Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

8Keadaan Tunak Sinusoidal dan Impedansi

Putarlah tombol sebuah radio tua dan, dari seratus stasiun yang semuanya mencapai antenanya sekaligus, satu saja yang tembus: sebuah kumparan dan sebuah kapasitor variabel telah dilaraskan sehingga tepat satu frekuensi membuat keduanya beresonansi. Jaringan listrik yang berdengung di setiap dinding adalah sinusoid $50\,\mathrm{Hz}$ ; pabrik yang menjalankan motor besar dari jaringan itu membayar denda bila arusnya terlalu jauh tertinggal di belakang tegangannya. Sinusoid adalah bahasa alami rangkaian linear — ia keluar sebagaimana ia masuk, hanya terskalakan dan tergeser — dan bab ini memberinya aljabar: amplitudo kompleks, impedansi, resonansi rangkaian RLC, dan daya yang sungguh-sungguh disampaikan arus sinusoidal.

Sebuah osiloskop yang memperlihatkan sinusoid dan gelombang persegi: sinusoidnya adalah sinyal yang menjadi tumpuan bab ini, gelombang perseginya adalah sinyal yang diuraikan bab berikutnya menjadi sinusoid.

8.1 Keadaan tunak sinusoidal

Proposisi 8.1 (Rezim sinusoidal paksa)

Dalam rangkaian linear yang digerakkan sumber sinusoidal berfrekuensi sudut $\omega$ , setiap arus dan tegangan, begitu peralihannya padam, merupakan sinusoid berfrekuensi sudut $\omega$ yang sama, masing-masing dengan amplitudo dan fasenya sendiri: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ .

Bukti. Persamaan rangkaiannya adalah persamaan diferensial linear berkoefisien tetap; penyelesaian umumnya adalah satu penyelesaian khusus ditambah penyelesaian persamaan homogennya, yang merupakan peralihan Bab 7 dan meluruh (setiap rangkaian nyata mempunyai sedikit hambatan). Penyelesaian khusus yang sinusoidal ada karena menurunkan sinusoid berfrekuensi $\omega$ menghasilkan sinusoid berfrekuensi sama: persamaannya dapat dipenuhi suku demi suku — metode kompleks di bawah ini membangunnya secara gamblang. ∎

Definisi 8.2 (Amplitudo kompleks)

Kepada sinusoid $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ orang mengaitkan sinyal kompleks $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ , sehingga $x = \Rea(\underline{x})$ , dan amplitudo kompleks

\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},

yang membawa amplitudo $X = \abs{\underline{X}}$ dan fase $\varphi = \arg\underline{X}$ . Di sini $j$ menyatakan satuan imajiner, $j^2 = -1$ , sedangkan huruf $i$ disediakan bagi arus. Digambar sebagai vektor sepanjang $X$ bersudut $\varphi$ , $\underline{X}$ adalah sebuah fasor (vektor Fresnel).

Proposisi 8.3 (Kaidah metode kompleks)

Operasi linear berkomutasi dengan pengambilan bagian real: amplitudo kompleks sebuah jumlah adalah jumlah amplitudo kompleksnya.
Menurunkan terhadap waktu mengalikan amplitudo kompleksnya dengan $j\omega$ ; mengintegralkan membaginya dengan $j\omega$ .
Hukum Kirchhoff, karena linear, berlaku bagi amplitudo kompleks.

Bukti. $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$ ; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$ , dan $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ karena penurunan bersifat linear-real. Jumlah arus di sebuah simpul dan jumlah tegangan mengelilingi sebuah loop bersifat linear. ∎

Contoh 8.4 (Menjumlahkan dua sinusoid)

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : amplitudo kompleksnya $3$ dan $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (karena $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ); jumlahnya $3 - 4j$ bermodulus $5$ dan berargumen $-0.927\ \mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ . Tanpa perlu satu pun identitas trigonometri.

