विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

22ऊष्मागतिकी का पहला नियम

साइकिल का टायर फुलाइए और पंप की नली इतनी गरम हो जाती है कि हाथ में पकड़ी न जाए। डीज़ल इंजन में कोई स्फुलिंग-प्लग नहीं होता: वह अपनी हवा को बीस गुना छोटा दबा देता है, और हवा इतनी गरम हो जाती है कि ईंधन अपने आप जल उठे। संपीडित गैस का कोई सिलेंडर खाली होते-होते अपने ऊपर पाला जमा लेता है। हर बार ऊर्जा रूप बदलती है — कार्य ऊष्मा बनता है, ऊष्मा कार्य, और दोनों आंतरिक ऊर्जा — और ऊष्मागतिकी का पहला नियम वही बहीखाता है जो हिसाब बराबर रखता है। यह अध्याय किसी ऊष्मागतिक निकाय के लिए कार्य और ऊष्मा को परिभाषित करता है, पहला नियम बताता है, आंतरिक ऊर्जा तथा एन्थैल्पी को उन राशियों के रूप में लाता है जिन्हें वह संरक्षित रखता है, और उसे आदर्श गैस के रूपांतरणों तथा ऊष्मामिति पर लगाता है।

साइकिल का पंप: फँसी हुई हवा पर हाथ का कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा बढ़ा देता है, और नली गरम हो जाती है — यानी हथेली में पहला नियम।

22.1 रूपांतरण, कार्य और ऊष्मा

परिभाषा 22.1 (निकाय, रूपांतरण)

ऊष्मागतिक निकाय किसी चुनी हुई सीमा के भीतर का पदार्थ है; और बाकी सब परिवेश। कोई रूपांतरण उसे एक साम्य अवस्था से दूसरी तक ले जाता है। वह अर्ध-स्थैतिक है यदि निकाय साम्य अवस्थाओं की एक शृंखला से होकर गुज़रे (यानी इतना धीमा कि $P$ , $T$ हर जगह परिभाषित रहें), और उत्क्रमणीय यदि, इसके अलावा, बाहरी परिस्थितियाँ उलट देने से पथ भी उलट जाए (कोई घर्षण नहीं, परिवेश से ताप या दाब का कोई परिमित अंतर नहीं)। नाम इस पर पड़ते हैं कि क्या अचर रहता है: समतापी ( $T$ ), समदाबी ( $P$ ), समआयतनिक ( $V$ ); और रुद्धोष्म यदि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान न हो; एकदाबी (एकतापी) यदि बाहरी दाब (ताप) अचर हो, भीतर चाहे कुछ भी होता रहे।

प्रतिज्ञप्ति 22.2 (दाब-बलों का कार्य)

जिस निकाय का आयतन $\dd V$ से बदले, किसी बाहरी दाब $P_{\mathrm{ext}}$ के विरुद्ध, उसे यह कार्य मिलता है

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

अर्ध-स्थैतिक रूपांतरण के लिए $P_{\mathrm{ext}} = P$ होता है (यानी निकाय का अपना दाब) और $W = -\int P\,\dd V$ क्लैपेरॉन आरेख में पथ के नीचे का क्षेत्रफल है, ऋण चिह्न के साथ: संपीडन में धनात्मक, प्रसार में ऋणात्मक।

उपपत्ति. $S$ क्षेत्रफल का कोई पिस्टन, जिसे परिवेश बल $P_{\mathrm{ext}}S$ से धकेलता है, बाहर की ओर $\dd x$ खिसक जाता है: परिवेश निकाय पर $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ कार्य करता है। कोई भी सीमा ऐसे ही पिस्टनों का समूह है। अर्ध-स्थैतिक में: पिस्टन साम्य में है, अतः लुप्त होते अंतर तक $P_{\mathrm{ext}} = P$ । ∎

परिभाषा 22.3 (ऊष्मा)

