विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

4प्रकाशिक उपकरण और नेत्र

संगीत-सभा की पिछली पंक्ति से दूरबीन की एक जोड़ी गायक का चेहरा बाँह भर की दूरी पर खींच लाती है; सूक्ष्मदर्शी तालाब के पानी की एक बूँद को चिड़ियाघर बना देता है; और उँगली जितना मोटा फ़ोन आकाशगंगा का छायाचित्र ले लेता है। इनमें से हर उपकरण कुछ पतले लेंसों की ऐसी सज्जा है जिसका एक ही प्रयोजन है: नेत्र के सामने, या किसी संवेदक के सामने, ऐसा प्रतिबिंब रखना जो नेत्र अकेला बना पाता उससे बड़ा, अधिक चमकीला या अधिक तीखा हो। इसलिए यह अध्याय स्वयं नेत्र से शुरू होता है — वह क्या कर सकता है और क्या नहीं — और फिर पिछले अध्याय के संयुग्मन संबंध से आवर्धक, सूक्ष्मदर्शी, दूरदर्शी और कैमरा खड़े करता है।

यर्कीज़ वेधशाला का 40-इंच वाला अपवर्ती दूरदर्शी (1897), जो आज तक बना सबसे बड़ा लेंस-दूरदर्शी है: एक मीटर का अभिदृश्यक और उन्नीस मीटर की नली। इससे बड़े आकार पर लेंस अपने ही भार से झुक जाता है, और खगोलविज्ञान दर्पणों की ओर मुड़ गया।

साँझ में एक छोटा अपवर्ती दूरदर्शी: लंबी फोकस दूरी का अभिदृश्यक और छोटी फोकस दूरी की नेत्रिका — यही इस अध्याय का अफोकल दूरदर्शी है, जो अपनी सप्ताहांत समस्या के चंद्रमा पर ताना हुआ है।

4.1 नेत्र

परिभाषा 4.1 (सरलीकृत नेत्र)

सरलीकृत नेत्र कॉर्निया और नेत्र-लेंस को परिवर्तनशील फोकस दूरी के एक ही पतले अभिसारी लेंस के रूप में लेता है, और दृष्टिपटल को उसके पीछे नियत दूरी $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ पर रखे परदे के रूप में। पेशियाँ लेंस की वक्रता बदलकर देखी जा रही वस्तु का प्रतिबिंब दृष्टिपटल पर बनाए रखती हैं: यही समंजन है। लेंस के आगे बैठी परितारिका $2\,$ से $8\,\mathrm{mm}$ व्यास का परिवर्ती द्वारक है, यानी पुतली।

परिभाषा 4.2 (दूर बिंदु, निकट बिंदु)

दूर बिंदु (पंक्टम रेमोटम) वह वस्तु बिंदु है जो बिना समंजन किए तीखा दिखता है; और निकट बिंदु (पंक्टम प्रॉक्सिमम) वह निकटतम बिंदु जो पूरे समंजन के साथ तीखा दिखता है। किसी सामान्य (एमीट्रोपिक) नेत्र के लिए दूर बिंदु अनंत पर होता है और निकट बिंदु $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ पर, जो स्पष्ट दृष्टि की परंपरागत दूरी है। दोनों के लिए चाहिए अभिसारिताओं का अंतर ही समंजन का आयाम है: किसी युवा वयस्क के लिए लगभग $4\,\delta$ , जो आयु के साथ घटता जाता है।

उदाहरण 4.3 (नेत्र की अभिसारिता)

दूरस्थ वस्तु: प्रतिबिंब $d = 17\,\mathrm{mm}$ पर होने का अर्थ है $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ । $25\,\mathrm{cm}$ पर वस्तु: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ । साठ में से चार डाइऑप्टर का समंजन: नेत्र-लेंस कॉर्निया के काम में कुछ ही प्रतिशत जोड़ता है, पर पढ़ने के लिए वही कुछ प्रतिशत सब कुछ हैं।

प्रतिज्ञप्ति 4.4 (दोष और उनका संशोधन)

निकट-दृष्टि वाला नेत्र आवश्यकता से अधिक अभिसारी है: उसका दूर बिंदु परिमित दूरी $D_r$ पर होता है; फोकस दूरी $f' = -D_r$ का अपसारी लेंस (नेत्र के पास पहना हुआ) अनंत का प्रतिबिंब दूर बिंदु पर बना देता है और दूर की दृष्टि लौटा देता है। दूर-दृष्टि वाला नेत्र पर्याप्त अभिसारी नहीं है: उसका दूर बिंदु आभासी है (नेत्र के पीछे) और उसका निकट बिंदु बहुत दूर; उसे अभिसारी लेंस संशोधित करता है। जरा-दृष्टि दोष आयु के साथ समंजन का लोप है: निकट बिंदु पीछे हटता जाता है और पढ़ने के लिए अभिसारी लेंस चाहिए होते हैं, दूर बिंदु चाहे कहीं भी हो।

उपपत्ति. नेत्र के पास रखा लेंस और नेत्र मिलकर ऐसा निकाय बनाते हैं जिसकी वस्तु वही होनी चाहिए जो नेत्र देख सके: अतः लेंस को अनंत पर रखी वस्तु का आभासी प्रतिबिंब दूर बिंदु पर बनाना होगा, यानी $\overline{OA'} = -D_r$ , जब $\overline{OA} = -\infty$ हो; अतः $f' = \overline{OA'} = -D_r$ । शेष स्थितियाँ वही तर्क हैं, बस संबंधित बिंदुओं के साथ। ∎

सरलीकृत नेत्र: परिवर्तनशील फोकस दूरी का एक पतला लेंस और उससे 17\, mm पीछे दृष्टिपटल। शिथिल अवस्था में वह दूर की वस्तुओं पर फोकस करता है; और समंजन करते हुए वह f' छोटा कर लेता है ताकि पास की वस्तु का प्रतिबिंब दृष्टिपटल पर आ जाए। प्रतिबिंब उलटा होता है — मस्तिष्क उसे सीधा कर लेता है। — सरलीकृत नेत्र: परिवर्तनशील फोकस दूरी का एक पतला लेंस और उससे $17\,\mathrm{mm}$ पीछे दृष्टिपटल। शिथिल अवस्था में वह दूर की वस्तुओं पर फोकस करता है; और समंजन करते हुए वह $f'$ छोटा कर लेता है ताकि पास की वस्तु का प्रतिबिंब दृष्टिपटल पर आ जाए। प्रतिबिंब उलटा होता है — मस्तिष्क उसे सीधा कर लेता है।

परिभाषा 4.5 (कोणीय आकार और विभेदन)

ऊँचाई $h$ की किसी वस्तु का, जो दूरी $D$ पर रखी हो, कोणीय आकार $\theta \approx h/D$ होता है (छोटे कोण)। नेत्र दो बिंदुओं में भेद तभी कर पाता है जब उनका कोणीय अंतराल उसके कोणीय विभेदन से बड़ा हो, जो लगभग $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (एक कलामिनट) है: शंकु कोशिकाओं का अंतराल और पुतली पर विवर्तन, दोनों यही सीमा बाँधते हैं।

टिप्पणी 4.6 (उपकरण किसलिए है)

निकट बिंदु तक लाया गया $1\,\mathrm{mm}$ का ब्योरा $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ का कोण घेरता है: यानी विभेदन सीमा का तेरह गुना; जबकि $0.05\,\mathrm{mm}$ का ब्योरा $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ घेरता है और अदृश्य रहता है। पास की वस्तुओं को देखने वाले उपकरण (आवर्धक, सूक्ष्मदर्शी) कोणीय आकार को उससे भी आगे बढ़ा देते हैं जितना वस्तु को पास लाकर बढ़ाया जा सकता है; दूर की वस्तुओं के उपकरण (दूरदर्शी) उन चीज़ों का कोणीय आकार बढ़ाते हैं जिनके पास जाया नहीं जा सकता; और कैमरा दृष्टिपटल की जगह ऐसा संवेदक रख देता है जो कई सेकंड तक प्रकाश जमा कर सकता है और जिसे बाद में बड़ा किया जा सकता है।

4.2 आवर्धक

परिभाषा 4.7 (कोणीय आवर्धन)

नेत्र से काम में लिए जाते किसी उपकरण के लिए कोणीय आवर्धन $G = \theta'/\theta$ है, जहाँ $\theta'$ उपकरण से देखे गए प्रतिबिंब का कोणीय आकार है और $\theta$ नंगी आँख से देखी गई वस्तु का कोणीय आकार — पास की वस्तु के लिए निकट बिंदु $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ पर, और दूर की वस्तु के लिए जहाँ वह है वहीं।

प्रतिज्ञप्ति 4.8 (आवर्धक)

फोकस दूरी $f' < d_m$ का अभिसारी लेंस, जिसके वस्तु फोकस तल में वस्तु रखी हो, अनंत पर प्रतिबिंब देता है, जो बिना समंजन के दिखता है, और तब

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

उपपत्ति. फोकस तल में वस्तु $AB$ , ऊँचाई $h$ की: $B$ से चली किरणें समांतर निकलती हैं, उस किरण के कोण पर जो $O$ से होकर जाती है, यानी $\theta' = h/f'$ । नंगी आँख से, सर्वोत्तम स्थिति में: $\theta = h/d_m$ । अनुपात $d_m/f'$ । ∎

उदाहरण 4.9 (घड़ीसाज़ का आवर्धक)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , जो “ $10\times$ ” के नाम से बिकता है। तब $0.05\,\mathrm{mm}$ का ब्योरा $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ घेरता है, यानी आराम से विभेदित। $G$ को और ऊपर ले जाने का अर्थ है कुछ ही मिलीमीटर का $f'$ , यानी नेत्र से सटाकर पकड़ा नन्हा लेंस — यही अकेले लेंस की सीमा है, और यही कारण कि सूक्ष्मदर्शी का अस्तित्व है।

4.3 सूक्ष्मदर्शी

परिभाषा 4.10 (संयुक्त सूक्ष्मदर्शी)

सूक्ष्मदर्शी में एक अभिदृश्यक $L_1$ होता है, जिसकी फोकस दूरी $f_1'$ छोटी है और जो पास रखी किसी वस्तु का वास्तविक, बड़ा मध्यवर्ती प्रतिबिंब किसी नेत्रिका $L_2$ (फोकस दूरी $f_2'$ ) के वस्तु फोकस तल में बनाता है, और नेत्रिका आवर्धक की तरह काम करती है। अभिदृश्यक के प्रतिबिंब फोकस और नेत्रिका के वस्तु फोकस के बीच की दूरी $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ प्रकाशिक अंतराल कहलाती है, जो पारंपरिक उपकरणों पर मानकीकृत $160\,\mathrm{mm}$ होती है।

प्रतिज्ञप्ति 4.11 (सूक्ष्मदर्शी का आवर्धन)

अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर होने पर,

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

उपपत्ति. मध्यवर्ती प्रतिबिंब $A_1B_1$ नेत्रिका के वस्तु फोकस तल में पड़ता है, यानी $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ पर; न्यूटन का संबंध देता है $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ । फिर नेत्रिका $A_1B_1$ को (ऊँचाई $\abs{\gamma_1} h$ ) अनंत पर कोण $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ के नीचे दिखाती है, जबकि नंगी आँख के लिए वह कोण $\theta = h/d_m$ होता। ∎

सूक्ष्मदर्शी: अभिदृश्यक नेत्रिका के वस्तु फोकस तल में वास्तविक, बड़ा, उलटा मध्यवर्ती प्रतिबिंब A_1B_1 बनाता है; और नेत्रिका उसे अनंत पर भेज देती है, जहाँ शिथिल नेत्र उसे एक बड़े कोण के नीचे देखता है। — सूक्ष्मदर्शी: अभिदृश्यक नेत्रिका के वस्तु फोकस तल में वास्तविक, बड़ा, उलटा मध्यवर्ती प्रतिबिंब $A_1B_1$ बनाता है; और नेत्रिका उसे अनंत पर भेज देती है, जहाँ शिथिल नेत्र उसे एक बड़े कोण के नीचे देखता है।

उदाहरण 4.12 (विद्यार्थी का सूक्ष्मदर्शी)

अभिदृश्यक $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , नेत्रिका $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ । वस्तु $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ पर बैठती है, $F_1$ से नापी हुई: यानी अभिदृश्यक से $4.1\,\mathrm{mm}$ । फोकसन का अर्थ है पूरी नली को मिलीमीटर के अंशों में खिसकाना।

टिप्पणी 4.13 (विभेदन की सीमा)

बिना सीमा का आवर्धन बेकार होता: प्रकाश एक तरंग है, और अर्ध-कोण $u$ के भीतर की किरणें स्वीकारता कोई अभिदृश्यक (अपवर्तनांक $n$ के माध्यम में) दो ऐसे बिंदुओं को अलग नहीं कर सकता जो लगभग $\lambda/(2n\sin u)$ से पास हों — वर्ष 2 के खंड का तरंग-विवेचन इसे व्युत्पन्न करता है। $n\sin u \approx 1.4$ (तेल-निमज्जन) और $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ के साथ यह सीमा $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ के पास बैठती है। उस ब्योरे को नेत्र के लिए दृश्य बनाने के वास्ते ( $25\,\mathrm{cm}$ पर $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , यानी $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) लगभग $400$ का आवर्धन काफ़ी है; $1000$ के परे प्रतिबिंब केवल बड़ा होता है, समृद्ध नहीं: यही रिक्त आवर्धन है।

4.4 खगोलीय दूरदर्शी

प्रतिज्ञप्ति 4.14 (अपवर्ती दूरदर्शी)

कोई अभिदृश्यक $L_1$ और कोई नेत्रिका $L_2$ , जिनके लिए $F_1' = F_2$ हो, मिलकर अफोकल निकाय बनाते हैं: तारा (अनंत पर) अनंत पर ही दिखता है, शिथिल नेत्र उसे देखता है, और

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

नेत्रिका से होकर बना अभिदृश्यक की परिधि का प्रतिबिंब निर्गम पुतली कहलाता है: यह $D/\abs G$ व्यास की चमकीली चकती है, जो नेत्रिका से $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ पीछे पड़ती है, और वहीं नेत्र की पुतली रखनी चाहिए ताकि सारा प्रकाश मिले।

उपपत्ति. $G$ प्रतिज्ञप्ति 3.18 में व्युत्पन्न हो चुका है। अभिदृश्यक, $L_2$ से देखने पर, $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ पर रखी वस्तु है; देकार्त देता है $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , और आवर्धन $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ व्यास $D$ को $D/\abs G$ तक समेट देता है। अभिदृश्यक में घुसती हर किरण निर्गम पुतली से होकर निकलती है, क्योंकि अभिदृश्यक का हर बिंदु वहीं प्रतिबिंबित होता है। ∎

खगोलीय दूरदर्शी: किसी तारे से आता समांतर पुंज अभिदृश्यक के द्वारा साझे फोकस तल में केंद्रित होता है और नेत्रिका के द्वारा वापस अनंत पर भेज दिया जाता है, G गुना बड़े कोण पर। व्यास D के अभिदृश्यक ने जितना प्रकाश बटोरा, वह सारा D/ G व्यास की निर्गम पुतली से होकर गुज़रता है। — खगोलीय दूरदर्शी: किसी तारे से आता समांतर पुंज अभिदृश्यक के द्वारा साझे फोकस तल में केंद्रित होता है और नेत्रिका के द्वारा वापस अनंत पर भेज दिया जाता है, $\abs G$ गुना बड़े कोण पर। व्यास $D$ के अभिदृश्यक ने जितना प्रकाश बटोरा, वह सारा $D/\abs G$ व्यास की निर्गम पुतली से होकर गुज़रता है।

प्रतिज्ञप्ति 4.15 (दूरदर्शी से क्या मिलता है)

नंगी आँख (पुतली $d_p$ ) की तुलना में:

कोणीय आकार: $\abs G$ गुना;
किसी बिंदु स्रोत से बटोरा गया प्रकाश: $(D/d_p)^2$ गुना, बशर्ते निर्गम पुतली नेत्र की पुतली से बड़ी न हो, यानी $\abs G \geq D/d_p$ ;
कोणीय विभेदन: अभिदृश्यक पर विवर्तन इसे $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ तक बाँध देता है (रैले कसौटी), जो नेत्र के $\epsilon$ से कहीं नीचे है; इस सीमा को दृश्य बनाने वाला आवर्धन $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ है, और इससे बड़े आवर्धन केवल धुँधलेपन को बड़ा करते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 4.16 (शौक़ीन का 150-मिलीमीटर अपवर्ती दूरदर्शी)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , नेत्रिका $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; निर्गम पुतली $3.1\,\mathrm{mm}$ ; $7\,\mathrm{mm}$ की अँधेरे में खुली पुतली की तुलना में प्रकाश-लाभ $(150/7)^2 \approx 460$ ; विभेदन $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , अतः चंद्रमा पर $1.7\,\mathrm{km}$ चौड़े क्रेटर; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — अतः $6\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिका ( $G = 200$ ) कोई नया ब्योरा नहीं दिखाती, केवल एक मंद, बड़ी चकती। सप्ताहांत समस्या इसी उपकरण की अभिकल्पना करती है।

टिप्पणी 4.17 (परावर्ती दूरदर्शी, दूरबीन, नाट्य-दूरबीन)

परावर्ती दूरदर्शी में अभिदृश्यक लेंस की जगह फोकस दूरी $f_1'$ का अवतल दर्पण ले लेता है (कोई वर्णिक विक्षेपण नहीं, और दर्पण मीटरों चौड़ा बनाया तथा पीछे से टिकाया जा सकता है): ऊपर की हर बात लागू रहती है, बस $f_1'$ दर्पण की फोकस दूरी होती है। प्रतिबिंब उलटा होता है — तारों के लिए यह हानिरहित है; पार्थिव उपयोग के लिए दूरबीनें उसे सीधा करने को पूर्ण-परावर्तन प्रिज़्मों की एक जोड़ी बिठा देती हैं, और गैलीलियो की नाट्य-दूरबीन अपसारी नेत्रिका काम में लेती है ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), जो छोटी तो है पर जिसका क्षेत्र सँकरा होता है।

4.5 कैमरा

परिभाषा 4.18 (कैमरा; f-संख्या)

कैमरा फोकस दूरी $f'$ का अभिसारी लेंस है जो किसी संवेदक पर वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है, दूर के विषयों के लिए $\overline{OA'} \approx f'$ पर; फोकसन में लेंस खिसकता है। व्यास $D$ का डायाफ़्राम पुंज को सीमित करता है; और f-संख्या $N = f'/D$ है (जिसे $f/N$ लिखा जाता है)। दृष्टि कोण $2\arctan(\ell/2f')$ होता है, चौड़ाई $\ell$ के किसी संवेदक के लिए।

प्रतिज्ञप्ति 4.19 (उद्भासन और क्षेत्र-गहराई)

संवेदक पर विकिरण-तीव्रता $1/N^2$ की तरह बदलती है, अतः किसी दी गई प्रतिबिंब-चमक के लिए उद्भासन काल $N^2$ की तरह बदलता है। फोकस की गई दूरी से भिन्न दूरी पर पड़ा कोई बिंदु धुँधलेपन की चकती बनाता है; उसे किसी सह्य व्यास $c$ से नीचे रखने की माँग करने पर, अतिफोकसी दूरी पर फोकस किया लेंस

H = \frac{f'^2}{N c}

$H/2$ से लेकर अनंत तक सब कुछ स्वीकार्य रूप से तीखा दिखाता है।

उपपत्ति. विकिरण-तीव्रता $=$ शक्ति/क्षेत्रफल $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (किसी दिए गए विषय के प्रतिबिंब का आकार $f'$ से बँधा है, और बटोरी गई शक्ति $D^2$ की तरह बढ़ती है)। दूरी $p$ पर फोकस, प्रतिबिंब $q \approx f'$ पर; अनंत का बिंदु $f'$ पर फोकस होता है, यानी संवेदक से $q - f'$ पहले; उसका किरण-शंकु, जिसका आधार लेंस पर $D$ है, संवेदक पर व्यास $D(q - f')/q$ बनाता है (समरूप त्रिभुज)। उपाक्षीय रूप में $1/q = 1/f' - 1/p$ के साथ, $q - f' \approx f'^2/p$ हो जाता है जब $p \gg f'$ हो, अतः धुँधलापन $Df'/p = f'^2/(Np)$ है; और वह $c$ के बराबर होता है जब $p = H$ हो। पास की ओर वही ज्यामिति सीमा $H/2$ देती है। ∎

क्षेत्र-गहराई: लेंस दूरी p पर रखे बिंदु पर फोकस किया है (प्रतिबिंब संवेदक पर); अनंत का बिंदु F' पर, यानी संवेदक से पहले, फोकस होता है और व्यास c = Df'/p की धुँधली चकती छोड़ता है — जो छोटे द्वारक (बड़े N) के लिए छोटी होती है, और यहीं तीखेपन तथा उद्भासन काल का सौदा बैठता है। — क्षेत्र-गहराई: लेंस दूरी $p$ पर रखे बिंदु पर फोकस किया है (प्रतिबिंब संवेदक पर); अनंत का बिंदु $F'$ पर, यानी संवेदक से पहले, फोकस होता है और व्यास $c = Df'/p$ की धुँधली चकती छोड़ता है — जो छोटे द्वारक (बड़े $N$ ) के लिए छोटी होती है, और यहीं तीखेपन तथा उद्भासन काल का सौदा बैठता है।

उदाहरण 4.20 (पूर्ण फ़्रेम और फ़ोन)

$36\,\mathrm{mm}$ चौड़े संवेदक पर $50\,\mathrm{mm}$ का लेंस: दृष्टि कोण $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; $f/8$ पर, $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ के साथ, $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : यानी $10\,\mathrm{m}$ पर फोकस करने से $5\,\mathrm{m}$ के परे सब कुछ तीखा। फ़ोन का लेंस, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ , $f/1.8$ पर, $6\,\mathrm{mm}$ के संवेदक पर, $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : वही दृष्टि कोण ( $70{}^{\circ}$ चौड़ा), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग सब कुछ एक साथ फोकस में, और इसीलिए फ़ोन पृष्ठभूमि का धुँधलापन सॉफ़्टवेयर में गढ़ते हैं।

नेत्र-परीक्षक के परीक्षण लेंस और परीक्षण फ़्रेम: नेत्र के आगे सही अभिसारिता का अभिसारी या अपसारी लेंस उसके दूर बिंदु को वापस अनंत तक पहुँचा देता है।

4.6 अभ्यास

अभ्यास 4.1 ★

दृष्टिपटल लेंस से $17\,\mathrm{mm}$ पीछे मानकर, अनंत को देखते सामान्य नेत्र की अभिसारिता निकालिए, फिर $25\,\mathrm{cm}$ को देखते हुए; इनसे समंजन का आयाम निकालिए। ये फोकस दूरियाँ कौन-सी हैं?

हल

हल — अभ्यास 4.1.

अनंत: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ । $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ । आयाम $4.0\,\delta$ ।

अभ्यास 4.2 ★

किसी निकट-दृष्टि वाले नेत्र का दूर बिंदु $40\,\mathrm{cm}$ पर है। कौन-सा लेंस उसे संशोधित करेगा (फोकस दूरी, अभिसारिता)? कोई दूर-दृष्टि वाला नेत्र $1.0\,\mathrm{m}$ से पास किसी चीज़ पर समंजन नहीं कर सकता: कौन-सा लेंस उसे $25\,\mathrm{cm}$ पर पढ़ने देगा?

हल

हल — अभ्यास 4.2.

निकट-दृष्टि: अनंत का प्रतिबिंब दूर बिंदु पर बनना चाहिए, अतः $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ । दूर-दृष्टि: $25\,\mathrm{cm}$ पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब (आभासी रूप से) $1.0\,\mathrm{m}$ पर बनना चाहिए: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ ।

अभ्यास 4.3 ★

किसी आवर्धक के लिए $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ है। उसका कोणीय आवर्धन दीजिए, बताइए कि डाक-टिकट कहाँ पकड़ना होगा, और उसमें से $2\,\mathrm{mm}$ के ब्योरे का कोणीय आकार निकालिए, तथा $25\,\mathrm{cm}$ पर नंगी आँख से उसकी तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; डाक-टिकट फोकस तल में, लेंस से $4.0\,\mathrm{cm}$ पर। $2\,\mathrm{mm}$ का ब्योरा: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , जबकि $25\,\mathrm{cm}$ पर $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ ।

अभ्यास 4.4 ★

किसी अपवर्ती दूरदर्शी के लिए $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ है। $25\,\mathrm{mm}$ और $9\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिकाओं के साथ $G$ , हर स्थिति में नली की लंबाई, और चंद्रमा ( $0.52^\circ$ ) का आभासी आकार निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 4.4.

$G = 900/25 = 36$ और $900/9 = 100$ ; नली की लंबाइयाँ $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ तथा $909\,\mathrm{mm}$ ; चंद्रमा: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ और $52^\circ$ ।

अभ्यास 4.5 ★★

सूक्ष्मदर्शी: $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ । $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ और वस्तु–अभिदृश्यक दूरी निकालिए। वस्तु को $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ और गहराई तक फोकस में लाने के लिए नली को कितना खिसकाना होगा?

हल

हल — अभ्यास 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ । $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : यानी वस्तु अभिदृश्यक से $4.1\,\mathrm{mm}$ पर। वस्तु को अभिदृश्यक से उसी दूरी पर बने रहना है, अतः पूरी नली $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ खिसकती है — यही सूक्ष्म-फोकसन का घुंडी वाला काम है।

अभ्यास 4.6 ★★

दो शीर्षदीप आपस में $1.5\,\mathrm{m}$ दूर हैं। नंगी आँख ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) उन्हें किस दूरी तक अलग-अलग पहचान सकती है? $D = 100\,\mathrm{mm}$ वाला कोई दूरदर्शी: उसकी विवर्तन सीमा ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), वह दूरी जिस पर वह शीर्षदीपों को अलग करता है, और वह आवर्धन $G_r$ निकालिए जिसके परे वह कुछ नया नहीं दिखाता।

हल

हल — अभ्यास 4.6.

नंगी आँख: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ । दूरदर्शी: $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; अतः शीर्षदीप $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ तक अलग दिखते (सिद्धांततः — वायु और वक्रता पहले ही आड़े आ जाती हैं)। $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ ।

अभ्यास 4.7 ★★

$f/2$ पर $50\,\mathrm{mm}$ का लेंस: द्वारक का व्यास कितना है? कोई दृश्य $f/2$ पर $1/500$ $\mathrm{s}$ में ठीक उद्भासित होता है; तो $f/8$ पर उद्भासन काल कितना? छोटा द्वारक बदले में क्या देता है?

हल

हल — अभ्यास 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ । उद्भासन $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ गुना लंबा, यानी $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ । बदले में मिलती है क्षेत्र-गहराई (और कम विपथन), और क़ीमत है गति का धुँधलापन या तिपाई की ज़रूरत।

अभ्यास 4.8 ★★

$f/11$ पर $35\,\mathrm{mm}$ के लेंस की अतिफोकसी दूरी, $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ के साथ, निकालिए, और $H$ पर फोकस करने पर तीखी दूरियों का परास। सड़क के छायाकार इसे पहले से बिठा लेते हैं: क्यों?

हल

हल — अभ्यास 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; तीखा $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ से अनंत तक। $H$ पर पहले से बिठा देने पर कैमरे को फोकस करने की ज़रूरत ही नहीं रहती: दृश्य घटते ही चित्र लिया जा सकता है।

अभ्यास 4.9 ★★

“ $8\times30$ ” दूरबीन में $G = 8$ और $D = 30\,\mathrm{mm}$ है। निर्गम पुतली निकालिए; क्या $7\,\mathrm{mm}$ की रात्रि-पुतली सारा प्रकाश काम में ले लेती है? और “ $7\times50$ ” के लिए? साँझ में कौन-सी जोड़ी बेहतर है, और “ $20\times30$ ” बुरा चुनाव क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 4.9.

$8\times30$ : निर्गम पुतली $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , अतः सारा प्रकाश नेत्र में घुसता है। $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , जो रात्रि-पुतली से मेल खाती है, और $(50/30)^2 = 2.8$ गुना अधिक प्रकाश बटोरा जाता है: यही साँझ की जोड़ी है। $20\times30$ : निर्गम पुतली $1.5\,\mathrm{mm}$ , मंद प्रतिबिंब, सँकरा क्षेत्र और हाथ की कँपकँपी बीस गुना बढ़ी हुई।

अभ्यास 4.10 ★★★

किसी निकट-दृष्टि वाले का दूर बिंदु नेत्र से $25\,\mathrm{cm}$ पर है। संशोधक संस्पर्श लेंस की अभिसारिता निकालिए, फिर नेत्र से $15\,\mathrm{mm}$ आगे पहने चश्मे के लेंसों की। कौन-सा संशोधन प्रबलतर है, और दोनों भिन्न क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 4.10.

संस्पर्श लेंस: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ । चश्मा: दूर बिंदु लेंस से $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ पर है, अतः $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — यानी प्रबलतर। लेंस को प्रतिबिंब नेत्र के दूर बिंदु पर बनाना है, और लेंस से उस बिंदु की दूरी इस पर निर्भर करती है कि लेंस कहाँ बैठा है।

अभ्यास 4.11 ★★★

गैलीलियो की नाट्य-दूरबीन: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ । अफोकल निकाय के लिए लेंसों का अंतराल, $G$ , और प्रतिबिंब का अभिविन्यास निकालिए। निर्गम पुतली की जगह बताइए और समझाइए कि दृष्टि क्षेत्र सँकरा क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 4.11.

अफोकल: $F_1' = F_2$ , अंतराल $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (उसी $G$ के केप्लरीय की $40\,\mathrm{cm}$ से छोटा)। $G = -30/(-10) = +3$ : सीधा। निर्गम पुतली $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : यानी आभासी, नली के भीतर, जहाँ नेत्र रखा ही नहीं जा सकता; नेत्रिका के पीछे रखा नेत्र केवल उन्हीं पुंजों को पकड़ता है जो संयोग से उस तक पहुँच जाएँ — यानी सँकरा क्षेत्र, जो नाट्य-दूरबीनों की जानी-पहचानी शिकायत है।

अभ्यास 4.12 ★★★

$200\,\mathrm{mm}$ का दूरदर्शी और $7\,\mathrm{mm}$ की पुतली। किसी तारे का प्रकाश कितने गुना बढ़ जाता है? खगोलविद चमक को कांतिमानों से आँकते हैं, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; नंगी आँख कांतिमान $6$ तक पहुँचती है: तो दूरदर्शी कौन-सा सीमांत कांतिमान देता है? कोई दिया गया दीपक कितने गुना दूर से दिखेगा?

हल

हल — अभ्यास 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : अतः सीमांत कांतिमान $13.3$ । फ़्लक्स $\propto 1/r^2$ , अतः वही दीपक $\sqrt{820} = 29$ गुना दूर से दिखेगा।

चंद्रमा का पृथ्वी की ओर वाला पक्ष (लूनर रिकॉनेसंस ऑर्बिटर, NASA): सप्ताहांत समस्या के दूरदर्शी का लक्ष्य, 384\,000\, km की दूरी पर 3476\, km चौड़ा। — चंद्रमा का पृथ्वी की ओर वाला पक्ष (लूनर रिकॉनेसंस ऑर्बिटर, NASA): सप्ताहांत समस्या के दूरदर्शी का लक्ष्य, $384\,000\,\mathrm{km}$ की दूरी पर $3476\,\mathrm{km}$ चौड़ा।

4.7 समस्या: चंद्रमा के लिए दूरदर्शी की अभिकल्पना

समस्या 4.1

सप्ताहांत समस्या — बग़ीचे के लॉन पर 150 मिलीमीटर का अपवर्ती दूरदर्शी: नेत्रिकाएँ चुनिए, नेत्र को उसकी जगह रखिए, प्रकाश गिनिए, और पता लगाइए कि वह कितना छोटा क्रेटर दिखा सकता है

अभिदृश्यक एक अभिसारी लेंस $L_1$ है, जिसकी फोकस दूरी $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ और व्यास $D = 150\,\mathrm{mm}$ है; $25\,\mathrm{mm}$ और $6\,\mathrm{mm}$ फोकस दूरियों की नेत्रिकाएँ $L_2$ उपलब्ध हैं। चंद्रमा $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ दूर है और $0.52^\circ$ का कोण घेरता है; नेत्र की रात्रि-पुतली $7\,\mathrm{mm}$ है, उसका विभेदन $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ।

भाग I — अफोकल सज्जा।

किसी तारे को बिना समंजन के देखने के लिए नेत्रिका कहाँ रखनी होगी? हर नेत्रिका के लिए अभिदृश्यक–नेत्रिका दूरी दीजिए।
हर लेंस पर बारी-बारी देकार्त का संबंध लगाकर जाँचिए कि अक्ष पर अनंत का बिंदु अनंत पर ही प्रतिबिंबित होता है।
दिखाइए कि अक्ष से कोण $\alpha$ पर किसी तारे से आता पुंज कोण $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ पर समांतर पुंज बनकर निकलता है।
हर नेत्रिका के लिए $G$ और उससे दिखते चंद्रमा का आभासी व्यास निकालिए।
प्रतिबिंब उलटा है। यहाँ यह स्वीकार्य क्यों है, और कोई पार्थिव प्रेक्षण-दूरदर्शी इसमें क्या जोड़ता?
चंद्रमा का वास्तविक मध्यवर्ती प्रतिबिंब कहाँ है, और उसका व्यास कितना है? (वहीं उसका छायाचित्र लिया जा सकता है।)

भाग II — नेत्र कहाँ जाता है।

दिखाइए कि नेत्रिका अभिदृश्यक की परिधि का वास्तविक प्रतिबिंब अपने पीछे $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ पर बनाती है, जिसका व्यास $D/\abs G$ है (निर्गम पुतली)।
हर नेत्रिका के लिए निर्गम पुतली की स्थिति और व्यास निकालिए।
नेत्र की पुतली निर्गम पुतली पर ही क्यों रखनी चाहिए? यदि उसे और पीछे रखा जाए तो क्षेत्र का क्या होता है?
किसी तारे का प्रकाश पूरी तरह काम में आने के लिए निर्गम पुतली नेत्र की पुतली से बड़ी नहीं होनी चाहिए: इससे रात में इस दूरदर्शी का न्यूनतम उपयोगी आवर्धन निकालिए।

भाग III — विभेदन।

विवर्तन सीमा $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ रेडियन में और कलासेकंडों में निकालिए।
यह कोण चंद्रमा पर सबसे छोटे किस क्रेटर से मेल खाता है? और नंगी आँख के लिए?
विभेदक आवर्धन $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ को परिभाषित कीजिए और निकालिए। कौन-सी नेत्रिका उसके सबसे पास है?
$6\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिका के साथ प्रतिबिंब $25\,\mathrm{mm}$ वाली की तुलना में अधिक धुँधला और मंद दिखता है। दोनों प्रभाव समझाइए।
वायुमंडलीय विक्षोभ तारों के प्रतिबिंबों को लगभग $1''$ तक फैला देता है। किन अभिदृश्यक-व्यासों के लिए ज़मीन से रैले सीमा मायने रखनी बंद कर देती है, और बड़ा $D$ फिर भी क्या देता है?

भाग IV — प्रकाश।

अभिदृश्यक रात्रि-पुतली से कितने गुना अधिक प्रकाश बटोरता है?
इसे कांतिमानों में बदलिए (अनुपात का $\Delta m = 2.5\log_{10}$ ); यदि नंगी आँख कांतिमान $6$ तक पहुँचती है, तो दूरदर्शी कौन-से कांतिमान तक पहुँचता है?
पूर्णिमा का चंद्रमा ज़मीन पर लगभग $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ की विकिरण-तीव्रता पहुँचाता है। अभिदृश्यक में कितनी शक्ति घुसती है, और नंगी आँख की तुलना में वह दृष्टिपटल पर कैसे फैलती है (प्रति एकांक घन कोण समान शक्ति वाला वही तर्क: दोनों नेत्रिकाओं से पृष्ठ-चमक की तुलना कीजिए)?
दूरदर्शी चंद्रमा के पृष्ठ को प्रति एकांक क्षेत्रफल नंगी आँख से अधिक चमकीला क्यों नहीं बनाता, जबकि तारों को वह अधिक चमकीला बना देता है?

भाग V — दृष्टि क्षेत्र। नेत्रिका अपने फोकस तल में $20\,\mathrm{mm}$ व्यास ( $25\,\mathrm{mm}$ वाली नेत्रिका) या $5\,\mathrm{mm}$ व्यास ( $6\,\mathrm{mm}$ वाली नेत्रिका) का एक वृत्ताकार क्षेत्र-रोधक रखती है।

दिखाइए कि वास्तविक दृष्टि क्षेत्र $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ होता है, व्यास $\phi$ के किसी रोधक के लिए।
दोनों नेत्रिकाओं के लिए उसे निकालिए और बताइए कि पूरा चंद्रमा दृष्टि में समाता है या नहीं।
दोनों के लिए आभासी क्षेत्र निकालिए (वह कोण जिसके नीचे नेत्र नेत्रिका से होकर रोधक को देखता है)।
पृथ्वी प्रति सेकंड $15''$ घूमती है: बिना अनुसरण के चंद्रमा को हर नेत्रिका का क्षेत्र पार करने में कितना समय लगता है?
अभिकल्पना का सार लिखिए: पूरे चंद्रमा के लिए कौन-सी नेत्रिका, क्रेटरों के लिए कौन-सी, और यह उपकरण कितने छोटे क्रेटर तक दिखा सकता है — यही उसकी इकलौती संख्या है।
वही अभिदृश्यक हटाकर उसी फोकस दूरी का $150\,\mathrm{mm}$ अवतल दर्पण रख दिया जाता है। ऊपर के कौन-से परिणाम बदल जाते हैं?

हल

हल — समस्या 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : अंतराल $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ( $25\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिका) या $1206\,\mathrm{mm}$ ( $6\,\mathrm{mm}$ वाली)।

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (प्रतिबिंब $F_1'$ पर)। $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , अतः $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : प्रतिबिंब अनंत पर।

3. पुंज साझे फोकस तल में ऊँचाई $h = f_1'\alpha$ पर केंद्रित होता है ( $O_1$ से होकर जाती किरण); वहाँ से $O_2$ से होकर जाती किरण निकलने की दिशा तय करती है, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ ।

4. $G = -48$ और $-200$ ; चंद्रमा: $25^\circ$ और $104^\circ$ ।

5. आकाश में ऊपर-नीचे का कोई अर्थ ही नहीं; और कोई पार्थिव प्रेक्षण-दूरदर्शी उसमें सीधा करने वाली प्रिज़्म-जोड़ी (या लेंस-रिले) जोड़ देता है।

6. $L_1$ के फोकस तल में, व्यास $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ ।

7. वस्तु $O_1$ , जो $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ पर है: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; आवर्धन $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , अतः व्यास $D/\abs G$ ।

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , व्यास $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ । $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ पीछे, व्यास $0.75\,\mathrm{mm}$ ।

9. अभिदृश्यक में घुसी हर किरण निर्गम पुतली से होकर जाती है: वहाँ रखा नेत्र पूरा क्षेत्र पा लेता है। और पीछे रखने पर वह केवल केंद्रीय पुंजों को ही पकड़ता है: क्षेत्र सिकुड़कर चाबी के छेद जितना रह जाता है।

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; नंगी आँख के लिए $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ ।

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; $25\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिका ( $48$ ) सबसे पास है, थोड़ी नीचे; $6\,\mathrm{mm}$ वाली ( $200$ ) तीन गुना ऊपर।

14. $G = 200$ पर विवर्तन का धुँधलापन $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ का कोण घेरता है: यानी दिखाई देता धुँधलापन। और चंद्रमा का प्रकाश दृष्टिपटल पर $(200/48)^2 = 17$ गुना बड़े क्षेत्रफल पर फैल जाता है: यानी अधिक मंद।

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ । इसके परे ज़मीन से विभेदन को वायुमंडलीय अस्थिरता ही सीमित करती है (अनुकूली प्रकाशिकी को छोड़कर); बड़ा $D$ फिर भी अधिक प्रकाश बटोरता है और मंदतर पिंडों तक पहुँचता है।

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : यानी कांतिमान $12.7$ ।

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , यानी नंगी आँख का $460$ गुना। दृष्टिपटल का प्रतिबिंब क्षेत्रफल में $\abs G^2$ गुना बड़ा है: अतः पृष्ठ-चमक का अनुपात $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ) और $0.012$ ( $G = 200$ ) — जो $(D/\abs G)^2/d_p^2$ के बराबर है, यानी निर्गम पुतली और नेत्र-पुतली के अनुपात का वर्ग।

19. किसी विस्तृत पिंड के लिए बटोरा गया प्रकाश $D^2$ की तरह बढ़ता है पर प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $G^2 \geq (D/d_p)^2$ की तरह: अतः पृष्ठ-चमक अधिक से अधिक नंगी आँख वाले मान के बराबर हो सकती है (निर्गम पुतली $=$ नेत्र-पुतली)। तारा अविभेदित रहता है: उसका सारा प्रकाश एक ही विवर्तन-धब्बे में गिरता है, अतः उसकी चमक $(D/d_p)^2$ की तरह बढ़ती है।

20. कोण $\beta$ पर स्थित बिंदु फोकस तल में ऊँचाई $f_1'\beta$ पर प्रतिबिंबित होता है; रोधक $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ को जाने देता है: अतः पूरा क्षेत्र $\phi/f_1'$ (छोटे कोण)।

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : पूरा चंद्रमा समा जाता है। $5/1200 = 0.24^\circ$ : नहीं समाता।

22. आभासी क्षेत्र $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ ।

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , यानी लगभग चार मिनट; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ ।

24. चकती के लिए $25\,\mathrm{mm}$ की नेत्रिका ( $G = 48$ , $G_r$ के पास, चमकीली, पूरा चंद्रमा); क्रेटरों को पास से देखने के लिए $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ), जो मंदतर और धुँधली है। उपकरण की इकलौती संख्या: $1.7\,\mathrm{km}$ तक के क्रेटर।

25. वही $f_1'$ और $D$ : अतः वही $G$ , वही क्षेत्र, वही निर्गम पुतलियाँ, वही विभेदन और वही प्रकाश (किसी केंद्रीय अवरोध को छोड़कर)। लाभ: कोई वर्णिक विपथन नहीं। व्यावहारिक अंतर: फोकस दर्पण के सामने पड़ता है, अतः एक छोटा गौण दर्पण पुंज को मोड़कर नेत्रिका तक भेजना पड़ता है।

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