विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

3दर्पण और पतले लेंस

शृंगार-दर्पण चेहरे को दुगुना बड़ा दिखाता है; चम्मच की पीठ उसे नन्हा और सीधा दिखाती है, जबकि उसका कटोरा नन्हा और उलटा; बाँह भर दूर पकड़ा आवर्धक काँच पूरे कमरे को सिर के बल खड़ा कर देता है, और पास लाने पर डाक-टिकट को बड़ा कर देता है; मसूर के दाने जितना फ़ोन का लेंस पूरी गली को एक संवेदक पर उतार देता है। तीन दूरियों के बीच एक ही बीजीय संबंध इन सब प्रतिबिंबों को साधता है, और यह अध्याय उसी को स्थापित करता है — पहले वक्र दर्पणों के लिए, फिर उस पतले लेंस के लिए जिससे लगभग सारे प्रकाशिक उपकरण बने हैं।

अभिसारी लेंस परदे पर मोमबत्ती की लौ का वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब बनाता हुआ: वस्तु और प्रतिबिंब की दूरियाँ इसी अध्याय के संयुग्मन संबंध का पालन करती हैं।

3.1 प्रतिबिंब और गाउस की शर्तें

परिभाषा 3.1 (वस्तु, प्रतिबिंब, बिंदुसंगतता)

किसी प्रकाशिक निकाय पर किसी बिंदु $A$ (वस्तु बिंदु) से किरणें पड़ती हैं। यदि निकलती हुई सारी किरणें किसी एक बिंदु $A'$ से गुज़रें, या सब उसी एक बिंदु $A'$ से आती जान पड़ें, तो निकाय $A$ के लिए बिंदुसंगत है और $A'$ ही $A$ का प्रतिबिंब है। प्रतिबिंब वास्तविक है यदि निकलती किरणें सचमुच $A'$ पर मिलती हों (तब उसे परदे पर पकड़ा जा सकता है), और आभासी है यदि केवल उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार मिलते हों (तब वह निकाय के भीतर से दिखता है, प्रक्षेपित नहीं होता)। इसी तरह वस्तु वास्तविक है यदि आती किरणें $A$ से अपसरित होती हों, और आभासी यदि वे निकाय के प्रवेश के पीछे $A$ की ओर अभिसरित होती हों। युग्म $(A, A')$ संयुग्मी कहलाता है।

परिभाषा 3.2 (केंद्रित निकाय; गाउस की शर्तें)

केंद्रित निकाय में घूर्णन-सममिति का एक अक्ष होता है, जिसे प्रकाशिक अक्ष कहते हैं। जो किरणें अक्ष के पास बनी रहती हैं और उसके साथ छोटे कोण बनाती हैं, वे उपाक्षीय कहलाती हैं; और जो निकाय केवल उपाक्षीय किरणों के साथ काम में लिया जाता है, उसके बारे में कहा जाता है कि वह गाउस की शर्तों में काम कर रहा है। इन शर्तों में केंद्रित निकाय हर बिंदु के लिए लगभग बिंदुसंगत होता है, और अक्ष के लंबवत किसी वस्तु-तल का प्रतिबिंब-तल भी अक्ष के लंबवत होता है (समतल-संगतता)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 3.3 (छोटे कोण ही क्यों)

समतल दर्पण अकेला ऐसा सरल निकाय है जो हर बिंदु के लिए कठोरता से बिंदुसंगत है। कोई गोलीय दर्पण या लेंस केवल उतना ही बिंदुसंगत है जितना $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ सही ठहरता है: यही सन्निकटन स्नेल के नियम को दूरियों के बीच रैखिक संबंधों में बदल देता है। इसके बाहर किसी बिंदु का प्रतिबिंब एक धब्बा बन जाता है (विपथन), और अभिकल्पक का काम — रोधक, लेंसों के संयोजन, अगोलीय पृष्ठ — उस धब्बे को आँख या संवेदक की विभेदन सीमा से नीचे धकेल देना है।

संकेतन 3.4 (बीजीय माप और आवर्धन)

प्रकाशिक अक्ष आती हुई रोशनी की दिशा में दिष्ट किया जाता है, और अनुप्रस्थ दिशा ऊपर की ओर। अक्ष पर स्थित बिंदुओं $P$ , $Q$ के लिए $\overline{PQ}$ बीजीय माप को दर्शाता है ( $\overline{PQ} > 0$ यदि $Q$ $P$ के अनुप्रवाह में हो); और अक्ष के लंबवत वस्तु $AB$ तथा उसके प्रतिबिंब $A'B'$ के लिए अनुप्रस्थ आवर्धन है

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,

जो उलटे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक होता है और बड़े हुए प्रतिबिंब के लिए $1$ से बड़े निरपेक्ष मान का।

3.2 गोलीय दर्पण

परिभाषा 3.5 (गोलीय दर्पण)

गोलीय दर्पण केंद्र $C$ और शीर्ष $S$ (अक्ष के साथ उसका प्रतिच्छेद) वाली परावर्तक गोलीय टोपी है। वह अवतल है यदि प्रकाश उसके खोखले पक्ष से मिलता हो ( $C$ आती हुई रोशनी की ओर), अन्यथा उत्तल। उसका फोकस $F$ अक्ष पर अनंत दूरी के किसी बिंदु का प्रतिबिंब है; और उसकी फोकस दूरी $f = \overline{SF}$ है।

प्रतिज्ञप्ति 3.6 (गोलीय दर्पण का फोकस)

