विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

27विद्युत विभव; चालक और संधारित्र

कोई क्षेत्र हर बिंदु पर तीन संख्याएँ है; कोई विभव एक। स्थिरवैद्युत बल संरक्षी है, इसलिए आवेशों के किसी भी वितरण का पूरा क्षेत्र एक ही अदिश फलन में समेटा जा सकता है, यानी विभव में, जिससे वह अवकलन द्वारा फिर पा लिया जाता है — वही मितव्ययिता जिसने यांत्रिकी में बलों को स्थितिज ऊर्जा बना दिया था। विभव ही वह है जो कोई वोल्टमापी पढ़ता है, जो कोई बैटरी बनाए रखती है, और जो किसी नलिका में इलेक्ट्रॉनों को त्वरित करता है; और उसके समतल-पृष्ठ किसी क्षेत्र का नक़्शा एक ही नज़र में खींच देते हैं। यह अध्याय उसे गढ़ता है, उसे द्विध्रुव पर लगाता है (यानी किसी अणु का पहला विद्युत प्रतिरूप), और फिर उन दोनों वस्तुओं की ओर मुड़ता है जिनसे हर परिपथ बना है: चालक, जिन पर आवेश अपने आप ऐसे बैठ जाता है कि भीतर का क्षेत्र मर जाए, और संधारित्र, जो आवेश तथा ऊर्जा किसी क्षेत्र में संचित रखते हैं।

किसी वान डे ग्राफ़ जनित्र से कुछ सौ किलोवोल्ट तक आवेशित कोई व्यक्ति एक समविभव चालक है, जिसके बाल, सब एक ही विभव पर और सब एक-से आवेशित, एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।

27.1 स्थिरवैद्युत विभव

प्रमेय 27.1 (स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी है)

कोई अदिश फलन $V(M)$ होता है, यानी स्थिरवैद्युत विभव (वोल्ट, $\mathrm{V}$ ), जिससे

\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l

$A$ से $B$ तक के किसी भी पथ के अनुदिश ( $\vect E$ का परिचालन, $A$ से $B$ तक, पथ पर निर्भर नहीं करता, और किसी बंद पाश पर शून्य होता है)। किसी बिंदु आवेश $q$ के लिए, जो $O$ पर हो, $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ है, जहाँ रूढ़ि $V(\infty) = 0$ ली गई है; और कई आवेशों के विभव जुड़ जाते हैं। किसी आवेश $q'$ की, जो $M$ पर हो, स्थितिज ऊर्जा $E_p = q'V(M)$ है, और $A$ से $B$ तक विद्युत बल का कार्य $q'(V_A - V_B)$ ।

उपपत्ति. किसी स्थिर आवेश $q$ का $q'$ पर कूलॉम बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण जैसा ही रूप रखता है, जहाँ $-Gm_1m_2$ की जगह $qq'/4\pi\varepsilon_0$ है; और वही गणना, जिसने $E_p = -Gm_1m_2/r$ दिया था (प्रतिज्ञप्ति 13.7), $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$ देती है: $q'$ से भाग देने पर $V$ मिलता है, और $\vect E = \vect F/q' = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$ । अध्यारोपण इस परिणाम को किसी भी वितरण तक ले जाता है; और परिचालन वाला सूत्र प्रवणता की परिभाषा को ही पथ के अनुदिश समाकलित करना है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 27.2 (किसी विभव को पढ़ना)

समविभव पृष्ठ $V = \text{अचर}$ हर जगह क्षेत्र-रेखाओं पर लंब होते हैं, और क्षेत्र घटते विभव की ओर संकेत करता है।
$|\vect E|$ सबसे खड़ी दिशा के अनुदिश $V$ के बदलने की दर है: जहाँ समविभव पास-पास हों, वहाँ क्षेत्र प्रबल है।
$V$ किसी योज्य अचर तक ही परिभाषित है; केवल अंतर (यानी वोल्टता) मापे जा सकते हैं। भूमि या अनंत को रूढ़ि से शून्य रख लिया जाता है।
$O$ के परितः सममिति वाले गोलीय निर्देशांकों में $E_r = -\dd V/ \dd r$ ; और किसी तल में ध्रुवीय निर्देशांकों $(r, \theta)$ में, $E_r = -\partial V/\partial r$ तथा $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ ।

उपपत्ति. किसी समविभव पर, पृष्ठ में के हर विस्थापन के लिए $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ , अतः $\vect E$ उस पर अभिलंब है; और $\vect E$ के अनुदिश चलने पर $\dd V = -E\,\dd l < 0$ । ध्रुवीय घटक $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ और $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$ से निकलते हैं। ∎

किसी बिंदु आवेश के और किसी समतल संधारित्र के समविभव (नारंगी) तथा क्षेत्र-रेखाएँ (नीली)। रेखाएँ समविभवों को समकोण पर काटती हैं और ऊँचे विभव से नीचे विभव की ओर चलती हैं; और जहाँ समविभव सट जाते हैं, वहाँ क्षेत्र प्रबल है।

विधि 27.3 (किसी विभव की गणना)

या तो वितरण पर $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ का योग लीजिए (जब वह योग सँभल जाए और वितरण परिमित हो, ताकि $V(\infty) = 0$ का कोई अर्थ बने), या फिर $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ को किसी सुविधाजनक पथ के अनुदिश, ऐसे किसी बिंदु से चलकर जहाँ $V$ ज्ञात हो, समाकलित कीजिए, और इसके लिए गाउस के नियम से मिला क्षेत्र काम में लीजिए। अनंत वितरणों (तार, तल) के लिए केवल दूसरा रास्ता चलता है, और $V$ का शून्य किसी परिमित बिंदु पर चुनना पड़ता है।

प्रतिज्ञप्ति 27.4 (चिरपरिचित वितरणों के विभव)