8.2 Impedansi

Definisi 8.5 (Impedansi, admitansi)

Untuk dipol linear dalam keadaan tunak sinusoidal (kesepakatan penerima), impedansinya adalah nisbah amplitudo kompleks

\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{ohm}),

yang modulusnya $Z = U/I$ menghubungkan amplitudonya dan yang argumennya $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ merupakan keunggulan fase tegangan terhadap arusnya. Kebalikannya $\underline Y = 1/\underline Z$ adalah admitansi (siemens). Bagian real $\underline Z$ adalah hambatannya, bagian imajinernya adalah reaktansinya.

Proposisi 8.6 (Impedansi R, L, C)

\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .

Resistor menjaga tegangan dan arusnya sefase; pada kumparan tegangannya mendahului arusnya sebesar $\pi/2$ ; pada kapasitor ia tertinggal sebesar $\pi/2$ . Pada frekuensi rendah kumparan cenderung menjadi kawat dan kapasitor menjadi rangkaian terbuka; pada frekuensi tinggi sebaliknya.

Bukti. $u = Ri$ ; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$ ; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$ . Argumen $1$ , $j$ dan $-j$ adalah $0$ , $\pi/2$ , $-\pi/2$ . ∎

Proposisi 8.7 (Perangkaian; pembagi; teorema)

Impedansi yang terangkai seri saling menjumlah; admitansi yang terangkai paralel saling menjumlah; pembagi tegangan dan pembagi arus, teorema Thévenin dan Norton, superposisi serta teorema Millman Bab 6 semuanya berlaku dengan amplitudo kompleks dan impedansi menggantikan tegangan, arus dan hambatan yang real.

Bukti. Setiap bukti dalam Bab 6 hanya memakai hukum Kirchhoff dan kelinearan $u = Ri$ , yang keduanya berlaku dalam bentuk kompleks. ∎

Contoh 8.8 (Pembagi RC)

Resistor $R$ dan kapasitor $C$ yang terangkai seri melintasi $\underline E$ , dengan keluarannya diambil pada $C$ : $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$ . Amplitudonya $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$ , fasenya $-\arctan(RC\omega)$ : teruskan seluruhnya pada frekuensi rendah, $1/\sqrt2$ dan $-45^\circ$ pada $\omega = 1/RC$ , lalu jatuh sebagai $1/\omega$ di atasnya — sebuah tapis lolos rendah, pokok bahasan Bab 9.

8.3 Rangkaian RLC seri: resonansi

Teorema 8.9 (Resonansi arus)

Resistor $R$ , kumparan $L$ dan kapasitor $C$ yang terangkai seri melintasi $e(t) = E\cos\omega t$ membawa arus beramplitudo kompleks

\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .

Amplitudonya maksimum, $I_{\max} = E/R$ , dengan arus dan tegangan sefase, pada resonansi $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ . Dengan $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ dan $x = \omega/\omega_0$ ,

\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,

dan lebar pitanya — selang $\omega$ tempat $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — adalah

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .

Bukti. Impedansi seri saling menjumlah: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$ , dan $\underline I = \underline E/\underline Z$ . Modulusnya terbesar ketika reaktansi $L\omega - 1/C\omega$ lenyap, yaitu pada $\omega_0$ . Faktorkan $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ lalu bagi dengan $R$ : $L\omega_0/R = Q$ . Pada tepi pitanya, $Q(x - 1/x) = \pm 1$ , yaitu $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , yang akar positifnya $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ ; selisihnya adalah $1/Q$ . ∎

RLC seri: amplitudo arusnya (kiri) dan fasenya relatif terhadap sumbernya (kanan) terhadap / _0, untuk Q = 1, 3, 10. Puncaknya menyempit seiring tumbuhnya Q (= _0/Q); di bawah resonansi rangkaiannya bersifat kapasitif (arusnya mendahului), di atasnya bersifat induktif (arusnya tertinggal). — RLC seri: amplitudo arusnya (kiri) dan fasenya relatif terhadap sumbernya (kanan) terhadap $\omega/\omega_0$ , untuk $Q = 1, 3, 10$ . Puncaknya menyempit seiring tumbuhnya $Q$ ( $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ); di bawah resonansi rangkaiannya bersifat kapasitif (arusnya mendahului), di atasnya bersifat induktif (arusnya tertinggal).

