विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

7क्षणिक व्यवस्थाएँ: प्रथम और द्वितीय कोटि

खड़ी कार के किसी कोने को दबाकर छोड़ दीजिए। अच्छी हालत वाली कार एक बार उठती है और रुक जाती है; जबकि घिसे अवमंदकों वाली कार थमने से पहले दो-तीन बार उछलती है। इलेक्ट्रॉनिकी की प्रयोगशाला में यही दो व्यवहार दोलनदर्शी पर तब दिखते हैं जब कोई संधारित्र किसी कुंडली से होकर विसर्जित होता है: या तो सहज वापसी, या फिर मरती हुई झनझनाहट। दोनों ही एक स्थायी अवस्था से दूसरी तक की क्षणिक अवस्था हैं, और दोनों रैखिक अवकल समीकरणों के उसी छोटे कुल का पालन करते हैं — एक अकेले ऊर्जा-भंडार के लिए प्रथम कोटि, और आपस में ऊर्जा बदलते दो भंडारों के लिए द्वितीय कोटि। यह अध्याय उन्हें एक ही बार हमेशा के लिए हल करता है, उनके प्राचल नाम से पुकारता है (कालांक, स्वाभाविक आवृत्ति, गुणता गुणक), और दिखाता है कि वही संख्याएँ किसी परिपथ का और किसी निलंबन का, दोनों का वर्णन करती हैं।

ब्रेडबोर्ड पर एक कुंडली, एक संधारित्र और एक प्रतिरोधक, और दोलनदर्शी पर किसी सोपान के बाद आता वह मरता हुआ दोलन: यही इस अध्याय की छद्म-आवर्ती व्यवस्था है।

7.1 प्रथम कोटि के निकाय

परिभाषा 7.1 (प्रथम कोटि का रैखिक निकाय)

कोई राशि $x(t)$ नियत गुणांकों वाले प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण का पालन तब करती है जब

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

जहाँ $\tau > 0$ कालांक है और $x_\infty$ कोई नियतांक (यानी स्रोत का लादा हुआ मान)। उसकी स्थायी अवस्था $x = x_\infty$ है; और क्षणिक व्यवस्था आरंभिक मान $x(0) = x_0$ से उस तक पहुँचने की राह है।

प्रमेय 7.2 (हल)

$x(0) = x_0$ वाला अद्वितीय हल है

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

स्थायी अवस्था से बचा अंतराल गुणक $\eu^{-1} \approx 0.37$ से सिकुड़ता है, हर $\tau$ में: रास्ते का $63\%$ $\tau$ पर, $95\%$ $3\tau$ पर, $99\%$ $4.6\tau$ पर। और मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा $x_\infty$ तक $t = \tau$ पर पहुँच जाती है।

उपपत्ति. $y = x - x_\infty$ $\tau y' + y = 0$ का पालन करता है, जिसके हल $y = K\eu^{-t/\tau}$ हैं (रैखिक अवकल समीकरणों पर गणित का पाठ्यक्रम सिद्ध करता है कि इनके अलावा और कोई नहीं); और $K = x_0 - x_\infty$ । $0$ पर ढाल $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ है, जो अंतराल को समय $\tau$ में पाट देती। ∎

x_0 = 0 से प्रथम कोटि की सोपान-अनुक्रिया: आरंभिक स्पर्शरेखा अनंतस्पर्शी से t = पर मिलती है; रास्ते का 63\% पर, 95\% 3 पर। प्रथम कोटि की हर क्षणिक अवस्था यही वक्र है, जो से तना और x_0 तथा x_∈fty से खिसका हुआ है। — $x_0 = 0$ से प्रथम कोटि की सोपान-अनुक्रिया: आरंभिक स्पर्शरेखा अनंतस्पर्शी से $t = \tau$ पर मिलती है; रास्ते का $63\%$ $\tau$ पर, $95\%$ $3\tau$ पर। प्रथम कोटि की हर क्षणिक अवस्था यही वक्र है, जो $\tau$ से तना और $x_0$ तथा $x_\infty$ से खिसका हुआ है।

प्रतिज्ञप्ति 7.3 (RC और RL परिपथ)

