विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

5संकेत का संचरण: प्रगामी और अप्रगामी तरंगें

गिटार का एक तार छेड़िए और पूरा सभागार एक स्वर सुन लेता है; उसके मध्यबिंदु पर उँगली हलके से टिका दीजिए और वही स्वर एक अष्टक ऊपर चढ़ जाता है। एक ही स्वर बजाते दो ध्वनिविस्तारकों के बीच खड़े होकर धीरे-धीरे चलिए और हर कुछ डेसीमीटर पर आप लगभग सन्नाटे की जगहों से गुज़रेंगे। दो सूक्ष्म छिद्रों से आया प्रकाश परदे पर धारियाँ रंग देता है। इनमें से किसी में भी एक जगह से दूसरी जगह कुछ ढोया नहीं जाता — न हवा चलती है, न तार, न काँच — फिर भी कुछ संचरित होता है: एक संकेत। यह अध्याय बताता है कि संकेत कैसे चलता है, ज्यावक्रीय तरंग क्या है, और जब दो तरंगें मिलती हैं तब क्या होता है: अध्यारोपण, व्यतिकरण और अप्रगामी तरंगों का गणित, जिसे आगे का हर तरंग-अध्याय — ध्वनिकी, प्रकाशिकी और क्वांटम भौतिकी — फिर से काम में लेगा।

छह तार, छह मूल आवृत्तियाँ: हर एक शीर्ष-पट्टी और ब्रिज के बीच बँधी अप्रगामी तरंग है, और उँगलियाँ उसे छोटा करके तारत्व ऊँचा कर देती हैं।

5.1 संकेत

परिभाषा 5.1 (संकेत; ज्यावक्रीय संकेत)

संकेत ऐसी भौतिक राशि है जो समय के साथ बदलती है और सूचना ढोती है: माइक्रोफ़ोन पर ध्वनिक अतिदाब, ऐंटेना पर विभवांतर, किसी तार के किसी बिंदु का अनुप्रस्थ विस्थापन। और ज्यावक्रीय संकेत

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

में आयाम $A > 0$ , कोणीय आवृत्ति $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), आवृत्ति $f = \omega/2\pi$ , आवर्तकाल $T = 1/f$ और आरंभिक कला $\varphi$ होते हैं; और $\omega t + \varphi$ समय $t$ पर उसकी कला है।

टिप्पणी 5.2 (वर्णक्रम)

आवर्तकाल $T$ का कोई भी आवर्ती संकेत आवृत्तियों $f_1 = 1/T$ (यानी मूल स्वर) और उसके गुणजों $nf_1$ (यानी संनादियों) की ज्याओं का योग होता है; और उनके आयामों की सूची संकेत का वर्णक्रम कहलाती है। एक ही स्वर बजाती बाँसुरी और वायलिन में मूल स्वर साझा होता है और वर्णक्रम अलग — यही गुणता है। यह वियोजन (फूरिये का) अध्याय 9 में कहा और काम में लिया जाता है; यहाँ वह इसलिए मायने रखता है कि ज्याएँ सरलता से संचरित होती हैं, और जो हर ज्या के लिए सच है वह जोड़ लेने पर किसी भी संकेत के लिए सच रहता है।

प्रतिज्ञप्ति 5.3 (विस्पंद)

समान आयाम और पास-पास की आवृत्तियों $f_1 > f_2$ वाली दो ज्याओं का योग,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

माध्य आवृत्ति की एक ज्या है, जिसका आयाम $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ विस्पंद आवृत्ति $f_1 - f_2$ पर बढ़ता-घटता रहता है।

उपपत्ति. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ । धीमा गुणक अपने आवर्तकाल $2/(f_1 - f_2)$ में दो बार शून्य होता है, अतः अन्वालोप $\abs{\cdot}$ की आवृत्ति $f_1 - f_2$ है। ∎

22\, Hz और 20\, Hz के बीच विस्पंद: 21\, Hz का दोलन, जिसका अन्वालोप (बिंदुदार) प्रति सेकंड दो बार धड़कता है — यानी आवृत्तियों का अंतर। — $22\,\mathrm{Hz}$ और $20\,\mathrm{Hz}$ के बीच विस्पंद: $21\,\mathrm{Hz}$ का दोलन, जिसका अन्वालोप (बिंदुदार) प्रति सेकंड दो बार धड़कता है — यानी आवृत्तियों का अंतर।

उदाहरण 5.4 (कान से स्वर मिलाना)

$440\,\mathrm{Hz}$ का स्वरित्र द्विभुज और $443\,\mathrm{Hz}$ का तार साथ बजाने पर प्रति सेकंड तीन बार धड़कते हैं; तार कसने पर धड़कन धीमी होती जाती है, और जब वह रुक जाती है तब तार सुर में है। कान माध्य आवृत्ति ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) को तारत्व की तरह सुनता है और $3\,\mathrm{Hz}$ के अन्वालोप को प्रबलता के डोलने की तरह: यानी विस्पंद एक प्रतिशत से भी कम के आवृत्ति-अंतर को सुनने योग्य बना देते हैं।

5.2 प्रगामी तरंगें

परिभाषा 5.5 (प्रगामी तरंग, संचरण चाल)

