Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

10Penguat Operasional

Sebuah pengukur regangan yang dilekatkan pada gelagar jembatan berubah hambatannya seperseribu ketika sebuah truk lewat; jembatan Wheatstone di sekitarnya (Bab 6) mengubahnya menjadi dua milivolt. Dua milivolt tak menggerakkan apa pun. Di antara pengukurnya dan alarm yang akan menutup jembatan itu bagi lalu lintas duduk sebuah keping sebesar kuku, yang dijual beberapa sen, yang mengalikan sinyalnya seribu kali, menapisnya, membandingkannya dengan sebuah ambang lalu menyalakan sebuah lampu — empat pekerjaan, satu komponen, empat pengawatan yang berbeda. Bab ini memperkenalkan penguat operasional lewat model idealnya, menurunkan segelintir rangkaian yang menjadi bahan setiap instrumen, lalu memperlihatkan apa yang terjadi ketika umpan baliknya dicabut.

10.1 Komponennya dan model idealnya

Definisi 10.1 (Penguat operasional)

Penguat operasional adalah rangkaian terpadu dengan dua masukan — masukan tak membalik berpotensial $V_+$ dan masukan membalik berpotensial $V_-$ — serta satu keluaran berpotensial $V_s$ , yang diberi daya oleh dua catu $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (lazimnya $\pm15\,\mathrm{V}$ ) yang biasanya tidak digambarkan. Ia menguatkan selisih $\epsilon = V_+ - V_-$ :

V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{selama } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},

dengan penguatan lingkar terbuka $\mu$ berorde $10^5$ dan tegangan jenuh $V_{\mathrm{sat}}$ yang sedikit di bawah $V_{\mathrm{cc}}$ . Ketika $\mu\abs\epsilon$ akan melampaui $V_{\mathrm{sat}}$ , keluarannya melekat pada $+V_{\mathrm{sat}}$ atau $-V_{\mathrm{sat}}$ : itulah rezim jenuh.

Definisi 10.2 (Penguat operasional ideal)

Model ideal mengandaikan: (i) tak ada arus yang masuk ke salah satu masukannya, $i_+ = i_- = 0$ (impedansi masukan tak hingga); (ii) keluarannya memaksakan tegangannya berapa pun arus yang ditarik (impedansi keluaran nol); (iii) penguatan tak hingga, $\mu \to \infty$ . Dalam rezim linear ( $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ) andaian ketiga memaksa

\epsilon = V_+ - V_- = 0 :

kedua masukannya duduk pada potensial yang sama (“hubung singkat maya”) walaupun tak ada arus yang mengalir di antara keduanya.

Penguat operasional: lambangnya beserta kedua masukannya, dan karakteristik alihnya V_s( ) — ruas linear yang curam berkemiringan 105 (digambar terlalu landai), lalu kejenuhan pada ± V_ sat. Dalam model idealnya ruas linear itu tegak: = 0. — Penguat operasional: lambangnya beserta kedua masukannya, dan karakteristik alihnya $V_s(\epsilon)$ — ruas linear yang curam berkemiringan $\mu \sim 10^5$ (digambar terlalu landai), lalu kejenuhan pada $\pm V_{\mathrm{sat}}$ . Dalam model idealnya ruas linear itu tegak: $\epsilon = 0$ .

Proposisi 10.3 (Umpan balik negatif dan rezim linear)

Jika keluarannya disambungkan kembali ke masukan membalik lewat sebuah jaringan (umpan balik negatif), rangkaiannya mempunyai titik kerja linear yang mantap pada $\epsilon = 0$ dan kaidah penguat idealnya berlaku. Jika keluarannya diumpanbalikkan ke masukan tak membalik (umpan balik positif), atau tidak diumpanbalikkan sama sekali, penguatnya menjadi jenuh: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ menurut tanda $\epsilon$ .