ऊष्मा $Q$ वह ऊर्जा है जो निकाय को स्थूल कार्य के अलावा किसी और ढंग से मिले — किसी दीवार पर आणविक टक्करों से (चालन), किसी तरल के परिसंचरण से (संवहन), या विकिरण से। ऊष्मा-भंडार इतना बड़ा पिंड है कि वह जितनी भी ऊष्मा का आदान-प्रदान करे, उसका ताप नहीं बदलता। पूरे खंड में चिह्न-संकेत यही है: $W$ और $Q$ निकाय को मिले हुए हैं, और भीतर आने पर धनात्मक।

22.2 पहला नियम

प्रमेय 22.4 (ऊष्मागतिकी का पहला नियम)

किसी संवृत निकाय के पास एक अवस्था फलन होता है, उसकी आंतरिक ऊर्जा $U$ (विस्तीर्ण), जिससे किसी भी रूपांतरण के लिए

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

जहाँ $E_k$ स्थूल गतिज ऊर्जा है (विराम में पड़े निकाय के लिए शून्य): यानी कार्य और ऊष्मा के रूप में मिली ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा के रूप में संचित हो जाती है। $W$ और $Q$ में से हर एक पथ पर निर्भर करता है; उनका योग नहीं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 22.5 (यह कहता क्या है)

यह ऊर्जा-संरक्षण ही है, जिसमें ऊष्मा को ऊर्जा के एक हस्तांतरण के रूप में पहचान लिया गया है (जूल का चक्री-प्रयोग: कोई मापा गया कार्य पानी का ताप हमेशा उतना ही बढ़ाता है जितनी कोई मापी गई ऊष्मा)। “ $U$ एक अवस्था फलन है” का अर्थ है कि $\Delta U$ आरंभिक और अंतिम अवस्थाओं से तय हो जाता है — अतः किसी चक्र में $\Delta U = 0$ और $W + Q = 0$ : यानी जो इंजन कार्य देता है उसे ऊष्मा लेनी ही पड़ती है। $U$ की सूक्ष्म अंतर्वस्तु वही है जो परिभाषा 20.10 में है।

परिभाषा 22.6 (एन्थैल्पी; ऊष्मा धारिताएँ)

एन्थैल्पी $H = U + PV$ एक अवस्था फलन है, जो अचर दाब पर होते रूपांतरणों के लिए उपयुक्त है। स्थिर आयतन और स्थिर दाब पर ऊष्मा धारिताएँ ये हैं

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

जो $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ में हैं; प्रति मोल $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ ; और प्रति किलोग्राम विशिष्ट ऊष्माएँ $c_V$ , $c_P$ ।

प्रतिज्ञप्ति 22.7 (स्थिर आयतन पर और स्थिर दाब पर ऊष्मा)

विराम में पड़े ऐसे निकाय के लिए जो कार्य का आदान-प्रदान केवल दाब-बलों से करे:

समआयतनिक रूपांतरण: $W = 0$ और $Q_V = \Delta U$ ;
बाहरी दाब $P_0$ पर की दो अवस्थाओं के बीच एकदाबी रूपांतरण: $Q_P = \Delta H$ ।

उपपत्ति. समआयतनिक: $\dd V = 0$ । एकदाबी: $W = -P_0(V_2 - V_1)$ , अतः $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ , क्योंकि $P_1 = P_2 = P_0$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 22.8 (आदर्श गैस: $U$ , $H$ , मेयर का संबंध)

आदर्श गैस के लिए $U$ और $H$ केवल $T$ पर निर्भर करते हैं (जूल के नियम): $\dd U = C_V\,\dd T$ , $\dd H = C_P\,\dd T$ , और

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

एकपरमाणुक गैसों के लिए $\gamma = 5/3$ , और साधारण तापों पर द्विपरमाणुक गैसों के लिए $7/5$ । प्रतिज्ञप्ति 20.13 के प्रतिरूप में किसी संघनित प्रावस्था के लिए, $C_P \approx C_V = C$ और $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ ।

उपपत्ति. $H = U + nRT$ ; इसे $T$ के सापेक्ष अवकलित कीजिए। प्रतिज्ञप्ति 20.11 से $C_{V,m} = \tfrac32 R$ या $\tfrac52 R$ । ∎