Diagram fasor RLC seri di atas resonansi: U_R searah I, U_L seperempat putaran mendahului, U_C seperempat putaran tertinggal; jumlahnya E mendahului arusnya sebesar . Pada resonansi U_L dan U_C saling meniadakan dan E = U_R. — Diagram fasor RLC seri di atas resonansi: $\underline U_R$ searah $\underline I$ , $\underline U_L$ seperempat putaran mendahului, $\underline U_C$ seperempat putaran tertinggal; jumlahnya $\underline E$ mendahului arusnya sebesar $\varphi$ . Pada resonansi $\underline U_L$ dan $\underline U_C$ saling meniadakan dan $\underline E = \underline U_R$ .

Proposisi 8.10 (Penguatan tegangan)

Pada resonansi, tegangan pada kumparan dan pada kapasitor beramplitudo sama $QE$ dan berlawanan fase: untuk $Q \gg 1$ kapasitornya membawa tegangan $Q$ kali lebih besar daripada tegangan sumbernya. Amplitudo $U_C(\omega)$ sendiri memuncak, untuk $Q > 1/\sqrt2$ , pada $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , sedikit di bawah $\omega_0$ , dengan $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ .

Bukti. Pada $\omega_0$ , $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ dan $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ karena $I = E/R$ . Secara umum $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $1/C\omega_0$ ); kuadrat penyebutnya adalah $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ , yaitu kuadrat dalam $x^2$ yang minimum pada $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ ketika nilai itu positif, dengan minimum $1/Q^2 - 1/4Q^4$ . ∎

Contoh 8.11 (Melaras sebuah radio)

Kumparan $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ dan kapasitor variabel: $C = 127\,\mathrm{pF}$ melaraskan $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ . Dengan hambatan kawat kumparannya $R = 12.6\,\Omega$ , $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ dan $Q = 100$ : lebar pitanya $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — selebar sebuah kanal siaran modulasi amplitudo — dan $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ yang diimbaskan pemancar jauh menjadi $QE = 1\,\mathrm{mV}$ pada kapasitornya, cuma-cuma. Soal akhir pekan membangun penerima ini.

Catatan 8.12 (Mengapa $Q$ lagi)

$Q$ bab ini adalah $Q$ Bab 7: rangkaian yang berdering kira-kira $Q$ osilasi ketika dipukul adalah rangkaian yang beresonansi pada pita selebar $\omega_0/Q$ ketika digerakkan. Keduanya menyatakan satu nisbah: $2\pi$ kali energi tersimpan dibagi energi yang dilesapkan tiap periode (Latihan 8.12). Resonansi yang tajam dan dering yang panjang adalah sifat yang sama, begitu pula tanggapan yang lambat: tapis berlebar pita $\Delta\omega$ memerlukan waktu berorde $1/\Delta\omega$ untuk mapan.

8.4 Daya dalam rezim sinusoidal

Definisi 8.13 (Nilai rms)

Nilai akar rata-rata kuadrat (rms, atau efektif) sebuah sinyal berkala $x(t)$ adalah $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ , yaitu akar kuadrat rata-rata waktu $x^2$ sepanjang satu periode. Untuk sinusoid beramplitudo $X$ , $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$ . Angka $230\,\mathrm{V}$ jaringan listrik adalah nilai rms; amplitudonya $325\,\mathrm{V}$ .

