विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

2ज्यामितीय प्रकाशिकी: किरणें, परावर्तन, अपवर्तन

पानी के गिलास में खड़ा तिनका सतह पर टूटा हुआ दिखता है; तालाब की तली से ऊपर देखता तैराक पूरे आकाश को एक चमकीली चकती में सिमटा हुआ पाता है, जिसके चारों ओर तली का दर्पण फैला होता है; और बाल जितना पतला काँच का तंतु एक टेलीफ़ोन वार्ता को पूरे महासागर के पार इतनी कम हानि से पहुँचा देता है जितनी ताँबे का तार एक सड़क पार करने में झेल लेता है। तीन नियम — प्रकाश सीधा चलता है, बराबर कोणों पर परावर्तित होता है, स्नेल के नियम से मुड़ता है — इन सबका हिसाब दे देते हैं; यह अध्याय उन्हें ठीक-ठीक कहता है, बताता है कि वे कहाँ सच होना बंद कर देते हैं, और फिर उन्हें काम पर लगा देता है।

प्रिज़्म श्वेत पुंज को अपने आधार की ओर मोड़ता है और उसे फैला देता है: काँच का अपवर्तनांक तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है, और बैंगनी सबसे अधिक विचलित होता है।

2.1 ज्यामितीय प्रकाशिकी का प्रतिरूप

परिभाषा 2.1 (प्रकाश किरण; समांगी माध्यम)

ज्यामितीय प्रकाशिकी के प्रतिरूप में प्रकाश प्रकाश किरणों के अनुदिश संचरित होता है: ये दिशायुक्त वक्र हैं, जो समांगी माध्यम (जिसके हर बिंदु पर गुण समान हों) में सरल रेखाएँ होते हैं और एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से ऊर्जा ले जाते हैं। पुंज किरणों का गट्ठर है; और कोई बिंदु स्रोत हर दिशा में किरणें उत्सर्जित करता है।

परिभाषा 2.2 (अपवर्तनांक)

पारदर्शी माध्यम प्रकाश को अपने भीतर से गुज़र जाने देता है; उसमें उसकी चाल $v < c$ होती है। उसका अपवर्तनांक है

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

निर्वात: $n = 1$ ; हवा: $1.0003$ ; पानी: $1.33$ ; साधारण काँच: $1.5$ से $1.6$ ; हीरा: $2.42$ । आवृत्ति $\nu$ की कोई तरंग किसी माध्यम में प्रवेश करने पर अपनी आवृत्ति बनाए रखती है, अतः उसका तरंगदैर्घ्य निर्वात के $\lambda_0 = c/\nu$ से घटकर $\lambda = \lambda_0/n$ रह जाता है।

टिप्पणी 2.3 (वर्ण-विक्षेपण)

पदार्थ में अपवर्तनांक तरंगदैर्घ्य पर थोड़ा-बहुत निर्भर करता है — ऐसा माध्यम विक्षेपी कहलाता है। दृश्य परास में काँच के लिए कोशी का आनुभविक नियम $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ अच्छा बैठता है: $n$ नीले के लिए लाल की अपेक्षा लगभग $0.01$ से $0.02$ बड़ा होता है। इस अध्याय के अंत में आने वाले प्रिज़्म और इंद्रधनुष, दोनों इसी अंतर पर जीते हैं।

टिप्पणी 2.4 (प्रतिरूप की सीमाएँ)

प्रकाश एक तरंग है, और चौड़ाई $a$ के किसी छिद्र से गुज़रती तरंग लगभग $\lambda/a$ कोटि के कोण से फैल जाती है (विवर्तन, अध्याय 5)। किरणें तब तक अच्छा वर्णन देती हैं जब तक हर द्वारक, लेंस और अवरोध तरंगदैर्घ्य से कहीं बड़ा हो (दृश्य प्रकाश के लिए $0.4\,$ से $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): $1\,\mathrm{mm}$ का छिद्र किसी पुंज को $10^{-3}$ रेडियन फैलाता है, जो प्रयोग-मेज़ पर नगण्य है; जबकि $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ का छिद्र उसे पूरे अर्ध-आकाश में बिखेर देता है, और किरण-चित्र बचता ही नहीं। एकल-मोड दूरसंचार तंतु का $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ क्रोड पहले ही इस प्रतिरूप के परे है।

प्रतिज्ञप्ति 2.5 (प्रकाश की वापसी)

किसी किरण का पथ इस पर निर्भर नहीं करता कि प्रकाश उसे किस दिशा में तय करता है: यदि प्रकाश $A$ से $B$ तक किसी पथ पर जाता है, तो $B$ से चला प्रकाश उसी पथ पर $A$ तक पहुँचता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

2.2 परावर्तन और अपवर्तन

परिभाषा 2.6 (आपतन)

दो माध्यमों को अलग करते पृष्ठ (एक अपवर्तक पृष्ठ) से किसी बिंदु $I$ पर मिलती किरण उस पृष्ठ के $I$ पर खींचे अभिलंब के साथ जो कोण बनाती है, वही आपतन कोण $i_1$ है। आपतन तल में आपतित किरण और अभिलंब, दोनों रहते हैं।

प्रमेय 2.7 (परावर्तन और अपवर्तन के नियम (स्नेल–देकार्त))

अपवर्तनांक $n_1$ (आपतन की ओर) और $n_2$ वाले माध्यमों के बीच के पृष्ठ पर:

परावर्तित और अपवर्तित किरणें आपतन तल में ही रहती हैं;
परावर्तित किरण अभिलंब के साथ कोण $i_1' = i_1$ बनाती है, अभिलंब के दूसरी ओर;
अपवर्तित किरण अभिलंब के साथ ऐसा कोण $i_2$ बनाती है कि