22.3 आदर्श गैस के रूपांतरण

प्रतिज्ञप्ति 22.9 (चार मानक रूपांतरण)

आदर्श गैस के $n$ मोलों के लिए:

समआयतनिक: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ;
समदाबी (अर्ध-स्थैतिक): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ;
समतापी उत्क्रमणीय: $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ;
रुद्धोष्म उत्क्रमणीय: $Q = 0$ , $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , और पथ के अनुदिश (लाप्लास का नियम)

$PV^\gamma = \text{अचर}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{अचर}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{अचर} .$

उपपत्ति. समआयतनिक और समदाबी: पिछली प्रतिज्ञप्तियाँ। समतापी: $W = -\int nRT\,\dd V/V$ । रुद्धोष्म: $\dd U = \delta W$ , अर्थात् $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ , अतः $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ ( $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ का उपयोग करके); समाकलित कीजिए: $TV^{\gamma - 1}$ अचर; और बाकी रूप $PV = nRT$ से। ∎

बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में किसी अर्ध-स्थैतिक संपीडन में मिला कार्य पथ के नीचे का क्षेत्रफल है; और एक ही बिंदु से चलने पर रुद्धोष्म वक्र समतापी वक्र से अधिक खड़ा होता है (> 1): बिना ऊष्मा खोए संपीडित गैस गरम हो जाती है और किसी ऊँचे समतापी वक्र पर चढ़ जाती है। दाएँ: किसी पिस्टन पर परिवेश का कार्य। — बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में किसी अर्ध-स्थैतिक संपीडन में मिला कार्य पथ के नीचे का क्षेत्रफल है; और एक ही बिंदु से चलने पर रुद्धोष्म वक्र समतापी वक्र से अधिक खड़ा होता है ( $\gamma > 1$ ): बिना ऊष्मा खोए संपीडित गैस गरम हो जाती है और किसी ऊँचे समतापी वक्र पर चढ़ जाती है। दाएँ: किसी पिस्टन पर परिवेश का कार्य।

उदाहरण 22.10 (पंप और डीज़ल)

हवा ( $\gamma = 1.4$ ) को $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ से $7\,\mathrm{bar}$ तक रुद्धोष्म रूप से संपीडित करने पर (यानी साइकिल का पंप): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — यानी क्षण भर के लिए $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ , जिसे नली महसूस करती है। किसी डीज़ल का संपीडन अनुपात $20$ : $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ , $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — यानी ईंधन के स्वतः प्रज्वलन ताप से ऊपर: इंजन को कोई स्फुलिंग चाहिए ही नहीं (सप्ताहांत समस्या पूरा चक्र चलाती है)।

टिप्पणी 22.11 (अनुत्क्रमणीय रूपांतरण)

जब रूपांतरण अर्ध-स्थैतिक न हो, तब लाप्लास का नियम और $W = -\int P\,\dd V$ लागू नहीं होते; केवल $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ और पहला नियम लागू रहते हैं। दो चिरपरिचित स्थितियाँ: निर्वात में फैलती कोई गैस (जूल प्रसार) न कोई कार्य पाती है और, रुद्धोष्म दीवारों में, न कोई ऊष्मा — यानी $\Delta U = 0$ , और आदर्श गैस अपना ताप बनाए रखती है; और वह गैस, जिसे बाहरी दाब को अचानक $P_2$ पर उछालकर संपीडित किया जाए, $W = -P_2\Delta V$ पाती है, यानी उसी दाब तक के उत्क्रमणीय कार्य से अधिक, और अंत में अधिक गरम रहती है (अभ्यास 22.11)।

22.4 ऊष्मामिति

विधि 22.12 (ऊष्मामितीय संतुलन)