Teorema 8.14 (Daya rata-rata)

Dipol dengan $u = U\cos\omega t$ dan $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ (kesepakatan penerima) menerima daya sesaat $p = ui$ , yang rata-ratanya

P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,

dengan $\cos\varphi$ sebagai faktor daya. Resistor menerima $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$ ; kumparan atau kapasitor ideal ( $\varphi = \pm\pi/2$ ) tidak menerima daya rata-rata — ia menyimpan energi selama setengah periode lalu mengembalikannya pada setengah periode berikutnya.

Bukti. $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$ ; suku keduanya berrata-rata nol. Dengan $\underline U = U$ dan $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ , $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$ , yang bagian realnya $UI\cos\varphi$ ; dan $\underline U = \underline Z\,\underline I$ memberi $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ . ∎

Daya sesaat yang diterima sebuah dipol dengan ketertinggalan fase 60 antara arus dan tegangannya: ia berdenyut pada 2, mencelup di bawah nol (energi yang dikembalikan ke sumbernya), dan berrata-rata 1/2 UI — di sini separuh dari nilainya bila sefase. — Daya sesaat yang diterima sebuah dipol dengan ketertinggalan fase $60^\circ$ antara arus dan tegangannya: ia berdenyut pada $2\omega$ , mencelup di bawah nol (energi yang dikembalikan ke sumbernya), dan berrata-rata $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — di sini separuh dari nilainya bila sefase.

Contoh 8.15 (Perbaikan faktor daya)

Motor sebuah bengkel pada $230\,\mathrm{V}$ rms menarik $2.0\,\mathrm{kW}$ dengan $\cos\varphi = 0.70$ (induktif): $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ , terhadap $8.7\,\mathrm{A}$ seandainya faktor dayanya $1$ — arus tambahannya memanaskan kabel perusahaan listrik tanpa guna, karena itulah dendanya. Kapasitor yang dipasang paralel memasok ayunan energi seperempat periode kumparannya secara setempat: daya reaktif $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ menuntut $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ , dan arus salurannya turun ke $8.7\,\mathrm{A}$ .

8.5 Latihan

Latihan 8.1 ★

Berikan amplitudo kompleks $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), dalam bentuk kutub dan bentuk Kartesius. Dengan memakai amplitudo kompleks, tuliskan $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ sebagai satu kosinus.

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$ , modulusnya $5$ , argumennya $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ .

Latihan 8.2 ★

Hitunglah impedansi $R = 100\,\Omega$ , $L = 0.10\,\mathrm{H}$ dan $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ dan pada $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Berikan modulus dan fase impedansi $R$ dan $L$ yang terangkai seri pada $50\,\mathrm{Hz}$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

$R$ : $100\,\Omega$ pada keduanya. $L\omega$ : $31.4\,\Omega$ ( $50\,\mathrm{Hz}$ ), $628\,\Omega$ ( $1\,\mathrm{kHz}$ ). $1/C\omega$ : $318\,\Omega$ , $15.9\,\Omega$ . $RL$ seri pada $50\,\mathrm{Hz}$ : $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$ , fasenya $\arctan(0.314) = 17^\circ$ .

Latihan 8.3 ★

Jaringan listrik $230\,\mathrm{V}$ rms: berapa amplitudonya? Sebuah pemanas $2.0\,\mathrm{kW}$ : arus rms dan arus puncaknya. Tunjukkan bahwa daya rata-rata pada resistor adalah $RI_{\mathrm{rms}}^2$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$ . $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ , puncaknya $12.3\,\mathrm{A}$ . $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ menurut definisi nilai rmsnya.

Latihan 8.4 ★

RLC seri: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ , $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Berikan $f_0$ , $Q$ , lebar pitanya dalam hertz dan amplitudo arus pada resonansi.

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$ ; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$ .

