Physics · किताब 3 · Bachelor Year 1

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

15कोणीय संवेग

बाँहें फैलाकर घूमती कोई नृत्य-स्केटर उन्हें भीतर खींच लेती है और, बिना किसी के धक्के के, दुगुनी तेज़ी से नाचने लगती है। कोई दरवाज़ा हत्थे पर उँगली की नोक से खुल जाता है और कब्ज़े के पास कंधे का ज़ोर भी सह जाता है। ग्रह बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल बुहारते हैं — केप्लर ने यह चार सदी पहले देख लिया था, उससे बहुत पहले कि कोई कारण बता पाता। और चंद्रमा, अपने उठाए ज्वारों से खिंचता हुआ, हर वर्ष कुछ सेंटीमीटर पृथ्वी से दूर सरक जाता है, जबकि हमारे दिन अगोचर रूप से लंबे होते जाते हैं। इन चारों के पीछे एक ही सदिश राशि है, कोणीय संवेग, और एक ही नियम: उसके परिवर्तन की दर बलों के आघूर्ण के बराबर होती है। यह अध्याय दोनों को परिभाषित करता है, किसी कण के लिए और किसी निकाय के लिए वह नियम सिद्ध करता है, और उसे लोलकों, कक्षाओं तथा घूमती चीज़ों पर काम में लाता है।

बाँहें भीतर खींच लेने पर स्केटर तेज़ी से घूमती है: ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोई बाह्य बलाघूर्ण न होने से कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, और छोटा जड़त्व आघूर्ण बड़ा कोणीय वेग देता है।
बाँहें भीतर खींच लेने पर स्केटर तेज़ी से घूमती है: ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोई बाह्य बलाघूर्ण न होने से कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, और छोटा जड़त्व आघूर्ण बड़ा कोणीय वेग देता है।

15.1 बल का आघूर्ण

परिभाषा 15.1 (किसी बिंदु के परितः आघूर्ण; किसी अक्ष के परितः)

किसी बिंदु OO के परितः उस बल F→\vect F का आघूर्ण (या बलाघूर्ण), जो MM पर लगाया गया है, वह सदिश है

M→O(F→)=OM→∧F→(N m),\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),

जो OM→\vect{OM} और F→\vect F के तल पर लंब है और जिसका परिमाण OM⋅Fsin⁡α=F dOM\cdot F\sin\alpha = F\,d है, जहाँ dd — उत्तोलक भुजा — OO से F→\vect F की क्रिया-रेखा तक की दूरी है। किसी दिष्ट अक्ष Δ\Delta (एकांक सदिश e→Δ\vect e_\Delta) के परितः, जो OO से होकर जाती है, आघूर्ण वह अदिश MΔ=M→O⋅e→Δ\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta है, जो OO के चुनाव से स्वतंत्र है, चाहे वह Δ\Delta पर कहीं भी हो; और यदि F→\vect F Δ\Delta के समांतर हो या उससे मिलता हो तो वह लुप्त हो जाता है। भिन्न क्रिया-रेखाओं पर लगते दो विपरीत बल एक बल-युग्म बनाते हैं, जिसका आघूर्ण F→∧AB→\vect F\wedge\vect{AB} हर बिंदु के परितः एक-सा होता है।

उदाहरण 15.2 (दरवाज़ा)

कब्ज़ों से 0.80 m0.80\,\mathrm{m} दूर दरवाज़े पर लंबवत लगाया गया 20 N20\,\mathrm{N} का धक्का कब्ज़ा-अक्ष के परितः 16 N m16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} का आघूर्ण देता है; वही धक्का 0.10 m0.10\,\mathrm{m} पर 2 N m2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} का; और दरवाज़े के अनुदिश (क्रिया-रेखा कब्ज़ों से होकर) शून्य। कब्ज़े की अपनी प्रतिक्रिया, जो अक्ष से मिलती है, उसके परितः कोई आघूर्ण नहीं देती: यही बात अक्ष को आघूर्ण लेने की स्वाभाविक जगह बनाती है।

F का O के परितः आघूर्ण: सदिश गुणनफल OM F, जिसका परिमाण F\,d है, जहाँ d O से क्रिया-रेखा तक की दूरी है (उत्तोलक भुजा), और जिसकी दिशा चित्र पर लंब है — यहाँ पाठक की ओर।
F→\vect F का OO के परितः आघूर्ण: सदिश गुणनफल OM→∧F→\vect{OM}\wedge\vect F, जिसका परिमाण F dF\,d है, जहाँ dd OO से क्रिया-रेखा तक की दूरी है (उत्तोलक भुजा), और जिसकी दिशा चित्र पर लंब है — यहाँ पाठक की ओर।

15.2 किसी कण का कोणीय संवेग

परिभाषा 15.3 (कोणीय संवेग)

OO के परितः किसी ऐसे कण का कोणीय संवेग, जिसका द्रव्यमान mm है, जो MM पर है और जिसका वेग v→\vect v है, यह होता है

L→O=OM→∧mv→(kg m2/s),\vect L_O = \vect{OM}\wedge m\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),

और किसी अक्ष Δ\Delta के परितः, जो OO से होकर जाती है, LΔ=L→O⋅e→ΔL_\Delta = \vect L_O\cdot\vect e_\Delta। Δ\Delta पर लंब किसी तल में की गति के लिए, अक्ष के परितः ध्रुवीय निर्देशांकों में, LΔ=mr2θ˙L_\Delta = mr^2\dot\theta; और RR त्रिज्या के वृत्त के लिए LΔ=mR2ω=mRvL_\Delta = mR^2\omega = mRv।