किसी रोधी पात्र के भीतर अचर (वायुमंडलीय) दाब पर ऊष्मीय संस्पर्श में रखे पिंड ऊष्मा का आदान-प्रदान केवल आपस में करते हैं: कुल $\Delta H = \sum Q_P = 0$ । हर पिंड के लिए $\Delta H = mc\,\Delta T$ (यदि प्रावस्था न बदले) या उसके संक्रमण ताप पर अवस्था-परिवर्तन के लिए $\pm mL$ , जहाँ $L$ गुप्त ऊष्मा है (प्रति एकांक द्रव्यमान गलन या वाष्पन की एन्थैल्पी: पानी के लिए $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , और $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ )। संतुलन लिखिए, अंतिम ताप के लिए हल कीजिए, और जाँचिए कि हर पिंड की मानी गई प्रावस्था उसके साथ मेल खाती है।

उदाहरण 22.13 (पानी में बर्फ़)

$0{}^{\circ}\mathrm{C}$ की $50\,\mathrm{g}$ बर्फ़ $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ के $200\,\mathrm{g}$ पानी में: गलने के लिए $16.7\,\mathrm{kJ}$ चाहिए; और पानी $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ठंडा होकर $25.1\,\mathrm{kJ}$ दे सकता है, अतः सारी बर्फ़ गल जाती है और संतुलन $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ से $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ मिलता है। यदि बर्फ़ $100\,\mathrm{g}$ होती, तो $33.4\,\mathrm{kJ}$ चाहिए होते: केवल कुछ ही गलती और $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ रहता — यानी वह जाँच मायने रखती है।

एक किलोग्राम पानी को -20 C की बर्फ़ से भाप तक गरम करना: हर अवस्था-परिवर्तन के दौरान ताप ठहर जाता है, जब तक गुप्त ऊष्मा दी जाती रहती है — गलने के लिए 334\, kJ, उबलने के लिए 2260\, kJ, जो उन 418\, kJ से कहीं अधिक हैं जो द्रव को 0\, से 100 C तक ले जाते हैं। — एक किलोग्राम पानी को $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ की बर्फ़ से भाप तक गरम करना: हर अवस्था-परिवर्तन के दौरान ताप ठहर जाता है, जब तक गुप्त ऊष्मा दी जाती रहती है — गलने के लिए $334\,\mathrm{kJ}$ , उबलने के लिए $2260\,\mathrm{kJ}$ , जो उन $418\,\mathrm{kJ}$ से कहीं अधिक हैं जो द्रव को $0\,$ से $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ले जाते हैं।

22.5 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

हवा का एक मोल ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) स्थिर दाब पर $300\,\mathrm{K}$ से $400\,\mathrm{K}$ तक गरम किया जाता है। मिली ऊष्मा, मिला कार्य, और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन।

हल

हल — अभ्यास 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ ।

अभ्यास 22.2 ★

$300\,\mathrm{K}$ पर गैस का एक मोल समतापी और उत्क्रमणीय रूप से $2.0\,\mathrm{L}$ से $0.50\,\mathrm{L}$ तक संपीडित किया जाता है। मिला कार्य, आदान-प्रदान की गई ऊष्मा, और $\Delta U$ ।

हल

हल — अभ्यास 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 0$ , अतः $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (जो ऊष्मा-भंडार को दी गई)।

अभ्यास 22.3 ★

$300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ पर की हवा रुद्धोष्म और उत्क्रमणीय रूप से अपने आयतन के दसवें भाग तक संपीडित की जाती है। अंतिम ताप और दाब।

हल

हल — अभ्यास 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ ।

अभ्यास 22.4 ★

आर्गन के लिए और नाइट्रोजन के लिए $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ तथा $\gamma$ दीजिए। द्रव जल ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) के लिए $c_P$ और $c_V$ का भेद क्यों छोड़ दिया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 22.4.

