विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

16केंद्रीय बल: ग्रह और उपग्रह

इकतीस उपग्रह दिन में दो बार पृथ्वी का चक्कर लगाते हैं, हर एक एक घड़ी भी है और एक रेडियो भी, और जो फ़ोन उनमें से चार को सुन लेता है वह कुछ मीटर तक जान जाता है कि वह कहाँ है। हैली का धूमकेतु अड़तीस वर्ष तक सूर्य की ओर गिरता है, कुछ ही सप्ताहों में उसका चक्कर काटता है, और फिर अड़तीस वर्ष तक ऊपर चढ़ता जाता है। मंगल की ओर जाता कोई यान पृथ्वी को ठीक उसी चाल से छोड़ता है जो उसके पथ को मंगल की कक्षा से बस छूने भर देगी। यह सब किसी ऐसे पिंड की गति है जो किसी स्थिर बिंदु की ओर ऐसे बल से खिंचता है जो दूरी के व्युत्क्रम वर्ग की तरह घटता है, और यह सब दो संरक्षित राशियों — ऊर्जा और कोणीय संवेग — तथा एक ही नए विचार, प्रभावी स्थितिज, से निकल आता है। यह अध्याय कक्षाओं के आकार और चालें, केप्लर के तीनों नियम, और किसी उपग्रह को मनचाही जगह रखने का अंकगणित व्युत्पन्न करता है।

16.1 केंद्रीय संरक्षी बल

परिभाषा 16.1 (केंद्रीय बल; केंद्रीय संरक्षी बल)

कोई बल $O$ केंद्र वाला केंद्रीय बल है यदि वह सदा $\vect{OM}$ के अनुदिश हो: $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ । और वह केंद्रीय संरक्षी है यदि उसका परिमाण केवल $r = OM$ पर निर्भर करे: $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ , जो किसी स्थितिज ऊर्जा $E_p(r)$ से व्युत्पन्न होता है, जहाँ $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ ।

प्रमेय 16.2 (केंद्रीय संरक्षी बल के अधीन गति)

केवल किसी केंद्रीय संरक्षी बल के अधीन $m$ द्रव्यमान का कोई कण:

अपना कोणीय संवेग $\vect L_O$ बनाए रखता है; उसकी गति तलीय होती है और, उस तल में ध्रुवीय निर्देशांकों में, $r^2\dot\theta = C$ अचर रहता है (क्षेत्रफल का नियम, उपप्रमेय 15.5);
अपनी यांत्रिक ऊर्जा $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ बनाए रखता है, जिसे यों लिखा जा सकता है

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

अतः त्रिज्य गति ठीक उस एक-विमीय कण जैसी है जो प्रभावी स्थितिज $E_{p,\mathrm{eff}}$ में हो: त्रिज्य पलटाव बिंदु $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ के मूल हैं, गति बद्ध है यदि वह उनमें से दो के बीच फँसी हो, और वृत्तीय है यदि $r$ $E_{p,\mathrm{eff}}$ के किसी निम्निष्ठ पर बैठा हो।

उपपत्ति. भाग 1 तो उपप्रमेय 15.5 ही है। बल संरक्षी है और कोई दूसरा बल नहीं लगता, अतः $E_m$ संरक्षित है; और उस तल में $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ तथा $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ । पद $mC^2/2r^2$ , जो कोणीय गति की गतिज ऊर्जा है, त्रिज्य समस्या में एक प्रतिकर्षी अपकेंद्र अवरोध की तरह काम करता है, और उस पर अध्याय 13 का एक-विमीय विश्लेषण लागू होता है। ∎

16.2 न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण

परिभाषा 16.3 (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण)

कोई बिंदु-द्रव्यमान $M$ , जो $O$ पर है, बिंदु-द्रव्यमान $m$ को, जो $M$ पर है, इस बल से आकर्षित करता है