किसी अक्ष के अनुदिश परिभाषित संकेत $s(x, t)$ प्रगामी तरंग है, जो $+x$ दिशा में संचरण चाल $c$ से चलती है, यदि

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

किसी फलन $f$ (या $F$ ) के लिए यह सही हो: आकृति अपरिवर्तित ढोई जाती है और $c\,\Delta t$ खिसक जाती है, समय $\Delta t$ में। $-x$ की ओर चलती तरंग $g(t + x/c)$ होती है। जिस माध्यम में हर आकृति बिना विरूपित हुए उसी $c$ से संचरित होती है, वह अविक्षेपी है।

प्रतिज्ञप्ति 5.6 (विलंब)

$x_2$ पर मिलता संकेत वही है जो $x_1 < x_2$ पर उत्सर्जित हुआ था, बस $\tau = (x_2 - x_1)/c$ से विलंबित: $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ ।

उपपत्ति. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

उदाहरण 5.7 (संचरण चालें)

हवा में ध्वनि, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : कौंध के $3\,\mathrm{s}$ बाद आती गड़गड़ाहट बिजली गिरने की जगह को $1\,\mathrm{km}$ दूर बिठा देती है। पानी में ध्वनि, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; इस्पात में, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । तनाव $F$ और प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान $\mu$ वाले तार पर अनुप्रस्थ तरंगें: $c = \sqrt{F/\mu}$ , जैसा विमीय विश्लेषण ने बताया था (अभ्यास 1.5) — गिटार के तार के लिए $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । निर्वात में प्रकाश, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; काँच में, $c/n$ । संचरण चाल माध्यम का गुण है, स्रोत का नहीं: फुसफुसाहट और चीख़, दोनों साथ ही पहुँचती हैं।

प्रतिज्ञप्ति 5.8 (ज्यावक्रीय प्रगामी तरंग)

कोई ज्यावक्रीय स्रोत $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ छोड़ता है

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

यह तरंग समय में आवर्ती है (आवर्तकाल $T$ ) और अवकाश में भी (आवर्त तरंगदैर्घ्य $\lambda$ ); $k$ तरंग संख्या है; और आपस में दूरी $d$ पर स्थित दो बिंदु कला-अंतर $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ के साथ दोलन करते हैं — समकला यदि $d = n\lambda$ हो, और विपरीत कला में यदि $d = (n + \tfrac12)\lambda$ हो। जिस चाल से कोई शिखर चलता है, $v_\varphi = \omega/k$ , वह कला वेग है; और यहाँ $v_\varphi = c$ ।

उपपत्ति. $f(u) = A\cos(\omega u)$ को $f(t - x/c)$ में रखिए। नियत $x$ पर संकेत $T = 2\pi/\omega$ के बाद दोहराता है; और नियत $t$ पर वह $\lambda$ के बाद दोहराता है, जहाँ $k\lambda = 2\pi$ । दो बिंदु $x_1$ , $x_2 = x_1 + d$ : उनकी कलाएँ $kd$ से भिन्न हैं। कोई शिखर ( $\omega t - kx = \text{नियत}$ ) $\dd x/\dd t = \omega/k$ से चलता है। ∎

ज्यावक्रीय प्रगामी तरंग की दुहरी आवर्तिता: नियत समय पर लिया गया चित्र हर तरंगदैर्घ्य के बाद दोहराता है और चाल c से सरकता है; और नियत बिंदु पर संकेत हर आवर्तकाल T के बाद दोहराता है, जहाँ = cT। — ज्यावक्रीय प्रगामी तरंग की दुहरी आवर्तिता: नियत समय पर लिया गया चित्र हर तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के बाद दोहराता है और चाल $c$ से सरकता है; और नियत बिंदु पर संकेत हर आवर्तकाल $T$ के बाद दोहराता है, जहाँ $\lambda = cT$ ।

परिभाषा 5.9 (वर्ण-विक्षेपण)

कोई माध्यम विक्षेपी तब है जब कला वेग आवृत्ति पर निर्भर करे। तब कोई अ-ज्यावक्रीय संकेत, जो ज्याओं का योग है, चलते-चलते विरूपित होता जाता है और उसके घटक एक-दूसरे से बिखर जाते हैं। हवा में ध्वनि और निर्वात में प्रकाश अविक्षेपी हैं; काँच में प्रकाश (अध्याय 2) और गहरे पानी पर तरंगें विक्षेपी हैं — दूर के किसी तूफ़ान से उठी लंबी लहर छोटी लहरों से एक दिन पहले पहुँच जाती है।

5.3 अध्यारोपण और व्यतिकरण

प्रमेय 5.10 (अध्यारोपण)

किसी रैखिक माध्यम में जब कई तरंगें साथ-साथ संचरित होती हैं, तब हर बिंदु पर और हर क्षण परिणामी संकेत उन संकेतों का योग होता है जो हर तरंग अकेली उत्पन्न करती।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 5.11 (रैखिकता)