आर्गन: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ , $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ जूल प्रति मोल-केल्विन, $\gamma = 1.67$ ; नाइट्रोजन: $20.8$ , $29.1$ , $\gamma = 1.40$ । पानी के लिए गरम होने पर प्रसार बहुत छोटा है, अतः स्थिर दाब पर कार्य $P\,\dd V$ ऊष्मा के सामने नगण्य रहता है: $c_P - c_V \approx 0$ ।

अभ्यास 22.5 ★★

$80{}^{\circ}\mathrm{C}$ का $200\,\mathrm{g}$ पानी किसी रोधी प्याले में $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ के $300\,\mathrm{g}$ पानी से मिलाया जाता है। अंतिम ताप; और यदि प्याले की अपनी ऊष्मा धारिता $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ हो और वह $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ से शुरू हो, तो क्या बदलेगा?

हल

हल — अभ्यास 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ । प्याले के साथ: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ ।

अभ्यास 22.6 ★★

$-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ की $50\,\mathrm{g}$ बर्फ़ ( $c_{\text{बर्फ़}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ के $200\,\mathrm{g}$ पानी में डाली जाती है। अंतिम अवस्था और ताप। वही प्रश्न $150\,\mathrm{g}$ बर्फ़ के साथ।

हल

हल — अभ्यास 22.6.

बर्फ़: $0$ तक गरम करना: $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ; गलाना: $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; कुल $17.8\,\mathrm{kJ}$ । पानी $0$ तक ठंडा होकर $25.1\,\mathrm{kJ}$ दे सकता है: अतः सारी बर्फ़ गल जाती है; फिर $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ: $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ । $150\,\mathrm{g}$ के साथ: $53.3\,\mathrm{kJ}$ चाहिए, $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : अतः केवल $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ बर्फ़ गलती है, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , और $84\,\mathrm{g}$ बर्फ़ बची रह जाती है।

अभ्यास 22.7 ★★

क्लैपेरॉन आरेख में कोई गैस इस आयताकार चक्र पर चलती है: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ , जहाँ $V_2 > V_1$ , $P_2 > P_1$ । पूरे चक्र में मिला कार्य, क्षेत्रफल के फलन के रूप में; उसका चिह्न, और उस चिह्न का अर्थ।

हल

हल — अभ्यास 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : चक्र घड़ी की उलटी दिशा में तय होता है (कम दाब पर प्रसार, ऊँचे दाब पर संपीडन), अतः गैस को परिणामी कार्य मिलता है, जो घिरे हुए क्षेत्रफल के बराबर है; घड़ी की दिशा में वह उसे देती — यानी एक इंजन।

अभ्यास 22.8 ★★

साइकिल का कोई पंप हवा को $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ से $7\,\mathrm{bar}$ तक इतनी तेज़ी से संपीडित करता है कि वह रुद्धोष्म रहे। पहुँचा हुआ ताप; पंप गरम क्यों होता है; और पंप करना बंद होने के बाद टायर का दाब थोड़ा क्यों गिर जाता है।

हल

हल — अभ्यास 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ । गरम संपीडित हवा हर झटके पर चालन से नली को गरम कर देती है। टायर में हवा स्थिर आयतन पर परिवेश के ताप तक ठंडी होती है: $P \propto T$ , अतः दाब तापों के अनुपात में गिर जाता है — उसे फिर भर लीजिए।

अभ्यास 22.9 ★★

कोई आदर्श गैस किसी निर्वातित, रोधी पात्र में फैलती है (जूल प्रसार)। कार्य, ऊष्मा, $\Delta U$ , $\Delta T$ । क्या यह रूपांतरण उत्क्रमणीय है? कोई वास्तविक गैस क्या करती?

हल

हल — अभ्यास 22.9.

$W = 0$ (धकेलने के लिए कोई बाहरी दाब ही नहीं), $Q = 0$ : अतः $\Delta U = 0$ , और आदर्श गैस के लिए $\Delta T = 0$ । अनुत्क्रमणीय: गैस अपने आप कभी वापस नहीं बहती। कोई वास्तविक गैस, जिसके अणु आपस में आकर्षित होते हैं, थोड़ी ठंडी हो जाती है (अलग होते समय गतिज ऊर्जा का कुछ भाग स्थितिज ऊर्जा बन जाता है)।

अभ्यास 22.10 ★★★

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $1\,\mathrm{atm}$ पर $1.0\,\mathrm{kg}$ पानी उबालना (भाप का आयतन $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ )। दी गई ऊष्मा, वायुमंडल के साथ आदान-प्रदान किया गया कार्य, $\Delta U$ । गुप्त ऊष्मा का अधिकांश भाग जाता कहाँ है?

