विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

1मात्रक, विमाएँ और मापन

तहख़ाने की एक प्रयोगशाला में लोलक झूलता है, विरामघड़ी टिकटिकाती है, और एक विद्यार्थी लिखता है $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । क्या यही “सही” मान है? पाठ्यपुस्तक $9.81$ कहती है। दोनों संख्याएँ आपस में मेल खाती हैं या नहीं, प्रयोग की रूपरेखा अच्छी थी या नहीं, उसका कौन-सा चरण उसे सीमित कर रहा था — यह कुछ भी केवल अंकों से तय नहीं हो सकता। भौतिकी मापती है, और अपनी अनिश्चितता के बिना कोई मापन महज़ अफ़वाह है। यह अध्याय आगे आने वाले हर अध्याय की साझी भाषा गढ़ता है: मात्रक, विमाएँ, परिमाण की कोटियाँ, और अनिश्चितताओं का ईमानदार अंकगणित।

NIST 4 किबल तुला, उन उपकरणों में से एक जो अब प्लांक नियतांक से किलोग्राम को साकार करते हैं: एक द्रव्यमान को विद्युत मात्रकों में मापे गए विद्युतचुंबकीय बल के विरुद्ध तौला जाता है। छायाचित्र: जे. एल. ली, NIST (सार्वजनिक डोमेन)।

1.1 मात्रकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली

परिभाषा 1.1 (भौतिक राशि और मात्रक)

भौतिक राशि वह गुण है जिसे मापा जा सकता है: कोई लंबाई, कोई अवधि, कोई द्रव्यमान, कोई धारा। उसे मापने का अर्थ है उसी प्रकार की एक संदर्भ राशि से उसकी तुलना करना, और वही संदर्भ राशि मात्रक कहलाती है: परिणाम एक संख्या गुणा एक मात्रक होता है, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$ । अकेली संख्या का कोई अर्थ नहीं; अकेला मात्रक कुछ मापता नहीं।

परिभाषा 1.2 (SI के मूल मात्रक)

मात्रकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (SI) सात मूल मात्रकों पर टिकी है: सेकंड ( $\mathrm{s}$ ), मीटर ( $\mathrm{m}$ ), किलोग्राम ( $\mathrm{kg}$ ), ऐंपियर ( $\mathrm{A}$ ), केल्विन ( $\mathrm{K}$ ), मोल ( $\mathrm{mol}$ ) और कैंडेला ( $\mathrm{cd}$ )। 2019 से इनमें से हर एक प्रकृति के किसी नियतांक का संख्यात्मक मान नियत करके परिभाषित है: सीज़ियम की अतिसूक्ष्म आवृत्ति $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ सेकंड को परिभाषित करती है; फिर प्रकाश की चाल $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ मीटर को; प्लांक नियतांक $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ किलोग्राम को; मूल आवेश $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ ऐंपियर को; बोल्ट्ज़मान नियतांक $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ केल्विन को; आवोगाद्रो नियतांक $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ मोल को; और एक नियत ज्योति प्रभाविता $K_{\mathrm{cd}}$ कैंडेला को। हर दूसरा मात्रक व्युत्पन्न मात्रक है, यानी मूल मात्रकों की घातों का गुणनफल: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ , $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ।

सात मूल मात्रक (बाहरी वलय) और सात परिभाषक नियतांक (भीतरी वलय)। कोई नियत नियतांक अपने मात्रक को केवल पहले से परिभाषित मात्रकों के साथ मिलकर ही परिभाषित करता है (बिंदुदार): c सेकंडों को मीटरों में बदलता है, किलोग्राम परिभाषित करने के लिए h को मीटर और सेकंड चाहिए, ऐंपियर परिभाषित करने के लिए e को सेकंड चाहिए। — सात मूल मात्रक (बाहरी वलय) और सात परिभाषक नियतांक (भीतरी वलय)। कोई नियत नियतांक अपने मात्रक को केवल पहले से परिभाषित मात्रकों के साथ मिलकर ही परिभाषित करता है (बिंदुदार): $c$ सेकंडों को मीटरों में बदलता है, किलोग्राम परिभाषित करने के लिए $h$ को मीटर और सेकंड चाहिए, ऐंपियर परिभाषित करने के लिए $e$ को सेकंड चाहिए।

टिप्पणी 1.3 (नाम और संकेत)

व्यक्तियों के नाम पर रखे गए मात्रक पूरा लिखने पर छोटे अक्षरों से लिखे जाते हैं (न्यूटन, जूल, पास्कल) और संकेत के रूप में बड़े अक्षर से ( $\mathrm{N}$ , $\mathrm{J}$ , $\mathrm{Pa}$ ); पूरा नाम बड़े अक्षर से लिखा हो तो वह शब्द व्यक्ति है। उपसर्ग दस की घातों में पैमाना बदलते हैं, p ( $10^{-12}$ ) से होते हुए n, $\mu$ , m, k, M, G से T ( $10^{12}$ ) तक; किलोग्राम अकेला ऐसा मूल मात्रक है जिसके नाम में उपसर्ग लगा है।

उदाहरण 1.4 (एक व्युत्पन्न मात्रक को खोलकर देखना)

वोल्ट: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$ । ओम: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$ । फ़ैरड: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$ । इस तरह खोलकर देखना यह जाँचने का सबसे सुरक्षित तरीका है कि कोई सूत्र ठीक-ठीक याद रहा है या नहीं — अगला अनुभाग इसी को व्यवस्थित बना देता है।