गाउस की शर्तों में फोकस $SC$ का मध्यबिंदु होता है: $\overline{SF} = \overline{SC}/2$ । अवतल दर्पण के लिए $f < 0$ (वास्तविक फोकस, आगे की ओर); उत्तल के लिए $f > 0$ (आभासी फोकस, पीछे की ओर)।

उपपत्ति. अक्ष के समांतर, ऊँचाई $h$ पर चलती कोई किरण दर्पण से $I$ पर मिलती है; $I$ पर अभिलंब त्रिज्या $CI$ है, जो अक्ष के साथ कोण $\alpha$ बनाती है, जहाँ $\sin\alpha = h/R$ । अभिलंब के साथ उसी कोण $\alpha$ पर परावर्तित होकर किरण अक्ष को $F$ पर काटती है; त्रिभुज $CIF$ में कोण $\alpha$ $C$ पर और $I$ पर बराबर है, अतः $CF = IF$ और प्रक्षेप लेने पर $CF = R/(2\cos\alpha)$ । उपाक्षीय किरणों के लिए $\cos\alpha \to 1$ और $CF = R/2$ : ऐसी सारी किरणें अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं, यानी $SC$ के मध्यबिंदु पर। चिह्न: अवतल दर्पण के लिए $C$ और $F$ आगे की ओर (अनुप्रवाह से पहले) पड़ते हैं, अतः $\overline{SC} < 0$ । ∎

प्रमेय 3.7 (गोलीय दर्पण के लिए संयुग्मन)

गाउस की शर्तों में, प्रतिबिंब $A'$ अक्ष पर स्थित अपने वस्तु बिंदु $A$ के साथ इस संबंध का पालन करता है:

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}}, \qquad \gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .

उपपत्ति. कोई अवतल दर्पण और एक वास्तविक वस्तु $A$ लीजिए, जो $C$ के परे रखी हो; बीजीय रूप फिर हर स्थिति को समेट लेता है। $A$ से चली एक किरण दर्पण से $I$ पर टकराती है (ऊँचाई $h$ ) और अक्ष पर $A'$ को लौटती है। अक्ष के साथ बने कोणों को $u$ , $u'$ , $\omega$ कहिए, जो क्रमशः $AI$ , $A'I$ और $CI$ के हैं; उपाक्षीय रूप में $u = h/AS$ , $u' = h/A'S$ , $\omega = h/CS$ (दूरियाँ)। परावर्तन का नियम कहता है कि अभिलंब $CI$ $AI$ और $A'I$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है: $\omega - u = u' - \omega$ , यानी $u + u' = 2\omega$ , यानी $1/AS + 1/A'S = 2/CS$ ; और चूँकि $\overline{SA}$ , $\overline{SA'}$ , $\overline{SC}$ तीनों ऋणात्मक हैं, यही ऊपर दर्शाया गया संबंध बन जाता है। आवर्धन के लिए, शीर्ष पर परावर्तित किरण $B \to S \to B'$ अक्ष के साथ बराबर कोण बनाती है: लंबाइयों में $A'B'/SA' = AB/SA$ , और प्रतिबिंब उलटा होता है, अतः $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ । ∎

विधि 3.8 (दर्पण में प्रतिबिंब की रचना)

अक्ष से हटकर स्थित किसी वस्तु बिंदु $B$ के लिए चार उल्लेखनीय किरणों में से दो खींचिए; उनका (या उनके विस्तारों का) प्रतिच्छेद ही $B'$ है:

अक्ष के समांतर $\to$ $F$ से होकर परावर्तित;
$F$ से होकर $\to$ अक्ष के समांतर परावर्तित;
$C$ से होकर $\to$ अपने ही ऊपर वापस परावर्तित;
शीर्ष $S$ की ओर $\to$ अक्ष के परितः सममित रूप से परावर्तित।

फिर $A'$ अक्ष पर $B'$ से डाले गए लंब का पाद है।

अवतल दर्पण (C, और अर्ध-त्रिज्या पर फोकस F)। वस्तु AB के लिए, जो C के परे रखी है, अक्ष के समांतर चली किरण F से होकर लौटती है और F से होकर चली किरण समांतर लौटती है: वे B' पर मिलती हैं — यानी F और C के बीच बना वास्तविक, उलटा, छोटा प्रतिबिंब। — अवतल दर्पण ( $C$ , और अर्ध-त्रिज्या पर फोकस $F$ )। वस्तु $AB$ के लिए, जो $C$ के परे रखी है, अक्ष के समांतर चली किरण $F$ से होकर लौटती है और $F$ से होकर चली किरण समांतर लौटती है: वे $B'$ पर मिलती हैं — यानी $F$ और $C$ के बीच बना वास्तविक, उलटा, छोटा प्रतिबिंब।

उदाहरण 3.9 (दाढ़ी का दर्पण, पश्च-दृश्य दर्पण)

$60\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या का अवतल दर्पण ( $f = -30\,\mathrm{cm}$ ), और उससे $20\,\mathrm{cm}$ पर चेहरा: $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$ , $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — दर्पण के पीछे, आभासी — और $\gamma = -60/(-20) = +3$ : सीधा, तीन गुना बड़ा, यानी दाढ़ी का दर्पण। $2.0\,\mathrm{m}$ त्रिज्या का उत्तल दर्पण ( $f = +1.0\,\mathrm{m}$ ), और उससे $20\,\mathrm{m}$ पीछे एक कार: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$ , $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (आभासी, पीछे), $\gamma = +0.048$ : सीधा, बीस गुना छोटा, और इसीलिए चौड़ा क्षेत्र — यही पश्च-दृश्य दर्पण है, उस चेतावनी के साथ कि वस्तुएँ दिखने से अधिक पास हैं।