हल

हल — अभ्यास 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : यानी ऊष्मा का $93\%$ अणुओं को अलग करने में जाता है (आंतरिक ऊर्जा), और $7\%$ वायुमंडल को पीछे धकेलने में।

अभ्यास 22.11 ★★★

किसी रोधी बेलन में $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ पर द्विपरमाणुक गैस का एक मोल बाहरी दाब को अचानक $5\,\mathrm{bar}$ पर रखकर और साम्य की प्रतीक्षा करके संपीडित किया जाता है। अंतिम ताप और आयतन ( $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ के साथ पहला नियम); $5\,\mathrm{bar}$ तक के उत्क्रमणीय रुद्धोष्म संपीडन से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ , $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , $V_2 = nRT_2/P_2$ , $V_1 = nRT_1/P_1$ : $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ , $3.5T_2 = 2250$ , $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ । उत्क्रमणीय: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ । अचानक किया गया संपीडन गैस पर अधिक कार्य करता है (पूरी $5\,\mathrm{bar}$ शुरू से ही लगती है) और अंत में गैस अधिक गरम तथा कम संपीडित रहती है।

अभ्यास 22.12 ★★★

ध्वनि एक तेज़ संपीडन है, अतः रुद्धोष्म: उसकी चाल $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ होती है (समतापी मान $\sqrt{P/\rho}$ न्यूटन की भूल थी)। $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ की हवा के लिए दोनों निकालिए और मापी गई $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से तुलना कीजिए। दिखाइए कि $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ है और अध्याय 20 की वर्ग-माध्य-मूल चाल से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी $15\%$ कम। $P/\rho = RT/M$ के साथ: $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ; और $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के सामने: $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ ।

22.6 समस्या: साइकिल के पंप से डीज़ल इंजन तक

समस्या 22.1

सप्ताहांत समस्या — एक हाथ-पंप जो उँगलियाँ जला दे, एक बेलन जो अपना ईंधन खुद जला ले, और इस्पात की एक गोली जो हवा के गद्दे पर उछलती रहे: तीन संपीडनों में पहला नियम

हवा: आदर्श द्विपरमाणुक गैस, $\gamma = 1.40$ , $C_{V,m} = \tfrac52 R$ , $C_{P,m} = \tfrac72 R$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ । हर जगह आरंभिक अवस्था: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ ।

भाग I — साइकिल का पंप। पंप के बेलन का आयतन $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ है; उसमें की हवा उत्क्रमणीय और रुद्धोष्म रूप से तब तक संपीडित की जाती है जब तक वह टायर के दाब, $7.0\,\mathrm{bar}$ , तक न पहुँच जाए।

बेलन में हवा की मात्रा।
संपीडन के अंत में आयतन।
संपीडन के अंत में ताप।
एक झटके के दौरान हवा को मिला कार्य।
टायर ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) को $300\,\mathrm{K}$ पर $1\,\mathrm{bar}$ से $7\,\mathrm{bar}$ तक लाना है: कितने झटके, और कुल कितना कार्य (प्रति झटका कार्य अचर मान लीजिए)?
फिर गरम हवा टायर में ठंडी होकर $300\,\mathrm{K}$ पर आ जाती है: टायर के दाब का क्या होता है, और साइकिल-सवार क्या करता है?
प्रति झटका रुद्धोष्म कार्य की तुलना उसी $7\,\mathrm{bar}$ तक के समतापी संपीडन के कार्य से कीजिए। समतापी कार्य बड़ा क्यों है, जबकि गैस अंत में अधिक ठंडी रहती है?