Latihan 8.5 ★★

Pembagi RC, keluarannya pada $C$ : $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ . Pada frekuensi berapa keluarannya $1/\sqrt2$ masukannya? Berikan nisbah amplitudo dan fase keluarannya pada $1.0\,\mathrm{kHz}$ dan pada $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

$1/\sqrt2$ pada $\omega = 1/RC$ : $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Pada $1.0\,\mathrm{kHz}$ : nisbahnya $0.71$ , fasenya $-45^\circ$ . Pada $10\,\mathrm{kHz}$ : $RC\omega = 10$ , nisbahnya $1/\sqrt{101} = 0.10$ , fasenya $-84^\circ$ .

Latihan 8.6 ★★

Pada suatu frekuensi sebuah RLC seri mempunyai $R = 100\,\Omega$ , $L\omega = 250\,\Omega$ , $1/C\omega = 100\,\Omega$ , dan $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Hitunglah $\underline Z$ , amplitudo dan fase arusnya, serta ketiga amplitudo tegangannya; lukislah diagram fasornya. Apakah rangkaiannya berada di atas atau di bawah resonansi?

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$ : $Z = 180\,\Omega$ , $\arg = 56^\circ$ . $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$ , tertinggal di belakang sumbernya sebesar $56^\circ$ . $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ , $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ , $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$ ; fasornya: $U_R$ searah $I$ , $U_L$ ke atas, $U_C$ ke bawah, resultannya $1.0\,\mathrm{V}$ . $L\omega > 1/C\omega$ : di atas resonansi (induktif).

Latihan 8.7 ★★

Radio: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , $C$ yang dapat disetel dari $50\,$ sampai $500\,\mathrm{pF}$ . Carilah rentang frekuensinya, kapasitansi untuk $1.00\,\mathrm{MHz}$ , dan, dengan $Q = 100$ , lebar pitanya serta pelemahan (nisbah amplitudo) sebuah stasiun yang berjarak $9\,\mathrm{kHz}$ . Ggl antena $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : berapa tegangan pada $C$ saat resonansi?

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : $1.59\,\mathrm{MHz}$ ( $50\,\mathrm{pF}$ ) sampai $0.50\,\mathrm{MHz}$ ( $500\,\mathrm{pF}$ ). Pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ : $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ . $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ . Stasiun pada $1.009\,\mathrm{MHz}$ : $x = 1.009$ , $Q(x - 1/x) = 1.8$ , nisbahnya $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$ . Tegangan kapasitornya $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ .

Latihan 8.8 ★★

Turunkan kedua frekuensi setengah daya RLC seri lalu tunjukkan bahwa selisihnya adalah $\omega_0/Q$ dan hasil kalinya $\omega_0^2$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ ; akar positifnya $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ . Selisihnya $1/Q$ , sehingga $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ; hasil kalinya $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$ , sehingga $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (pitanya setangkup pada skala logaritmik).

Latihan 8.9 ★★

Sebuah motor pada $230\,\mathrm{V}$ rms, $50\,\mathrm{Hz}$ , menyerap $2.0\,\mathrm{kW}$ dengan $\cos\varphi = 0.70$ . Hitunglah arus rmsnya, daya reaktifnya, kapasitansi paralel yang membawa faktor dayanya ke $1$ , dan arus barunya. Saluran catunya berhambatan $0.50\,\Omega$ : berapa rugi Joule sebelum dan sesudahnya?

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ . Daya reaktifnya $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$ . $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Arus barunya $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ . Ruginya $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ sebelumnya, $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ sesudahnya.

Latihan 8.10 ★★★

RLC paralel yang diberi sumber arus: tuliskan admitansinya, tunjukkan bahwa tegangannya maksimum pada $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ dan sama dengan $RI$ di sana, serta bahwa lebar pitanya $\Delta\omega = 1/RC$ , yaitu $Q = R\sqrt{C/L}$ . Angkanya: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\mathrm{nF}$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$ ; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ maksimum ketika suseptansinya lenyap, yaitu pada $\omega_0$ , tempat $U = RI$ . Setengah daya: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$ , yaitu $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$ : $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ dan $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ . Angkanya: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$ , $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$ .