3.3 पतले लेंस

परिभाषा 3.10 (पतला लेंस)

लेंस दो गोलीय (या समतल) पृष्ठों से घिरा पारदर्शी माध्यम है; वह पतला तब है जब उसकी मोटाई त्रिज्याओं के और खेल में आती दूरियों के सामने नगण्य हो, ताकि दोनों शीर्ष एक ही बिंदु में मिल जाएँ, जिसे प्रकाशिक केंद्र $O$ कहते हैं। $O$ से होकर जाती किरण विचलित नहीं होती। प्रतिबिंब फोकस $F'$ अक्ष पर अनंत दूरी के किसी बिंदु का प्रतिबिंब है; वस्तु फोकस $F$ वह बिंदु है जिसका प्रतिबिंब अनंत पर बनता है; दोनों $O$ से समान दूरी पर हैं: $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$ , यानी फोकस दूरी। लेंस अभिसारी है यदि $f' > 0$ हो ( $F'$ वास्तविक, अनुप्रवाह में; किनारे केंद्र से पतले), और अपसारी यदि $f' < 0$ हो। उसकी अभिसारिता $V = 1/f'$ डाइऑप्टर में नापी जाती है ( $1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$ )।

प्रमेय 3.11 (पतले लेंस के लिए संयुग्मन)

गाउस की शर्तों में, प्रतिबिंब $A'$ अक्ष पर स्थित अपने वस्तु बिंदु $A$ के लिए देकार्त के संबंध का पालन करता है:

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}, \qquad \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},

और, उसी के तुल्य, न्यूटन के संबंध का:

\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .

आंशिक उपपत्ति. मुख्य तथ्य यह है कि पतला लेंस ऊँचाई $h$ पर उसे पार करती किसी किरण को अक्ष की ओर कोण $h/f'$ से विचलित कर देता है, चाहे किरण की दिशा कुछ भी हो — लेंस का हर क्षेत्र एक पतले प्रिज़्म की तरह बरतता है (टिप्पणी 2.21), जिसका शीर्ष कोण गोलीय पृष्ठों के लिए $h$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है; उपाक्षीय किरणों के लिए यथार्थ यह रैखिकता यहाँ मान ली गई है और वर्ष 2 के खंड में दो गोलीय पृष्ठों पर स्नेल के नियम से व्युत्पन्न की जाती है। इसे मान लेने पर: $A$ से चली किरण (वास्तविक वस्तु के लिए दूरी $p = -\overline{OA} > 0$ ) लेंस तक ऊँचाई $h$ पर ढाल $h/p$ के साथ पहुँचती है, $h/f'$ से मुड़ती है और ढाल $h/p - h/f'$ के साथ निकल जाती है; वह अक्ष को $A'$ पर काटती है, जहाँ $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$ , यानी $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ , और यह $h$ से स्वतंत्र है: अतः $A$ से चली सारी किरणें $A'$ पर मिलती हैं। केंद्र से होकर जाती किरण $B \to O \to B'$ सीधी है, अतः $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$ । न्यूटन का रूप $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA} = -f' + \overline{FA}$ और $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$ रखने पर निकल आता है। ∎

विधि 3.12 (पतले लेंस से प्रतिबिंब की रचना)

$B$ से चलती तीन उल्लेखनीय किरणें:

$O$ से होकर: अविचलित;
अक्ष के समांतर: $F'$ से होकर निकलती है;
$F$ से होकर: अक्ष के समांतर निकलती है।

दो ही काफ़ी हैं; अपसारी लेंस के लिए विस्तार काम में लीजिए (लेंस के पीछे $F$ की ओर तानी गई किरण समांतर निकलती है; और समांतर किरण ऐसे निकलती है मानो सामने के $F'$ से आ रही हो)।

अभिसारी लेंस: वस्तु AB F के परे। O से होकर जाती किरण सीधी जाती है, समांतर किरण F' से होकर मुड़ती है, और F से होकर आती किरण समांतर निकलती है; तीनों B' पर मिलती हैं: वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब। यहाँ OA = -1.5f', अतः OA' = 3f' और = -2। — अभिसारी लेंस: वस्तु $AB$ $F$ के परे। $O$ से होकर जाती किरण सीधी जाती है, समांतर किरण $F'$ से होकर मुड़ती है, और $F$ से होकर आती किरण समांतर निकलती है; तीनों $B'$ पर मिलती हैं: वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब। यहाँ $\overline{OA} = -1.5f'$ , अतः $\overline{OA'} = 3f'$ और $\gamma = -2$ ।

अपसारी लेंस (F' अनुप्रवाह से पहले, F अनुप्रवाह में): समांतर किरण ऐसे निकलती है मानो F' से आ रही हो, और केंद्रीय किरण सीधी जाती है; उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार B' पर मिलते हैं — यानी आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब, वस्तु चाहे कहीं भी हो। — अपसारी लेंस ( $F'$ अनुप्रवाह से पहले, $F$ अनुप्रवाह में): समांतर किरण ऐसे निकलती है मानो $F'$ से आ रही हो, और केंद्रीय किरण सीधी जाती है; उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार $B'$ पर मिलते हैं — यानी आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब, वस्तु चाहे कहीं भी हो।

उदाहरण 3.13 (एक ही लेंस, तीन काम)