Bukti sebagian. Dengan umpan balik negatif, andaikan $V_s$ naik sedikit di atas nilai kesetimbangannya; lewat jaringan umpan baliknya $V_-$ naik, $\epsilon$ turun, dan penguatnya menarik $V_s$ kembali ke bawah: usikannya terkoreksi. Dengan umpan balik positif, usikan yang sama menaikkan $V_+$ , memperbesar $\epsilon$ dan mendorong $V_s$ makin jauh sampai ia jenuh. Alasan lengkapnya (model penguat orde pertama, $\mu(j\omega) = \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$ , dan kemantapan persamaan diferensial yang dihasilkannya) adalah pokok bahasan volume Tahun ke-2; kaidah di atas itulah yang dipakai orang. ∎

Catatan 10.4 (Penguat yang sesungguhnya)

Tiga penyimpangan dari yang ideal berarti dalam praktik. Penguatan lingkar terbukanya jatuh terhadap frekuensi sebagai $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ dengan $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$ : hasil kali $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (hasil kali penguatan–lebar pita) adalah lebar pita yang tersedia bagi sebuah pengikut, dan rangkaian dengan penguatan lingkar tertutup $G$ berlebar pita $f_T/G$ . Keluarannya tak dapat berubah lebih cepat daripada laju ayunnya, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ . Dan tegangan simpangan masukan yang kecil ( $\sim1\,\mathrm{mV}$ ) dikuatkan seperti sebuah sinyal — fatal bagi masukan bertaraf milivolt kecuali ditera.

10.2 Rangkaian linear dasarnya

Metode 10.5 (Menganalisis rangkaian penguat operasional ideal dalam rezim linear)

Periksalah bahwa umpan baliknya menuju masukan membalik.
Tuliskan $i_+ = i_- = 0$ : simpul masukannya menuruti hukum simpul Kirchhoff tanpa arus yang masuk ke penguatnya (pembagi dan teorema Millman berlaku).
Tuliskan $V_+ = V_-$ lalu selesaikan untuk $V_s$ .
Periksalah sesudahnya bahwa $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; jika tidak, penguatnya jenuh dan hasilnya $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

Proposisi 10.6 (Pengikut, penguat tak membalik dan penguat membalik)

Pengikut: keluarannya diawatkan ke $V_-$ , masukannya pada $V_+$ : $V_s = V_e$ ; impedansi masukannya tak hingga, impedansi keluarannya nol.
Penguat tak membalik: keluarannya ke $V_-$ lewat pembagi $R_2$ (umpan balik) dan $R_1$ (ke tanah), masukannya pada $V_+$ :

$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$
Penguat membalik: $V_+$ ditanahkan, masukannya lewat $R_1$ ke $V_-$ , umpan baliknya $R_2$ dari keluaran ke $V_-$ :

$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$

dengan $V_-$ tertahan pada potensial tanah (sebuah tanah maya) dan impedansi masukan $R_1$ .

Bukti. Pengikut: $V_- = V_s$ dan $V_+ = V_e$ ; $\epsilon = 0$ memberi $V_s = V_e$ . Tak membalik: tak ada arus yang masuk ke $V_-$ , sehingga pembaginya memberi $V_- = V_sR_1/(R_1 + R_2)$ ; samakan dengan $V_+ = V_e$ . Membalik: $V_- = V_+ = 0$ ; hukum simpul di $V_-$ dengan $i_- = 0$ : $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$ . Sumbernya menyampaikan $V_e/R_1$ : impedansi masukannya $R_1$ . ∎

Ketiga penguat dasarnya. Pada masing-masing, keluarannya memberi masukan membaliknya, penguatnya bekerja dalam rezim linear, dan penguatannya ditetapkan oleh nisbah resistor semata — bukan oleh penguatnya sendiri yang raksasa dan tak terdefinisi dengan baik. — Ketiga penguat dasarnya. Pada masing-masing, keluarannya memberi masukan membaliknya, penguatnya bekerja dalam rezim linear, dan penguatannya ditetapkan oleh nisbah resistor semata — bukan oleh $\mu$ penguatnya sendiri yang raksasa dan tak terdefinisi dengan baik.

Contoh 10.7 (Mengapa sebuah pengikut)

Sensor berhambatan Thévenin $10\,\mathrm{k}\Omega$ yang memberi daya kepada beban $1\,\mathrm{k}\Omega$ hanya menyampaikan $1/11$ tegangan rangkaian terbukanya (Catatan 6.14). Sebuah pengikut di antara keduanya tak menarik arus dari sensornya dan menggerakkan bebannya dari keluaran berimpedansi nol: tegangan penuhnya tiba. Pengikut itu adalah penyesuai impedansi — dan ia membuat kaidah deretan Proposisi 9.14 menjadi eksak.