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ अनंत पर}),

जहाँ $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ । कोई गोलीय सममित पिंड अपने बाहर ऐसे आकर्षित करता है मानो उसका सारा द्रव्यमान उसके केंद्र पर हो (स्वीकृत; यह गाउस की प्रमेय का परिणाम है, अध्याय 26)।

प्रतिज्ञप्ति 16.4 (गुरुत्वाकर्षण की प्रभावी स्थितिज)

$E_p = -GMm/r$ के लिए,

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

यह $+\infty$ की ओर जाता है जब $r \to 0$ ( $L \neq 0$ के लिए), और अनंत पर $0^-$ की ओर; तथा उसका एक निम्निष्ठ $r_c = L^2/GMm^2$ पर है, जिसका मान $-G^2M^2m^3/2L^2$ है। अतः: $E_m < 0$ — किसी न्यूनतम और किसी अधिकतम त्रिज्या (उपभू और अपभू) के बीच बद्ध गति; $E_m \geq 0$ — अबद्ध, पिंड अनंत से आता है और अनंत को लौट जाता है; और $E_m$ उस निम्निष्ठ के बराबर — $r_c$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा।

उपपत्ति. सीमाएँ देखने भर से; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ का हल $r_c$ है; अब प्रतिस्थापित कीजिए। वृत्तीय प्रसंग में सदा $\dot r = 0$ रहता है, जो केवल निम्निष्ठ पर संभव है। ∎

न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण की प्रभावी स्थितिज: आकर्षण -GMm/r और उसके साथ अपकेंद्र अवरोध L2/2mr2। शून्य ऊर्जा से नीचे त्रिज्य गति दो पलटाव बिंदुओं (उपभू, अपभू) के बीच फँसी रहती है; निम्निष्ठ पर कक्षा वृत्तीय होती है; और शून्य पर या उससे ऊपर पिंड निकल भागता है। — न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण की प्रभावी स्थितिज: आकर्षण $-GMm/r$ और उसके साथ अपकेंद्र अवरोध $L^2/2mr^2$ । शून्य ऊर्जा से नीचे त्रिज्य गति दो पलटाव बिंदुओं (उपभू, अपभू) के बीच फँसी रहती है; निम्निष्ठ पर कक्षा वृत्तीय होती है; और शून्य पर या उससे ऊपर पिंड निकल भागता है।

प्रमेय 16.5 (वृत्तीय कक्षाएँ)

$r$ त्रिज्या की उस वृत्तीय कक्षा पर, जो किसी द्रव्यमान $M$ के परितः है:

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

विशेष रूप से $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ एक ही केंद्र के परितः सभी वृत्तीय कक्षाओं के लिए एक-सा होता है (केप्लर का तीसरा नियम)।

उपपत्ति. एकसमान वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्र बल चाहिए, $mv^2/r = GMm/r^2$ ; $T = 2\pi r/v$ ; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ और $E_p = -GMm/r$ । ∎

उदाहरण 16.6 (तीन कक्षाएँ)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ । नीची कक्षा ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ , यानी $400\,\mathrm{km}$ ऊपर): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $T = 92\,\mathrm{min}$ । भूस्थिर ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ , एक नाक्षत्र दिवस): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ , $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । चंद्रमा ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — और उसका अभिकेंद्र त्वरण $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ साठ पृथ्वी-त्रिज्याओं पर $g/3600$ है: व्युत्क्रम वर्ग, जिसे स्वयं न्यूटन ने जाँचा था।

16.3 केप्लर के नियम और कक्षाओं का आकार

प्रमेय 16.7 (न्यूटनी क्षेत्र में गतिपथ)

किसी स्थिर द्रव्यमान $M$ के क्षेत्र में किसी पिंड का गतिपथ कोई शांकव होता है, जिसकी एक नाभि पर $O$ है: $E_m < 0$ हो तो दीर्घवृत्त, $E_m = 0$ हो तो परवलय, और $E_m > 0$ हो तो अतिपरवलय। $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष और $e$ उत्केंद्रता वाले दीर्घवृत्त के लिए:

(केप्लर I) बल का केंद्र किसी नाभि पर होता है; उपभू और अपभू $r_p = a(1 - e)$ और $r_a = a(1 + e)$ पर हैं;
(केप्लर II) क्षेत्रीय वेग अचर है (क्षेत्रफल का नियम);
(केप्लर III) आवर्तकाल $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ मानता है;
ऊर्जा केवल $a$ पर निर्भर है, $E_m = -GMm/2a$ , जिससे दूरी $r$ पर चाल यह मिलती है

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 16.8 (क्या सिद्ध है और क्या स्वीकृत)

केप्लर II और ऊर्जा के आधार पर किया गया वर्गीकरण ऊपर सिद्ध हो चुका है। यह कि बद्ध कक्षाएँ ठीक-ठीक दीर्घवृत्त हैं जिनकी एक नाभि पर $O$ है, और साथ ही व्यापक रूप में केप्लर III तथा $E_m = -GMm/2a$ — इसके लिए त्रिज्य समीकरण का समाकलन चाहिए (वर्ष 2 का खंड वह करता है); वृत्तीय कक्षाओं के लिए ( $a = r$ , $e = 0$ ) हर कथन प्रमेय 16.5 पर सिमट आता है, और यही वह जाँच है जो यहाँ की जा सकती है। संबंध $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ उस ऊर्जा-सूत्र को मान लेने पर $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ से निकल आता है।

बाएँ: नाभि O के परितः एक दीर्घवृत्तीय कक्षा — अर्ध-दीर्घ अक्ष a, अर्ध-लघु b, नाभीय दूरी c = ea; पिंड उपभू P पर सबसे तेज़ और अपभू A पर सबसे धीमा होता है। दाएँ: उसी नाभि के परितः एक अतिपरवलय (धनात्मक ऊर्जा) और एक परवलय (शून्य ऊर्जा) — धूमकेतुओं और यानों के अबद्ध पथ। — बाएँ: नाभि $O$ के परितः एक दीर्घवृत्तीय कक्षा — अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ , अर्ध-लघु $b$ , नाभीय दूरी $c = ea$ ; पिंड उपभू $P$ पर सबसे तेज़ और अपभू $A$ पर सबसे धीमा होता है। दाएँ: उसी नाभि के परितः एक अतिपरवलय (धनात्मक ऊर्जा) और एक परवलय (शून्य ऊर्जा) — धूमकेतुओं और यानों के अबद्ध पथ।

उदाहरण 16.9 (हैली का धूमकेतु)

उपसौर $0.586\,\mathrm{AU}$ , अपसौर $35.1\,\mathrm{AU}$ : $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ , $e = 0.967$ , $T = \sqrt{17.8^3} = 75$ वर्ष (खगोलीय मात्रकों और वर्षों में केप्लर III, जहाँ सूर्य के लिए $T^2 = a^3$ )। $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ के साथ उपसौर पर चाल $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ है और अपसौर पर $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — साठ गुना धीमी, ठीक जैसा क्षेत्रफल का नियम माँगता है ( $r_pv_p = r_av_a$ )।

16.4 उपग्रह

प्रतिज्ञप्ति 16.10 (पलायन वेग; भूस्थिर कक्षा)

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या के किसी पिंड के पृष्ठ से अनंत तक पहुँचने के लिए न्यूनतम प्रक्षेप-चाल $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ है, जहाँ $v_c = \sqrt{GM/R}$ भूमि-तल पर वृत्तीय चाल है: पृथ्वी के लिए $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । कोई भूस्थिर उपग्रह भूमध्य-रेखीय तल में पृथ्वी के नाक्षत्र आवर्तकाल से परिक्रमा करता है, $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ पर (भूमि से $35\,800\,\mathrm{km}$ ऊपर)।

उपपत्ति. $E_m \geq 0$ : $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ । और $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ के साथ केप्लर III। ∎

प्रतिज्ञप्ति 16.11 (होमान अंतरण)