कोई अभिसारी लेंस, $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ । $3.0\,\mathrm{cm}$ पर डाक-टिकट: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$ , $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$ , आभासी, $\gamma = +2.5$ : यानी आवर्धक। $20\,\mathrm{cm}$ पर दीपक: $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$ , वास्तविक, $\gamma = -1/3$ : गत्ते पर बना छोटा उलटा प्रतिबिंब। $4\,\mathrm{m}$ दूर खिड़की: $\overline{OA'} \approx f'$ , फोकस तल में नन्हा उलटा प्रतिबिंब — यानी कैमरा। तीन उपयोग, एक ही संबंध।

प्रतिज्ञप्ति 3.14 (अनुदैर्घ्य आवर्धन)

यदि वस्तु अक्ष के अनुदिश $\dd\overline{OA}$ खिसके, तो प्रतिबिंब उसी दिशा में $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ खिसकता है।

उपपत्ति. देकार्त के संबंध का $f'$ नियत रखकर अवकलन कीजिए: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$ , अतः $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$ । ∎

टिप्पणी 3.15 (फोकस की गहराई)

$\gamma = -50$ वाले प्रक्षेपक के लिए $\gamma^2 = 2500$ : दीपक की गर्मी से $0.1\,\mathrm{mm}$ टेढ़ी हुई स्लाइड अपने प्रतिबिंब को परदे के तल से $25\,\mathrm{cm}$ बाहर फेंक देती है। इसके उलट कैमरा ( $\abs\gamma \ll 1$ ) प्रतिबिंब के नन्हे खिसकाव के बदले वस्तु के बड़े खिसकाव सह लेता है — यही क्षेत्र-गहराई है।

3.4 फोकस दूरी का मापन

विधि 3.16 (स्वसंरेखण)

लेंस के ठीक पीछे एक समतल दर्पण रखिए और किसी प्रकाशित वस्तु (धुँधले काँच पर बने क्रॉस) को अक्ष के अनुदिश तब तक खिसकाइए जब तक लेंस से होकर लौटा उसका प्रतिबिंब वस्तु पर ही तीखा, उलटा और उसी आकार का न बन जाए। तब वस्तु फोकस तल में है: किरणें लेंस से समांतर निकलती हैं, दर्पण से समांतर ही लौटती हैं, और फिर फोकस तल में केंद्रित हो जाती हैं। वस्तु–लेंस दूरी ही $f'$ है।

प्रतिज्ञप्ति 3.17 (बेसेल की विधि)

कोई वस्तु और कोई परदा एक-दूसरे से दूरी $D$ पर जड़े हैं। अभिसारी लेंस परदे पर तीखा वास्तविक प्रतिबिंब ठीक दो स्थितियों में बनाता है यदि $D > 4f'$ हो, एक में यदि $D = 4f'$ हो, और किसी में नहीं यदि $D < 4f'$ हो। दोनों स्थितियाँ आपस में दूरी $d$ पर हैं, जहाँ

f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .

$D = 4f'$ पर (सिल्बरमान) इकलौती स्थिति $\gamma = -1$ देती है।

उपपत्ति. मान लीजिए वस्तु–लेंस दूरी $p = -\overline{OA} > 0$ है; तब $\overline{OA'} = D - p$ और देकार्त देता है $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$ , यानी $p^2 - Dp + Df' = 0$ : विविक्तकर $D^2 - 4Df'$ , जो तभी धनात्मक है जब $D > 4f'$ हो। दोनों मूल $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ जुड़कर $D$ देते हैं (स्थितियाँ सममित हैं: वस्तु और प्रतिबिंब की दूरियाँ आपस में बदल जाती हैं) और उनका अंतर $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$ है; अब $f'$ के लिए हल कीजिए। $D = 4f'$ पर $p = 2f' = \overline{OA'}$ और $\gamma = -1$ । ∎

बेसेल की विधि: वस्तु और परदा D > 4f' पर जड़े हैं; लेंस दो सममित स्थितियों में तीखा प्रतिबिंब देता है, जो आपस में दूरी d पर हैं (एक बड़ा, एक छोटा), और f' = (D2 - d2)/4D। — बेसेल की विधि: वस्तु और परदा $D > 4f'$ पर जड़े हैं; लेंस दो सममित स्थितियों में तीखा प्रतिबिंब देता है, जो आपस में दूरी $d$ पर हैं (एक बड़ा, एक छोटा), और $f' = (D^2 - d^2)/4D$ ।

3.5 दो पतले लेंस

प्रतिज्ञप्ति 3.18 (सटे हुए लेंस; अफोकल युग्म)

आपस में सटे दो पतले लेंस अभिसारिता $V = V_1 + V_2$ के एक ही पतले लेंस की तरह बरतते हैं। और ऐसे रखे गए दो लेंस कि $F_1' = F_2$ हो, एक अफोकल निकाय बनाते हैं: समांतर पुंज समांतर ही निकलता है, और $\alpha$ से झुका पुंज $\alpha' = G\alpha$ से झुका निकलता है, जहाँ कोणीय आवर्धन $G = -f_1'/f_2'$ है।

उपपत्ति. प्रतिबिंब $A_1$ , जो $L_1$ देता है, $L_2$ के लिए वस्तु है। सटे होने पर $O_1 = O_2 = O$ : $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ और $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$ ; अब जोड़ दीजिए। अफोकल स्थिति में: कोण $\alpha$ पर आता समांतर पुंज साझे फोकस तल में अक्ष से ऊँचाई $h = f_1'\alpha$ पर केंद्रित होता है ( $O_1$ से होकर जाती किरण); $L_2$ की दृष्टि से यह बिंदु उसके वस्तु फोकस तल में है, अतः पुंज समांतर निकलता है, उस किरण के कोण पर जो उस बिंदु से $O_2$ से होकर जाती है: $\alpha' = -h/f_2'$ । ∎