Proposisi 10.8 (Penguat penjumlah dan penguat selisih)

Masukan $V_1, V_2$ lewat $R_1, R_2$ ke simpul membaliknya, umpan balik $R_f$ , $V_+$ ditanahkan:

V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right) \quad (\text{penguat penjumlah}).

Dengan $V_1$ lewat $R_1$ ke $V_-$ (umpan balik $R_2$ ) dan $V_2$ lewat $R_1$ ke $V_+$ (dengan $R_2$ dari $V_+$ ke tanah):

V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1) \quad (\text{penguat selisih}).

Bukti. Penjumlah: hukum simpul di tanah mayanya, $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f = 0$ . Selisih: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (pembagi); hukum simpul di $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$ , sehingga $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; tetapkan $V_- = V_+$ lalu sederhanakan. ∎

10.3 Pengintegral dan diferensiator

Proposisi 10.9 (Pengintegral)

Masukan lewat $R$ ke $V_-$ , sebuah kapasitor $C$ sebagai umpan balik, $V_+$ ditanahkan:

V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0), \qquad \underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .

Penguatannya jatuh $20\,\mathrm{dB}$ tiap dekade pada setiap frekuensi dan fasenya $+90^\circ$ : sebuah pengintegral yang eksak — sampai simpangan atau prategangan sekecil apa pun, yang diintegralkan selamanya, mendorong keluarannya ke kejenuhan.

Bukti. Tanah maya: arus $V_e/R$ mengalir ke kapasitornya, yang tegangannya (dari $V_-$ ke keluarannya) adalah $-V_s$ ; jadi $C\,\dd(-V_s)/\dd t = V_e/R$ , dan dalam notasi kompleks $\underline H = -1/(jRC\omega)$ . ∎

Catatan 10.10 (Menjinakkan pengintegral)

Sebuah resistor $R'$ yang terangkai paralel dengan $C$ memberi

\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},

yaitu lolos rendah orde pertama berpenguatan searah $-R'/R$ dan berfrekuensi potong $1/R'C$ , yang mengintegralkan untuk $\omega \gg 1/R'C$ tetapi tak dapat menghanyut ke kejenuhan. Begitu pula diferensiatornya (kapasitor di masukannya, resistor sebagai umpan balik: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$ , $\underline H = -jRC\omega$ ) menguatkan derau frekuensi tinggi tanpa batas kecuali sebuah resistor seri yang kecil membatasi penguatannya.

Pengintegral dan diagram Bode-nya (biru, -20\, dB/ dekade di sepanjangnya, penguatan tak hingga pada arus searah); dengan sebuah resistor melintasi C, penguatannya dibatasi pada frekuensi rendah (merah): lolos rendah yang mengintegralkan di atas frekuensi potongnya. — Pengintegral dan diagram Bode-nya (biru, $-20\,\mathrm{dB}/\mathrm{dekade}$ di sepanjangnya, penguatan tak hingga pada arus searah); dengan sebuah resistor melintasi $C$ , penguatannya dibatasi pada frekuensi rendah (merah): lolos rendah yang mengintegralkan di atas frekuensi potongnya.

Contoh 10.11 (Segitiga dari persegi)

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$ . Gelombang persegi $1\,\mathrm{kHz}$ sebesar $\pm1\,\mathrm{V}$ memberi segitiga berkemiringan $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ dan beramplitudo $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — tanpa pelemahan $1/\omega$ milik RC pasif, dan dengan keluaran berimpedansi nol untuk memberi tingkat berikutnya.

10.4 Tapis aktif

Proposisi 10.12 (Lolos rendah aktif orde pertama)

Penguat membalik dengan sebuah kapasitor $C$ melintasi resistor umpan baliknya $R_2$ mempunyai

\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:

yaitu lolos rendah berpenguatan searah $-R_2/R_1$ (yang dapat melampaui $1$ ) dan berfrekuensi potong $\omega_c = 1/R_2C$ , dengan impedansi keluaran nol — tingkatnya berderet lewat perkalian sederhana.