किसी उपग्रह को $r_1$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा से $r_2 > r_1$ त्रिज्या की समतलीय वृत्तीय कक्षा तक दो छोटे प्रज्वलनों से ले जाने के लिए, $r_1$ पर इंजन चलाकर उस अंतरण दीर्घवृत्त में घुसिए जिसकी उपभू $r_1$ और अपभू $r_2$ है ( $a = (r_1 + r_2)/2$ ), आधा आवर्तकाल बिना ज़ोर के चलिए, और फिर $r_2$ पर दुबारा इंजन चलाकर कक्षा को वृत्तीय कीजिए:

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

उपपत्ति. अंतरण दीर्घवृत्त पर चालें $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ से $r_1$ और $r_2$ पर निकालिए; उनमें से वृत्तीय चालें घटाइए; और आधा आवर्तकाल प्रमेय 16.7 से। ∎

दो वृत्तीय कक्षाओं के बीच होमान अंतरण: भीतरी कक्षा पर पहला प्रज्वलन अपभू को r_2 तक उठा देता है; आधे दीर्घवृत्त के बाद दूसरा प्रज्वलन उपभू को उठाता है — यही सबसे कम ईंधन वाला दो-प्रज्वलन का रास्ता है, और वही किसी यान को मंगल तक ले जाता है। — दो वृत्तीय कक्षाओं के बीच होमान अंतरण: भीतरी कक्षा पर पहला प्रज्वलन अपभू को $r_2$ तक उठा देता है; आधे दीर्घवृत्त के बाद दूसरा प्रज्वलन उपभू को उठाता है — यही सबसे कम ईंधन वाला दो-प्रज्वलन का रास्ता है, और वही किसी यान को मंगल तक ले जाता है।

उदाहरण 16.12 (नीची कक्षा से भूस्थिर तक)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ , $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , और बिना ज़ोर के $5.3\,\mathrm{h}$ । कुल $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , यानी नीची कक्षा तक के प्रक्षेपण की लागत का आधा: किसी ऊँची कक्षा तक की “आख़िरी मील” महँगी पड़ती है, और उपग्रह उसके लिए अपना इंजन साथ लेकर चलते हैं।

टिप्पणी 16.13 (प्रतिकर्षी केंद्र)

किसी प्रतिकर्षी व्युत्क्रम-वर्ग बल के लिए (दो समान आवेश, अध्याय 26) प्रभावी स्थितिज में कोई कूप नहीं होता: हर गतिपथ एक अतिपरवलय है, कण पास आता है, विक्षेपित होता है और चला जाता है। किसी $\alpha$ कण को सोने के किसी नाभिक पर सीधा दागा जाए, तो उसकी निकटतम पहुँच की दूरी अकेले ऊर्जा से निकल आती है, $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — यही रदरफ़ोर्ड का नाभिक के आकार को बाँधने का तरीक़ा था (अभ्यास 16.11)।

16.5 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन $400\,\mathrm{km}$ ऊँचाई पर परिक्रमा करता है ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ , $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ )। चाल, आवर्तकाल, और उसका दल प्रतिदिन कितने सूर्योदय देखता है।

हल

हल — अभ्यास 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ; प्रतिदिन $1440/92 \approx 16$ सूर्योदय।

अभ्यास 16.2 ★

नाक्षत्र दिवस $86\,164\,\mathrm{s}$ से भूस्थिर कक्षा की त्रिज्या और ऊँचाई निकालिए, और कक्षीय चाल भी।

हल

हल — अभ्यास 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : ऊँचाई $35\,800\,\mathrm{km}$ ; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 16.3 ★

पृथ्वी से और चंद्रमा से पलायन वेग ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R = 1740\,\mathrm{km}$ )। चंद्रमा कोई वायुमंडल क्यों नहीं रख पाता?

हल

हल — अभ्यास 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : पृथ्वी $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; चंद्रमा $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । कुछ सौ मीटर प्रति सेकंड की गैस अणुओं की चाल-वितरण में एक पूँछ $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से ऊपर भी होती है; भूवैज्ञानिक कालों में चंद्रमा की गैस रिसकर उड़ गई।

अभ्यास 16.4 ★

मंगल का $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ है, बृहस्पति का $5.20\,\mathrm{AU}$ : केप्लर के तीसरे नियम से उनके वर्ष निकालिए। और $30\,\mathrm{AU}$ (वरुण) पर कोई पिंड?