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 2.8 (ये नियम कहाँ से आते हैं)

दोनों नियम फ़र्मा के सिद्धांत से निकलते हैं: दो बिंदुओं के बीच प्रकाश वही पथ लेता है जिस पर यात्रा का समय न्यूनतम हो। बराबर कोणों वाला परावर्तन दर्पण को छूता सबसे छोटा टूटा हुआ पथ है; और स्नेल का नियम वह पथ है जो तेज़ माध्यम में लंबे रास्ते के बदले धीमे माध्यम में छोटा रास्ता ख़रीदता है (अभ्यास 2.12)। वर्ष 2 के खंड में दोनों नियम किसी अंतरापृष्ठ पर प्रकाश की तरंग-प्रकृति से व्युत्पन्न किए जाते हैं।

दो माध्यमों के बीच के पृष्ठ पर परावर्तन और अपवर्तन। n_2 > n_1 होने पर अपवर्तित किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है; तीनों किरणें और अभिलंब एक ही तल में रहते हैं, यानी आकृति के तल में। — दो माध्यमों के बीच के पृष्ठ पर परावर्तन और अपवर्तन। $n_2 > n_1$ होने पर अपवर्तित किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है; तीनों किरणें और अभिलंब एक ही तल में रहते हैं, यानी आकृति के तल में।

प्रतिज्ञप्ति 2.9 (किरण किस ओर मुड़ती है)

अधिक अपवर्तक माध्यम में प्रवेश करते हुए ( $n_2 > n_1$ ) किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है ( $i_2 < i_1$ ); और कम अपवर्तक माध्यम में प्रवेश करते हुए उससे दूर ( $i_2 > i_1$ )। अभिलंब के अनुदिश चलती किरण बिना विचलित हुए निकल जाती है।

उपपत्ति. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ , और $\sin$ अंतराल $[0, \pi/2]$ पर वर्धमान है। ∎

उदाहरण 2.10 (आभासी गहराई)

एक सिक्का गहराई $h$ पर पानी ( $n = 1.33$ ) के नीचे पड़ा है और उसे लगभग ठीक ऊपर से देखा जा रहा है। सिक्के से चली जो किरण सतह पर छोटे कोण $i_2$ (पानी में) पर मिलती है, वह $i_1$ पर बाहर निकलती है, जहाँ $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; छोटे कोणों के लिए $i_1 \approx n\,i_2$ । आँख निकलती हुई किरण को पीछे बढ़ा लेती है: सिक्का गहराई $h'$ से आता जान पड़ता है, जहाँ $\tan i_1 \approx x/h'$ और $\tan i_2 \approx x/h$ उसी सतह-बिंदु के लिए हैं जो ऊर्ध्वाधर से दूरी $x$ पर है, अतः $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ । $2.0\,\mathrm{m}$ गहरा तालाब $1.5\,\mathrm{m}$ गहरा दिखता है; और मछली को मछुआरा जितना है उससे $1.33$ गुना ऊँचा दिखता है।

प्रमेय 2.11 (पूर्ण आंतरिक परावर्तन)

अपवर्तनांक $n_1$ के माध्यम से कम अपवर्तक माध्यम ( $n_2 < n_1$ ) की ओर जाता प्रकाश तभी अपवर्तित होता है जब $i_1 \leq i_c$ हो, जहाँ क्रांतिक कोण इस शर्त का पालन करता है:

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

$i_1 > i_c$ के लिए कोई अपवर्तित किरण नहीं रहती: पृष्ठ सारा प्रकाश परावर्तित कर देता है — यही पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।

उपपत्ति. स्नेल का नियम $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ माँगता है; और यह $1$ से बड़ा हो जाता है जैसे ही $\sin i_1 > n_2/n_1$ हो जाए, जिसके बाद ऐसा कोई कोण $i_2$ बचता ही नहीं। $i_1 = i_c$ पर अपवर्तित किरण पृष्ठ को स्पर्श करती हुई निकलती है ( $i_2 = 90^\circ$ )। तब सारी ऊर्जा परावर्तित हो जाती है — यह तीव्रताओं का कथन है, जिसे ज्यामितीय प्रकाशिकी सँभालती नहीं; वर्ष 2 के खंड का तरंग-विवेचन इसकी पुष्टि करता है। ∎

पानी के नीचे किसी स्रोत S से चली किरणें। क्रांतिक कोण से नीचे (पानी–हवा के लिए i_c = 48.8) प्रकाश का कुछ भाग बाहर निकल जाता है; i_c पर अपवर्तित किरण पृष्ठ को स्पर्श करती है; और उसके परे पृष्ठ एक पूर्ण दर्पण बन जाता है — तैराक को दिखती आकाश की चमकीली चकती इसी कोण से बँधी है। — पानी के नीचे किसी स्रोत $S$ से चली किरणें। क्रांतिक कोण से नीचे (पानी–हवा के लिए $i_c = 48.8^\circ$ ) प्रकाश का कुछ भाग बाहर निकल जाता है; $i_c$ पर अपवर्तित किरण पृष्ठ को स्पर्श करती है; और उसके परे पृष्ठ एक पूर्ण दर्पण बन जाता है — तैराक को दिखती आकाश की चमकीली चकती इसी कोण से बँधी है।

उदाहरण 2.12 (हीरे और तैराक)

काँच–हवा: $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , और इसीलिए $45^\circ$ वाला प्रिज़्म पूर्ण परावर्तन करता है तथा दूरबीनों में दर्पण की जगह ले लेता है। हीरा–हवा: $i_c = 24.4^\circ$ ; तराशा हुआ हीरा अपने ऊपरी फलक से घुसे प्रकाश को क़ैद कर लेता है और उसका लगभग सारा भाग ऊपर से ही लौटा देता है — उसकी चमक पूर्ण परावर्तन है, उसकी आग वर्ण-विक्षेपण। पानी–हवा: $i_c = 48.8^\circ$ ; ऊपर देखता गोताख़ोर पूरे आकाश को अर्ध-कोण $48.8^\circ$ के शंकु के भीतर देखता है (“स्नेल की खिड़की”) और उसके बाहर तली का परावर्तित प्रतिबिंब।

2.3 प्रकाशिक तंतु

परिभाषा 2.13 (सोपान-अपवर्तनांक तंतु)

सोपान-अपवर्तनांक प्रकाशिक तंतु अपवर्तनांक $n_1$ के काँच का एक बेलनाकार क्रोड है, जिस पर थोड़े कम अपवर्तनांक $n_2$ का आवरण चढ़ा होता है। अक्ष के चारों ओर अर्ध-कोण $\theta_a$ के शंकु के भीतर क्रोड में घुसा प्रकाश क्रोड–आवरण पृष्ठ पर लगातार होते पूर्ण आंतरिक परावर्तनों से निर्देशित हो जाता है। संख्यात्मक द्वारक है $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ ।

प्रतिज्ञप्ति 2.14 (ग्राह्यता शंकु और अंतरमोड प्रसार)

ऐसे तंतु के लिए जिसका प्रवेश-फलक हवा में हो,

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

लंबाई $L$ पर, अक्ष के अनुदिश चलती निर्देशित किरण और सबसे तिरछी निर्देशित किरण के बीच पहुँचने में जो विलंब पड़ता है वह है

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

(अंतरमोड विक्षेपण)।

उपपत्ति. अक्ष से कोण $\theta$ पर घुसती किरण $\theta'$ पर अपवर्तित होती है, जहाँ $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ , और वह आवरण से आपतन कोण $i = 90^\circ - \theta'$ पर मिलती है। निर्देशन के लिए $\sin i \geq n_2/n_1$ चाहिए, यानी $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , यानी $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; अब $n_1$ से गुणा कीजिए। अक्षीय किरण $L$ को चाल $c/n_1$ से तय करती है: $t_0 = Ln_1/c$ । सबसे तिरछी किरण कोण $\theta'_{\max}$ पर टेढ़ी-मेढ़ी चलती है, जहाँ $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; उसका पथ $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ है, अतः $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ और $\Delta t = t_1 - t_0$ । ∎

सोपान-अपवर्तनांक तंतु। अर्ध-कोण _a के ग्राह्यता शंकु के भीतर घुसी किरण आवरण से आपतन कोण i ≥ i_c पर मिलती है और पूर्ण परावर्तनों से निर्देशित रहती है; अक्षीय किरण सबसे छोटा रास्ता लेती है और सबसे तिरछी निर्देशित किरण सबसे लंबा — इसीलिए स्पंद समय में फैल जाता है। — सोपान-अपवर्तनांक तंतु। अर्ध-कोण $\theta_a$ के ग्राह्यता शंकु के भीतर घुसी किरण आवरण से आपतन कोण $i \geq i_c$ पर मिलती है और पूर्ण परावर्तनों से निर्देशित रहती है; अक्षीय किरण सबसे छोटा रास्ता लेती है और सबसे तिरछी निर्देशित किरण सबसे लंबा — इसीलिए स्पंद समय में फैल जाता है।

उदाहरण 2.15 (एक दूरसंचार तंतु के आँकड़े)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , अतः किरणें अक्ष से $8.2^\circ$ के भीतर ही रहती हैं। अंतरमोड प्रसार: $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ । $2\,\mathrm{km}$ पर स्पंद $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ फैल जाता है, जिससे बिट दर लगभग $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ पर बँध जाती है: सप्ताहांत समस्या इसी सीमा का पीछा करते हुए उसके उपाय, एकल-मोड तंतु, तक पहुँचती है।

2.4 समतल दर्पण

प्रतिज्ञप्ति 2.16 (समतल दर्पण में प्रतिबिंब)

किसी बिंदु $A$ से चलकर समतल दर्पण से परावर्तित सभी किरणें उस बिंदु $A'$ से आती जान पड़ती हैं जो दर्पण के तल के सापेक्ष $A$ का प्रतिबिंबित बिंदु है: $A'$ ही $A$ का प्रतिबिंब है। यह आभासी है (इसमें से कोई प्रकाश नहीं गुज़रता) और दर्पण कठोरता से बिंदुसंगत है: हर बिंदु का ठीक-ठीक बिंदु प्रतिबिंब बनता है।

उपपत्ति. $A$ से चली जो किरण दर्पण से बिंदु $I$ पर आपतन कोण $i$ के साथ टकराती है, वह अभिलंब के दूसरी ओर $i$ पर ही लौटती है। परावर्तित रेखा और $I$ पर खींचा अभिलंब कोण $i$ बनाते हैं, और उतना ही कोण रेखा $IA$ भी बनाती है; दर्पण-तल के सापेक्ष प्रतिबिंबन लेने पर परावर्तित रेखा ठीक रेखा $IA$ का दर्पण-प्रतिबिंब निकलती है, अतः वह प्रतिबिंबित बिंदु $A'$ से होकर जाती है — और यह हर $I$ के लिए सच है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 2.17 (दर्पण को घुमाना)

समतल दर्पण को उसके अपने तल में स्थित, आपतन तल के लंबवत किसी अक्ष के परितः कोण $\alpha$ से घुमाने पर परावर्तित किरण $2\alpha$ से घूम जाती है।