उपपत्ति. OM→=re→r\vect{OM} = r\vect e_r, v→=r˙e→r+rθ˙e→θ\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta: OM→∧mv→=mr2θ˙ e→r∧e→θ=mr2θ˙ e→z\vect{OM}\wedge m\vect v = mr^2\dot\theta\,\vect e_r\wedge\vect e_\theta = mr^2\dot\theta\,\vect e_z. ∎

प्रमेय 15.4 (कोणीय संवेग प्रमेय)

किसी जड़त्वीय तंत्र में, उसी तंत्र में स्थिर किसी बिंदु OO के लिए,

 ⁣dL→O ⁣dt=∑M→O(F→i), ⁣dLΔ ⁣dt=∑MΔ(F→i)\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_i), \qquad \frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_i)

जहाँ Δ\Delta कोई स्थिर अक्ष है। यदि OO के परितः कुल आघूर्ण लुप्त हो जाए, तो L→O\vect L_O संरक्षित रहता है।

उपपत्ति.  ⁣d(OM→∧mv→)/ ⁣dt=v→∧mv→+OM→∧ma→=0→+OM→∧∑F→i\dd(\vect{OM}\wedge m\vect v)/\dd t = \vect v\wedge m\vect v + \vect{OM}\wedge m\vect a = \vect 0 + \vect{OM}\wedge\sum\vect F_i, जिसमें न्यूटन का दूसरा नियम काम में लिया गया है (OO स्थिर, ताकि  ⁣dOM→/ ⁣dt=v→\dd\vect{OM}/\dd t = \vect v)। अब e→Δ\vect e_\Delta पर प्रक्षेप कीजिए। ∎

उपप्रमेय 15.5 (केंद्रीय बल: तलीय गति और क्षेत्रफल का नियम)

केवल किसी केंद्रीय बल के अधीन कोई कण (यानी ऐसा बल जो सदा OM→\vect{OM} के अनुदिश हो, स्थिर केंद्र OO की ओर या उससे दूर) L→O\vect L_O को अचर रखता है। उसकी गति OO से होकर जाते, L→O\vect L_O पर लंब तल में ही बनी रहती है, और उस तल में r2θ˙=Cr^2\dot\theta = C (अचर): यानी त्रिज्या-सदिश OM→\vect{OM} अचर क्षेत्रीय वेग से क्षेत्रफल बुहारता है

 ⁣dA ⁣dt=12r2θ˙=LO2m=C2.\frac{\dd A}{\dd t} = \frac12 r^2\dot\theta = \frac{L_O}{2m} = \frac{C}{2} .

उपपत्ति. OM→∧F→=0→\vect{OM}\wedge\vect F = \vect 0, क्योंकि F→∥OM→\vect F \parallel \vect{OM}: अतः L→O\vect L_O अचर है। OM→⊥L→O\vect{OM}\perp\vect L_O सदा, इसलिए वह तल; और LO=mr2θ˙L_O = mr^2\dot\theta अचर है।  ⁣dt\dd t में बुहारा गया क्षेत्रफल वह त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ OM→\vect{OM} और v→ ⁣dt\vect v\dd t हैं:  ⁣dA=12∣OM→∧v→∣ ⁣dt=12r2θ˙  ⁣dt\dd A = \tfrac12\abs{\vect{OM} \wedge\vect v}\dd t = \tfrac12 r^2\dot\theta\,\dd t। ∎

केंद्रीय बल के लिए क्षेत्रफल का नियम: बराबर समयों में केंद्र O से जाता त्रिज्या-सदिश बराबर क्षेत्रफल बुहारता है, इसलिए कण O के पास होने पर तेज़ और दूर होने पर धीमा चलता है — यही केप्लर का दूसरा नियम है, जो अकेले L_O के संरक्षण का परिणाम है, बल का नियम चाहे जो हो।
केंद्रीय बल के लिए क्षेत्रफल का नियम: बराबर समयों में केंद्र OO से जाता त्रिज्या-सदिश बराबर क्षेत्रफल बुहारता है, इसलिए कण OO के पास होने पर तेज़ और दूर होने पर धीमा चलता है — यही केप्लर का दूसरा नियम है, जो अकेले L→O\vect L_O के संरक्षण का परिणाम है, बल का नियम चाहे जो हो।

उदाहरण 15.6 (आघूर्णों से लोलक)

सरल लोलक, और धुरी से होकर जाती, झूलने के तल पर लंब अक्ष Δ\Delta: LΔ=mℓ2θ˙L_\Delta = m\ell^2\dot\theta; तनाव अक्ष से मिलता है (कोई आघूर्ण नहीं), और भार का आघूर्ण −mgℓsin⁡θ-mg\ell\sin\theta है (उत्तोलक भुजा ℓsin⁡θ\ell\sin\theta, प्रत्यानयक)। प्रमेय से mℓ2θ¨=−mgℓsin⁡θm\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta मिलता है, यानी उदाहरण 12.12 वाला समीकरण, वह भी तनाव लिखे बिना — आघूर्णों का यही सबसे बड़ा लाभ है: अक्ष से होकर जाते बल ग़ायब हो जाते हैं।

उदाहरण 15.7 (चकती को भीतर खींचना)