1.2 विमीय विश्लेषण

परिभाषा 1.5 (विमा)

किसी राशि $X$ की विमा, जिसे $[X]$ लिखा जाता है, यह दर्ज करती है कि $X$ सात मूल राशियों से किस प्रकार बना है — चुने गए मात्रकों से स्वतंत्र रूप से: लंबाई $L$ , द्रव्यमान $M$ , समय $T$ , विद्युत धारा $I$ , ताप $\Theta$ , पदार्थ की मात्रा $N$ , ज्योति तीव्रता $J$ । किसी चाल की विमा $[v] = L\,T^{-1}$ होती है, किसी बल की $[F] = M\,L\,T^{-2}$ , किसी ऊर्जा की $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ । विमा $1$ वाली राशि (कोई कोण, कोई अनुपात, कोई अपवर्तनांक) विमाहीन कहलाती है।

प्रमेय 1.6 (विमीय समांगता का सिद्धांत)

किसी भौतिक नियम में समता के दोनों पक्षों की विमा एक ही होती है, और किसी योग के हर पद की विमा पूरे योग वाली होती है। किसी चरघातांकी, लघुगणक, ज्या या कोज्या का कोणांक विमाहीन होता है।

उपपत्ति. भौतिकी के नियम इस पर निर्भर नहीं करते कि मनुष्य कौन-से मात्रक चुनते हैं। लंबाई का मात्रक $\lambda$ गुणक से बदलने पर विमा $L^a \cdots$ वाली हर राशि $\lambda^{-a}$ से गुणित हो जाती है: भिन्न विमाओं वाले पदों के बीच की कोई समता एक मात्रक-प्रणाली में टिकती और दूसरी में विफल हो जाती। $\exp$ जैसे किसी फलन के लिए, श्रेणी $1 + x + x^2/2 + \dots$ $x$ की भिन्न विमाओं वाली घातों को जोड़ बैठती है, जब तक $x$ विमाहीन न हो। ∎

विधि 1.7 (किसी सूत्र की जाँच)

हर संकेत की विमा लिखिए।
हर पक्ष (और हर पद) को गुणनफल $L^a M^b T^c \cdots$ तक समेटिए।
दोनों पक्षों पर घातांक समान हों: तब सूत्र सही हो सकता है। असमान हों: तब वह निश्चित रूप से ग़लत है — कोई छूटा हुआ गुणक $g$ , कोई वर्ग की गई राशि जिसे सादा होना चाहिए था, या कोई ऐसा घातांक जिसकी अपनी विमाएँ हैं।

कोई समांगी सूत्र भी किसी विमाहीन गुणक ( $2$ , $\pi$ , $\tfrac12$ ) के कारण ग़लत हो सकता है: विमाएँ उन्हें कभी नहीं देखतीं।

उदाहरण 1.8 (लोलक का आवर्तकाल)

लंबाई $\ell$ और द्रव्यमान $m$ का एक लोलक गुरुत्व $g$ में झूलता है। मान लीजिए उसका आवर्तकाल $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ है, जहाँ $k$ विमाहीन है। तब $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , अतः $\beta = 0$ , $\gamma = -\tfrac12$ , $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

गति का एक भी समीकरण हल किए बिना: द्रव्यमान बाहर हो जाता है, और लंबाई दुगुनी करने पर आवर्तकाल $\sqrt2$ गुना हो जाता है। गतिकी (अध्याय 14) छोटे झूलों के लिए $k = 2\pi$ दे देगी।

प्रतिज्ञप्ति 1.9 (विमाहीन समूह)

यदि कोई राशि $Y$ ऐसी $n$ राशियों $X_1, \dots, X_n$ पर निर्भर हो जिनमें $r$ स्वतंत्र मूल विमाएँ आती हों, तो उस संबंध को $n + 1 - r$ ऐसे विमाहीन संयोजनों के बीच फिर से लिखा जा सकता है जो $X_i$ और $Y$ से बने हों। जब $n + 1 - r = 1$ हो, तब वह इकलौता संयोजन नियत ही होना चाहिए, और विमीय विश्लेषण नियम को एक संख्यात्मक गुणक तक दे देता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 1.10 (प्रतिज्ञप्ति का उपयोग)

सामान्य कथन (वाशी–बकिंगहम प्रमेय) घातांक-सदिशों पर रैखिक बीजगणित का एक टुकड़ा है। यहाँ जो मायने रखता है वह विधि है: प्रासंगिक राशियाँ सूचीबद्ध कीजिए, विमाएँ गिनिए, विमाहीन समूह बनाइए। उदाहरण 1.8 में $n = 3$ ( $\ell, m, g$ ), $r = 3$ ( $L, M, T$ ), अतः इकलौता समूह $\tau\sqrt{g/\ell}$ बनता है और उसे नियत होना ही चाहिए। $R$ त्रिज्या के किसी ऐसे गोले पर, जो चाल $v$ से घनत्व $\rho$ और श्यानता $\eta$ वाले किसी तरल में चल रहा है, लगने वाले कर्षण में $n = 4$ राशियाँ और $r = 3$ विमाएँ आती हैं: दो समूह, $F/(\rho v^2 R^2)$ और $\rho v R/\eta$ (रेनॉल्ड्स संख्या), और अकेली विमाएँ यह नहीं बता सकतीं कि पहला दूसरे पर किस तरह निर्भर है — यह प्रयोग को ही बताना होगा।

1.3 परिमाण की कोटियाँ

परिभाषा 1.11 (परिमाण की कोटि)