भाग II — डीज़ल का संपीडन। $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ का कोई बेलन अपनी हवा को उत्क्रमणीय और रुद्धोष्म रूप से $20$ के गुणक से संपीडित करता है।

हवा की मात्रा, और संपीडन के बाद ताप $T_2$ ।
दाब $P_2$ ।
ईंधन लगभग $500\,\mathrm{K}$ से ऊपर स्वतः जल उठता है: समझाइए कि किसी डीज़ल को स्फुलिंग-प्लग क्यों नहीं चाहिए, और किसी पेट्रोल इंजन (अनुपात $\approx 10$ , देखिए अभ्यास 22.3) में स्वतः प्रज्वलन क्यों नहीं होना चाहिए।
संपीडन के दौरान हवा को मिला कार्य।
$3000\,\mathrm{rpm}$ पर एक बेलन प्रति सेकंड $25$ बार संपीडन करता है: संपीडन में खपी हुई शक्ति (जो चक्र में आगे लौटा दी जाती है)।
वास्तविक संपीडन तेज़ होते हैं (अनुत्क्रमणीयता) और दीवारों को ऊष्मा खो देते हैं: इनमें से हर प्रभाव $T_2$ को किस दिशा में खिसकाता है?

भाग III — दहन और प्रसार। झटके के शिखर पर $20\,\mathrm{mg}$ ईंधन (ऊष्मीय मान $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) जलता है, जबकि पिस्टन नीचे उतरने लगता है, अचर दाब $P_2$ पर; फिर गैस उत्क्रमणीय और रुद्धोष्म रूप से वापस $V_1$ तक फैलती है। पूरे समय गैस को हवा ही मानिए।

ईंधन से निकली ऊष्मा।
समदाबी दहन के अंत में ताप $T_3$ और आयतन $V_3$ ।
समदाबी चरण के दौरान आदान-प्रदान हुआ कार्य (चिह्न का ध्यान रखिए!)।
रुद्धोष्म प्रसार के अंत में ताप $T_4$ , और उस दौरान आदान-प्रदान हुआ कार्य।
चारों झटकों में गैस द्वारा दिया गया परिणामी कार्य, और निकली ऊष्मा से उसका अनुपात (यानी आदर्श दक्षता)।
उस दक्षता की तुलना $1 - T_1/T_3$ से कीजिए, यानी उस सीमा से जिसे अध्याय 24 इन्हीं चरम तापों के बीच काम करते किसी भी इंजन के लिए स्थापित करेगा।
चक्र पर पहले नियम से, निकास के साथ छोड़ी गई ऊष्मा; और संतुलन जाँचिए।

भाग IV — उछलती गोली से $\gamma$ मापना। $m = 16.5\,\mathrm{g}$ द्रव्यमान की इस्पात की कोई गोली $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ अनुप्रस्थ काट की किसी ऊर्ध्वाधर काँच-नली में ठीक बैठती है, जिसकी तली $V = 10\,\mathrm{L}$ आयतन की किसी कुप्पी से बंद है, जिसमें $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ पर हवा है; अपनी साम्य स्थिति से $x$ हटाने पर वह दोलन करने लगती है।

हवा के संपीडन और प्रसार को रुद्धोष्म क्यों माना जा सकता है? किसी छोटे विस्थापन $x$ और दाब-परिवर्तन $\dd P$ के बीच संबंध लिखिए (लाप्लास का नियम, रैखिक किया हुआ)।
इससे गोली पर प्रत्यानयन बल निकालिए और दिखाइए कि उसकी गति सरल आवर्त है, जिसमें $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ ।
आवर्तकाल निकालिए, और $\gamma$ का वह मान भी जो $1.10\,\mathrm{s}$ के मापे गए आवर्तकाल से निकलेगा।
गोली और नली के बीच घर्षण तथा हवा का रिसाव परिणाम को क्यों झुका देते हैं, और किस दिशा में?
तीनों संपीडनों का सार दीजिए: हर एक में पहले नियम ने कौन-सी राशि संरक्षित रखी, और रुद्धोष्म चरघातांक $\gamma$ ने क्या शासित किया।

