विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

20अणुगति सिद्धांत और आदर्श गैस

किसी कक्षा की हवा का भार किसी वयस्क आदमी जितना होता है, और उसमें अणु पृथ्वी की सारी रेत के कणों से भी अधिक होते हैं; हर अणु किसी राइफ़ल की गोली की चाल से उड़ता है और सेकंड में दस अरब बार अपने पड़ोसियों से टकराता है। उनमें से किसी एक का पीछा कोई नहीं कर सकता; और करने की ज़रूरत भी नहीं। कुछ ही औसत — दाब, ताप, आयतन, मात्रा — अभियांत्रिकी के हर प्रयोजन के लिए उस हवा का पूरा वर्णन कर देते हैं, और दीवारों से टकराकर लौटते अणुओं का एक सीधा-सादा चित्र बता देता है कि वे औसत आते कहाँ से हैं और आपस में कैसे जुड़े हैं। यह अध्याय पदार्थ को उसके दोनों सिरों से देखकर इस खंड का ऊष्मागतिकी वाला भाग खोलता है: सूक्ष्म अव्यवस्था और स्थूल शांति, तथा वह अणुगति सिद्धांत जो आदर्श गैस की स्थिति में दोनों को जोड़ देता है।

20.1 वर्णन के दो पैमाने

परिभाषा 20.1 (सूक्ष्म और स्थूल पैमाने)

सूक्ष्म पैमाने पर पदार्थ अणुओं से बना है: $1\,\mathrm{mol}$ में $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ अणु होते हैं, और हर एक लगभग $0.3\,\mathrm{nm}$ चौड़ा; साधारण परिस्थितियों की किसी गैस में वे $3\,\mathrm{nm}$ की दूरी पर रहते हैं, सैकड़ों मीटर प्रति सेकंड से चलते हैं और लगभग हर $70\,\mathrm{nm}$ पर टकराते हैं। स्थूल पैमाने पर किसी निकाय का वर्णन कुछ ही अवस्था चरों से होता है — दाब $P$ , आयतन $V$ , ताप $T$ , पदार्थ की मात्रा $n$ — जो अणुओं की विशाल संख्याओं पर लिए गए औसत हैं। कोई चर विस्तीर्ण कहलाता है यदि निकाय दुगुना करने पर वह भी दुगुना हो जाए ( $V$ , $n$ , द्रव्यमान, ऊर्जा), और गहन यदि न हो ( $P$ , $T$ , घनत्व)।

परिभाषा 20.2 (ऊष्मागतिक साम्य)

कोई निकाय ऊष्मागतिक साम्य में तब होता है जब उसके अवस्था चर एकसमान और समय में अचर हों और उसे पार करता पदार्थ या ऊर्जा का कोई स्थूल प्रवाह न हो। तभी पूरे निकाय के लिए $P$ और $T$ परिभाषित होते हैं; और अवस्था समीकरण उन्हें $V$ तथा $n$ से जोड़ता है।

परिभाषा 20.3 (दाब)

विराम में पड़ा कोई तरल किसी दीवार के हर पृष्ठ-अवयव $\dd S$ पर उस पर लंब और दीवार की ओर बल $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ लगाता है; $P$ ही दाब है, जो पास्कल में मापा जाता है ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ); $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ । किसी दिए हुए बिंदु पर वह पृष्ठ की दिशा पर निर्भर नहीं करता (अध्याय 21)।

परिभाषा 20.4 (ताप)

ऊर्जा को गुज़रने देने वाली किसी दीवार से जुड़े दो निकाय समय के साथ एक उभयनिष्ठ अवस्था तक पहुँच जाते हैं: तब वे एक ही ताप पर होते हैं, और जो दो पिंड किसी तीसरे के साथ साम्य में हों वे आपस में भी साम्य में रहते हैं (शून्यवाँ नियम)। केल्विन मापनी ठीक-ठीक $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ से नियत है; सेल्सियस: $\theta = T - 273.15$ । नीचे का अणुगति सिद्धांत $T$ को उसका सूक्ष्म अर्थ देता है।

20.2 आदर्श गैस का अणुगति प्रतिरूप

परिभाषा 20.5 (आदर्श गैस, सूक्ष्म प्रतिरूप)