Bukti. Penguat membalik dengan impedansi umpan balik $R_2 \parallel 1/jC\omega = R_2/(1 + jR_2C\omega)$ menggantikan $R_2$ . ∎

10.5 Tanpa umpan balik negatif: pembanding

Proposisi 10.13 (Pembanding)

Tanpa umpan balik, penguat idealnya menjadi jenuh: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ jika $V_+ > V_-$ , dan $-V_{\mathrm{sat}}$ jika $V_+ < V_-$ . Dengan acuan $V_{\mathrm{ref}}$ pada salah satu masukannya dan sinyal pada yang lain, keluarannya memberitahukan apakah sinyalnya melampaui acuannya — sebuah pengubah satu bit.

Bukti. $\mu\epsilon$ melampaui $V_{\mathrm{sat}}$ untuk sebarang $\abs\epsilon > V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ . ∎

Proposisi 10.14 (Pemicu Schmitt)

Umpanbalikkan sebagian $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ keluarannya ke $V_+$ (pembagi $R_1$ ke tanah, $R_2$ dari keluarannya) lalu terapkan sinyal $V_e$ pada $V_-$ . Keluarannya berpindah dari $+V_{\mathrm{sat}}$ ke $-V_{\mathrm{sat}}$ ketika $V_e$ naik melewati $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ , dan kembali ketika $V_e$ jatuh di bawah $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ : dua ambang, sebuah histeresis selebar $2\beta V_{\mathrm{sat}}$ , yang kebal terhadap derau yang lebih kecil daripada lebar itu.

Bukti. Umpan balik positif: jenuh. Jika $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ maka $V_+ = \beta V_{\mathrm{sat}}$ , dan $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ tetap positif sampai $V_e$ melampaui $\beta V_{\mathrm{sat}}$ ; lalu keluarannya berbalik, $V_+$ jatuh ke $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ , dan keadaan barunya bertahan sampai $V_e$ jatuh di bawah nilai itu. ∎

Pemicu Schmitt: umpan balik positif lewat R_1, R_2 memberi dua ambang ± V_ sat. Keluarannya berbalik dari tinggi ke rendah ketika V_e naik melewati ambang atasnya dan dari rendah ke tinggi ketika ia jatuh di bawah ambang bawahnya (anak panah): sebuah daur histeresis. — Pemicu Schmitt: umpan balik positif lewat $R_1$ , $R_2$ memberi dua ambang $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ . Keluarannya berbalik dari tinggi ke rendah ketika $V_e$ naik melewati ambang atasnya dan dari rendah ke tinggi ketika ia jatuh di bawah ambang bawahnya (anak panah): sebuah daur histeresis.

Contoh 10.15 (Osilator relaksasi)

Sambungkan keluaran pemicu Schmitt itu kembali ke masukan membaliknya sendiri lewat $R$ , dengan $C$ dari $V_-$ ke tanah. Kapasitornya mengisi menuju $\pm V_{\mathrm{sat}}$ lalu membalikkan pemicunya setiap kali ia mencapai $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ : keluarannya adalah gelombang persegi, tegangan kapasitornya sederet busur eksponensial, dan periodenya

T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}

(Latihan 10.12): $2.2\,RC$ untuk $\beta = \tfrac12$ . Tanpa masukan, satu kapasitor, dan sebuah jam — sistem yang berosilasi karena ia tak dapat tenang, sebuah tema yang kembali bersama osilator umpan balik volume Tahun ke-2.

10.6 Latihan

Latihan 10.1 ★

Sebuah penguat tak membalik mempunyai $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ . Berapa penguatannya? Berapa keluarannya untuk $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$ ? Berapa masukan terbesar sebelum jenuh?

Solusi

Solusi Latihan 10.1.

$G = 1 + 9 = 10$ ; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$ ; jenuh pada $V_e = 15/10 = 1.5\,\mathrm{V}$ .

Latihan 10.2 ★

Sebuah penguat membalik mempunyai $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ . Berapa penguatannya, impedansi masukannya, arus yang ditarik dari sumber $1.0\,\mathrm{V}$ , dan keluarannya?

