विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

28चुंबकस्थैतिकी: क्षेत्र, बल और द्विध्रुव

पास से गुज़रते किसी तार में धारा बहते ही दिक्सूचक की सुई घूम जाती है: ओर्स्टेड के 1820 के उस प्रेक्षण ने दो ऐसे विज्ञानों को जोड़ दिया जो अलग-अलग बड़े हुए थे, यानी विद्युत और चुंबकत्व, और कुछ ही महीनों में ऐंपियर के पास धाराओं के बीच के बल का नियम था तथा बायो और सावार के पास किसी तार का क्षेत्र। यह अध्याय चुंबकीय क्षेत्र की स्थैतिकी है: धाराएँ क्या बनाती हैं (क्षेत्र-चित्र, बायो–सावार का नियम, और ऐंपियर की प्रमेय, यानी गाउस के नियम की चुंबकीय जुड़वाँ), क्षेत्र धाराओं के साथ क्या करता है (लाप्लास बल, जो हर मोटर और हर मापी को चलाता है), और चुंबकीय द्विध्रुव, यानी वह धारा-पाश जो दिक्सूचक, चुंबक और पृथ्वी के अपने क्षेत्र की व्याख्या कर देता है।

चुंबकत्व का सबसे पुराना यंत्र: दिक्सूचक की सुई एक छोटा चुंबकीय द्विध्रुव है, जो पृथ्वी के क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध हो जाती है।

ओर्स्टेड का प्रयोग: परिपथ बंद कीजिए और सुई घूम जाती है — यानी कोई धारा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, जो तार का चक्कर लगाता है।

28.1 स्रोत और क्षेत्र-चित्र

परिभाषा 28.1 (चुंबकस्थैतिक क्षेत्र)

स्थायी धाराएँ (यानी स्थायी गति में आवेश) हर बिंदु पर एक चुंबकीय क्षेत्र $\vect B$ (टेस्ला, $\mathrm{T}$ ) बनाती हैं, जो उस बल $q\vect v\wedge\vect B$ से परिभाषित होता है जो वह किसी चलते परीक्षण आवेश पर लगाता है (परिभाषा 17.1)। उसकी क्षेत्र-रेखाएँ $\vect B$ की स्पर्शरेखा होती हैं और उसी के अनुदिश दिशित। स्थायी चुंबक भी अपने परमाणुओं की सूक्ष्म धाराओं से इसी प्रकृति के क्षेत्र बनाते हैं। परिमाण की कोटियाँ: पृथ्वी $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; रेफ़्रिजरेटर का चुंबक $0.01\,\mathrm{T}$ ; चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिंबन यंत्र $1.5\,\mathrm{T}$ से $3\,\mathrm{T}$ तक; और प्रयोगशाला के सबसे बड़े स्थायी क्षेत्र $45\,\mathrm{T}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 28.2 (क्षेत्र-चित्र)

कोई सीधा तार: तार पर केंद्रित वृत्त, उस पर लंब तलों में, जिनकी दिशा दाएँ हाथ के नियम से मिलती है (अँगूठा धारा के अनुदिश, उँगलियाँ $\vect B$ के अनुदिश)।
कोई वृत्ताकार पाश: रेखाएँ पाश में से उसकी अक्ष के अनुदिश निकलती हैं और बाहर घूमकर बंद हो जाती हैं; और दूर से, किसी छोटे चुंबक का चित्र।
कोई लंबी परिनालिका: भीतर समांतर, सघन, एकसमान रेखाएँ; बाहर लगभग कोई क्षेत्र नहीं; और वही चित्र जो किसी छड़-चुंबक का है, जिसका “उत्तरी” फलक वही है जिससे रेखाएँ निकलती हैं।
चुंबकीय क्षेत्र-रेखाओं का न कोई आरंभ है, न अंत: वे या तो अपने ऊपर बंद हो जाती हैं या अनंत तक चली जाती हैं। इसके तुल्य, किसी भी बंद पृष्ठ से होकर $\vect B$ का अभिवाह शून्य है — यानी कोई चुंबकीय आवेश होते ही नहीं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

तीन क्षेत्र-चित्र। कोई बिंदु पाठक की ओर आती धारा है, और कोई क्रॉस दूर जाती धारा। किसी तार की रेखाएँ वृत्त हैं; किसी पाश की उसमें से निकलकर बाहर बंद हो जाती हैं; और किसी लंबी परिनालिका की भीतर सीधी तथा एकसमान हैं और दूर जाकर बंद होती हैं, जहाँ क्षेत्र कमज़ोर है — और हर स्थिति में उनका न कोई स्रोत है, न कोई कुंड।

प्रतिज्ञप्ति 28.3 ( $\vect B$ की सममितियाँ)

दर्पण-परावर्तन के अधीन $\vect B$ $\vect E$ से उलटा बरतता है (वह एक छद्म-सदिश है, जो किसी सदिश गुणनफल से बना है): धाराओं के किसी सममिति तल के किसी बिंदु पर $\vect B$ उस तल पर लंब होता है; और किसी प्रतिसममिति तल के किसी बिंदु पर (जहाँ दर्पण-प्रतिबिंब धाराओं को उलट देता है) $\vect B$ तल में ही रहता है। अपरिवर्तिताएँ वैसे ही चलती हैं जैसे $\vect E$ के लिए।

उपपत्ति. किसी धारा-अवयव का क्षेत्र $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ होता है (नीचे देखिए); और कोई दर्पण किसी सदिश गुणनफल के एक गुणक को, किसी सच्चे सदिश के प्रतिबिंब के सापेक्ष, उलट देता है, अतः $\vect B$ का प्रतिबिंब उस तीर के दर्पण-प्रतिबिंब का विपरीत होता है। किसी सममिति तल पर $\vect B$ को अपने ही दर्पण-प्रतिबिंब के विपरीत के बराबर होना पड़ता है, अतः वह तल पर अभिलंब होता है; और किसी प्रतिसममिति तल पर, विपरीत का विपरीत: यानी तल में। ∎

उदाहरण 28.4 (सममितियों को काम में लेना)