आदर्श गैस (परिपूर्ण गैस) $N$ अणुओं का ऐसा समूह है, जिन्हें $m$ द्रव्यमान के बिंदु मान लिया जाता है और जो $V$ आयतन के किसी पात्र में स्वतंत्र रूप से तथा यादृच्छिक ढंग से चलते हैं — छोटी-छोटी टक्करों को छोड़कर कोई अन्योन्यक्रिया नहीं। साम्य में वेग-वितरण समदैशिक और अचर रहता है; $n^* = N/V$ संख्या घनत्व है और $\langle v^2\rangle$ माध्य वर्ग चाल।

प्रमेय 20.6 (गतिज दाब)

गैस दीवारों पर जो दाब लगाती है वह यह है

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

जहाँ $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ किसी अणु की माध्य गतिज ऊर्जा है।

आंशिक उपपत्ति. वह सरलीकृत प्रतिरूप लीजिए जिसमें सभी अणुओं की चाल $u$ है और वे तीनों अक्षों के अनुदिश चलते हैं, हर दिशा में छठा हिस्सा। दीवार $x = 0$ से सीधे टकराता कोई अणु प्रत्यास्थ रूप से लौट आता है और उसे $2mu$ संवेग दे जाता है। समय $\dd t$ में, दीवार की ओर चलते जो अणु $S$ क्षेत्रफल तक पहुँचते हैं वे $u\,\dd t$ मोटी उस परत के भीतर वाले हैं, यानी वहाँ के $n^*Su\,\dd t$ अणुओं का छठा हिस्सा। बल $=$ प्रति समय संवेग $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , अतः $P = \tfrac13 n^*mu^2$ । चालों और दिशाओं के वास्तविक वितरण पर औसत लेने से $u^2$ की जगह $\langle v^2\rangle$ आ जाती है (समदैशिकता से $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ); वर्ष 2 का खंड इसे पूरा-पूरा करता है। ∎

बाएँ: दाब का गतिज मूल — दीवार से टकराकर लौटते अणु उसे संवेग दे जाते हैं; उनकी प्रति सेकंड संख्या गुणा 2mu ही बल है। दाएँ: वास्तविक चालें फैली हुई होती हैं (मैक्सवेल का वितरण, यहाँ दो तापों पर नाइट्रोजन के लिए); और प्रतिरूप की एकमात्र u की जगह वर्ग-माध्य-मूल चाल ले लेती है। — बाएँ: दाब का गतिज मूल — दीवार से टकराकर लौटते अणु उसे संवेग दे जाते हैं; उनकी प्रति सेकंड संख्या गुणा $2mu$ ही बल है। दाएँ: वास्तविक चालें फैली हुई होती हैं (मैक्सवेल का वितरण, यहाँ दो तापों पर नाइट्रोजन के लिए); और प्रतिरूप की एकमात्र $u$ की जगह वर्ग-माध्य-मूल चाल ले लेती है।

परिभाषा 20.7 (गतिज ताप; अवस्था समीकरण)

आदर्श गैस का ताप उसके अणुओं की माध्य गतिज ऊर्जा से परिभाषित होता है,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

अतः प्रमेय 20.6 के साथ मिलाने पर,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

यही आदर्श गैस का अवस्था समीकरण है। वर्ग-माध्य-मूल चाल $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ है, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।

उदाहरण 20.8 (हवा के आँकड़े)

$300\,\mathrm{K}$ पर नाइट्रोजन: $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; हाइड्रोजन, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; जो जितना भारी वह उतना ही धीमा, $1/\sqrt M$ की तरह। $1\,\mathrm{bar}$ और $300\,\mathrm{K}$ पर, $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : यानी प्रति मोल $24\,\mathrm{L}$ , और एक लीटर में $2.7 \times 10^{22}\,$ अणु। $200\,\mathrm{m}^{3}$ की किसी कक्षा में: $8300\,\mathrm{mol}$ , यानी $240\,\mathrm{kg}$ हवा।

टिप्पणी 20.9 (प्रतिरूप काम क्यों करता है, और कब विफल होता है)