संधारित्र $C$ , जो प्रतिरोधक $R$ के द्वारा किसी आदर्श स्रोत $E$ से आवेशित होता है, $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ का पालन करता है: यानी $\tau = RC$ , $u_{C,\infty} = E$ । और कुंडली $L$ , जो $R$ के साथ श्रेणी में $E$ के आरपार जुड़ी हो, $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ का पालन करती है: $\tau = L/R$ , $i_\infty = E/R$ । स्रोत हटा देने पर ( $E \to 0$ ) वही समीकरण शून्य की ओर विसर्जन का वर्णन करते हैं।

उपपत्ति. पाश नियम $E = Ri + u_C$ , जहाँ $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; और पाश नियम $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 7.4 (सांतत्य की शर्तें)

किसी संधारित्र के आरपार विभवांतर और किसी प्रेरक से होकर बहती धारा समय के संतत फलन हैं: किसी स्विच बदलने के क्षण $t_0$ पर $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ और $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ । प्रतिरोधकों में धाराएँ और कुंडलियों के आरपार विभवांतर उछल सकते हैं।

उपपत्ति. $u_C$ का उछाल $i = C\,\dd u_C/\dd t$ को अनंत माँगता, और $i_L$ का उछाल $u = L\,\dd i/\dd t$ को अनंत; परिमित विभवांतरों और धाराओं वाले किसी परिपथ में दोनों असंभव हैं (उसी बात को यों भी कह सकते हैं कि संचित ऊर्जाएँ $\tfrac12 Cu_C^2$ और $\tfrac12 Li^2$ अनंत शक्ति के बिना तत्क्षण बदल नहीं सकतीं)। ∎

विधि 7.5 (प्रथम कोटि की क्षणिक अवस्था हल करना)

स्विच के बाद पाश और संधि नियम लिखिए, अवयवों के नियमों के साथ; उन्हें $u_C$ या $i_L$ में एक ही समीकरण तक समेटिए और उसे $\tau x' + x = x_\infty$ के रूप में रखिए; अब $\tau$ और $x_\infty$ पढ़ लीजिए (दूसरा वही स्थायी अवस्था है, जो $C$ की जगह खुला परिपथ और $L$ की जगह तार रखकर मिलती है)।
$x_0$ को स्विच बदलने के क्षण के आरपार $u_C$ या $i_L$ के सांतत्य से निकालिए, उससे पहले वाले परिपथ का उपयोग करते हुए।
$x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ लिखिए; और बाक़ी राशियाँ अवकलन तथा पाश नियम से निकाल लीजिए।

जब संधारित्र के सामने प्रतिरोधकों और स्रोतों का कोई जाल हो, तब पहले उस जाल को उसके तेवेनिन तुल्य $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ से बदल दीजिए (अध्याय 6): तब $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ , $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 7.6 (RC आवेशन का ऊर्जा-लेखा)

किसी संधारित्र को $0$ से $E$ तक, किसी भी प्रतिरोधक $R$ के द्वारा, आवेशित करने पर स्रोत $CE^2$ देता है, संधारित्र $\tfrac12 CE^2$ संचित करता है, और प्रतिरोधक बाक़ी $\tfrac12 CE^2$ क्षय कर देता है — $R$ चाहे कुछ भी हो।

उपपत्ति. $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ । स्रोत $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ देता है; और प्रतिरोधक $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t$ $= (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ले लेता है; और अंतर वही संचित $\tfrac12 CE^2$ है। छोटा $R$ उतनी ही ऊर्जा अधिक तेज़ी से क्षय करता है। ∎

उदाहरण 7.7 (रिले की कुंडली)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ : अतः $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ , $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; संपर्क तब खिंचते हैं जब $i$ $1.5\,\mathrm{A}$ तक पहुँचे, यानी $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ पर। परिपथ खोलने पर $i$ को $2\,\mathrm{A}$ से गिरना पड़ता है; और कुंडली के आरपार लगा कोई “मुक्त-चक्र” डायोड उसे अकेले $R$ से होकर रास्ता दे देता है, $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ , चिंगारी के बजाय।

