Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

14Osilator Mekanik: Peredaman dan Resonansi

Doronglah ayunan seorang anak pada saat yang keliru dan tak banyak yang terjadi; doronglah sekali tiap periode, dengan lembut, dan dalam belasan ayunan anak itu sudah menjerit di puncak busurnya. Sebuah mesin cuci bergetar hebat pada satu laju tertentu dalam putaran perasnya lalu tenang di atasnya. Sebuah gelas anggur bernyanyi ketika jari basah mengelilingi bibirnya dengan laju yang tepat, dan pecah ketika seorang penyanyi menahan nada yang sama cukup keras. Setiap peristiwa itu adalah sebuah resonansi: sistem yang mempunyai frekuensi alami, ketika digerakkan di dekat frekuensi itu, menghimpun energi daur demi daur sampai gesekannya menguras energi itu secepat masuknya. Bab ini mengambil osilator mekanik — bebas, teredam, lalu dipaksa — dan menurunkan kurva resonansi yang kembaran listriknya telah muncul dalam Bab 8.

14.1 Osilator harmonik

Definisi 14.1 (Osilator harmonik)

Sistem yang simpangannya $x$ dari sebuah kesetimbangan mantap menuruti

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

disebut osilator harmonik dengan frekuensi sudut alami $\omega_0$ (berperiode $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). Penyelesaiannya $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ mempunyai amplitudo dan fase yang ditetapkan syarat awalnya serta periode yang bebas dari amplitudonya (keisokronan).

Proposisi 14.2 (Dari mana osilator harmonik berasal)

Massa $m$ pada pegas $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (hukum Hooke).
Bandul sederhana sepanjang $\ell$ , sudut kecil: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
Sebarang partikel di dekat kesetimbangan mantap sebuah potensial $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (Proposisi 13.12).
Rangkaian LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ , dengan $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

Energinya $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ bersifat tetap, berpindah bolak-balik antara bentuk kinetik dan bentuk potensial dua kali tiap periode.

Bukti. Hukum kedua Newton dengan $F = -kx$ ; persamaan bandul $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ dengan $\sin\theta \approx \theta$ ; rumus Taylor di minimum $E_p$ ; hukum loop rangkaian LC. Energinya: turunkan lalu pakai persamaannya. ∎

Contoh 14.3 (Silinder yang terapung-apung)

Sebuah silinder tegak berpenampang $S$ terapung dengan kedalaman tercelup $h$ ( $mg = \rho_wgSh$ , gaya apung dari Bab 21). Ketika ditekan turun sejauh $x$ , ia menerima tambahan gaya ke atas $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , sehingga $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — sama seperti bandul sepanjang $h$ . Sebuah pelampung yang tercelup $1\,\mathrm{m}$ terapung-apung dengan periode $2\,\mathrm{s}$ , berapa pun massanya.

14.2 Osilator teredam

Proposisi 14.4 (Osilator teredam)

Dengan gesekan kental $-\alpha\dot x$ , persamaannya menjadi

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

yaitu bentuk baku orde kedua Bab 7: untuk $Q > \tfrac12$ sebuah peluruhan pseudoperiodik $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ dengan $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; energinya meluruh sebagai $\eu^{-2t/\tau}$ dan

Q = 2\pi\,\frac{\text{energi tersimpan}}{\text{energi hilang tiap periode}} \quad (Q \gg 1) .

Bukti. Bagi $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ dengan $m$ . Untuk energinya: $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ kehilangan bagian $2T/\tau = 2\pi/Q$ tiap periode ketika nilai itu kecil. ∎

Contoh 14.5 (Waktu berdering)

Sebuah garpu tala $440\,\mathrm{Hz}$ masih berbunyi sepuluh sekon setelah dipukul: amplitudonya jatuh ke sekitar $5\%$ dalam $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ , sehingga $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ dan $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . Suspensi sebuah mobil ( $Q \approx 0.7$ ) berhenti dalam satu periode; ayunan seorang anak ( $Q \approx 20$ ) kehilangan sepertiga energinya tiap ayunan dan menuntut dorongan setiap kali.