हल

हल — अभ्यास 16.4.

$T = a^{3/2}$ (वर्ष, AU): मंगल $1.88\,\mathrm{yr}$ ; बृहस्पति $11.9\,\mathrm{yr}$ ; $30\,\mathrm{AU}$ पर: $164\,\mathrm{yr}$ ।

अभ्यास 16.5 ★★

पृष्ठ पर विराम से आरंभ करके $1000\,\mathrm{kg}$ को अंतरिक्ष स्टेशन की कक्षा में रखने के लिए आवश्यक ऊर्जा (पृथ्वी के घूर्णन और हवा की उपेक्षा कीजिए)। पेट्रोल की रासायनिक ऊर्जा ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — यानी $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , जो कक्षा में रखे गए प्रति किलोग्राम के लिए $0.7\,\mathrm{kg}$ पेट्रोल की ऊर्जा है (रॉकेटों को इससे कहीं अधिक चाहिए, क्योंकि उन्हें अपना ईंधन भी उठाना पड़ता है)।

अभ्यास 16.6 ★★

हैली का धूमकेतु: उपसौर $0.586\,\mathrm{AU}$ , अपसौर $35.1\,\mathrm{AU}$ । $a$ , $e$ , आवर्तकाल, तथा उपसौर और अपसौर पर चालें निकालिए ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ )।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ । $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ , जहाँ $r_p = 8.77\times10^{10}$ m, $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 16.7 ★★

अंतरिक्ष स्टेशन की कक्षा ( $6770\,\mathrm{km}$ ) से भूस्थिर कक्षा ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ) तक होमान अंतरण: दोनों प्रज्वलन, कुल, और अवधि।

हल

हल — अभ्यास 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ । $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; दीर्घवृत्त पर $r_1$ पर: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : अतः $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । $r_2$ पर: $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , और वृत्तीय $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । कुल $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; अवधि $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ ।

अभ्यास 16.8 ★★

दिखाइए कि $E_{p,\mathrm{eff}}$ का निम्निष्ठ $r_c = L^2/GMm^2$ पर बैठता है, और यह भी कि उसके आसपास छोटे त्रिज्य दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\sqrt{GM/r_c^3}$ है — यानी स्वयं कक्षीय आवृत्ति। यह किसी थोड़ी-सी विचलित वृत्तीय कक्षा के बारे में क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ का हल $r_c = L^2/GMm^2$ है। $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ; और $r_c$ पर $L^2 = GMm^2r_c$ से $E'' = GMm/r_c^3$ मिलता है, अतः $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{कक्षा}}^2$ । कोई छोटा त्रिज्य विक्षोभ ठीक प्रति परिक्रमा एक बार दोलन करता है: अतः कक्षा स्वयं पर बंद हो जाती है — यानी थोड़ी उत्केंद्र एक दीर्घवृत्त, न कि कोई गुलाब-वक्र।

अभ्यास 16.9 ★★

अंतरिक्ष स्टेशन पर सवार अंतरिक्ष-यात्री तैरते रहते हैं। बलों की सहायता से समझाइए; उनकी ऊँचाई पर $g$ का मान क्या है, और वह इस तैरने का खंडन क्यों नहीं करता?

हल

हल — अभ्यास 16.9.