Solusi

Solusi Latihan 10.2.

$G = -10$ ; impedansi masukannya $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $i = 1.0/10^4 = 0.10\,\mathrm{mA}$ ; $V_s = -10\,\mathrm{V}$ .

Latihan 10.3 ★

Sebuah sensor berhambatan dalam $10\,\mathrm{k}\Omega$ dan bertegangan rangkaian terbuka $1.0\,\mathrm{V}$ harus menggerakkan beban $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Berapa tegangan pada bebannya tanpa dan dengan sebuah pengikut di antara keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 10.3.

Tanpa pengikut: pembagi $1/(1 + 10) = 0.091$ , $91\,\mathrm{mV}$ . Dengan pengikutnya: $1.0\,\mathrm{V}$ — pengikutnya tak menarik apa pun dari sensornya dan memasok $1\,\mathrm{mA}$ yang diperlukan bebannya.

Latihan 10.4 ★

Sebuah penguat penjumlah mempunyai $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ dan masukan lewat $10\,\mathrm{k}\Omega$ dan $20\,\mathrm{k}\Omega$ . Tuliskan $V_s$ ; hitunglah untuk $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.4.

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$ .

Latihan 10.5 ★★

Turunkan $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ milik penguat selisih. Dengan $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$ : berapa keluarannya? Apa yang terjadi pada $1\,\mathrm{V}$ yang bersama pada kedua masukannya?

Solusi

Solusi Latihan 10.5.

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ ; di $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$ , sehingga $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; dengan $V_- = V_+$ : $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$ . Angkanya: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$ ; $1\,\mathrm{V}$ yang bersama tak menyumbang apa pun — penolakan modus bersama.

Latihan 10.6 ★★

Pengintegral dengan $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , yang keluarannya mula-mula nol. Sebuah tangga $1.0\,\mathrm{V}$ diterapkan: berapa kemiringan keluarannya dan waktu sampai jenuh ( $15\,\mathrm{V}$ )? Sebuah gelombang persegi $1.0\,\mathrm{kHz}$ sebesar $\pm1.0\,\mathrm{V}$ : bagaimana bentuk dan amplitudo keluarannya?

Solusi

Solusi Latihan 10.6.

$V_s = -(1/RC)\int V_e$ : kemiringannya $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ; jenuh setelah $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$ . Gelombang persegi: segitiga beramplitudo $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (ditambah tetapan apa pun yang ditinggalkan muatan awalnya).

Latihan 10.7 ★★

Sebuah resistor $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ ditambahkan melintasi kapasitor pengintegral sebelumnya. Berikan fungsi alihnya, penguatan searahnya, frekuensi potongnya, dan penguatannya pada $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; pada rentang mana rangkaiannya masih mengintegralkan?

Solusi

Solusi Latihan 10.7.

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$ : penguatan searahnya $-100$ ; frekuensi potongnya $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$ ; pada $1\,\mathrm{kHz}$ , $R'C\omega = 628$ , $G = 100/628 = 0.16$ — yaitu nilai pengintegralnya $1/RC\omega$ . Ia mengintegralkan untuk $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$ .

Latihan 10.8 ★★

Rancanglah lolos rendah aktif membalik dengan penguatan $20\,\mathrm{dB}$ pada pita lolosnya dan frekuensi potong $500\,\mathrm{Hz}$ , memakai $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.8.

$R_2/R_1 = 10$ : $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$ .

Latihan 10.9 ★★

Sebuah penguat sungguhan mempunyai $\mu_0 = 10^5$ dan $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ . Untuk penguat tak membalik yang dirancang bagi penguatan $100$ : berapa penguatan searah sejatinya (pertahankan $\mu_0$ berhingga dalam analisisnya), dan berapa lebar pitanya? Berapa lebar pita sebuah pengikut?

Solusi

Solusi Latihan 10.9.

Dengan $\mu$ berhingga: $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$ , $\beta = 1/100$ , sehingga $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$ . Lebar pitanya $f_T/G = 10\,\mathrm{kHz}$ ; pengikutnya: $1\,\mathrm{MHz}$ .