$R$ त्रिज्या का गोला, जिसके आयतन में $Q$ हो: बाहर $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ ; और भीतर $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ , अतः $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ । यदि $Q$ पृष्ठ पर हो, तो भीतर $V$ एकसमान रहता है, और $Q/4\pi\varepsilon_0R$ के बराबर।
अनंत तार $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ ।
समतल संधारित्र, जिसमें क्षेत्र $E$ पट्टिका 1 से पट्टिका 2 तक है और दोनों $d$ दूरी पर हैं: दरार के पार $V$ रैखिक रूप से घटता है और $V_1 - V_2 = Ed$ ।

उपपत्ति. प्रतिज्ञप्ति 26.12 के क्षेत्रों के साथ $E_r = -\dd V/\dd r$ समाकलित कीजिए: गोले के लिए अनंत से भीतर की ओर ( $R$ पर संततता भीतर वाला अचर तय कर देती है), तार के लिए $r_0$ से, और संधारित्र के लिए दरार के पार। ∎

एकसमान आवेशित किसी गोले का विभव (ठोस रेखा) और क्षेत्र (बिंदुदार)। विभव संतत है और उसकी ढाल भी; वह भीतर परवलयी है, जहाँ क्षेत्र रैखिक है, और बाहर 1/r में। उसका उच्चिष्ठ केंद्र पर बैठा है, जहाँ क्षेत्र लुप्त हो जाता है — V का कोई उच्चिष्ठ शून्य क्षेत्र का बिंदु होता है, उलटा नहीं। — एकसमान आवेशित किसी गोले का विभव (ठोस रेखा) और क्षेत्र (बिंदुदार)। विभव संतत है और उसकी ढाल भी; वह भीतर परवलयी है, जहाँ क्षेत्र रैखिक है, और बाहर $1/r$ में। उसका उच्चिष्ठ केंद्र पर बैठा है, जहाँ क्षेत्र लुप्त हो जाता है — $V$ का कोई उच्चिष्ठ शून्य क्षेत्र का बिंदु होता है, उलटा नहीं।

उदाहरण 27.5 (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट, फिर से)

$100\,\mathrm{V}$ की कोई दरार पार करता इलेक्ट्रॉन $eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ पा लेता है, चाहे इलेक्ट्रोडों के बीच क्षेत्र का आकार कुछ भी हो: विभव पथ को अप्रासंगिक कर देता है (परिभाषा 17.3)। किसी दूसरे से $1\,\mathrm{m}$ पर रखे $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ आवेश का $V = 9\,\mathrm{kV}$ है और वह युग्म $9\,\mathrm{mJ}$ संचित रखता है; और सोने के किसी नाभिक के केंद्र पर विभव $24\,\mathrm{MV}$ है (अभ्यास 27.6)।

27.2 विद्युत द्विध्रुव

परिभाषा 27.6 (विद्युत द्विध्रुव)

दो विपरीत आवेश, $-q$ जो $N$ पर हो और $+q$ जो $P$ पर, $a = NP$ की दूरी पर, मिलकर द्विध्रुव आघूर्ण $\vect p = q\,\vect{NP}$ ( $\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) का एक विद्युत द्विध्रुव बनाते हैं, जो $-$ से $+$ की ओर संकेत करता है। द्विध्रुव सन्निकटन उसके क्षेत्र का अध्ययन दूरियों $r \gg a$ पर करना है। जिस अणु के धनात्मक और ऋणात्मक आवेश के केंद्र संपाती न हों (पानी, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) वह कोई द्विध्रुव है; और किसी क्षेत्र में रखा कोई उदासीन परमाणु द्विध्रुव बन जाता है (प्रेरित द्विध्रुव)।

प्रतिज्ञप्ति 27.7 (किसी द्विध्रुव का क्षेत्र)

$M$ पर, जहाँ $OM = r \gg a$ हो ( $O$ यानी $NP$ का मध्य) और $\theta$ $\vect p$ तथा $\vect{OM}$ के बीच का कोण,

V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .

किसी द्विध्रुव का क्षेत्र $1/r^3$ की तरह गिरता है, यानी किसी आवेश के $1/r^2$ से तेज़: दूर से दोनों आवेश लगभग कट जाते हैं, और जो बच रहता है वह उनका अलगाव है।

उपपत्ति. $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ , जहाँ $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ और $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ ( $\pm\tfrac a2$ का $\vect{OM}$ पर प्रक्षेप); और $a/r$ में प्रथम कोटि तक, $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$ । फिर $E_r = -\partial V/\partial r$ और $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$ । ∎

बाएँ: द्विध्रुव सन्निकटन की ज्यामिति — M, जो केंद्र O से r दूरी पर और कोण पर देखा गया है, p से नापकर, और उसके त्रिज्य तथा लंबत्रिज्य क्षेत्र-घटक। दाएँ: दाईं ओर संकेत करते किसी द्विध्रुव की क्षेत्र-रेखाएँ (नीली, r 2) और समविभव (नारंगी, r √| |); और O से जाता, p पर लंब तल ही समविभव V = 0 है। — बाएँ: द्विध्रुव सन्निकटन की ज्यामिति — $M$ , जो केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर और $\theta$ कोण पर देखा गया है, $\vect p$ से नापकर, और उसके त्रिज्य तथा लंबत्रिज्य क्षेत्र-घटक। दाएँ: दाईं ओर संकेत करते किसी द्विध्रुव की क्षेत्र-रेखाएँ (नीली, $r \propto \sin^2\theta$ ) और समविभव (नारंगी, $r \propto \sqrt{|\cos\theta|}$ ); और $O$ से जाता, $\vect p$ पर लंब तल ही समविभव $V = 0$ है।

प्रतिज्ञप्ति 27.8 (किसी बाह्य क्षेत्र में द्विध्रुव)

