विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

25किसी शुद्ध पदार्थ के प्रावस्था-परिवर्तन

पानी वही एक पदार्थ है जिसे सबने तीनों अवस्थाओं में देखा है, और वही दुनिया के अधिकांश बिजलीघरों का कार्यकारी तरल है, पहली बर्फ़-मशीनों का शीतलक, और मौसम का इंजन भी। बर्फ़ ऐसे ताप पर गलती है जो ऊष्मा उँडेलते रहने पर भी टस से मस नहीं होता; कोई केतली समुद्र-तट पर $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलती है और एवरेस्ट पर $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; और बहुत ठंडे पानी की कोई बंद बोतल एक थपकी से जम जाती है। यह अध्याय किसी शुद्ध पदार्थ की प्रावस्थाओं का नक़्शा खींचता है — $(T, P)$ और $(v, P)$ आरेख — और उसके साथ के तीनों औज़ार देता है: उत्तोलक नियम (हर प्रावस्था कितनी है), गुप्त ऊष्मा (किसी परिवर्तन की क़ीमत, ऊर्जा में और एन्ट्रॉपी में) तथा क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन संबंध (सीमा-रेखाओं की ढाल कितनी है)। और वह वहीं समाप्त होता है जहाँ नक़्शा चूक जाता है: उपस्थायी अवस्थाओं पर, जहाँ से मौसम और प्रेशर कुकर के आश्चर्य आते हैं।

25.1 प्रावस्थाएँ और $(T, P)$ आरेख

परिभाषा 25.1 (शुद्ध पदार्थ, प्रावस्था, प्रावस्था-परिवर्तन)

शुद्ध पदार्थ किसी एक ही रासायनिक जाति का पिंड है। कोई प्रावस्था उसका वह भाग है जो अपने भौतिक गुणों में समांगी हो: ठोस, द्रव, गैस (वाष्प, जब वह अपने द्रव के साथ सह-अस्तित्व में हो)। कोई प्रावस्था-परिवर्तन (गलन/जमाव, वाष्पन/ संघनन, ऊर्ध्वपातन/निक्षेपण) एक प्रावस्था से दूसरी में जाना है; नियत दाब पर वह किसी नियत ताप पर होता है, जिसमें ऊष्मा का आदान-प्रदान तो होता है पर ताप नहीं बदलता: यही गुप्त ऊष्मा है।

प्रतिज्ञप्ति 25.2 (साम्य आरेख)

$(T, P)$ तल में हर प्रावस्था एक क्षेत्र घेरती है; दो प्रावस्थाएँ केवल किसी वक्र के अनुदिश साथ रहती हैं (ऊर्ध्वपातन, गलन, वाष्पन), और तीनों केवल एक ही बिंदु पर, जिसे त्रिक बिंदु कहते हैं। वाष्पन-वक्र $P = P_s(T)$ — यानी संतृप्त वाष्प दाब — क्रांतिक बिंदु $(T_c, P_c)$ पर समाप्त हो जाता है, जिसके आगे द्रव और गैस में कोई भेद नहीं रह जाता। पानी के लिए: त्रिक बिंदु $273.16\,\mathrm{K}$ , $611\,\mathrm{Pa}$ ; और क्रांतिक बिंदु $647\,\mathrm{K}$ , $221\,\mathrm{bar}$ । पानी का गलन-वक्र बाईं ओर झुका है (बर्फ़ पानी से कम सघन है); और लगभग हर दूसरे पदार्थ के लिए वह दाईं ओर झुकता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

पानी का प्रावस्था आरेख (मापनी के अनुसार नहीं)। वायुमंडलीय दाब पर गरम करना बिंदुदार समदाबी रेखा पर चलता है: बर्फ़ वहाँ गलती है जहाँ वह गलन-वक्र को काटती है, और पानी वहाँ उबलता है जहाँ वह वाष्पन-वक्र को काटती है। पानी का गलन-वक्र बाईं ओर झुका है: दाब उसका गलनांक घटा देता है।

टिप्पणी 25.3 (क्वथन, वाष्पीकरण और प्रेशर कुकर)

कोई द्रव अपने पृष्ठ से किसी भी ताप पर वाष्पित होता रहता है, जब तक उसके ऊपर उसकी वाष्प का आंशिक दाब $P_s(T)$ से नीचे हो; और वह तब उबलता है जब $P_s(T)$ परिवेश के दाब तक पहुँच जाए, ताकि वाष्प के बुलबुले उसके भीतर ही बढ़ सकें। पानी $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर इसलिए उबलता है कि $P_s(100{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1.013\,\mathrm{bar}$ है; एवरेस्ट पर $0.33\,\mathrm{bar}$ पर वह लगभग $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है, और किसी प्रेशर कुकर में $1.8\,\mathrm{bar}$ पर लगभग $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर। किसी उबलते द्रव का ताप दाब से जकड़ा रहता है — यही तथ्य दो सदियों तक सेल्सियस मापनी की परिभाषा में काम आया।

25.2 $(v, P)$ आरेख और उत्तोलक नियम

प्रतिज्ञप्ति 25.4 (ऐंड्रूज़ के समतापी वक्र)

विशिष्ट आयतन के क्लैपेरॉन तल $(v, P)$ में, कोई समतापी वक्र $T < T_c$ तीन भागों में बँटा होता है: एक खड़ी शाखा (द्रव, जो लगभग असंपीड्य है), $P = P_s(T)$ पर एक क्षैतिज पठार, जहाँ द्रव और वाष्प साथ रहते हैं, और एक अतिपरवलय-सी शाखा (वाष्प)। पठार के सिरे संतृप्त द्रव तथा वाष्प के विशिष्ट आयतन $v_l(T)$ और $v_v(T)$ हैं; और उनका बिंदुपथ संतृप्ति वक्र (यानी गुंबद) है, जिसका शिखर क्रांतिक बिंदु है, जहाँ समतापी वक्र $T_c$ का नति-परिवर्तन क्षैतिज होता है। $T_c$ के ऊपर कोई पठार होता ही नहीं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

प्रमेय 25.5 (उत्तोलक नियम)

कोई द्रव्यमान $m$ , जिसका विशिष्ट आयतन $v$ हो और जो $T$ पर पठार पर हो, वाष्प के द्रव्यमान-अंश $x = m_v/m$ (यानी शुष्कता अंश) और द्रव के अंश $1 - x$ में बँट जाता है, जहाँ

v = (1 - x)v_l + x\,v_v , \qquad\text{अर्थात्}\qquad x = \frac{v - v_l}{v_v - v_l} = \frac{LM}{LV} ,

यानी पठार पर अवस्था-बिंदु $M$ से कटे खंडों का अनुपात। यही नियम प्रति एकांक द्रव्यमान की हर विस्तीर्ण राशि के लिए लागू है ( $u$ , $h$ , $s$ ): $h = (1 - x)h_l + xh_v$ ।