दो टक्करों के बीच हवा का कोई अणु माध्य मुक्त पथ $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ उड़ता है — यानी अपने आकार से दो सौ गुना: गैस अधिकतर खाली है, अन्योन्यक्रियाएँ विरल हैं, और साधारण दाबों पर $PV = nRT$ एक प्रतिशत से भी अच्छी यथार्थता तक लागू रहता है। ऊँचे दाब या नीचे ताप पर अणुओं का अपना आयतन और उनका आकर्षण मायने रखने लगते हैं: वान डेर वाल्स का समीकरण $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ दोनों का संशोधन कर देता है, और किसी क्रांतिक ताप से नीचे गैस द्रवित हो जाती है (अध्याय 25)।

आदर्श गैस का क्लैपेरॉन आरेख: हर ताप पर समतापी वक्र कोई अतिपरवलय P = nRT/V होता है, और ऊँचे T के लिए ऊपर। कोई रूपांतरण इस तल में एक पथ है; और कोई चक्र, एक बंद पाश ()। — आदर्श गैस का क्लैपेरॉन आरेख: हर ताप पर समतापी वक्र कोई अतिपरवलय $P = nRT/V$ होता है, और ऊँचे $T$ के लिए ऊपर। कोई रूपांतरण इस तल में एक पथ है; और कोई चक्र, एक बंद पाश (अध्याय 24)।

20.3 आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा

परिभाषा 20.10 (आंतरिक ऊर्जा)

किसी निकाय की आंतरिक ऊर्जा $U$ उस तंत्र में, जिसमें निकाय विराम में है, उसके अणुओं की गतिज ऊर्जाओं तथा उनकी पारस्परिक स्थितिज ऊर्जाओं का योग है; यह एक विस्तीर्ण अवस्था फलन है।

प्रतिज्ञप्ति 20.11 (आदर्श गैसों की आंतरिक ऊर्जा)

आदर्श गैस के लिए $U$ केवल $T$ पर निर्भर करता है (जूल का पहला नियम):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{एकपरमाणुक: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{साधारण तापों पर द्विपरमाणुक: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

अतः स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ क्रमशः $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ और $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ होती है।

आंशिक उपपत्ति. परिकल्पना से कोई पारस्परिक स्थितिज ऊर्जा नहीं है, अतः बिंदु-अणुओं के लिए $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ । कोई द्विपरमाणुक अणु घूमता भी है: साम्य में उसकी दोनों घूर्णी स्वातंत्र्य-कोटियों में से हर एक उतनी ही $\tfrac12 k_BT$ लिए रहती है जितनी हर स्थानांतरी कोटि (ऊर्जा-समविभाजन प्रमेय, स्वीकृत; वर्ष 3 का खंड उसे व्युत्पन्न करता है और समझाता है कि कंपन एक हज़ार केल्विन से ऊपर ही क्यों शामिल होता है)। ∎

उदाहरण 20.12 (एक कमरे भर की ऊर्जा)

$300\,\mathrm{K}$ पर कक्षा की $8300\,\mathrm{mol}$ हवा: $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — यानी डेढ़ लीटर पेट्रोल जितनी ऊर्जा, जो आणविक गति में धरी है। कमरे को $1$ केल्विन गरम करने में $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ लगते हैं (स्थिर आयतन पर)।

20.4 संघनित प्रावस्थाएँ

प्रतिज्ञप्ति 20.13 (असंपीड्य, अप्रसार्य प्रावस्था का प्रतिरूप)

द्रवों और ठोसों को, इस स्तर पर, स्थिर आयतन की ऐसी प्रावस्थाएँ मान लिया जाता है — न संपीड्य, न प्रसार्य — जिनकी आंतरिक ऊर्जा केवल $T$ पर निर्भर करती है: $\dd U = C\,\dd T$ , जहाँ $C = mc$ है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता (पानी के लिए $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , इस्पात के लिए $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )। वास्तविक, छोटे विचलन तापीय प्रसार गुणांक $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ से मापे जाते हैं (धातुओं के लिए $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ , द्रवों के लिए $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) और समतापी संपीड्यता $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ से (पानी के लिए $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ , जबकि किसी गैस के लिए $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ )।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 20.14 (कितनी असंपीड्य)

मारियाना खाई की तली का पानी ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ संपीडित होता है; और $50$ केल्विन गरम की गई $30\,\mathrm{m}$ की इस्पात-पटरी $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ लंबी हो जाती है — यही प्रसार-संधियों का कारण है। दाब दुगुना करने पर जिसका आयतन आधा हो जाता है, उस गैस के सामने स्थिर आयतन का प्रतिरूप इस खंड की अधिकांश स्थितियों में कुछ प्रतिशत तक ठीक बैठता है।

20.5 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

$0{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $1\,\mathrm{atm}$ पर $1.0\,\mathrm{L}$ गैस में अणुओं की संख्या; पड़ोसियों के बीच माध्य दूरी; और $0.3\,\mathrm{nm}$ के आणविक आकार से तुलना।

हल

हल — अभ्यास 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , यानी आणविक आकार का दस गुना।

अभ्यास 20.2 ★

$300\,\mathrm{K}$ पर H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ और CO $_2$ की, तथा $77\,\mathrm{K}$ (उबलती नाइट्रोजन) पर N $_2$ की वर्ग-माध्य-मूल चालें।

हल

हल — अभ्यास 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $77\,\mathrm{K}$ पर N $_2$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 20.3 ★

$30\,\mathrm{L}$ आयतन का कोई कार-टायर $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $2.5\,\mathrm{bar}$ के प्रमापी दाब तक भरा जाता है। भीतर की हवा की मात्रा और द्रव्यमान; और उसे $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गरम कर देने वाली यात्रा के बाद निरपेक्ष दाब।

हल

हल — अभ्यास 20.3.

निरपेक्ष $P = 3.5\,\mathrm{bar}$ : $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , यानी $125\,\mathrm{g}$ । $323\,\mathrm{K}$ पर, $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ (प्रमापी $2.85\,\mathrm{bar}$ )।

अभ्यास 20.4 ★

$1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ पर हवा के अणुओं का माध्य मुक्त पथ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ) आँकिए, और किसी एक अणु की टक्कर-आवृत्ति। किस दाब पर माध्य मुक्त पथ $1\,\mathrm{m}$ तक पहुँच जाता है (यानी “निर्वात”)?

हल

हल — अभ्यास 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; आवृत्ति $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ । $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ तब, जब $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ हो।

अभ्यास 20.5 ★★

$1.013\,\mathrm{bar}$ और $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर हवा का घनत्व ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), फिर $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर। $2800\,\mathrm{m}^{3}$ के किसी गर्म-वायु गुब्बारे का उत्थापन (हवा के दोनों भारों का अंतर)।

हल

हल — अभ्यास 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $293\,\mathrm{K}$ पर $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $373\,\mathrm{K}$ पर $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ । उत्थापन $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : यानी लगभग $720\,\mathrm{kg}$ ।

अभ्यास 20.6 ★★

हवा में अणुओं के हिसाब से $21\%$ O $_2$ है। समुद्र-तल पर ऑक्सीजन का आंशिक दाब; $5000\,\mathrm{m}$ पर, जहाँ $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ है; और एवरेस्ट के शिखर पर ( $0.33\,\mathrm{atm}$ )। वहाँ शरीर को कठिनाई क्यों होती है?

हल

हल — अभ्यास 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $5000\,\mathrm{m}$ पर $0.11\,\mathrm{atm}$ ; और एवरेस्ट पर $0.07\,\mathrm{atm}$ — यानी समुद्र-तल का एक-तिहाई। ऑक्सीजन रक्त में अपने आंशिक दाब के समानुपात में घुलती है; एक-तिहाई पर फेफड़े हीमोग्लोबिन को संतृप्त नहीं कर पाते।

अभ्यास 20.7 ★★

$1.0\,\mathrm{L}$ में $300\,\mathrm{K}$ पर CO $_2$ का एक मोल: पहले आदर्श-गैस नियम से दाब, फिर वान डेर वाल्स से ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ )। यहाँ कौन-सा संशोधन प्रबल है?

हल

हल — अभ्यास 20.7.

आदर्श गैस: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ । वान डेर वाल्स: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : आकर्षण ( $-3.6$ बार) वर्जित आयतन ( $+1.2$ बार) पर भारी पड़ता है; और वास्तविक CO $_2$ आदर्श मान से $10\%$ नीचे रहती है।

अभ्यास 20.8 ★★

$1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ पर $50\,\mathrm{m}^{3}$ के किसी कमरे की हवा की आंतरिक ऊर्जा; उसे स्थिर आयतन पर $5\,\mathrm{K}$ गरम करने की ऊर्जा; और $2\,\mathrm{kW}$ के किसी तापक से लगा समय (कोई हानि नहीं)।

हल

हल — अभ्यास 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $2\,\mathrm{kW}$ पर $104\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 20.9 ★★

$-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ के बीच $30\,\mathrm{m}$ की कोई इस्पात-पटरी ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ): लंबाई में परिवर्तन। $49.95\,\mathrm{mm}$ भीतरी व्यास के किसी पीतल के छल्ले ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) को $50.00\,\mathrm{mm}$ की धुरी पर चढ़ाना है: उसे कितना गरम करना पड़ेगा?

हल

हल — अभ्यास 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ । छल्ला: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (छेद भी अपने चारों ओर की धातु की तरह ही फैलता है)।

अभ्यास 20.10 ★★★

$300\,\mathrm{K}$ पर प्रति अणु ऊर्जा ( $\tfrac32 k_BT$ ), जूल में और इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में; आर्गन तथा नाइट्रोजन की मोलर ऊष्मा धारिताएँ $C_{V,m}$ ; और नाइट्रोजन की धारिता बड़ी क्यों है, जबकि उसके अणु हलके हैं?

हल

हल — अभ्यास 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ । आर्गन $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; नाइट्रोजन $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : द्विपरमाणुक अणु घूर्णन में भी ऊर्जा संचित करता है (दो अतिरिक्त स्वातंत्र्य-कोटियाँ), चाहे उसका द्रव्यमान कुछ भी हो।

अभ्यास 20.11 ★★★

छह-दिशा वाले प्रतिरूप में गतिज दाब की व्युत्पत्ति दुहराइए, फिर दिखाइए कि वेगों के किसी समदैशिक वितरण के लिए $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ होता है और दाब का सूत्र अपरिवर्तित रहता है।

हल

हल — अभ्यास 20.11.

छह-दिशा प्रतिरूप: पाठ की तरह ही, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ । समदैशिकता: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ और इनका योग $\langle v^2\rangle$ है, अतः हर एक $\tfrac13\langle v^2\rangle$ । किसी वितरण के साथ अभिवाह-तर्क $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ देता है (दीवार से $v_x > 0$ वाले अणु टकराते हैं, हर एक $2mv_x$ संवेग देता है, और प्रति चाल-वर्ग अभिवाह $n^*v_x/2$ , जिस पर औसत लिया जाता है), अर्थात् $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — वही।

अभ्यास 20.12 ★★★

$300\,\mathrm{K}$ पर H $_2$ और O $_2$ की वर्ग-माध्य-मूल चालों की तुलना पृथ्वी के पलायन वेग से, और चंद्रमा के ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) से कीजिए। यह जानते हुए कि $3u$ से तेज़ अणुओं का अंश छोटा तो है पर शून्य नहीं, समझाइए कि पृथ्वी ने अपनी हाइड्रोजन क्यों खो दी और चंद्रमा ने अपना पूरा वायुमंडल।

हल

हल — अभ्यास 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; पृथ्वी $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , चंद्रमा $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । पृथ्वी पर O $_2$ के लिए $v_e/u = 23$ : उससे आगे वितरण की पूँछ नितांत नगण्य है; H $_2$ के लिए $v_e/u \approx 6$ : हर वर्ष एक अत्यंत छोटा पर लगातार अंश निकल भागता है, और अरबों वर्षों में हाइड्रोजन चली जाती है। चंद्रमा पर $v_e/u$ घटकर $5$ (O $_2$ ) और $1.2$ (H $_2$ ) रह जाता है: सब कुछ रिसकर निकल गया।

20.6 समस्या: कमरे की हवा

समस्या 20.1

सप्ताहांत समस्या — एक कक्षा भर हवा: उसके अणु गिनना, उसे तौलना, उनकी उड़ानों का समय निकालना, और उसी प्रतिरूप से गुब्बारे का उत्थापन, पहाड़ी हवा का विरलपन तथा ध्वनि की चाल फिर से पा लेना

कोई कक्षा $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ की है; उसकी हवा $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $T = 293\,\mathrm{K}$ पर है, मोलर द्रव्यमान $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , और अणुओं के हिसाब से $79\%$ N $_2$ तथा $21\%$ O $_2$ । $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

भाग I — गिनना और तौलना।

कमरे में हवा की मात्रा (मोलों में) और अणुओं की संख्या।
हवा का द्रव्यमान; किसी व्यक्ति से तुलना कीजिए।
संख्या घनत्व $n^*$ और अणुओं के बीच माध्य दूरी ( $n^{*-1/3}$ ); $0.37\,\mathrm{nm}$ के आणविक व्यास से तुलना कीजिए।
N $_2$ और O $_2$ की वर्ग-माध्य-मूल चाल; उसी ताप पर भारी गैस अधिक धीमी क्यों चलती है?
किसी एक अणु की माध्य गतिज ऊर्जा; कमरे की हवा की कुल स्थानांतरी गतिज ऊर्जा; और $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर किसी कार की गतिज ऊर्जा से तुलना कीजिए।
माध्य मुक्त पथ $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ और किसी अणु की दो टक्करों के बीच माध्य समय।

भाग II — टक्करों से दाब।

$u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ वाले छह-दिशा प्रतिरूप से, दीवार के $1\,\mathrm{cm}^{2}$ पर प्रति सेकंड टक्करों की संख्या निकालिए।
प्रति सेकंड दिया गया संवेग निकालिए, और जाँचिए कि वह वायुमंडलीय दाब को फिर से दे देता है।
$8\,\mathrm{m}$ गुणा $2.5\,\mathrm{m}$ की एक दीवार पर हवा का कुल बल; दीवार हिलती क्यों नहीं?
खिड़कियाँ बंद और सील करके कमरा $303\,\mathrm{K}$ तक गरम किया जाता है: नया दाब, और अब दीवार पर परिणामी बल।
वही गरमाहट, पर खिड़की खुली रहने पर: क्या बाहर जाता है, और कितना?

भाग III — उत्प्लावन।

कमरे की हवा का घनत्व, और उसी दाब पर $373\,\mathrm{K}$ की हवा का।
$2800\,\mathrm{m}^{3}$ आयतन का कोई गर्म-वायु गुब्बारा $373\,\mathrm{K}$ की हवा से भरा जाता है: गरम हवा का भार, हटाई गई ठंडी हवा का भार, और उपलब्ध उत्थापन (आर्किमिडीज़, अध्याय 21)।
आवरण, टोकरी, ज्वालक और गैस का भार $300\,\mathrm{kg}$ है: वह $75\,\mathrm{kg}$ के कितने यात्री उठा सकता है?
उत्थापन दुगुना करने के लिए हवा को किस ताप तक गरम करना चाहिए, और ऐसा किया क्यों नहीं जाता (आवरण नायलॉन का है)?
उसी आयतन का कोई हीलियम गुब्बारा $293\,\mathrm{K}$ पर ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): उत्थापन? फिर भी पर्यटक गुब्बारे गरम हवा ही क्यों काम में लेते हैं?

भाग IV — विरल हवा और ध्वनि की चाल।

कमरे में ऑक्सीजन का आंशिक दाब।
एवरेस्ट के शिखर पर $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ और $T \approx 250\,\mathrm{K}$ है: ऑक्सीजन अणुओं का संख्या घनत्व, कमरे वाले से तुलना करके।
वायुमंडल का दाब ऊँचाई के साथ मोटे तौर पर $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ की तरह घटता है, जहाँ $H = RT/Mg$ (अध्याय 21): $260\,\mathrm{K}$ के लिए $H$ निकालिए, और वह ऊँचाई जिस पर $P = P_0/2$ हो।
किसी आदर्श गैस में ध्वनि की चाल $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ होती है, जहाँ हवा के लिए $\gamma = 1.4$ (अध्याय 22): उसे $293\,\mathrm{K}$ पर निकालिए और वर्ग-माध्य-मूल चाल से तुलना कीजिए; इस निकटता की व्याख्या कीजिए।
$c_s$ का $T$ के साथ बदलाव कैसा है? $303\,\mathrm{K}$ पर कमरे में ध्वनि की चाल, और $293\,\mathrm{K}$ पर हीलियम में ( $\gamma = 5/3$ ): हीलियम वाली आवाज़ ऊँची क्यों सुनाई देती है?
एवरेस्ट के शिखर पर ध्वनि कमरे की तुलना में तेज़ चलती है या धीमी? कितनी?
कमरे की हवा उसी $P$ और $T$ पर आर्गन से बदल दी जाती है: गिनती, द्रव्यमान, चालों और आंतरिक ऊर्जा में क्या बदलता है?
कमरे की हवा की आंतरिक ऊर्जा ( $U = \tfrac52 nRT$ ) और उसे स्थिर आयतन पर $10\,\mathrm{K}$ गरम करने की ऊर्जा।
तीन पंक्तियों में सार दीजिए कि अणुगति प्रतिरूप ने क्या दिया: किन स्थूल राशियों की व्याख्या की, और किस एक सूक्ष्म औसत से।

हल

हल — समस्या 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ ।

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : यानी तीन आदमी।

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; दूरी $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , यानी नौ आणविक व्यास।

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । प्रति अणु वही $\tfrac32 k_BT$ : यानी $\tfrac12 mu^2$ नियत, अतः $u \propto 1/\sqrt m$ ।

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; कुल $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $1000\,\mathrm{kg}$ की कार: $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — यानी कमरे की आणविक गति अस्सी कारों जितनी है।

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; समय $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ ।

7. $S$ पर प्रति सेकंड टक्करें: $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ ।

8. हर एक $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ देती है ( $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): बल $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ प्रति $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : यानी $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ । प्रतिरूप वायुमंडलीय दाब को फिर से दे देता है।

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — यानी दो सौ टन; वही दाब दूसरी ओर से भी लगता है।

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; परिणामी $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ बाहर की ओर: यानी दीवार पर सात टन।

11. दाब बराबर होने तक हवा बाहर बहती है: $n \propto 1/T$ , स्थिर $P$ , $V$ पर: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , यानी $8\,\mathrm{kg}$ बाहर चली जाती है।

12. $\rho = PM/RT$ : $293\,\mathrm{K}$ पर $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $373\,\mathrm{K}$ पर $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ।

13. गरम हवा $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; हटाई गई ठंडी हवा $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; उत्थापन $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ )।

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : यानी पाँच यात्री।

15. उत्थापन $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : और $1 - 293/373 = 0.215$ को दुगुना करने के लिए $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) चाहिए, जो नायलॉन की सहन-सीमा (लगभग $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) से कहीं ऊपर है।

16. हीलियम $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : उत्थापन $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), यानी चार गुना अधिक — पर हीलियम महँगी है और हर अवतरण पर खो जाती है, जबकि गरम हवा मुफ़्त है और उसका उत्थापन ज्वालक से घटाया-बढ़ाया जा सकता है।

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ।

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : कमरा $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; एवरेस्ट $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : यानी कमरे का $38\%$ ।

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ पर $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ ।

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , जबकि मिश्रण के लिए $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ । ध्वनि अणुओं के द्वारा ही ले जाया गया विक्षोभ है, अतः वह उन्हीं की कोटि की चाल से चलती है — कुछ कम, क्योंकि केवल संचरण की दिशा वाला घटक ही मायने रखता है।

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । हीलियम: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : स्वर-नली की अनुनाद-आवृत्तियाँ $c_s$ के साथ बढ़ती हैं, अतः हर स्वरक तीन गुना ऊँचा हो जाता है।

22. अधिक ठंडी: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी $8\%$ धीमी; दाब इसमें आता ही नहीं।

23. वही $N$ (वही $P$ , $V$ , $T$ ); द्रव्यमान $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; चालें $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और $U = \tfrac32 nRT$ , $\tfrac52$ की जगह: यानी $60\%$ ।

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ।

25. एक ही औसत, $\langle v^2\rangle$ , दाब को तय करता है ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), ताप को परिभाषित करता है ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), अवस्था समीकरण और आंतरिक ऊर्जा दे देता है, और ध्वनि की चाल का पैमाना भी नियत कर देता है।

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