कोई द्विध्रुव $\vect p$ , जो किसी एकसमान क्षेत्र $\vect E$ में हो, कोई परिणामी बल नहीं पाता, पर एक बलाघूर्ण $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ पाता है, जो उसे क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध करना चाहता है, और उसकी स्थितिज ऊर्जा $E_p = -\vect p\cdot\vect E$ होती है, जो पंक्तिबद्ध होने पर निम्नतम है। किसी असमान क्षेत्र में वह इसके अलावा प्रबल क्षेत्र वाले भागों की ओर खिंचता भी है (एक विमा में, किसी पंक्तिबद्ध द्विध्रुव के लिए $F_x = p\,\dd E/\dd x$ )।

उपपत्ति. बल $\pm q\vect E$ कट जाते हैं; और $O$ के परितः उनका आघूर्ण $\vect{OP}\wedge q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$ है। ऊर्जा: किसी एकसमान क्षेत्र के लिए $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ (क्योंकि $V(P) - V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$ )। असमान, और $x$ के अनुदिश पंक्तिबद्ध: $F_x = qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$ । ∎

उदाहरण 27.9 (कंघी काग़ज़ को क्यों खींचती है)

कोई आवेशित कंघी ऐसा क्षेत्र बनाती है जो दूरी के साथ गिरता जाता है; और काग़ज़ का कोई उदासीन टुकड़ा उससे ध्रुवित हो जाता है ( $\vect E$ के अनुदिश प्रेरित द्विध्रुव), और किसी पंक्तिबद्ध द्विध्रुव पर बल $p\,\dd E/\dd x$ उसे प्रबल क्षेत्र वाले भाग की ओर खींच लेता है: यानी कंघी की ओर। कंघी के आवेश का चिह्न इसमें कोई भूमिका नहीं निभाता; वही क्रियाविधि गुब्बारे को दीवार पर थामे रखती है और पानी की धार को मोड़ देती है। पानी के अणुओं के लिए, $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ के किसी क्षेत्र में $pE$ $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ है, यानी कमरे के ताप पर के $k_BT$ से $600$ गुना कम: अतः तापीय उछल-कूद के बाद केवल थोड़ा-सा परिणामी पंक्तिबद्ध होना ही बचता है (अभ्यास 27.7)।

27.3 स्थिरवैद्युत साम्य में चालक

प्रमेय 27.10 (साम्य में किसी चालक के गुण)

जिस चालक में मुक्त आवेश विराम में हों, उसमें:

भीतर $\vect E = \vect 0$ , और चालक कोई समविभव आयतन है: उसमें और उसके पृष्ठ पर $V$ एकसमान।
कोई भी परिणामी आवेश पृष्ठ पर बैठता है, जिसका पृष्ठीय घनत्व $\sigma$ है; और भीतर उदासीन रहता है।
ठीक बाहर क्षेत्र पृष्ठ पर अभिलंब होता है और उसका मान $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ है (कूलॉम की प्रमेय)।
किसी चालक के भीतर की कोई गुहा, जिसमें कोई आवेश न हो, $\vect E = \vect 0$ और एकसमान $V$ रखती है, बाहर चाहे कुछ भी होता रहे (फ़ैराडे पिंजरा)।

उपपत्ति. (1) कोई क्षेत्र मुक्त आवेशों को चला देता: अतः साम्य के लिए $\vect E = \vect 0$ चाहिए, जिससे भीतर के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच $\dd V = 0$ ; और पृष्ठ वही सीमा है। (2) चालक के भीतर खींचे किसी भी बंद पृष्ठ पर गाउस का नियम: शून्य अभिवाह, शून्य घिरा हुआ आवेश। (3) पृष्ठ एक समविभव है, अतः ठीक बाहर $\vect E$ उस पर अभिलंब है; और पृष्ठ पर टिकी किसी डिबिया से केवल उसके बाहरी फलक से ही अभिवाह $E\,\dd S$ जाता है (भीतर $\vect E = \vect 0$ ), और आवेश $\sigma\,\dd S$ है। (4) गुहा की दीवार एक समविभव है; और गुहा के भीतर किसी क्षेत्र-रेखा को दीवार से दीवार तक किसी विभव-गिरावट के पार जाना पड़ता — जो किसी समविभव पर असंभव है; अतः न कोई रेखा, न कोई क्षेत्र (इस रूप में स्वीकृत)। ∎

उदाहरण 27.11 (नोक-प्रभाव और तड़ित-चालक)

$R_1 > R_2$ त्रिज्याओं के दो गोले, जो दूर-दूर हों और किसी तार से जुड़े हों, वही $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$ साझा करते हैं, अतः $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$ : यानी वक्रता-त्रिज्या जितनी छोटी, पृष्ठीय आवेश और क्षेत्र $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$ उतने ही बड़े। किसी तीखी नोक पर क्षेत्र हवा के भंजन मान ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) को कहीं और से बहुत पहले पार कर जाता है: हवा आयनित हो जाती है और आवेश चुपचाप रिस जाता है। कोई तड़ित-चालक इसी नोक-प्रभाव से काम करता है — वह आघात को खींचता उतना नहीं जितना उसे कोई रास्ता दे देता है, और किसी बादल के नीचे आवेश को जमा होने से पहले ही बहा देता है।

बाएँ: किसी बाह्य क्षेत्र में कोई खोखला चालक — उसके पृष्ठ पर प्रेरित आवेश भीतर का और गुहा का क्षेत्र काट देते हैं (यानी फ़ैराडे पिंजरा)। दाएँ: नोक-प्रभाव — किसी एक ही समविभव चालक पर पृष्ठीय आवेश और बाहर का क्षेत्र वहीं सबसे बड़े होते हैं जहाँ वक्रता सबसे तीखी है।

27.4 संधारित्र

परिभाषा 27.12 (धारिता)