उपपत्ति. अभिलंब $\alpha$ से घूमता है, अतः आपतन कोण $i$ से बदलकर $i + \alpha$ हो जाता है; नए अभिलंब के दूसरी ओर $i + \alpha$ पर स्थित परावर्तित किरण अपनी पुरानी दिशा से $\alpha$ (अभिलंब) $+ \alpha$ (कोण) $= 2\alpha$ हट चुकी होती है। ∎

उदाहरण 2.18 (धारामापी का उत्तोलक)

धारामापी की कुंडली पर चिपका एक नन्हा दर्पण, जिस पर दीपक की रोशनी पड़ती है और जो $2\,\mathrm{m}$ दूर रखे पैमाने पर एक धब्बा फेंकता है: कुंडली के $1\,\mathrm{mrad}$ घूमने पर धब्बा $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ खिसक जाता है — यह एक प्रकाशिक उत्तोलक है जो बिना घर्षण के आवर्धन करता है, और यही दर्पण-धारामापी तथा लेज़र क्रमवीक्षक का सिद्धांत है।

2.5 प्रिज़्म

प्रतिज्ञप्ति 2.19 (प्रिज़्म के सूत्र)

हवा में रखे शीर्ष कोण $A$ और अपवर्तनांक $n$ के किसी प्रिज़्म को, कोर के लंबवत तल में, कोणों $i$ (प्रवेश), $r$ , $r'$ (भीतर) और $i'$ (निर्गम) के साथ, जो अभिलंबों से नापे गए हैं, पार करती किरण के लिए

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

और वह $D = i + i' - A$ से विचलित होती है। विचलन तब न्यूनतम होता है जब पथ सममित हो, यानी $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; तब

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

उपपत्ति. हर फलक पर स्नेल का नियम; और $r + r' = A$ इसलिए कि दोनों अभिलंब आपस में कोण $A$ बनाते हैं (शीर्ष, दोनों आपतन बिंदुओं और अभिलंबों के प्रतिच्छेद से बनने वाला चतुर्भुज)। कुल विचलन $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ है। प्रकाश की वापसी के कारण विचलन $i$ का और $i'$ का एक ही फलन है; यदि न्यूनतम $i_0 \neq i_0'$ पर आता, तो वह उलटे आपतन $i_0'$ पर भी आता और दो न्यूनतम बन जाते, जिसकी अनुमति अपने न्यूनतम के दोनों ओर $D(i)$ का एकदिष्ट व्यवहार नहीं देता: अतः न्यूनतम $i = i'$ पर ही है। तब $r = r' = A/2$ और $D_{\min} = 2i - A$ ; अब $i = (A + D_{\min})/2$ को $\sin i = n\sin(A/2)$ में रखने पर सूत्र मिल जाता है। ∎

शीर्ष कोण A के प्रिज़्म से गुज़रती किरण: प्रवेश पर और फिर निर्गम पर आधार की ओर अपवर्तित होकर वह अपनी मूल दिशा (बिंदुदार) से D = i + i' - A जितनी विचलित हो जाती है। चित्र न्यूनतम विचलन पर खींचा गया है, जहाँ पथ सममित होता है। — शीर्ष कोण $A$ के प्रिज़्म से गुज़रती किरण: प्रवेश पर और फिर निर्गम पर आधार की ओर अपवर्तित होकर वह अपनी मूल दिशा (बिंदुदार) से $D = i + i' - A$ जितनी विचलित हो जाती है। चित्र न्यूनतम विचलन पर खींचा गया है, जहाँ पथ सममित होता है।

उदाहरण 2.20 (अपवर्तनांक का मापन)

$60^\circ$ के किसी प्रिज़्म को तब तक घुमाया जाता है जब तक पीले पुंज का विचलन सबसे छोटा न हो जाए: $D_{\min} = 38.9^\circ$ । तब $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ । किसी काँच का अपवर्तनांक नापने का मानक तरीक़ा न्यूनतम विचलन ही है — प्रिज़्म को आगे-पीछे घुमाकर पाया गया यह तीखा न्यूनतम छोटी-मोटी ग़लत सज्जा के प्रति असंवेदनशील रहता है।

टिप्पणी 2.21 (पतले प्रिज़्म और वर्णक्रमदर्शी)

छोटे $A$ और छोटे आपतन के लिए ज्याएँ कोणों के बराबर हो जाती हैं और $D \approx (n - 1)A$ रह जाता है, जो $i$ से स्वतंत्र है: पतला प्रिज़्म हर किरण को एक ही कोण से विचलित करता है — काँच की कोई फाँक ऐसा “प्रिज़्म” है जो प्रकाश को मोड़ देता है, और आगे चलकर लेंस ऐसी ही फाँकों की चट्टी सिद्ध होगा। चूँकि $n$ $\lambda$ पर निर्भर करता है, इसलिए विचलन भी निर्भर करता है: प्रिज़्म श्वेत प्रकाश को वर्णक्रम में फैला देता है (नीला सबसे अधिक विचलित), और यही प्रिज़्म वर्णक्रमदर्शी का हृदय है।

2.6 इंद्रधनुष

उदाहरण 2.22 (देकार्त का इंद्रधनुष)

सूर्य की एक किरण वर्षा की गोलाकार बूँद में आपतन कोण $i$ पर घुसती है, अपवर्तित होती है ( $\sin i = n\sin r$ ), पिछली सतह पर एक बार परावर्तित होती है, और दूसरे अपवर्तन के बाद बाहर निकल जाती है। हर अपवर्तन उसे $i - r$ से विचलित करता है और आंतरिक परावर्तन $\pi - 2r$ से: कुल विचलन $D(i) = \pi + 2i - 4r$ । किरणें हर $i$ पर बूँद को भरती हैं; प्रेक्षक को सबसे अधिक चमक वहाँ दिखती है जहाँ बहुत-सी किरणें लगभग एक ही दिशा में निकलती हैं, यानी जहाँ $D$ अचर-कोटि का हो: $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ । स्नेल के नियम का अवकलन करने पर $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , अतः शर्त $2\cos i = n\cos r$ बन जाती है; वर्ग करके और $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ का उपयोग करके मिलता है

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

पानी के लिए, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ । प्रकाश सूर्य की ओर लौटता है, सूर्य-विपरीत दिशा से $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ पर: इस प्रकार इंद्रधनुष प्रेक्षक के सिर की छाया के चारों ओर अर्ध-कोण $42^\circ$ का शंकु है। लाल ( $n = 1.331$ ) $42.4^\circ$ पर बैठता है, बैंगनी ( $n = 1.343$ ) $40.6^\circ$ पर — लाल बाहर, बैंगनी भीतर।

वर्षा की बूँद से गुज़रती देकार्त की किरण: दो अपवर्तन और एक आंतरिक परावर्तन। i = 59 के पास विचलन D 138 पर अचर-कोटि का है, इसलिए किरणें वहीं ढेर हो जाती हैं: यही प्राथमिक इंद्रधनुष है, सूर्य के सम्मुख बिंदु से 42 पर। — वर्षा की बूँद से गुज़रती देकार्त की किरण: दो अपवर्तन और एक आंतरिक परावर्तन। $i = 59^\circ$ के पास विचलन $D$ $138^\circ$ पर अचर-कोटि का है, इसलिए किरणें वहीं ढेर हो जाती हैं: यही प्राथमिक इंद्रधनुष है, सूर्य के सम्मुख बिंदु से $42^\circ$ पर।

2.7 अभ्यास

अभ्यास 2.1 ★

पानी ( $n = 1.33$ ), काँच ( $1.50$ ) और हीरे ( $2.42$ ) में प्रकाश की चाल निकालिए। अपवर्तनांक $1.48$ के तंतु की $1.0\,\mathrm{km}$ लंबाई पार करने में प्रकाश को कितना समय लगता है?

हल

हल — अभ्यास 2.1.

$v = c/n$ : पानी $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , काँच $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , हीरा $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । तंतु: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 2.2 ★

हवा में चलती एक किरण पानी ( $n = 1.33$ ) से अभिलंब से $30^\circ$ पर, फिर $60^\circ$ पर मिलती है: अपवर्तन कोण निकालिए। पानी में चलती एक किरण सतह से $50^\circ$ पर मिलती है: क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ । पानी से $50^\circ$ पर: $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , कोई अपवर्तित किरण नहीं — पूर्ण परावर्तन ( $i_c = 48.8^\circ$ )।

अभ्यास 2.3 ★

काँच–हवा ( $n = 1.50$ ), हीरा–हवा ( $2.42$ ) और पानी–हवा ( $1.33$ ) के लिए क्रांतिक कोण निकालिए। गोताख़ोर को दिखती आकाश की चकती का कोणीय व्यास कितना है?

हल

हल — अभ्यास 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : काँच $41.8^\circ$ , हीरा $24.4^\circ$ , पानी $48.8^\circ$ । आकाश की चकती $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ फैली रहती है।

अभ्यास 2.4 ★

$1.70\,\mathrm{m}$ लंबा एक व्यक्ति, जिसकी आँखें सिर के ऊपरी सिरे से $10\,\mathrm{cm}$ नीचे हैं, दीवार पर लगे ऊर्ध्वाधर दर्पण के सामने खड़ा है। वह सबसे छोटा दर्पण निकालिए (ऊँचाई, और फ़र्श से उसके किनारों की स्थिति) जिसमें पूरा शरीर दिखाई दे। क्या उत्तर दर्पण से दूरी पर निर्भर करता है?

हल

हल — अभ्यास 2.4.

आँखें $1.60\,\mathrm{m}$ पर। पैरों से चली किरण आँख की आधी ऊँचाई, $0.80\,\mathrm{m}$ , पर परावर्तित होकर आँख तक पहुँचती है; सिर के ऊपरी सिरे से चली किरण सिरे और आँखों के ठीक बीच, $1.65\,\mathrm{m}$ पर परावर्तित होती है। अतः दर्पण $0.80\,\mathrm{m}$ से $1.65\,\mathrm{m}$ तक: ऊँचाई $0.85\,\mathrm{m}$ , यानी शरीर की आधी ऊँचाई — और यह दूरी से स्वतंत्र है (मध्यबिंदु का नियम हर दूरी पर लागू रहता है)।

अभ्यास 2.5 ★★

एक सिक्का तालाब में $1.2\,\mathrm{m}$ गहराई पर पड़ा है; ऊपर से देखने वाले को वह किस गहराई पर दिखेगा? किसी मछुआरे की आँखें पानी से $1.8\,\mathrm{m}$ ऊपर हैं: ऊपर देखती मछली को वे कितनी ऊँची दिखेंगी? दोनों का औचित्य छोटे-कोण वाली किरणों से सिद्ध कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.5.

छोटे कोणों के लिए: विरल माध्यम से देखने पर आभासी स्थिति $h' = h/n$ होती है, और सघन माध्यम से देखने पर $h' = nh$ । सिक्का: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ । मछुआरा: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ । औचित्य: क्षैतिज दूरी $x$ पर स्थित सतह-बिंदु के लिए $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ और $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ , जहाँ $i_1 = n i_2$ ।

अभ्यास 2.6 ★★

किसी प्रिज़्म के लिए $A = 60^\circ$ और $n = 1.52$ है। न्यूनतम विचलन निकालिए। दिखाइए कि किरण दूसरे फलक से तभी निकल सकती है जब $A \leq 2 i_c$ हो, और जाँचिए कि यह प्रिज़्म इस शर्त पर खरा उतरता है।

हल

हल — अभ्यास 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , अतः $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ , $D_{\min} = 38.9^\circ$ । निर्गम के लिए $r' \leq i_c$ चाहिए; और $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ से $r \leq i_c$ मिलता है; अतः $A = r + r' \leq 2i_c$ । यहाँ $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ , $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : ठीक है।

अभ्यास 2.7 ★★

किसी सोपान-अपवर्तनांक तंतु में $n_1 = 1.50$ , $n_2 = 1.48$ है। उसका संख्यात्मक द्वारक, उसका ग्राह्यता कोण, प्रति किलोमीटर अंतरमोड विलंब, और $1\,\mathrm{km}$ पर उससे मिलने वाली अधिकतम बिट दर निकालिए ( $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ लीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ । $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ । $1\,\mathrm{km}$ पर: $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 2.8 ★★

शीर्ष कोण $10^\circ$ के किसी पतले प्रिज़्म के लिए लाल का $n = 1.510$ और नीले का $1.530$ है। हर रंग का विचलन और उससे बनने वाले वर्णक्रम की कोणीय चौड़ाई निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : लाल $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , नीला $5.30^\circ$ ; वर्णक्रम की चौड़ाई $0.20^\circ$ ।

अभ्यास 2.9 ★★

एक किरण समांतर फलकों वाली काँच की पट्टिका ( $n = 1.50$ , मोटाई $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) से $45^\circ$ पर मिलती है। दिखाइए कि वह अपनी आपतन दिशा के समांतर ही निकलती है, बग़ल में $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ खिसककर, और $d$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 2.9.

प्रवेश: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ । दोनों फलक समांतर हैं, अतः दूसरे फलक पर आपतन कोण $r$ है और $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : यानी $i' = i$ , और निकलती किरण आपतित किरण के समांतर है। भीतर की $e/\cos r$ लंबाई वाली राह पर लंबवत खिसकाव $(e/\cos r)\sin(i - r)$ होता है: $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 2.10 ★★★

द्वितीयक इंद्रधनुष उन किरणों से बनता है जो बूँद के भीतर दो बार परावर्तित होती हैं। दिखाइए कि $D = 2\pi + 2i - 6r$ है, कि अचर-कोटि विचलन $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ का पालन करता है, और $n = 1.333$ के लिए सूर्य-विपरीत दिशा से द्वितीयक धनुष का कोण निकालिए। वह प्राथमिक के सापेक्ष कहाँ है, और उसके रंग किस क्रम में हैं?

हल

हल — अभ्यास 2.10.

दो अपवर्तन ( $2(i - r)$ ) और दो परावर्तन ( $2(\pi - 2r)$ ): $D = 2\pi + 2i - 6r$ । $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ से $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ । $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : अतः धनुष सूर्य-विपरीत बिंदु से $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ पर है, प्राथमिक ( $42^\circ$ ) के बाहर। लाल ( $n = 1.331$ ) $50.4^\circ$ पर, बैंगनी ( $1.343$ ) $53.6^\circ$ पर: रंग उलटे हैं, बैंगनी बाहर।

अभ्यास 2.11 ★★★

गरम सड़क पर डामर के ठीक ऊपर की हवा का अपवर्तनांक $n_{\text{गरम}} = 1.00026$ है और उसके ऊपर की ठंडी हवा का $n_{\text{ठंडी}} = 1.00029$ । दोनों परतों को एक तीखे अंतरापृष्ठ के रूप में लीजिए: वह क्रांतिक स्पर्श कोण (सड़क से नापा हुआ) निकालिए जिससे नीचे आकाश से आती किरण पूरी तरह ऊपर परावर्तित हो जाती है। किसी चालक की आँख सड़क से $1.2\,\mathrm{m}$ ऊपर है: कितनी दूरी के परे सड़क पानी जैसी दिखने लगती है?

हल

हल — अभ्यास 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : सड़क की सतह से $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ के भीतर आती किरणें पूरी तरह परावर्तित हो जाती हैं (सामान्यतः स्पर्श कोण $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ )। $1.2\,\mathrm{m}$ की ऊँचाई से दृष्टि-रेखा इस कोण पर $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ के परे स्पर्श करती है: वहाँ सड़क आकाश को परावर्तित करती है — वही “पोखर”।

अभ्यास 2.12 ★★★

बिंदु $A$ (किसी अंतरापृष्ठ से ऊँचाई $a$ पर) और $B$ (उसके नीचे गहराई $b$ पर) क्षैतिज रूप से $d$ से अलग हैं; प्रकाश ऊपर $v_1$ चाल से और नीचे $v_2$ चाल से चलता है। क्षैतिज स्थिति $x$ वाले अंतरापृष्ठ-बिंदु से होकर जाते टूटे पथ का यात्रा-समय लिखिए, और दिखाइए कि समय ठीक तभी अचर-कोटि का होता है जब $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — यानी स्नेल का नियम।

हल

हल — अभ्यास 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , जो ठीक तभी शून्य है जब $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ हो, यानी $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ , जहाँ $n = c/v$ ।

दुहरा इंद्रधनुष: 42 पर प्राथमिक धनुष, जिसमें लाल बाहर है; 51 पर मंद द्वितीयक, जिसमें रंग उलटे हैं; और उनके बीच अलेक्ज़ेंडर की अँधेरी पट्टी — हर बूँद में अपवर्तन, परावर्तन और वर्ण-विक्षेपण। — दुहरा इंद्रधनुष: $42{}^{\circ}$ पर प्राथमिक धनुष, जिसमें लाल बाहर है; $51{}^{\circ}$ पर मंद द्वितीयक, जिसमें रंग उलटे हैं; और उनके बीच अलेक्ज़ेंडर की अँधेरी पट्टी — हर बूँद में अपवर्तन, परावर्तन और वर्ण-विक्षेपण।

2.8 समस्या: प्रकाशिक तंतु की कड़ी

समस्या 2.1

सप्ताहांत समस्या — समुद्र के नीचे काँच का एक धागा: प्रकाश का एक स्पंद कितनी दूर और कितनी तेज़ी से एक बिट ढो सकता है, इससे पहले कि ज्यामिति, काँच और विक्षेपण उसे धुँधला कर दें

एक कड़ी में सोपान-अपवर्तनांक तंतु काम में लिया जाता है, जिसका क्रोड $n_1 = 1.480$ , आवरण $n_2 = 1.465$ , क्रोड-त्रिज्या $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ है। आँकड़े: $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

भाग I — काँच में प्रकाश।

अपवर्तनांक परिभाषित कीजिए और क्रोड में प्रकाश की चाल निकालिए।
अक्ष के अनुदिश $50\,\mathrm{km}$ चलने में किसी स्पंद को कितना समय लगता है?
प्रकाश की आवृत्ति और क्रोड के भीतर उसका तरंगदैर्घ्य निकालिए।
क्रोड पर कम अपवर्तनांक वाले काँच का आवरण क्यों चढ़ाया जाता है, उसे हवा में नंगा क्यों नहीं छोड़ दिया जाता, जबकि उससे अपवर्तनांक की छलाँग और बड़ी मिलती?

भाग II — निर्देशन।

क्रोड–आवरण पृष्ठ पर क्रांतिक कोण निकालिए।
इससे वह अधिकतम कोण निकालिए जो कोई निर्देशित किरण अक्ष के साथ बना सकती है।
एक किरण हवा से समतल सिरे-फलक में अक्ष से कोण $\theta$ पर घुसती है। दिखाइए कि वह तभी निर्देशित होती है जब $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ हो, और ग्राह्यता कोण $\theta_a$ निकालिए।
संख्यात्मक द्वारक दीजिए। अपवर्तनांक की बड़ी छलाँग से तंतु में प्रकाश डालना आसान क्यों हो जाता है?
तंतु को त्रिज्या $R_b$ के वृत्त के अनुदिश मोड़ा जाता है। क्रोड के भीतरी किनारे पर अक्ष के समांतर चलती किसी किरण पर विचार कीजिए: दिखाइए कि वह बाहरी दीवार से आपतन कोण $i$ पर मिलती है, जहाँ $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , और वह न्यूनतम $R_b$ निकालिए जिसके लिए वह अब भी निर्देशित रहती है।

भाग III — अंतरमोड विक्षेपण।

लंबाई $L$ पर अक्षीय किरण और सबसे तिरछी निर्देशित किरण के यात्रा-समय व्यक्त कीजिए।
इनसे प्रति किलोमीटर प्रसार $\Delta t$ निकालिए, और $L = 2\,\mathrm{km}$ पर उसका मान।
एक बिट एक छोटा स्पंद है; दो क्रमागत स्पंदों को अलग-अलग पहचानने के लिए उनके बीच कम से कम $2\Delta t$ का अंतर रहना चाहिए। $2\,\mathrm{km}$ पर अधिकतम बिट दर का आकलन कीजिए।
दिखाइए कि इस तंतु के लिए (बिट दर) $\times$ (लंबाई) एक नियतांक है, और उसे $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ में निकालिए।
क्रमिक-अपवर्तनांक तंतु में अपवर्तनांक अक्ष से बाहर की ओर धीरे-धीरे घटता है। गुणात्मक रूप से समझाइए कि इससे अंतरमोड प्रसार क्यों घट जाता है।
एकल-मोड तंतु के क्रोड का व्यास लगभग $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ होता है। उसकी तुलना $\lambda_0$ से कीजिए और समझाइए कि किरण-प्रतिरूप उसका वर्णन क्यों नहीं कर सकता; इससे क्या मिलता है?

भाग IV — क्षीणन और वर्णिक विक्षेपण। यह तंतु $1550\,\mathrm{nm}$ पर शक्ति को $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ की दर से क्षीण करता है: $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ । प्रेषक $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ भेजता है; अभिग्राही को कम से कम $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ चाहिए। चूँकि $n$ $\lambda$ पर निर्भर है, दो तरंगदैर्घ्य थोड़ी भिन्न चालों से चलते हैं: वर्णक्रमी चौड़ाई $\Delta\lambda$ का कोई स्रोत स्पंद को $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ जितना फैला देता है, जहाँ $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ ।

$100\,\mathrm{km}$ के बाद शक्ति का कितना अंश बचता है?
प्रवर्धक की ज़रूरत पड़ने से पहले की अधिकतम लंबाई निकालिए।
प्रवर्धक हर $100\,\mathrm{km}$ पर रखे जाते हैं: इससे संयोजकों और जोड़ों के लिए कितना अवकाश बचता है, dB में और शक्ति-अनुपात के रूप में?
$100\,\mathrm{km}$ पर $\Delta t_c$ निकालिए, किसी LED स्रोत ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) के लिए और किसी लेज़र ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ) के लिए; इनसे उस लंबाई पर हर एक की अधिकतम बिट दर निकालिए (कसौटी ऊपर वाली ही)।
$850\,\mathrm{nm}$ पर सिलिका $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ क्षीण करती है। वही शक्ति-बजट वहाँ कितनी दूरी की अनुमति देता? $1550\,\mathrm{nm}$ ही दूरसंचार का तरंगदैर्घ्य क्यों है?
$1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ के लिए ज़रूरी आवृत्तियों पर ताँबे की समाक्ष केबल लगभग $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ क्षीण करती है। उसके प्रवर्धकों के अंतराल की तुलना तंतु के अंतराल से कीजिए।

भाग V — पूरी कड़ी।

$2\,\mathrm{km}$ पर सोपान-अपवर्तनांक तंतु के लिए बिट दर को कौन सीमित करता है: अंतरमोड प्रसार, वर्णिक प्रसार (लेज़र स्रोत) या क्षीणन? सीमित करने वाली बिट दर दीजिए।
लेज़र स्रोत के साथ $100\,\mathrm{km}$ पर एकल-मोड तंतु के लिए: कौन सीमित करता है, और किस बिट दर पर?
एकल-मोड कड़ी $0.8\,\mathrm{nm}$ के अंतर पर रखे $80$ लेज़र ढोती है (तरंगदैर्घ्य बहुसंकेतन), और हर एक पिछले प्रश्न वाली बिट दर पर। कुल क्षमता?
सोपान-अपवर्तनांक कड़ी का और एकल-मोड की एक चैनल का बिट-दर–लंबाई गुणनफल बनाइए; एकल-मोड तंतु कितने गुना जीतता है, और इसके पीछे कौन-सा एक भौतिक तथ्य है?

हल

हल — समस्या 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , जो काँच में अपरिवर्तित रहती है; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ ।

4. नंगा क्रोड तभी तक निर्देशन करता है जब तक उसका पृष्ठ पूरी तरह साफ़ और अछूता रहे: धूल, पानी या पकड़ स्थानीय रूप से हवा की जगह अधिक अपवर्तनांक ले आते हैं और प्रकाश बाहर निकल जाता है, तथा खरोंचें उसे प्रकीर्ण कर देती हैं। आवरण एक बंद, नियंत्रित अंतरापृष्ठ है, जिसकी अपवर्तनांक-छलाँग जानबूझकर चुनी जाती है।

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; निर्देशित तभी जब $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , यानी $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , यानी $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ ।

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ । बड़ी छलाँग शंकु को चौड़ा कर देती है, अतः किसी अपसारी स्रोत (जैसे LED) का अधिक प्रकाश पकड़ में आ जाता है।

9. किरण त्रिज्या $R_b$ के वृत्त (भीतरी किनारा) की स्पर्शरेखा है और त्रिज्या $R_b + 2a$ के वृत्त (बाहरी किनारा) से मिलती है; केंद्र–स्पर्श बिंदु–टक्कर बिंदु वाले समकोण त्रिभुज में, टक्कर बिंदु पर किरण और त्रिज्या (यानी अभिलंब) के बीच का कोण $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ का पालन करता है। निर्देशित तभी जब $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ । इससे तीखे मोड़ प्रकाश रिसा देते हैं।

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; सबसे तिरछी किरण का पथ $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , अतः $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ ।

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $2\,\mathrm{km}$ पर: $101\,\mathrm{ns}$ ।

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. अक्ष से दूर चलती किरणें लंबा पथ तय करती हैं, पर कम अपवर्तनांक में, इसलिए तेज़ चलती हैं; ठीक चुने गए परिच्छेद के साथ दोनों प्रभाव एक-दूसरे को काट देते हैं और सारी किरणें साथ-साथ पहुँचती हैं।

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : क्रोड तरंगदैर्घ्य की तुलना में बड़ा नहीं है, इसलिए विवर्तन हावी हो जाता है और किरणों का कोई अर्थ नहीं रह जाता। तरंग-विवेचन एक ही निर्देशित प्रतिरूप दिखाता है: अंतरमोड प्रसार बिलकुल नहीं; केवल वर्णिक विक्षेपण और क्षीणन बचे रहते हैं।

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , यानी एक प्रतिशत।

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , अतः $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ ।

18. $100\,\mathrm{km}$ में $20\,\mathrm{dB}$ लगते हैं: अवकाश $10\,\mathrm{dB}$ , यानी शक्ति में $10$ का गुणक।

19. LED: $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ । लेज़र: $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ।

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , यानी दस गुना कम। सिलिका $1550\,\mathrm{nm}$ के पास सबसे अधिक पारदर्शी है (उसका क्षीणन-न्यूनतम वहीं है), और प्रकाशिक प्रवर्धक भी वहीं उपलब्ध हैं।

21. प्रवर्धकों के बीच $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ , जबकि तंतु में $150\,\mathrm{km}$ : तंतु $150$ के गुणक से जीतता है।

22. अंतरमोड: $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ); वर्णिक (लेज़र): $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; क्षीणन $0.4\,\mathrm{dB}$ , नगण्य। अतः अंतरमोड प्रसार ही सीमित करता है: $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ।

23. अंतरमोड प्रसार नहीं; वर्णिक $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; क्षीणन $20\,\mathrm{dB}$ , बजट के भीतर। अतः वर्णिक विक्षेपण सीमित करता है, लगभग $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ पर।

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. सोपान अपवर्तनांक: $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; एकल-मोड चैनल: $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — यानी लगभग $3\times10^4$ का गुणक। एक ही तथ्य: इकलौता निर्देशित पथ, अतः पहुँचने के समयों का कोई ज्यामितीय (अंतरमोड) प्रसार नहीं।

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