उदाहरण 3.19 (एक पंक्ति में दूरदर्शी)

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = -40$ ; और आधा अंश चौड़ा चंद्रमा $20^\circ$ की चकती बन जाता है — यही अगले अध्याय का खगोलीय दूरदर्शी है। अपसारी नेत्रिका के साथ, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$ , $G = +40$ : सीधा, यानी गैलीलियो की दूरबीन।

3.6 अभ्यास

अभ्यास 3.1 ★

किसी अवतल दर्पण के लिए $R = 40\,\mathrm{cm}$ है। शीर्ष से $60\,\mathrm{cm}$ , $30\,\mathrm{cm}$ और $10\,\mathrm{cm}$ पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब निकालिए: स्थिति, वास्तविक या आभासी, और आवर्धन।

हल

हल — अभ्यास 3.1.

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} - 1/\overline{SA}$ । $60\,\mathrm{cm}$ पर: $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$ , वास्तविक, $\gamma = -0.5$ । $30\,\mathrm{cm}$ पर: $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$ , वास्तविक, $\gamma = -2$ । $10\,\mathrm{cm}$ पर: $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10 = 1/20$ , $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ यानी दर्पण के पीछे, आभासी, $\gamma = +2$ (सीधा, बड़ा)।

अभ्यास 3.2 ★

किसी अभिसारी लेंस के लिए $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ है। $20\,\mathrm{cm}$ पर, फिर $3.0\,\mathrm{cm}$ पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब निकालिए; रचनाएँ भी खींचिए।

हल

हल — अभ्यास 3.2.

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$ , $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$ , वास्तविक और उलटा, $\gamma = -1/3$ । $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$ , $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$ , आभासी और सीधा, $\gamma = +2.5$ ।

अभ्यास 3.3 ★

$25\,\mathrm{cm}$ फोकस दूरी वाले लेंस की अभिसारिता दीजिए; $-2.0\,\delta$ वाले लेंस की फोकस दूरी; और आपस में सटे $+3.0\,\delta$ तथा $-1.0\,\delta$ के लेंसों की फोकस दूरी।

हल

हल — अभ्यास 3.3.

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$ ; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$ ; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$ , $f' = 50\,\mathrm{cm}$ .

अभ्यास 3.4 ★

$f' = 10\,\mathrm{cm}$ और $F$ से $15\,\mathrm{cm}$ आगे रखी वस्तु के लिए, न्यूटन के संबंध से प्रतिबिंब की स्थिति और $\gamma$ निकालिए; देकार्त के संबंध से जाँच कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.4.

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$ : $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA} = +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ , यानी $F'$ से आगे, अतः $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$ । देकार्त से: $\overline{OA} = -25\,\mathrm{cm}$ , $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$ , $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$ ।

अभ्यास 3.5 ★★

किसी उत्तल पश्च-दृश्य दर्पण के लिए $R = 2.0\,\mathrm{m}$ है। $1.5\,\mathrm{m}$ ऊँची एक कार उससे $20\,\mathrm{m}$ पीछे है: प्रतिबिंब की स्थिति और उसकी ऊँचाई निकालिए, और “दर्पण में वस्तुएँ दिखने से पास हैं” चेतावनी को समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 3.5.

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$ , $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$ : $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$ , $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ यानी दर्पण के पीछे (आभासी, सीधा); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$ , और प्रतिबिंब की ऊँचाई $7.1\,\mathrm{cm}$ । मस्तिष्क दूरी का अंदाज़ा आभासी आकार से लगाता है: बीस गुना छोटी दिखती कार $0.95\,\mathrm{m}$ पर होते हुए भी दूर की कार पढ़ी जाती है — यानी $20\,\mathrm{m}$ से भी दूर की।

अभ्यास 3.6 ★★

कोई कैमरा-लेंस, $f' = 50\,\mathrm{mm}$ , $2.0\,\mathrm{m}$ दूर के विषय पर फोकस करता है। अनंत वाली सज्जा से लेंस को कितना खिसकना पड़ेगा? आवर्धन क्या है? $1.8\,\mathrm{m}$ के व्यक्ति को संवेदक की $24\,\mathrm{mm}$ ऊँचाई में समाने के लिए छायाकार को कितना पीछे खड़ा होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 3.6.

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$ , $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$ : अतः लेंस संवेदक से $1.3\,\mathrm{mm}$ दूर खिसकता है। $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$ । $\abs\gamma = 24/1800 = 1/75$ के लिए: $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) = -3.8\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 3.7 ★★

किसी प्रक्षेपक को $36\,\mathrm{mm}$ चौड़ी स्लाइड को लेंस से $5.0\,\mathrm{m}$ दूर परदे पर $1.8\,\mathrm{m}$ चौड़े चित्र के रूप में दिखाना है। आवश्यक फोकस दूरी और स्लाइड–लेंस दूरी निकालिए। स्लाइड उलटी क्यों डाली जाती है?

हल

हल — अभ्यास 3.7.