7.2 द्वितीय कोटि के निकाय

परिभाषा 7.8 (द्वितीय कोटि का मानक रूप)

कोई राशि $x(t)$ द्वितीय कोटि का रैखिक निकाय तब है जब

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

जहाँ $\omega_0 > 0$ स्वाभाविक कोणीय आवृत्ति है, $Q > 0$ गुणता गुणक (विमाहीन), और $x_\infty$ स्थायी अवस्था। इसे $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ भी लिखा जाता है, जहाँ $\xi = 1/2Q$ अवमंदन अनुपात है।

प्रतिज्ञप्ति 7.9 (श्रेणी RLC परिपथ)

संधारित्र $C$ , कुंडली $L$ और प्रतिरोधक $R$ , जो किसी स्रोत $E$ के आरपार श्रेणी में जुड़े हों: संधारित्र का विभवांतर मानक रूप का पालन करता है, जहाँ

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

उपपत्ति. पाश नियम: $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , जहाँ $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; अब $LC$ से भाग दीजिए और $\omega_0^2 = 1/LC$ , $\omega_0/Q = R/L$ पहचान लीजिए। ∎

द्वितीय कोटि के निकाय के दो चेहरे: श्रेणी RLC परिपथ (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) और द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक (_0 = √k/m, Q = √km/)। वही समीकरण, वही तीन व्यवस्थाएँ। — द्वितीय कोटि के निकाय के दो चेहरे: श्रेणी RLC परिपथ ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) और द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ )। वही समीकरण, वही तीन व्यवस्थाएँ।

प्रतिज्ञप्ति 7.10 (यांत्रिक दोलित्र)

द्रव्यमान $m$ , जो दृढ़ता $k$ की स्प्रिंग पर रखा हो और जिसके साथ गुणांक $\alpha$ का श्यान अवमंदक हो (बल $-\alpha\dot x$ ), साम्यावस्था से $x$ खिसकने पर $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ का पालन करता है: यानी मानक रूप, जहाँ

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

और संगति $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ एक निकाय के हर परिणाम को दूसरे पर उतार देती है।

उपपत्ति. न्यूटन का दूसरा नियम (अध्याय 12), स्प्रिंग-बल $-kx$ और अवमंदन-बल के साथ; अब $m$ से भाग दीजिए। ∎

प्रमेय 7.11 (तीन व्यवस्थाएँ)

समांगी समीकरण $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ के हल $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ के मूलों से सधते हैं, जिसका विविक्तकर $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ है:

$Q < \tfrac12$ , अनावर्ती: दो वास्तविक ऋणात्मक मूल $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , यानी बिना दोलन के वापसी;
$Q = \tfrac12$ , क्रांतिक: एक द्विगुण मूल $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , यानी बिना अतिक्रमण के सबसे तेज़ वापसी;
$Q > \tfrac12$ , छद्म-आवर्ती: सम्मिश्र मूल $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ , जहाँ

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

यानी छद्म-आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ का अवमंदित दोलन, अन्वालोप $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ के भीतर।

नियत दाएँ पक्ष के साथ पूरा हल $x_\infty$ जमा समांगी हल है; और $A$ तथा $B$ $x(0)$ तथा $x'(0)$ से निकल आते हैं।

उपपत्ति. नियत गुणांकों वाले रैखिक समीकरण का अभिलक्षणिक समीकरण (गणित का पाठ्यक्रम, द्वितीय कोटि के रैखिक समीकरण): मूल $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ हैं। $Q > \tfrac12$ के लिए $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ , जिससे वास्तविक भाग $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ और काल्पनिक भाग $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; और वास्तविक हल $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ तथा $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ के संयोजन हैं। ∎

तीन गुणता गुणकों के लिए, विराम से चलकर द्वितीय कोटि के निकाय की सोपान-अनुक्रिया। छोटा Q: धीमी रेंगती वापसी; Q = 1/2: बिना अतिक्रमण के सबसे तेज़ वापसी; बड़ा Q: झनझनाहट, जो लगभग Q दोलनों तक टिकती है। — तीन गुणता गुणकों के लिए, विराम से चलकर द्वितीय कोटि के निकाय की सोपान-अनुक्रिया। छोटा $Q$ : धीमी रेंगती वापसी; $Q = \tfrac12$ : बिना अतिक्रमण के सबसे तेज़ वापसी; बड़ा $Q$ : झनझनाहट, जो लगभग $Q$ दोलनों तक टिकती है।