अध्यारोपण माध्यम के समीकरणों के बारे में कथन है (जो संकेत में रैखिक हैं), और वह तब तक सच है जब तक आयाम छोटे रहें: पीड़ा की देहली से नीचे की ध्वनि, लेज़र से काटने वाली तीव्रताओं से नीचे का प्रकाश, धीरे से छेड़ा गया तार। प्रकाश के दो पुंज एक-दूसरे को बिना छेड़े पार कर जाते हैं; पानी की दो लहरें एक-दूसरे में से गुज़रकर साबुत निकल आती हैं। पर जहाँ वे एक-दूसरे पर पड़ती हैं वहाँ जो दिखता है, वही व्यतिकरण का विषय है।

प्रमेय 5.12 (एक ही आवृत्ति के दो ज्यावक्रीय संकेत)

जिस बिंदु पर एक ही आवृत्ति के दो ज्यावक्रीय संकेत आते हैं, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ और $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , वहाँ उनका योग उसी आवृत्ति की ज्या है, जिसका आयाम इस शर्त का पालन करता है:

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

जिन तरंगों की तीव्रता (प्रति एकांक क्षेत्रफल शक्ति) $A^2$ के समानुपाती होती है, उनके लिए तीव्रताएँ फ़्रेनल के सूत्र का पालन करती हैं:

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

व्यतिकरण संपोषी ( $A = A_1 + A_2$ ) तब है जब $\Delta\varphi = 2n\pi$ हो, और विनाशी ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) तब जब $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ हो, $n \in \Z$ ।

उपपत्ति. फैलाकर लिखिए: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ , जहाँ $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ । ज्यामितीय रूप में: $A$ लंबाइयों $A_1$ , $A_2$ वाले दो सदिशों के योग की लंबाई है, जो आपस में कोण $\Delta\varphi$ बनाते हैं (कोज्या नियम)। ∎

प्रतिज्ञप्ति 5.13 (समकला में दो स्रोत; पथांतर)

तरंगदैर्घ्य $\lambda$ पर समकला में उत्सर्जित करते दो स्रोत, जो दूरियों $d_1$ और $d_2$ पर हैं किसी बिंदु $M$ से, उसी $M$ पर $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ के साथ पहुँचते हैं, जहाँ $\delta = d_2 - d_1$ पथांतर है। $M$ पर व्यतिकरण संपोषी है यदि $\delta = n\lambda$ हो, और विनाशी यदि $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ हो।

उपपत्ति. हर तरंग अपनी यात्रा की कला-पिछड़न $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ के साथ पहुँचती है (प्रतिज्ञप्ति 5.8); और अंतर $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ है। अब प्रमेय 5.12 लगाइए। ∎

उदाहरण 5.14 (दो ध्वनिविस्तारक)

$2.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर रखे दो ध्वनिविस्तारक समकला में वही $850\,\mathrm{Hz}$ का स्वर बजाते हैं ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ )। लंब समद्विभाजक पर $\delta = 0$ : अतः हर जगह ऊँचा स्वर। उन्हें जोड़ते खंड के अनुदिश $\delta$ प्रति तरंगदैर्घ्य खिसकाव पर $2\lambda$ बदलता है, अतः शांत जगहें ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) हर $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ पर बैठती हैं — यानी एक अप्रगामी तरंग, जो अगले अनुभाग का विषय है। किसी एक ध्वनिविस्तारक का तार पलट दीजिए ताकि वह विपरीत कला में बजे, और ऊँचे तथा शांत स्थान आपस में जगह बदल लेंगे।

उदाहरण 5.15 (यंग के छिद्र)

दो सूक्ष्म छिद्र $S_1$ , $S_2$ , जो आपस में दूरी $a$ पर हैं और जिन्हें एक ही एकवर्णी स्रोत रोशन करता है (ताकि वे समकला में उत्सर्जित करें), प्रकाश को दूरी $D \gg a$ पर रखे परदे तक भेजते हैं। परदे के जिस बिंदु की अक्ष से ऊँचाई $x$ है, वहाँ पथांतर है

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

( $x \ll D$ के लिए: $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , और घटा दीजिए)। चमकीली फ़्रिंजें $x = n\lambda D/a$ पर: अतः फ़्रिंज-चौड़ाई है

i = \frac{\lambda D}{a} .

$a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ के साथ: $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — यानी एक पैमाना प्रकाश का तरंगदैर्घ्य नाप देता है। अपवर्तनांक $n$ के माध्यम में जो पथांतर काम में लेना चाहिए वह प्रकाशिक पथ है, यानी $n \times$ लंबाई, क्योंकि $\lambda = \lambda_0/n$ ।

यंग के छिद्र: समकला में दो स्रोत, आपस में दूरी a पर, दूर रखे परदे के बिंदु M तक ऐसे पथों से पहुँचते हैं जिनका अंतर ax/D है। परदे पर तीव्रता 4I_0 2(π x/i) चमकीली और अँधेरी फ़्रिंजों में बदलती रहती है, जिनका अंतराल i = D/a है। — यंग के छिद्र: समकला में दो स्रोत, आपस में दूरी $a$ पर, दूर रखे परदे के बिंदु $M$ तक ऐसे पथों से पहुँचते हैं जिनका अंतर $\delta \approx ax/D$ है। परदे पर तीव्रता $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ चमकीली और अँधेरी फ़्रिंजों में बदलती रहती है, जिनका अंतराल $i = \lambda D/a$ है।