किसी सीधे तार के लिए, तार को रखने वाला हर तल कोई सममिति तल है, अतः हर बिंदु पर $\vect B$ उस तल पर लंब है जो तार और उस बिंदु से जाता है: यानी लंबत्रिज्य, और तार के अनुदिश तथा उसके चारों ओर की अपरिवर्तिता से $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ । किसी पाश के लिए, पाश का तल कोई सममिति तल है: उस पर $\vect B$ पाश पर अभिलंब है; और अक्ष उसे रखने वाले हर प्रतिसममिति तल में है: अतः अक्ष पर $\vect B$ अक्ष के अनुदिश है।

28.2 बायो–सावार का नियम

प्रमेय 28.5 (बायो–सावार)

धारा $I$ ले जाता कोई परिपथ $M$ पर यह क्षेत्र बनाता है

\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{परिपथ}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

जो परिपथ के उन अवयवों $\dd\vect l$ पर योग है जो बिंदुओं $P$ पर हैं और धारा के अनुदिश दिशित हैं, जहाँ $\vect e_{PM}$ $P$ से $M$ तक का एकांक सदिश है, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ निर्वात की चुंबकशीलता। हर अवयव ऐसा क्षेत्र देता है जो उस पर और रेखा $PM$ पर लंब है, और जो $1/PM^2$ की तरह गिरता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

प्रतिज्ञप्ति 28.6 (तार, पाश, परिनालिका)

अनंत सीधा तार, $r$ दूरी पर: $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ ।
$R$ त्रिज्या का वृत्ताकार पाश, उसकी अक्ष पर केंद्र से $z$ दूरी पर: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha$ , जहाँ $\alpha$ वह अर्ध-कोण है जिस पर पाश $M$ से दिखता है; और केंद्र पर $B = \mu_0I/2R$ ।
प्रति मीटर $n$ फेरों की परिनालिका, उसकी अक्ष पर: $B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , जहाँ $\alpha_1, \alpha_2$ वे कोण हैं जिन पर दोनों सिरे दिखते हैं; और किसी लंबी परिनालिका के लिए भीतर $B = \mu_0nI$ , तथा किसी सिरे पर उसका आधा।

उपपत्ति. (1) $M$ तार से $r$ दूरी पर, और $P$ उसके अनुदिश भुज $z$ पर: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ का परिमाण $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ है, जहाँ $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$ , और सारे योगदान लंबत्रिज्य हैं: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$ । (2) पाश का हर अवयव एक ही दूरी $\sqrt{R^2 + z^2}$ पर है, $M$ से, और $\vect e_{PM}$ पर लंब; उसके क्षेत्र का परिमाण $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ है, और पाश के चारों ओर के योग में केवल अक्षीय घटक, यानी उसका अंश $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ , बचता है: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}$ । (3) परिनालिका का कोई फाँक $\dd z'$ धारा $nI\,\dd z'$ का एक पाश है; और $z' - z = R/\tan\alpha$ , $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ के साथ, परिनालिका पर $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ; और अपरिमित रूप से लंबी होने पर, $\alpha_1 \to 0$ , $\alpha_2 \to \pi$ । ∎

इस अध्याय की तीनों बायो–सावार गणनाएँ: किसी तार का अवयव l और M पर उसका योगदान, जो आकृति के तल पर लंब है; वह पाश जो M से अर्ध-कोण पर दिखता है; और वह परिनालिका जिसके सिरे _1 तथा _2 पर दिखते हैं। — इस अध्याय की तीनों बायो–सावार गणनाएँ: किसी तार का अवयव $\dd\vect l$ और $M$ पर उसका योगदान, जो आकृति के तल पर लंब है; वह पाश जो $M$ से अर्ध-कोण $\alpha$ पर दिखता है; और वह परिनालिका जिसके सिरे $\alpha_1$ तथा $\alpha_2$ पर दिखते हैं।

उदाहरण 28.7 (परिमाण की कोटियाँ)

$1\,\mathrm{cm}$ पर $10\,\mathrm{A}$ का कोई तार: $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , यानी पृथ्वी के क्षेत्र से चार गुना — सुई सचमुच घूमती है। $5\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या और $100$ फेरों की कोई कुंडली, $2\,\mathrm{A}$ पर: $\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT}$ , उसके केंद्र पर। और प्रति मीटर $1000$ फेरों की कोई परिनालिका $5\,\mathrm{A}$ पर: $6.3\,\mathrm{mT}$ ; तथा आपेक्षिक चुंबकशीलता $1000$ के किसी लोहे के क्रोड के साथ कई टेस्ला मिलते, यदि लोहा $2\,\mathrm{T}$ के पास संतृप्त न हो जाता — यही हर विद्युत्चुंबक की छत है, और इसीलिए सबसे प्रबल क्षेत्र बिना लोहे की अतिचालक कुंडलियों से आते हैं।

28.3 ऐंपियर का नियम

प्रमेय 28.8 (ऐंपियर)

$\vect B$ का परिचालन, किसी भी बंद दिशित वक्र $\Gamma$ के अनुदिश, $\mu_0$ गुना उस कुल धारा के बराबर होता है जो $\Gamma$ से घिरे किसी भी पृष्ठ को पार करती है, और जिसे तब धनात्मक गिना जाता है जब वह $\Gamma$ की दिशा से दाएँ हाथ के नियम द्वारा मिली दिशा में पार करे:

\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{घिरी}} .