प्रतिज्ञप्ति 7.12 (छद्म-आवर्ती चिह्न-लेख पर $Q$ पढ़ना)

छद्म-आवर्ती व्यवस्था में दो क्रमागत अधिकतम मानों का अनुपात $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ होता है; और लघुगणकीय ह्रासांक

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

$Q$ दे देता है; तथा आयाम के $5\%$ से नीचे गिरने से पहले दिखते दोलनों की संख्या लगभग $Q$ होती है। $Q \gg 1$ के लिए $\omega \approx \omega_0$ और $T \approx 2\pi/\omega_0$ ।

उपपत्ति. अन्वालोप $\eu^{-t/\tau}$ हर आवर्तकाल में $\eu^{-T/\tau}$ से गुणित हो जाता है; और $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ । अन्वालोप $\eu^{-3} \approx 5\%$ तक $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ पर पहुँचता है, यानी लगभग $Q$ आवर्तकालों के बाद। ∎

मुक्त छद्म-आवर्ती क्षय, x = x_0 -t/ t: क्रमागत अधिकतम मान नियत गुणक -T/ से सिकुड़ते हैं, और (x_n/x_n+1) = T/ π/Q चिह्न-लेख से ही गुणता गुणक नाप देता है। — मुक्त छद्म-आवर्ती क्षय, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : क्रमागत अधिकतम मान नियत गुणक $\eu^{-T/\tau}$ से सिकुड़ते हैं, और $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ चिह्न-लेख से ही गुणता गुणक नाप देता है।

उदाहरण 7.13 (एक RLC झनझनाहट)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : यानी छद्म-आवर्ती, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $\omega = 0.987\,\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ , और तीन दिखते दोलन। क्रांतिक प्रतिरोध $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ है; उससे ऊपर विसर्जन अनावर्ती हो जाता है।

विधि 7.14 (द्वितीय कोटि की क्षणिक अवस्था हल करना)

समीकरण लिखिए; उसे मानक रूप में रखिए; $\omega_0$ , $Q$ और $x_\infty$ पढ़ लीजिए।
$Q$ से व्यवस्था तय कीजिए और सामान्य हल को $x_\infty$ जमा समांगी हल के रूप में लिखिए।
$x(0)$ और $x'(0)$ को $u_C$ तथा $i_L$ के सांतत्य से निकालिए (RLC के लिए: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ और $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); फिर दोनों नियतांकों के लिए हल कीजिए।

उदाहरण 7.15 (आरंभिक शर्तें)

पिछले उदाहरण का संधारित्र $U_0$ तक आवेशित है और $t = 0$ पर $L$ तथा $R$ पर बंद कर दिया जाता है (कोई स्रोत नहीं): अतः $x_\infty = 0$ , $u_C(0) = U_0$ , $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ , क्योंकि कुंडली की धारा शून्य थी। अतः $A = U_0$ और $-A/\tau + B\omega = 0$ , $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : यानी $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — और $Q \gg 1$ के लिए बस $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ , जबकि धारा $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ का शिखर $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ के पास आता है।

टिप्पणी 7.16 (ऊर्जा)

संचित ऊर्जा $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (या $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) दर $Ri^2$ ( $\alpha\dot x^2$ ) से घटती है: अवकलन कीजिए और समीकरण का उपयोग कीजिए। हर छद्म-आवर्तकाल में ऊर्जा गुणक $\eu^{-2T/\tau}$ से सिकुड़ती है; $Q = 3$ के साथ उसका लगभग $88\%$ प्रति दोलन खो जाता है। ऊँचा $Q$ का अर्थ है दोलन की तुलना में धीमा रिसाव — यानी अच्छी घड़ी, तीखा अनुनाद (अध्याय 8) — और नीचा $Q$ का अर्थ है तेज़ वापसी: जो किसी निलंबन या किसी मापी की सुई के लिए ठीक चुनाव है।

7.3 अभ्यास

अभ्यास 7.1 ★

कोई RC परिपथ: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 47\,\mathrm{nF}$ , जो $E$ से आवेशित होता है। $\tau$ , $u_C(\tau)/E$ , और $99\%$ तक पहुँचने का समय निकालिए ( $E$ के सापेक्ष)।

हल

हल — अभ्यास 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; $99\%$ के लिए: $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ , अतः $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ ।

अभ्यास 7.2 ★

कोई RL परिपथ: $L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ । $\tau$ , अंतिम धारा, $t = \tau$ पर धारा, और स्विच बंद करने के ठीक बाद कुंडली के आरपार विभवांतर निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; और $0^+$ पर $i = 0$ (सांतत्य), अतः $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ ।

अभ्यास 7.3 ★

कोई श्रेणी RLC: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ । $\omega_0$ , $f_0$ , $Q$ निकालिए; व्यवस्था का नाम लीजिए; $\tau$ और छद्म-आवर्तकाल दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : अतः छद्म-आवर्ती; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ ।

अभ्यास 7.4 ★

उन्हीं $L$ और $C$ के लिए कौन-सा प्रतिरोध क्रांतिक व्यवस्था देता है? तब $Q$ क्या है? और $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ के लिए क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ , $Q = \tfrac12$ । $2\,\mathrm{k}\Omega$ पर $Q = 0.16$ : यानी अनावर्ती, एक धीमी रेंगती वापसी जो छोटे मूल $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ से सधती है (काल-पैमाना $0.2\,\mathrm{ms}$ , पर कोई दोलन नहीं)।

अभ्यास 7.5 ★★

कोई आवेशित संधारित्र $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ किसी अज्ञात $R$ से होकर विसर्जित होता है; विभवांतर हर $3.5\,\mathrm{ms}$ में आधा हो जाता है। दिखाइए कि अर्धायु $\tau\ln 2$ है और $R$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 7.5.

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ तब आधा होता है जब $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : अतः $t_{1/2} = \tau\ln 2$ । $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ , $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ ।

अभ्यास 7.6 ★★

सीधे समाकलन से दिखाइए कि किसी संधारित्र को $0$ से $E$ तक $R$ के द्वारा आवेशित करने पर ठीक $\tfrac12 CE^2$ $R$ में क्षय होता है, चाहे $R$ कुछ भी हो। अंतरण की दक्षता का क्या होता है, और कोई उससे बेहतर कैसे कर सकता है?

हल

हल — अभ्यास 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ , जहाँ $R$ कहीं दिखता ही नहीं। स्रोत $CE^2$ देता है: अतः किसी भी प्रतिरोधक के लिए दक्षता $50\%$ । बेहतर: किसी प्रेरक से होकर आवेशित कीजिए (तब धारा विभवांतर के अंतराल के समानुपाती नहीं रहती) या कई विभव-सोपानों में — $E/n$ का हर सोपान केवल $\tfrac12 C(E/n)^2$ खोता है।

अभ्यास 7.7 ★★

किसी दोलनदर्शी पर कोई मुक्त RLC क्षय $0.40\,\mathrm{ms}$ के अंतरालों पर क्रमागत अधिकतम मान $2.0\,\mathrm{V}$ , $1.5\,\mathrm{V}$ , $1.12\,\mathrm{V}$ दिखाता है। इनसे $Q$ , $\omega_0$ , और $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ के साथ $L$ तथा $R$ के मान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (और $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : यानी संगत); $Q \approx \pi/\delta = 11$ । $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ , अतः $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (संशोधन $1/8Q^2$ केवल $0.1\%$ है)। $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ ।

अभ्यास 7.8 ★★

$U_0 = 100\,\mathrm{V}$ तक आवेशित कोई संधारित्र ( $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) कुंडली $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ पर जोड़ दिया जाता है, जिसका प्रतिरोध छोटा है ( $Q \gg 1$ )। $u_C(t)$ और $i(t)$ लिखिए, और शिखर धारा का आकलन कीजिए। शिखर पर ऊर्जा कहाँ बैठी होती है?

हल

हल — अभ्यास 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ ( $t \ll \tau$ के लिए), जिसका शिखर $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ है, और वह जोड़ने के एक चौथाई आवर्तकाल बाद आता है, जब $u_C = 0$ हो: तब सारी ऊर्जा ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) चुंबकीय होती है, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ।

अभ्यास 7.9 ★★

किसी कार का एक चौथाई भाग: $m = 400\,\mathrm{kg}$ , स्प्रिंग $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ पर। $\omega_0$ , $f_0$ और क्रांतिक अवमंदन गुणांक निकालिए। अवमंदक $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ के साथ $Q$ , व्यवस्था, छद्म-आवर्तकाल और क्षय-काल $\tau$ दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ । $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ , यानी छद्म-आवर्ती; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 7.10 ★★★

कोई कुंडली $L = 0.50\,\mathrm{H}$ $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ढो रही है; स्रोत हटा दिया जाता है और कुंडली को निस्सारक प्रतिरोधक $R = 100\,\Omega$ पर छोड़ दिया जाता है। $i(t)$ , $\tau$ , कुंडली के आरपार शिखर विभवांतर और क्षय हुई ऊर्जा दीजिए। प्रतिरोधक के बिना क्या होता?

हल

हल — अभ्यास 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; शिखर विभवांतर $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ , जो $t = 0^+$ पर आता है; और ऊर्जा $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ $R$ में क्षय हो जाती है। प्रतिरोधक के बिना धारा के पास कोई रास्ता नहीं रहता: $\dd i/\dd t$ बहुत बड़ा हो जाता है, कुंडली का विभवांतर किलोवोल्टों तक पहुँचता है, और स्विच पर चाप कूद पड़ता है।

अभ्यास 7.11 ★★★

कोई संधारित्र $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ $E = 12\,\mathrm{V}$ से $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ के द्वारा आवेशित होता है, जबकि उसके आरपार $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ जुड़ा है। तेवेनिन तुल्य की सहायता से कालांक और अंतिम विभवांतर निकालिए; और $u_C(t)$ लिखिए, जहाँ $u_C(0) = 0$ ।

हल

हल — अभ्यास 7.11.

$C$ से देखने पर: $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ , $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; और $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ वोल्ट।

अभ्यास 7.12 ★★★

क्रांतिक व्यवस्था, विराम से सोपान ( $x(0) = x'(0) = 0$ ): दिखाइए कि $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ , और $95\%$ तक, यानी $x_\infty$ के सापेक्ष, पहुँचने का समय संख्यात्मक रूप से निकालिए ( $1/\omega_0$ के मात्रकों में)। इसकी तुलना $Q = 5$ के लिए अन्वालोप के स्थिरीकरण काल से और $Q = 0.1$ पर धीमे मूल से कीजिए; और निष्कर्ष निकालिए कि “क्रांतिक” ही अभियंता का लक्ष्य क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 7.12.

द्विगुण मूल $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ से $A = -x_\infty$ , और $x'(0) = 0$ से $B = \omega_0 A$ : अतः $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ । $95\%$ के लिए: $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ , $s \approx 4.7$ : यानी $t_{95} = 4.7/\omega_0$ । $Q = 5$ के लिए अन्वालोप $\eu^{-t/\tau}$ , जहाँ $\tau = 10/\omega_0$ , को $3\tau = 30/\omega_0$ चाहिए; और $Q = 0.1$ के लिए धीमा मूल $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ है तथा $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ । दोनों छह गुना धीमे हैं: अतः क्रांतिक अवमंदन ही बिना अतिक्रमण वाली सबसे तेज़ वापसी है, और यही किसी मापी, किसी दरवाज़ा-बंदक या किसी निलंबन को चाहिए।

7.4 समस्या: निलंबन की अभिकल्पना

समस्या 7.1

सप्ताहांत समस्या — वही अवकल समीकरण, प्रयोग-मेज़ पर और कार के नीचे: घिसा हुआ अवमंदक कितनी उछालें आने देता है, अभिकल्पक उसकी जगह क्या चुनता है, और एक ही संख्या दोनों में भेद कैसे कर देती है

भाग I एक श्रेणी RLC परिपथ पढ़ता है, $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; और भाग II से IV तक एक चौथाई-कार का प्रतिरूप: द्रव्यमान $m = 350\,\mathrm{kg}$ , जो स्प्रिंग $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ पर टिका है, और $-\alpha\dot x$ लगाता एक अवमंदक। छद्म-आवर्ती व्यवस्था में सोपान-अनुक्रिया का अतिक्रमण (दिया हुआ): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ , $\xi = 1/2Q$ ।

भाग I — परिपथ।

किसी स्रोत $E$ के आरपार श्रेणी RLC के लिए पाश नियम लिखिए, और $u_C$ के लिए अवकल समीकरण।
उसे मानक रूप में रखिए; $\omega_0$ और $Q$ व्यक्त कीजिए।
$\omega_0$ , $f_0$ और क्रांतिक प्रतिरोध $R_c$ निकालिए।
अभिलक्षणिक समीकरण और उसका विविक्तकर लिखिए; तीनों व्यवस्थाओं को $Q$ के पदों में कहिए।
छद्म-आवर्ती स्थिति में $\tau$ और $\omega$ तथा $u_C(t)$ का रूप दीजिए।
$R = 100\,\Omega$ के लिए $Q$ , $\tau$ , छद्म-आवर्तकाल, और दिखते दोलनों की संख्या निकालिए।
$U_0$ तक आवेशित संधारित्र $L$ और $R$ पर $t = 0$ पर जोड़ दिया जाता है। $u_C(0^+)$ और $\dd u_C/\dd t(0^+)$ दीजिए, हर एक के लिए भौतिक कारण के साथ।

भाग II — चौथाई कार।

$x$ को साम्यावस्था की स्थिति से नापते हुए, गाड़ी की देह के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखिए और दिखाइए कि भार बाहर हो जाता है।
समीकरण को मानक रूप में रखिए; $\omega_0$ और $Q$ को $m$ , $k$ , $\alpha$ के पदों में दीजिए, और विद्युत–यांत्रिक संगतियाँ सूचीबद्ध कीजिए।
$\omega_0$ , $f_0$ और क्रांतिक गुणांक $\alpha_c$ निकालिए।
अभिकल्पक $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ लगाता है: $Q$ , $\xi$ निकालिए और व्यवस्था का नाम लीजिए।
$\tau$ और छद्म-आवर्तकाल निकालिए।
किसी सोपान (जैसे फुटपाथ का किनारा) के बाद अतिक्रमण निकालिए: क्या कार आरामदेह है?
कौन-सा प्रतिरोध $R$ भाग I के परिपथ को इस निलंबन जैसा ही $Q$ देगा?

भाग III — घिसा हुआ अवमंदक। तेल रिस गया है: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ।

$Q$ , छद्म-आवर्तकाल और $\tau$ निकालिए।
क्रमागत अधिकतम मान किस गुणक से सिकुड़ते हैं? आयाम के $5\%$ से नीचे आने से पहले कितनी उछालें दिखती हैं?
उछाल-परीक्षण: कोई कोने को $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ दबाकर छोड़ देता है। आरंभिक शर्तें, स्प्रिंग में संचित ऊर्जा दीजिए, और बताइए कि वह ऊर्जा कहाँ जाती है।
पहली वापसी के दौरान देह का शिखर वेग ( $\approx x_0\omega_0$ , जब $Q \gg 1$ हो) और अवमंदक का शिखर बल आँकिए।
ठीक क्रांतिक अवमंदन ( $Q = \tfrac12$ ) अभिकल्पक का चुनाव क्यों नहीं है, जबकि वह कोई अतिक्रमण नहीं देता? (वापसी के अंतिम कुछ मिलीमीटरों के बारे में सोचिए।)
घिसे अवमंदक के लिए अतिक्रमण निकालिए और भाग II से तुलना कीजिए।

भाग IV — चिह्न-लेख से $Q$ का निदान। देह पर लगा एक त्वरणमापी मुक्त क्षय दर्ज करता है।

घिसी कार के लिए क्रमागत अधिकतम मान $1.00$ , $0.25$ , $0.062$ पढ़े जाते हैं (मनमाने मात्रकों में)। लघुगणकीय ह्रासांक निकालिए, फिर $\xi$ यथार्थ रूप से $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ से, फिर $Q$ ; और भाग III से तुलना कीजिए।
स्वस्थ कार के लिए कोई दूसरा अधिकतम दिखता ही नहीं; केवल अतिक्रमण, $3.8\%$ , पढ़ा जा सकता है। अतिक्रमण के सूत्र को उलटकर $\xi$ और $Q$ निकालिए।
घिसा अवमंदक प्रति छद्म-आवर्तकाल यांत्रिक ऊर्जा का कितना अंश क्षय करता है?
जिस तकनीशियन के पास कार नहीं है वह भाग I का RLC बनाता है और $R$ ऐसा चुनता है कि $Q = 2.3$ हो: कौन-सा $R$ , और $\omega_0 t$ के सामने खींचा गया दोलनदर्शी का चिह्न-लेख कार वाले से आकृति में एक-सा क्यों है?
सार लिखिए: कौन-सी विमाहीन संख्या द्वितीय कोटि की किसी भी क्षणिक अवस्था की आकृति तय करती है, निलंबन का अभिकल्पक किस मान पर निशाना लगाता है, और “एक से अधिक उछाल” से चालक को क्या निष्कर्ष निकालना चाहिए।

हल

हल — समस्या 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ।

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ , जहाँ $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ।

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : $Q < \tfrac12$ अनावर्ती, $Q = \tfrac12$ क्रांतिक, $Q > \tfrac12$ छद्म-आवर्ती।

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ , $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ , $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ , यानी लगभग तीन दोलन।

7. $u_C(0^+) = U_0$ ( $u_C$ संतत है: धारा परिमित); और $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ( $i_L$ संतत है और पहले शून्य था)।

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{साम्य}}) - \alpha\dot x + mg$ , जहाँ $kx_{\text{साम्य}} = mg$ : अतः $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ ।

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ।

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ , $\xi = 0.72$ : यानी छद्म-आवर्ती, क्रांतिक से ज़रा ही नीचे।

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. अतिक्रमण $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : यानी साम्यावस्था के परे एक छोटी-सी उठान, और बस — आरामदेह।

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ , $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$ , $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ ।

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : यानी हर उछाल पिछली की एक चौथाई; और $0.25^3 = 1.6\%$ : अतः तीन दिखती उछालें।

17. $x(0) = -x_0$ , $\dot x(0) = 0$ ; ऊर्जा $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ , जो अवमंदक के तेल में ऊष्मा बनकर क्षय हो जाती है।

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और अवमंदक का बल $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ ।

19. $Q = \tfrac12$ पर वापसी $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ है, जो अनंतस्पर्शी रूप से रेंगती है: अंतिम कुछ मिलीमीटर लंबा समय लेते हैं। थोड़ा कम अवमंदित निकाय ( $\xi \approx 0.7$ ) कुछ प्रतिशत अतिक्रमण करता है पर किसी सह्यता-पट्टी के भीतर जल्दी घुसकर वहीं टिक जाता है।

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ , जबकि $3.8\%$ : यानी घिसी कार साम्यावस्था के परे आधा रास्ता उछल जाती है।

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (दो बार, और संगत); $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ , $Q = 1/2\xi = 2.3$ : यानी घिसा हुआ मान।

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , अतः $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ , $Q = 0.69$ ।

23. ऊर्जा $\propto$ आयाम $^2$ : अतः प्रति आवर्तकाल बचा अंश $0.25^2 = 6\%$ , यानी प्रति छद्म-आवर्तकाल $94\%$ क्षय।

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ । चर $\omega_0 t$ में मानक समीकरण में केवल $Q$ बचता है: अतः एक ही $Q$ वाले दो निकाय एक ही वक्र खींचते हैं।

25. अकेला गुणता गुणक $Q$ (या $\xi$ ) आकृति तय कर देता है; कोई अभिकल्पक $Q \approx 0.7$ ( $\xi \approx 0.7$ ) पर निशाना लगाता है; और एक से अधिक दिखती उछाल का अर्थ है $Q$ का $1$ से कहीं ऊपर होना: यानी अवमंदक घिस चुका है।

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