टिप्पणी 5.16 (कलासंबद्धता)

फ़्रेनल का सूत्र नियत कला-अंतर मान लेता है। दो अलग-अलग लैंपों की कलाएँ प्रति सेकंड अरबों बार यादृच्छिक रूप से उछलती हैं; $\cos\Delta\varphi$ का औसत शून्य हो जाता है और तीव्रताएँ बस जुड़ जाती हैं: कोई फ़्रिंज नहीं। व्यतिकरण के लिए कलासंबद्ध स्रोत चाहिए — व्यवहार में, एक ही स्रोत से निकली दो तरंगें, चाहे दो छिद्रों से, दो झिरियों से, किसी पतली झिल्ली के दो फलकों से, या किसी पुंज-विभाजक से। एक ही जनित्र से चलते दो ध्वनिविस्तारक कलासंबद्ध हैं; दो गायक नहीं।

5.4 अप्रगामी तरंगें

प्रमेय 5.17 (अप्रगामी तरंग)

समान आयाम और समान आवृत्ति की, विपरीत दिशाओं में चलती दो ज्यावक्रीय तरंगें जुड़कर बनती हैं

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

यानी अप्रगामी तरंग: हर बिंदु समकला में (या विपरीत कला में) दोलन करता है, और उसका आयाम $2A\abs{\cos kx}$ स्थिति पर निर्भर करता है — निस्पंदों $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ पर शून्य, और प्रस्पंदों $x = n\lambda/2$ पर अधिकतम; निस्पंद आपस में $\lambda/2$ दूर हैं। कुछ भी संचरित नहीं होता: चर $x$ और $t$ अलग हो चुके हैं।

उपपत्ति. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ , जहाँ $a = \omega t - kx$ , $b = \omega t + kx$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 5.18 (दोनों सिरों पर बँधे तार के मोड)

लंबाई $L$ , संचरण चाल $c$ का कोई तार, जो $x = 0$ और $x = L$ पर बँधा है, ज्यावक्रीय अप्रगामी तरंग तभी सँभाल सकता है जब $L$ पूरे अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की संख्या हो:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

ये उसके मोड हैं; $f_1 = c/2L$ मूल स्वर है और $f_n$ उसके संनादी। एक सिरे पर $f_n$ के पास की आवृत्ति से चलाने पर तार मोड $n$ की आकृति में अनुनाद करता है (मेल्डे का प्रयोग); और छेड़ने पर वह मोडों के अध्यारोपण में कंपित होता है, तथा कान $f_1$ को तारत्व की तरह सुनता है।

उपपत्ति. बँधा सिरा निस्पंद होता है। $x = L$ पर परावर्तित तरंग लौटकर आती है और आपतित तरंग पर अध्यारोपित होकर अप्रगामी तरंग बनाती है; उसका निस्पंद $x = 0$ पर भी पड़े, इसके लिए $\cos kx$ की जगह $\sin kx$ रखना होगा (मूल बिंदु खिसकाकर) और $\sin kL = 0$ चाहिए: यानी $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ , और $f_n = c/\lambda_n$ । ∎

दोनों सिरों पर बँधे तार के पहले तीन मोड: n अर्ध-तरंगदैर्घ्य L में समाते हैं; तार दोनों चरम आकृतियों (गहरी और हलकी) के बीच झूलता है, और निस्पंद स्थिर रहते हैं। आवृत्तियाँ f_n = nf_1। — दोनों सिरों पर बँधे तार के पहले तीन मोड: $n$ अर्ध-तरंगदैर्घ्य $L$ में समाते हैं; तार दोनों चरम आकृतियों (गहरी और हलकी) के बीच झूलता है, और निस्पंद स्थिर रहते हैं। आवृत्तियाँ $f_n = nf_1$ ।

उदाहरण 5.19 (गिटार का एक तार)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ पर सुर में: $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ के साथ तनाव $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — यानी हर तार से दस किलोग्राम लटका हुआ। बारहवें फ़्रेट पर दबी उँगली $L$ को आधा कर देती है और $f_1$ को दुगुना: यानी अष्टक। मध्यबिंदु को केवल छूती उँगली वहाँ निस्पंद बना देती है और हर विषम मोड मार देती है: तार $2f_1$ पर बजता है, जो गिटार बजाने वालों का “हार्मोनिक” है।

टिप्पणी 5.20 (नलियाँ, और एक झलक)

बाँसुरी का वायु-स्तंभ, जो दोनों सिरों पर खुला है, दोनों सिरों पर दाब-निस्पंद रखता है और उसके मोड वही $f_n = nc/2L$ होते हैं; जबकि एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है, अतः $L = (2n + 1)\lambda/4$ और केवल विषम संनादी $f = (2n + 1)c/4L$ बजते हैं — यही शहनाई-जैसी खोखली गुणता है। इस प्रकार दो दीवारों के बीच बाँधी गई तरंग की आवृत्तियाँ क्वांटीकृत हो जाती हैं; और जब वह तरंग किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन की द्रव्य तरंग हो, तब अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की यही गिनती उसकी ऊर्जा को क्वांटीकृत कर देती है (अध्याय 30)।

5.5 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

कौंध के $6.0\,\mathrm{s}$ बाद गड़गड़ाहट आती है: बिजली कितनी दूर गिरी? पानी ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) में सोनार का एक स्पंद $0.40\,\mathrm{s}$ बाद लौटता है: समुद्र-तल कितना गहरा है?