किसी राशि की परिमाण की कोटि दस की वह घात है जो उसके सबसे निकट पड़ती है: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (पृथ्वी की त्रिज्या) की परिमाण की कोटि $10^7$ है; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ की कोटि $10^3$ है; लघुगणकीय पैमाने पर $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ $10^3$ के अधिक निकट है, $10^4$ के नहीं (सीमा $\sqrt{10} \approx 3.16$ पर है)। दो राशियाँ “एक ही कोटि की” तब कहलाती हैं जब उनका अनुपात लगभग $3$ से कम हो।

विधि 1.12 (आकलन करना)

ऐसी राशि का आकलन करने के लिए जिसे किसी ने आपके लिए मापा नहीं है:

उसे ऐसे गुणकों में तोड़िए जिनमें से हर एक का आकलन आप $2$ या $3$ के गुणक के भीतर कर सकें;
हर गुणक का आकलन कीजिए, एक सार्थक अंक रखते हुए;
गुणा कीजिए, दस की घात और एक अंक रखते हुए।

भिन्न गुणकों की त्रुटियाँ आंशिक रूप से एक-दूसरे को काट देती हैं; परिणाम प्रायः $3$ से $10$ के गुणक के भीतर सही निकलता है, और किसी परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार करने के लिए अकसर इतना ही काफ़ी होता है।

उदाहरण 1.13 (वायुमंडल का द्रव्यमान)

वायुमंडलीय दाब $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ एक वर्ग मीटर के ऊपर खड़े वायु-स्तंभ का भार है, $P_0 = m_{\text{स्तंभ}}\,g$ , अतः प्रति वर्ग मीटर $m_{\text{स्तंभ}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ । पृथ्वी का पृष्ठ $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ है; अतः वायुमंडल का भार लगभग $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ बैठता है। स्वीकृत मान $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ है — और इस आकलन को केवल $P_0$ तथा $R$ चाहिए थे।

परिभाषा 1.14 (सार्थक अंक)

किसी लिखी हुई संख्या के सार्थक अंक उसके पहले अशून्य अंक से आगे के अंक होते हैं: $0.0820$ में तीन हैं, $8.20 \times 10^{-2}$ में वही तीन, और $820$ अस्पष्ट है (दो या तीन) जब तक उसे $8.2 \times 10^{2}$ या $8.20 \times 10^{2}$ न लिखा जाए। किसी परिणाम को उतने सार्थक अंकों के साथ लिखा जाता है जितने उसकी अनिश्चितता अनुमति देती है (नीचे विधि 1.20): यह नहीं कि “ $g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ” जबकि चौथा अंक ज्ञात ही नहीं है।

1.4 मापन की अनिश्चितता

परिभाषा 1.15 (मापेय, त्रुटि, अनिश्चितता)

मापेय वह राशि है जिसे मापने का इरादा हो। एक ही मापन दोहराने पर मान बिखरे हुए मिलते हैं: मापन परिवर्तनशील होता है। किसी एक परिणाम की त्रुटि सत्य मान से उसका अज्ञात अंतर है; और मानक अनिश्चितता $u(x)$ किसी परिणाम $x$ के लिए उन मानों का मानक विचलन है जिन्हें मापेय के लिए उचित रूप से माना जा सके — यानी ऐसी राशि जिसका मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके स्रोत: प्रेक्षक (प्रतिक्रिया-काल, लंबन), परिवेश (ताप, कंपन), उपकरण (विभेदन, अंशांकन), और विधि (ऐसा प्रतिरूप जो केवल लगभग सत्य है)।

प्रतिज्ञप्ति 1.16 (प्रकार A का मूल्यांकन)

$n$ स्वतंत्र दोहराए गए मानों $x_1, \dots, x_n$ से, जिनका माध्य $\bar x = \frac1n \sum x_i$ है और जिनका प्रायोगिक मानक विचलन

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

है, मापेय का सर्वोत्तम आकलन $\bar x$ है और उसकी मानक अनिश्चितता इस प्रकार है:

u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

आंशिक उपपत्ति. $s$ एक अकेले मापन के बिखराव का आकलन करता है — यह प्रायोगिक मानक विचलन की परिभाषा ही है ( $n - 1$ का प्रयोग होता है, न कि $n$ का, क्योंकि माध्य स्वयं इन्हीं आँकड़ों से आँका गया था)। और $n$ स्वतंत्र मानों का माध्य एक अकेले मान से $\sqrt n$ गुना कम बिखरता है — यह प्रसरणों का योग है: $n$ स्वतंत्र चरों के योग का प्रसरण एक चर के प्रसरण का $n$ गुना होता है, अतः माध्य का प्रसरण $s^2 n / n^2 = s^2/n$ है। इस वर्ष का प्रायिकता का पाठ्यक्रम दोनों कथन सिद्ध करता है। ∎

एक ही लोलक के आवर्तकाल की पचास मापें, 0.01\, s के वर्गों में बाँटी हुई। उनका बिखराव s 0.016\, s है (एक माप का); पचास का माध्य s/√50 0.002\, s तक ज्ञात है। घंटी वक्र उसी माध्य और उसी बिखराव वाला गाउसीय वक्र है। — एक ही लोलक के आवर्तकाल की पचास मापें, $0.01\,\mathrm{s}$ के वर्गों में बाँटी हुई। उनका बिखराव $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ है (एक माप का); पचास का माध्य $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$ तक ज्ञात है। घंटी वक्र उसी माध्य और उसी बिखराव वाला गाउसीय वक्र है।