विभव $V$ पर का कोई विलगित चालक ऐसा आवेश $Q$ लिए रहता है जो $V$ के समानुपाती है: $Q = CV$ , जहाँ $C$ उसकी धारिता है (फ़ैरड, $\mathrm{F}$ ); और किसी गोले के लिए $C = 4\pi\varepsilon_0R$ । कोई संधारित्र चालकों का ऐसा युग्म (पट्टिकाएँ) है जो विपरीत आवेश $\pm Q$ लिए हों और एक-दूसरे के सामने हों, ताकि क्षेत्र उन्हीं के बीच सीमित रहे; उसकी धारिता $C = Q/U$ है, जहाँ $U = V_1 - V_2$ पट्टिकाओं के बीच की वोल्टता है। संकेत और परिपथ-नियम $i = C\,\dd u/\dd t$ अध्याय 7 में काम आ चुके हैं।

प्रतिज्ञप्ति 27.13 (तीन संधारित्र)

समतल: $S$ क्षेत्रफल की पट्टिकाएँ, जो $d \ll \sqrt S$ दूरी पर हों: $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ ।
गोलीय: $R_1 < R_2$ त्रिज्याओं के संकेंद्री गोले: $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ ।
बेलनाकार (समाक्ष), त्रिज्याएँ $a < b$ , लंबाई $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ ।

दरार को आपेक्षिक विद्युतशीलता $\varepsilon_r$ के किसी विद्युतरोधी से भर देने पर $C$ $\varepsilon_r$ गुना हो जाता है (परावैद्युत के अणु ध्रुवित होकर क्षेत्र कमज़ोर कर देते हैं; आम प्लास्टिकों और काँच के लिए $\varepsilon_r = 2$ से $10$ , और पानी के लिए $80$ )।

उपपत्ति. हर स्थिति में पट्टिकाओं के बीच क्षेत्र वही है जो प्रतिज्ञप्ति 26.12 में है: $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$ , $U = Ed$ ; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ ; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$ , $U = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$ । $Q$ को $U$ से भाग दीजिए। परावैद्युत वाला गुणक स्वीकृत है। ∎

प्रमेय 27.14 (किसी संधारित्र की ऊर्जा)

$Q$ तक आवेशित कोई संधारित्र, $U$ के नीचे, इतना संचित रखता है

W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,

यानी वह कार्य जो आवेश को बढ़ती वोल्टता के विरुद्ध एक पट्टिका से दूसरी तक ले जाने में लगता है। किसी समतल संधारित्र में $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2 \times Sd$ : यानी ऊर्जा क्षेत्र में है, प्रति एकांक आयतन $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ घनत्व पर — और यह कथन हर स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए सही है।

उपपत्ति. $\dd q$ को ऋणात्मक से धनात्मक पट्टिका तक ले जाने में, जब आवेश $q$ हो, $\dd W = (q/C)\,\dd q$ लगता है; इसे $0$ से $Q$ तक समाकलित कीजिए। फिर $C = \varepsilon_0S/d$ और $U = Ed$ रखिए; और सामान्य घनत्व स्वीकृत है। ∎

उदाहरण 27.15 (तीन संधारित्र और उनकी ऊर्जाएँ)

$1\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर पन्नी के एक वर्ग मीटर के जोड़े के लिए: $C = 8.85 \times 10^{-12}/ 10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — यानी फ़ैरड एक बहुत बड़ा मात्रक है। किसी डिफ़िब्रिलेटर के $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ , $2\,\mathrm{kV}$ पर: $300\,\mathrm{J}$ , जो मिलीसेकंडों में दे दिए जाते हैं। $2.7\,\mathrm{V}$ पर $3000\,\mathrm{F}$ का कोई अतिसंधारित्र: किसी शीतल-पेय की बोतल जितने डिब्बे में $11\,\mathrm{kJ}$ — उसकी धारिता किसी आणविक दरार $d$ और किसी विशाल सरंध्र $S$ से आती है। और हवा के भंजन पर किसी क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , वही कारण है जिससे संधारित्र बैटरियों के सामने इतना कम संचित रखते हैं।

समतल, गोलीय और परावैद्युत से भरे संधारित्र। क्षेत्र (नारंगी) पट्टिकाओं के बीच ही सीमित रहता है, सिवाय किनारों पर के फैलाव के, जिसकी d छोटा होने पर उपेक्षा कर दी जाती है; और प्रति एकांक आयतन ऊर्जा 1/2 _0E2 उसी क्षेत्र में रहती है। — समतल, गोलीय और परावैद्युत से भरे संधारित्र। क्षेत्र (नारंगी) पट्टिकाओं के बीच ही सीमित रहता है, सिवाय किनारों पर के फैलाव के, जिसकी $d$ छोटा होने पर उपेक्षा कर दी जाती है; और प्रति एकांक आयतन ऊर्जा $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ उसी क्षेत्र में रहती है।

टिप्पणी 27.16 (संधारित्रों का संयोजन)

समांतर में (वही $U$ ) आवेश जुड़ जाते हैं: $C = C_1 + C_2$ ; और श्रेणी में (वही $Q$ ) वोल्टताएँ जुड़ जाती हैं: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — यानी प्रतिरोधों से उलटा, क्योंकि $C$ एक सुगमता नापता है (प्रति वोल्ट आवेश) जहाँ $R$ एक कठिनाई नापता है। ये नियम $Q = CU$ और अध्याय 6 के परिपथ-नियमों से निकलते हैं।

27.5 अभ्यास

अभ्यास 27.1 ★

$1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ के किसी आवेश से $1.0\,\mathrm{m}$ पर विभव; उस बिंदु तक अनंत से दूसरा $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ लाने के लिए आवश्यक ऊर्जा; और छोड़ देने पर वह किस चाल से उड़ जाएगा, यदि उसका द्रव्यमान $1\,\mathrm{g}$ हो।

हल

हल — अभ्यास 27.1.

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$ ; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$ ; और छोड़ने पर, $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$ : $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 27.2 ★

$100\,\mathrm{V}$ के नीचे $1.0\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर पट्टिकाएँ: क्षेत्र; विराम से दरार पार करते किसी इलेक्ट्रॉन की पाई गई गतिज ऊर्जा और चाल; और उड़ान का समय।

हल

हल — अभ्यास 27.2.