हल

हल — अभ्यास 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ । आना-जाना दोनों: गहराई $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 5.2 ★

$440\,\mathrm{Hz}$ की ध्वनि तरंग हवा ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) में चलती है। उसका तरंगदैर्घ्य निकालिए, संचरण की दिशा में $20\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर रखे दो माइक्रोफ़ोनों के बीच कला-अंतर, और वे दूरियाँ जिन पर दो बिंदु समकला में दोलन करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ); और समकला में तब जब अंतराल $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ हो।

अभ्यास 5.3 ★

किसी तार का तनाव $80\,\mathrm{N}$ और प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ है: $c$ निकालिए, और उस पर $200\,\mathrm{Hz}$ की तरंग का तरंगदैर्घ्य।

हल

हल — अभ्यास 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 5.4 ★

$440\,\mathrm{Hz}$ का द्विभुज और $444\,\mathrm{Hz}$ का तार: प्रति सेकंड कितने विस्पंद? अन्वालोप का आवर्तकाल क्या है? तार ढीला किया जाता है और विस्पंद धीमे होकर $1\,\mathrm{Hz}$ रह जाते हैं: अब उसकी आवृत्ति क्या है (सिद्धांततः दो उत्तर — कौन-सा, और आप कैसे जाँचेंगे)?

हल

हल — अभ्यास 5.4.

$444 - 440 = 4$ विस्पंद प्रति सेकंड; अन्वालोप का आवर्तकाल $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ । ढीला करने से तार नीचे उतरता है: $441\,\mathrm{Hz}$ ( $439\,\mathrm{Hz}$ तक पहुँचने के लिए $440\,\mathrm{Hz}$ के सन्नाटे से होकर गुज़रना पड़ता); जाँच यह कि थोड़ा और ढीला कीजिए: विस्पंद पहले लुप्त होंगे, फिर लौटेंगे।

अभ्यास 5.5 ★★

$0.60\,\mathrm{m}$ लंबा एक तार, $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , दोनों सिरों पर बँधा है। पहले तीन मोडों की आवृत्तियाँ और तीसरे मोड के निस्पंदों की स्थितियाँ दीजिए। तार को कहाँ छूना चाहिए ताकि वह $600\,\mathrm{Hz}$ पर बजे?

हल

हल — अभ्यास 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; $400$ , $600\,\mathrm{Hz}$ । तीसरा मोड: निस्पंद $0$ , $0.20$ , $0.40$ , $0.60\,\mathrm{m}$ पर। किसी सिरे से $20\,\mathrm{cm}$ (या $40\,\mathrm{cm}$ ) पर छूइए: वहाँ निस्पंद केवल $n = 3, 6, \dots$ बचाता है, और तार $600\,\mathrm{Hz}$ पर बजता है।

अभ्यास 5.6 ★★

$2.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर रखे दो ध्वनिविस्तारक समकला में $850\,\mathrm{Hz}$ उत्सर्जित करते हैं ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )। उन्हें जोड़ते खंड पर शांत जगहें खोजिए, और बताइए कि लंब समद्विभाजक पर चलता श्रोता क्या सुनता है। यदि एक ध्वनिविस्तारक विपरीत कला में जोड़ दिया जाए तो क्या बदलेगा?

हल

हल — अभ्यास 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ । खंड पर, ध्वनिविस्तारक 1 से दूरी $x$ पर, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; सन्नाटा तब जब $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : यानी $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, हर $20\,\mathrm{cm}$ पर; मध्यबिंदु ऊँचा है। समद्विभाजक पर $\delta = 0$ : अतः पूरे रास्ते ऊँचा (केवल $1/r$ की क्षीणता)। विपरीत कला: ऊँचा और शांत जगह बदल लेते हैं — मध्यबिंदु पर सन्नाटा और उससे हर $20\,\mathrm{cm}$ पर।

अभ्यास 5.7 ★★

यंग के छिद्र: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , सोडियम प्रकाश $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ । फ़्रिंज-चौड़ाई निकालिए; फिर $450\,\mathrm{nm}$ के नीले प्रकाश के लिए; और सोडियम लैंप के साथ केंद्र के आसपास $2.0\,\mathrm{cm}$ में कितनी चमकीली फ़्रिंजें समाती हैं?

हल

हल — अभ्यास 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; नीले के लिए $3.4\,\mathrm{mm}$ । $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ में: फ़्रिंजें $0$ , $\pm 4.4$ , $\pm 8.8$ mm पर — यानी पाँच।

अभ्यास 5.8 ★★

तीव्रताओं $I_0$ और $I_0$ की दो कलासंबद्ध तरंगें व्यतिकरण करती हैं: $I_{\max}$ और $I_{\min}$ दीजिए। यही प्रश्न $I_0$ और $I_0/4$ के लिए। विषमता $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ को परिभाषित कीजिए और दोनों स्थितियों में उसे निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

बराबर: $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , विषमता $1$ । $I_0$ और $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; विषमता $2.0/2.5 = 0.8$ ।

अभ्यास 5.9 ★★

$0.50\,\mathrm{m}$ लंबी एक नली ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )। उसकी पहली तीन अनुनाद आवृत्तियाँ दीजिए, पहले यह मानकर कि वह एक सिरे पर बंद है, फिर यह कि वह दोनों सिरों पर खुली है। इनमें शहनाई कौन-सी है और बाँसुरी कौन-सी?