Latihan 8.11 ★★★

Tunjukkan bahwa tegangan kapasitor sebuah RLC seri adalah $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ , bahwa ia memuncak pada $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ jika $Q > 1/\sqrt2$ , lalu hitunglah $x_r$ dan $U_{C,\max}/E$ untuk $Q = 3.16$ . Apa yang terjadi untuk $Q < 1/\sqrt2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$ ; isinya dikalikan $C\omega$ : $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$ . Dengan $s = x^2$ : $(1 - s)^2 + s/Q^2$ minimum pada $s = 1 - 1/2Q^2$ (bila positif), minimumnya $1/Q^2 - 1/4Q^4$ : $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ . $Q = 3.16$ : $x_r = 0.975$ , $U_{C,\max} = 3.2E$ . Untuk $Q < 1/\sqrt2$ minimumnya berada di $s = 0$ : $U_C$ menurun secara monoton dari $E$ , tanpa puncak.

Latihan 8.12 ★★★

Pada resonansi sebuah RLC seri, tunjukkan bahwa energi tersimpan totalnya $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ bersifat tetap dan sama dengan $\tfrac12 LI^2$ , hitunglah energi yang dilesapkan di $R$ tiap periode, lalu buktikan bahwa $2\pi\,(\text{tersimpan})/(\text{dilesapkan tiap periode}) = Q$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.12.

Pada resonansi $i = I\cos\omega_0 t$ dan $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$ , sehingga, dengan memakai $1/C\omega_0^2 = L$ ,

\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .

Dilesapkan tiap periode: $\tfrac12 RI^2T$ . Nisbahnya $\times 2\pi$ : $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$ .

Melaras sebuah radio tabung: memutar tombolnya mengubah sebuah kapasitor, kapasitornya menetapkan frekuensi resonansi sebuah rangkaian LC, dan stasiun yang frekuensinya cocok itulah yang terdengar — soal akhir pekan. — Melaras sebuah radio tabung: memutar tombolnya mengubah sebuah kapasitor, kapasitornya menetapkan frekuensi resonansi sebuah rangkaian $LC$ , dan stasiun yang frekuensinya cocok itulah yang terdengar — soal akhir pekan.

8.6 Soal: Penerima radio resonan

Soal 8.1

Soal akhir pekan — sebuah kumparan, sebuah kapasitor variabel dan sebuah antena: bagaimana resonansi seri memilih satu stasiun dari seratus, mengalikan sinyalnya yang lemah seratus kali, dan mengapa ia tak dapat dibuat selektif sesuka hati

Antenanya dimodelkan sebagai ggl sinusoidal ideal $e(t) = E\cos\omega t$ yang terangkai seri dengan kumparan $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , yang kawatnya berhambatan $R = 12.6\,\Omega$ , dan kapasitor variabel $C$ . Penerimanya membaca tegangan pada $C$ . Kemudian (Bagian IV) hambatan antenanya sendiri $R_a = 50\,\Omega$ ikut diperhitungkan.

Bagian I — Arus resonan.

Tuliskan impedansi kompleks rangkaian serinya.
Berikan amplitudo kompleks arusnya, lalu amplitudonya $I(\omega)$ dan fasenya $\varphi_i(\omega)$ relatif terhadap $e$ .
Tunjukkan bahwa $I$ maksimum pada $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; berikan $I_{\max}$ dan fasenya ketika itu.
Kapasitansi berapa yang melaraskan $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Hitunglah $L\omega_0$ .
Definisikan $Q = L\omega_0/R$ lalu hitunglah.
Tunjukkan bahwa $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ dengan $x = \omega/\omega_0$ .
Nyatakan tanda $\varphi_i$ di bawah dan di atas resonansi lalu tafsirkan (perilaku kapasitif atau induktif).

Bagian II — Selektivitas.