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , अतः $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और एकसमान त्वरित होने से, $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 27.3 ★

हर $10\,\mathrm{V}$ पर खींचे गए समविभवों के किसी नक़्शे में, रेखाएँ $A$ के पास $2\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर हैं और $B$ के पास $8\,\mathrm{mm}$ की। $A$ पर और $B$ पर क्षेत्र; बढ़ते विभवों के सापेक्ष क्षेत्र किस ओर संकेत करता है; और कोई इलेक्ट्रॉन किस ओर त्वरित होता है?

हल

हल — अभ्यास 27.3.

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ । क्षेत्र घटते विभव की ओर संकेत करता है; और कोई इलेक्ट्रॉन ( $q < 0$ ) उलटी ओर, यानी बढ़ते $V$ की ओर त्वरित होता है।

अभ्यास 27.4 ★

$15\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या का कोई वान डे ग्राफ़ गोला $200\,\mathrm{kV}$ तक आवेशित है। धारिता, आवेश, और उसके पृष्ठ पर क्षेत्र। उसके चारों ओर की हवा के भंजन ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) से पहले अधिकतम विभव।

हल

हल — अभ्यास 27.4.

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CV = 3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ । और भंजन $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ पर — इसीलिए बड़ी मशीनें बड़े गोले काम में लेती हैं।

अभ्यास 27.5 ★★

$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश के किसी वलय की अक्ष पर विभव; और अवकलन से अक्षीय क्षेत्र फिर से पाइए। एकसमान आवेशित चकती के लिए भी वही (अभ्यास 26.5 लीजिए): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ ।

हल

हल — अभ्यास 27.5.

वलय का हर अवयव $\sqrt{R^2 + z^2}$ दूरी पर है: $V = Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$ ; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}$ । चकती: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ , $\sqrt{a^2 + z^2}$ पर: $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ , और $-\dd V/\dd z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ ।

अभ्यास 27.6 ★★

एकसमान आवेशित किसी गोले के क्षेत्र से उसके भीतर का विभव व्युत्पन्न कीजिए। सोने के किसी नाभिक ( $Z = 79$ , $R = 7.0\,\mathrm{fm}$ ) के केंद्र पर विभव; और दूर से केंद्र तक पहुँचने के लिए किसी प्रोटॉन को कितनी ऊर्जा चाहिए, $\mathrm{MeV}$ में; रदरफ़ोर्ड के $5\,\mathrm{MeV}$ अल्फ़ा कणों पर टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 27.6.

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ । सोना: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$ : यानी किसी प्रोटॉन को $24\,\mathrm{MeV}$ चाहिए, और किसी अल्फ़ा ( $2e$ ) को केंद्र तक पहुँचने के लिए $48\,\mathrm{MeV}$ तथा पृष्ठ छूने के लिए $32\,\mathrm{MeV}$ । रदरफ़ोर्ड के $5\,\mathrm{MeV}$ अल्फ़ा उस $r$ पर लौट जाते हैं जहाँ $2eV = 5\,\mathrm{MeV}$ : $V = 2.5\,\mathrm{MV}$ , $r = 45\,\mathrm{fm}$ — यानी नाभिक से कहीं बाहर, और इसीलिए उनका बिंदु-आवेश वाला विश्लेषण चल गया।

अभ्यास 27.7 ★★

पानी का अणु, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ । वह अपनी अक्ष के अनुदिश और उस पर लंब, $1.0\,\mathrm{nm}$ पर जो क्षेत्र बनाता है; $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ में पंक्तिबद्ध तथा विपरीत-पंक्तिबद्ध स्थितियों के बीच बलाघूर्ण और ऊर्जा-अंतर; $300\,\mathrm{K}$ पर $k_BT$ से तुलना कीजिए। $0.3\,\mathrm{nm}$ पर किसी सोडियम आयन का क्षेत्र, और उसमें पंक्तिबद्ध पानी के द्विध्रुव की ऊर्जा (जलयोजन)।

हल

हल — अभ्यास 27.7.

अक्ष: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; और लंब दिशा में, आधा: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ । बलाघूर्ण $pE = 6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; ऊर्जा-अंतर $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ , जबकि $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : यानी $330$ गुना छोटा — अतः केवल $0.1\%$ परिणामी पंक्तिबद्धता। $0.3\,\mathrm{nm}$ पर सोडियम आयन: $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $-pE = -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$ , यानी $24\,k_BT$ : पानी के अणु आयन पर जकड़ जाते हैं — यही जलयोजन है।

अभ्यास 27.8 ★★

हवा में $1.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या का कोई चालक गोला: भंजन से पहले अधिकतम आवेश और विभव। दो चालक गोले, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ और $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$ , जो किसी पतले तार से जुड़े हों और $20\,\mathrm{kV}$ तक उठाए गए हों: हर एक पर पृष्ठ का क्षेत्र; कौन-सा हवा में विसर्जित होगा?

हल

हल — अभ्यास 27.8.

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$ , $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$ । जुड़े हुए गोले: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : अतः छोटा गोला हवा को आयनित कर देता है और आवेश रिस जाता है — यही नोक-प्रभाव है।

अभ्यास 27.9 ★★

धारिताएँ: $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ की दूरी पर $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ की दो पन्नियाँ, बीच में $\varepsilon_r = 2.2$ की कोई बहुलक झिल्ली (यानी कोई झिल्ली-संधारित्र); और वही पन्नियाँ लपेटकर — क्या लपेटने से $C$ बदलता है? $400\,\mathrm{V}$ पर ऊर्जा। और $2.0\,\mathrm{kV}$ पर $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ का कोई संधारित्र (डिफ़िब्रिलेटर): आवेश, ऊर्जा, और $5\,\mathrm{ms}$ में दे देने पर माध्य शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 27.9.