14.3 Osilasi paksa dan resonansi

Teorema 14.6 (Osilator yang digerakkan secara sinusoidal)

Ketika digerakkan gaya $F_0\cos\omega t$ , osilator teredam

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

mapan, setelah peralihan berdurasi $\sim\tau$ , ke dalam rezim paksa $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ dengan, jika ditulis $x_r = \omega/\omega_0$ dan $X_0 = F_0/k$ sebagai simpangan statisnya,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

Amplitudo $X$ memuncak, untuk $Q > 1/\sqrt2$ , pada $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ dengan $X_{\max} \approx QX_0$ ; sedangkan amplitudo kecepatan $V = \omega X$ memuncak tepat pada $\omega_0$ , tempat $V_{\max} = F_0/\alpha$ , dan kurva resonansinya

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

berlebar pita $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . Pada $\omega_0$ simpangannya tertinggal di belakang gayanya sebesar $\pi/2$ dan kecepatannya sefase dengan gayanya.

Bukti. Metode kompleks (Bab 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , sehingga $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; bagi pembilang dan penyebutnya dengan $\omega_0^2 = k/m$ . Modulus dan argumennya menyusul; maksimum $X$ telah ditentukan letaknya dalam Proposisi 8.10 (fungsi yang sama). Kecepatannya: $\underline V = j\omega\underline X$ memberi $V = \omega X$ ; menuliskan $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ mengubah penyebutnya menjadi $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ , yaitu bentuk RLC-nya. Pada $x_r = 1$ , $\underline X = -jQX_0$ : ketertinggalan sebesar $\pi/2$ . ∎

Amplitudo (kiri) dan fase (kanan) osilator paksa terhadap frekuensi penggeraknya, untuk beberapa faktor kualitas. Sebuah puncak tajam di dekat _0 untuk Q yang besar, dan tak ada puncak di bawah Q = 1/√2; simpangannya berjalan dari sefase ( rendah) ke berlawanan ( tinggi), melalui ketertinggalan π/2 pada _0 — makin tajam resonansinya, makin mendadak peralihannya. — Amplitudo (kiri) dan fase (kanan) osilator paksa terhadap frekuensi penggeraknya, untuk beberapa faktor kualitas. Sebuah puncak tajam di dekat $\omega_0$ untuk $Q$ yang besar, dan tak ada puncak di bawah $Q = 1/\sqrt2$ ; simpangannya berjalan dari sefase ( $\omega$ rendah) ke berlawanan ( $\omega$ tinggi), melalui ketertinggalan $\pi/2$ pada $\omega_0$ — makin tajam resonansinya, makin mendadak peralihannya.

Catatan 14.7 (Dua resonansi, satu rangkaian)

Padanan $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ memetakan osilator paksa itu ke RLC seri Bab 8: resonansi kecepatannya adalah resonansi arusnya (selalu pada $\omega_0$ , berlebar pita $\omega_0/Q$ ), dan resonansi amplitudonya adalah resonansi muatan, yaitu resonansi tegangan kapasitornya (sedikit di bawah $\omega_0$ , dan tak ada untuk $Q$ yang rendah). Daya yang terserap, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , memuncak pada $\omega_0$ dengan nilai $F_0^2/2\alpha$ , dan titik setengah dayanya adalah lebar pita kecepatannya — persis seperti pada RLC.

Contoh 14.8 (Laju resonan)

Suspensi sebuah mobil mempunyai $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (Soal 7.1). Di jalan yang bergelombang setiap $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ , frekuensi eksitasinya adalah $v/\lambda$ : resonansi pada $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , kira-kira $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — laju yang membuat jalan bergelombang paling keras mengguncang mobilnya, dan alasan dipasangnya peredam dengan $Q \approx 0.7$ : dengan $Q = 5$ bodinya akan mengayun dengan lima kali amplitudo jalannya. Di atas resonansinya ( $x_r \gg 1$ ) amplitudonya jatuh sebagai $X_0/x_r^2$ : bodinya “mengambang” di atas gundukan yang cepat — itulah isolasi, wajah lain resonansi.

14.4 Eksitasi alas: isolasi dan seismometer

Proposisi 14.9 (Osilator yang diguncang tumpuannya)

Misalkan tumpuan sebuah sistem massa–pegas–peredam bergerak sejauh $x_g(t)$ (jalan di bawah sebuah mobil, tanah di bawah sebuah seismometer), dan misalkan $u$ simpangan massanya relatif terhadap tumpuannya sedangkan $x = x_g + u$ simpangan mutlaknya (dari kesetimbangan). Maka

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

dan untuk $x_g = X_g\cos\omega t$ , dengan $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

Untuk $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (massanya tinggal diam di ruang — sebuah seismometer membaca simpangan tanahnya) dan $X \to 0$ (massanya terisolasi dari guncangannya); untuk $x_r \ll 1$ : $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (sebuah akselerometer) dan $X \approx X_g$ (massanya mengikuti tumpuannya).