उपपत्ति. किसी सीधे तार पर केंद्रित $r$ त्रिज्या के किसी वृत्त के लिए, $\vect B$ स्पर्शरेखीय है और हर जगह $\mu_0I/2\pi r$ परिमाण का, अतः परिचालन $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ है, जो $r$ से स्वतंत्र है; और तार को न घेरते किसी वक्र के लिए योगदान कट जाते हैं। सामान्य स्थिति स्वीकृत है (वर्ष 2 का खंड)। ∎

विधि 28.9 (ऐंपियर का नियम काम में लेना)

गाउस की तरह ही: (1) सममितियाँ $\vect B$ की दिशा और वह चर दे देती हैं जिस पर वह निर्भर है; (2) $M$ से होकर कोई ऐंपियरी पाश चुनिए, जिस पर $\vect B$ या तो स्पर्शरेखीय हो और अचर परिमाण का, या फिर लंब; (3) उसमें से जाती धारा गिनिए; (4) हल कीजिए। यह अनंत तारों तथा बेलनों, अनंत परिनालिकाओं तथा टोरॉइडों, और अनंत धारा-चादरों के लिए चलता है।

प्रतिज्ञप्ति 28.10 (बेलन, परिनालिका, टोरॉइड)

$a$ त्रिज्या का कोई बेलनाकार तार, जो $I$ एकसमान ले जाए: भीतर $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ , और बाहर $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ — अधिकतम पृष्ठ पर है।
प्रति मीटर $n$ फेरों की कोई अनंत परिनालिका: भीतर $\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z$ एकसमान, और बाहर $\vect 0$ , चाहे उसकी अनुप्रस्थ काट का आकार कुछ भी हो।
$N$ फेरों का कोई टोरॉइड: कुंडलनों के भीतर $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ , और बाहर शून्य — यानी अपने ऊपर बंद हुई कोई परिनालिका, जिसका कोई आवारा क्षेत्र नहीं।

उपपत्ति. (1) $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ या $\mu_0I$ । (2) $\vect B$ सममिति से अक्षीय है और, दोनों लंबी भुजाएँ बाहर रखते किसी आयत पर ऐंपियर से, बाहर एकसमान, अतः शून्य (वह अनंत पर लुप्त हो जाता है); और एक लंबी भुजा भीतर रखते, $\ell$ लंबाई के किसी आयत से $B\ell = \mu_0n\ell I$ । (3) टोरस के भीतर $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB = \mu_0NI$ ; और बाहर घिरी हुई धारा शून्य है। ∎

बाएँ: किसी मोटे तार का क्षेत्र, जो भीतर रैखिक है और बाहर 1/r में, और पृष्ठ पर सबसे बड़ा। दाएँ: वह ऐंपियरी आयत जो किसी अनंत परिनालिका का क्षेत्र दे देता है — परिचालन में केवल भीतर वाली भुजा ही योगदान करती है। — बाएँ: किसी मोटे तार का क्षेत्र, जो भीतर रैखिक है और बाहर $1/r$ में, और पृष्ठ पर सबसे बड़ा। दाएँ: वह ऐंपियरी आयत जो किसी अनंत परिनालिका का क्षेत्र दे देता है — परिचालन में केवल भीतर वाली भुजा ही योगदान करती है।

28.4 लाप्लास बल

प्रमेय 28.11 (लाप्लास बल)

कोई चालक अवयव $\dd\vect l$ , जो $I$ ले जा रहा हो और किसी क्षेत्र $\vect B$ में हो, बल $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ पाता है; और किसी एकसमान क्षेत्र में कोई सीधा खंड $\vect L$ बल $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ पाता है, जिसका परिमाण $ILB\sin\theta$ है और जो तार तथा क्षेत्र दोनों पर लंब होता है।

उपपत्ति. $\dd\vect l$ के आवेश-वाहक (संख्या $n\,S\,\dd l$ , आवेश $q$ , और अपवाह वेग $\vect v$ ) हर एक $q\vect v\wedge\vect B$ अनुभव करते हैं; और उनका योग $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ है, क्योंकि $I = nqvS$ है और $\vect v$ $\dd\vect l$ के अनुदिश। वाहक यह बल अपनी टक्करों के ज़रिए तार की जालक तक पहुँचा देते हैं। ∎

प्रतिज्ञप्ति 28.12 (समांतर तारों के बीच बल)

$d$ दूरी पर के दो लंबे समांतर तार, जो $I_1$ और $I_2$ ले जा रहे हों, धाराओं के समांतर होने पर एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं और प्रतिसमांतर होने पर प्रतिकर्षित, और प्रति एकांक लंबाई बल यह है

\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

$1\,\mathrm{m}$ की दूरी पर $1\,\mathrm{A}$ ले जाते दो तार प्रति मीटर $2 \times 10^{-7}$ न्यूटन अनुभव करते हैं — यही 1948 से 2019 तक ऐंपियर की परिभाषा थी, और यहीं से $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ का मान आया।

उपपत्ति. तार 1 तार 2 पर $\mu_0I_1/2\pi d$ बनाता है, जो उस पर लंब है; और तार 2 की $\ell$ लंबाई पर लाप्लास बल $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ है, जो धाराओं के समांतर होने पर तार 1 की ओर होता है (दाएँ हाथ के नियम से जाँचिए)। ∎

लाप्लास बल: समांतर तारों के बीच (बाएँ, बीच में) और किसी क्षेत्र को पार करती धारा ले जाती किसी सरकती छड़ पर (दाएँ) — यानी लाप्लास की पटरियाँ, जिनका ऊर्जा-संतुलन का विषय है। — लाप्लास बल: समांतर तारों के बीच (बाएँ, बीच में) और किसी क्षेत्र को पार करती धारा ले जाती किसी सरकती छड़ पर (दाएँ) — यानी लाप्लास की पटरियाँ, जिनका ऊर्जा-संतुलन अध्याय 29 का विषय है।

28.5 चुंबकीय द्विध्रुव

परिभाषा 28.13 (चुंबकीय आघूर्ण)

$S$ क्षेत्रफल का कोई तलीय पाश, जो $I$ ले जा रहा हो और दाएँ हाथ के नियम से दिशित हो (अभिलंब $\vect n$ अँगूठे के अनुदिश, जब उँगलियाँ $I$ के पीछे चलें), चुंबकीय आघूर्ण $\vect m = IS\,\vect n$ ( $\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ) रखता है; और $N$ फेरों के लिए, $NIS\,\vect n$ । $r \gg \sqrt S$ दूरियों से देखने पर वह पाश कोई चुंबकीय द्विध्रुव है: उसके क्षेत्र का रूप ठीक विद्युत द्विध्रुव जैसा है, जहाँ $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

कोई छड़-चुंबक, कोई परमाणु, और पृथ्वी — सब चुंबकीय द्विध्रुव हैं: पृथ्वी का आघूर्ण $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ है, और किसी इलेक्ट्रॉन का $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (यानी बोर मैग्नेटॉन)।