कोई चकती घर्षणहीन बर्फ़ पर वृत्त में फिसलती है, और उसे केंद्र के किसी छेद से होकर जाती डोरी थामे हुए है; डोरी इतनी खींची जाती है कि त्रिज्या आधी रह जाए। तनाव केंद्रीय है: L=mr2ωL = mr^2\omega संरक्षित है, अतः ω\omega 44 से गुणित हो जाता है, चाल rωr\omega 22 से, और गतिज ऊर्जा 44 से — यह अतिरिक्त ऊर्जा उस खिंचाव का कार्य है, जिसका चकती भीतर आते-आते विरोध करती रहती है। स्केटर की बाँहें भी वही भौतिकी हैं, बस द्रव्यमान बँटा हुआ है (अभ्यास 15.4)।

15.3 कणों के निकाय और स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन

प्रमेय 15.8 (किसी निकाय का कोणीय संवेग)

कणों के किसी निकाय के लिए, L→O=∑iOMi→∧miv→i\vect L_O = \sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i के साथ और OO को किसी जड़त्वीय तंत्र में स्थिर लेने पर,

 ⁣dL→O ⁣dt=∑M→O(F→ext):\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_{\mathrm{ext}}):

यानी केवल बाह्य बलों के आघूर्ण गिने जाते हैं; आंतरिक बल, जो कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश क्रिया–प्रतिक्रिया नियम मानते हैं, कुछ भी योगदान नहीं करते।

उपपत्ति. कणों की प्रमेयों को जोड़ दीजिए। किसी आंतरिक युग्म के लिए, OMi→∧F→j→i+OMj→∧F→i→j=(OMi→−OMj→)∧F→j→i=MjMi→∧F→j→i=0→\vect{OM_i}\wedge\vect F_{j\to i} + \vect{OM_j}\wedge\vect F_{i\to j} = (\vect{OM_i} - \vect{OM_j})\wedge\vect F_{j\to i} = \vect{M_jM_i}\wedge\vect F_{j\to i} = \vect 0, क्योंकि बल MjMi→\vect{M_jM_i} के अनुदिश है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 15.9 (स्थिर अक्ष के परितः दृढ़ घूर्णन)

यदि कण अपनी दूरियाँ rir_i किसी अक्ष Δ\Delta से स्थिर रखें और सब उसके परितः एक ही कोणीय वेग ω\omega से घूमें (यानी दृढ़ घूर्णन), तो

LΔ=JΔ ω,JΔ=∑imiri2,Ek=12JΔω2,L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad J_\Delta = \sum_i m_ir_i^2, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2,

जहाँ JΔJ_\Delta Δ\Delta के परितः जड़त्व आघूर्ण है, और प्रमेय इस रूप में पढ़ी जाती है: JΔω˙=∑MΔ(F→ext)J_\Delta\dot\omega = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})।

उपपत्ति. हर कण miri2ωm_ir_i^2\omega को LΔL_\Delta में और 12mi(riω)2\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2 को EkE_k में जोड़ता है। अध्याय 19 इसे सतत ठोसों तक बढ़ाता है। ∎

उदाहरण 15.10 (स्केटर)

बाँहें फैलाए किसी स्केटर के धड़ का J≈4 kg m2J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2} है, और साथ में 0.8 m0.8\,\mathrm{m} पर दो 3 kg3\,\mathrm{kg} की बाँहें: J1=4+2×3×0.64=7.8 kg m2J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}। बाँहें भीतर (0.2 m0.2\,\mathrm{m}): J2=4.2 kg m2J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}। बर्फ़ की प्रतिक्रिया और भार का ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोई आघूर्ण नहीं है: अतः JωJ\omega संरक्षित है और घूर्णन-दर J1/J2=1.85J_1/J_2 = 1.85 गुना बढ़ जाती है — प्रति सेकंड 22 से 3.73.7 चक्कर — जबकि गतिज ऊर्जा भी उतनी ही गुनी हो जाती है, जिसका मूल्य बाँहें भीतर खींचती माँसपेशियाँ चुकाती हैं।

किसी अक्ष के परितः दृढ़ता से घूमते कण: हर एक अपने ही वृत्त पर सबकी साझी से घूमता है और अक्ष के परितः कोणीय संवेग में m_ir_i2 जोड़ता है। अक्ष से दूर पड़ा द्रव्यमान अपनी दूरी के वर्ग की तरह गिना जाता है — स्केटर की फैली हुई बाँहें।
किसी अक्ष के परितः दृढ़ता से घूमते कण: हर एक अपने ही वृत्त पर सबकी साझी ω\omega से घूमता है और अक्ष के परितः कोणीय संवेग में miri2ωm_ir_i^2\omega जोड़ता है। अक्ष से दूर पड़ा द्रव्यमान अपनी दूरी के वर्ग की तरह गिना जाता है — स्केटर की फैली हुई बाँहें।

टिप्पणी 15.11 (स्थैतिकी)

विराम में पड़े किसी ठोस का L→O=0→\vect L_O = \vect 0 अचर होता है: अतः बाह्य बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए और किसी भी बिंदु के परितः उनका कुल आघूर्ण भी शून्य। दूसरी शर्त ही तुला, ढेंकुली और सब्बल का उत्तोलक-नियम है: धुरी से दूर लगा छोटा बल उसके पास लगे किसी बड़े बल को संतुलित कर देता है।

15.4 अभ्यास

अभ्यास 15.1 ★

नट से 0.30 m0.30\,\mathrm{m} दूर किसी पाने पर 50 N50\,\mathrm{N} का बल: आघूर्ण, जब बल हत्थे पर लंब हो; जब वह उससे 60∘60^\circ पर हो; और जब उसी के अनुदिश हो।

हल

हल — अभ्यास 15.1.