Bukti. Pegas dan peredamnya bekerja pada gerak relatifnya: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , dan $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . Dalam bentuk kompleks $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , dan dari sana $U/X_g$ ; lalu $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

Sebuah massa yang diguncang lewat tumpuannya. Kiri: gerak relatifnya U/X_g — sebuah akselerometer di bawah _0 (berkemiringan 2 pada skala logaritmik), sebuah seismometer di atasnya. Kanan: gerak mutlaknya X/X_g — massanya mengikuti tumpuannya pada frekuensi rendah, dan terisolasi darinya jauh di atas _0; Q yang tinggi tak membeli apa pun selain sebuah puncak yang berbahaya. — Sebuah massa yang diguncang lewat tumpuannya. Kiri: gerak relatifnya $U/X_g$ — sebuah akselerometer di bawah $\omega_0$ (berkemiringan $2$ pada skala logaritmik), sebuah seismometer di atasnya. Kanan: gerak mutlaknya $X/X_g$ — massanya mengikuti tumpuannya pada frekuensi rendah, dan terisolasi darinya jauh di atas $\omega_0$ ; $Q$ yang tinggi tak membeli apa pun selain sebuah puncak yang berbahaya.

Contoh 14.10 (Mengapa mesin duduk di atas dudukan lunak)

Sebuah motor $50\,\mathrm{Hz}$ di atas dudukan karet yang dilaraskan ke $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — sembilan persepuluh getarannya tak sampai ke lantai. Dudukannya harus lebih lunak daripada yang disarankan gerak hati: mengeraskannya menaikkan $f_0$ ke arah $50$ Hz lalu menghancurkan isolasinya. Rumus yang sama, dibaca dengan cara sebaliknya, adalah mobil Contoh 14.8 di jalan bergelombang.

14.5 Energi: bagaimana sebuah resonansi terbangun

Proposisi 14.11 (Neraca energi dalam rezim paksa)

Dalam rezim paksa yang tunak, daya rata-rata yang dipasok gaya penggeraknya sama dengan daya rata-rata yang dilesapkan gesekannya, $\tfrac12\alpha V^2$ . Pada resonansinya, energi tersimpan $\tfrac12 mV_{\max}^2$ adalah $Q/2\pi$ kali energi yang dipasok tiap periode: osilatornya menghimpun usaha penggeraknya selama kira-kira $Q$ daur sebelum kehilangannya menyamai masukannya, dan itu pula banyaknya daur ( $\sim\tau/T$ ) yang ditempuh peralihannya.

Bukti. Rata-ratakan teorema energinya sepanjang satu periode: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ dalam keadaan tunak, sehingga $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . Pada resonansi $V_{\max} = F_0/\alpha$ , energi tersimpannya $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ , yang dipasok tiap periode $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; nisbahnya $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

Contoh 14.12 (Ayunannya)

Sebuah ayunan sepanjang $2.5\,\mathrm{m}$ ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) memperoleh dorongan $50\,\mathrm{N}$ sepanjang $0.5\,\mathrm{m}$ tiap periode: $25\,\mathrm{J}$ tiap daur. Ia tumbuh sampai kehilangan tiap periodenya, $2\pi E/Q$ , sama dengan $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; dengan seorang anak $30\,\mathrm{kg}$ , $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ memberi $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . Jika didorong dengan irama lain, usaha dorongannya akan berganti-ganti tanda dan berrata-rata nol.

Awal mula sebuah resonansi (Q = 5, penggeraknya dinyalakan pada t = 0 pada _0): amplitudonya tumbuh menuju QX_0 dengan tetapan waktu = 2Q/ _0, yaitu selama kira-kira Q/π periode — peralihan yang tersuperposisi pada rezim paksanya. — Awal mula sebuah resonansi ( $Q = 5$ , penggeraknya dinyalakan pada $t = 0$ pada $\omega_0$ ): amplitudonya tumbuh menuju $QX_0$ dengan tetapan waktu $\tau = 2Q/\omega_0$ , yaitu selama kira-kira $Q/\pi$ periode — peralihan Bab 7 yang tersuperposisi pada rezim paksanya.

14.6 Latihan

Latihan 14.1 ★

Sebuah massa $0.20\,\mathrm{kg}$ pada pegas berkekakuan $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ berosilasi dengan amplitudo $5.0\,\mathrm{cm}$ . Berapa frekuensi sudutnya, frekuensinya, periodenya, laju maksimumnya, dan energi totalnya?