Latihan 10.10 ★★★

Sebuah pembanding dengan $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ pada $V_-$ mengawasi sinyal yang naik perlahan dan membawa derau $50\,\mathrm{mV}$ . Gambarkan keluarannya ketika sinyalnya melintasi $2.0\,\mathrm{V}$ . Apa obatnya?

Solusi

Solusi Latihan 10.10.

Tiap lonjakan derau yang melintasi $2.0\,\mathrm{V}$ membalikkan keluarannya: sebuah letupan penyaklaran cepat di sekitar persilangannya. Obatnya: histeresis yang lebih lebar daripada deraunya, yaitu sebuah pemicu Schmitt.

Latihan 10.11 ★★★

Pemicu Schmitt dengan $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ : turunkan lalu hitunglah kedua ambangnya. Sketsalah $V_s$ untuk $V_e$ berbentuk segitiga beramplitudo $3\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.11.

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$ : ambangnya $\pm1.5\,\mathrm{V}$ . Keluarannya $+15\,\mathrm{V}$ selagi $V_e$ naik sampai $1.5\,\mathrm{V}$ , berbalik ke $-15\,\mathrm{V}$ , tinggal di sana sampai $V_e$ jatuh di bawah $-1.5\,\mathrm{V}$ , lalu berbalik lagi: sebuah gelombang persegi berfrekuensi segitiganya, dengan tepinya pada persilangan ambangnya.

Latihan 10.12 ★★★

Osilator relaksasi dengan $R_1 = R_2$ ( $\beta = \tfrac12$ ). Turunkan periodenya $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ dari pengisian $C$ lewat $R$ antara kedua ambangnya; pilihlah $R$ untuk $1.0\,\mathrm{kHz}$ dengan $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; sketsalah $V_s(t)$ dan $V_C(t)$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.12.

Dengan $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ , $V_C$ mengisi dari $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ menuju $+V_{\mathrm{sat}}$ : $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}} \eu^{-t/RC}$ , yang mencapai $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ ketika $\eu^{-t/RC} = (1 - \beta)/(1 + \beta)$ : setengah periodenya $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ , jadi $T$ . $\beta = \tfrac12$ : $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$ ; $RC = 1/(2.2 \times 10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$ , $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$ . $V_s$ : gelombang persegi $\pm15\,\mathrm{V}$ ; $V_C$ : busur eksponensial antara $\pm7.5\,\mathrm{V}$ .

10.7 Soal: Rantai instrumentasi untuk sebuah pengukur regangan

Soal 10.1

Soal akhir pekan — dari dua milivolt pada sebuah gelagar jembatan sampai sebuah lampu merah: pengikut, penguat selisih, tapis aktif dan pemicu Schmitt, serta dua ketakidealan yang memutuskan apakah rantainya bekerja

Sebuah pengukur regangan berhambatan $R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$ , membentuk jembatan Wheatstone bersama tiga resistor tetap $1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , yang diberi $E = 5.00\,\mathrm{V}$ . Keluaran jembatannya $u = V_B - V_A$ (antara kedua titik tengahnya) adalah $u \approx E\epsilon/4$ (tandanya dipilih lewat pengawatannya). Penguatnya: ideal kecuali dinyatakan lain; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ ; bila diperlukan, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , laju ayun $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ , simpangan masukan $1\,\mathrm{mV}$ .

Bagian I — Jembatannya dan pembebanannya.

Ingat kembali mengapa $u \approx E\epsilon/4$ untuk $\epsilon$ kecil.
Hitunglah $u$ pada skala penuh ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
Berikan potensial tiap titik tengahnya (relatif terhadap kutub negatif jembatannya) pada regangan nol dan pada skala penuh. Apa nama nilai bersamanya?
Tiap titik tengahnya adalah keluaran sebuah pembagi dua resistor $1\,\mathrm{k}\Omega$ : berapa hambatan Thévenin yang terlihat antara kedua titik tengahnya?
Sebuah penguat yang hambatan masukannya $10\,\mathrm{k}\Omega$ dipasang melintasi keluaran jembatannya: berapa bagian $u$ yang diterimanya?
Mengapa sebuah pengikut pada tiap titik tengahnya menyembuhkan hal ini? Sebutkan kedua sifat yang dipakainya.
Berapa tegangan keluaran pengikutnya (dalam $V_A$ , $V_B$ ), dan berapa arus yang ditariknya dari jembatannya?