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$ ; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$ , $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$ ; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$ , $f' = 98\,\mathrm{mm}$ । प्रतिबिंब उलटा है ( $\gamma < 0$ ), ऊपर–नीचे और बाएँ–दाएँ दोनों: इसलिए स्लाइड $180^\circ$ घुमाकर डाली जाती है।

अभ्यास 3.8 ★★

किरण-आरेख की सहायता से समझाइए कि स्वसंरेखण फोकस तल को ठीक-ठीक क्यों पकड़ लेता है, और लौटा हुआ प्रतिबिंब उलटा तथा वस्तु के ही आकार का क्यों होता है। यदि दर्पण थोड़ा तिरछा कर दिया जाए तो लौटे प्रतिबिंब का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 3.8.

वस्तु फोकस तल में $\Rightarrow$ हर बिंदु से चली किरणें लेंस से समांतर निकलती हैं; समतल दर्पण उन्हें समांतर ही लौटा देता है (सममित दिशा में); और लेंस समांतर पुंज को अपने फोकस तल में, स्रोत बिंदु के अक्ष-सममित बिंदु पर, केंद्रित कर देता है: अतः प्रतिबिंब वस्तु के तल में, उलटा, $\gamma = -1$ । दर्पण को $\alpha$ से तिरछा करने पर लौटता पुंज $2\alpha$ घूम जाता है और प्रतिबिंब बग़ल में $2\alpha f'$ खिसक जाता है, पर उसी तल में तीखा बना रहता है।

अभ्यास 3.9 ★★

वस्तु और परदा $1.00\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं; तीखे प्रतिबिंब लेंस की $40\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर स्थित दो स्थितियों में मिलते हैं। $f'$ निकालिए। वह सबसे छोटी वस्तु–परदा दूरी कौन-सी है जिस पर यह लेंस अब भी तीखा प्रतिबिंब डाल सकता है, और तब आवर्धन कितना होगा?

हल

हल — अभ्यास 3.9.

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$ । सबसे छोटी दूरी $4f' = 84\,\mathrm{cm}$ , जिस पर $\gamma = -1$ ।

अभ्यास 3.10 ★★★

किसी अभिसारी लेंस $L_1$ ( $f_1' = 20\,\mathrm{cm}$ ) के $15\,\mathrm{cm}$ आगे एक अपसारी लेंस $L_2$ ( $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ ) रखा है। अनंत पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब खोजिए। दिखाइए कि कोणीय आकार $\alpha$ की किसी दूरस्थ वस्तु का प्रतिबिंब ऊँचाई $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$ का होता है, और इसकी तुलना सज्जा की लंबाई से कीजिए: यही टेलीफ़ोटो लेंस का सिद्धांत है।

हल

हल — अभ्यास 3.10.

$L_1$ अनंत का प्रतिबिंब $F_1'$ पर बनाता है, यानी $L_1$ से $20\,\mathrm{cm}$ आगे, यानी $5\,\mathrm{cm}$ $L_2$ से आगे: अतः आभासी वस्तु, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$ । $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$ : अंतिम प्रतिबिंब $10\,\mathrm{cm}$ $L_2$ से आगे। मध्यवर्ती प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$ , अतः $h = 40\alpha$ : यानी तुल्य फोकस दूरी $40\,\mathrm{cm}$ , और नली की लंबाई $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — यही टेलीफ़ोटो है।

अभ्यास 3.11 ★★★

कोई अवतल दर्पण किसी दीपक के फ़िलामेंट से $80\,\mathrm{cm}$ दूर रखे परदे पर फ़िलामेंट का तीन गुना बड़ा प्रतिबिंब बनाता है। दर्पण की स्थितियाँ और उसकी वक्रता त्रिज्या निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 3.11.

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ से $\overline{SA'} = 3\overline{SA}$ ; दोनों वास्तविक, आगे की ओर: $\overline{SA} = -x$ , $\overline{SA'} = -3x$ , और परदा–दीपक दूरी $2x = 80\,\mathrm{cm}$ : $x = 40\,\mathrm{cm}$ । दर्पण दीपक से $40\,\mathrm{cm}$ और परदे से $120\,\mathrm{cm}$ पर; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$ : $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 3.12 ★★★

सूर्य $0.53^\circ$ का कोण घेरता है। $10\,\mathrm{cm}$ व्यास और $50\,\mathrm{cm}$ फोकस दूरी वाला कोई अभिसारी लेंस काग़ज़ की शीट पर उसका प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब का व्यास, बटोरी गई शक्ति (सौर विकिरण-तीव्रता $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) और प्रतिबिंब की विकिरण-तीव्रता निकालिए; उसकी तुलना सूर्य की सीधी विकिरण-तीव्रता से कीजिए और निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 3.12.

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; प्रतिबिंब का व्यास $f'\theta = 4.6\,\mathrm{mm}$ । बटोरी गई शक्ति $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$ ; प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ ; विकिरण-तीव्रता $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , यानी सीधी धूप की $470$ गुनी: काग़ज़ झुलसकर जल उठता है — यही आतशी शीशा है। सामान्यतः यह लाभ $(D/f'\theta)^2$ होता है।

3.7 समस्या: स्लाइड प्रक्षेपक

समस्या 3.1

सप्ताहांत समस्या — एक लेंस, प्रयोग-मेज़ पर नापा गया, और फिर एक हॉल के पार 35-mm स्लाइड फेंकने को कहा गया: प्रक्षेपक की अभिकल्पना, फोकसन, और उस पर चढ़ने वाला दीर्घ-प्रक्षेप परिवर्तक

प्रक्षेपण लेंस $L_1$ अज्ञात फोकस दूरी $f_1'$ वाला अभिसारी पतला लेंस है। स्लाइड $24\,\mathrm{mm}$ ऊँची और $36\,\mathrm{mm}$ चौड़ी है।