उपपत्ति. आयतन जुड़ते हैं: $V = m_lv_l + m_vv_v$ ; इसे $m$ से भाग दीजिए। ऊर्जा, एन्थैल्पी और एन्ट्रॉपी भी विस्तीर्ण हैं। ∎

क्लैपेरॉन आरेख में ऐंड्रूज़ के समतापी वक्र। गुंबद के नीचे समतापी वक्र T_1 एक पठार है, P_s(T_1) पर; और उस पर की कोई अवस्था M ऐसा मिश्रण है जिसका वाष्प-अंश x अनुपात LM/LV है। क्रांतिक समतापी वक्र गुंबद को उसके शिखर पर क्षैतिज नति-परिवर्तन के साथ छूता है; और T_c के ऊपर न कोई पठार है, न द्रव और गैस में कोई भेद। — क्लैपेरॉन आरेख में ऐंड्रूज़ के समतापी वक्र। गुंबद के नीचे समतापी वक्र $T_1$ एक पठार है, $P_s(T_1)$ पर; और उस पर की कोई अवस्था $M$ ऐसा मिश्रण है जिसका वाष्प-अंश $x$ अनुपात $LM/LV$ है। क्रांतिक समतापी वक्र गुंबद को उसके शिखर पर क्षैतिज नति-परिवर्तन के साथ छूता है; और $T_c$ के ऊपर न कोई पठार है, न द्रव और गैस में कोई भेद।

उदाहरण 25.6 (केतली और बॉयलर)

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1\,\mathrm{atm}$ पर पानी: $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ , $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ — यानी $1600$ का अनुपात। उसी ताप पर $0.50\,\mathrm{kg}$ पानी रखे किसी बंद $1.0\,\mathrm{L}$ पात्र के लिए $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ और $x = (2.0 - 1.04) \times 10^{-3}/1.67 = 5.8 \times 10^{-4}$ : यानी $0.29\,\mathrm{g}$ वाष्प, जो पात्र का आधा भाग घेरे रहती है। किसी बंद पात्र में वाष्प का द्रव्यमान दुगुना करने से अवस्था-बिंदु मुश्किल से हिलता है; दाब केवल ताप से तय होता है।

25.3 किसी प्रावस्था-परिवर्तन की ऊर्जा

प्रतिज्ञप्ति 25.7 (गुप्त ऊष्मा, संक्रमण की एन्थैल्पी और एन्ट्रॉपी)

सह-अस्तित्व के ताप $T$ और दाब $P_s(T)$ पर, एकांक द्रव्यमान का प्रावस्था 1 से प्रावस्था 2 में संक्रमण उत्क्रमणीय, समतापी और समदाबी होता है, और

L_{12}(T) = h_2 - h_1 , \qquad s_2 - s_1 = \frac{L_{12}}{T} , \qquad u_2 - u_1 = L_{12} - P_s(v_2 - v_1) .

कम व्यवस्थित प्रावस्था की ओर जाने पर $L_{12} > 0$ होता है (गलन, वाष्पन, ऊर्ध्वपातन), और $L_{21} = -L_{12}$ । $1\,\mathrm{atm}$ पर पानी के लिए: $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , और $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ।

उपपत्ति. अचर दाब पर मिली ऊष्मा $\Delta H$ है (प्रतिज्ञप्ति 22.7); उत्क्रमणीय तथा समतापी होने से वह $T\Delta S$ (प्रतिज्ञप्ति 23.3); और $U = H - PV$ । ∎

उदाहरण 25.8 (वाष्पन की ऊष्मा जाती कहाँ है)

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर पानी के लिए: $P_s(v_v - v_l) = 1.013 \times 10^5 \times 1.67 = 169\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , अतः $u_v - u_l = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : यानी गुप्त ऊष्मा का $93\%$ अणुओं को एक-दूसरे से नोचने में जाता है और $7\%$ वायुमंडल को पीछे धकेलने में। वाष्पन की एन्ट्रॉपी, $2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , गलन की $334/273 = 1.22\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ के सामने बहुत बड़ी है: गलन अणुओं की जकड़ ढीली करता है, क्वथन उन्हें मुक्त कर देता है।

विधि 25.9 (प्रावस्था-परिवर्तनों सहित ऊष्मामिति)

अचर दाब पर किसी रोधी पात्र में, $\sum\Delta H_i = 0$ । अंतिम अवस्था का अनुमान लगाइए (कौन-सी प्रावस्थाएँ मौजूद हैं, किस ताप पर); हर पिंड का $\Delta H$ सुबोध ऊष्माओं $mc\,\Delta T$ के रूप में लिखिए, साथ में उन परिवर्तनों की गुप्त ऊष्माएँ $\pm mL$ जो वह झेलता है; हल कीजिए; और अनुमान जाँचिए: कोई पिंड यदि अपने क्वथनांक से ऊपर या गलनांक से नीचे समाप्त हो, या किसी प्रावस्था का द्रव्यमान ऋणात्मक निकले, तो अनुमान ग़लत था — तब अंतिम अवस्था संक्रमण-ताप पर कोई मिश्रण है, और अज्ञात राशि वह द्रव्यमान बन जाती है जो बदला (उदाहरण 22.13)।

उदाहरण 25.10 (भाप जलाती है)

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ की $10\,\mathrm{g}$ भाप त्वचा पर संघनित होकर एक डिग्री ठंडी होने से पहले ही $0.010 \times 2257 = 22.6\,\mathrm{kJ}$ दे देती है — यानी उतना ही जितना $10\,\mathrm{g}$ खौलता पानी $540\,\mathrm{K}$ ठंडा होकर देता। इसीलिए भाप उसी ताप के पानी से कहीं बुरी तरह झुलसाती है, और इसीलिए किसी भाप-रेडिएटर को इतना कम द्रव्यमान-प्रवाह चाहिए।

वही गुंबद एन्ट्रॉपी आरेख में। कोई समदाबी वक्र उसे L_v/T लंबाई के किसी क्षैतिज खंड के रूप में काटता है; और खंड के नीचे का क्षेत्रफल गुप्त ऊष्मा है। बिजलीघरों के चक्र इसी तल में खींचे जाते हैं, और टरबाइन के निकास पर शुष्कता अंश उत्तोलक नियम से उसी खंड पर पढ़ लिया जाता है। — वही गुंबद एन्ट्रॉपी आरेख में। कोई समदाबी वक्र उसे $L_v/T$ लंबाई के किसी क्षैतिज खंड के रूप में काटता है; और खंड के नीचे का क्षेत्रफल गुप्त ऊष्मा है। बिजलीघरों के चक्र इसी तल में खींचे जाते हैं, और टरबाइन के निकास पर शुष्कता अंश उत्तोलक नियम से उसी खंड पर पढ़ लिया जाता है।

25.4 क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन संबंध

प्रमेय 25.11 (क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन)

प्रावस्थाओं 1 और 2 के किसी सह-अस्तित्व वक्र के अनुदिश,

\frac{\dd P_s}{\dd T} = \frac{L_{12}(T)}{T\,(v_2 - v_1)} .

उपपत्ति. एकांक द्रव्यमान को गुंबद के भीतर किसी अत्यल्प कार्नो चक्र पर घुमाइए: पूरा संक्रमण $1 \to 2$ , $T + \dd T$ ताप और $P_s + \dd P_s$ दाब पर के पठार के अनुदिश (प्रथम कोटि तक मिली ऊष्मा $L_{12}$ ); फिर $T$ तक कोई अत्यल्प रुद्धोष्म चरण; फिर $T$ , $P_s$ पर के पठार के अनुदिश उलटा संक्रमण; और फिर वापस कोई रुद्धोष्म चरण। यह चक्र उत्क्रमणीय है, $T + \dd T$ और $T$ के बीच द्वितापी, अतः उसकी दक्षता $\dd T/T$ है (प्रमेय 24.5); और उसका कार्य, यानी उस पतले आयत का क्षेत्रफल, $\dd P_s\,(v_2 - v_1)$ है। अतः $\dd P_s\,(v_2 - v_1)/L_{12} = \dd T/T$ । ∎

वह अत्यल्प कार्नो चक्र जो क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन संबंध सिद्ध करता है: T की दूरी पर दो पठार, जिन्हें इतने छोटे रुद्धोष्म चरण जोड़ते हैं कि उन्हें खींचा भी नहीं जा सकता; और कार्नो की प्रमेय उसके क्षेत्रफल तथा मिली ऊष्मा के अनुपात को T/T के बराबर कर देती है। — वह अत्यल्प कार्नो चक्र जो क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन संबंध सिद्ध करता है: $\dd T$ की दूरी पर दो पठार, जिन्हें इतने छोटे रुद्धोष्म चरण जोड़ते हैं कि उन्हें खींचा भी नहीं जा सकता; और कार्नो की प्रमेय उसके क्षेत्रफल तथा मिली ऊष्मा के अनुपात को $\dd T/T$ के बराबर कर देती है।

उपप्रमेय 25.12 (किसी द्रव का संतृप्त वाष्प दाब)

यदि वाष्प कोई आदर्श गैस हो और $v_v \gg v_l$ , ताकि $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ , और यदि $L_v$ कम ही बदले, तो

\frac{\dd P_s}{P_s} = \frac{ML_v}{R}\,\frac{\dd T}{T^2} , \qquad \ln\frac{P_s(T)}{P_s(T_0)} = \frac{ML_v}{R}\Bigl(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\Bigr) :

यानी वाष्प दाब ताप के साथ मोटे तौर पर चरघातांकी रूप से बढ़ता है। $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पास पानी के लिए, $ML_v/R = 0.018 \times 2.257 \times 10^6/ 8.314 = 4890\,\mathrm{K}$ और $\dd P_s/\dd T = 2.257 \times 10^6/(373 \times 1.67) = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ : यानी क्वथन-ताप के हर अतिरिक्त केल्विन की क़ीमत $36\,\mathrm{mbar}$ अतिरिक्त दाब है।

उपपत्ति. प्रमेय में $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ रखिए और चर अलग कीजिए; फिर $L_v$ को अचर मानकर समाकलित कीजिए। ∎

पानी का संतृप्त वाष्प दाब। वक्र -1/T में किसी चरघातांकी के पास ही है; और क्वथन-ताप वहीं है जहाँ वह परिवेश के दाब को काटता है। — पानी का संतृप्त वाष्प दाब। वक्र $-1/T$ में किसी चरघातांकी के पास ही है; और क्वथन-ताप वहीं है जहाँ वह परिवेश के दाब को काटता है।

उदाहरण 25.13 (स्केट के नीचे बर्फ़)

बर्फ़–पानी के लिए, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ और $v_l - v_s = (1.000 - 1.091) \times 10^{-3} = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ : $\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/(273 \times (-9.1 \times 10^{-5})) = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$ । $30\,\mathrm{cm}$ गुणा $3\,\mathrm{mm}$ ( $9\,\mathrm{cm}^{2}$ ) के किसी एक फल पर खड़ा $70\,\mathrm{kg}$ का कोई स्केटर लगभग $8\,\mathrm{bar}$ लगाता है, जिससे गलनांक $0.06\,\mathrm{K}$ गिर जाता है — यानी दाब से गलना वह कारण नहीं है जिससे स्केट फिसलते हैं (बर्फ़ की एक पतली सतही परत अपने आप ही द्रव-सी रहती है, और घर्षण गरम करता है); पर वह ऋणात्मक ढाल असली है, और उसी से भारों से लदा कोई तार बर्फ़ के किसी गुटके को काटता चला जाता है, जो उसके पीछे फिर जम जाती है।

25.5 उपस्थायी अवस्थाएँ

परिभाषा 25.14 (अतिशीतलन, अतितापन)

कोई प्रावस्था अपनी साम्य-सीमा के आगे भी बनी रह सकती है: द्रव पानी $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे बिना जमे ठंडा (अतिशीतलन), अपने क्वथनांक से ऊपर बिना उबले गरम (अतितापन), और वाष्प $P_s$ से आगे बिना संघनित हुए संपीडित (अतिसंतृप्ति)। ऐसी उपस्थायी अवस्थाओं के लिए नाभिकन स्थलों का न होना ज़रूरी है — धूल, खरोंच, घुली हुई गैस, बर्फ़ के रवे — जिन पर नई प्रावस्था शुरू हो सके; और कोई भी विक्षोभ उन्हें अचानक तथा अनुत्क्रमणीय ढंग से साम्य की ओर ढकेल देता है।

उदाहरण 25.15 (अतिशीतित बोतल)

किसी साफ़ बोतल में $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर शांत पड़ा पानी, थपकी लगने पर: बर्फ़ के रवे उसमें दौड़ जाते हैं और ताप उछलकर $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर आ जाता है। यह प्रक्रिया रुद्धोष्म और तेज़ है, अतः सुबोध ऊष्मा $c\,\Delta T$ पानी के $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$ अंश को जमा देती है; और सृजित एन्ट्रॉपी, $c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124 - 122 = +2\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , धनात्मक है, जैसा होना ही चाहिए। बादल $-40{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक की अतिशीतित बूँदों से भरे रहते हैं; और विमानों पर बर्फ़ जमना तथा बादलों का बीजारोपण, दोनों इसी का लाभ उठाते हैं।

टिप्पणी 25.16 (क्वथन-कण और बुलबुला कक्ष)

किसी द्रव में $r$ त्रिज्या का कोई बुलबुला, जब द्रव दाब $P$ पर हो, $P + 2\sigma/r$ पर वाष्प रखता है (पृष्ठ तनाव $\sigma$ , वर्ष 2 का खंड); और वह तभी बढ़ सकता है जब $P_s(T) > P + 2\sigma/r$ हो, अतः अपने क्वथनांक पर पड़े किसी साफ़ द्रव में शुरू होने लायक कोई छोटा बुलबुला होता ही नहीं और वह फूटने से पहले कई केल्विन तक अतितापित हो जाता है — यही वह “उछाल” है जिसे क्वथन-कण गैस से भरी गुहाएँ देकर रोक लेते हैं। कण-भौतिकी का बुलबुला कक्ष उसी अस्थायित्व को उलटकर चलता था: कोई अतितापित द्रव सबसे पहले किसी आयनकारी कण के पथ के अनुदिश उबलता है।

उदाहरण 25.17 (आर्द्रता और ओस)

हवा जल-वाष्प को किसी आंशिक दाब $P_v \leq P_s(T)$ पर रखती है; आपेक्षिक आर्द्रता $P_v/P_s(T)$ है, और ओसांक वह ताप जिस पर $P_s$ गिरकर $P_v$ हो जाए। $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ की हवा ( $P_s = 3.17\,\mathrm{kPa}$ ), जिसकी आर्द्रता $60\%$ हो, उसमें $P_v = 1.9\,\mathrm{kPa}$ , $\rho_v = P_vM/(RT) = 14\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ होता है, और वह लगभग $17{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे के किसी भी पृष्ठ पर ओस बना देती है — भोर की घास, ठंडी बोतल, स्नानघर का दर्पण। ऊपर उठने पर वही हवा रुद्धोष्म रूप से $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ की दर से ठंडी होती है (समस्या 25.1) और लगभग एक किलोमीटर ऊपर अपने ओसांक पर पहुँच जाती है: वहीं कपासी मेघों के चपटे तल होते हैं।

25.6 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

पाठ के आरेख से पानी की प्रावस्था बताइए: (क) $0.5\,\mathrm{kPa}$ के नीचे $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; (ख) $1\,\mathrm{bar}$ के नीचे $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; (ग) $200\,\mathrm{bar}$ के नीचे $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; (घ) $611\,\mathrm{Pa}$ के नीचे $0.01{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर। कोई गड्ढा $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर सूख क्यों जाता है, जबकि पानी “100 पर उबलता है”?

हल

हल — अभ्यास 25.1.

(क) वाष्प: $0.5\,\mathrm{kPa}$ $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$ से नीचे है। (ख) ठोस। (ग) $T_c = 374{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर: अतिक्रांतिक तरल, जिसमें द्रव–गैस का कोई भेद नहीं। (घ) त्रिक बिंदु: तीनों। गड्ढा अपने पृष्ठ से तब तक वाष्पित होता रहता है जब तक हवा में वाष्प का दाब $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C})$ से नीचे है; और क्वथन केवल वह स्थिति है जिसमें द्रव के भीतर ही बुलबुले बन सकें।

अभ्यास 25.2 ★

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ की $100\,\mathrm{g}$ भाप किसी रोधी पात्र में $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ के $1.0\,\mathrm{kg}$ पानी में बुलबुले बनाकर छोड़ी जाती है। अंतिम ताप ( $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )। $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ का $100\,\mathrm{g}$ पानी मिलाने से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 25.2.

$0.1 \times 2257 + 0.1 \times 4.18\,(100 - T_f) = 1.0 \times 4.18\,(T_f - 20)$ : $351.1 = 4.60\,T_f$ , $T_f = 76{}^{\circ}\mathrm{C}$ । इसकी जगह गरम पानी मिलाने पर: $100 - T_f = 10(T_f - 20)$ , $T_f = 27{}^{\circ}\mathrm{C}$ — यानी गुप्त ऊष्मा $540\,\mathrm{K}$ की सुबोध ऊष्मा के बराबर बैठती है।

अभ्यास 25.3 ★

कोई दृढ़ $2.0\,\mathrm{L}$ पात्र $150{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर द्रव–वाष्प साम्य में $1.0\,\mathrm{kg}$ पानी रखता है ( $P_s = 4.76\,\mathrm{bar}$ , $v_l = 1.09 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ , $v_v = 0.393\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ )। शुष्कता अंश, वाष्प का द्रव्यमान, और द्रव से घिरा आयतन।

हल

हल — अभ्यास 25.3.

$v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; $x = (2.0 - 1.09) \times 10^{-3}/0.392 = 2.3 \times 10^{-3}$ : यानी $2.3\,\mathrm{g}$ वाष्प, जो $0.91\,\mathrm{L}$ भरती है; और $0.998\,\mathrm{kg}$ द्रव $0.998 \times 1.09 = 1.09\,\mathrm{L}$ घेरता है।

अभ्यास 25.4 ★

$100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर पानी के वाष्पन की एन्ट्रॉपी, प्रति किलोग्राम और प्रति मोल; तथा $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर गलन की मोलर एन्ट्रॉपी। बहुत-से साधारण द्रवों की वाष्पन की मोलर एन्ट्रॉपी लगभग $88\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ होती है (ट्रूटन का नियम): क्या पानी साधारण है?

हल

हल — अभ्यास 25.4.

$2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , अर्थात् $\times 0.018 = 109\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; और गलन $334/273 \times 0.018 = 22\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ । पानी का $109$ ट्रूटन के $88$ से कहीं ऊपर है: हाइड्रोजन बंध द्रव पानी को किसी साधारण द्रव से अधिक व्यवस्थित बना देते हैं, अतः उसे वाष्पित करने पर अव्यवस्था अधिक बढ़ती है।

अभ्यास 25.5 ★★

एवरेस्ट के शिखर पर, $P = 0.33\,\mathrm{bar}$ , पानी का क्वथन-ताप, उपप्रमेय 25.12 से $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ के साथ; और $2000\,\mathrm{m}$ पर ( $P = 0.80\,\mathrm{bar}$ )। $3\,\mathrm{min}$ वाले उबले अंडे का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 25.5.

$1/T = 1/373.15 - \ln(P/P_0)/4890$ । एवरेस्ट: $\ln(0.33/1.013) = -1.12$ , $1/T = 2.680 \times 10^{-3} + 2.29 \times 10^{-4}$ , $T = 344\,\mathrm{K} = 71{}^{\circ}\mathrm{C}$ । $0.80\,\mathrm{bar}$ पर: $\ln = -0.236$ , $T = 366\,\mathrm{K} = 93{}^{\circ}\mathrm{C}$ । $71{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर सफ़ेदी धीरे जमती है और ज़र्दी लगभग जमती ही नहीं: यानी $3\,\mathrm{min}$ वाला अंडा $10\,\mathrm{min}$ या उससे भी लंबा हो जाता है।

अभ्यास 25.6 ★★

उस प्रेशर कुकर के भीतर का ताप जिसका कपाट $1.8\,\mathrm{bar}$ निरपेक्ष पर खुलता है; और वही, यदि उसका कपाट $2.5\,\mathrm{bar}$ पर लगाया जाए। $1.8\,\mathrm{bar}$ की भाप का $v_v = 0.98\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ है: तो $4\,\mathrm{L}$ पानी के ऊपर किसी $6\,\mathrm{L}$ कुकर में कितने ग्राम भाप रहती है?

हल

हल — अभ्यास 25.6.

$\ln(1.8/1.013) = 0.575$ : $1/T = 2.680 \times 10^{-3} - 1.18 \times 10^{-4}$ , $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; और $2.5\,\mathrm{bar}$ पर: $\ln = 0.903$ , $T = 401\,\mathrm{K} = 128{}^{\circ}\mathrm{C}$ । भाप: $2\,\mathrm{L}/0.98 = 2.0\,\mathrm{g}$ — यानी कुकर में पानी और थोड़ी-सी भाप के सिवा कुछ है ही नहीं।

अभ्यास 25.7 ★★

$0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर पानी के गलन-वक्र की ढाल ( $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $v_s = 1.091 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ , $v_l = 1.000 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ )। किस दाब पर बर्फ़ $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर गलती है? $3\,\mathrm{km}$ मोटी किसी हिम-चादर की तली की बर्फ़ ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): वहाँ का गलन-ताप, और हिमनद के बहने के लिए उसका एक परिणाम।

हल

हल — अभ्यास 25.7.

$\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/[273 \times (-9.1 \times 10^{-5})] = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$ : यानी बर्फ़ $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर लगभग $130\,\mathrm{bar}$ के नीचे गलती है। $3\,\mathrm{km}$ बर्फ़ के नीचे, $P = 917 \times 9.8 \times 3000 = 270\,\mathrm{bar}$ : गलन $-2{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; अतः किसी हिमनद की तली अपने गलन-ताप पर हो सकती है जबकि सतह कहीं अधिक ठंडी रहे, और पिघले पानी की वह झिल्ली हिम-चादर को सरकने देती है।

अभ्यास 25.8 ★★

एक किलोग्राम पानी $1\,\mathrm{atm}$ के नीचे $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलकर उड़ जाता है ( $v_v = 1.673\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ , $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ )। पानी को मिला कार्य, मिली ऊष्मा, $\Delta U$ , $\Delta H$ , $\Delta S$ ; और सृजित एन्ट्रॉपी, यदि ऊष्मा $1500\,\mathrm{K}$ की किसी लौ से आती हो।

हल

हल — अभ्यास 25.8.

$W = -P(v_v - v_l) = -1.013 \times 10^5 \times 1.672 = -169\,\mathrm{kJ}$ (पानी वायुमंडल को पीछे धकेलता है); $Q = L_v = 2257\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta H = 2257\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta S = 2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ । $1500\,\mathrm{K}$ की किसी लौ से: $S_{\mathrm{exch}} = 2257/1500 = 1.50\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ , और सृजित $4.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — यानी लौ की अधिकांश गुणवत्ता पानी गरम करने में बरबाद हो जाती है।

अभ्यास 25.9 ★★

संतृप्ति दाब: $1.23\,\mathrm{kPa}$ ( $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ( $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ( $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ( $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ )। $22{}^{\circ}\mathrm{C}$ के किसी कमरे की आपेक्षिक आर्द्रता $70\%$ है: वाष्प का दाब, ओसांक (अंतर्वेशन कीजिए), और $50\,\mathrm{m}^{3}$ में जल-वाष्प का द्रव्यमान। $12{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर की कोई खिड़की: क्या उस पर भाप जमेगी? बिना पानी जोड़े कमरे को $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गरम करने पर: नई आर्द्रता।

हल

हल — अभ्यास 25.9.

$P_s(22{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 2.34 + 0.4 \times 0.83 = 2.67\,\mathrm{kPa}$ , $P_v = 0.70 \times 2.67 = 1.87\,\mathrm{kPa}$ ; ओसांक वहाँ जहाँ $P_s = 1.87$ : $15 + 5 \times 0.17/0.64 = 16{}^{\circ}\mathrm{C}$ । द्रव्यमान: $\rho_v = 1870 \times 0.018/ (8.314 \times 295) = 13.7\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ , यानी कमरे में $0.69\,\mathrm{kg}$ । $12{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर की खिड़की: $P_s \approx 1.42\,\mathrm{kPa} < 1.87$ , अतः उस पर भाप जमेगी। $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर आर्द्रता गिरकर $1.87/3.17 = 59\%$ रह जाती है।

अभ्यास 25.10 ★★★

त्रिक बिंदु। (क) $h$ के अवस्था-फलन होने से दिखाइए कि त्रिक बिंदु पर $L_s = L_f + L_v$ (ऊर्ध्वपातन = गलन + वाष्पन)। (ख) क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन से दिखाइए कि त्रिक बिंदु पर ऊर्ध्वपातन-वक्र वाष्पन-वक्र से अधिक खड़ा होता है ( $v_s$ , $v_l$ की, $v_v$ के सामने, उपेक्षा कीजिए)। (ग) पानी: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $L_v = 2500\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $T = 273.16\,\mathrm{K}$ , $P = 611\,\mathrm{Pa}$ , और वाष्प कोई आदर्श गैस: दोनों ढालें $\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ में। (घ) किसी सूखे ठंडे दिन बर्फ़ बिना गले ही ग़ायब क्यों हो जाती है?

हल

हल — अभ्यास 25.10.

(क) $h$ एक अवस्था फलन है: त्रिक बिंदु पर ठोस $\to$ द्रव $\to$ वाष्प जाने से या सीधे ठोस $\to$ वाष्प जाने से वही $\Delta h$ मिलता है: $L_s = L_f + L_v$ । (ख) $v_s, v_l \ll v_v$ के साथ दोनों ढालें $L/(Tv_v)$ हैं, एक ही $T$ और $v_v$ पर: अतः उनका अनुपात $L_s/L_v > 1$ है। (ग) $v_v = RT/(MP) = 8.314 \times 273.16/(0.018 \times 611) = 206\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; वाष्पन $2.50 \times 10^6/(273.16 \times 206) = 44\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ , और ऊर्ध्वपातन $2.83 \times 10^6/ (273.16 \times 206) = 50\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ । (घ) $1\,\mathrm{bar}$ पर $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे कोई द्रव होता ही नहीं; और यदि हवा का वाष्प-दाब बर्फ़ पर के $P_s$ ( $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $260\,\mathrm{Pa}$ ) से नीचे हो तो बर्फ़ ऊर्ध्वपातित हो जाती है — सूखी ठंडी हवा उसे खा जाती है।

अभ्यास 25.11 ★★★

अतितापित पानी। पानी में $r$ त्रिज्या का कोई बुलबुला, जब पानी दाब $P_0$ पर हो, $P_0 + 2\sigma/r$ पर वाष्प रखता है, जहाँ $\sigma = 0.059\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (स्वीकृत)। (क) $1.013\,\mathrm{bar}$ के नीचे $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पानी में बढ़ सकने वाले बुलबुले की न्यूनतम त्रिज्या, $\dd P_s/\dd T = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ के साथ। (ख) वही $101{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर। (ग) किसी माइक्रोवेव भट्ठी में $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक अतितापित पानी के प्याले को किसी चम्मच से छेड़ा जाता है: पानी का वह अंश जो झटके में भाप बन जाता है, और प्रति लीटर पानी पर बनी भाप का आयतन — ख़तरे पर टिप्पणी कीजिए। (घ) क्वथन-कण इसे क्यों रोक देते हैं?

हल

हल — अभ्यास 25.11.

(क) $P_s(105{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.013 + 5 \times 0.036 = 1.19\,\mathrm{bar}$ : $\Delta P = 0.18\,\mathrm{bar}$ , $r^\ast = 2 \times 0.059/(1.8 \times 10^4) = 6.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ख) $\Delta P = 3.6\,\mathrm{kPa}$ , $r^\ast = 33\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ग) $x = c\,\Delta T/L_v = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$ : यानी प्रति लीटर $9.3\,\mathrm{g}$ , अर्थात् $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ भाप, जो किसी प्याले के भीतर सेकंड के अंश में बन जाती है — पानी उबलता हुआ बाहर उड़ जाता है। (घ) क्वथन-कण अपने छिद्रों में हवा रखते हैं: दसियों माइक्रोमीटर के बुलबुले पहले से मौजूद रहते हैं, अतः $P_s$ के $P_0$ तक पहुँचते ही क्वथन शुरू हो जाता है।

अभ्यास 25.12 ★★★

किसी शीतलक का चक्र। कोई ऊष्मा पंप R-134a को परिभाषा 24.16 पर घुमाता है: वाष्पन $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ; $h_l = 187\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_v = 392\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), और संघनन $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर ( $10.2\,\mathrm{bar}$ ; $h_l = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_v = 419\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ )। तरल संघनित्र से संतृप्त द्रव के रूप में निकलता है और वाष्पित्र से संतृप्त वाष्प के रूप में; और संपीडक उसे $h = 430\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ पर देता है। मान लीजिए कि कपाट में $h$ संरक्षित रहता है और संपीडक का प्रति किलोग्राम कार्य $\Delta h$ है (सतत-प्रवाह संतुलन, वर्ष 2 का खंड); और विनिमयकों में, समदाबी होने से, $q = \Delta h$ (प्रतिज्ञप्ति 22.7)। (क) वाष्पित्र के प्रवेश पर शुष्कता अंश। (ख) वाष्पित्र में प्रति किलोग्राम ली गई ऊष्मा, संघनित्र में दी गई ऊष्मा, संपीडन का कार्य; और पहला नियम जाँचिए। (ग) $e_p$ और $e_f$ ; दोनों संतृप्ति तापों के बीच के कार्नो मानों से तुलना कीजिए। (घ) $6\,\mathrm{kW}$ तापन के लिए द्रव्यमान-प्रवाह दर।

हल

हल — अभ्यास 25.12.

(क) कपाट के बाद $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (256 - 187)/(392 - 187) = 0.34$ । (ख) वाष्पित्र $q_c = 392 - 256 = 136\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; संपीडक $w = 430 - 392 = 38\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; संघनित्र $q_h = 256 - 430 = -174\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; और $136 + 38 - 174 = 0$ । (ग) $e_p = 174/38 = 4.6$ , $e_f = 136/38 = 3.6$ ; कार्नो $313/50 = 6.3$ और $263/50 = 5.3$ : यानी आदर्श का लगभग $0.7$ । (घ) $\dot m = 6000/174000 = 34\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ , यानी मिनट भर में $2.1\,\mathrm{kg}$ ।

कोई प्रेशर कुकर: 1.8\, bar पर पानी 117 C पर उबलता है, और भारित कपाट ही वह है जो दाब तय करता है। — कोई प्रेशर कुकर: $1.8\,\mathrm{bar}$ पर पानी $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है, और भारित कपाट ही वह है जो दाब तय करता है।

25.7 समस्या: चार दृश्यों में पानी

समस्या 25.1

सप्ताहांत समस्या — प्रेशर कुकर, बादल, बंद पात्र और अतिशीतित बोतल: एक ही पदार्थ, और उसके प्रावस्था आरेख के चार उपयोग

पानी के आँकड़े: $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर लगभग $2.2\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , और $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पास $2.45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ (द्रव); $M = 18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पास $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ । संतृप्ति दाब: $0.61\,\mathrm{kPa}$ ( $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $1.23\,\mathrm{kPa}$ ( $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ( $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ( $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ( $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $101.3\,\mathrm{kPa}$ ( $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ )। संतृप्त विशिष्ट आयतन: $v_l = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ (ठंडा पानी), $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; $300{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $v_v = 0.0217\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ , $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $0.0108$ , $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $0.0088$ ; क्रांतिक बिंदु $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $221\,\mathrm{bar}$ , $v_c = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ । हवा: $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $c_p = 1.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , $\gamma = 1.4$ ; $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ।

भाग I — प्रेशर कुकर।

समुद्र-तल पर खुले किसी बरतन में पानी $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर क्यों नहीं गरम किया जा सकता, चाहे लौ कितनी भी तेज़ हो?
क्लॉज़ियस–क्लैपेरॉन संबंध से चलकर $\ln[P_s(T)/P_s(T_0)] = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ व्युत्पन्न कीजिए, और सन्निकटन बताइए।
उस कुकर के भीतर का ताप जिसका कपाट $1.8\,\mathrm{bar}$ निरपेक्ष पर खुलता है।
कपाट $20\,\mathrm{mm}^{2}$ के किसी छिद्र पर टिका कोई भार है; वायुमंडलीय दाब $1.0\,\mathrm{bar}$ : भार का द्रव्यमान।
$2.0\,\mathrm{L}$ पानी $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ से काम के ताप तक $2.0\,\mathrm{kW}$ की किसी प्लेट से लाया जाता है (बरतन की उपेक्षा कीजिए): ऊष्मा और समय।
वहाँ पहुँचने के बाद प्लेट $2.0\,\mathrm{kW}$ पर ही छोड़ दी जाती है: प्रति मिनट कपाट से निकलती भाप का द्रव्यमान। रसोइये को क्या करना चाहिए?
पकाने की अभिक्रियाएँ हर $10\,\mathrm{K}$ पर मोटे तौर पर दुगुनी तेज़ हो जाती हैं: कुकर समुद्र-तल की किसी $30\,\mathrm{min}$ वाली विधि को कितने गुना छोटा कर देता है? और वही विधि एवरेस्ट पर, जहाँ पानी $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है, कितनी देर लेती?

भाग II — बादल।

आपेक्षिक आर्द्रता को परिभाषित कीजिए। $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $60\%$ की हवा: वाष्प का आंशिक दाब, और प्रति घन मीटर वाष्प का द्रव्यमान (आदर्श गैस)।
उस हवा का ओसांक (सारणी में अंतर्वेशन कीजिए)। भोर में घास पर ओस और ठंडी बोतल पर बूँदों को समझाइए।
सूखी हवा का कोई पिंड बिना ऊष्मा का आदान-प्रदान किए ऊपर उठता है। उत्क्रमणीय रुद्धोष्म नियम और द्रवस्थैतिक संबंध $\dd P/\dd z = -\rho g$ से दिखाइए कि $\dd T/\dd z = -g/c_p$ है, और उसका मान निकालिए।
ऊपर उठते पिंड का अपना ओसांक भी, दाब गिरने के साथ, लगभग $2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ से गिरता है। वह ऊँचाई जिस पर प्रश्न 8 का पिंड संतृप्त हो जाता है — यानी बादल का तल।
तल के ऊपर, जो वाष्प संघनित होती है वह अपनी गुप्त ऊष्मा पिंड में छोड़ देती है। प्रति किलोग्राम हवा पर $1\,\mathrm{g}$ पानी के संघनन से वह हवा कितनी गरम हो जाती है? ऊपर उठते रहने पर इससे पिंड के ठंडा होने की दर पर क्या असर पड़ता है, और यह गरजते तूफ़ानों के लिए क्यों मायने रखता है?
$1\,\mathrm{km}^{3}$ का कोई कपासी मेघ प्रति घन मीटर $1\,\mathrm{g}$ द्रव पानी रखता है: पानी का द्रव्यमान, और उसके संघनन से निकली ऊर्जा, जूल में तथा $\mathrm{GW}\mathrm{h}$ में।
स्नानघर का कोई दर्पण $18{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, और हवा $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ तथा $80\%$ पर: क्या उस पर भाप जमेगी? किस आर्द्रता पर वह रुक जाती?

भाग III — बंद पात्र। $1.0\,\mathrm{L}$ का कोई दृढ़ इस्पात-पात्र $m$ द्रव्यमान के पानी से भरकर बिना किसी हवा के बंद कर दिया जाता है, फिर धीरे-धीरे गरम किया जाता है।

$20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $m = 0.50\,\mathrm{kg}$ : भीतर का दाब, विशिष्ट आयतन, वाष्प का द्रव्यमान ( $v_v$ के लिए आदर्श गैस लीजिए), और आयतन का वह अंश जो द्रव भरता है।
गरम करने पर: द्रव का तल ऊपर उठता है या नीचे गिरता है? मोटे तौर पर किस ताप पर द्रव पूरा पात्र भर देता है, और उसके बाद दाब का क्या होता है? ( $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $v_l$ लीजिए।)
$m = 0.10\,\mathrm{kg}$ : गरम करने पर द्रव का तल ऊपर उठता है या नीचे गिरता है? मोटे तौर पर किस ताप पर आख़िरी बूँद वाष्पित हो जाती है ( $v_v$ की सारणी लीजिए)?
$m = 0.31\,\mathrm{kg}$ : वर्णन कीजिए कि ताप के $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पास पहुँचते ही कोई प्रेक्षक नवचंद्रक पर क्या देखता है।
संतृप्ति गुंबद सहित $(v, P)$ आरेख में तीनों तापन-पथ खींचिए, और बताइए कि हर एक क्रांतिक बिंदु की किस ओर से गुज़रता है।
वही $1.0\,\mathrm{L}$ पात्र $0.50\,\mathrm{kg}$ पानी के साथ अब उस हवा सहित बंद किया जाता है जो उसमें $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1.0\,\mathrm{bar}$ पर थी, और $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गरम किया जाता है: भीतर का कुल दाब (डाल्टन), और $100\,\mathrm{cm}^{2}$ के किसी ढक्कन पर बल।

भाग IV — अतिशीतित बोतल।

पानी की कोई साफ़, शांत बोतल बिना जमे $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ठंडी हो चुकी है। इस अवस्था को क्या कहते हैं, वह संभव क्यों है, और बोतल पर थपकी लगने पर क्या होता है? तब ताप ठीक $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर ही क्यों ठहरता है?
पानी का वह अंश जो जम जाता है (प्रक्रिया तेज़ है, अतः रुद्धोष्म)।
प्रति किलोग्राम सृजित एन्ट्रॉपी; चिह्न जाँचिए।
उलटा आश्चर्य: किसी माइक्रोवेव भट्ठी में $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक बिना उबले गरम किए गए पानी का कोई प्याला, फिर छेड़ा गया। पानी का वह अंश जो झटके में भाप बन जाता है, प्रति लीटर बनी भाप का आयतन ( $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ), और प्याला क्यों फूट पड़ता है।
खोया कार्य: वह अतिशीतित लीटर $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ के परिवेश के साथ कोई उत्क्रमणीय इंजन चला सकता था; और $T_0 = 273\,\mathrm{K}$ लेने पर, किसी थपकी से उसे जम जाने देकर फेंका गया कार्य $T_0S_{\mathrm{created}}$ है। उसे प्रति लीटर निकालिए और बोतल को एक मीटर उठाने से तुलना कीजिए। निष्कर्ष निकालिए: कोई उपस्थायी अवस्था संचित क्या रखती है?

हल

हल — समस्या 25.1.

1. $1\,\mathrm{atm}$ पर पानी $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है; और जब तक द्रव बचा है, दी गई कोई भी ऊष्मा उसी ताप पर वाष्प बनाती है (गुप्त ऊष्मा), न कि द्रव को गरम करती है: यानी ताप दाब से जकड़ा रहता है।

2. $\dd P_s/\dd T = L_v/[T(v_v - v_l)]$ , जहाँ $v_l \ll v_v = RT/(MP_s)$ (वाष्प आदर्श गैस): अतः $\dd P_s/P_s = (ML_v/R)\,\dd T/T^2$ ; और $L_v$ को अचर लेकर समाकलित कीजिए: $\ln(P_s/P_0) = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ ।

3. $1/T = 1/373.15 - \ln(1.8/1.013)/4890 = 2.562 \times 10^{-3}$ : $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$ ।

4. $m = \Delta P\,A/g = 0.8 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-5}/9.8 = 0.16\,\mathrm{kg}$ ।

5. $Q = 2.0 \times 4.18 \times 97 = 811\,\mathrm{kJ}$ ; $t = 811/2.0 = 405\,\mathrm{s} \approx 7\,\mathrm{min}$ ।

6. $2000/(2.2 \times 10^6) = 0.91\,\mathrm{g}/\mathrm{s} = 55\,\mathrm{g}/\mathrm{min}$ — यानी दो लीटर $37\,\mathrm{min}$ में उड़ गए। प्लेट को उतने ही पर उतार दीजिए जितने पर कपाट फुफकारता रहे: ताप दाब से तय होता है, लौ से नहीं।

7. $+17\,\mathrm{K}$ : यानी $2^{1.7} = 3.2$ गुना तेज़, $30\,\mathrm{min}$ $\to$ $9\,\mathrm{min}$ । एवरेस्ट पर, $-30\,\mathrm{K}$ : $2^{-3}$ , यानी चार घंटे।

8. आपेक्षिक आर्द्रता $= P_v/P_s(T)$ । $P_v = 0.60 \times 3.17 = 1.90\,\mathrm{kPa}$ ; $\rho_v = P_vM/(RT) = 1900 \times 0.018/(8.314 \times 298) = 13.8\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ ।

9. $P_s(T_d) = 1.90\,\mathrm{kPa}$ : $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1.70\,\mathrm{kPa}$ ) और $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $2.34\,\mathrm{kPa}$ ) के बीच: $T_d = 15 + 5 \times 0.20/0.64 = 16.6{}^{\circ}\mathrm{C}$ । रात के आसमान की ओर विकिरण करती घास, या प्रशीतक से निकली बोतल, $T_d$ से नीचे गिर जाती है: तब उसके संस्पर्श की वाष्प संतृप्ति के ऊपर होती है और संघनित हो जाती है।

10. $TP^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{अचर}$ : $\dd T/T = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \dd P/P$ ; और $\dd P = -\rho g\,\dd z$ के साथ, जहाँ $\rho = PM/(RT)$ : $\dd T/T = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{RT}\dd z$ , अतः $\dd T/\dd z = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{R} = -g/c_p$ , क्योंकि $c_p = \gamma R/[(\gamma - 1)M]$ । मान $9.8/1000 = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ।

11. $T - T_d$ का अंतर $9.8 - 2 = 7.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ की दर से घटता है: $z = (25 - 16.6)/ 7.8 = 1.1\,\mathrm{km}$ ।

12. प्रति किलोग्राम हवा पर $1 \times 2.45 = 2.45\,\mathrm{kJ}$ : यानी $\Delta T = 2.45\,\mathrm{K}$ । यह निकास रुद्धोष्म शीतलन का कुछ भाग काट देता है: कोई संतृप्त पिंड केवल $5\text{ to }6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ से ठंडा होता है, अपने चारों ओर से गरम तथा हलका बना रहता है और ऊपर चढ़ता जाता है — गुप्त ऊष्मा ही गरजते तूफ़ान का ईंधन है।

13. $10^9 \times 1\,\mathrm{g} = 1000\,\mathrm{t}$ ; $10^6 \times 2.45 \times 10^6 = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 0.68\,\mathrm{GW}\mathrm{h}$ — यानी किसी बड़े बिजलीघर के चालीस मिनट।

14. $P_v = 0.80 \times 3.17 = 2.54\,\mathrm{kPa}$ ; $P_s(18{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.70 + 0.6 \times 0.64 = 2.08\,\mathrm{kPa} < 2.54$ : अतः उस पर भाप जमेगी, जब तक आर्द्रता $2.08/3.17 = 66\%$ से नीचे न आ जाए।

15. $P = P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$ ; $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; $v_v = RT/(MP_s) = 8.314 \times 293/(0.018 \times 2340) = 58\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; $x = (2.0 - 1.0) \times 10^{-3}/58 = 1.7 \times 10^{-5}$ : यानी $9\,\mathrm{mg}$ वाष्प; और द्रव $0.50 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{L}$ , यानी पात्र का आधा।

16. $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} < v_c$ : समआयतनिक रेखा गुंबद की द्रव शाखा से मिलती है — द्रव वाष्पित होने से तेज़ी से फैलता है, अतः तल ऊपर उठता है, और पात्र तब पूरा द्रव से भर जाता है जब $v_l(T) = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ हो, यानी $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ से कुछ ऊपर (लगभग $190\,\mathrm{bar}$ )। उसके आगे स्थिर आयतन पर गरम होता लगभग असंपीड्य द्रव: दाब प्रति केल्विन दसियों बार चढ़ जाता है — और पात्र फट जाता है। द्रव से पूरा भरा कोई पात्र कभी बंद मत कीजिए।

17. $v = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} > v_c$ : तल नीचे गिरता है; और आख़िरी बूँद तब जाती है जब $v_v(T) = 0.010$ हो, यानी $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $0.0108$ ) और $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $0.0088$ ) के बीच: लगभग $344{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $150\,\mathrm{bar}$ ।

18. $v = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} \approx v_c$ : नवचंद्रक लगभग बीच की ऊँचाई पर ही रहता है, और दोनों घनत्वों के पास आते-आते वह अधिक चपटा तथा धुँधला होता जाता है, तरल दूधिया हो जाता है (क्रांतिक दुग्धाभता), और $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $221\,\mathrm{bar}$ पर नवचंद्रक लुप्त हो जाता है: एक ही प्रावस्था।

19. तीन ऊर्ध्वाधर रेखाएँ: $v = 2.0 \times 10^{-3}$ गुंबद को द्रव शाखा से होकर छोड़ती है, C के बाईं ओर; $10^{-2}$ वाष्प शाखा से होकर, C के दाईं ओर; और $3.2 \times 10^{-3}$ ठीक शिखर से होकर।

20. हवा: $1.0\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ पर $0.5\,\mathrm{L}$ , और उसी आयतन पर $373\,\mathrm{K}$ पर: $P_{\text{हवा}} = 1.0 \times 373/293 = 1.27\,\mathrm{bar}$ ; और उसमें $P_s = 1.01\,\mathrm{bar}$ जोड़िए: यानी भीतर $2.3\,\mathrm{bar}$ , जो बाहर से $1.3\,\mathrm{bar}$ अधिक: अतः ढक्कन पर $1.3 \times 10^5 \times 10^{-2} = 1.3\,\mathrm{kN}$ — यानी $130\,\mathrm{kg}$ का भार।

21. अतिशीतित, उपस्थायी: पहले रवे के लिए कोई नाभिकन स्थल ही नहीं (साफ़ पानी, न धूल, न हिलना)। थपकी बर्फ़ को नाभिकित कर देती है, जो पूरी बोतल में बढ़ती जाती है और $L_f$ छोड़ती जाती है; ताप चढ़कर $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर आता है और वहीं रुक जाता है, क्योंकि $1\,\mathrm{atm}$ पर बर्फ़ और पानी केवल उसी ताप पर साथ रह सकते हैं: और जमना उसी क्षण थम जाता है जब निकली ऊष्मा मिश्रण को वहाँ तक ले आती है।

22. $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$ ।

23. $\Delta s = c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124.3 - 122.3 = +2.0\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ : रुद्धोष्म, अतः सब सृजित; और धनात्मक, जैसा किसी स्वतःस्फूर्त प्रक्रिया को होना ही चाहिए।

24. $x = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$ : यानी प्रति लीटर $9.3\,\mathrm{g}$ भाप, $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ वाष्प, जो सेकंड के अंश में द्रव के भीतर ही जन्म लेती है: इसीलिए प्याला फूट पड़ता है।

25. प्रति लीटर $T_0S_{\mathrm{created}} = 273 \times 2.0 = 550\,\mathrm{J}$ , जबकि $mgh = 9.8\,\mathrm{J}$ : यानी छप्पन गुना अधिक। कोई उपस्थायी अवस्था कार्य संचित रखती है — वही जो कोई उत्क्रमणीय पथ निकाल सकता था — और एक थपकी उसे पूरा-का-पूरा एन्ट्रॉपी में बदल देती है।

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