प्रतिज्ञप्ति 1.17 (प्रकार B का मूल्यांकन)

जब कोई मान एक ही बार पढ़ा जाता है, तब उसकी अनिश्चितता का मूल्यांकन उपकरण के बारे में जो ज्ञात है उससे किया जाता है। यदि सत्य मान $x - a$ और $x + a$ के बीच कहीं भी, बिना किसी वरीयता के, हो सकता हो (अर्ध-चौड़ाई $a$ का एकसमान बंटन), तो

u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

$\delta$ चरणों में अंशांकित किसी पैमाने के लिए (अर्ध-चौड़ाई $a = \delta/2$ ), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$ होता है; अंकीय प्रदर्शक के अंतिम अंक पर भी यही लागू होता है। निर्माता की “ $\pm a$ ” के रूप में दी गई सह्यता को भी इसी तरह लिया जाता है, बशर्ते आँकड़ा-पत्रक कुछ और न कहे।

उपपत्ति. $[x - a, x + a]$ पर एकसमान बंटन का प्रसरण $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$ है; अतः उसका मानक विचलन $a/\sqrt3$ है। ∎

ऐसा पाठ्यांक जिसके बारे में केवल इतना ज्ञात है कि वह ± a के भीतर है: एकसमान घनत्व 1/(2a), मानक विचलन a/√3 0.58\,a — a से छोटा, क्योंकि सिरे केंद्र से अधिक संभावित नहीं हैं। — ऐसा पाठ्यांक जिसके बारे में केवल इतना ज्ञात है कि वह $\pm a$ के भीतर है: एकसमान घनत्व $1/(2a)$ , मानक विचलन $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — $a$ से छोटा, क्योंकि सिरे केंद्र से अधिक संभावित नहीं हैं।

प्रमेय 1.18 (संयुक्त अनिश्चितता)

मान लीजिए $y = f(x_1, \dots, x_n)$ की गणना स्वतंत्र मापे गए मानों से होती है, जिनकी मानक अनिश्चितताएँ $u(x_i)$ हैं। तब

u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

विशेष रूप से:

योग या अंतर $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
गुणनफल या भागफल $y = x_1 x_2$ अथवा $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
घात $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ ।

उपपत्ति. छोटे विचलनों $\delta x_i$ के लिए प्रथम-कोटि टेलर प्रसार देता है $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$ । ये विचलन स्वतंत्र हैं और इनका माध्य शून्य है, अतः योग का प्रसरण प्रसरणों का योग है, और हर एक अपने गुणांक के वर्ग से गुणित है — यही ऊपर दर्शाया गया सूत्र है। विशेष स्थितियाँ इसी से निकलती हैं: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ देता है $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$ , अब $y^2 = x_1^2 x_2^2$ से भाग दीजिए; और $y = kx^\alpha$ के लिए $\partial y/\partial x = \alpha y/x$ । ∎

उदाहरण 1.19 (एक बेलन का घनत्व)

एक बेलन: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ( $u = 0.01\,\mathrm{g}$ ), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.02\,\mathrm{mm}$ ), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.1\,\mathrm{mm}$ )। $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ , अतः सापेक्ष अनिश्चितता के वर्ग जुड़ते हैं: $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$ , $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ तथा $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ — व्यास ही हावी है, क्योंकि वह वर्गित है और $0.17\%$ तक ही मापा गया है। $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%$ ; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , अतः $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — यानी पीतल।

विधि 1.20 (परिणाम लिखना)

अनिश्चितता को एक सार्थक अंक तक पूर्णांकित कीजिए (दो तक, यदि पहला अंक $1$ या $2$ हो)।
मान को उसी दशमलव स्थान तक पूर्णांकित कीजिए।
मान और अनिश्चितता को मात्रक के साथ लिखिए: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , अथवा $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

गणना के दौरान अतिरिक्त अंक रखिए; पूर्णांकन केवल अंत में कीजिए।

परिभाषा 1.21 (प्रसामान्यीकृत विचलन)

एक ही मापेय के दो परिणामों $x_1 \pm u_1$ और $x_2 \pm u_2$ की तुलना उनके प्रसामान्यीकृत विचलन से की जाती है:

z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

वे संगत तब हैं जब $z \leq 2$ हो; इससे बड़ा $z$ किसी बिना हिसाब वाले प्रभाव की ओर संकेत करता है — या किसी कम आँकी गई अनिश्चितता की ओर। जब $x_2$ कोई ऐसा संदर्भ मान हो जिसके साथ अनिश्चितता न दी गई हो, तब $u_2 = 0$ लीजिए।

टिप्पणी 1.22 (2 ही क्यों)

यदि दोनों परिणाम गाउसीय की तरह बिखरते हों, तो उनके अंतर का मानक विचलन $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ होता है, और कोई गाउसीय अपने मानक विचलन के दुगुने से लगभग $5\%$ स्थितियों में आगे निकलता है। “ $z \leq 2$ ” एक रूढ़ि है, प्रमेय नहीं: यह बीस में से लगभग एक अच्छे मापन को झूठे असहमत के रूप में स्वीकार कर लेती है।

1.5 आँकड़ों पर प्रतिरूप बिठाना

प्रतिज्ञप्ति 1.23 (न्यूनतम वर्गों की रेखा)

$n$ बिंदु $(x_i, y_i)$ दिए हों जिनसे $y = a x + b$ का पालन अपेक्षित है; तब ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों के योग $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ को न्यूनतम करने वाली सरल रेखा के लिए

a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

उपपत्ति. यह योग $(a, b)$ का एक द्विघात फलन है; दोनों आंशिक अवकलजों को शून्य रखने पर दो रैखिक समीकरण मिलते हैं: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$ , यानी $\bar y = a \bar x + b$ , तथा $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$ । दूसरे में $b$ रखकर और चरों को केंद्रित करके $a$ निकल आता है। न्यूनीकरण स्वयं दो चरों के फलनों पर गणित के पाठ्यक्रम में किया जाता है। ∎

विधि 1.24 (प्रतिरूप की आलेखीय जाँच)

ऐसे चर चुनिए जिनमें अपेक्षित नियम एक सरल रेखा बन जाए: लोलक के लिए $\tau^2$ बनाम $\ell$ , और किसी घात-नियम के लिए $\ln y$ बनाम $\ln x$ , जहाँ $y = Cx^\alpha$ (ढाल $\alpha$ )।
बिंदुओं को उनकी अनिश्चितता-छड़ों सहित आलेखित कीजिए।
रेखा बिठाइए; प्रतिरूप स्वीकार्य है यदि छड़ें रेखा को घेरती हों और अवशेषों में कोई व्यवस्थित प्रवृत्ति न दिखे, और यदि अंतःखंड वही हो जो प्रतिरूप बताता है (यहाँ शून्य)।
ढाल से भौतिकी पढ़ लीजिए, उसकी अनिश्चितता सहित।

पाँच लोलक-लंबाइयों के लिए 2 बनाम , अनिश्चितता-छड़ों सहित; न्यूनतम वर्गों की रेखा अनिश्चितता के भीतर मूल बिंदु से गुज़रती है और उसकी ढाल 4π2/g से g मिल जाता है। — पाँच लोलक-लंबाइयों के लिए $\tau^2$ बनाम $\ell$ , अनिश्चितता-छड़ों सहित; न्यूनतम वर्गों की रेखा अनिश्चितता के भीतर मूल बिंदु से गुज़रती है और उसकी ढाल $4\pi^2/g$ से $g$ मिल जाता है।

उदाहरण 1.25 (ढाल से $g$ पढ़ना)

आकृति के पाँच बिंदुओं के लिए $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ , $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ , और योग $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$ , $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$ : ढाल $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , अंतःखंड $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ , जो नगण्य है। $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ से, $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

जूल, वाट, पास्कल और कूलॉम को मूल मात्रकों में व्यक्त कीजिए। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ ऊर्जा का मात्रक है।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$ ; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (दाब-बलों का कार्य, $P\,\dd V$ )।

अभ्यास 1.2 ★

किसी दाब, किसी शक्ति, किसी विद्युत आवेश, किसी विभवांतर, तथा नियतांकों $G$ ( $F = Gm_1m_2/r^2$ में), $h$ ( $E = h\nu$ में) और $k_B$ ( $E = k_B T$ में) की विमाएँ दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.2.

दाब $M L^{-1} T^{-2}$ ; शक्ति $M L^2 T^{-3}$ ; आवेश $I\,T$ ; विभवांतर $=$ शक्ति/धारा $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$ । $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$ ; और $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$ ; और $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$ ।

अभ्यास 1.3 ★

क्या ये सूत्र समांगी हैं? $v = \sqrt{2gh}$ ; $E = \tfrac12 m v$ ; किसी दाब के लिए $P = \rho g h$ ; $x = v_0 t + \tfrac12 g t^2$ ; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$ ; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$\sqrt{2gh}$ : $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$ , समांगी। $\tfrac12 mv$ : $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$ , यह ऊर्जा नहीं है। $\rho g h$ : $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$ , एक दाब। $v_0 t + \tfrac12 g t^2$ : दोनों पद $L$ , समांगी। $2\pi\sqrt{g/\ell}$ : $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — यह आवृत्ति है, आवर्तकाल नहीं। $I_0\eu^{-t/RC}$ : $RC$ का मात्रक $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$ , कोणांक विमाहीन, समांगी।

अभ्यास 1.4 ★

एक पैमाना मिलीमीटरों में अंशांकित है; एक अंकीय तुला $0.01\,\mathrm{g}$ के चरणों में दिखाती है; एक वोल्टमापी का आँकड़ा-पत्रक “पाठ्यांक का $\pm 0.5\%$ ” का वादा करता है। $12.7\,\mathrm{cm}$ लंबाई, $5.43\,\mathrm{g}$ द्रव्यमान और $4.80\,\mathrm{V}$ पाठ्यांक की प्रकार B मानक अनिश्चितता दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.4.

पैमाना: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$ , $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ । तुला: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$ । वोल्टमापी: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$ , $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$ ।

अभ्यास 1.5 ★★

तनी हुई डोरी पर तरंगों की चाल $v$ उसके तनाव $F$ (एक बल) और उसके प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान $\mu$ पर निर्भर करती है। $v$ को एक विमाहीन गुणक तक निकालिए। यही प्रश्न दाब $P$ और घनत्व $\rho$ वाली किसी गैस में ध्वनि की चाल के लिए।

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$v = k F^\alpha \mu^\beta$ : $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$ , अतः $\alpha + \beta = 0$ , $\alpha - \beta = 1$ , $-2\alpha = -1$ : $\alpha = \tfrac12$ , $\beta = -\tfrac12$ , $v = k\sqrt{F/\mu}$ (वस्तुतः $k = 1$ )। ध्वनि: $P/\rho$ की विमा $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$ है, अतः $v = k\sqrt{P/\rho}$ (हवा के लिए $k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ )।

अभ्यास 1.6 ★★

एक ही पतन की आठ मापें, मिलीसेकंडों में: $452$ , $447$ , $461$ , $455$ , $449$ , $458$ , $444$ , $454$ । माध्य, प्रायोगिक मानक विचलन और माध्य की मानक अनिश्चितता निकालिए; फिर परिणाम लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

योग $= 3620\,\mathrm{ms}$ , $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$ । विचलन $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$ ; वर्गों का योग $226$ ; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$ ; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$ । परिणाम: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$ ।

अभ्यास 1.7 ★★

एक प्रतिरोध $R = U/I$ से मापा जाता है, जहाँ $U = 4.80\,\mathrm{V}$ , $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ और $I = 12.4\,\mathrm{mA}$ , $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$ । $R$ और $u(R)$ निकालिए; कौन-सा मापन पहले सुधारा जाना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$ । सापेक्ष अनिश्चितताएँ: $0.03/4.80 = 0.63\%$ और $0.2/12.4 = 1.6\%$ ; अतः संयुक्त $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$ , $u(R) = 7\,\Omega$ : $R = (387 \pm 7)\,\Omega$ । धारा ही हावी है — पहले ऐमीटर (या उसका परिसर) सुधारिए।

अभ्यास 1.8 ★★

दो समूह ध्वनि की चाल मापते हैं: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । क्या वे संगत हैं? एक तीसरा समूह $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पाता है: क्या यह पहले से संगत है? दूसरे से?

हल

हल — अभ्यास 1.8.

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$ : संगत। तीसरा बनाम पहला: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$ : ठीक सीमा पर, मुश्किल से संगत। तीसरा बनाम दूसरा: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$ : असंगत — दोनों में से कम से कम एक में कोई व्यवस्थित त्रुटि है या कोई कम आँकी गई अनिश्चितता।

अभ्यास 1.9 ★★

किसी गोले का आयतन उसके व्यास $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ से निकाला जाता है, जो कैलिपर से मापा गया है, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$ । $V$ , उसकी सापेक्ष और निरपेक्ष अनिश्चितता निकालिए, और परिणाम लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$ . $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$ , $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$ : $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$ .

अभ्यास 1.10 ★★★

$R$ त्रिज्या का एक छोटा गोला किसी श्यान द्रव में धीरे-धीरे गिरता है; कर्षण बल $R$ पर, चाल $v$ पर और श्यानता $\eta$ पर निर्भर करता है, जिसकी विमा $M L^{-1} T^{-1}$ है। दिखाइए कि $F = k\,\eta R v$ । अधिक चाल पर कर्षण इसके बजाय $R$ , $v$ और तरल के घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है: नया नियम निकालिए। वर्षा की एक बूँद ( $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , हवा: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) के लिए दोनों आकलनों की तुलना करके बताइए कि कौन-सी व्यवस्था लागू होती है।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

$F = k\eta^a R^b v^c$ : $M$ : $a = 1$ ; $T$ : $-a - c = -2$ , $c = 1$ ; $L$ : $-a + b + c = 1$ , $b = 1$ : $F = k\eta R v$ (स्टोक्स, $k = 6\pi$ )। इसके बजाय $\rho$ के साथ: $M$ : $a = 1$ ; $T$ : $-c = -2$ , $c = 2$ ; $L$ : $-3 + b + 2 = 1$ , $b = 2$ : $F = k\rho R^2 v^2$ . वर्षा की बूँद: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ ; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , यानी तीन सौ गुना अधिक: जड़त्वीय (उच्च-चाल) व्यवस्था लागू होती है — और अनुपात $\rho v R/\eta \approx 330$ ही रेनॉल्ड्स संख्या है।

अभ्यास 1.11 ★★★

बढ़ती धाराओं के लिए किसी प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर की चार मापें: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$ , $(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V})$ , $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$ , $(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V})$ । न्यूनतम वर्गों की ढाल और अंतःखंड निकालिए; उनसे $R$ निकालिए; यदि हर $U$ के साथ $u = 0.02\,\mathrm{V}$ हो, तो क्या अंतःखंड शून्य से संगत है?

हल

हल — अभ्यास 1.11.

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$ , $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$ ; $I$ में विचलन: $-3, -1, 1, 3$ ; $U$ में: $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$ । $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$ , $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$ : $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$ , $b = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}$ । प्रति बिंदु $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ होते हुए $0.005\,\mathrm{V}$ का अंतःखंड अनिश्चितता के भीतर ही है: शून्य से संगत, प्रतिरोधक ओमीय है, $R \approx 199\,\Omega$ ।

अभ्यास 1.12 ★★★

$G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ और $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से विमीय विश्लेषण द्वारा एक लंबाई, एक समय और एक द्रव्यमान (प्लांक मात्रक) बनाइए। उन्हें निकालिए और प्रोटॉन के आकार ( $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) तथा किसी मानव-द्रव्यमान से उनकी तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

$\ell = G^a h^b c^c$ : $M$ : $-a + b = 0$ ; $T$ : $-2a - b - c = 0$ ; $L$ : $3a + 2b + c = 1$ । अतः $b = a$ , $c = -3a$ , $2a = 1$ : $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$ ; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$ । प्लांक लंबाई प्रोटॉन से बीस कोटियाँ नीचे है; और प्लांक द्रव्यमान, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$ , धूल का एक कण है — किसी कण के लिए विशाल, किसी व्यक्ति के लिए नगण्य ( $10^9$ गुना हल्का)।

अध्याय का कच्चा माल: एक कैलिपर, एक विरामघड़ी, एक गेंद, एक पैमाना, और दोहराए गए पाठ्यांकों का एक स्तंभ जो कभी पूरी तरह आपस में नहीं मिलते।

1.7 समस्या: लोलक से $g$ का मापन

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — एक डोरी, एक गोलक, एक विरामघड़ी और एक फीता: रसोई की मेज़ पृथ्वी का गुरुत्वीय क्षेत्र कितनी अच्छी तरह माप सकती है, और उसकी चार संख्याओं में कमज़ोर कड़ी कौन-सी है

लोलक एक इस्पात की गेंद है जो हल्की डोरी से किसी स्थिर बिंदु पर लटकी है; छोटे झूलों का आवर्तकाल $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ होता है, जहाँ $\ell$ लटकाव-बिंदु से गेंद के केंद्र तक की दूरी है। लक्ष्य है $g$ का एक ऐसा मान जिसकी अनिश्चितता का बचाव किया जा सके।

भाग I — प्रतिरूप।

$\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ की समांगता जाँचिए।
गेंद का द्रव्यमान $m$ है। केवल विमाओं से तर्क कीजिए कि आवर्तकाल $m$ पर निर्भर नहीं हो सकता, यदि वह केवल $\ell$ , $g$ और $m$ पर ही निर्भर हो।
आवर्तकाल झूले के आयाम $\theta_0$ पर भी थोड़ा निर्भर करता है। विमीय विश्लेषण इसकी अनुमति क्यों देता है, और सूत्र को लागू करने योग्य बनाने के लिए प्रयोग में क्या करना पड़ता है?
$g$ को $\ell$ और $\tau$ के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए।

भाग II — लंबाई का मापन। फीता मिलीमीटरों में अंशांकित है; डोरी लटकाव-बिंदु से गेंद के ऊपरी सिरे तक $99.0\,\mathrm{cm}$ है, और गेंद का व्यास $2.00\,\mathrm{cm}$ , दोनों एक-एक बार पढ़े गए।

$\ell$ निकालिए।
फीते पर एक अकेले पाठ्यांक की प्रकार B अनिश्चितता का मूल्यांकन कीजिए।
लटकाव-बिंदु और गेंद के केंद्र को ठीक-ठीक पहचानने में अनुमानतः $\pm5\,\mathrm{mm}$ की और संभव त्रुटि जुड़ती है (एकसमान)। इसे पिछले मद के साथ मिलाकर $u(\ell)$ बनाइए, और सापेक्ष अनिश्चितता $u(\ell)/\ell$ दीजिए।

भाग III — आवर्तकाल का मापन। प्रतिक्रिया-काल का प्रभाव घटाने के लिए दस आवर्तकालों का समय लिया जाता है। ऐसी आठ मापें, सेकंडों में: $20.12$ , $20.05$ , $20.18$ , $20.09$ , $20.15$ , $20.02$ , $20.11$ , $20.08$ ।

एक के बजाय दस आवर्तकालों का समय क्यों लिया जाए? और मापन आठ बार क्यों दोहराया जाए?
आठों मापों का माध्य $\overline{t_{10}}$ और प्रायोगिक मानक विचलन $s$ निकालिए।
इनसे माध्य की मानक अनिश्चितता निकालिए, फिर आवर्तकाल $\tau$ और उसकी अनिश्चितता $u(\tau)$ ।
$u(\tau)/\tau$ की तुलना $u(\ell)/\ell$ से कीजिए।

भाग IV — परिणाम और उसकी कमज़ोर कड़ी।

$g$ निकालिए।
$u(g)/g$ को $u(\ell)/\ell$ और $u(\tau)/\tau$ के पदों में लिखिए, और उसका मान निकालिए।
परिणाम को मानक रूप में लिखिए।
प्रसामान्यीकृत विचलन के द्वारा संदर्भ मान $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से तुलना कीजिए। निर्णय?
दोनों मापी गई राशियों में से कौन-सी $g$ की परिशुद्धता को सीमित करती है? दो ठोस सुधार सुझाइए और बताइए कि हर एक सापेक्ष अनिश्चितता को कितना घटाएगा।
मान लीजिए कि लापरवाह पंक्तिबद्धता के कारण हर लंबाई $5\,\mathrm{mm}$ अधिक आँकी गई। क्या अनिश्चितता के बजट में इसका हिसाब है? इस प्रकार की त्रुटि को क्या कहते हैं, और उसे कैसे पकड़ा जाएगा?

भाग V — पाँच लंबाइयाँ और एक सरल रेखा। प्रयोग $\ell = 0.400$ , $0.600$ , $0.800$ , $1.000$ और $1.200\,\mathrm{m}$ के लिए दोहराया जाता है, जिससे $\tau^2 = 1.62$ , $2.41$ , $3.25$ , $4.04$ और $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ मिलते हैं, हर एक के साथ $u(\tau^2) \approx 1\%$ ।

$\tau^2$ बनाम $\ell$ आलेखित करना $\tau$ बनाम $\ell$ से बेहतर क्यों है?
$\bar\ell$ और $\overline{\tau^2}$ निकालिए।
न्यूनतम वर्गों की ढाल $a$ और अंतःखंड $b$ निकालिए।
ढाल से $g$ निकालिए।
अंतःखंड की व्याख्या कीजिए: स्पष्ट रूप से अशून्य $b$ क्या उजागर करता?
संगणक की फ़िटिंग $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ बताती है। इससे $u(g)$ निकालिए और परिणाम लिखिए।
भाग IV के एक-लंबाई वाले परिणाम की तुलना इस परिणाम से प्रसामान्यीकृत विचलन द्वारा कीजिए।
एक विद्यार्थी सुझाता है कि इसके बजाय सीढ़ीघर में $10\,\mathrm{m}$ के लोलक का एक ही झूला उसी फीते और उसी विरामघड़ी से मापा जाए। आकलन कीजिए कि इससे $g$ पर कितनी सापेक्ष अनिश्चितता आएगी, और सर्वोत्तम रणनीति पर निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$ .

2. $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ से $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ मिलता है, अतः $\beta = 0$ : $\ell$ और $g$ का कोई संयोजन किसी द्रव्यमान को नहीं काट सकता।

3. $\theta_0$ विमाहीन है, अतः कोई भी गुणक $f(\theta_0)$ विमाओं को दिखाई नहीं देता। आयाम छोटा रखिए (लगभग $10^\circ$ से नीचे), जहाँ $f \approx 1$ $0.2\%$ से भी अच्छी सटीकता के साथ सही है।

4. $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$ .

5. $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$ .

6. $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ .

7. पंक्तिबद्धता: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$ ; संयुक्त $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — फीते का पाठ्यांक नगण्य है। $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ ।

8. प्रतिक्रिया-काल की त्रुटि (लगभग $0.1\,\mathrm{s}$ ) एक आवर्तकाल का समय लेने पर भी उतनी ही रहती है और दस का लेने पर भी, अतः एक आवर्तकाल पर उसका प्रभाव दस गुना छोटा हो जाता है। दोहराने से बिखराव उजागर होता है (जिससे $s$ मिलता है) और माध्य की अनिश्चितता $\sqrt8$ से भाग जाती है।

9. योग $= 160.80\,\mathrm{s}$ , $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$ । विचलन $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$ ; वर्गों का योग $188 \times 10^{-4}$ ; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$ ।

10. $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$ , $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$ .

11. $u(\tau)/\tau = 0.09\%$ , जो $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ से तीन गुना छोटा है।

12. $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

13. $g \propto \ell\,\tau^{-2}$ : $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%$ .

14. $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

15. $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$ : संगत।

16. लंबाई ( $0.29\%$ बनाम आवर्तकाल-पद का $0.18\%$ )। दोनों सिरों को $\pm1\,\mathrm{mm}$ तक पहचान लेने पर $u(\ell)/\ell$ घटकर $0.06\%$ और $u(g)/g$ घटकर $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$ रह जाता है; लंबाई दुगुनी करने पर $u(\ell)/\ell$ आधा हो जाता है और $\tau$ बढ़ जाता है, जिससे दोनों पदों को लाभ होता है। दस के बजाय बीस आवर्तकालों का समय लेने पर केवल आवर्तकाल-पद आधा होता है: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — जब तक लंबाई ही अड़चन है, यह लाभ छोटा ही रहता है।

17. नहीं: हर पाठ्यांक में समान रूप से आया खिसकाव एक व्यवस्थित त्रुटि (अभिनति) है; बजट यादृच्छिक बिखराव और घोषित सह्यताओं को समेटता है, किसी एकरूप विचलन को नहीं। इसे विधि या उपकरण बदलकर पकड़ा जाता है, या — भाग V की तरह — $\tau^2$ – $\ell$ रेखा के अशून्य अंतःखंड से।

18. $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ मूल बिंदु से गुज़रती एक सरल रेखा है: रैखिकता और शून्य अंतःखंड, दोनों आँख से भी और न्यूनतम वर्गों से भी जाँचे जा सकते हैं; $\tau \propto \sqrt\ell$ के साथ ऐसा नहीं है।

19. $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ ; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ .

20. $\ell$ में विचलन: $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$ ; $\tau^2$ में: $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$ । गुणनफल-योग $= 1.614$ , $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$ : $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ ।

21. $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

22. $b \approx 0$ , ठीक वैसा ही जैसा प्रतिरूप बताता है। स्पष्ट रूप से अशून्य $b$ हर लंबाई में किसी व्यवस्थित खिसकाव $\delta$ को उजागर करता ( $\tau^2 = a(\ell_{\text{मापित}} - \delta)$ से $b = -a\delta$ मिलता है), जैसे गेंद का ग़लत जगह मान लिया गया केंद्र — या कोई आयाम-प्रभाव।

23. $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$ , $u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

24. $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$ : पूर्णतः संगत। अकेला सावधानी से किया गया मापन अधिक परिशुद्ध है; रेखा प्रतिरूप की पुष्टि करती है और किसी लंबाई-खिसकाव से बचाती है।

25. $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$ ; लगभग $0.2\,\mathrm{s}$ के प्रतिक्रिया-काल के साथ एक ही झूले का समय लेने पर $u(\tau)/\tau \approx 3\%$ आता है, अतः $u(g)/g \approx 6\%$ , जबकि $u(\ell)/\ell$ घटकर $0.03\%$ रह जाता है: यह भाग IV से बीस गुना बुरा है। लंबाई से मिला लाभ एक ही आवर्तकाल का समय लेने में बरबाद हो जाता है। सर्वोत्तम रणनीति: लंबा लोलक और बहुत सारे आवर्तकाल, दोहराए हुए — $10\,\mathrm{m}$ के लोलक के दस झूले, आठ बार, जिससे $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ और $u(g)/g \approx 0.07\%$ मिलते हैं।

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