भाग I — प्रयोग-मेज़ पर लेंस।

पतले लेंस के लिए देकार्त का संबंध और आवर्धन, चिह्न-रूढ़ियों सहित, लिखिए।
वस्तु और परदा एक-दूसरे से दूरी $D$ पर जड़े हैं। दिखाइए कि परदे पर वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $D \geq 4f_1'$ आवश्यक है।
दिखाइए कि जब $D > 4f_1'$ हो, तब तीखा प्रतिबिंब देने वाली दोनों लेंस-स्थितियाँ वस्तु और परदे के मध्यबिंदु के सापेक्ष सममित होती हैं, और $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ , जहाँ $d$ उनका अंतराल है।
$D = 80.0\,\mathrm{cm}$ और $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ के साथ $f_1'$ निकालिए।
लेंस एक मोटी नली में बैठा है, जिसका प्रकाशिक केंद्र ठीक-ठीक नहीं ढूँढ़ा जा सकता। इससे यह विधि प्रभावित क्यों नहीं होती?
दूरियों के साथ $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ और $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ हैं। $u(f_1')$ निकालिए और परिणाम लिखिए।
दोनों स्थितियों में से हर एक पर आवर्धन दीजिए। इनमें से कौन-सी प्रक्षेपक से मेल खाती है?
वह सबसे छोटा $D$ कौन-सा है जिसके लिए तीखा प्रतिबिंब बनता है, और तब आवर्धन कितना होता है (सिल्बरमान)?

भाग II — चित्र फेंकना। परदे पर चित्र $1.80\,\mathrm{m}$ चौड़ा होना चाहिए। $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$ लीजिए।

कितना आवर्धन चाहिए (चिह्न सहित)?
लेंस–परदा दूरी और स्लाइड–लेंस दूरी निकालिए।
स्लाइड को उलटा और दर्पण-उलट क्यों डाला जाता है?
परदा $10.0\,\mathrm{m}$ पर हटा दिया जाता है। फिर से फोकस करने के लिए स्लाइड के सापेक्ष लेंस को कितना और किस दिशा में खिसकाना होगा? अब चित्र कितना चौड़ा है?

भाग III — फोकस की सह्यता और प्रकाश।

दिखाइए कि स्लाइड के छोटे खिसकाव $\dd\overline{OA}$ से प्रतिबिंब $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ खिसकता है।
दीपक की गर्मी से फ़िल्म $0.10\,\mathrm{mm}$ टेढ़ी हो जाती है। प्रतिबिंब-तल कितना खिसकता है (परदा $7.65\,\mathrm{m}$ पर)? टिप्पणी कीजिए।
लेंस के द्वारक का व्यास $30\,\mathrm{mm}$ है। यदि परदा प्रतिबिंब-तल से $20\,\mathrm{cm}$ हटकर बैठा हो, तो स्लाइड के किसी बिंदु के धुँधलेपन के धब्बे का व्यास कितना होगा? $5\,\mathrm{m}$ से देखने पर क्या आँख (कोणीय विभेदन लगभग $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) उसे पकड़ लेगी?
स्लाइड को $2.0\,\mathrm{W}$ प्रकाश मिलता है, और वह सारा परदे तक पहुँचता है। स्लाइड पर और परदे पर विकिरण-तीव्रता (प्रति एकांक क्षेत्रफल शक्ति) निकालिए, और दिखाइए कि उनका अनुपात $\gamma^2$ है।

भाग IV — दीर्घ-प्रक्षेप परिवर्तक। किसी बड़े हॉल में परदा $12.0\,\mathrm{m}$ दूर है। एक अपसारी लेंस $L_2$ , $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$ , $L_1$ से $8.0\,\mathrm{cm}$ पीछे चढ़ा दिया जाता है; परदा $L_2$ से $12.0\,\mathrm{m}$ दूर है।

अंतिम प्रतिबिंब के वास्तविक और परदे पर बनने के लिए, ( $L_2$ से) वह मध्यवर्ती प्रतिबिंब कहाँ पड़ना चाहिए जो $L_1$ देता है? वह $L_2$ के लिए वास्तविक वस्तु है या आभासी?
इससे स्लाइड की स्थिति $\overline{O_1A}$ निकालिए।
$\gamma_1$ , $\gamma_2$ और कुल आवर्धन निकालिए।
चित्र की चौड़ाई दीजिए, और उसकी तुलना उससे कीजिए जो अकेला $L_1$ उसी परदे पर ( $L_1$ से $12.08\,\mathrm{m}$ ) देता।
अनंत पर रखी वस्तु के लिए दिखाइए कि यह निकाय फोकस दूरी $f_{\mathrm{eq}}$ वाले एक ही लेंस के तुल्य है, जहाँ

$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$

$e = \overline{O_1O_2}$ , इस अर्थ में कि $\alpha$ से झुका पुंज अक्ष से ऊँचाई $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ पर केंद्रित होता है। $f_{\mathrm{eq}}$ निकालिए।
जाँचिए कि चित्र-चौड़ाइयों का अनुपात (परिवर्तक के साथ/बिना) $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ के पास है। यह केवल लगभग ही क्यों है?
अंतिम प्रतिबिंब के वास्तविक होने के लिए मध्यवर्ती प्रतिबिंब को $\abs{f_2'}$ से कम दूरी पर, $L_2$ के आगे, क्यों पड़ना चाहिए?
उसी दीपक के साथ, परिवर्तक चढ़ाने पर परदे की विकिरण-तीव्रता कितने गुना बदल जाती है (परदे की दूरी वही)?
सार लिखिए: परिवर्तक फोकस दूरी को कितने गुना कर देता है, और किसी दिए गए प्रक्षेप पर वह चित्र के आकार तथा चमक के साथ क्या करता है?

हल

हल — समस्या 3.1.

1. $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ , $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$ ; अक्ष रोशनी की दिशा में दिष्ट, और दूरियाँ $O$ से बीजीय।

2. $p = -\overline{OA}$ , $\overline{OA'} = D - p$ : $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$ , यानी $p^2 - Dp + Df_1' = 0$ ; वास्तविक मूल तभी जब $D^2 - 4Df_1' \geq 0$ , यानी $D \geq 4f_1'$ ।

3. मूलों का योग $D$ है: $p_1 + p_2 = D$ , अतः $p_2 = D - p_1$ — वस्तु और प्रतिबिंब की दूरियाँ आपस में बदल जाती हैं, यानी स्थितियाँ मध्यबिंदु के परितः सममित हैं। $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$ , अतः $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ ।

4. $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$ .

5. इसमें केवल दोनों तीखी सज्जाओं के बीच नली का खिसकाव $d$ और वस्तु–परदा दूरी $D$ आते हैं: दोनों में से किसी के लिए यह जानना ज़रूरी नहीं कि नली के भीतर $O$ कहाँ बैठा है।

6. $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$ , $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$ ; अतः $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 = 0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ और $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$ : $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$ ।

7. $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ या $60\,\mathrm{cm}$ : $\gamma = -60/20 = -3$ (स्लाइड लेंस के पास, बड़ा प्रतिबिंब: यही प्रक्षेपक) और $\gamma = -1/3$ ।

8. $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = -1$ .

9. $\gamma = -1.80/0.036 = -50$ .

10. $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 = 765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$ ; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -15.3\,\mathrm{cm}$ .

11. $\gamma < 0$ : वास्तविक प्रतिबिंब अक्ष के परितः $180^\circ$ घूमा हुआ है, अतः स्लाइड भी $180^\circ$ घुमाकर डाली जाती है (उलटी और दर्पण-उलट)।

12. $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA} = 1/1000 - 1/15$ , $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$ : अतः लेंस स्लाइड की ओर $0.7\,\mathrm{mm}$ खिसकता है। $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$ : चित्र $2.36\,\mathrm{m}$ चौड़ा।

13. देकार्त का अवकलन करने पर: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$ , अतः $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ ।

14. $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$ : फ़िल्म गरम होते ही प्रतिबिंब फोकस से बाहर सरक जाता है — इसीलिए काँच में जड़ी स्लाइडें, या फ़िल्म का पीछा करता स्वतःफोकसन।

15. द्वारक से प्रतिबिंब बिंदु तक समरूप त्रिभुजों से: धुँधलापन $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$ ; $5\,\mathrm{m}$ से यह $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ का कोण घेरता है: पकड़ में नहीं आता।

16. स्लाइड का क्षेत्रफल $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{स्लाइड}} = 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; परदे का क्षेत्रफल $\gamma^2$ गुना बड़ा, यानी $2.16\,\mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{परदा}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; शक्ति वही, और क्षेत्रफल $\gamma^2 = 2500$ के अनुपात में।

17. $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{O_2A} = 1/1200 + 1/30 = 0.03417$ , $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$ : यानी मध्यवर्ती प्रतिबिंब $L_2$ से $29.3\,\mathrm{cm}$ आगे पड़ता है — अतः वह $L_2$ के लिए आभासी वस्तु है ( $L_1$ से आती किरणें उसी की ओर अभिसरित होती हैं)।

18. $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$ , $\overline{O_1A} = -25.1\,\mathrm{cm}$ ।

19. $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$ ; $\gamma_2 = 1200/29.3 = 41.0$ ; $\gamma = -60.9$ .

20. चौड़ाई $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$ । अकेला $L_1$ : $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$ , चौड़ाई $2.86\,\mathrm{m}$ ।

21. $\alpha$ पर आता पुंज: $L_1$ उसे अपने फोकस तल में ऊँचाई $h_1 = f_1'\alpha$ पर केंद्रित करता है, और वह तल $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ दूरी पर है, $L_2$ से नापी हुई; $L_2$ इस बिंदु का प्रतिबिंब $\overline{O_2A'}$ पर बनाता है, जहाँ $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ , और आवर्धन $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1' - e)$ देता है, अतः $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ और $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1' = \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$ , जिसका व्युत्क्रम वही दिया गया सूत्र है। $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$ , $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$ ।

22. $2.19/2.86 = 0.77$ और $15/19.6 = 0.77$ । केवल लगभग इसलिए कि स्लाइड परिमित दूरी पर है और दोनों प्रक्षेप भिन्न लेंसों से नापे गए हैं; अनंत पर रखी वस्तु के लिए यह अनुपात यथार्थ होता।

23. किसी अपसारी लेंस के आगे $p > 0$ पर आभासी वस्तु: $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$ , जो तभी धनात्मक (यानी वास्तविक प्रतिबिंब) है जब $p < \abs{f_2'}$ हो।

24. वही शक्ति, पर चित्र का क्षेत्रफल $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ गुना छोटा: अतः विकिरण-तीव्रता $\times 1.7$ ।

25. परिवर्तक फोकस दूरी को $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$ गुना कर देता है; किसी दिए गए प्रक्षेप पर चित्र हर दिशा में $1.3$ गुना छोटा और $1.7$ गुना अधिक चमकीला हो जाता है — यानी दीर्घ-प्रक्षेप लेंस।

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