Solusi

Solusi Latihan 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

Latihan 14.2 ★

Berapa periode bandul $1.0\,\mathrm{m}$ di Bumi dan di Bulan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? Apa yang terjadi pada periode massa–pegas di Bulan?

Solusi

Solusi Latihan 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ di Bumi, $4.9\,\mathrm{s}$ di Bulan. Periode massa–pegasnya, $2\pi\sqrt{m/k}$ , tidak melibatkan $g$ : tak berubah.

Latihan 14.3 ★

Sebuah osilator mempunyai $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ dan $Q = 50$ . Berapa waktu peluruhan $\tau$ amplitudonya; waktu bagi energinya berkurang separuh; dan berapa osilasi sebelum amplitudonya turun sampai $5\%$ ?

Solusi

Solusi Latihan 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; energinya $\propto \eu^{-2t/\tau}$ berkurang separuh pada $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; $5\%$ setelah $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ , yaitu sekitar $48 \approx Q$ osilasi.

Latihan 14.4 ★

Sebuah massa pada pegas ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) digerakkan gaya beramplitudo $1.0\,\mathrm{N}$ . Berapa simpangan statisnya; amplitudonya pada resonansi; dan amplitudonya pada $\omega = 3\omega_0$ ?

Solusi

Solusi Latihan 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; pada resonansi $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; pada $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 14.5 ★★

Sebuah mobil ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) melintasi polisi tidur yang berjarak $8.0\,\mathrm{m}$ . Berapa laju resonannya? Pada $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , berapa bagian amplitudo gundukannya yang dirasakan bodinya? Berikan komentar.

Solusi

Solusi Latihan 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Pada $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — nyaris tak terisolasi; isolasi menuntut $x_r \gg 1$ (pada $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $x_r = 3.2$ : $0.45$ ).

Latihan 14.6 ★★

Jelaskan dengan neraca energinya mengapa sebuah ayunan harus didorong pada periodenya sendiri; untuk $Q = 20$ dan dorongan yang menambahkan $25\,\mathrm{J}$ tiap daur, carilah energi keadaan tunaknya, dan amplitudonya bagi seorang anak $30\,\mathrm{kg}$ pada ayunan $2.5\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.6.

Usaha sebuah dorongan positif hanya bila ia bekerja searah geraknya; ketika didorong tiap periode, semua dorongannya berjumlah; pada irama lain dorongannya berganti-ganti. Keadaan tunaknya: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

Latihan 14.7 ★★

Maksimum berurutan sebuah osilasi bebas menurun $10\%$ tiap periode. Carilah $Q$ dan lebar pita resonansi kecepatannya (dalam hertz) jika $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

Latihan 14.8 ★★

Berikan fase simpangannya relatif terhadap gayanya jauh di bawah resonansi, pada resonansi dan jauh di atasnya, serta fase kecepatannya pada resonansi. Mengapa resonansi kecepatanlah yang berarti bagi dayanya?

Solusi

Solusi Latihan 14.8.

Simpangannya: sefase ( $\varphi = 0$ ) jauh di bawahnya, $-\pi/2$ pada resonansi, $-\pi$ (berlawanan) jauh di atasnya. Kecepatannya pada resonansi: sefase dengan gayanya. Dayanya adalah $\vect F\cdot\vect v$ : fase kecepatannyalah, bukan fase simpangannya, yang memutuskan berapa banyak usaha yang dilakukan penggeraknya.

Latihan 14.9 ★★

Tunjukkan bahwa amplitudo kecepatan $V = \omega X$ maksimum tepat pada $\omega_0$ , dengan $V_{\max} = F_0/\alpha$ , dan bahwa $V/V_{\max}$ berbentuk $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.9.

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; bagi pembilang dan penyebutnya dengan $\omega\omega_0/Q$ : $V = (F_0Q/m\omega_0)/ \sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$ , dan $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . Akar kuadratnya $\geq 1$ , dan sama dengan $1$ tepat pada $\omega = \omega_0$ .

Latihan 14.10 ★★★

Hitunglah daya rata-rata yang terserap pada resonansi untuk $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , dan energi tersimpannya jika $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; periksalah bahwa nisbahnya adalah $Q/\omega_0$ dengan $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ dan $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

Latihan 14.11 ★★★

Sebuah garpu tala $440\,\mathrm{Hz}$ terdengar selama $10\,\mathrm{s}$ (amplitudonya turun sampai $5\%$ ). Taksirlah $\tau$ dan $Q$ , lebar pita resonansinya, lalu berikan komentar mengapa ia menjadi acuan frekuensi yang baik.

Solusi

Solusi Latihan 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . Ia menanggapi, dan memancarkan, pada dasarnya satu frekuensi saja: sebuah acuan yang baik sampai beberapa bagian dalam $10^4$ .

Latihan 14.12 ★★★

Turunkan frekuensi terapung-apungnya sebuah silinder yang mengapung (Contoh 14.3) dari hukum Newton dan gaya Archimedes $\rho_wgS(h + x)$ ; tunjukkan bahwa $\omega_0^2 = g/h$ ; hitunglah periodenya untuk $h = 10\,\mathrm{cm}$ . Mengapa hasilnya bebas dari massanya dan dari cairannya?

Solusi

Solusi Latihan 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (karena $mg = \rho_wgSh$ ): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . Baik massanya maupun massa jenis cairannya masuk hanya lewat kedalaman kesetimbangannya $h$ .

Sebuah seismograf: massa berat pada suspensi lunak tinggal diam sementara tanahnya bergerak, dan penanya menuliskan selisihnya — osilator bereksitasi alas pada soal akhir pekan.

14.7 Soal: Seismograf

Soal 14.1

Soal akhir pekan — sebuah massa tergantung pada pegas di dalam kotak yang dibaut ke tanah; tanahnya berguncang: apa yang direkam penanya, mengapa alat yang sama mengukur simpangan pada frekuensi tinggi dan percepatan pada frekuensi rendah, dan mengapa seismometer berperiode panjang tak dapat sekadar berupa pegas panjang

Sebuah massa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ tergantung pada pegas berkekakuan $k$ di dalam rangka tegar yang dipasang tetap pada tanah; sebuah peredam mengerahkan $-\alpha\dot u$ , dengan $u$ simpangan massanya relatif terhadap rangkanya, yang diukur dari kedudukan kesetimbangannya. Tanahnya, dan karena itu rangkanya, bergerak tegak sejauh $x_g(t)$ . Kerangka bintang jauh bersifat inersial.

Bagian I — Persamaannya.

Tuliskan kedudukan mutlak massanya sebagai $x = x_g + u + \text{tetapan}$ , daftarkan gaya pada massanya (dalam kerangka inersialnya), lalu tunjukkan bahwa

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
Bawalah ke bentuk baku; kenali $\omega_0$ dan $Q$ .
Alatnya dibangun dengan $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ dan $Q = 0.70$ : hitunglah $k$ dan $\alpha$ .
Percepatan tanah yang tetap $a_g$ (misalnya rangkanya dimiringkan) memberi $u$ tunak berapa? Tafsirkan.
Apa yang direkam pena yang terpasang pada massanya, yang menulis pada tabung yang terpasang tetap pada rangkanya?

Bagian II — Gerak tanah yang harmonik. Tanahnya bergerak sebagai $x_g = X_g\cos\omega t$ ; tulislah $x_r = \omega/\omega_0$ .

Dengan memakai amplitudo kompleks, tunjukkan bahwa $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
Simpulkan $U/X_g$ sebagai fungsi $x_r$ dan $Q$ .
Limit $x_r \gg 1$ : tunjukkan $U \to X_g$ lalu jelaskan secara fisis apa yang dilakukan massanya (alatnya mengukur apa?).
Limit $x_r \ll 1$ : tunjukkan $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ dengan $a_g$ amplitudo percepatan tanahnya: alatnya kini apa?
Berapa nilainya pada $x_r = 1$ ; mengapa $Q \approx 0.7$ merupakan pilihan yang masuk akal?
Sketsalah $U/X_g$ terhadap $x_r$ (skala logaritmik) untuk $Q = 0.7$ dan $Q = 5$ .
Berapa fase $u$ relatif terhadap $x_g$ pada frekuensi tinggi; tafsirkan.

Bagian III — Merancang untuk gempa bumi. Gempa yang jauh menghasilkan gelombang permukaan pada $0.05\,$ sampai $0.1\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo milimeter; getar setempat mencapai $5\,$ sampai $10\,\mathrm{Hz}$ .