हल

हल — अभ्यास 5.9.

बंद–खुली: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ , $850\,\mathrm{Hz}$ (केवल विषम संनादी: यानी शहनाई)। खुली–खुली: $nc/2L = 340$ , $680$ , $1020\,\mathrm{Hz}$ (यानी बाँसुरी)।

अभ्यास 5.10 ★★★

गहरे पानी पर किसी ज्यावक्रीय तरंग का कला वेग $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ होता है। $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ और $100\,\mathrm{m}$ के लिए उसे निकालिए। $1000\,\mathrm{km}$ दूर का कोई तूफ़ान दोनों उठाता है: कौन-सी लहर तट पर पहले पहुँचेगी, और कितनी जल्दी? इससे समुद्र “विक्षेपी” क्यों बन जाता है?

हल

हल — अभ्यास 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और $100\,\mathrm{m}$ के लिए $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । लंबी लहर पहले: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ बनाम $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , यानी दो दिन पहले। चाल तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करती है: अतः मिला-जुला समुद्र चलते-चलते ख़ुद को तरंगदैर्घ्य के अनुसार छाँट लेता है — यही वर्ण-विक्षेपण है।

अभ्यास 5.11 ★★★

दिखाइए कि तार को एक सिरे से $L/3$ पर हलके से छूने पर केवल आवृत्तियों $3f_1, 6f_1, \dots$ वाले मोड बचते हैं, और यह कि तार को उसके मध्यबिंदु पर छेड़ने से कोई सम मोड उत्तेजित नहीं होता। (संकेत: उस बिंदु पर कोई निस्पंद, या कोई अधिकतम विस्थापन, हर मोड के $\sin(n\pi x/L)$ से क्या माँगता है?)

हल

हल — अभ्यास 5.11.

मोड $n$ की आकृति $\sin(n\pi x/L)$ है। $x = L/3$ पर बलपूर्वक निस्पंद बनाने के लिए $\sin(n\pi/3) = 0$ चाहिए, यानी $n$ $3$ का गुणज हो: अतः आवृत्तियाँ $3f_1, 6f_1, \dots$ । $L/2$ पर छेड़ने से तार को वहाँ अधिकतम विस्थापन मिलता है, और इसमें मोड $n$ का योगदान तभी हो सकता है जब $\sin(n\pi/2) \neq 0$ हो: अतः सम मोडों को, जिनका $L/2$ पर निस्पंद है, कुछ नहीं मिलता।

अभ्यास 5.12 ★★★

किसी धातु की दीवार के सामने दूरी $d$ पर रखे रेडियो अभिग्राही को दूर के प्रेषक से सीधी तरंग मिलती है और दीवार से परावर्तित तरंग भी, जो $2d$ अधिक चलती है और परावर्तन पर $\pi$ की अतिरिक्त कला ले लेती है। $f = 100\,\mathrm{MHz}$ पर वे दूरियाँ $d$ निकालिए जिन पर संकेत लुप्त हो जाता है और वे जिन पर वह सबसे प्रबल है। इससे सुरंग में कार-रेडियो के “मृत स्थल” कैसे समझ में आते हैं?

हल

हल — अभ्यास 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ । कला-अंतर $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; विनाशी तब जब वह $(2m + 1)\pi$ के बराबर हो: $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; और संपोषी तब जब $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m। सुरंग की दीवारें और छत तरंग को परावर्तित करती हैं: अतः कार के रास्ते पर हर अर्ध-तरंगदैर्घ्य पर मृत स्थलों वाला एक अप्रगामी प्रतिरूप बन जाता है।

5.6 समस्या: मेल्डे का तार और गिटार

समस्या 5.1

सप्ताहांत समस्या — प्रयोग-मेज़ पर कंपित होता एक तार, एक घिरनी और कुछ बाट, फिर एक गिटार: अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की गिनती कैसे फ़्रेटबोर्ड के हर स्वर को तय कर देती है

प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान $\mu$ का एक तार क्षैतिज रूप से तनाव $F$ के साथ $x = L$ पर रखे एक छोटे विद्युतचुंबकीय कंपित्र (जो उसे आवृत्ति $f$ पर नन्हे आयाम से अनुप्रस्थ हिलाता है) और $x = 0$ पर एक बँधे बिंदु के बीच तना है; उस पर अनुप्रस्थ तरंगें $c = \sqrt{F/\mu}$ से चलती हैं (जो वर्ष 2 के खंड में व्युत्पन्न है)।