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ ।

2. $PV^\gamma$ अचर: $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ ।

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ ।

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ ।

5. जोड़ी जाने वाली हवा: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : यानी $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ झटके, लगभग $2.2\,\mathrm{kJ}$ — एक मिनट की ईमानदार मेहनत।

6. स्थिर आयतन पर $P \propto T$ : हवा के ठंडा होते ही दाब गिर जाता है (अंतिम झटके की हवा के लिए $300/523$ तक); अतः साइकिल-सवार कुछ देर रुककर कुछ और झटके लगाता है।

7. $W_{\text{समतापी}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : समतापी पथ $7\,\mathrm{bar}$ तक पहुँचने के लिए गैस को और अधिक संपीडित करता है ( $53\,\mathrm{cm}^{3}$ की जगह $30\,\mathrm{cm}^{3}$ तक), क्योंकि वह ठंडी बनी रहती है — अधिक आयतन बुहारा गया, अधिक कार्य।

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ ।

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ ।

10. $994\,\mathrm{K}$ ईंधन के स्वतः प्रज्वलन बिंदु से कहीं ऊपर है: अतः अंतःक्षिप्त ईंधन संस्पर्श होते ही जल उठता है। कोई पेट्रोल इंजन अपने हवा–ईंधन मिश्रण को केवल लगभग $750\,\mathrm{K}$ तक ही संपीडित करता है, ताकि वह स्फुलिंग से पहले न जले; अनुपात बहुत ऊँचा हो तो “खटखट” होने लगती है।

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ ।

12. प्रति बेलन $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ , जो गरम गैस में संचित रहती है और प्रसार में लौटा दी जाती है।

13. अनुत्क्रमणीयता (गैस अर्ध-स्थैतिक पथ पर नहीं चलती; अतिरिक्त कार्य क्षय हो जाता है) $T_2$ को बढ़ा देती है; और दीवारों को खोई ऊष्मा उसे घटा देती है। किसी वास्तविक इंजन में दूसरा प्रायः जीत जाता है: $T_2$ आदर्श मान से कुछ नीचे रहता है।

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ ।

15. समदाबी: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ , $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ ।

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : यानी गैस द्वारा दिया गया कार्य।

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ ।

18. दिया गया परिणामी कार्य $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ; अनुपात $537/860 = 62\%$ (इन्हीं मानों पर आदर्श डीज़ल दक्षता; वास्तविक इंजन लगभग $40\%$ तक पहुँचते हैं)।

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : आदर्श डीज़ल चक्र कार्नो सीमा से कहीं नीचे रह जाता है, क्योंकि उसे ऊष्मा तापों की एक परास पर मिलती है, न कि सबसे ऊँचे ताप पर।

20. किसी चक्र पर $\Delta U = 0$ : $Q_{\text{बाहर}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ , अर्थात् $323\,\mathrm{J}$ निकास के साथ चली जाती है; जाँच: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ ।

21. $10\,\mathrm{L}$ हवा में ऊष्मा-चालन की तुलना में दोलन तेज़ है (एक सेकंड): अतः रुद्धोष्म। $PV^\gamma$ को रैखिक करने पर: $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ ।

22. गोली पर बल $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ , यानी सरल आवर्त, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ ।

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ । $T = 1.10\,\mathrm{s}$ से: $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ ।

24. घर्षण गति को अवमंदित करता है और, यदि वह सूखा हो, तो साम्य को भी खिसका देता है; और गोली के पास से रिसाव संपीडन के दौरान हवा निकल जाने देता है, जिससे प्रत्यानयन बल घट जाता है: दोनों आवर्तकाल को लंबा करते हैं और $\gamma$ को नीचे की ओर झुका देते हैं — जैसे ऊपर का $1.35$ ।

25. पंप और डीज़ल: $Q = 0$ , अतः $\Delta U = W$ — यानी कार्य आंतरिक ऊर्जा और ताप बन गया, चरघातांक $\gamma$ वाले लाप्लास के नियम के अनुसार। गोली: कोई तेज़ संपीडन रुद्धोष्म होता है, और $\gamma$ किसी वायु-स्प्रिंग की दृढ़ता तय करता है।

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