उपपत्ति. अक्ष पर पाश का क्षेत्र $\mu_0IR^2/2z^3$ , जो $z \gg R$ के लिए है, $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ के बराबर बैठता है, जहाँ $m = I\pi R^2$ , और $B_r$ से मेल खाता है, $\theta = 0$ पर; और पूरा कोणीय रूप स्वीकृत है। ∎

प्रमेय 28.14 (किसी क्षेत्र में द्विध्रुव)

कोई चुंबकीय आघूर्ण $\vect m$ , जो किसी एकसमान क्षेत्र $\vect B$ में हो, कोई परिणामी बल नहीं पाता, पर एक बलाघूर्ण $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ पाता है जो उसे क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध कर देता है, और उसकी स्थितिज ऊर्जा $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ होती है। किसी असमान क्षेत्र में, पंक्तिबद्ध होने पर वह प्रबल क्षेत्र वाले भाग की ओर खिंचता है (और विपरीत-पंक्तिबद्ध होने पर दूर धकेला जाता है)।

उपपत्ति. $a \times b$ के किसी आयताकार पाश के लिए, जिसका अभिलंब $\vect n$ कोण $\theta$ बनाता हो $\vect B$ के साथ: घूर्णन-अक्ष के समांतर $b$ लंबाई की दोनों भुजाओं पर लाप्लास बल $\pm IbB$ हैं, जो विपरीत हैं और $a\sin\theta$ की दूरी पर: यानी $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ आघूर्ण का एक युग्म, जो $\theta$ घटाना चाहता है; और बाकी दोनों भुजाओं पर बल विपरीत तथा संरेख हैं। ऊर्जा: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ , जहाँ $\Gamma = -mB\sin\theta$ , जिससे $E_p = -mB\cos\theta$ मिलता है। कोई भी तलीय पाश छोटे आयतों का योग है; और असमान वाली स्थिति स्वीकृत है। ∎

बाएँ: किसी एकसमान क्षेत्र में कोई धारा-पाश, जो अपने घूर्णन-अक्ष के अनुदिश देखा गया है — दोनों भुजाओं पर लाप्लास बल एक ऐसा युग्म बनाते हैं जो आघूर्ण को क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध कर देता है। दाएँ: किसी छड़-चुंबक की क्षेत्र-रेखाएँ किसी चुंबकीय द्विध्रुव की ही हैं, आकार में विद्युत द्विध्रुव जैसी, जो उत्तरी फलक से निकलकर दक्षिणी पर लौट आती हैं।

उदाहरण 28.15 (दिक्सूचक और पृथ्वी)

दिक्सूचक की सुई एक छोटा चुंबक है, जिसका आघूर्ण $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ है; और पृथ्वी के क्षेत्र के क्षैतिज घटक में, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , बलाघूर्ण $mB_h\sin\theta$ उसे उत्तर की ओर घुमा देता है, और वह उत्तर के आसपास $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ आवर्तकाल से दोलन करती है (अभ्यास 28.9)। पृथ्वी का अपना द्विध्रुव, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , द्रव लोहे के क्रोड में घूमती कुछ अरब ऐंपियर की किसी धारा के तुल्य है; और वह सतह पर जो क्षेत्र बनाता है वही इस अध्याय का सबसे कमज़ोर क्षेत्र है और वही सबसे पहले काम में लिया गया।

28.6 अभ्यास

अभ्यास 28.1 ★

$10\,\mathrm{A}$ ले जाते किसी सीधे तार से $1.0\,\mathrm{cm}$ पर क्षेत्र; उसी दूरी पर $1\,\mathrm{T}$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक धारा; और वह दूरी जिस पर $100\,\mathrm{A}$ के किसी तार का क्षेत्र पृथ्वी के $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ के बराबर हो जाए।

हल

हल — अभ्यास 28.1.

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ । $1\,\mathrm{T}$ के लिए: $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ । और पृथ्वी वाला मान $r = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ पर।

अभ्यास 28.2 ★

$100$ फेरों, $5.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की किसी कुंडली के केंद्र पर क्षेत्र, जब वह $2.0\,\mathrm{A}$ ले जा रही हो; और उसकी अक्ष पर केंद्र से $5.0\,\mathrm{cm}$ तथा $50\,\mathrm{cm}$ पर।

हल

हल — अभ्यास 28.2.

केंद्र: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$ । $z = R$ पर: $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$ : $0.89\,\mathrm{mT}$ । और $z = 10R$ पर: $\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}$ : $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ , यानी पहले से ही $1/z^3$ वाला द्विध्रुव नियम।

अभ्यास 28.3 ★

प्रति मीटर $1000$ फेरों की कोई परिनालिका $5.0\,\mathrm{A}$ ले जाती है: सिरों से दूर भीतर क्षेत्र; और ठीक सिरे पर। $0.5\,\mathrm{mm}$ के तार के कितने फेरे प्रति मीटर एक ही परत में लपेटे जा सकते हैं, और तब $5\,\mathrm{A}$ पर क्षेत्र।

हल

हल — अभ्यास 28.3.

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ; और सिरे पर, आधा: $3.1\,\mathrm{mT}$ । $0.5\,\mathrm{mm}$ का तार: प्रति मीटर $2000$ फेरे, अतः $5\,\mathrm{A}$ पर $12.6\,\mathrm{mT}$ ।

अभ्यास 28.4 ★

$0.10\,\mathrm{T}$ के किसी क्षेत्र पर लंब, $10\,\mathrm{A}$ ले जाते $1.0\,\mathrm{m}$ के तार पर बल; और उसी तार पर, जब वह क्षेत्र से $30{}^{\circ}$ पर हो। किसी मोटर के $5\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या के घूर्णक पर ऐसे $100$ तार हैं: बलाघूर्ण (परिमाण की कोटि)।

हल

हल — अभ्यास 28.4.

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ; और $30{}^{\circ}$ पर, $\sin30^\circ$ से: $0.5\,\mathrm{N}$ । मोटर: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — यानी कोई छोटी औद्योगिक मोटर।

अभ्यास 28.5 ★★

किसी परिमित सीधे खंड का क्षेत्र, उसकी रेखा से $d$ दूरी पर, जब उसके सिरे कोणों $\alpha_1$ तथा $\alpha_2$ पर दिखते हों (जो लंब से नापे गए हैं): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ । अनंत तार वाली सीमा जाँचिए। और $a$ भुजा के किसी वर्गाकार पाश के केंद्र पर क्षेत्र।

हल

हल — अभ्यास 28.5.

$z = d\tan\alpha$ के साथ: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ; और अनंत तार, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : $\mu_0I/2\pi d$ । वर्ग: हर भुजा $d = a/2$ पर, जो $\pm45^\circ$ पर दिखती है, $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ देती है; और चारों भुजाएँ: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (उसी “त्रिज्या” $a/2$ का कोई वृत्त $\mu_0I/a$ देता)।

अभ्यास 28.6 ★★

हेल्महोल्ट्ज़ कुंडलियाँ। दो एक-सी कुंडलियाँ ( $N$ फेरे, त्रिज्या $R$ ), जो एक ही अक्ष पर $R$ दूरी पर रखी हों, एक ही धारा एक ही दिशा में ले जाती हैं। मध्यबिंदु पर क्षेत्र; दिखाइए कि वहाँ अक्ष के अनुदिश $B$ के पहले और दूसरे अवकलज लुप्त हो जाते हैं। आँकड़े: $N = 100$ , $R = 15\,\mathrm{cm}$ , $I = 1.0\,\mathrm{A}$ ।

हल

हल — अभ्यास 28.6.

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ , जहाँ

f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2} .

मध्यबिंदु: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$ । $f'$ विषम है, अतः $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ; और $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ का मान $u = R/2$ पर लुप्त हो जाता है, अतः $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : यानी क्षेत्र तीसरी कोटि तक एकसमान है। आँकड़े: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}$ ।

अभ्यास 28.7 ★★

$2.0\,\mathrm{mm}$ त्रिज्या का कोई ताँबे का तार $100\,\mathrm{A}$ ले जाता है। पृष्ठ पर, अक्ष से $1.0\,\mathrm{mm}$ पर, और $1.0\,\mathrm{cm}$ पर क्षेत्र। $B(r)$ का आलेख खींचिए। अब वही तार किसी समाक्ष तार का भीतरी चालक है, जिसका आवरण वापसी धारा ले जाता है: आवरण के बाहर क्षेत्र।

हल

हल — अभ्यास 28.7.

पृष्ठ: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ; भीतर, $1\,\mathrm{mm}$ पर, $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ; और $1\,\mathrm{cm}$ पर: $2\,\mathrm{mT}$ । $B$ पृष्ठ तक रैखिक रूप से चढ़ता है, फिर $1/r$ की तरह गिरता है। समाक्ष: आवरण के बाहर घिरी हुई धारा शून्य है, अतः $B = 0$ ।

अभ्यास 28.8 ★★

$1\,\mathrm{m}$ की दूरी पर $1\,\mathrm{A}$ ले जाते दो तारों के बीच प्रति मीटर बल; $10\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर $10\,\mathrm{kA}$ ले जाती दो धारा-पट्टियों के बीच; और $100\,\mathrm{kA}$ के किसी लघुपथन के अधीन। पट्टियों को कौन थामे रखे?

हल

हल — अभ्यास 28.8.

प्रति मीटर $2 \times 10^{-7}$ न्यूटन। धारा-पट्टियाँ: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; और $100\,\mathrm{kA}$ पर: $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — यानी प्रति मीटर दो टन। स्विचगियर के विद्युतरोधी आधार दोष-धारा के हिसाब से बनाए जाते हैं, काम की धारा के हिसाब से नहीं।

अभ्यास 28.9 ★★

दिक्सूचक की कोई सुई, जिसका आघूर्ण $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ और जड़त्व आघूर्ण $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ हो, किसी क्षैतिज क्षेत्र $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ में। $90{}^{\circ}$ पर बलाघूर्ण; उसे उत्तर से दक्षिण घुमाने का कार्य; और छोटे दोलनों का आवर्तकाल। उससे $B_h$ कैसे मापा जाए?

हल

हल — अभ्यास 28.9.

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ; $J\ddot\theta = -mB_h\theta$ : $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}$ । दोलनों का समय लीजिए: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ , जब $m$ और $J$ ज्ञात हों (गाउस ने $m$ अलग से उस विक्षेप से नापा था जो वह किसी दूसरी सुई को देती है)।

अभ्यास 28.10 ★★★

द्विध्रुव के रूप में पृथ्वी। (क) दिखाइए कि उसकी अक्ष पर, दूर जाकर, किसी पाश का क्षेत्र $B = \mu_0m/2\pi z^3$ है, जहाँ $m = I\pi R^2$ ; और विद्युत द्विध्रुव से तुलना कीजिए। (ख) चुंबकीय ध्रुव पर क्षेत्र लगभग $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ है: इससे पृथ्वी का द्विध्रुव आघूर्ण निकालिए। (ग) वह धारा जो $3000\,\mathrm{km}$ त्रिज्या के किसी पाश (यानी क्रोड) में इसे बना देती। (घ) द्विध्रुव प्रतिरूप पर भूमध्य रेखा पर क्षेत्र; और अक्षांश $45{}^{\circ}$ पर क्षेत्र का नति कोण ( $B_r$ तथा $B_\theta$ लीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 28.10.

(क) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : यानी विद्युत वाला $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ , जहाँ $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$ । (ख) $m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ । (ग) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$ । (घ) भूमध्य रेखा ( $\theta = 90^\circ$ ): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , यानी ध्रुवीय मान का आधा। और $\theta = 45^\circ$ पर: $\tan(\text{नति}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$ , यानी नति $= 63{}^{\circ}$ — मध्य अक्षांशों पर क्षेत्र भूमि में तेज़ी से गोता लगा देता है।

अभ्यास 28.11 ★★★

परिमित परिनालिका। लंबाई $L = 20\,\mathrm{cm}$ , त्रिज्या $R = 2.0\,\mathrm{cm}$ , $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ , $I = 3.0\,\mathrm{A}$ । पाठ के सूत्र से केंद्र पर और किसी सिरे पर क्षेत्र; अनंत परिनालिका वाले मान का अंश; और अक्ष के अनुदिश बाहर किस दूरी पर क्षेत्र गिरकर केंद्र वाले मान का $1\%$ रह जाता है? अक्ष के अनुदिश $B(z)$ का आलेख खींचिए।

हल

हल — अभ्यास 28.11.

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$ । केंद्र: $\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2$ , $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : $B = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT}$ ( $98\%$ )। सिरा: $\cos\alpha_1 = 0$ , $\tan\alpha_2 = R/L$ , $\cos\alpha_2 = -0.995$ : $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ( $50\%$ )। सिरे से आगे $x$ पर बाहर, जहाँ दोनों सिरे एक ही ओर हैं: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ; और केंद्र वाले मान का $1\%$ $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ पर, यानी आधी लंबाई बाहर। $B(z)$ : लंबाई के अधिकांश भाग पर चपटा शिखर, सिरों पर गिरकर आधा, और एक लंबाई दूर जाकर कुछ ही प्रतिशत।

अभ्यास 28.12 ★★★

चुंबकीय दाब। किसी लंबी परिनालिका में क्षेत्र भीतर $B$ है और बाहर $0$ ; और कुंडलन प्रति मीटर लंबाई पृष्ठीय धारा $K = nI$ ले जाते हैं। (क) दिखाइए कि कुंडलनों पर क्षेत्र, यानी भीतर और बाहर का औसत, $B/2$ है, और उन पर लाप्लास बल बाहर की ओर कोई दाब $p = B^2/2\mu_0$ है। (ख) $1\,\mathrm{T}$ , $10\,\mathrm{T}$ , $45\,\mathrm{T}$ के लिए आँकड़े; वायुमंडलीय दाब से और इस्पात की तन्य सामर्थ्य ( $1\,\mathrm{GPa}$ ) से तुलना कीजिए। (ग) सबसे प्रबल स्थायी चुंबकों को कौन सीमित करता है?

हल

हल — अभ्यास 28.12.

(क) कुंडलनों का अपना क्षेत्र उनके पार $0$ से $B$ तक उछल जाता है; और उन पर जो क्षेत्र लगता है वह माध्य है, $B/2$ (कोई चादर अपने ही ऊपर धक्का नहीं दे सकती)। कुंडलन के $\dd l$ लंबाई तथा $\dd z$ चौड़ाई के किसी अवयव पर, जो $K\,\dd z$ ले जाए, बल $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ है, जो त्रिज्य रूप से बाहर की ओर है ( $I\,\dd\vect l \wedge\vect B$ से जाँचिए): अतः दाब $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ , क्योंकि $K = nI = B/\mu_0$ । (ख) $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$ ; $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ; $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$ , यानी इस्पात के $1\,\mathrm{GPa}$ के पास। (ग) कुंडलनों को ऐसा दाब थामना पड़ता है जो $B^2$ की तरह बढ़ता है: लगभग $40\,\mathrm{T}$ से ऊपर न कोई पदार्थ सँभालता है, न कोई शीतलन-योजना — यानी स्थायी चुंबकों की सीमा यांत्रिक है (और अतिचालकों के लिए, उनका क्रांतिक क्षेत्र)।

कोई उच्च-वोल्टता संचरण लाइन: प्रति परिपथ तीन चालक, जिनकी धाराओं का योग शून्य है, ताकि दूरी पर उनके क्षेत्र कट जाएँ। छायाचित्र: स्तेफ़ान आंद्रेय शंबोरा, CC BY 2.0।

28.7 समस्या: तार, लाइन और मापी

समस्या 28.1

सप्ताहांत समस्या — किसी समाक्ष तार पर ऐंपियर का नियम, किसी विद्युत लाइन पर लाप्लास बल, और किसी चल-कुंडली धारामापी का अभिकल्प

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; ताँबे की प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ।

भाग I — समाक्ष तार। कोई तार $I = 1.0\,\mathrm{A}$ को $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ त्रिज्या के ठोस ताँबे के क्रोड के अनुदिश ले जाता है और ऐसे आवरण के अनुदिश वापस लाता है जिसकी भीतरी त्रिज्या $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ और बाहरी $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ है; और हर चालक की काट पर धाराएँ एकसमान हैं।

सममितियाँ और अपरिवर्तिताएँ: $\vect B$ की दिशा और वह चर जिस पर वह निर्भर है।
ऐंपियर के नियम से, क्रोड में, दोनों चालकों के बीच, और तार के बाहर $B(r)$ ।
$r = a$ और $r = b$ पर मान।
क्रोड की जगह उसी त्रिज्या $a$ की ताँबे की कोई पतली नली रख दी जाती है, जो वही धारा ले जाती है: हर क्षेत्र में क्या बदलता है?
आवरण के भीतर $B(r)$ ( $b < r < c$ ); $b$ और $c$ पर मान जाँचिए; और $B(r)$ का आलेख $0$ से $4\,\mathrm{mm}$ तक खींचिए।
आवरण पर लाप्लास बल: दिशा (क्रोड की ओर आकर्षण या उससे प्रतिकर्षण?) और प्रति एकांक क्षेत्रफल परिमाण, जहाँ आवरण पर क्षेत्र $b$ तथा $c$ पर के मानों का औसत लिया जाए। $10\,\mathrm{kA}$ की किसी स्पंदित धारा के लिए भी वही।
संकेतों के लिए समाक्ष ज्यामिति ही क्यों काम में ली जाती है? $d = 2\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर के समांतर तारों के किसी जोड़े से तुलना कीजिए: उस जोड़े से $D = 10\,\mathrm{cm}$ दूरी पर क्षेत्र (दो तारों का अध्यारोपण लीजिए)।

भाग II — विद्युत लाइन। $d = 1.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर दो क्षैतिज चालक, जो भूमि से $h = 10\,\mathrm{m}$ ऊपर हैं, $I = 500\,\mathrm{A}$ विपरीत दिशाओं में ले जाते हैं।

मध्यबिंदु के नीचे भूमि के बिंदु पर एक चालक का क्षेत्र; दिखाइए कि दोनों क्षेत्र मिलकर कोई ऊर्ध्वाधर क्षेत्र बना देते हैं और उसका मान दीजिए; पृथ्वी के क्षेत्र से और $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ की संस्तुत सीमा से तुलना कीजिए।
दिखाइए कि $D \gg d$ दूरियों पर उस जोड़े का क्षेत्र $\mu_0Id/2\pi D^2$ की तरह गिरता है: किसी अकेले तार से तेज़ी से क्यों?
किसी एक चालक के $1.0\,\mathrm{m}$ नीचे क्षेत्र, जहाँ कोई तकनीशियन काम कर सकता है।
चालकों के बीच प्रति मीटर बल; आकर्षण या प्रतिकर्षण? और $20\,\mathrm{kA}$ की किसी लघुपथन धारा के अधीन वही।
$300\,\mathrm{m}$ के किसी फैलाव पर बल, सामान्य में और लघुपथन में; फैलाव के भार ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) से तुलना कीजिए; और लघुपथन के दौरान लाइनें क्या करती हैं?
कोई त्रिकला लाइन एक ही आयाम की तीन धाराएँ ले जाती है, जो $120{}^{\circ}$ से खिसकी हुई हैं: दिखाइए कि हर क्षण उनका योग लुप्त हो जाता है, और दूर के क्षेत्र के लिए इसका क्या अर्थ है।
प्रश्न 8 वाले बिंदु पर कोई दिक्सूचक, जहाँ पृथ्वी का क्षैतिज क्षेत्र $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ है: क्या लाइन का क्षेत्र उसे विक्षेपित करता है? (उसकी दिशा पर विचार कीजिए।)

भाग III — चल-कुंडली धारामापी। कोई आयताकार कुंडली, $N = 200$ फेरे, भुजाएँ $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (जो घूर्णन-अक्ष के समांतर है) और $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , बेलनाकार ध्रुव-खंडों के बीच की दरार में अपनी अक्ष के परितः घूमती है, जहाँ क्षेत्र $B = 0.20\,\mathrm{T}$ त्रिज्य है: यानी हमेशा कुंडली के तल में, और उसकी भुजाओं $a$ पर लंब। कोई कुंडलित स्प्रिंग प्रत्यानयन बलाघूर्ण $-C\theta$ लगाती है, जहाँ $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ । कुंडली और सुई का जड़त्व आघूर्ण: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ।

चारों भुजाओं पर लाप्लास बल; उनमें से कौन-से अक्ष के परितः बलाघूर्ण देते हैं?
किसी धारा $I$ के लिए बलाघूर्ण; त्रिज्य क्षेत्र उसे $\theta$ से स्वतंत्र क्यों कर देता है?
साम्य पर विक्षेप $\theta$ ; प्रति मिलीऐंपियर रेडियन में सुग्राहिता; और $1.2\,\mathrm{rad}$ के पूर्ण-पैमाना विक्षेप के लिए धारा।
कुंडली $0.10\,\mathrm{mm}$ व्यास के ताँबे के तार से लपेटी गई है: कुंडली का प्रतिरोध; पूर्ण पैमाने पर उस पर वोल्टता और क्षय हुई शक्ति।
कुंडली की गति का समीकरण; और साम्य के आसपास दोलनों का स्वाभाविक आवर्तकाल।
क्षेत्र में कुंडली की गति एक रोकने वाला बलाघूर्ण $-\alpha\dot\theta$ प्रेरित करती है (अध्याय 29); क्रांतिक अवमंदन के लिए $\alpha$ का मान, और वह क्यों चाहिए।
$10\,\mathrm{V}$ पूर्ण-पैमाना वोल्टमापी बनाने के लिए श्रेणी-प्रतिरोध; और $1.0\,\mathrm{A}$ पूर्ण-पैमाना धारामापी बनाने के लिए शंट प्रतिरोध।
पूर्ण पैमाने पर कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण; और $0.20\,\mathrm{T}$ के किसी एकसमान क्षेत्र में पंक्तिबद्ध होने पर उसकी ऊर्जा $-\vect m\cdot \vect B$ ; पूर्ण पैमाने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा से तुलना कीजिए।
यदि क्षेत्र त्रिज्य के बजाय एकसमान होता, तो दिखाइए कि पैमाना अब रैखिक नहीं रहता: साम्य की शर्त लिखिए, जहाँ $\theta$ उस स्थिति से नापा जाए जिसमें कुंडली का तल $\vect B$ को रखता है।
$0.5\,\mathrm{mA}$ आयाम की कोई $50\,\mathrm{Hz}$ धारा मापी को दी जाती है: सुई क्या दिखाती है, और क्यों? ( $50\,\mathrm{Hz}$ की तुलना स्वाभाविक आवृत्ति से कीजिए।)
तीनों दृश्यों का सार तीन आँकड़ों में दीजिए, और बताइए कि हर एक को कौन-से एक नियम ने पैदा किया।

हल

हल — समस्या 28.1.

1. अक्ष को रखने वाला हर तल धाराओं का कोई सममिति तल है: अतः $\vect B$ उस पर लंब है, यानी लंबत्रिज्य; और अक्ष के अनुदिश तथा उसके चारों ओर की अपरिवर्तिता से: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ ।

2. $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB = \mu_0I_{\text{घिरी}}$ । क्रोड: $I_{\text{घिरी}} = Ir^2/a^2$ , $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ; बीच में: $\mu_0I/2\pi r$ ; और बाहर ( $r > c$ ): $I - I = 0$ , $B = 0$ ।

3. $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ।

4. नली के भीतर कोई धारा घिरी नहीं होती: अतः वहाँ रैखिक चढ़ाई की जगह $B = 0$ ; और बाकी हर जगह कुछ नहीं बदलता — किसी बेलनाकार धारा के बाहर का क्षेत्र केवल कुल धारा पर निर्भर करता है।

5. $I_{\text{घिरी}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2)$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$ , जो $b$ पर $\mu_0I/2\pi b$ के बराबर है और $c$ पर शून्य: यानी संतत। आलेख: $0.5\,\mathrm{mm}$ पर $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ तक रैखिक, फिर $1/r$ से $2.5\,\mathrm{mm}$ पर $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ तक, फिर $3\,\mathrm{mm}$ पर गिरकर शून्य, और उसके आगे शून्य।