Untuk merekam gelombang $0.05\,\mathrm{Hz}$ sebagai simpangan orang menginginkan $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , katakanlah $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Berapa regangan statis pegasnya di bawah berat massanya? Berikan komentar.
Sebuah bandul sederhana berfrekuensi sama: berapa panjangnya?
Alat berperiode panjang yang sesungguhnya memakai bandul “pintu pagar” yang nyaris mendatar, atau umpan balik gaya elektronik. Jelaskan dalam satu kalimat apa yang dicapai masing-masing.
Untuk alat $0.50\,\mathrm{Hz}$ , hitunglah regangan statisnya: apakah dapat diwujudkan?
Dengan alat itu, gelombang $0.10\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo $1.0\,\mathrm{mm}$ memberi $U$ berapa? Alatnya berada dalam rezim yang mana?
Getar setempat $5.0\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo $1.0\,\mathrm{mm}$ : berapa $U$ ? Rezimnya?

Bagian IV — Akselerometer di dalam sebuah telepon. Sebuah massa hasil pemesinan mikro pada pegas silikon mempunyai $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ dan $Q = 0.7$ .

Guncangan $10\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo percepatan $g$ : hitunglah $U$ . Bagaimana simpangan sekecil itu dibaca?
Sampai frekuensi berapa bacaannya berada dalam $10\%$ dari $a_g/\omega_0^2$ ?
Tetapan waktu $\tau = 2Q/\omega_0$ yang mana yang mengatur tanggapannya terhadap sebuah sentakan, dan mengapa hal itu berarti bagi pendeteksian sebuah jatuh?
Berapa $\tau$ seismometernya: berapa nilainya dan apa akibatnya setelah sebuah tangga tanah yang mendadak?
Mengapa peredaman kritis (atau nyaris kritis) dipilih bagi kedua alat itu, alih-alih $Q$ yang tinggi?
Teleponnya diguncang tepat pada $1.0\,\mathrm{kHz}$ : dengan faktor berapa bacaannya meleset?
Ringkaslah: satu alat, dua rezim, yang diputuskan oleh satu perbandingan yang mana.

Solusi

Solusi Soal 14.1.

1. Gayanya: berat (diimbangi regangan statisnya), pegas $-ku$ , peredam $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ dengan $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : massanya melendut dengan jumlah tetap — alatnya menjadi akselerometer pada frekuensi nol (dan pengukur kemiringan).

5. Simpangan relatifnya $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; bagi dengan $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : massanya tak bergerak dalam kerangka inersialnya (kelembamannya menahannya diam sementara pegasnya terlalu lunak untuk menyeretnya); rangkanya bergerak di sekelilingnya, dan penanya merekam simpangan tanahnya — sebuah seismometer.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : sebuah akselerometer.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : tanpa puncak; kedua rezimnya bergabung dengan mulus dan alatnya tidak berdering.

11. Untuk $Q = 0.7$ : sebuah garis berkemiringan $2$ yang naik ke $1$ di dekat $x_r = 1$ , lalu mendatar pada $1$ ; untuk $Q = 5$ : sama dengan itu tetapi dengan puncak setinggi $5$ pada $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , massanya diam sementara rangkanya bergerak.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : mustahil.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. Pintu pagar: bandulnya berayun terhadap sumbu yang nyaris tegak, sehingga hanya sebagian kecil $g$ yang memulihkannya dan lengan pendek pun memberi periode panjang. Umpan balik gaya: sebuah kumparan menahan massanya tetap, dan arus yang diperlukan sebanding dengan percepatan tanahnya — kekakuannya bersifat elektronik dan dapat disetel.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : dapat diwujudkan.

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — rezim akselerometer, yang menuntut penguatan (tuas optik atau elektronik).

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , yaitu rekaman simpangan yang setia.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — dibaca sebagai perubahan celah sebuah kapasitor.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; dengan $Q = 0.7$ ia menurun secara monoton dan tetap di atas $0.9$ sampai $x_r \approx 0.7$ : kira-kira $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : ia mengikuti sebuah jatuh (puluhan milisekon) tanpa ketertinggalan.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : setelah sebuah tangga tanah, rekamannya mapan dalam setengah sekon tanpa dering.

23. $Q$ yang tinggi akan membuat alatnya berdering pada $f_0$ setelah tiap sentakan (merekam dirinya sendiri alih-alih tanahnya) dan memuncak di dekat $f_0$ ; $Q \approx 0.7$ mendatar dan cepat.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ terhadap $X_g$ yang ideal (atau $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): meleset $30\%$ terlalu rendah.

25. Bandingkan frekuensi sinyalnya dengan $f_0$ : jauh di atasnya, massanya menjadi acuan tetap dan $u$ adalah simpangannya; jauh di bawahnya, $u$ adalah percepatannya dibagi $\omega_0^2$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Osilator harmonik

Lihat semua 393 istilah di glosarium