Bagian II — Menguatkan selisihnya.

Pengikutnya memberi sebuah penguat selisih ( $R_1$ pada kedua masukannya, $R_2$ sebagai umpan balik dan ke tanah). Turunkan $V_s = (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ .
Pilihlah $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ dan $R_2$ untuk penguatan $100$ .
Tingkat kedua yang tak membalik mengalikan dengan $10$ : berikan resistornya, penguatan totalnya, dan keluarannya pada skala penuh.
Kedua titik tengahnya duduk di dekat $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (tegangan modus bersamanya). Apa yang dilakukan penguat selisih yang tersesuaikan dengan tepat terhadapnya? Jika satu nisbah resistornya meleset $1\%$ , taksirlah tegangan palsu yang teracukan ke masukannya lalu bandingkan dengan sinyalnya.
Penguat pertamanya mempunyai simpangan masukan $1\,\mathrm{mV}$ . Berapa galat keluaran yang dihasilkannya setelah penguatan totalnya? Simpulkan.
Dengan $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ , berapa lebar pita tiap tingkatnya? Apakah itu cukup bagi sinyal di bawah $5\,\mathrm{Hz}$ ?
Keluarannya harus berayun sebesar $2.5\,\mathrm{V}$ ketika sebuah truk tiba dalam sekitar $10\,\mathrm{ms}$ : apakah laju ayunnya membatasi?

Bagian III — Menapis. Sinyal yang telah dikuatkan itu membawa dengung $50\,\mathrm{Hz}$ yang terpungut dari jaringan listrik.

Rancanglah lolos rendah aktif membalik berpenguatan $-1$ dan berfrekuensi potong $10\,\mathrm{Hz}$ , memakai $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : carilah $C$ .
Hitunglah pelemahannya pada $50\,\mathrm{Hz}$ dalam desibel.
Hitunglah pergeseran fasenya pada $5\,\mathrm{Hz}$ dan tundaan yang bersesuaian. Dapat diterima bagi sebuah alarm?
Mengapa tapis aktif lebih disukai di sini daripada RC pasif (dua alasan)?
Tingkat kedua yang serupa dideretkan: berapa pelemahannya pada $50\,\mathrm{Hz}$ ? Mengapa kaidah perkaliannya eksak di sini?

Bagian IV — Ambang dan alarm. Alarmnya harus terpicu ketika regangannya melampaui $1.6 \times 10^{-3}$ .

Tegangan keluaran rantai berapa yang bersesuaian dengan hal ini? Sebuah pembanding dengan acuan itu: berapa keadaan keluarannya?
Sinyal yang telah ditapis itu masih membawa derau $50\,\mathrm{mV}$ di dekat ambangnya. Apa yang dilakukan pembanding biasanya?
Sebuah pemicu Schmitt dengan acuannya pada satu masukan dan umpan balik $\beta$ : tunjukkan bahwa ambangnya adalah $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ ; pilihlah $\beta$ untuk $\pm0.10\,\mathrm{V}$ lalu berikan $R_1$ , $R_2$ .
Nyatakan kedua ambangnya dalam volt dan dalam regangan.
Keluarannya menggerakkan sebuah LED ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) lewat sebuah resistor: hitunglah resistornya. Apa yang melindungi LED-nya ketika keluarannya berada pada $-V_{\mathrm{sat}}$ ?
Ringkaslah rantainya, tingkat demi tingkat, lalu sebutkan kedua ketakidealan yang menetapkan batas sejatinya.

Solusi

Solusi Soal 10.1.

1. Dua pembagi: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] \approx -E\epsilon/4$ (Proposisi 6.22); pengawatannya menetapkan tandanya.

2. $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$ .

3. $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ selalu; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 + \epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ pada skala penuh. $2.5\,\mathrm{V}$ yang dibagi keduanya adalah tegangan modus bersamanya.

4. Tiap titik tengahnya: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$ ; antara kedua titik tengahnya, $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

5. $10/(10 + 1) = 0.91$ : rugi $9\%$ .