6. आवरण की धारा क्रोड की धारा से प्रतिसमांतर है: अतः प्रतिकर्षण, यानी बाहर की ओर कोई दाब। पृष्ठीय धारा $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; और माध्य क्षेत्र $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : अतः $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ । $10\,\mathrm{kA}$ पर: $\times10^8$ , यानी $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — स्पंदित-शक्ति के तार इसे झेलने लायक बनाए जाते हैं।

7. बाहर कोई क्षेत्र नहीं: अतः तार न कुछ विकीर्ण करता है, न अपने पड़ोसियों से कोई चुंबकीय व्यवधान उठाता है। तारों का कोई जोड़ा: दोनों क्षेत्र लगभग कट जाते हैं और $10\,\mathrm{cm}$ पर $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ बचता है — छोटा, पर समाक्ष तो शून्य ही देता है।

8. $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : हर एक $\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ देता है, जो चालक से जाती रेखा पर लंब है। धाराएँ विपरीत हैं, अतः चालकों को जोड़ती रेखा के समांतर घटक कट जाते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं: $B = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$ , ऊर्ध्वाधर। यानी पृथ्वी के क्षेत्र से पचास गुना नीचे, और संस्तुत सीमा से सौ गुना नीचे।

9. $D \gg d$ के लिए, $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : दोनों $1/D$ क्षेत्र प्रथम कोटि तक कट जाते हैं और केवल उनका अंतर बचता है, जिसका सापेक्ष आकार $d/D$ है — यानी कोई “दो-तार वाला द्विध्रुव”।

10. अपना चालक $1\,\mathrm{m}$ पर: $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ क्षैतिज; और दूसरा $1.41\,\mathrm{m}$ पर: $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , $45{}^{\circ}$ पर, विरोध में: अतः परिणामी $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$ , यानी $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$ , जो सार्वजनिक सीमा से नीचे है और व्यावसायिक सीमा से कहीं नीचे।

11. $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , प्रतिकर्षी; और $20\,\mathrm{kA}$ पर: $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ।

12. सामान्य में $15\,\mathrm{N}$ ; और लघुपथन में $24\,\mathrm{kN}$ , यानी फैलाव के $2.9\,\mathrm{kN}$ भार से आठ गुना: चालक एक-दूसरे से दूर उछल जाते हैं, झूलते हैं और लौटते समय आपस में टकरा भी सकते हैं — इसीलिए दूरी बनाए रखने वाले अवरोधक और कुछ ही चक्रों में खुल जाने वाले वियोजक लगाए जाते हैं।

13. $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : यानी तीनों कला-सदिशों का योग शून्य है। $1/D$ वाले क्षेत्र समाक्ष की तरह कट जाते हैं; और दूर का क्षेत्र $1/D^2$ की तरह या उससे भी तेज़ी से गिरता है।

14. वहाँ लाइन का क्षेत्र ऊर्ध्वाधर है; और कोई दिक्सूचक केवल क्षैतिज घटक पर ही प्रतिक्रिया करता है: अतः कोई विक्षेप नहीं (नति $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$ , यानी तीन अंश बदलती है, जो दिक्सूचक दिखा ही नहीं सकता)।

15. भुजाएँ $a$ (जो अक्ष के समांतर हैं): त्रिज्य $\vect B$ उन पर लंब है, अतः हर एक पर बल $NIaB$ , जो कुंडली के तल पर लंब है और दोनों भुजाओं पर विपरीत: यानी एक युग्म। भुजाएँ $b$ : वहाँ $\dd\vect l$ त्रिज्य है, यानी $\vect B$ के समांतर: अतः कोई बल नहीं।

16. $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (न्यूटन-मीटर में, जहाँ $I$ ऐंपियर में)। त्रिज्य क्षेत्र हमेशा कुंडली के तल में और भुजाओं $a$ पर लंब रहता है: अतः बल हमेशा तल पर अभिलंब होते हैं और उनकी उत्तोलक भुजा $b/2$ कभी नहीं बदलती।

17. $C\theta = NISB$ : $\theta = 2400\,I$ रेडियन, अर्थात् $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ; और पूर्ण पैमाना $1.2\,\mathrm{rad}$ पर, $I = 0.50\,\mathrm{mA}$ ।

18. लंबाई $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$ , काट $\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega$ ; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$ ।

19. $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.51\,\mathrm{s}$ ।

20. $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : क्रांतिक तब, जब $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ; तब सुई बिना आगे निकले सबसे तेज़ी से अपने पाठ पर पहुँच जाती है।

21. वोल्टमापी: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$ । धारामापी: शंट $22\,\mathrm{mV}$ के नीचे $0.9995\,\mathrm{A}$ ले जाता है: $R_{\text{शंट}} = 22\,\mathrm{m}\Omega$ ।

22. $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; और स्प्रिंग $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : यानी वही कोटि — स्प्रिंग वही संचित रखती है जो चुंबकीय बलाघूर्ण ने कुंडली के घूमते समय किया।

23. किसी एकसमान क्षेत्र में बलाघूर्ण $mB\cos\theta$ होता (जो तब अधिकतम है जब तल $\vect B$ को रखता हो, और तब शून्य जब अभिलंब उसके अनुदिश हो): $C\theta = NISB\,I\cos\theta$ — यानी केवल छोटे $\theta$ के लिए रैखिक, और पैमाने के ऊपरी सिरे पर दबा हुआ।

24. $50\,\mathrm{Hz}$ , जबकि $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : कुंडली साथ नहीं चल पाती; वह धारा के माध्य, यानी शून्य, पर ठहरी रहती है, बस $\approx \theta_{\text{स्थैतिक}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ आयाम की एक कँपकँपी के साथ, जो दिखती ही नहीं। कोई चल-कुंडली मापी माध्य पढ़ता है — प्रत्यावर्ती धारा के लिए उसे कोई दिष्टकारी चाहिए।

25. $1\,\mathrm{A}$ के किसी समाक्ष तार के क्रोड पर $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ और बाहर कुछ नहीं (ऐंपियर का नियम); $500\,\mathrm{A}$ की किसी लाइन के नीचे $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ और उसके चालकों के बीच $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (बायो–सावार और लाप्लास); तथा मापी के लिए $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ (किसी स्प्रिंग के विरुद्ध लाप्लास का युग्म)।

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