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; लपेटने से आकार बदलता है, आमने-सामने का क्षेत्रफल नहीं: अतः वही $C$ (दूसरी झिल्ली भी लगा दें, ताकि हर पन्नी दूसरी के दोनों ओर सामने पड़े, तो वह दुगुना हो जाता है)। $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$ । डिफ़िब्रिलेटर: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$ , $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$ , $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$ ।

अभ्यास 27.10 ★★★

गोलीय और बेलनाकार संधारित्र। (क) संकेंद्री गोलों के लिए $C$ व्युत्पन्न कीजिए और जाँचिए कि $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ के लिए वह समतल सूत्र पर उतर आता है, और $R_2 \to \infty$ के लिए विलगित गोले पर। (ख) समाक्ष तार, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ , पॉलिएथिलीन $\varepsilon_r = 2.3$ : प्रति मीटर धारिता (मानक तारों के $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ से तुलना कीजिए)। (ग) $1\,\mathrm{kV}$ के नीचे भीतरी चालक पर क्षेत्र; सुरक्षित?

हल

हल — अभ्यास 27.10.

(क) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ , $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$ ; और $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ के साथ, $R_1R_2 \approx R^2$ तथा $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$ ; और $R_2 \to \infty$ के साथ, $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$ । (ख) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3 \times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , यानी सही कोटि। (ग) $E(a) = U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : यानी पॉलिएथिलीन के $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ से नीचे, अतः सुरक्षित; हवा में वह सीमा पर होता।

अभ्यास 27.11 ★★★

क्षेत्र में ऊर्जा। (क) किसी आवेशित चालक गोले ( $Q$ , $R$ ) की ऊर्जा $Q^2/2C$ से। (ख) उसे इलेक्ट्रॉन की विराम-ऊर्जा $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ के बराबर रखिए और $R$ के लिए हल कीजिए: यही “चिरसम्मत इलेक्ट्रॉन त्रिज्या” है (किसी गुणक तक)। (ग) $Q$ तक आवेशित किसी विलगित समतल संधारित्र की पट्टिकाएँ $d$ से $2d$ तक खींची जाती हैं: संचित ऊर्जा में परिवर्तन, और उससे निकला पट्टिकाओं के बीच का बल; अभ्यास 26.8 से जाँचिए। (घ) वही, पर संधारित्र किसी बैटरी से नियत $U$ पर रखा हुआ: ऊर्जा में परिवर्तन, और अंतर जाता कहाँ है।

हल

हल — अभ्यास 27.11.

(क) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$ । (ख) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (चिरपरिचित “चिरसम्मत त्रिज्या” $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ में $\tfrac12$ छोड़ दिया जाता है)। (ग) $W = Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ दुगुना हो जाता है: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ , जहाँ $F = Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$ , ठीक वैसा ही जैसा सीधे निकला था। (घ) नियत $U$ पर, $W = \varepsilon_0SU^2/2d$ आधा हो जाता है: $\Delta W = -W/2$ ; और खींचने वाला फिर भी $W/2$ कार्य करता है ( $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ को $d$ से $2d$ तक समाकलित करके); दोनों आधे, यानी कुल $W$ , बैटरी में वापस बह जाते हैं, क्योंकि आवेश $CU/2$ वोल्टता $U$ पर उसी में लौट आता है।

अभ्यास 27.12 ★★★

किसी नाभिक की कूलॉम ऊर्जा। (क) एकसमान आवेशित किसी गोले ( $Q$ , $R$ ) को कोश-दर-कोश बनाइए और दिखाइए कि उसकी स्थिरवैद्युत ऊर्जा $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$ है। (ख) यूरेनियम-238: $Z = 92$ , $R = 7.4\,\mathrm{fm}$ : $W$ $\mathrm{MeV}$ में। (ग) उसे दो बराबर टुकड़ों ( $Z/2$ , $A/2$ , त्रिज्या $R/2^{1/3}$ ) में तोड़कर दूर-दूर कीजिए: निकली कूलॉम ऊर्जा। (घ) विखंडन की मापी गई ऊर्जा लगभग $200\,\mathrm{MeV}$ है: कूलॉम वाले लाभ का विरोध कौन करता है?

हल

हल — अभ्यास 27.12.

(क) $r$ त्रिज्या का गोला $q = Qr^3/R^3$ लिए है, जिसका पृष्ठ-विभव $q/4\pi\varepsilon_0r$ है; और उस पर कोश $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ जोड़ने में $\dd W = q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$ लगता है; समाकलित कीजिए: $W = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$ । (ख) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ : $W = 3 \times 2.17 \times 10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 990\,\mathrm{MeV}$ । (ग) हर टुकड़ा: आवेश $Q/2$ , त्रिज्या $R/2^{1/3}$ , ऊर्जा $\tfrac14 2^{1/3}W$ ; और दोनों मिलकर: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$ : अतः निकली $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$ । (घ) नाभिकीय “पृष्ठ तनाव”: दो टुकड़ों का पृष्ठ किसी एक नाभिक से अधिक होता है, जिसकी क़ीमत लगभग $170\,\mathrm{MeV}$ है; और बचा हुआ, यानी लगभग $200\,\mathrm{MeV}$ , अधिकतर उन दोनों टुकड़ों की गतिज ऊर्जा के रूप में दिखता है जो आपसी प्रतिकर्षण से उड़ जाते हैं।

मिलिकन का तेल-बूँद उपकरण, लगभग 1916 (विज्ञान एवं उद्योग संग्रहालय, शिकागो): पीतल का कक्ष उन दोनों क्षैतिज पट्टिकाओं को थामे है जिनके बीच बूँदें देखी जाती थीं।

27.6 समस्या: मिलिकन की तेल-बूँद

समस्या 27.1

सप्ताहांत समस्या — तेल की एक बूँद से इलेक्ट्रॉन का आवेश तौलना: स्टोक्स, समतल संधारित्र, और आँकड़ों की एक ऐसी सारणी जो किसी एक के गुणजों के सिवा कुछ बनने से इनकार कर देती है