स्टेशन और दल दोनों पर केवल गुरुत्व लगता है; दोनों एक ही कक्षा पर गिरते हैं, इसलिए उनके बीच किसी संस्पर्श बल की आवश्यकता ही नहीं — कोई फ़र्श नहीं धकेलता, और इसीलिए “भारहीनता”। $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : गुरुत्व लगभग पूरी ताक़त पर है; भार अनुपस्थित नहीं है, वह पूरा का पूरा पथ मोड़ने में लग रहा है।

अभ्यास 16.10 ★★★

न्यूटन की “चंद्र-जाँच”: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ और $T = 27.3\,\mathrm{d}$ से चंद्रमा का अभिकेंद्र त्वरण निकालिए, और उसकी तुलना $g(R/r)^2$ से कीजिए। निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : वही बल-नियम, जो सेब गिराता है, चंद्रमा को थामे है, बस $1/r^2$ की तरह पतला पड़कर।

अभ्यास 16.11 ★★★

कोई $\alpha$ कण ( $q = 2e$ , $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) सोने के किसी नाभिक ( $Z = 79$ ) पर सीधा दागा जाता है, और नाभिक स्थिर माना जाता है। $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ( $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ ) के साथ ऊर्जा-संरक्षण का प्रयोग करके निकटतम पहुँच की दूरी निकालिए; उसकी तुलना नाभिकीय त्रिज्या से कीजिए, जो लगभग $7\,\mathrm{fm}$ है। नाभिक को छूने के लिए कितनी ऊर्जा चाहिए होगी?

हल

हल — अभ्यास 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ , यानी नाभिकीय त्रिज्या का छह गुना: $\alpha$ कण छूने से पहले ही लौट जाता है। $7\,\mathrm{fm}$ तक पहुँचने के लिए: $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ ।

अभ्यास 16.12 ★★★

नीची कक्षा में किसी उपग्रह को बची-खुची वायुमंडल धीमा कर देती है, जिससे उसकी यांत्रिक ऊर्जा घटती है। $E_m = -GMm/2r$ और $v = \sqrt{GM/r}$ की सहायता से दिखाइए कि तब वह तेज़ चलने लगता है। ऊर्जा कहाँ जाती है, और खोई स्थितिज ऊर्जा का कितना अंश ऊष्मा बनता है?

हल

हल — अभ्यास 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ घटता है $\Rightarrow$ $r$ घटता है $\Rightarrow$ $v = \sqrt{GM/r}$ बढ़ता है। गतिज ऊर्जा $GMm/2r$ $\abs{\Delta E}$ से बढ़ती है जबकि स्थितिज ऊर्जा $-GMm/r$ $2\abs{\Delta E}$ से गिरती है: यानी मुक्त हुई स्थितिज ऊर्जा का आधा गतिज बनता है और आधा कर्षण से ऊष्मा के रूप में क्षय हो जाता है।

कोई GPS उपग्रह (NASA के चित्रकार की कल्पना): सप्ताहांत समस्या वाले 20\,200\, km के उपग्रह-मंडल के तीस-कुछ उपग्रहों में से एक, और हर एक केप्लरीय कक्षा में रखी एक घड़ी। — कोई GPS उपग्रह (NASA के चित्रकार की कल्पना): सप्ताहांत समस्या वाले $20\,200\,\mathrm{km}$ के उपग्रह-मंडल के तीस-कुछ उपग्रहों में से एक, और हर एक केप्लरीय कक्षा में रखी एक घड़ी।

16.6 समस्या: वे उपग्रह जो बताते हैं आप कहाँ हैं

समस्या 16.1

सप्ताहांत समस्या — बीस हज़ार किलोमीटर ऊपर एक दिक्चालन-मंडल: उसकी कक्षा, वहाँ तक पहुँचने का ईंधन, कोई फ़ोन कितने उपग्रह देख सकता है, और उनकी घड़ियों को धीमा चलने के लिए क्यों कहना पड़ता है

आँकड़े: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , नाक्षत्र दिवस $86\,164\,\mathrm{s}$ , $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । ये उपग्रह वृत्तीय कक्षाओं पर ठीक आधे नाक्षत्र दिवस में पृथ्वी का चक्कर लगाते हैं।