Fd=50×0.30=15 N mFd = 50 \times 0.30 = 15\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}; Fdsin⁡60∘=13 N mFd\sin 60^\circ = 13\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}; हत्थे के अनुदिश क्रिया-रेखा नट से होकर जाती है: 00।

अभ्यास 15.2 ★

सूर्य के परितः पृथ्वी का कोणीय संवेग (वृत्तीय कक्षा, r=1.50×1011 mr = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}, v=29.8 km/sv = 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, m=5.97×1024 kgm = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}), और उसका क्षेत्रीय वेग।

हल

हल — अभ्यास 15.2.

L=mrv=5.97×1024×1.50×1011×2.98×104=2.7×1040 kg m2/sL = mrv = 5.97\times10^{24} \times 1.50\times10^{11} \times 2.98\times10^4 = 2.7 \times 10^{40}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s};  ⁣dA/ ⁣dt=L/2m=rv/2=2.2×1015 m2/s\dd A/\dd t = L/2m = rv/2 = 2.2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}।

अभ्यास 15.3 ★

कोई शंक्वाकार लोलक (डोरी 1.0 m1.0\,\mathrm{m}, ऊर्ध्वाधर से 30∘30^\circ, अभ्यास 12.9)। धुरी से होकर जाती ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः प्रति एकांक द्रव्यमान LL निकालिए, और समझाइए कि डोरी का तनाव और भार लगते रहने पर भी वह संरक्षित क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 15.3.

r=ℓsin⁡30∘=0.50 mr = \ell\sin 30^\circ = 0.50\,\mathrm{m}, ω=3.4 rad/s\omega = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}: Lz/m=r2ω=0.84 m2/sL_z/m = r^2\omega = 0.84\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}। तनाव की क्रिया-रेखा धुरी से होकर जाती है (उससे होकर जाती किसी भी अक्ष के परितः शून्य आघूर्ण); और भार ऊर्ध्वाधर अक्ष के समांतर है (उसके परितः शून्य आघूर्ण): अतः LzL_z संरक्षित है।

अभ्यास 15.4 ★

किसी स्केटर के धड़ का घूर्णन-अक्ष के परितः J=4.0 kg m2J = 4.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2} है; हर बाँह (3.0 kg3.0\,\mathrm{kg}) को 0.80 m0.80\,\mathrm{m} पर, और फिर 0.20 m0.20\,\mathrm{m} पर, एक बिंदु माना जाता है। प्रति सेकंड 2.0 2.0\, चक्करों से आरंभ करके बाँहें भीतर खींचने के बाद घूर्णन-दर; गतिज ऊर्जाओं का अनुपात; और वह अतिरिक्त ऊर्जा कहाँ से आती है?

हल

हल — अभ्यास 15.4.

J1=4.0+2×3.0×0.64=7.8 kg m2J_1 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}, J2=4.0+2×3.0×0.04=4.2 kg m2J_2 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.04 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}; ω2=ω1J1/J2=1.85ω1\omega_2 = \omega_1J_1/J_2 = 1.85\omega_1: यानी प्रति सेकंड 3.7 3.7\, चक्कर। Ek=L2/2JE_k = L^2/2J: अनुपात J1/J2=1.85J_1/J_2 = 1.85; और यह कार्य माँसपेशियाँ करती हैं, जो बाँहों को अपकेंद्र प्रवृत्ति के विरुद्ध भीतर खींचती हैं।

अभ्यास 15.5 ★★

कोणीय संवेग प्रमेय से, धुरी-अक्ष के परितः, लोलक का समीकरण ℓθ¨+gsin⁡θ=0\ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 व्युत्पन्न कीजिए, और हर बल का आघूर्ण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 15.5.

LΔ=mℓ2θ˙L_\Delta = m\ell^2\dot\theta; तनाव: शून्य आघूर्ण (अक्ष से मिलता है); भार: −mgℓsin⁡θ-mg\ell\sin\theta (उत्तोलक भुजा ℓsin⁡θ\ell\sin\theta, प्रत्यानयक)। mℓ2θ¨=−mgℓsin⁡θm\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta।

अभ्यास 15.6 ★★

सूर्य से पृथ्वी की दूरी 1.471×1011 m1.471 \times 10^{11}\,\mathrm{m} (उपसौर) से 1.521×1011 m1.521 \times 10^{11}\,\mathrm{m} (अपसौर) तक बदलती है। क्षेत्रफल के नियम से इन बिंदुओं पर उसकी चालों का अनुपात निकालिए; और 29.8 km/s29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s} की माध्य चाल के साथ दोनों चालें दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 15.6.

rpvp=ravar_pv_p = r_av_a: vp/va=ra/rp=1.034v_p/v_a = r_a/r_p = 1.034; और (vp+va)/2≈29.8 km/s(v_p + v_a)/2 \approx 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s} के साथ: vp=30.3 km/sv_p = 30.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, va=29.3 km/sv_a = 29.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}।

अभ्यास 15.7 ★★

0.20 kg0.20\,\mathrm{kg} की कोई चकती 0.50 m0.50\,\mathrm{m} की उस डोरी पर 2.0 m/s2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से चक्कर लगाती है जो किसी छेद से होकर जाती है; डोरी तब तक खींची जाती है जब तक त्रिज्या 0.25 m0.25\,\mathrm{m} न रह जाए। नई चाल और कोणीय वेग; पहले और बाद की गतिज ऊर्जाएँ; खिंचाव का किया गया कार्य। यहाँ तनाव कार्य कर क्यों पाता है?

हल

हल — अभ्यास 15.7.

L=mrvL = mrv संरक्षित: v2=v1r1/r2=4.0 m/sv_2 = v_1r_1/r_2 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ω2=v2/r2=16 rad/s\omega_2 = v_2/r_2 = 16\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} (4 rad/s4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} से)। E1=0.40 JE_1 = 0.40\,\mathrm{J}, E2=1.6 JE_2 = 1.6\,\mathrm{J}: अतः खिंचाव 1.2 J1.2\,\mathrm{J} का कार्य करता है। तनाव त्रिज्य है, पर अब चकती के विस्थापन का एक त्रिज्य घटक भी है (वह भीतर की ओर सर्पिल बनाती है): इसलिए कार्य T→⋅ ⁣dℓ→\vect T\cdot\dd\vect\ell अब शून्य नहीं रहता।

अभ्यास 15.8 ★★

20 kg20\,\mathrm{kg} द्रव्यमान और 4.0 m4.0\,\mathrm{m} लंबाई का कोई एकसमान तख़्ता अपने बाएँ सिरे से 1.5 m1.5\,\mathrm{m} दूर किसी धुरी पर टिका है; 30 kg30\,\mathrm{kg} का कोई बच्चा बाएँ सिरे पर बैठा है। संतुलन के लिए 45 kg45\,\mathrm{kg} के बच्चे को कहाँ बैठना चाहिए? धुरी किसका भार सँभालती है?

हल

हल — अभ्यास 15.8.

धुरी के परितः आघूर्ण (लंबाइयाँ धुरी से नापी गई हैं): बच्चा 30×1.5=4530 \times 1.5 = 45 (बाएँ); तख़्ते का भार उसके केंद्र पर, दाईं ओर 0.50.5: 20×0.5=1020 \times 0.5 = 10 (दाएँ); दूसरा बच्चा दाईं ओर xx पर: 45x45x। संतुलन: 45=10+45x45 = 10 + 45x, x=0.78 mx = 0.78\,\mathrm{m}। धुरी कुल भार सँभालती है, 95×9.81=932 N95 \times 9.81 = 932\,\mathrm{N}।

अभ्यास 15.9 ★★

कोई ऐटवुड मशीन (m1=2.0 kgm_1 = 2.0\,\mathrm{kg}, m2=1.0 kgm_2 = 1.0\,\mathrm{kg}) 0.10 m0.10\,\mathrm{m} त्रिज्या और 0.010 kg m20.010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2} जड़त्व आघूर्ण की उस घिरनी पर लटकी है जिस पर डोरी फिसलती नहीं। घिरनी के लिए कोणीय संवेग प्रमेय और द्रव्यमानों के लिए न्यूटन के नियम का प्रयोग करके त्वरण तथा दोनों तनाव निकालिए। द्रव्यमानहीन घिरनी से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 15.9.

द्रव्यमान: m1a=m1g−T1m_1a = m_1g - T_1, m2a=T2−m2gm_2a = T_2 - m_2g; घिरनी: Jω˙=(T1−T2)RJ\dot\omega = (T_1 - T_2)R, जहाँ a=Rω˙a = R\dot\omega। जोड़ने पर: a=(m1−m2)g/(m1+m2+J/R2)=9.81/(3.0+1.0)=2.5 m/s2a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 9.81/(3.0 + 1.0) = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (जबकि 3.3 m/s23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}); T1=m1(g−a)=14.7 NT_1 = m_1(g - a) = 14.7\,\mathrm{N}, T2=m2(g+a)=12.3 NT_2 = m_2(g + a) = 12.3\,\mathrm{N} — असमान, क्योंकि घिरनी को कोई शुद्ध आघूर्ण चाहिए।

अभ्यास 15.10 ★★★

कोई धूमकेतु सूर्य से 0.50 AU0.50\,\mathrm{AU} की दूरी पर, अपने उपसौर से, 40 km/s40\,\mathrm{km}/\mathrm{s} की चाल से गुजरता है। जब वह 10 AU10\,\mathrm{AU} दूर हो, तब त्रिज्या-सदिश पर लंब उसके वेग का घटक क्या होगा? क्या क्षेत्रफल का नियम उसकी पूरी चाल दे सकता है?

हल

हल — अभ्यास 15.10.

r1v1=r2v⊥2r_1v_1 = r_2v_{\perp 2}: v⊥2=40×0.5/10=2.0 km/sv_{\perp 2} = 40 \times 0.5/10 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}। क्षेत्रफल का नियम केवल लंब घटक देता है; त्रिज्य घटक के लिए ऊर्जा-संरक्षण चाहिए (अध्याय 16)।

अभ्यास 15.11 ★★★

सूर्य जैसा कोई तारा (R=7.0×108 mR = 7.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, घूर्णन आवर्तकाल 25 d25\,\mathrm{d}) 10 km10\,\mathrm{km} त्रिज्या के किसी न्यूट्रॉन तारे में संकुचित हो जाता है, और अपना द्रव्यमान तथा कोणीय संवेग बनाए रखता है (J∝MR2J \propto MR^2)। नया आवर्तकाल? भूमध्य-रेखीय चाल? यह दूसरा उत्तर उस मान्यता के बारे में क्या बताता है?

हल

हल — अभ्यास 15.11.

JωJ\omega अचर, और J∝R2J \propto R^2: T′=T(R′/R)2=25×86400×(104/7×108)2=4.4×10−4 sT' = T(R'/R)^2 = 25 \times 86400 \times (10^4/7\times10^8)^2 = 4.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}। भूमध्य-रेखीय चाल 2πR′/T′=1.4×108 m/s2\pi R'/T' = 1.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, यानी प्रकाश की चाल की आधी: संकुचन पूरा कोणीय संवेग रख नहीं सकता — बहुत कुछ छूट जाता है (और आपेक्षिकता भी आ जाती है)।

अभ्यास 15.12 ★★★

कोई मनका किसी सीधी छड़ के अनुदिश बिना घर्षण के फिसलता है, और वह छड़ किसी क्षैतिज तल में अपने एक सिरे से होकर जाती ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः अचर ω\omega से घूम रही है। मनके का LzL_z लिखिए; दिखाइए कि वह संरक्षित नहीं है, और छड़ को जो आघूर्ण लगाना पड़ता है वह निकालिए; उससे मनके पर छड़ की अनुप्रस्थ प्रतिक्रिया निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 15.12.

Lz=mr2ωL_z = mr^2\omega, और rr बदलता है:  ⁣dLz/ ⁣dt=2mrr˙ω≠0\dd L_z/\dd t = 2mr\dot r\omega \neq 0। यह छड़ की अनुप्रस्थ प्रतिक्रिया NN का आघूर्ण ही होना चाहिए: rN=2mrr˙ωrN = 2mr\dot r\omega, अतः N=2mr˙ωN = 2m\dot r\omega — यानी बाहर की ओर फिसलते मनके को छड़ बग़ल से धकेलती है (अध्याय 18 का कोरिओलिस पद)।

15.5 समस्या: चंद्रमा क्यों दूर जा रहा है

समस्या 15.1

सप्ताहांत समस्या — चंद्रमा पृथ्वी पर जो ज्वार उठाता है वे उसे आगे खींचते हैं और पृथ्वी को पीछे: कोणीय संवेग हमारे दिनों से चंद्रमा की कक्षा में सेंटीमीटर-सेंटीमीटर करके कैसे बहता है, और ऊर्जा कहाँ जाती है

आँकड़े: G=6.67×10−11 SIG = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}; पृथ्वी M=5.97×1024 kgM = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, चक्रण Ω=2π/(86 164 s)\Omega = 2\pi/(86\,164\,\mathrm{s}), जड़त्व आघूर्ण J=0.33 MR2J = 0.33\,MR^2; चंद्रमा m=7.35×1022 kgm = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, कक्षा वृत्तीय मानी गई है, r=3.84×108 mr = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}; चंद्र लेज़र परास-मापन से  ⁣dr/ ⁣dt=3.8 cm/yr\dd r/\dd t = 3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}; दिन प्रति शताब्दी 2.3 ms2.3\,\mathrm{ms} लंबा होता है; 11 शताब्दी =3.16×109 s= 3.16 \times 10^{9}\,\mathrm{s}।

भाग I — कोणीय संवेग।

  1. न्यूटन के नियम से (वृत्तीय कक्षा) चंद्रमा का कक्षीय कोणीय वेग ω\omega निकालिए, और उसे 27.3 d27.3\,\mathrm{d} के नाक्षत्र मास से जाँचिए।
  2. चंद्रमा का कक्षीय कोणीय संवेग Lकक्षा=mr2ωL_{\text{कक्षा}} = mr^2\omega निकालिए।
  3. दिखाइए कि वृत्तीय कक्षा के लिए Lकक्षा=mGMrL_{\text{कक्षा}} = m\sqrt{GMr}, और उससे  ⁣dLकक्षा/ ⁣dr=Lकक्षा/2r\dd L_{\text{कक्षा}}/\dd r = L_{\text{कक्षा}}/2r निकालिए।
  4. पृथ्वी का चक्रण कोणीय संवेग Lचक्रण=JΩL_{\text{चक्रण}} = J\Omega निकालिए और Lकक्षाL_{\text{कक्षा}} से तुलना कीजिए।
  5. चंद्रमा मास में एक बार घूमता है: उसका चक्रण कोणीय संवेग आँकिए (Jm≈0.4 mRm2J_m \approx 0.4\,mR_m^2, Rm=1.74×106 mR_m = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}) और उसे उपेक्षित करना उचित ठहराइए।
  6. पृथ्वी–चंद्र निकाय पर उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कौन-से बाह्य आघूर्ण लगते हैं? तर्क दीजिए कि अच्छे सन्निकटन में कुल L=Lचक्रण+Lकक्षाL = L_{\text{चक्रण}} + L_{\text{कक्षा}} संरक्षित है।

भाग II — ज्वारीय बलाघूर्ण। चंद्रमा पृथ्वी पर पानी के दो उभार उठाता है; और चूँकि पृथ्वी चंद्रमा की परिक्रमा से तेज़ घूमती है, घर्षण उन उभारों को पृथ्वी–चंद्र रेखा से थोड़े-से कोण भर आगे घसीट देता है।

  1. पृथ्वी, आगे चलते उभार और चंद्रमा का रेखाचित्र बनाइए। पास वाले उभार पर चंद्रमा का आकर्षण पृथ्वी के चक्रण के सापेक्ष किस दिशा में लगता है?
  2. उससे पृथ्वी के चक्रण पर लगते आघूर्ण का चिह्न निकालिए: दिन लंबा होता है या छोटा?
  3. क्रिया और प्रतिक्रिया से, चंद्रमा की कक्षीय गति पर कौन-सा आघूर्ण लगता है? Lकक्षाL_{\text{कक्षा}} बढ़ता है या घटता है?
  4. प्रश्न 3 से, rr बढ़ता है या घटता है? और चंद्रमा की कक्षीय चाल v=GM/rv = \sqrt{GM/r}?
  5. इस आभासी विरोधाभास को सुलझाइए: चंद्रमा को आगे धकेला जाता है, फिर भी अंत में वह और धीमा चलने लगता है।
  6. यह आदान-प्रदान किस अंतिम अवस्था की ओर बढ़ता है?

भाग III — संख्याएँ।

  1. दिन के लंबे होने से प्रति शताब्दी सापेक्ष परिवर्तन ΔΩ/Ω\Delta\Omega/\Omega निकालिए।
  2. उससे प्रति शताब्दी Lचक्रणL_{\text{चक्रण}} का परिवर्तन निकालिए।
  3. उससे प्रति शताब्दी Lकक्षाL_{\text{कक्षा}} का परिवर्तन निकालिए।
  4. प्रश्न 3 का प्रयोग करके उसे प्रति शताब्दी और प्रति वर्ष rr के परिवर्तन में बदलिए। लेज़र परास-मापन के मान से तुलना कीजिए।
  5. नाक्षत्र मास प्रति शताब्दी किस अंश से, और कितने सेकंड, लंबा होता है (T∝r3/2T \propto r^{3/2})?
  6. पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा का प्रति शताब्दी परिवर्तन निकालिए (प्रथम कोटि में ΔE=Lचक्रणΔΩ\Delta E = L_{\text{चक्रण}}\Delta\Omega)।
  7. चंद्रमा की कक्षीय यांत्रिक ऊर्जा, Eकक्षा=−GMm/2rE_{\text{कक्षा}} = -GMm/2r, का प्रति शताब्दी परिवर्तन निकालिए।

भाग IV — ऊर्जा।

  1. दिखाइए कि पृथ्वी जितनी ऊर्जा खोती है वह चंद्रमा को मिलती ऊर्जा से अधिक है, और प्रति शताब्दी अंतर तथा उससे बनती शक्ति निकालिए। वह कहाँ जाती है?
  2. उस शक्ति की तुलना मानवता की खपत, लगभग 18 TW18\,\mathrm{TW}, से और पृथ्वी के आंतरिक ऊष्मा-प्रवाह, लगभग 47 TW47\,\mathrm{TW}, से कीजिए।
  3. प्रश्न 12 की अंतिम अवस्था में दिन और मास बराबर हैं: Ω=ω=GM/r3\Omega = \omega = \sqrt{GM/r^3}। Lचक्रण+Lकक्षाL_{\text{चक्रण}} + L_{\text{कक्षा}} का संरक्षण लिखकर जाँचिए कि r≈5.5×108 mr \approx 5.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m} उसे संतुष्ट करता है, और साझा आवर्तकाल दिनों में दीजिए।
  4. वह अवस्था वास्तव में कभी क्यों नहीं आएगी? (सूर्य के ज्वारों के बारे में सोचिए।)
  5. चंद्रमा पहले ही पृथ्वी को एक ही मुख दिखाता है। उसी क्रियाविधि से समझाइए, और बताइए कि ऐसा पहले चंद्रमा के साथ ही क्यों हुआ।
  6. तीन पंक्तियों में सार दीजिए: क्या संरक्षित है, क्या बदला जाता है, और क्या क्षय हो जाता है।
हल

हल — समस्या 15.1.

1. mω2r=GMm/r2m\omega^2r = GMm/r^2: ω=GM/r3=3.98×1014/5.66×1025=2.65×10−6 rad/s\omega = \sqrt{GM/r^3} = \sqrt{3.98\times 10^{14}/5.66\times10^{25}} = 2.65 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, आवर्तकाल 2π/ω=2.37×106 s=27.4 d2\pi/\omega = 2.37 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 27.4\,\mathrm{d}।

2. Lकक्षा=7.35×1022×1.475×1017×2.65×10−6=2.9×1034 kg m2/sL_{\text{कक्षा}} = 7.35\times10^{22} \times 1.475\times10^{17} \times 2.65\times10^{-6} = 2.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}।

3. v=GM/rv = \sqrt{GM/r}, L=mrv=mGMrL = mrv = m\sqrt{GMr};  ⁣dL/ ⁣dr=12mGM/r=L/2r\dd L/\dd r = \tfrac12 m\sqrt{GM/r} = L/2r।

4. J=0.33×5.97×1024×4.06×1013=8.0×1037 kg m2J = 0.33 \times 5.97\times10^{24} \times 4.06\times10^{13} = 8.0 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}; Ω=7.29×10−5 rad/s\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}; Lचक्रण=5.8×1033 kg m2/sL_{\text{चक्रण}} = 5.8 \times 10^{33}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, यानी Lकक्षाL_{\text{कक्षा}} का पाँचवाँ भाग।

5. Jm≈0.4×7.35×1022×3.0×1012=8.9×1034 kg m2J_m \approx 0.4 \times 7.35\times10^{22} \times 3.0\times10^{12} = 8.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}, और ω\omega से गुणा करने पर 2.4×1029 kg m2/s2.4 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, यानी कक्षा वाले का 10−510^{-5}: अतः नगण्य।

6. सूर्य का आकर्षण निकाय के द्रव्यमान केंद्र पर लगता है (प्रथम कोटि में उसके परितः कोई आघूर्ण नहीं); और उस युग्म पर उसका ज्वारीय प्रभाव छोटा है: अतः यहाँ अपेक्षित यथार्थता तक कुल LL संरक्षित है।

7. पास वाला उभार, जो पृथ्वी–चंद्र रेखा से आगे है, चंद्रमा द्वारा ऐसे बल से खींचा जाता है जिसका स्पर्शरेखीय घटक पृथ्वी के चक्रण का विरोध करता है।

8. चक्रण पर ऋणात्मक आघूर्ण: पृथ्वी धीमी पड़ती है, दिन लंबा होता है।

9. उभार चंद्रमा को आगे खींचता है: कक्षा पर धनात्मक आघूर्ण, अतः Lकक्षाL_{\text{कक्षा}} बढ़ता है।

10. Lकक्षा∝rL_{\text{कक्षा}} \propto \sqrt r बढ़ता है, अतः rr बढ़ता है; और v∝1/rv \propto 1/\sqrt r घटता है।

11. आगे की ओर का खिंचाव धनात्मक कार्य करता है और चंद्रमा की ऊर्जा बढ़ा देता है; और ऊँची कक्षा धीमी कक्षा होती है: ऊर्जा ऊँचाई में (स्थितिज रूप में) जाती है, खोई गई गतिज ऊर्जा से भी अधिक।

12. पृथ्वी का ज्वारीय बंधन: दिन मास के बराबर, कोई आगे बढ़ा उभार नहीं, कोई बलाघूर्ण नहीं।

13. ΔΩ/Ω=−2.3×10−3 s/86 164 s=−2.7×10−8\Delta\Omega/\Omega = -2.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}/86\,164\,\mathrm{s} = -2.7 \times 10^{-8} प्रति शताब्दी।

14. ΔLचक्रण=Lचक्रणΔΩ/Ω=−1.55×1026 kg m2/s\Delta L_{\text{चक्रण}} = L_{\text{चक्रण}}\Delta\Omega/\Omega = -1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} प्रति शताब्दी।

15. ΔLकक्षा=+1.55×1026 kg m2/s\Delta L_{\text{कक्षा}} = +1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} प्रति शताब्दी।

16. Δr=2r ΔL/L=2×3.84×108×1.55×1026/2.9×1034=4.1 m\Delta r = 2r\,\Delta L/L = 2 \times 3.84\times10^8 \times 1.55 \times10^{26}/2.9\times10^{34} = 4.1\,\mathrm{m} प्रति शताब्दी, यानी 4.1 cm/yr4.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}: जो मापे गए 3.8 cm/yr3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr} के निकट है (दिन के लंबे होने का एक ग़ैर-ज्वारीय हिस्सा भी है)।

17. ΔT/T=32Δr/r=1.6×10−8\Delta T/T = \tfrac32\Delta r/r = 1.6\times10^{-8}: 2.37×106×1.6×10−8=0.04 s2.37\times 10^6 \times 1.6\times10^{-8} = 0.04\,\mathrm{s} प्रति शताब्दी।

18. ΔEघूर्णन=Lचक्रणΔΩ=5.8×1033×7.29×10−5×(−2.7×10−8)=−1.1×1022 J\Delta E_{\text{घूर्णन}} = L_{\text{चक्रण}}\Delta\Omega = 5.8\times10^{33} \times 7.29\times10^{-5} \times (-2.7\times10^{-8}) = -1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J} प्रति शताब्दी।

19. ΔEकक्षा=GMmΔr/2r2=2.93×1037×4.1/(2×1.475×1017)=+4.1×1020 J\Delta E_{\text{कक्षा}} = GMm\Delta r/2r^2 = 2.93\times10^{37} \times 4.1/(2 \times 1.475\times10^{17}) = +4.1 \times 10^{20}\,\mathrm{J} प्रति शताब्दी।

20. शुद्ध −1.1×1022+4×1020≈−1.06×1022 J-1.1\times10^{22} + 4\times10^{20} \approx -1.06 \times 10^{22}\,\mathrm{J} प्रति शताब्दी: यानी 3.4×1012 W3.4\times10^{12}\ \mathrm{W}, जो महासागरों और ठोस पृथ्वी में ज्वारीय घर्षण से ऊष्मा बनकर क्षय हो जाता है।

21. मानवता की शक्ति का पाँचवाँ भाग, और भूतापीय प्रवाह का चौदहवाँ — छोटा, पर स्थायी एक तापक।

22. Lकुल=3.5×1034L_{\text{कुल}} = 3.5\times10^{34}। r=5.5×108r = 5.5\times10^8 पर: ω=GM/r3=1.55×10−6 rad/s\omega = \sqrt{GM/r^3} = 1.55 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, Jω=1.2×1032J\omega = 1.2\times10^{32}, mGMr=7.35×1022×4.68×1011=3.44×1034m\sqrt{GMr} = 7.35\times10^{22} \times 4.68\times10^{11} = 3.44\times10^{34}; योग 3.45×10343.45\times10^{34}: यानी संगत। आवर्तकाल 2π/ω=4.1×106 s=47 d2\pi/\omega = 4.1 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 47\,\mathrm{d}।

23. सूर्य के ज्वार पृथ्वी को चंद्रमा की कक्षीय दर से भी नीचे धीमा करते रहते हैं, इसलिए तब पृथ्वी–चंद्र बलाघूर्ण उलट जाएगा; और वैसे भी सूर्य उससे बहुत पहले बदल चुका होगा (काल-मापक दसियों अरब वर्ष का है)।

24. पृथ्वी ने चंद्रमा पर ज्वार उठाए, जिन्होंने उसके चक्रण को तब तक रोका जब तक एक ही मुख हमारी ओर न टिक गया; और हलका होने तथा किसी भारी साथी के पास होने के कारण चंद्रमा का बंधन कहीं अधिक तेज़ हुआ।

25. संरक्षित: कुल कोणीय संवेग। बदला गया: कोणीय संवेग, पृथ्वी के चक्रण से चंद्रमा की कक्षा में, लगभग 1.6×1026 SI1.6 \times 10^{26}\,\mathrm{SI} प्रति शताब्दी। क्षय हुआ: यांत्रिक ऊर्जा, कुछ टेरावाट, ज्वारीय ऊष्मा के रूप में।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

शब्दावली के सभी 393 शब्द देखें