तेल की बूँदें $d = 16\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर रखी दो क्षैतिज पट्टिकाओं के बीच छिड़की जाती हैं, जो $20\,\mathrm{cm}$ व्यास की हैं, और किसी सूक्ष्मदर्शी से देखी जाती हैं। आँकड़े: तेल का घनत्व $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , हवा का घनत्व $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , हवा की श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ । हवा में $r$ त्रिज्या का कोई छोटा गोला, जो $v$ से चल रहा हो, स्टोक्स कर्षण $6\pi\eta rv$ अनुभव करता है।

भाग I — गिरती बूँद।

बिना कोई वोल्टता लगाए गिरती किसी बूँद पर लगने वाले बल; दिखाइए कि वह सीमांत वेग $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ तक पहुँच जाती है (हवा के उत्प्लावन की उपेक्षा कीजिए — और उसे न्यायसंगत ठहराइए)।
कोई बूँद $10\,\mathrm{s}$ में $1.0\,\mathrm{mm}$ गिरती है: उसकी त्रिज्या और द्रव्यमान।
$v_1$ तक पहुँचने का कालांक; और इस बीच तय की गई दूरी। क्या बूँद कभी त्वरित होती दिखती है?
गति की रेनॉल्ड्स संख्या $\rho_{\text{हवा}}v_1r/\eta$ : क्या स्टोक्स का नियम यहाँ जायज़ है?
बूँदों का इतना छोटा होना क्यों ज़रूरी है? (भार की तुलना $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ के किसी क्षेत्र में एक मूल आवेश पर लगने वाले विद्युत बल से कीजिए।)
बूँद अपने माध्य गिरने के आसपास ज़रा-सा काँपती दिखती है: यह क्या है, और इससे यथार्थता क्यों सीमित हो जाती है?

भाग II — क्षेत्र। कोई वोल्टता $U$ लगाई जाती है, जिसमें ऊपरी पट्टिका धनात्मक है।

$U = 5.0\,\mathrm{kV}$ के लिए पट्टिकाओं के बीच क्षेत्र; वह एकसमान क्यों है, और समविभव क्या हैं?
पट्टिकाओं की धारिता, $5.0\,\mathrm{kV}$ पर उन पर आवेश, और संचित ऊर्जा।
प्रश्न 2 वाली बूँद $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ पर स्थिर थमी रहती है: उसके आवेश का चिह्न और मान, कूलॉम में और $e$ के मात्रकों में।
$U = 5.0\,\mathrm{kV}$ के साथ वही बूँद $v_2$ से ऊपर उठती है: दिखाइए कि $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ है और $v_2$ निकालिए।
संतुलन-वोल्टता ढूँढ़ते रहने से चढ़ाई और गिरावट का समय लेना बेहतर क्यों है?
$5\,\mathrm{kV}$ पर पट्टिकाओं के बीच बूँद के आवेश की स्थितिज ऊर्जा, और $1\,\mathrm{cm}$ की किसी चढ़ाई के दौरान कर्षण से क्षय हुई ऊर्जा।

भाग III — आवेशों की सारणी। मापों के बीच-बीच में X-किरणों के किसी कमज़ोर स्रोत के सामने रखी जाने पर वही बूँद अपना आवेश बदल लेती है; और क्रमिक मापों से मिलते हैं (यहाँ $10^{-19}$ कूलॉम में): $4.80$ , $8.01$ , $6.42$ , $3.19$ , $9.63$ ।

दिखाइए कि पाँचों किसी एक राशि के पूर्णांक गुणजों के पास हैं, और वे पूर्णांक दीजिए।
इन पाँचों मानों से मूल आवेश का सर्वोत्तम आकलन; और माध्य की मानक अनिश्चितता (अध्याय 1)।
मापों के बीच आवेश $e$ की पूरी-पूरी संख्याओं से ही क्यों बदलता है?
दिखाइए कि इस विधि में $q \propto \eta^{3/2}$ है: तो श्यानता पर $1\%$ की त्रुटि $e$ को कितना खिसका देती है? (मिलिकन का मूल मान इसी कारण $0.6\%$ कम था।)
क्वार्क $\pm e/3$ और $\pm 2e/3$ लिए रहते हैं: फिर किसी तेल-बूँद ने $e$ का तिहाई भाग कभी क्यों नहीं दिखाया?
फ़ैराडे नियतांक, यानी इलेक्ट्रॉनों के एक मोल का आवेश, $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ है: इससे आवोगाद्रो संख्या निकालिए।
टॉमसन ने इलेक्ट्रॉन के लिए $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ मापा था: इससे उसका द्रव्यमान निकालिए, और किसी हाइड्रोजन परमाणु ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) से तुलना कीजिए।

भाग IV — विभव की दृष्टि से उपकरण।

पट्टिकाओं के बीच समविभव और क्षेत्र-रेखाएँ खींचिए, किनारों के पास के फैलाव सहित; और उसकी उपेक्षा न्यायसंगत ठहराइए।
निचली पट्टिका (जो $0\,\mathrm{V}$ पर है) से $z$ ऊँचाई पर कोई धनात्मक आवेशित बूँद: $z$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा; गुरुत्व सहित कुल स्थितिज ऊर्जा; और स्थिर बिंदु के लिए $U$ पर शर्त।
बूँद के आवेश की ऊर्जा (प्रश्न 12) की तुलना संधारित्र में संचित ऊर्जा से कीजिए: क्या बूँद क्षेत्र को बिगाड़ती है?
वोल्टता उलट दी जाती है (निचली पट्टिका धनात्मक), जहाँ $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : तो प्रश्न 9 वाली बूँद क्या करती है, और किस चाल से?
उसी क्षेत्र में $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ का कोई धूल-कण, जो $10^4e$ लिए हो: विद्युत बल और भार का अनुपात; ऐसे कण तैराए क्यों नहीं जा सकते और मिलिकन ने तेल की फुहार क्यों चुनी।
सार दीजिए: क्या-क्या मापा गया (तीन बार), क्या निकाला गया, किस अनिश्चितता के साथ, और उससे कौन-से दो नियतांक निकल आए।

हल

हल — समस्या 27.1.

