8ज्यावक्रीय स्थायी व्यवस्था और प्रतिबाधा

हल — अभ्यास 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V)। $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$, मापांक $5$, कोणांक $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$: अतः $5\cos(\omega t - 0.927)$।

हल — अभ्यास 8.2.

$R$: दोनों पर $100\,\Omega$। $L\omega$: $31.4\,\Omega$ ($50\,\mathrm{Hz}$), $628\,\Omega$ ($1\,\mathrm{kHz}$)। $1/C\omega$: $318\,\Omega$, $15.9\,\Omega$। $50\,\mathrm{Hz}$ पर श्रेणी $RL$: $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$, कला $\arctan(0.314) = 17^\circ$।

हल — अभ्यास 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$। $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$, शिखर $12.3\,\mathrm{A}$। $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$, प्रभावी मान की परिभाषा से ही।

हल — अभ्यास 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$।

हल — अभ्यास 8.5.

$1/\sqrt2$ $\omega = 1/RC$ पर: $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$। $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर: अनुपात $0.71$, कला $-45^\circ$। $10\,\mathrm{kHz}$ पर: $RC\omega = 10$, अनुपात $1/\sqrt{101} = 0.10$, कला $-84^\circ$।

हल — अभ्यास 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$: $Z = 180\,\Omega$, $\arg = 56^\circ$। $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$, जो स्रोत से $56^\circ$ पिछड़ती है। $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$, $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$, $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$; कला-सदिश: $U_R$ $I$ के अनुदिश, $U_L$ ऊपर, $U_C$ नीचे, परिणामी $1.0\,\mathrm{V}$। $L\omega > 1/C\omega$: यानी अनुनाद के ऊपर (प्रेरकीय)।

हल — अभ्यास 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$: $1.59\,\mathrm{MHz}$ ($50\,\mathrm{pF}$) से $0.50\,\mathrm{MHz}$ ($500\,\mathrm{pF}$) तक। $1.00\,\mathrm{MHz}$ पर: $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$। $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$। $1.009\,\mathrm{MHz}$ पर केंद्र: $x = 1.009$, $Q(x - 1/x) = 1.8$, अनुपात $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$। संधारित्र का विभवांतर $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$।

हल — अभ्यास 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$; धनात्मक मूल $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$। अंतर $1/Q$, अतः $\Delta\omega = \omega_0/Q$; गुणनफल $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$, अतः $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (बैंड लघुगणकीय पैमाने पर सममित है)।

हल — अभ्यास 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$। प्रतिघाती शक्ति $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$। $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$। नई धारा $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$। हानियाँ पहले $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$, बाद में $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$।

हल — अभ्यास 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ तब अधिकतम है जब प्रतिग्राहिता लुप्त हो, यानी $\omega_0$ पर, जहाँ $U = RI$। अर्ध-शक्ति: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$, यानी $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$: अतः $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ और $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$। आँकड़े: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$, $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$।

हल — अभ्यास 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$; भीतर $C\omega$ से गुणा कीजिए: $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$। $s = x^2$ के साथ: $(1 - s)^2 + s/Q^2$ $s = 1 - 1/2Q^2$ पर न्यूनतम है (यदि वह धनात्मक हो), और न्यूनतम $1/Q^2 - 1/4Q^4$: अतः $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$। $Q = 3.16$: $x_r = 0.975$, $U_{C,\max} = 3.2E$। $Q < 1/\sqrt2$ के लिए न्यूनतम $s = 0$ पर है: तब $U_C$ $E$ से एकदिष्ट रूप से घटता जाता है, कोई शिखर नहीं।

हल — अभ्यास 8.12.

अनुनाद पर $i = I\cos\omega_0 t$ और $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$, अतः $1/C\omega_0^2 = L$ का उपयोग करके,

प्रति आवर्तकाल क्षय: $\tfrac12 RI^2T$। अनुपात $\times 2\pi$: $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$।