भाग I — तार पर तरंगें।

विमीय विश्लेषण से जाँचिए कि $\sqrt{F/\mu}$ एक चाल है।
कंपित्र $x = 0$ की ओर तरंग $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ भेजता है। चिह्न $+kx$ क्यों? $k$ को $f$ और $c$ के पदों में दीजिए।
$\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ और $f = 50\,\mathrm{Hz}$ के लिए $c$ , $\lambda$ और $k$ निकालिए।
तार के दो बिंदु आपस में $15\,\mathrm{cm}$ दूर हैं। इस प्रगामी तरंग के लिए उनकी गतियों के बीच कला-अंतर क्या है?
$A = 2.0\,\mathrm{mm}$ के लिए तार के किसी बिंदु का अधिकतम अनुप्रस्थ वेग क्या है? $c$ से उसकी तुलना कीजिए।

भाग II — परावर्तन और अप्रगामी तरंग। बँधे सिरे $x = 0$ पर तरंग चिह्न उलटकर परावर्तित होती है: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ ।

परावर्तित तरंग की कला में $-kx$ क्यों होना चाहिए, और आयाम क्यों उलट जाता है (सोचिए कि $x = 0$ पर कुल संकेत क्या होना चाहिए)?
दिखाइए कि $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ ।
निस्पंद और प्रस्पंद खोजिए; दो पड़ोसी निस्पंदों के बीच की दूरी दीजिए।
कंपित्र का अपना आयाम इतना छोटा है कि $x = L$ व्यवहार में निस्पंद ही है। इससे बड़ी अप्रगामी तरंग (अनुनाद) के लिए $L$ पर शर्त निकालिए, और अनुमत आवृत्तियाँ $f_n$ ।
$L = 1.20\,\mathrm{m}$ और प्रश्न 3 के आँकड़ों के साथ, कितने अर्ध-तरंगदैर्घ्य (“लूप”) दिखते हैं? क्या तार अनुनाद में है?
$f = 50\,\mathrm{Hz}$ और $L$ वही रखते हुए, कौन-से तनाव $3$ और $6$ लूपों वाले अनुनाद देंगे?
इसके उलट, $\mu$ नापने के लिए लूप गिने जाते हैं: $1.20\,\mathrm{m}$ पर $F = 1.6\,\mathrm{N}$ के साथ $50\,\mathrm{Hz}$ पर $3$ लूप मिलते हैं, तो $\mu$ निकालिए।
तनाव किसी घिरनी पर लटके द्रव्यमान $m$ से बिठाया जाता है, $F = mg$ , जहाँ $163\,\mathrm{g}$ में से $m$ $\pm1\,\mathrm{g}$ तक ज्ञात है और $L$ $\pm2\,\mathrm{mm}$ तक। कौन-सा मापन $\mu$ को सीमित करता है, और उसकी सापेक्ष अनिश्चितता कितनी है?

भाग III — गिटार। कंपन-लंबाई $L = 650\,\mathrm{mm}$ के छह तार $82.4\,\mathrm{Hz}$ (निचला E), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ और $329.6\,\mathrm{Hz}$ (ऊपरी E) पर सुर में बिठाए गए हैं।

कान किस मोड को तारत्व मानता है? हर तार पर $c$ को $L$ और तारत्व से व्यक्त कीजिए, और दोनों E तारों के लिए उसे निकालिए।
निचले E तार का $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ है और ऊपरी E का $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : उनके तनाव निकालिए। मंद्र तारों पर धातु क्यों लपेटी जाती है, उन्हें और कसकर क्यों नहीं तान दिया जाता?
पश्चिमी संगीत अष्टक को बारह बराबर अर्धस्वरों में बाँटता है: हर फ़्रेट आवृत्ति को $2^{1/12}$ से गुणा करता है। दिखाइए कि $n$ -वाँ फ़्रेट शीर्ष-पट्टी से दूरी $L(1 - 2^{-n/12})$ पर बैठना चाहिए, और फ़्रेट $1$ , $5$ , $7$ तथा $12$ की स्थितियाँ निकालिए।
फ़्रेटों का अंतराल गर्दन की ओर चढ़ते हुए घटता जाता है: एक फ़्रेट से अगले तक कितने गुना?
फ़्रेट $3$ पर कसा गया कैपो हर तार को छोटा कर देता है: वह हर तारत्व को कितने गुना ऊपर उठाता है, और नई कंपन-लंबाई क्या है?
निचले E तार को फ़्रेट $12$ के ऊपर, फिर फ़्रेट $7$ के ऊपर ( $L/3$ पर) छूने से (दबाने से नहीं) दो “हार्मोनिक” मिलते हैं: कौन-सी आवृत्तियाँ, और कौन-से मोड बचते हैं?
ब्रिज के पास छेड़ना ध्वनि-छिद्र के ऊपर छेड़ने से अधिक चमकीला सुनाई देता है। मोडों की आकृतियों से समझाइए।
दो तार आपस में एक पंचम की दूरी पर सुर में हैं ( $f_2 = 1.5f_1$ )। उन्हें साथ बजाने पर श्रोता को निचले तार के तीसरे संनादी और ऊपरी तार के दूसरे संनादी के बीच $2\,\mathrm{Hz}$ का मंद विस्पंद सुनाई देता है: वास्तविक अनुपात $f_2/f_1$ क्या है, यदि $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ हो?

भाग IV — द्विभुज से सुर मिलाना।

A तार ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) को $440\,\mathrm{Hz}$ के द्विभुज के सामने सुर में बिठाया जाता है। तार का कौन-सा संनादी द्विभुज से विस्पंद करता है? यदि प्रति सेकंड $3\,$ विस्पंद सुनाई दें, तो तार की दो संभव आवृत्तियाँ क्या हैं?
खूँटी घुमाने से तनाव थोड़ा बढ़ता है और विस्पंद तेज़ हो जाते हैं: तो दोनों में से कौन-सी थी, और सही तारत्व तक पहुँचने के लिए तनाव को कितना सापेक्ष बदलना होगा?
दिखाइए कि तनाव में सापेक्ष परिवर्तन $\dd F/F$ आवृत्ति को $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ से बदलता है।
परिणामों की शृंखला का सार लिखिए: तार की लंबाई, तनाव और द्रव्यमान उसका मूल स्वर कैसे तय करते हैं, फ़्रेट स्वरग्राम कैसे तय करते हैं, और विस्पंद उसे कैसे सुर में बिठाते हैं — और इन सबके पीछे बैठे इकलौते संबंध का नाम लीजिए।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : यानी चाल का वर्ग।

2. $-x$ की ओर चलती तरंग $t + x/c$ पर निर्भर करती है, यानी $\omega t + kx$ पर; और $k = \omega/c = 2\pi f/c$ ।

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ।

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी $c$ से पचास गुना कम: तार के बिंदु धीरे हिलते हैं जबकि आकृति दौड़ती चली जाती है।

6. वह $+x$ की ओर चलती है: अतः कला $\omega t - kx$ । बँधे सिरे पर कुल विस्थापन हर क्षण शून्य रहता है: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ ।

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , अतः $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ ।

8. निस्पंद: $\sin kx = 0$ , यानी $x = n\lambda/2$ ; प्रस्पंद $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; और पड़ोसी निस्पंद आपस में $\lambda/2$ दूर।

9. $\sin kL = 0$ : यानी $L = n\lambda/2$ , अर्थात् $f_n = nc/2L$ ।

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : चार लूप, यानी पूर्णांक — अतः अनुनाद।

11. $3$ लूप: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ । $6$ लूप: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ ।

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; अतः द्रव्यमान ही सीमित करता है।

14. मूल स्वर। $c = 2Lf_1$ : निचला E $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ऊपरी E $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

15. $F = \mu c^2$ : निचला E $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; ऊपरी E $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — यानी तुलनीय तनाव। $f$ को $4$ के गुणक से नीचे लाने के लिए, $L$ और $\mu$ नियत रखते हुए, $16$ गुना कम तनाव चाहिए होता: यानी लचर, भिनभिनाता तार। इसलिए लपेटन $\mu$ बढ़ा देता है।

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ और $f \propto 1/L$ : अतः $L_n = 2^{-n/12}L$ , और शीर्ष-पट्टी से दूरी $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : फ़्रेट 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , फ़्रेट 5 $163\,\mathrm{mm}$ , फ़्रेट 7 $216\,\mathrm{mm}$ , फ़्रेट 12 $325\,\mathrm{mm}$ ।

17. हर अंतराल पिछले का $2^{-1/12} = 0.944$ गुना है।

18. गुणक $2^{3/12} = 1.19$ (तीन अर्धस्वर); लंबाई $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ ।

19. $L/2$ पर छूने से: केवल सम मोड, तारत्व $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; और $L/3$ पर: $3$ के गुणज, तारत्व $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ ।

20. किसी सिरे के पास $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ $n$ के साथ बढ़ता है: अतः ऊँचे मोड अपेक्षाकृत अधिक उत्तेजित होते हैं — यानी चमकीला। ध्वनि-छिद्र के ऊपर (लगभग बीच में) सम मोड दुर्बल रहते हैं और मूल स्वर हावी रहता है — यानी मधुर।

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ $2f_2$ के साथ $2\,\mathrm{Hz}$ पर विस्पंद करता है: $f_2 = 166$ या $164\,\mathrm{Hz}$ , यानी अनुपात $1.509$ या $1.491$ (समतुल्य-मूर्च्छना वाला पंचम $2^{7/12} = 1.498$ है)।

22. चौथा संनादी, $4f$ । तीन विस्पंद: $4f = 437$ या $443\,\mathrm{Hz}$ , अतः $f = 109.25$ या $110.75\,\mathrm{Hz}$ ।

23. कसने पर विस्पंद तेज़ होते हैं, अतः तार ऊँचा था: $110.75\,\mathrm{Hz}$ । उसे $0.75/110.75 = 0.68\%$ गिरना होगा, यानी तनाव को $1.4\%$ ।

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , अतः $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{नियत}$ और $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ ।

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : लंबाई $\lambda_1 = 2L$ तय करती है, तनाव और द्रव्यमान $c$ तय करते हैं, फ़्रेट $L$ को $2^{-n/12}$ से पैमाना देते हैं, और विस्पंद $f - f_{\text{संदर्भ}}$ उजागर करते हैं। इन सबके पीछे एक ही संबंध: $\lambda f = c$ , अप्रगामी तरंग की शर्त $L = n\lambda/2$ के साथ।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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