1. भार $\tfrac43\pi r^3\rho g$ नीचे, कर्षण $6\pi\eta rv$ ऊपर, और उत्प्लावन $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{हवा}}g$ ऊपर — जो भार का $1.2/900 = 0.13\%$ है, यानी नगण्य। सीमांत: $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$ , $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ ।

2. $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , यानी एक माइक्रोमीटर; और $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ ।

3. $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ ; दूरी $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$ । कभी नहीं।

4. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-6} \ll 1$ : अतः स्टोक्स लागू है।

5. $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ , जबकि $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ : यानी दोनों केवल माइक्रोमीटर की बूँदों के लिए ही तुलनीय हैं। $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ की कोई बूँद हज़ार गुना भारी होती है; उस पर एक मूल आवेश उसकी चाल $0.1\%$ बदलता, जो दिखता ही नहीं।

6. ब्राउनी गति: हवा के अणुओं की बौछार बूँद को यादृच्छिक ढंग से धकेलती रहती है; अतः समय-माप बिखर जाते हैं, यथार्थता सीमित हो जाती है और काम की बूँद के आकार पर एक निचली सीमा बँध जाती है।

7. $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; पट्टिकाएँ $d$ से कहीं चौड़ी हैं, अतः दो तलों का अध्यारोपण एकसमान क्षेत्र देता है; और समविभव क्षैतिज तल हैं, $V = Uz/d$ ।

8. $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$ ; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$ ।

9. ऊपरी पट्टिका धनात्मक: अतः $\vect E$ नीचे की ओर है; और बल को ऊपर की ओर होना चाहिए, इसलिए $q < 0$ । $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/ 1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$ : यानी $q = -3e$ ।

10. अचर चाल से ऊपर उठते हुए: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ और $mg = 6\pi\eta rv_1$ , अतः $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ तथा $|q| = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ । $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/ 3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : यानी $2.8\,\mathrm{s}$ में $1\,\mathrm{mm}$ ।

11. संतुलन किसी बहकती, काँपती नन्ही चीज़ पर शून्य का निर्णय है, जिसका आवेश बीच में बदल भी सकता है; जबकि किसी नियत दूरी पर लिए गए समय-माप जितनी बार चाहें दुहराए जा सकते हैं, $r$ एक ही बार $v_1$ से तय हो जाता है, और तब एक ही बूँद आवेशों की पूरी शृंखला दे देती है।

12. दरार के पार $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ( $15\,\mathrm{keV}$ ); और $1\,\mathrm{cm}$ पर कर्षण: $(|q|E - mg) \times 0.01 = 1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ , जो हवा में ऊष्मा बन जाती है।

13. $1.60$ से भाग दीजिए: $3.00$ , $5.01$ , $4.01$ , $1.99$ , $6.02$ — यानी पूर्णांक $3, 5, 4, 2, 6$ ।

14. $q/n$ : $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$ ; माध्य $1.601$ , मानक विचलन $0.004$ , और माध्य की अनिश्चितता $0.004/\sqrt5 = 0.002$ : अतः $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ कूलॉम।

15. X-किरणें हवा को आयनित कर देती हैं; और बूँद एक-एक करके आयन उठा लेती है, जिनमें से हर एक $e$ की पूरी-पूरी संख्या लिए रहता है।

16. $r \propto \eta^{1/2}$ , जो $v_1$ से आता है, $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$ , और $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$ : अतः $\eta$ की $1\%$ त्रुटि $e$ पर $1.5\%$ बन जाती है। मिलिकन का $\eta$ $0.4\%$ कम था, इसीलिए उसका $e$ $0.6\%$ कम निकला।

17. क्वार्क कभी अकेले नहीं आते: वे हैड्रॉनों के भीतर बंदी रहते हैं, और हर स्वतंत्र वस्तु पूर्णांक आवेश लिए रहती है।

18. $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ।

19. $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ : यानी हाइड्रोजन परमाणु से $1840$ गुना हलका।

20. पट्टिकाओं के बीच क्षैतिज तल, जो किनारों के पास उभर जाते हैं; और ऊर्ध्वाधर क्षेत्र-रेखाएँ, जो किनारों पर लगभग $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ की चौड़ाई भर बाहर की ओर फैल जाती हैं — जो $20\,\mathrm{cm}$ के व्यास के सामने छोटी है, और बूँद बीच में ही देखी जाती है।

21. $E_p = qUz/d + mgz$ , जो $z$ में रैखिक है: अतः कोई निम्निष्ठ नहीं; और किसी स्थिर बूँद के लिए ढाल का लुप्त होना ज़रूरी है, $q = -mgd/U$ , और तब साम्य उदासीन रहता है — कोई भी बची हुई बहक बनी रहती है, और इसीलिए संतुलन को आँकना कठिन है।

22. $2.4 \times 10^{-15}$ , जबकि $2.2 \times 10^{-4}$ जूल: यानी $10^{-11}$ । बूँद क्षेत्र को नहीं बिगाड़ती।

23. क्षेत्र ऊपर, और ऋणात्मक बूँद पर बल नीचे: अतः वह $(mg + |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} = 5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से गिरती है।

24. $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ , जबकि $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : यानी भार का $5\%$ — अतः न वह उठाया जा सकता है, और $10^4$ आवेशों के साथ एक $e$ का बदलना दिखता ही नहीं। तेल की फुहार ऐसी बूँदें देती है जो छोटी, न उड़ने वाली और गोलाकार होती हैं।

25. मापा गया: $v_1$ , $v_2$ और $U$ (जबकि $d$ , $\eta$ , $\rho$ ज्ञात); इनसे $r$ , $m$ , और फिर $q$ निकाला गया, जो हमेशा $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ कूलॉम ( $0.1\%$ ) का पूर्णांक गुणज निकला; और उसी से $N_A = F/e$ तथा $m_e = e/(e/m_e)$ ।

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