6. Impedansi masukan tak hingga (tak ada arus dari jembatannya, sehingga titik tengahnya menjaga potensial rangkaian terbukanya) dan impedansi keluaran nol (tingkat berikutnya dapat menarik apa yang diperlukannya).

7. $V_A$ dan $V_B$ persis; arusnya nol.

8. Seperti dalam Proposisi 10.8: $V_+ = V_BR_2/(R_1 + R_2)$ , hukum simpul di $V_-$ , $V_- = V_+$ .

9. $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$ .

10. $1 + R_2/R_1 = 10$ : misalnya $1\,\mathrm{k}\Omega$ dan $9\,\mathrm{k}\Omega$ . Penguatan totalnya $1000$ ; skala penuhnya $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$ .

11. Bila tersesuaikan: $2.5\,\mathrm{V}$ yang bersama meniadakan dengan tepat (hanya $V_B - V_A$ yang bertahan). Ketaksesuaian $1\%$ meloloskan sekitar $1\%$ darinya: galat teracu masukan berorde $25\,\mathrm{mV}$ , sepuluh kali sinyal skala penuhnya — keempat resistornya harus disesuaikan lebih baik daripada $0.01\%$ (atau tegangan modus bersamanya disingkirkan lebih dahulu).

12. $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$ , empat puluh persen skala penuhnya: tak terpakai tanpa peneraan simpangan, penguat bersimpangan rendah (jenis cincang), atau kalibrasi nol tanpa beban di gelagarnya.

13. Tingkat 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$ ; tingkat 2: $100\,\mathrm{kHz}$ ; jauh di atas $5\,\mathrm{Hz}$ .

14. Yang diperlukan $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$ , dua ribu kali di bawah laju ayunnya: tidak.

15. $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10) = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

16. $x = 5$ : $G = 1/\sqrt{26}$ , $-14\,\mathrm{dB}$ .

17. $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$ ; tundaannya $\varphi/\omega = 15\,\mathrm{ms}$ — bukan apa-apa terhadap lewatnya sebuah truk.

18. Tak ada pembebanan pada tingkat berikutnya (impedansi keluaran nol) dan tersedia penguatan; selain itu tak ada pelemahan sinyal yang dikehendaki di bawah frekuensi potongnya.

19. $-28\,\mathrm{dB}$ (penguatannya berkalian, desibelnya berjumlahan), yang eksak karena impedansi keluaran tingkat pertamanya nol: tingkat kedua tidak membebaninya.

20. $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to 2.0\,\mathrm{V}$ ; keluarannya $+V_{\mathrm{sat}}$ ketika sinyalnya melampaui $2.0\,\mathrm{V}$ , dan $-V_{\mathrm{sat}}$ di bawahnya (atau sebaliknya, menurut pengawatannya).

21. Ia menyaklar berulang-ulang: lampunya berkedip-kedip selagi derau melintasi acuannya.

22. Dengan $V_{\mathrm{ref}}$ lewat $R_2$ dan keluarannya lewat $R_1$ …dalam bentuk bakunya, masukan tak membaliknya duduk pada $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$ ; dengan mengambil acuan yang tergeser sesuai dengan itu, taraf penyaklarannya adalah $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ . $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$ : $\beta = 1/150$ , misalnya $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$ .

23. $2.1\,\mathrm{V}$ (terpicu) dan $1.9\,\mathrm{V}$ (terlepas): regangannya $1.68 \times 10^{-3}$ dan $1.52 \times 10^{-3}$ .

24. $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Pada $-V_{\mathrm{sat}}$ LED-nya terprategang mundur sebesar $15\,\mathrm{V}$ , di luar batasnya: sebuah dioda biasa yang dipasang antiparalel (atau seri) melindunginya.

25. Jembatan ( $2.5\,\mathrm{mV}$ skala penuh) $\to$ dua pengikut (tanpa pembebanan) $\to$ penguat selisih $\times100$ $\to$ tak membalik $\times10$ $\to$ lolos rendah aktif $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ pemicu Schmitt pada $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ LED. Batas sejatinya: tegangan simpangan masukan dan penyesuaian resistor penguat selisihnya, yang keduanya sebanding dengan sinyal bertaraf milivolt itu.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium