विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

10संक्रियात्मक प्रवर्धक

किसी पुल की धरन पर चिपका विकृति-मापी ट्रक गुज़रने पर अपना प्रतिरोध हज़ारवें हिस्से भर बदलता है; और उसके चारों ओर बना व्हीटस्टोन सेतु (अध्याय 6) उसे दो मिलीवोल्ट में बदल देता है। दो मिलीवोल्ट कुछ भी नहीं चला सकते। मापी और उस चेतावनी-यंत्र के बीच, जो पुल को यातायात के लिए बंद कर देगा, नाख़ून जितनी एक चिप बैठी है, जो कुछ ही पैसों में बिकती है और संकेत को हज़ार गुना कर देती है, उसे फ़िल्टर करती है, किसी देहली से उसकी तुलना करती है और एक दीपक जला देती है — चार काम, एक अवयव, चार भिन्न जोड़-तोड़। यह अध्याय संक्रियात्मक प्रवर्धक को उसके आदर्श प्रतिरूप के द्वारा प्रस्तुत करता है, उन मुट्ठी भर परिपथों को व्युत्पन्न करता है जिनसे हर उपकरण बनता है, और दिखाता है कि पुनर्भरण हटा देने पर क्या होता है।

10.1 अवयव और उसका आदर्श प्रतिरूप

परिभाषा 10.1 (संक्रियात्मक प्रवर्धक)

संक्रियात्मक प्रवर्धक एक एकीकृत परिपथ है, जिसके दो निवेश हैं — विभव $V_+$ वाला अ-प्रतिलोमी निवेश और विभव $V_-$ वाला प्रतिलोमी निवेश — तथा विभव $V_s$ वाला एक निर्गम, और जो दो आपूर्तियों $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (प्रायः $\pm15\,\mathrm{V}$ ) से चलता है, जिन्हें आरेखों में आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। वह अंतर $\epsilon = V_+ - V_-$ को प्रवर्धित करता है:

V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{जब तक } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},

जहाँ खुले-पाश की लब्धि $\mu$ लगभग $10^5$ कोटि की है और संतृप्ति विभवांतर $V_{\mathrm{sat}}$ $V_{\mathrm{cc}}$ से ज़रा नीचे। जब $\mu\abs\epsilon$ $V_{\mathrm{sat}}$ से आगे निकलने लगे, तब निर्गम $+V_{\mathrm{sat}}$ या $-V_{\mathrm{sat}}$ पर अटक जाता है: यही संतृप्त व्यवस्था है।

परिभाषा 10.2 (आदर्श संक्रियात्मक प्रवर्धक)

आदर्श प्रतिरूप यह मान लेता है: (क) किसी भी निवेश में कोई धारा नहीं घुसती, $i_+ = i_- = 0$ (अनंत निवेश प्रतिबाधा); (ख) निर्गम अपना विभवांतर लाद देता है, चाहे उससे कितनी भी धारा खींची जाए (शून्य निर्गम प्रतिबाधा); (ग) अनंत लब्धि, $\mu \to \infty$ । रैखिक व्यवस्था ( $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ) में तीसरी मान्यता यह लाद देती है कि

\epsilon = V_+ - V_- = 0 :

यानी दोनों निवेश एक ही विभव पर बैठते हैं (एक “आभासी लघुपथ”), हालाँकि उनके बीच कोई धारा नहीं बहती।

संक्रियात्मक प्रवर्धक: अपने दो निवेशों के साथ उसका संकेत, और उसका स्थानांतरण अभिलक्षणिक वक्र V_s( ) — ढाल 105 का एक तीखा रैखिक खंड (जो यहाँ कहीं अधिक चपटा खींचा गया है), और फिर ± V_ sat पर संतृप्ति। आदर्श प्रतिरूप में रैखिक खंड ऊर्ध्वाधर होता है: = 0। — संक्रियात्मक प्रवर्धक: अपने दो निवेशों के साथ उसका संकेत, और उसका स्थानांतरण अभिलक्षणिक वक्र $V_s(\epsilon)$ — ढाल $\mu \sim 10^5$ का एक तीखा रैखिक खंड (जो यहाँ कहीं अधिक चपटा खींचा गया है), और फिर $\pm V_{\mathrm{sat}}$ पर संतृप्ति। आदर्श प्रतिरूप में रैखिक खंड ऊर्ध्वाधर होता है: $\epsilon = 0$ ।

प्रतिज्ञप्ति 10.3 (ऋणात्मक पुनर्भरण और रैखिक व्यवस्था)

यदि निर्गम किसी जाल के द्वारा वापस प्रतिलोमी निवेश से जोड़ दिया जाए (ऋणात्मक पुनर्भरण), तो परिपथ का $\epsilon = 0$ पर एक स्थायी रैखिक क्रिया बिंदु होता है और आदर्श प्रवर्धक के नियम लागू होते हैं। और यदि निर्गम अ-प्रतिलोमी निवेश को लौटाया जाए (धनात्मक पुनर्भरण), या बिलकुल न लौटाया जाए, तो प्रवर्धक संतृप्त हो जाता है: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ , $\epsilon$ के चिह्न के अनुसार।

आंशिक उपपत्ति. ऋणात्मक पुनर्भरण के साथ मान लीजिए $V_s$ अपने साम्य मान से थोड़ा ऊपर चढ़ता है; तब पुनर्भरण जाल के द्वारा $V_-$ चढ़ता है, $\epsilon$ गिरता है, और प्रवर्धक $V_s$ को वापस नीचे खींच लेता है: यानी विक्षोभ सुधर जाता है। धनात्मक पुनर्भरण के साथ वही विक्षोभ $V_+$ को चढ़ाता है, $\epsilon$ बढ़ाता है और $V_s$ को और दूर धकेलता है, जब तक वह संतृप्त न हो जाए। पूरा तर्क (प्रवर्धक का प्रथम कोटि प्रतिरूप, $\mu(j\omega) = \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$ , और उससे बनते अवकल समीकरण की स्थिरता) वर्ष 2 के खंड का विषय है; और ऊपर दिया नियम ही वह है जिसे काम में लिया जाता है। ∎

टिप्पणी 10.4 (असली प्रवर्धक)

व्यवहार में आदर्श से तीन विचलन मायने रखते हैं। खुले-पाश की लब्धि आवृत्ति के साथ $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ की तरह गिरती है, जहाँ $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$ : और गुणनफल $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (यानी लब्धि–बैंड-चौड़ाई गुणनफल) किसी अनुगामी को उपलब्ध बैंड-चौड़ाई है, जबकि बंद-पाश लब्धि $G$ वाले किसी परिपथ की बैंड-चौड़ाई $f_T/G$ होती है। निर्गम आरोहण दर से तेज़ नहीं बदल सकता, जो $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ होती है। और कोई छोटा-सा निवेश विस्थापन विभवांतर ( $\sim1\,\mathrm{mV}$ ) भी संकेत की तरह ही प्रवर्धित होता है — मिलीवोल्ट के निवेशों के लिए घातक, जब तक उसे साधा न जाए।

10.2 बुनियादी रैखिक परिपथ

विधि 10.5 (रैखिक व्यवस्था में किसी आदर्श ऑप-ऐंप परिपथ का विश्लेषण)

जाँचिए कि पुनर्भरण प्रतिलोमी निवेश को जाता है।
$i_+ = i_- = 0$ लिखिए: निवेश-संधियाँ किरचॉफ़ के संधि नियम का पालन करती हैं, और प्रवर्धक में कोई धारा नहीं जाती (विभाजक तथा मिलमैन की प्रमेय लागू होते हैं)।
$V_+ = V_-$ लिखिए और $V_s$ के लिए हल कीजिए।
बाद में जाँचिए कि $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ है; यदि नहीं, तो प्रवर्धक संतृप्त है और परिणाम $\pm V_{\mathrm{sat}}$ है।

प्रतिज्ञप्ति 10.6 (अनुगामी, अ-प्रतिलोमी और प्रतिलोमी प्रवर्धक)

अनुगामी: निर्गम $V_-$ से जुड़ा, निवेश $V_+$ पर: $V_s = V_e$ ; अनंत निवेश प्रतिबाधा, शून्य निर्गम प्रतिबाधा।
अ-प्रतिलोमी प्रवर्धक: निर्गम से $V_-$ तक एक विभाजक $R_2$ (पुनर्भरण) और $R_1$ (भू तक), निवेश $V_+$ पर:

$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$
प्रतिलोमी प्रवर्धक: $V_+$ भूसंपर्कित, निवेश $R_1$ के द्वारा $V_-$ तक, पुनर्भरण $R_2$ निर्गम से $V_-$ तक:

$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$

जहाँ $V_-$ भू के विभव पर बना रहता है (एक आभासी भू) और निवेश प्रतिबाधा $R_1$ होती है।

उपपत्ति. अनुगामी: $V_- = V_s$ और $V_+ = V_e$ ; $\epsilon = 0$ से $V_s = V_e$ मिलता है। अ-प्रतिलोमी: $V_-$ में कोई धारा नहीं जाती, अतः विभाजक देता है $V_- = V_sR_1/(R_1 + R_2)$ ; अब इसे $V_+ = V_e$ के बराबर रखिए। प्रतिलोमी: $V_- = V_+ = 0$ ; और $V_-$ पर संधि नियम, $i_- = 0$ के साथ: $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$ । स्रोत $V_e/R_1$ देता है: अतः निवेश प्रतिबाधा $R_1$ । ∎

तीनों बुनियादी प्रवर्धक। हर एक में निर्गम प्रतिलोमी निवेश को खिलाता है, प्रवर्धक अपनी रैखिक व्यवस्था में काम करता है, और लब्धि केवल प्रतिरोधों के अनुपातों से तय होती है — न कि प्रवर्धक के अपने विशाल और अस्पष्ट से। — तीनों बुनियादी प्रवर्धक। हर एक में निर्गम प्रतिलोमी निवेश को खिलाता है, प्रवर्धक अपनी रैखिक व्यवस्था में काम करता है, और लब्धि केवल प्रतिरोधों के अनुपातों से तय होती है — न कि प्रवर्धक के अपने विशाल और अस्पष्ट $\mu$ से।

उदाहरण 10.7 (अनुगामी क्यों)

तेवेनिन प्रतिरोध $10\,\mathrm{k}\Omega$ का कोई संवेदक, जो $1\,\mathrm{k}\Omega$ के भार को खिलाए, अपने खुले परिपथ के विभवांतर का केवल $1/11$ पहुँचाता है (टिप्पणी 6.14)। उनके बीच लगा कोई अनुगामी संवेदक से कोई धारा नहीं खींचता और भार को शून्य-प्रतिबाधा वाले निर्गम से चलाता है: अतः पूरा विभवांतर पहुँच जाता है। अनुगामी एक प्रतिबाधा अनुकूलक है — और वही प्रतिज्ञप्ति 9.14 के शृंखलन-नियम को यथार्थ बना देता है।

प्रतिज्ञप्ति 10.8 (योग और अंतर प्रवर्धक)

निवेश $V_1, V_2$ $R_1, R_2$ के द्वारा प्रतिलोमी संधि तक, पुनर्भरण $R_f$ , और $V_+$ भूसंपर्कित:

V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right) \quad (\text{योग प्रवर्धक}).

$V_1$ $R_1$ के द्वारा $V_-$ तक (पुनर्भरण $R_2$ ) और $V_2$ $R_1$ के द्वारा $V_+$ तक ( $R_2$ $V_+$ से भू तक) हो, तो:

V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1) \quad (\text{अंतर प्रवर्धक}).

उपपत्ति. योग: आभासी भू पर संधि नियम, $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f = 0$ । अंतर: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (विभाजक); $V_-$ पर संधि नियम: $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$ , अतः $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; अब $V_- = V_+$ रखिए और सरल कीजिए। ∎

10.3 समाकलक और अवकलक

प्रतिज्ञप्ति 10.9 (समाकलक)

निवेश $R$ के द्वारा $V_-$ तक, पुनर्भरण के रूप में संधारित्र $C$ , और $V_+$ भूसंपर्कित:

V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0), \qquad \underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .

लब्धि हर आवृत्ति पर प्रति दशक $20\,\mathrm{dB}$ गिरती है और कला $+90^\circ$ रहती है: यानी एक यथार्थ समाकलक — जब तक कि कोई नन्हा-सा विस्थापन या अभिनति, हमेशा के लिए समाकलित होकर, निर्गम को संतृप्ति में न धकेल दे।

उपपत्ति. आभासी भू: धारा $V_e/R$ संधारित्र में बहती है, जिसका विभवांतर ( $V_-$ से निर्गम) $-V_s$ है; अतः $C\,\dd(-V_s)/\dd t = V_e/R$ , और सम्मिश्र संकेतन में $\underline H = -1/(jRC\omega)$ । ∎

टिप्पणी 10.10 (समाकलक को साधना)

कोई प्रतिरोधक $R'$ , जो $C$ के समांतर में जुड़ा हो, देता है

\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},

यानी दिष्ट लब्धि $-R'/R$ और कटऑफ़ $1/R'C$ वाला प्रथम कोटि का निम्न-पारक, जो $\omega \gg 1/R'C$ के लिए समाकलन करता है पर संतृप्ति की ओर बह नहीं सकता। इसी तरह अवकलक (निवेश पर संधारित्र, पुनर्भरण के रूप में प्रतिरोधक: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$ , $\underline H = -jRC\omega$ ) ऊँची आवृत्ति के रव को बिना सीमा के प्रवर्धित करता है, जब तक कोई छोटा श्रेणी प्रतिरोधक उसकी लब्धि पर टोपी न लगा दे।

समाकलक और उसका बोदे आरेख (नीला, हर जगह -20\, dB प्रति दशक, और दिष्ट पर अनंत लब्धि); और C के आरपार प्रतिरोधक लगाने पर कम आवृत्ति पर लब्धि पर टोपी लग जाती है (लाल): यानी ऐसा निम्न-पारक जो अपने कटऑफ़ के ऊपर समाकलन करता है। — समाकलक और उसका बोदे आरेख (नीला, हर जगह $-20\,\mathrm{dB}$ प्रति दशक, और दिष्ट पर अनंत लब्धि); और $C$ के आरपार प्रतिरोधक लगाने पर कम आवृत्ति पर लब्धि पर टोपी लग जाती है (लाल): यानी ऐसा निम्न-पारक जो अपने कटऑफ़ के ऊपर समाकलन करता है।

उदाहरण 10.11 (वर्ग से त्रिभुज)

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$ । $\pm1\,\mathrm{V}$ की $1\,\mathrm{kHz}$ वर्ग तरंग ढाल $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ और आयाम $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ की त्रिभुज देती है — बिना किसी निष्क्रिय RC वाले $1/\omega$ क्षीणन के, और अगले चरण को खिलाने के लिए शून्य-प्रतिबाधा निर्गम के साथ।

10.4 सक्रिय फ़िल्टर

प्रतिज्ञप्ति 10.12 (प्रथम कोटि का सक्रिय निम्न-पारक)

प्रतिलोमी प्रवर्धक, जिसमें संधारित्र $C$ अपने पुनर्भरण प्रतिरोधक $R_2$ के आरपार लगा हो, उसके लिए

\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:

यानी दिष्ट लब्धि $-R_2/R_1$ (जो $1$ से बड़ी हो सकती है) और कटऑफ़ $\omega_c = 1/R_2C$ वाला निम्न-पारक, साथ में शून्य निर्गम प्रतिबाधा — अतः चरण साधारण गुणा से शृंखलित हो जाते हैं।

उपपत्ति. प्रतिलोमी प्रवर्धक, जिसमें पुनर्भरण प्रतिबाधा $R_2 \parallel 1/jC\omega = R_2/(1 + jR_2C\omega)$ है, $R_2$ की जगह। ∎

10.5 ऋणात्मक पुनर्भरण के बिना: तुलनित्र

प्रतिज्ञप्ति 10.13 (तुलनित्र)

बिना किसी पुनर्भरण के आदर्श प्रवर्धक संतृप्त रहता है: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ जब $V_+ > V_-$ हो, और $-V_{\mathrm{sat}}$ जब $V_+ < V_-$ हो। किसी एक निवेश पर संदर्भ $V_{\mathrm{ref}}$ और दूसरे पर संकेत रखने से निर्गम बता देता है कि संकेत संदर्भ से आगे निकला या नहीं — यानी एक-बिट का परिवर्तक।

उपपत्ति. $\mu\epsilon$ $V_{\mathrm{sat}}$ से आगे निकल जाता है, किसी भी $\abs\epsilon > V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ के लिए। ∎

प्रतिज्ञप्ति 10.14 (श्मिट ट्रिगर)

निर्गम का अंश $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ वापस $V_+$ को दीजिए (विभाजक: $R_1$ भू तक, $R_2$ निर्गम से) और संकेत $V_e$ $V_-$ पर लगाइए। निर्गम $+V_{\mathrm{sat}}$ से $-V_{\mathrm{sat}}$ पर तब पलटता है जब $V_e$ चढ़कर $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ पार करे, और वापस तब जब $V_e$ गिरकर $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ से नीचे जाए: यानी दो देहलियाँ, चौड़ाई $2\beta V_{\mathrm{sat}}$ का एक शैथिल्य, और उस चौड़ाई से छोटे रव के प्रति निरापद।

उपपत्ति. धनात्मक पुनर्भरण: अतः संतृप्त। यदि $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ हो तो $V_+ = \beta V_{\mathrm{sat}}$ , और $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ तब तक धनात्मक रहता है जब तक $V_e$ $\beta V_{\mathrm{sat}}$ से आगे न निकले; तब निर्गम पलट जाता है, $V_+$ गिरकर $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ हो जाता है, और नई अवस्था तब तक टिकी रहती है जब तक $V_e$ उससे नीचे न गिरे। ∎

श्मिट ट्रिगर: R_1, R_2 के द्वारा धनात्मक पुनर्भरण दो देहलियाँ ± V_ sat दे देता है। निर्गम ऊँचे से नीचे तब पलटता है जब V_e चढ़कर ऊपरी देहली पार करे, और नीचे से ऊँचे तब जब वह निचली से नीचे गिरे (तीर): यानी एक शैथिल्य-चक्र। — श्मिट ट्रिगर: $R_1$ , $R_2$ के द्वारा धनात्मक पुनर्भरण दो देहलियाँ $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ दे देता है। निर्गम ऊँचे से नीचे तब पलटता है जब $V_e$ चढ़कर ऊपरी देहली पार करे, और नीचे से ऊँचे तब जब वह निचली से नीचे गिरे (तीर): यानी एक शैथिल्य-चक्र।

उदाहरण 10.15 (शिथिलन दोलित्र)

श्मिट ट्रिगर के निर्गम को $R$ के द्वारा उसी के प्रतिलोमी निवेश से जोड़ दीजिए, और $C$ को $V_-$ से भू तक लगा दीजिए। संधारित्र $\pm V_{\mathrm{sat}}$ की ओर आवेशित होता है और हर बार $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ पर पहुँचकर ट्रिगर को पलट देता है: अतः निर्गम एक वर्ग तरंग है, संधारित्र का विभवांतर चरघातांकी चापों की शृंखला, और आवर्तकाल है

T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}

(अभ्यास 10.12): $2.2\,RC$ , जब $\beta = \tfrac12$ हो। कोई निवेश नहीं, एक संधारित्र, और एक घड़ी — यानी ऐसा निकाय जो इसलिए दोलन करता है कि वह थम ही नहीं सकता, और यह विषय वर्ष 2 के खंड के पुनर्भरण-दोलित्रों के साथ लौटता है।

10.6 अभ्यास

अभ्यास 10.1 ★

किसी अ-प्रतिलोमी प्रवर्धक में $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ है। लब्धि? $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$ के लिए निर्गम? संतृप्ति से पहले सबसे बड़ा निवेश?

हल

हल — अभ्यास 10.1.

$G = 1 + 9 = 10$ ; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$ ; और संतृप्ति $V_e = 15/10 = 1.5\,\mathrm{V}$ पर।

अभ्यास 10.2 ★

किसी प्रतिलोमी प्रवर्धक में $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ है। लब्धि, निवेश प्रतिबाधा, $1.0\,\mathrm{V}$ के स्रोत से खींची धारा, और निर्गम।

हल

हल — अभ्यास 10.2.

$G = -10$ ; निवेश प्रतिबाधा $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $i = 1.0/10^4 = 0.10\,\mathrm{mA}$ ; $V_s = -10\,\mathrm{V}$ ।

अभ्यास 10.3 ★

आंतरिक प्रतिरोध $10\,\mathrm{k}\Omega$ और खुले परिपथ के विभवांतर $1.0\,\mathrm{V}$ वाले किसी संवेदक को $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ का भार चलाना है। उनके बीच अनुगामी के बिना और उसके साथ भार के आरपार विभवांतर?

हल

हल — अभ्यास 10.3.

बिना अनुगामी के: विभाजक $1/(1 + 10) = 0.091$ , यानी $91\,\mathrm{mV}$ । अनुगामी के साथ: $1.0\,\mathrm{V}$ — अनुगामी संवेदक से कुछ नहीं खींचता और भार को जो $1\,\mathrm{mA}$ चाहिए वह जुटा देता है।

अभ्यास 10.4 ★

किसी योग प्रवर्धक में $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ है और निवेश $10\,\mathrm{k}\Omega$ तथा $20\,\mathrm{k}\Omega$ के द्वारा आते हैं। $V_s$ लिखिए; और उसे $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$ के लिए निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 10.4.

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$ ।

अभ्यास 10.5 ★★

अंतर प्रवर्धक का $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ व्युत्पन्न कीजिए। $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$ के साथ: निर्गम? दोनों निवेशों में साझी $1\,\mathrm{V}$ का क्या हुआ?

हल

हल — अभ्यास 10.5.

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ ; और $V_-$ पर: $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$ , अतः $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; और $V_- = V_+$ के साथ: $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$ । आँकड़े: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$ ; और साझी $1\,\mathrm{V}$ कुछ नहीं जोड़ती — यही उभयनिष्ठ-विधा निराकरण है।

अभ्यास 10.6 ★★

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ वाला समाकलक, जिसका निर्गम आरंभ में शून्य है। उस पर $1.0\,\mathrm{V}$ का सोपान लगाया जाता है: निर्गम की ढाल और संतृप्ति ( $15\,\mathrm{V}$ ) तक का समय। और $\pm1.0\,\mathrm{V}$ की $1.0\,\mathrm{kHz}$ वर्ग तरंग: निर्गम की आकृति और आयाम।

हल

हल — अभ्यास 10.6.

$V_s = -(1/RC)\int V_e$ : ढाल $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ; और संतृप्ति $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$ के बाद। वर्ग तरंग: आयाम $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ की त्रिभुज (और साथ में वह नियतांक जो आरंभिक आवेश छोड़ गया हो)।

अभ्यास 10.7 ★★

पिछले समाकलक के संधारित्र के आरपार $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ का प्रतिरोधक जोड़ दिया जाता है। स्थानांतरण फलन, दिष्ट लब्धि, कटऑफ़ आवृत्ति, और $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर लब्धि दीजिए; किस परास में परिपथ अब भी समाकलन करता है?

हल

हल — अभ्यास 10.7.

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$ : दिष्ट लब्धि $-100$ ; कटऑफ़ $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$ ; और $1\,\mathrm{kHz}$ पर $R'C\omega = 628$ , $G = 100/628 = 0.16$ — यानी समाकलक वाला मान $1/RC\omega$ । वह $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$ के लिए समाकलन करता है।

अभ्यास 10.8 ★★

$R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ का उपयोग करके ऐसा प्रतिलोमी सक्रिय निम्न-पारक गढ़िए जिसकी पारक बैंड में लब्धि $20\,\mathrm{dB}$ और कटऑफ़ $500\,\mathrm{Hz}$ हो।

हल

हल — अभ्यास 10.8.

$R_2/R_1 = 10$ : अतः $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; और $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$ ।

अभ्यास 10.9 ★★

किसी असली प्रवर्धक के लिए $\mu_0 = 10^5$ और $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ है। $100$ की लब्धि के लिए गढ़े गए किसी अ-प्रतिलोमी प्रवर्धक के लिए: वास्तविक दिष्ट लब्धि (विश्लेषण में $\mu_0$ को परिमित रखिए), और बैंड-चौड़ाई। और किसी अनुगामी की बैंड-चौड़ाई?

हल

हल — अभ्यास 10.9.

परिमित $\mu$ के साथ: $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$ , $\beta = 1/100$ , अतः $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$ । बैंड-चौड़ाई $f_T/G = 10\,\mathrm{kHz}$ ; और अनुगामी की: $1\,\mathrm{MHz}$ ।

अभ्यास 10.10 ★★★

$V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ वाला कोई तुलनित्र, जो $V_-$ पर लगा है, ऐसे धीरे-धीरे चढ़ते संकेत को देखता है जिसमें $50\,\mathrm{mV}$ का रव है। जब संकेत $2.0\,\mathrm{V}$ पार करे तब निर्गम का वर्णन कीजिए। उपाय?

हल

हल — अभ्यास 10.10.

रव का हर उछाल $2.0\,\mathrm{V}$ पार करते ही निर्गम पलट देता है: अतः पार करने के आसपास तेज़ पलटावों की झड़ी (“चटचटाहट”)। उपाय: रव से चौड़ा शैथिल्य, यानी कोई श्मिट ट्रिगर।

अभ्यास 10.11 ★★★

$R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ वाला श्मिट ट्रिगर: दोनों देहलियाँ व्युत्पन्न कीजिए और निकालिए। $V_s$ खींचिए, आयाम $3\,\mathrm{V}$ की त्रिभुजाकार $V_e$ के लिए।

हल

हल — अभ्यास 10.11.

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$ : अतः देहलियाँ $\pm1.5\,\mathrm{V}$ । निर्गम $+15\,\mathrm{V}$ रहता है जब तक $V_e$ चढ़कर $1.5\,\mathrm{V}$ न पहुँचे, फिर $-15\,\mathrm{V}$ पर पलटता है, और वहीं रहता है जब तक $V_e$ $-1.5\,\mathrm{V}$ से नीचे न गिरे, फिर वापस पलटता है: यानी त्रिभुज की ही आवृत्ति की वर्ग तरंग, जिसके किनारे देहली-पारण पर पड़ते हैं।

अभ्यास 10.12 ★★★

$R_1 = R_2$ ( $\beta = \tfrac12$ ) वाला शिथिलन दोलित्र। आवर्तकाल $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ को $C$ के आवेशन से, दोनों देहलियों के बीच $R$ के द्वारा, व्युत्पन्न कीजिए; $1.0\,\mathrm{kHz}$ के लिए $R$ चुनिए, $C = 100\,\mathrm{nF}$ के साथ; और $V_s(t)$ तथा $V_C(t)$ खींचिए।

हल

हल — अभ्यास 10.12.

$V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ के साथ $V_C$ $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ से $+V_{\mathrm{sat}}$ की ओर आवेशित होता है: $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}} \eu^{-t/RC}$ , और $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ तब पहुँचता है जब $\eu^{-t/RC} = (1 - \beta)/(1 + \beta)$ हो: अतः अर्ध-आवर्तकाल $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ , और इससे $T$ । $\beta = \tfrac12$ : $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$ ; $RC = 1/(2.2 \times 10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$ , $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$ । $V_s$ : $\pm15\,\mathrm{V}$ की वर्ग तरंग; और $V_C$ : $\pm7.5\,\mathrm{V}$ के बीच चरघातांकी चाप।

10.7 समस्या: विकृति-मापी के लिए एक उपकरण-शृंखला

समस्या 10.1

सप्ताहांत समस्या — पुल की धरन पर दो मिलीवोल्ट से लेकर एक लाल दीपक तक: अनुगामी, एक अंतर प्रवर्धक, एक सक्रिय फ़िल्टर और एक श्मिट ट्रिगर, तथा वे दो अपूर्णताएँ जो तय करती हैं कि शृंखला काम करेगी या नहीं

प्रतिरोध $R(1 + \epsilon)$ का कोई विकृति-मापी, $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$ , तीन जड़े $1.00\,\mathrm{k}\Omega$ प्रतिरोधकों के साथ व्हीटस्टोन सेतु बनाता है, जिसे $E = 5.00\,\mathrm{V}$ खिलाता है। सेतु का निर्गम $u = V_B - V_A$ (दोनों मध्यबिंदुओं के बीच) $u \approx E\epsilon/4$ है (चिह्न तारों से चुना जाता है)। प्रवर्धक: जब तक कुछ और न कहा जाए, आदर्श; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ ; और जहाँ ज़रूरी हो, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , आरोहण दर $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ , निवेश विस्थापन $1\,\mathrm{mV}$ ।

भाग I — सेतु और उस पर भार।

याद कीजिए कि $u \approx E\epsilon/4$ क्यों है, छोटे $\epsilon$ के लिए।
$u$ निकालिए, पूर्ण पैमाने पर ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ )।
शून्य विकृति पर और पूर्ण पैमाने पर हर मध्यबिंदु का विभव दीजिए (सेतु के ऋण सिरे के सापेक्ष)। उनके साझे मान को क्या कहते हैं?
हर मध्यबिंदु दो $1\,\mathrm{k}\Omega$ प्रतिरोधकों वाले किसी विभाजक का निर्गम है: दोनों मध्यबिंदुओं के बीच तेवेनिन प्रतिरोध क्या दिखता है?
सेतु के निर्गम के आरपार ऐसा प्रवर्धक जोड़ा जाता है जिसका निवेश प्रतिरोध $10\,\mathrm{k}\Omega$ है: उसे $u$ का कितना अंश मिलता है?
हर मध्यबिंदु पर लगा अनुगामी इसे क्यों ठीक कर देता है? काम में आए दोनों गुण बताइए।
अनुगामियों के निर्गम विभवांतर क्या हैं ( $V_A$ , $V_B$ के पदों में), और वे सेतु से कितनी धारा खींचते हैं?

भाग II — अंतर को प्रवर्धित करना।

अनुगामी किसी अंतर प्रवर्धक को खिलाते हैं (दोनों निवेशों पर $R_1$ , और $R_2$ पुनर्भरण तथा भू तक)। $V_s = (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ व्युत्पन्न कीजिए।
$R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ लीजिए और $R_2$ चुनिए, $100$ की लब्धि के लिए।
दूसरा, अ-प्रतिलोमी चरण $10$ से गुणा करता है: उसके प्रतिरोधक, कुल लब्धि, और पूर्ण पैमाने पर निर्गम दीजिए।
दोनों मध्यबिंदु $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ के पास बैठते हैं (यानी उभयनिष्ठ-विधा विभवांतर)। ठीक-ठीक मिलाया गया अंतर प्रवर्धक उसके साथ क्या करता है? यदि कोई एक प्रतिरोध-अनुपात $1\%$ चूक जाए, तो निवेश पर लौटाए गए मिथ्या विभवांतर का आकलन कीजिए और संकेत से तुलना कीजिए।
पहले प्रवर्धक का निवेश विस्थापन $1\,\mathrm{mV}$ है। कुल लब्धि के बाद वह निर्गम में कितनी त्रुटि लाता है? निष्कर्ष निकालिए।
$f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ के साथ हर चरण की बैंड-चौड़ाई क्या है? क्या वह $5\,\mathrm{Hz}$ से नीचे के संकेत के लिए पर्याप्त है?
निर्गम को लगभग $10\,\mathrm{ms}$ में $2.5\,\mathrm{V}$ झूलना है, जब कोई ट्रक आए: क्या आरोहण दर सीमित करती है?

भाग III — फ़िल्टरन। प्रवर्धित संकेत बिजली की लाइन से पकड़ी गई $50\,\mathrm{Hz}$ की गुनगुनाहट ढो रहा है।

लब्धि $-1$ और कटऑफ़ $10\,\mathrm{Hz}$ वाला प्रतिलोमी सक्रिय निम्न-पारक गढ़िए, $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ का उपयोग करके: $C$ निकालिए।
$50\,\mathrm{Hz}$ पर उसका क्षीणन डेसिबल में निकालिए।
$5\,\mathrm{Hz}$ पर कला-खिसकाव और उससे मिलता विलंब निकालिए। क्या यह किसी चेतावनी-यंत्र के लिए स्वीकार्य है?
यहाँ किसी निष्क्रिय RC की तुलना में सक्रिय फ़िल्टर क्यों बेहतर है (दो कारण)?
दूसरा एक जैसा चरण शृंखलित किया जाता है: $50\,\mathrm{Hz}$ पर क्षीणन? यहाँ गुणनफल का नियम यथार्थ क्यों है?

भाग IV — देहली और चेतावनी। चेतावनी तब बजनी चाहिए जब विकृति $1.6 \times 10^{-3}$ से आगे निकले।

यह शृंखला के किस निर्गम विभवांतर से मेल खाता है? इसी संदर्भ वाला कोई तुलनित्र: निर्गम की अवस्थाएँ।
फ़िल्टर किया संकेत देहली के पास अब भी $50\,\mathrm{mV}$ का रव ढोता है। सादा तुलनित्र क्या करता है?
किसी एक निवेश पर संदर्भ और पुनर्भरण $\beta$ वाला श्मिट ट्रिगर: दिखाइए कि देहलियाँ $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ हैं; $\beta$ चुनिए, $\pm0.10\,\mathrm{V}$ के लिए, और $R_1$ , $R_2$ दीजिए।
दोनों देहलियाँ वोल्ट में और विकृति में बताइए।
निर्गम किसी प्रतिरोधक के द्वारा एक LED ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) चलाता है: उसे निकालिए। जब निर्गम $-V_{\mathrm{sat}}$ पर हो तब LED की रक्षा कौन करता है?
शृंखला का चरण-दर-चरण सार लिखिए, और उन दो अ-आदर्शताओं के नाम लीजिए जो उसकी असली सीमाएँ तय करती हैं।

हल

हल — समस्या 10.1.

दो विभाजक: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] \approx -E\epsilon/4$ (प्रतिज्ञप्ति 6.22); और तारें चिह्न तय कर देती हैं।

2. $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$ ।

3. $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ हमेशा; और पूर्ण पैमाने पर $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 + \epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ । दोनों में साझी $2.5\,\mathrm{V}$ ही उभयनिष्ठ-विधा विभवांतर है।

4. हर मध्यबिंदु पर: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$ ; और दोनों मध्यबिंदुओं के बीच $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ ।

5. $10/(10 + 1) = 0.91$ : यानी $9\%$ की हानि।

6. अनंत निवेश प्रतिबाधा (सेतु से कोई धारा नहीं, अतः मध्यबिंदु अपने खुले परिपथ वाले विभव बनाए रखते हैं) और शून्य निर्गम प्रतिबाधा (अगला चरण जितना चाहे खींच सकता है)।

7. ठीक-ठीक $V_A$ और $V_B$ ; और धारा शून्य।

8. जैसा प्रतिज्ञप्ति 10.8 में: $V_+ = V_BR_2/(R_1 + R_2)$ , $V_-$ पर संधि नियम, और $V_- = V_+$ ।

9. $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$ ।

10. $1 + R_2/R_1 = 10$ : जैसे $1\,\mathrm{k}\Omega$ और $9\,\mathrm{k}\Omega$ । कुल लब्धि $1000$ ; और पूर्ण पैमाने पर $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$ ।

11. मिलाया हुआ: साझी $2.5\,\mathrm{V}$ ठीक-ठीक कट जाती है (केवल $V_B - V_A$ बचता है)। और $1\%$ की चूक उसका लगभग $1\%$ जाने देती है: यानी निवेश पर लौटाई गई लगभग $25\,\mathrm{mV}$ की त्रुटि, जो पूर्ण-पैमाने के संकेत से दस गुना है — अतः चारों प्रतिरोधकों को $0.01\%$ से भी बेहतर मिलाना पड़ता है (या पहले उभयनिष्ठ-विधा विभवांतर हटाना पड़ता है)।

12. $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$ , यानी पूर्ण पैमाने का चालीस प्रतिशत: अतः विस्थापन साधे बिना, या कम-विस्थापन वाले (चॉपर) प्रवर्धक के बिना, या धरन पर बिना भार के शून्य-अंशांकन के बिना, यह अनुपयोगी है।

13. चरण 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$ ; चरण 2: $100\,\mathrm{kHz}$ ; यानी $5\,\mathrm{Hz}$ से कहीं ऊपर।

14. आवश्यक $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$ , जो आरोहण दर से दो हज़ार गुना नीचे है: अतः नहीं।

15. $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10) = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ।

16. $x = 5$ : $G = 1/\sqrt{26}$ , यानी $-14\,\mathrm{dB}$ ।

17. $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$ ; विलंब $\varphi/\omega = 15\,\mathrm{ms}$ — ट्रक के गुज़रने के सामने कुछ भी नहीं।

18. अगले चरण पर कोई भार नहीं (शून्य निर्गम प्रतिबाधा) और लब्धि भी उपलब्ध; साथ ही कटऑफ़ से नीचे अभीष्ट संकेत का कोई क्षीणन नहीं।

19. $-28\,\mathrm{dB}$ (लब्धियाँ गुणित, डेसिबल जुड़ते हैं), और यथार्थ इसलिए कि पहले चरण की निर्गम प्रतिबाधा शून्य है: अतः दूसरा चरण उस पर भार नहीं डालता।

20. $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to 2.0\,\mathrm{V}$ ; और संकेत के $2.0\,\mathrm{V}$ से आगे निकलने पर निर्गम $+V_{\mathrm{sat}}$ , नीचे $-V_{\mathrm{sat}}$ (या तारों के अनुसार उलटा)।

21. वह चटचटाता है: रव के संदर्भ को पार करते ही दीपक टिमटिमाने लगता है।

22. $V_{\mathrm{ref}}$ $R_2$ के द्वारा और निर्गम $R_1$ के द्वारा हो… मानक रूप में अ-प्रतिलोमी निवेश $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$ पर बैठता है; और संदर्भ को उसी के अनुसार खिसकाकर लेने पर पलटाव के स्तर $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ होते हैं। $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$ : अतः $\beta = 1/150$ , जैसे $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$ ।

23. $2.1\,\mathrm{V}$ (चालू) और $1.9\,\mathrm{V}$ (बंद): यानी विकृतियाँ $1.68 \times 10^{-3}$ और $1.52 \times 10^{-3}$ ।

24. $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ । और $-V_{\mathrm{sat}}$ पर LED $15\,\mathrm{V}$ से उत्क्रम-अभिनत हो जाता है, जो उसकी सह्यता के परे है: अतः प्रति-समांतर (या श्रेणी में) लगा कोई साधारण डायोड उसकी रक्षा करता है।

25. सेतु (पूर्ण पैमाने पर $2.5\,\mathrm{mV}$ ) $\to$ दो अनुगामी (कोई भार नहीं) $\to$ अंतर प्रवर्धक $\times100$ $\to$ अ-प्रतिलोमी $\times10$ $\to$ $10\,\mathrm{Hz}$ का सक्रिय निम्न-पारक $\to$ श्मिट ट्रिगर $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ पर $\to$ LED। और असली सीमाएँ: निवेश विस्थापन विभवांतर तथा अंतर प्रवर्धक के प्रतिरोधकों का मिलान, दोनों ही मिलीवोल्ट के संकेत से तुलनीय।

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