 m/sv_{\text{शिखर}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; aN−g=1.5ga_N - g = 1.5g: aN=24.5 m/s2a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, ρ=233/24.5=9.5 m\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}।

21. aN=v2/ρ=v2s/A2=v3t/A2a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2: यह शून्य से रैखिक रूप से बढ़ता है — त्वरण के परिवर्तन की दर अचर — न कि वृत्त के प्रवेश पर 00 से v2/Rv^2/R तक एकाएक कूदता है, जिसे गरदन एक चोट की तरह अनुभव करती है।

22. एक अश्रु-बूँद: तल पर चौड़ा और हलके मोड़ वाला, जहाँ डिब्बी तेज़ है; शिखर पर कसा हुआ, जहाँ वह धीमी है। इससे भार पूरे रास्ते 3g3g के आसपास रहता है और धीरे-धीरे चढ़ता है।

23. दृष्टि-रेखा: क्षैतिज दूरी 50 m50\,\mathrm{m}, ऊँचाई 20 m20\,\mathrm{m}: r=53.9 mr = 53.9\,\mathrm{m}, उन्नयन β=21.8∘\beta = 21.8^\circ। क्षैतिज वेग का अनुप्रस्थ घटक vsin⁡β=15×0.371=5.6 m/sv\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} है; θ˙=5.6/53.9=0.10 rad/s\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}।

24. किसी अ-केंद्रीय बिंदु से देखने पर दृष्टि-रेखा की कोणीय दर अचर नहीं रहती (डिब्बी पास हो तो तेज़, दूर हो तो धीमी): अचर दर से घूमता कैमरा डिब्बी से भटक जाता है।

25. वृत्त पर वेग और त्वरण के लिए CC पर ध्रुवीय निर्देशांक; “तेज़ होना” बनाम “मुड़ना” के लिए तथा क्लोथॉयड के लिए फ्रेने विभाजन; पीछा करने की दर के लिए कैमरे पर ध्रुवीय निर्देशांक; और चाल के नियम के लिए ऊर्जा (अगले अध्याय)।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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