भाग I — कक्षा।

कक्षीय त्रिज्या और ऊँचाई निकालिए।
कक्षीय चाल निकालिए।
उपग्रह का त्वरण निकालिए और उसकी तुलना पृष्ठ पर के $g$ से कीजिए।
प्रति किलोग्राम यांत्रिक ऊर्जा निकालिए, और उसके गतिज तथा स्थितिज भाग भी।
आधा सौर दिवस नहीं, आधा नाक्षत्र दिवस क्यों चुना जाता है? भूमि पर खड़े किसी प्रेक्षक को क्या दुहराता दिखाई देता है?
किसी उपग्रह से देखने पर पृथ्वी की चकती कितना कोण घेरती है?
इस कक्षा की त्रिज्या की तुलना भूस्थिर कक्षा से कीजिए; कौन-सी ऊँची है, और कितने गुना?

भाग II — वहाँ तक पहुँचना।

पृष्ठ पर विराम से अंतिम कक्षा तक जाने के लिए प्रति किलोग्राम ऊर्जा (हवा और पृथ्वी के चक्रण की उपेक्षा कीजिए)।
प्रक्षेपक पहले $400\,\mathrm{km}$ पर किसी नीची वृत्तीय कक्षा तक पहुँचता है। वहाँ चाल?
उस कक्षा से अंतिम कक्षा तक होमान अंतरण: दोनों प्रज्वलन और उनका योग।
अंतरण की अवधि।
प्रज्वलनों के योग की तुलना नीची कक्षा से पलायन वेग से कीजिए: यह अभियान “पृथ्वी छोड़ने” से कितना दूर है?
अंतरण से पहले ऊपरी चरण और उपग्रह का द्रव्यमान $2000\,\mathrm{kg}$ है; इंजन की निष्कासन चाल $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ है और रॉकेट समीकरण $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ देता है। दोनों प्रज्वलनों के लिए कितना प्रणोदक चाहिए?

भाग III — आच्छादन और समय।

कोई उपग्रह पृथ्वी के उन सभी बिंदुओं से दिखता है जो पृथ्वी–उपग्रह रेखा के परितः उस शंकु के भीतर पड़ते हैं जिसका अर्ध-कोण $\theta$ है, जहाँ $\cos\theta = R/r$ । $\theta$ निकालिए, और पृथ्वी के पृष्ठ का वह अंश $(1 - \cos\theta)/2$ भी जिसे वह ढकता है।
$24$ उपग्रह एकसमान रूप से बिखरे हों, तो किसी एक बिंदु से औसतन कितने दिखेंगे? स्थान-निर्धारण के लिए आवश्यक न्यूनतम $4$ की संख्या विश्वसनीय लगती है?
शिरोबिंदु पर स्थित किसी उपग्रह से प्रकाश का यात्रा-काल; और क्षितिज पर के उपग्रह से।
अभिग्राही की स्थिति $3\,\mathrm{m}$ तक जानने के लिए संकेतों का समय किस यथार्थता से नापना पड़ेगा?
अभिग्राही की अपनी घड़ी सस्ता क्वार्ट्ज़ है, जो मिलीसेकंडों तक ग़लत रहती है: तीन के बजाय चार उपग्रह क्यों चाहिए?
उपग्रहों की घड़ियाँ परमाणु घड़ियाँ हैं। एक दिन बाद $3\,\mathrm{m}$ की त्रुटि के लिए आवश्यक सापेक्ष स्थिरता दीजिए।

भाग IV — संक्षेप में आपेक्षिकता। दो प्रभाव उपग्रहों की घड़ियों को भूमि की घड़ियों के सापेक्ष खिसका देते हैं (सूत्र स्वीकृत, वर्ष 3 के खंड से): गति किसी घड़ी को अंश $v^2/2c^2$ से धीमा कर देती है; और ऊँचाई उसे $GM(1/R - 1/r)/c^2$ से तेज़ कर देती है।

चाल के कारण होती धीमी चाल प्रति दिन माइक्रोसेकंडों में निकालिए।
ऊँचाई के कारण होती तेज़ी प्रति दिन माइक्रोसेकंडों में निकालिए।
शुद्ध प्रभाव, और यदि सुधार न किया जाए तो प्रति दिन उससे बनती स्थिति-त्रुटि।
उपग्रहों की घड़ियाँ प्रक्षेपण से पहले $10.23\,\mathrm{MHz}$ के बजाय $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ पर सधी दी जाती हैं। जाँचिए कि इससे शुद्ध प्रभाव की भरपाई हो जाती है।
कक्षाएँ ठीक-ठीक केप्लरीय नहीं हैं: तीन विक्षोभ नाम से बताइए, और यह भी कि तंत्र उनसे कैसे निपटता है।
पूरी शृंखला का सार दीजिए: दो संरक्षण नियम, एक कक्षा, एक उपग्रह-मंडल, और वह एक सुधार जिसका किसी ने अंदाज़ा भी न लगाया होता।

हल

हल — समस्या 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; ऊँचाई $20\,190\,\mathrm{km}$ ।

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ , यानी पृष्ठ की तुलना में सत्रह गुना दुर्बल — पर शून्य नहीं: उपग्रह लगातार पृथ्वी के चारों ओर गिरता रहता है।

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ।

5. पृथ्वी तारों के सापेक्ष (यानी कक्षा के तंत्र में) प्रति नाक्षत्र दिवस एक बार घूमती है; दो परिक्रमाओं के बाद उपग्रह फिर उसी भूमि-बिंदु के ऊपर होता है: अतः भूमि-पथ हर नाक्षत्र दिवस पर दुहरते हैं।

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : $\beta = 13.9^\circ$ , यानी $28^\circ$ चौड़ी एक चकती।

7. भूस्थिर $42\,200\,\mathrm{km}$ : $1.59$ गुना ऊँची; दिक्चालन वाली कक्षा उससे नीचे है।

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ।

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ; और $r_1$ पर: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , अतः $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; और $r_2$ पर: $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , जबकि वृत्तीय $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , अतः $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; कुल $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ ।

12. नीची कक्षा से पलायन: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : अभियान के $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ उससे भी अधिक हैं — इस कक्षा तक पहुँचना लगभग उतना ही महँगा है जितना पृथ्वी को पूरी तरह छोड़ देना।

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ , यानी प्रणोदक $1360\,\mathrm{kg}$ — कुल द्रव्यमान का दो-तिहाई।

14. $\cos\theta = 0.240$ , $\theta = 76^\circ$ ; अंश $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ ।

15. औसतन $24 \times 0.38 = 9$ ; चार की संख्या लगभग हमेशा आराम से पार हो जाती है।

16. शिरोबिंदु: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ; क्षितिज: दूरी $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , यानी $86\,\mathrm{ms}$ ।

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ ।

18. अभिग्राही की घड़ी का विचलन उसके तीन निर्देशांकों के अलावा एक चौथा अज्ञात है: चार दूरियाँ, चार समीकरण।

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ ।

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ प्रति दिन, धीमी।

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ प्रति दिन, तेज़।

22. शुद्ध $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ प्रति दिन; $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ की त्रुटि प्रति दिन।

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ , जो शुद्ध $4.5\times10^{-10}$ से मेल खाता है ( $86\,400\,\mathrm{s}$ में $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ )।

24. पृथ्वी का भूमध्य-रेखीय उभार, चंद्रमा तथा सूर्य का आकर्षण, और सौर विकिरण-दाब (साथ ही छोटे प्रणोदक-प्रज्वलन): भू-खंड कक्षाओं को लगातार मापता रहता है और ताज़ा पंचांग चढ़ा देता है, जिन्हें उपग्रह प्रसारित करते हैं।

25. ऊर्जा और कोणीय संवेग किसी वृत्तीय कक्षा को उसके आवर्तकाल से तय कर देते हैं; केप्लर III उसे जगह देता है; ज्यामिति आच्छादन और प्रकाश-काल तय करती है; और घड़ियाँ — जो इस तंत्र का हृदय हैं — आपेक्षिकता के लिए प्रति दिन $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ सुधारी न जाएँ, तो शाम तक स्थान दस किलोमीटर खिसक जाता है।

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