विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

29विद्युत्चुंबकीय प्रेरण और उसके अनुप्रयोग

किसी कुंडली की ओर कोई चुंबक खिसकाइए और कुंडली में धारा बहने लगती है; चुंबक रोक दीजिए और धारा रुक जाती है। फ़ैराडे ने दस बरस की खोज के बाद 1831 में यही पाया, और विद्युत की सारी दुनिया इसी तथ्य पर चलती है: हर बिजलीघर, हर परिणामित्र, हर मोटर, हर ध्वनिविस्तारक और ध्वनिग्राही, हर प्रेरण-चूल्हा और हर बेतार आवेशक ऊर्जा को उसी नियम से बदलता है कि बदलता हुआ चुंबकीय अभिवाह कोई विद्युत वाहक बल चला देता है। यह अध्याय उस नियम को उसके चिह्नों समेत बताता है, उसके दोनों रूप देता है (किसी स्थिर परिपथ में बदलता क्षेत्र, और किसी स्थिर क्षेत्र में चलता परिपथ), स्वप्रेरकत्व तथा अन्योन्य प्रेरकत्व परिभाषित करता है, और फिर उन विद्युत्-यांत्रिक मशीनों से होकर गुज़रता है — सरकती छड़, प्रत्यावर्तित्र, परिणामित्र, ध्वनिविस्तारक — जहाँ वही नियम यांत्रिक शक्ति को विद्युत शक्ति में बदल देता है और वापस भी, पर कभी मुफ़्त नहीं।

कोई चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिंबन यंत्र: किसी रोगी के ऊपर 1.5\, T थामे कोई अतिचालक परिनालिका — यानी ऐसे क्षेत्र में मेगाजूल भर चुंबकीय ऊर्जा जिसमें कुछ है ही नहीं। छायाचित्र: यान आइनाली, CC BY 3.0। — कोई चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिंबन यंत्र: किसी रोगी के ऊपर $1.5\,\mathrm{T}$ थामे कोई अतिचालक परिनालिका — यानी ऐसे क्षेत्र में मेगाजूल भर चुंबकीय ऊर्जा जिसमें कुछ है ही नहीं। छायाचित्र: यान आइनाली, CC BY 3.0।

29.1 फ़ैराडे का नियम

परिभाषा 29.1 (किसी परिपथ से होकर चुंबकीय अभिवाह)

किसी बंद परिपथ $\Gamma$ को दिशा दीजिए (यानी चलने की एक दिशा); तब उसके पृष्ठ को दाएँ हाथ के नियम से अभिलंब $\vect n$ मिल जाता है। परिपथ से होकर चुंबकीय अभिवाह $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ है, जो $\Gamma$ से घिरे किसी भी पृष्ठ पर लिया जाए (वेबर, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$ ) — “किसी भी”, क्योंकि किसी बंद पृष्ठ से होकर $\vect B$ का अभिवाह शून्य है। किसी एकसमान क्षेत्र और $N$ फेरों तथा $S$ क्षेत्रफल की किसी तलीय कुंडली के लिए, $\Phi = NBS\cos\alpha$ , जहाँ $\alpha$ $\vect B$ और $\vect n$ के बीच का कोण है।

प्रमेय 29.2 (फ़ैराडे का प्रेरण-नियम)

जब भी किसी परिपथ से होकर अभिवाह बदलता है, वह परिपथ किसी प्रेरित विद्युत वाहक बल का आसन बन जाता है

e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,

जो परिपथ की दिशा में गिना जाता है, अर्थात् वह उसी दिशा में विद्युत वाहक बल $e$ के किसी आदर्श वोल्टता-स्रोत की तरह काम करता है; और $R$ प्रतिरोध के किसी परिपथ में वह धारा $i = e/R$ चला देता है। ऋण चिह्न ही लेंज़ का नियम है: प्रेरित धारा इस तरह बहती है कि जिस अभिवाह-परिवर्तन ने उसे पैदा किया उसी का विरोध करे — उसका अपना क्षेत्र, और उस पर लगने वाले बल, कारण से ही लड़ते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 29.3 (एक ही नियम के दो रूप)

अभिवाह या तो इसलिए बदलता है कि किसी स्थिर परिपथ से होकर $\vect B$ समय के साथ बदल रहा हो (नॉयमान प्रेरण: परिणामित्र, प्रेरण-चूल्हा), या इसलिए कि परिपथ किसी स्थायी क्षेत्र में चल या विरूपित हो रहा हो (लोरेंत्स प्रेरण: जनित्र, ध्वनिविस्तारक)। दूसरी स्थिति में विद्युत वाहक बल सीधे भी निकाला जा सकता है: किसी चालक अवयव $\dd\vect l$ के वाहक, जब वह $\vect v$ से चल रहा हो, बल $q\vect v\wedge \vect B$ अनुभव करते हैं, जो किसी विद्युत क्षेत्र $\vect v\wedge\vect B$ के तुल्य है, जिससे $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — और यह हमेशा $-\dd\Phi/\dd t$ से मेल खाता है। फ़ैराडे का नियम दोनों को समेट लेता है; और वर्ष 2 का खंड समझाता है कि दोनों क्रियाविधियाँ एक ही सूत्र क्यों देती हैं।

दिशा और लेंज़ का नियम। बाएँ: परिपथ की दिशा n और का चिह्न तय कर देती है। बीच में: किसी वलय की ओर आता चुंबक अभिवाह बढ़ा देता है; प्रेरित धारा ऐसा क्षेत्र बनाती है जो चुंबक वाले का विरोध करे, और वलय उसे प्रतिकर्षित कर देता है। दाएँ: पाठक की ओर संकेत करते किसी क्षेत्र में पटरियों पर सरकती कोई छड़; परिपथ का अभिवाह बढ़ता है, और प्रेरित धारा इस तरह बहती है कि छड़ पर लाप्लास बल उसकी गति का विरोध करे। — दिशा और लेंज़ का नियम। बाएँ: परिपथ की दिशा $\vect n$ और $\Phi$ का चिह्न तय कर देती है। बीच में: किसी वलय की ओर आता चुंबक अभिवाह बढ़ा देता है; प्रेरित धारा ऐसा क्षेत्र बनाती है जो चुंबक वाले का विरोध करे, और वलय उसे प्रतिकर्षित कर देता है। दाएँ: पाठक की ओर संकेत करते किसी क्षेत्र में पटरियों पर सरकती कोई छड़; परिपथ का अभिवाह बढ़ता है, और प्रेरित धारा इस तरह बहती है कि छड़ पर लाप्लास बल उसकी गति का विरोध करे।

उदाहरण 29.4 (परिमाण की कोटियाँ)

पृथ्वी के क्षेत्र में $100$ फेरों और $10\,\mathrm{cm}^{2}$ की कोई कुंडली, जो $0.1\,\mathrm{s}$ में पलट दी जाए: $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ , और $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — जो किसी सुग्राही धारामापी से मापा जा सकता है, और इसी तरह कभी पृथ्वी का क्षेत्र नापा गया था। वही कुंडली किसी चुंबक की $1\,\mathrm{T}$ दरार में, जो $0.1\,\mathrm{s}$ में बाहर खींच ली जाए: $1\,\mathrm{V}$ । और $1000$ फेरों की किसी परिणामित्र-कुंडली में $10\,\mathrm{cm}^{2}$ पर $50\,\mathrm{Hz}$ पर $1\,\mathrm{T}$ : $e_{\max} = 1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — यानी घरेलू बिजली।

29.2 स्वप्रेरकत्व और अन्योन्य प्रेरकत्व

परिभाषा 29.5 (प्रेरकत्व)

किसी परिपथ के अपने क्षेत्र का उसी में से अभिवाह उसकी धारा के समानुपाती होता है: $\Phi_{\text{अपना}} = Li$ , जहाँ $L > 0$ उसका स्वप्रेरकत्व है (हेनरी, $\mathrm{H}$ )। परिपथ 1 परिपथ 2 में से जो अभिवाह भेजता है वह $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ है, और सममित रूप से $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$ , जहाँ $M$ उनका अन्योन्य प्रेरकत्व है (जिसका चिह्न दिशाओं से तय होता है)। तब परिपथ 1 का कुल अभिवाह $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$ है।

प्रतिज्ञप्ति 29.6 (प्रेरक; परिनालिका)

$L$ प्रेरकत्व का कोई परिपथ, जो बदलती धारा ले जा रहा हो, विद्युत वाहक बल $e = -L\,\dd i/\dd t$ का आसन होता है: ग्राही रूढ़ि में यही वह वोल्टता $u = L\,\dd i/\dd t$ है जो अध्याय 7 से प्रेरक के लिए काम आती रही है। वह ऊर्जा $W = \tfrac12Li^2$ संचित रखता है। प्रति मीटर $n$ फेरों, $\ell$ लंबाई और $S$ काट की किसी लंबी परिनालिका का $L = \mu_0n^2S\ell$ होता है; और उसकी संचित ऊर्जा $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : यानी चुंबकीय ऊर्जा क्षेत्र में ही रहती है, घनत्व $B^2/2\mu_0$ पर, ठीक वैसे ही जैसे विद्युत ऊर्जा $\varepsilon_0E^2/2$ पर।

उपपत्ति. $\Phi = Li$ के साथ फ़ैराडे, जहाँ $L$ अचर है। ऊर्जा: प्रेरक को मिली शक्ति $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$ है। परिनालिका: भीतर $B = \mu_0nI$ , और अभिवाह $BS$ $n\ell$ फेरों में से हर एक में से, अतः $\Phi = \mu_0n^2S\ell I$ । सामान्य घनत्व स्वीकृत है। ∎

उदाहरण 29.7 (किसी चुंबकीय अनुनाद यंत्र का चुंबक)

लगभग एक घन मीटर पर $1.5\,\mathrm{T}$ : $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} = 0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — यानी किसी कार-बैटरी जितनी ऊर्जा, जो ख़ाली जगह में संचित है। $500\,\mathrm{A}$ की कुंडली-धारा के साथ, $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$ । और यदि अतिचालक अचानक प्रतिरोधी हो जाए (यानी कोई शमन), तो वह मेगाजूल सेकंडों में ऊष्मा बन जाता है और सैकड़ों लीटर द्रव हीलियम उड़ा देता है: इसीलिए चुंबक-कक्ष में उसके लिए एक निकास बना रहता है।

प्रतिज्ञप्ति 29.8 (आदर्श परिणामित्र)

एक ही बंद लोहे के क्रोड पर लपेटी गई $N_1$ और $N_2$ फेरों की दो कुंडलियाँ, जिनसे होकर वही अभिवाह $\varphi$ हर फेरे में से गुज़रे, यह मानती हैं

\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(न भार-हानियाँ, न चुंबकन-धारा)},

जिससे $u_2i_2 = -u_1i_1$ : यानी प्राथमिक पर ली गई शक्ति द्वितीयक पर दे दी जाती है; वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में चढ़ती-उतरती हैं और धाराएँ उलटे अनुपात में। यह केवल बदलती धाराओं के साथ ही चलता है।

उपपत्ति. $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ और $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ (दोनों पर ग्राही रूढ़ि, और दिशाएँ उभयनिष्ठ अभिवाह के अनुदिश चुनी हुई): भाग दीजिए। धारा वाला संबंध क्रोड पर ऐंपियर का नियम है: उसके परिचालन को $\mu_0\mu_r$ गुना कुल ऐंपियर-फेरों के बराबर होकर वह अभिवाह बनाना पड़ता; और किसी आदर्श क्रोड ( $\mu_r \to \infty$ ) के लिए उसमें लुप्त होते ऐंपियर-फेरे ही लगते हैं, अतः $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ । इस रूप में स्वीकृत। ∎

बाएँ: कोई परिणामित्र — बंद लोहे के किसी क्रोड पर दो कुंडलियाँ वही अभिवाह साझा करती हैं; वोल्टताएँ फेरों के साथ बदलती हैं और धाराएँ उलटे अनुपात में। दाएँ: हवा में दो युग्मित कुंडलियाँ और उनका अन्योन्य प्रेरकत्व M; और किसी कुंडली का अपना अभिवाह Li है। — बाएँ: कोई परिणामित्र — बंद लोहे के किसी क्रोड पर दो कुंडलियाँ वही अभिवाह साझा करती हैं; वोल्टताएँ फेरों के साथ बदलती हैं और धाराएँ उलटे अनुपात में। दाएँ: हवा में दो युग्मित कुंडलियाँ और उनका अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ ; और किसी कुंडली का अपना अभिवाह $Li$ है।

29.3 चलते चालक: जनित्र और मोटर

प्रतिज्ञप्ति 29.9 (सरकती छड़)

$\ell$ लंबाई की कोई छड़ $v$ चाल से दो पटरियों पर सरकती है, जो किसी प्रतिरोध $R$ से बंद हैं, और तल पर अभिलंब किसी एकसमान क्षेत्र $B$ में। वह विद्युत वाहक बल $e = B\ell v$ का आसन है, धारा $i = B\ell v/R$ चलाती है, और लाप्लास बल $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ अनुभव करती है, जो उसकी गति का विरोध करता है। उसे धकेलने में लगी यांत्रिक शक्ति, $Fv$ , उस विद्युत शक्ति $ei = Ri^2$ के बराबर है जो क्षय होती है: यानी छड़ एक जनित्र है। और इसकी जगह किसी स्रोत $E$ से खिलाने पर वह एक मोटर है: धारा $(E - B\ell v)/R$ उसे तब तक धकेलती है जब तक प्रति-विद्युत वाहक बल $B\ell v$ $E$ को संतुलित न कर दे, यानी बिना भार की चाल $E/B\ell$ तक।

उपपत्ति. अभिवाह $B\ell x$ , और उस दिशा में $e = -B\ell\dot x$ जिसमें $\vect n$ $\vect B$ के अनुदिश हो; और इस तरह दिशित धारा पर लाप्लास बल $i\vect\ell\wedge\vect B$ $\vect v$ के विरुद्ध संकेत करता है (प्रमेय 29.2, लेंज़)। विद्युत समीकरण $e = Ri$ को $i$ से और यांत्रिक को $v$ से गुणा कीजिए: $Fv = B\ell iv = ei$ । विद्युत्-यांत्रिक शक्ति $ei$ और लाप्लास शक्ति $-Fv$ हमेशा विपरीत होती हैं — यही रूपांतरण का नियम है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 29.10 (घूमता पाश: प्रत्यावर्तित्र)

$N$ फेरों और $S$ क्षेत्रफल की कोई कुंडली, जो $\omega$ से किसी ऐसी अक्ष के परितः घूमे जो किसी एकसमान $B$ पर लंब हो, उसका $\Phi = NBS\cos\omega t$ होता है और

e = NBS\omega\sin\omega t :

यानी $NBS\omega$ आयाम का कोई ज्यावक्रीय विद्युत वाहक बल, जिसकी आवृत्ति घूर्णन की है। किसी प्रतिरोध $R$ में वह माध्य शक्ति $(NBS\omega)^2/2R$ देती है, जिसे वह बलाघूर्ण जुटाता है जो उसे उसकी अपनी धारा के लाप्लास युग्म $-\vect m\wedge\vect B$ के विरुद्ध घुमाता रहता है।

उपपत्ति. अभिवाह को अवकलित कीजिए; और $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ । युग्म $m = Ni S$ के साथ प्रमेय 28.14 है; और उसकी माध्य शक्ति $\langle\Gamma\omega\rangle$ $\langle ei\rangle$ के बराबर है, उसी गणना से जो छड़ के लिए की गई थी। ∎

बाएँ: जनित्र के रूप में सरकती छड़ — विद्युत वाहक बल B v, R में से धारा, और छड़ को रोकता लाप्लास बल; धकेलने वाले की शक्ति ही प्रतिरोधक की ऊष्मा है। बीच में और दाएँ: किसी प्रत्यावर्तित्र की घूमती कुंडली और उसका ज्यावक्रीय विद्युत वाहक बल। — बाएँ: जनित्र के रूप में सरकती छड़ — विद्युत वाहक बल $B\ell v$ , $R$ में से धारा, और छड़ को रोकता लाप्लास बल; धकेलने वाले की शक्ति ही प्रतिरोधक की ऊष्मा है। बीच में और दाएँ: किसी प्रत्यावर्तित्र की घूमती कुंडली और उसका ज्यावक्रीय विद्युत वाहक बल।

उदाहरण 29.11 (भँवर धाराएँ)

किसी असमान क्षेत्र में चलता, या किसी बदलते क्षेत्र में पड़ा, कोई ठोस चालक अनगिनत बंद पथों के अनुदिश बदलते अभिवाह से बिंधा रहता है: उसमें भँवर धाराएँ घूमने लगती हैं, जो उसे गरम करती हैं और — लेंज़ के अनुसार — रोकती भी हैं। ताँबे की किसी नली में गिराया गया चुंबक धीरे-धीरे उतरता है; ट्रकों और झूला-रेलगाड़ियों के ब्रेक इसी को काम में लेते हैं (न संस्पर्श, न घिसाई, न ब्रेक का बिगड़ना — पर विराम में कोई रोक भी नहीं); प्रेरण-चूल्हा उन्हीं धाराओं से, $25\,\mathrm{kHz}$ पर, बरतन गरम करता है; और परिणामित्रों के क्रोड ठीक उन्हें काटने के लिए पत्तीदार बनाए जाते हैं।

29.4 ध्वनिविस्तारक: एक युग्मित निकाय

प्रतिज्ञप्ति 29.12 (त्रिज्य क्षेत्र में किसी कुंडली का विद्युत्-यांत्रिक युग्मन)

कुल तार-लंबाई $\ell$ की कोई कुंडली किसी त्रिज्य क्षेत्र $B$ में बैठी है, जिससे तार का हर अवयव $\vect B$ पर लंब रहे; वह अपनी अक्ष के अनुदिश $v$ चाल से चलती है और $i$ ले जाती है। तब वह अक्षीय लाप्लास बल $F = B\ell i$ अनुभव करती है और प्रति-विद्युत वाहक बल $e = -B\ell v$ का आसन होती है (ग्राही रूढ़ि में: वोल्टता $B\ell v$ )। द्रव्यमान $m$ , दृढ़ता $k$ के किसी निलंबन और यांत्रिक अवमंदन $h$ के साथ, जब उसे वोल्टता $u$ खिलाई जाए, कुंडली के प्रतिरोध $R$ तथा प्रेरकत्व $L$ से होकर:

u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .

$i$ से और $v$ से गुणा करके जोड़ने पर: विद्युत शक्ति $ui$ जूल-हानि $Ri^2$ के, संचित ऊर्जाओं $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ की वृद्धि के, और यांत्रिक हानि $hv^2$ के (जिसमें ध्वनि भी है) बराबर बैठती है: और रूपांतरण-पद $B\ell iv$ दोनों समीकरणों के बीच कट जाता है। उलटा चलाने पर (यानी गति थोपकर, $u$ पढ़कर) वही युक्ति कोई गतिक ध्वनिग्राही है।

उपपत्ति. हर अवयव पर लाप्लास बल $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , जो सब अक्षीय हैं और एक ही चिह्न के; और विद्युत वाहक बल तार पर $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ जोड़कर। ऊर्जा-संतुलन दोनों समीकरणों का वही योग है जो ऊपर कहा गया। ∎

काट में कोई चल-कुंडली ध्वनिविस्तारक: ध्वनि-कुंडली किसी चुंबक की वलयाकार दरार में बैठती है, जहाँ क्षेत्र त्रिज्य है, ताकि कोई भी धारा स्थिति चाहे जो हो अक्षीय बल दे; जिस शंकु को वह चलाती है उसे कोई कड़ा, अवमंदित निलंबन थामे रहता है; और कुंडली की गति विद्युत परिपथ में प्रति-विद्युत वाहक बल B v भेजती रहती है। — काट में कोई चल-कुंडली ध्वनिविस्तारक: ध्वनि-कुंडली किसी चुंबक की वलयाकार दरार में बैठती है, जहाँ क्षेत्र त्रिज्य है, ताकि कोई भी धारा स्थिति चाहे जो हो अक्षीय बल दे; जिस शंकु को वह चलाती है उसे कोई कड़ा, अवमंदित निलंबन थामे रहता है; और कुंडली की गति विद्युत परिपथ में प्रति-विद्युत वाहक बल $B\ell v$ भेजती रहती है।

टिप्पणी 29.13 (युग्मन अवमंदन क्यों करता है)

नीची आवृत्ति पर ( $L\omega \ll R$ ), $i \approx (u - B\ell v)/R$ होता है और बल $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : यानी विद्युत परिपथ यांत्रिक अवमंदन में $B^2\ell^2/R$ और जोड़ देता है। किसी प्रवर्धक से जुड़ा कोई ध्वनिविस्तारक (जिसका निर्गत प्रतिरोध कम है) ख़ूब अवमंदित रहता है — संकेत रुकते ही उसका शंकु ठहर जाता है — और वही युग्मन ध्वनिग्राही को ध्वनि से ऊर्जा लेने देता है (समस्या 29.1)।

29.5 अभ्यास

अभ्यास 29.1 ★

$100$ फेरों और $10\,\mathrm{cm}^{2}$ की कोई कुंडली किसी एकसमान $0.20\,\mathrm{T}$ क्षेत्र में, अपने अभिलंब से $30{}^{\circ}$ पर। अभिवाह; और यदि क्षेत्र $10\,\mathrm{ms}$ में बंद कर दिया जाए तो माध्य विद्युत वाहक बल; $1\,\mathrm{ms}$ में तो; और क्षेत्र के सापेक्ष प्रेरित धारा की दिशा (लेंज़)।

हल

हल — अभ्यास 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ $10\,\mathrm{ms}$ में, और $17\,\mathrm{V}$ $1\,\mathrm{ms}$ में। धारा इस तरह बहती है कि लुप्त होते अभिवाह को फिर बना दे: अतः उसका क्षेत्र पुराने $\vect B$ के अनुदिश होता है।

अभ्यास 29.2 ★

$20\,\mathrm{cm}$ लंबी कोई छड़ $0.50\,\mathrm{T}$ में, $0.10\,\Omega$ से बंद पटरियों पर $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकती है। विद्युत वाहक बल, धारा, लाप्लास बल, वह बल जो धकेलने वाले को लगाना पड़ेगा, यांत्रिक शक्ति, विद्युत शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ रोकने वाला, अतः धकेलने वाला $0.20\,\mathrm{N}$ लगाता है; और $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$ ।

अभ्यास 29.3 ★

$1000$ फेरे प्रति मीटर की परिनालिका, लंबाई $20\,\mathrm{cm}$ , काट $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : प्रेरकत्व; $5.0\,\mathrm{A}$ पर ऊर्जा; $1.0\,\Omega$ के किसी प्रतिरोध के साथ कालांक; और भीतर क्षेत्र तथा ऊर्जा घनत्व, ताकि $B^2/2\mu_0$ जाँचा जा सके।

हल

हल — अभ्यास 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$ । $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ , $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , और $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ पर: $1.3\,\mathrm{mJ}$ ।

अभ्यास 29.4 ★

$230\,\mathrm{V}$ से $12\,\mathrm{V}$ तक का कोई परिणामित्र: फेरों का अनुपात; $50$ -फेरों के किसी द्वितीयक के लिए प्राथमिक के फेरे; और जब द्वितीयक $2.0\,\mathrm{A}$ दे रहा हो तब प्राथमिक धारा। वह किसी कार-बैटरी पर क्यों नहीं चलता?

हल

हल — अभ्यास 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ फेरे; $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$ । कोई स्थायी धारा स्थायी अभिवाह बनाती है: न कोई $\dd\varphi/\dd t$ , न कोई द्वितीयक वोल्टता — और प्राथमिक, जो एक लघुपथ ही है, जल जाता।

अभ्यास 29.5 ★★

लेंज़ का नियम: हर स्थिति में प्रेरित धारा की दिशा और बल की दिशा दीजिए — (क) कोई उत्तरी ध्रुव किसी वलय की ओर उसकी अक्ष के अनुदिश आता है; (ख) कोई वलय ऐसे क्षेत्र में पड़ा है जो बढ़ रहा है; (ग) कोई वलय किसी चुंबक पर गिराया जाता है; (घ) कोई चुंबक ताँबे की किसी लंबी नली में से गिरता है। (घ) के लिए ऊर्जा से समझाइए कि वह किसी छोटी अचर चाल से क्यों गिरता है।

हल

हल — अभ्यास 29.5.

(क) अभिवाह (आने की दिशा में) बढ़ता है: धारा ऐसा क्षेत्र बनाती है जो उसका विरोध करे — यानी उसका अपना उत्तरी ध्रुव चुंबक के उत्तरी के सामने आ जाता है — और वलय दूर धकेल दिया जाता है। (ख) ऐसी धारा जिसका क्षेत्र वृद्धि का विरोध करे; और वलय, जो $\vect B$ से विपरीत-पंक्तिबद्ध कोई द्विध्रुव है, कमज़ोर क्षेत्र की ओर धकेला जाता है। (ग) गिरते समय अभिवाह बढ़ता है: वही धारा जो (क) में, और वलय रुक जाता है। (घ) चुंबक के आगे नली का हर हिस्सा बढ़ता अभिवाह देखता है और पीछे का घटता; दोनों प्रेरित धाराएँ चुंबक को रोकती हैं; और जिस चाल पर लाप्लास बल भार को संतुलित कर देता है वहाँ चुंबक एक-सा गिरता रहता है, और उसकी खोई स्थितिज ऊर्जा नली में जूल-ऊष्मा बन जाती है।

अभ्यास 29.6 ★★

प्रत्यावर्तित्र: $N = 200$ , $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ , $50\,\mathrm{Hz}$ । शिखर और वर्ग-माध्य-मूल विद्युत वाहक बल; $10\,\Omega$ में शिखर धारा और शिखर बलाघूर्ण; माध्य विद्युत शक्ति; माध्य यांत्रिक शक्ति से, और उस क्षण के तात्क्षणिक बलाघूर्ण से तुलना कीजिए जब विद्युत वाहक बल लुप्त हो जाता है।

हल

हल — अभ्यास 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$ , और वर्ग-माध्य-मूल $8.9\,\mathrm{V}$ ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ , $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (जब $\sin\omega t = 1$ ); $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; और जब $e = 0$ हो तब धारा शून्य है और बलाघूर्ण लुप्त — बलाघूर्ण $100\,\mathrm{Hz}$ पर स्पंदित होता है।

अभ्यास 29.7 ★★

चुंबकीय ब्रेक। $a = 10\,\mathrm{cm}$ भुजा और $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ प्रतिरोध का कोई वर्गाकार पाश, जिसका द्रव्यमान $1.0\,\mathrm{kg}$ है, एकसमान क्षेत्र $B = 1.0\,\mathrm{T}$ के किसी क्षेत्र से $v$ चाल से बाहर निकलता है (एक भुजा अब भी क्षेत्र में)। विद्युत वाहक बल, धारा, रोकने वाला बल; गति का समीकरण और कालांक; $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से रुकने तक तय की गई दूरी; और गतिज ऊर्जा गई कहाँ?

हल

हल — अभ्यास 29.7.

$e = Bav$ , $i = Bav/R$ , $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (न्यूटन)। $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; और दूरी $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (यदि क्षेत्र वाला भाग इतना लंबा हो)। गतिज ऊर्जा, $0.5\,\mathrm{J}$ , पाश में $Ri^2$ के रूप में क्षय हो जाती है।

अभ्यास 29.8 ★★

कोई छोटी कुंडली ( $N_2 = 50$ फेरे, काट $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) किसी लंबी परिनालिका ( $n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) के भीतर बैठी है, और दोनों की अक्षें एक ही दिशा में हैं। अन्योन्य प्रेरकत्व; कुंडली में विद्युत वाहक बल तब, जब परिनालिका की धारा $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$ से चढ़ रही हो, और तब जब वह $10\,\mathrm{kHz}$ पर $1.0\,\mathrm{A}$ हो। क्या $M$ इस पर निर्भर करता है कि धारा कौन-सी कुंडली ले जा रही है?

हल

हल — अभ्यास 29.8.

परिनालिका के क्षेत्र $\mu_0n_1i_1$ का $N_2$ फेरों में से अभिवाह: $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$ । चढ़ाई: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; और $10\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{A}$ पर: $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$ । $M$ सममित है: वही संख्या वह अभिवाह भी देती है जो छोटी कुंडली परिनालिका में से भेजती है — जिसे सीधे निकालना कहीं कठिन है।

अभ्यास 29.9 ★★

किसी क्षेत्र में ऊर्जा: $1.0\,\mathrm{m}^{3}$ पर $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , जैसे किसी चुंबकीय अनुनाद यंत्र के चुंबक में। ऊर्जा; $I = 500\,\mathrm{A}$ के लिए प्रेरकत्व; वह ऊँचाई जिस तक यह ऊर्जा $1\,\mathrm{t}$ की कोई कार उठा देती; और किसी शमन में वह द्रव हीलियम का कितना आयतन उबाल देती है (प्रति लीटर $2.6\,\mathrm{kJ}$ )। और $50\,\mathrm{m}^{3}$ के किसी कमरे में पृथ्वी के क्षेत्र ( $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) की ऊर्जा।

हल

हल — अभ्यास 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; और हीलियम: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$ । पृथ्वी का क्षेत्र: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , यानी कमरे में $50\,\mathrm{mJ}$ ।

अभ्यास 29.10 ★★★

मोटर के रूप में पटरियाँ। अभ्यास 29.2 की छड़ (द्रव्यमान $m$ , कोई घर्षण नहीं) किसी स्रोत $E$ से जुड़ी है, प्रतिरोध $R$ से होकर। (क) विद्युत और यांत्रिक समीकरण; दिखाइए कि $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ । (ख) सीमांत चाल और कालांक। (ग) शक्ति-संतुलन: स्रोत की शक्ति $=$ जूल $+$ यांत्रिक; और $v$ के फलन के रूप में दक्षता। (घ) आँकड़े: $E = 2.0\,\mathrm{V}$ , $m = 50\,\mathrm{g}$ , बाकी अभ्यास 29.2 की तरह। (ङ) कोई रेल-तोप $10\,\mathrm{g}$ के किसी प्रक्षेप्य को $1\,\mathrm{T}$ में $5\,\mathrm{m}$ पर $1\,\mathrm{MA}$ से त्वरित करती है: निकास-चाल (परिमाण की कोटि)।

हल

हल — अभ्यास 29.10.

(क) $E - B\ell v = Ri$ (प्रति-विद्युत वाहक बल स्रोत का विरोध करता है), $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$ : अतः $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ । (ख) $v_\infty = E/B\ell$ , $\tau = mR/B^2\ell^2$ । (ग) विद्युत समीकरण को $i$ से गुणा कीजिए: $Ei = Ri^2 + B\ell vi$ , जहाँ $B\ell vi = Fv$ यांत्रिक शक्ति है; और दक्षता $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — यानी $100\%$ केवल बिना भार के, जहाँ कुछ दिया ही नहीं जाता। (घ) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$ । (ङ) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ( $\ell = 10\,\mathrm{cm}$ लेकर), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी दस किलोमीटर प्रति सेकंड, जो रेल-तोपों का वादा भी है और उनकी समस्या भी (पटरियाँ घिस जाती हैं)।

अभ्यास 29.11 ★★★

फ़ैराडे की चकती। $R$ त्रिज्या की ताँबे की कोई चकती अपनी अक्ष के परितः $\omega$ से घूमती है, अक्ष के अनुदिश किसी एकसमान $B$ में; और ब्रश केंद्र तथा किनारे को छूते हैं। (क) किसी त्रिज्या के अनुदिश $(\vect v\wedge \vect B)\cdot\dd\vect l$ जोड़कर केंद्र और किनारे के बीच विद्युत वाहक बल: $e = \tfrac12B\omega R^2$ । (ख) आँकड़े: $R = 10\,\mathrm{cm}$ , $3000\,\mathrm{rpm}$ , $1.0\,\mathrm{T}$ । (ग) वह कम-वोल्टता, ऊँची-धारा वाली मशीन क्यों है; $1\,\mathrm{m}\Omega$ में धारा, और रोकने वाला बलाघूर्ण। (घ) ब्रश–त्रिज्या–किनारा–ब्रश वाले परिपथ पर फ़ैराडे का नियम लगाकर $e$ फिर से पाइए: कौन-सा अभिवाह बदलता है?

हल

हल — अभ्यास 29.11.

(क) त्रिज्या $r$ पर धातु $v = \omega r$ से चलती है; और $\vect v\wedge\vect B$ त्रिज्य है, जिसका परिमाण $\omega rB$ है: अतः $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$ । (ख) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$ । (ग) केवल एक ही “फेरा”, अतः अधिक से अधिक कुछ वोल्ट; और $1\,\mathrm{m}\Omega$ में: $1.6\,\mathrm{kA}$ , तथा बलाघूर्ण $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ । (घ) ब्रश–त्रिज्या– किनारा–ब्रश वाला परिपथ $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ क्षेत्रफल बुहार देता है, प्रति $\dd t$ : अतः $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — यानी उस चलते, विरूपित होते परिपथ से होकर अभिवाह।

अभ्यास 29.12 ★★★

प्रेरण-चूल्हा। काँच के नीचे की कुंडली $i_1 = I_1\cos\omega t$ ले जाती है, जहाँ $25\,\mathrm{kHz}$ पर $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ ; और बरतन की तली $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ प्रतिरोध के किसी एक फेरे की तरह बरतती है, जो $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ से युग्मित है (बरतन वाले फेरे का प्रेरकत्व उपेक्षित)। (क) बरतन में प्रेरित विद्युत वाहक बल, शिखर मान। (ख) बरतन में धारा और क्षय हुई माध्य शक्ति। (ग) ऊँची आवृत्ति क्यों, और ऊष्मा बरतन में क्यों दिखती है, काँच में क्यों नहीं? (घ) बरतन की धारा कुंडली पर पलटकर असर करती है: वह वहाँ जो विद्युत वाहक बल प्रेरित करती है (शिखर), और जनित्र को जो अतिरिक्त शक्ति देनी पड़ती है — जाँचिए कि वह (ख) के बराबर है।

हल

हल — अभ्यास 29.12.

(क) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$ , शिखर $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$ । (ख) शिखर $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ ; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$ । (ग) विद्युत वाहक बल $\propto\omega$ है: अतः ऊँची आवृत्ति किसी मामूली $M$ के साथ भी काम का विद्युत वाहक बल दे देती है; और काँच विद्युतरोधी है, उसमें कुछ बहता ही नहीं — ऊष्मा धातु के भीतर ही जन्म लेती है। (घ) बरतन की धारा कुंडली में $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ शिखर प्रेरित करती है, जो $i_1$ के साथ कला में है (बरतन की धारा प्रतिरोधी होने से $e_2$ से बिलकुल पीछे नहीं रहती, और $e_2$ $i_1$ से $90{}^{\circ}$ … पीछे रहता है, अतः परावर्तित विद्युत वाहक बल $-M\,\dd i_2/\dd t$ है, जो $i_1$ की चालक वोल्टता के कला-विरोध में है): अतः जनित्र $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ और देता है — ठीक उतना ही जितना बरतन क्षय करता है।

कोई बोतल-डायनमो: पहिया किसी कुंडली के भीतर चुंबक घुमाता है, कुंडली से होकर अभिवाह बदलता है, और बत्ती जल उठती है — यानी साइकिल पर फ़ैराडे का नियम।

29.6 समस्या: साइकिल का डायनमो और ध्वनिविस्तारक

समस्या 29.1

सप्ताहांत समस्या — खोलकर देखे गए दो विद्युत्-यांत्रिक रूपांतरक: एक डायनमो जो अपने आप को नियंत्रित रखता है, और एक ध्वनिविस्तारक जिसका प्रवर्धक ही उसका ब्रेक भी है

भाग I — साइकिल का डायनमो। $N = 300$ फेरों और $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ क्षेत्रफल की कोई कुंडली किसी एकसमान क्षेत्र $B = 0.30\,\mathrm{T}$ में घूमती है; उसकी धुरी पर $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या का कोई बेलन टायर से सटा है, ताकि कुंडली $\omega = v/r$ से घूमे, जब साइकिल की चाल $v$ हो। कुंडली का प्रतिरोध $r_c = 4.0\,\Omega$ , प्रेरकत्व $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; और बत्ती $R = 12\,\Omega$ का कोई प्रतिरोध है।

समय के फलन के रूप में कुंडली से होकर अभिवाह और प्रेरित विद्युत वाहक बल; और $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर आयाम तथा आवृत्ति।
पहले $L$ की उपेक्षा करके: $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर बत्ती में वर्ग-माध्य-मूल धारा और शक्ति; क्या “ $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ ” की कोई बत्ती सुखी रहेगी?
साइकिल-सवार डायनमो को जो माध्य यांत्रिक शक्ति देता है, और टायर पर उससे संगत बल (लोटनी घर्षण, लगभग $2\,\mathrm{N}$ , से तुलना कीजिए)।
लेंज़ के नियम से समझाइए कि डायनमो विरोध क्यों करता है, और “मुफ़्त में” जलती कोई बत्ती ऊर्जा-संरक्षण का खंडन क्यों नहीं करती।
अब $L$ भी लीजिए: परिपथ की सम्मिश्र प्रतिबाधा; दिखाइए कि धारा का आयाम $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ है और वह ऊँची चाल पर संतृप्त हो जाता है; उसकी सीमा, और वह चाल जिस पर वह सीमा का $70\%$ पा लेता है।
प्रेरकत्व के बिना, ढलान पर $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर बत्ती को क्या मिलता? और उसके साथ?
$9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर और $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर धारा तथा बत्ती की शक्ति; और इस स्वयं-नियंत्रण पर टिप्पणी कीजिए।
असली डायनमो किसी स्थिर कुंडली के भीतर चुंबक घुमाते हैं। क्या विश्लेषण बदलता है? इससे कौन-सी व्यावहारिक कठिनाई हट जाती है?
लाल बत्ती पर साइकिल रुकने पर बत्ती क्या करती है, और आधुनिक बत्तियाँ इसे कैसे सुलझाती हैं?

भाग II — ध्वनिविस्तारक। ध्वनि-कुंडली: तार की लंबाई $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ , किसी त्रिज्य क्षेत्र $B = 1.0\,\mathrm{T}$ में, प्रतिरोध $R = 8.0\,\Omega$ , प्रेरकत्व $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; चलता द्रव्यमान (कुंडली और शंकु) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; निलंबन की दृढ़ता $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , यांत्रिक अवमंदन $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ । ज्यावक्रीय अवस्था, सम्मिश्र आयाम।

किसी धारा $i$ के लिए कुंडली पर बल; और किसी चाल $v$ के लिए प्रति-विद्युत वाहक बल (दोनों व्युत्पन्न कीजिए, चिह्नों सहित)।
विद्युत और यांत्रिक समीकरण लिखिए।
$i$ हटाइए और दिखाइए कि $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ ।
जिन आवृत्तियों पर $L\omega \ll R$ है, वहाँ दिखाइए कि युग्मन एक अतिरिक्त यांत्रिक अवमंदन $B^2\ell^2/R$ की तरह काम करता है; उसका मान; और शंकु की अनुनाद-आवृत्ति तथा उसका गुणता गुणक, विद्युत अवमंदन के साथ और उसके बिना।
प्रवर्धक $1\,\mathrm{kHz}$ पर $1.0\,\mathrm{A}$ आयाम की $i$ देता है: शंकु के बल, त्वरण, विस्थापन और वेग के आयाम (द्रव्यमान-शासित अवस्था); और प्रति-विद्युत वाहक बल का आयाम, $Ri$ से तुलना करके।
अनुनाद-आवृत्ति पर वही धारा: वेग का आयाम (अवमंदन-शासित) और प्रति-विद्युत वाहक बल; टिप्पणी कीजिए।
$1\,\mathrm{kHz}$ पर विद्युत शक्ति; $h$ में क्षय हुई यांत्रिक शक्ति (जिसे ध्वनि तथा निलंबन की हानियाँ माना जाए); और दक्षता।
ध्वनि-दाब शंकु के त्वरण के समानुपाती होता है (इसे स्वीकार लीजिए): यही वह कारण क्यों है जिससे कोई द्रव्यमान-शासित शंकु अनुनाद के ऊपर चपटी अनुक्रिया देता है?
क्षेत्र त्रिज्य क्यों होना चाहिए, और कोई ट्वीटर छोटा क्यों होता है?
प्रवर्धक को दिखती प्रतिबाधा $\underline u/\underline i$ का मापांक $10\,\mathrm{Hz}$ से $10\,\mathrm{kHz}$ तक खींचिए: नीची आवृत्ति पर मान, अनुनाद पर (अवमंदन-शासित वेग लीजिए), और $10\,\mathrm{kHz}$ पर।

भाग III — उलटा, और हिसाब-किताब।

वही युक्ति ध्वनिग्राही के रूप में: कोई ध्वनि शंकु को $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ से चलाती है; खुले परिपथ की वोल्टता।
$R_L = 600\,\Omega$ से भारित: धारा, और शंकु पर रोकने वाला बल; दिखाइए कि ध्वनिग्राही ध्वनि से शक्ति किसी प्रभावी अवमंदन $B^2\ell^2/(R + R_L)$ के ज़रिए लेता है।
कुंडली अल्युमिनियम के किसी बेलन (यानी ढाँचे) पर लपेटी गई है, जो $0.10\,\mathrm{m}$ लंबाई और $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ प्रतिरोध का एक बंद फेरा है: वह कितना अवमंदन जोड़ता है; और ढाँचों में चीरा क्यों लगाया जाता है।
किसी ध्वनिविस्तारक के शंकु को ठोकिए, पहले तब जब उसके सिरे खुले हों, फिर तब जब वे लघुपथित हों: कौन-सा अधिक देर गूँजता है, और क्यों?
स्थायी अवस्था में एक आवर्तकाल पर ध्वनिविस्तारक का ऊर्जा-संतुलन लिखिए, और हर पद का नाम बताइए।
सार दीजिए: हर युक्ति के लिए, प्रयुक्त नियम और याद रखने लायक दो आँकड़े।

हल

हल — समस्या 29.1.

1. $\Phi = NBS\cos\omega t$ , $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times 0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : अतः आयाम $13.5\,\mathrm{V}$ , और आवृत्ति $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$ ।

2. $I_{\mathrm{rms}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; और बत्ती में $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ , $7.2\,\mathrm{V}$ के नीचे: यानी $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ की कोई बत्ती ज़रूरत से अधिक चलाई जा रही है और टिकेगी नहीं।

3. यांत्रिक $=$ विद्युत: $(R + r_c)I_{\mathrm{rms}}^2 = 16 \times 0.36 = 5.7\,\mathrm{W}$ ; और $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — यानी लोटनी घर्षण का आधा; साइकिल-सवार उसे महसूस करता है।

4. प्रेरित धारा का लाप्लास युग्म घूर्णन का विरोध करता है (लेंज़); और बत्ती की ऊर्जा साइकिल-सवार की टाँगों से आती है, पूरे $5.7\,\mathrm{W}$ ।

5. $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; और $L\omega \gg R + r_c$ के लिए, $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$ । $70\%$ : $L\omega = 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$ , $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

6. $L$ के बिना: $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$ , $I_{\mathrm{rms}} = 1.8\,\mathrm{A}$ , और बत्ती में $39\,\mathrm{W}$ — वह उड़ जाती। $L$ के साथ: शिखर $I = 40.5/\sqrt{256 + 900} = 1.2\,\mathrm{A}$ , यानी $8.5\,\mathrm{W}$ : गरम तो, पर दस गुना कम।

7. $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$ , $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ , $I = 0.40$ , $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : यानी मद्धिम। $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$ , $|Z| = 25.6$ , $I = 1.05$ , $P = 6.6\,\mathrm{W}$ । चाल चार गुनी, पर धारा $2.6$ गुनी: यानी प्रेरकत्व नियंत्रण कर देता है।

8. केवल सापेक्ष गति ही मायने रखती है: स्थिर कुंडली से होकर अभिवाह वैसे ही बदलता है, वही विद्युत वाहक बल। और किसी घूमती कुंडली से धारा बाहर लाने के लिए कोई सरकते संस्पर्श (ब्रश) नहीं चाहिए होते।

9. न गति, न अभिवाह में परिवर्तन, न रोशनी — इसीलिए चलते समय आवेशित हो जाने वाला कोई संधारित्र या छोटी बैटरी (“ठहराव-बत्ती”) लगाई जाती है।

10. तार का हर अवयव त्रिज्य $\vect B$ पर लंब है: अतः $F = B\ell i$ , अक्षीय। और $v$ से चलते हुए हर अवयव तार के अनुदिश $\vect v\wedge\vect B$ देखता है: अतः $e = -B\ell v$ , जो उस धारा का विरोध करता है जो गति पैदा करती है (ग्राही रूढ़ि में: वोल्टता $B\ell v$ )।

11. $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$ ।

12. $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h + k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; इन्हें रखकर $\underline v$ के लिए हल कीजिए।

13. $i \approx (u - B\ell v)/R$ से $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx = B\ell u/R$ मिलता है: यानी अतिरिक्त अवमंदन $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ । $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; और $Q = \sqrt{km}/h_{\text{कुल}}$ : खुले में $3.2$ , और प्रवर्धक के साथ $0.77$ ।

14. $F = 5.0\,\mathrm{N}$ , $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x = a/\omega^2 = 13\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ , जबकि $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : यानी $5\%$ ।

15. धारा थोपी हुई होने पर, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (यानी $16\,\mathrm{mm}$ का आयाम — $1\,\mathrm{A}$ के लिए बहुत बड़ा झूला); और $B\ell v = 25\,\mathrm{V}$ , जो $Ri$ से तीन गुना: अनुनाद पर $1\,\mathrm{A}$ बहाने के लिए प्रवर्धक को $33\,\mathrm{V}$ देनी पड़ती है — यही प्रतिबाधा का शिखर है। कोई वोल्टता-स्रोत प्रवर्धक इसकी जगह विद्युत अवमंदन को ही शंकु थामने देता।

16. $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; और $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 = 3.2\,\mathrm{mW}$ : अतः दक्षता $0.08\%$ — ध्वनिविस्तारक असल में तापक हैं जो फुसफुसाते भी हैं।

17. अनुनाद के ऊपर $a = F/m = B\ell i/m$ किसी दी हुई धारा के लिए आवृत्ति से स्वतंत्र है, अतः दाब, जो $\propto a$ है, चपटा रहता है: यानी द्रव्यमान-शासित पट्टी ही काम की पट्टी है।

18. त्रिज्य क्षेत्र: बल अक्षीय रहता है और दरार में कुंडली की हर स्थिति पर वही रहता है। और किसी ट्वीटर को $20\,\mathrm{kHz}$ तक द्रव्यमान-शासित बने रहना पड़ता है, वह भी बहुत छोटे झूले के साथ: अतः हलकी कुंडली और हलका शंकु; और छोटा शंकु ऊँची आवृत्तियाँ हर दिशा में विकीर्ण करता है।

19. नीची आवृत्ति: $v$ छोटा, $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; और $50\,\mathrm{Hz}$ पर: $u = Ri + B\ell v$ , जहाँ $v = B\ell i/h$ : अतः $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 = 33\,\Omega$ ; और $10\,\mathrm{kHz}$ पर: $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$ । यानी अनुनाद पर एक शिखर, $8\,\Omega$ का चपटा फ़र्श, और $L\omega$ के साथ चढ़ाई।

20. $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$ ।

21. $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$ , जो $v$ का विरोध करता है: $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$ , यानी $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ का अवमंदन; और शक्ति $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ध्वनि से ली जाती है और दोनों प्रतिरोधों में जाकर समाप्त होती है।

22. ढाँचा: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , यानी $h$ से दस गुना: वह शंकु को मार देता और शक्ति ऊष्मा में उड़ा देता; इसीलिए कोई चीरा उस बंद फेरे को तोड़ देता है।

23. खुला: केवल $h$ अवमंदन करता है, $Q = 3.2$ , अतः वह गूँजता है। लघुपथित: प्रति-विद्युत वाहक बल $R$ में से धारा चलाता है, अवमंदन $B^2\ell^2/R$ जुड़ जाता है, और $Q = 0.77$ : वह तुरंत ठहर जाता है। (करके देखिए।)

24. एक आवर्तकाल पर संचित ऊर्जाएँ अपने मानों पर लौट आती हैं: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — यानी विद्युत निवेश $=$ कुंडली में जूल-ऊष्मा $+$ यांत्रिक हानियाँ (विकीर्ण ध्वनि और निलंबन का घर्षण); और युग्मन-पद $B\ell iv$ दोनों समीकरणों में विपरीत चिह्नों से आकर कट जाता है।

25. डायनमो: किसी घूमती कुंडली पर फ़ैराडे — $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $13.5\,\mathrm{V}$ , और धारा अपने ही प्रेरकत्व से $1.35\,\mathrm{A}$ पर बँधी हुई। ध्वनिविस्तारक: लाप्लास बल और प्रति-विद्युत वाहक बल — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ विद्युत अवमंदन, और $0.08\%$ दक्षता। ध्वनिग्राही: वही कुंडली उलटी — प्रति मिलीमीटर प्रति सेकंड $5\,\mathrm{mV}$ ।

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