Tuliskan syarat yang mendefinisikan kedua frekuensi tempat $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
Selesaikan lalu tunjukkan bahwa $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ .
Hitunglah lebar pita $\Delta f$ penerima ini.
Stasiun kedua memancar pada $1.010\,\mathrm{MHz}$ , stasiun ketiga pada $1.020\,\mathrm{MHz}$ : hitunglah nisbah amplitudo $I/I_{\max}$ untuk masing-masing, dan nisbah daya yang bersesuaian dalam desibel.
Stasiun modulasi amplitudo berjarak $9\,$ sampai $10\,\mathrm{kHz}$ . Apakah penerimanya cukup selektif? Apa yang akan memperbaikinya?
Kapasitornya dapat disetel antara $50\,$ dan $500\,\mathrm{pF}$ : pita frekuensi berapa yang dicakup penerimanya?

Bagian III — Penguatan tegangan.

Nyatakan amplitudo kompleks tegangan kapasitornya lalu tunjukkan bahwa pada resonansi amplitudonya adalah $QE$ .
Ggl antenanya $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : hitunglah $I_{\max}$ dan tegangan kapasitornya pada resonansi. Berikan komentar.
Tunjukkan bahwa tegangan kumparannya beramplitudo sama dan berlawanan fase dengan tegangan kapasitornya pada resonansi: apa yang “dilihat” sumbernya?
Hitunglah energi yang tersimpan dalam rangkaiannya pada resonansi dan energi yang dilesapkan tiap periode; periksalah bahwa nisbahnya dikali $2\pi$ adalah $Q$ .
Dari Bab 7, berapa tetapan waktu $\tau = 2Q/\omega_0$ rangkaian ini? Mengapa $Q$ yang sangat tinggi pada akhirnya mencacatkan suara dan musik (lebar pita audio: sekitar $5\,\mathrm{kHz}$ untuk modulasi amplitudo)?
Jika hambatan kawat kumparannya berlipat dua (kawat lebih tipis), bagaimana $Q$ , lebar pitanya dan tegangan kapasitornya berubah?

Bagian IV — Hambatan antenanya, dan dayanya.

Dengan $R_a = 50\,\Omega$ terangkai seri, hitunglah kembali $Q$ , lebar pitanya dan tegangan kapasitornya untuk $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Simpulkan.
Hitunglah daya rata-rata yang diberikan ggl antenanya pada resonansi dan bagian yang dilesapkan di $R_a$ .
Teorema daya maksimum akan menuntut hambatan beban yang sama dengan $R_a$ : mengapa sasaran itu bertentangan dengan selektivitasnya?
Penerima sungguhan menyambungkan antenanya ke sebuah sadapan pada kumparannya, atau lewat kapasitor gandeng yang kecil. Jelaskan secara kualitatif apa yang dicapainya.
Dengan memakai $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ , hitunglah faktor dayanya pada kedua frekuensi setengah daya lalu jelaskan nama “setengah daya” itu.
Ringkaslah rancangannya: apa yang dibeli $Q$ , apa harganya, dan nilai apa yang dipilih untuk penerima $1\,\mathrm{MHz}$ dengan kanal $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$ .

2. $\underline I = E/\underline Z$ ; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$ ; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$ .

3. Reaktansinya lenyap pada $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ : $I_{\max} = E/R$ , $\varphi_i = 0$ .

4. $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ ; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$ .

5. $Q = 1257/12.6 = 100$ .

6. $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ , bagi dengan $R$ .

7. $x < 1$ : reaktansinya negatif, $\varphi_i > 0$ , arusnya mendahului (kapasitif); $x > 1$ : tertinggal (induktif).

8. $Q(x - 1/x) = \pm1$ .

9. $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ , $x_2 - x_1 = 1/Q$ : $\Delta\omega = \omega_0/Q$ .

10. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ .

11. $1.010\,\mathrm{MHz}$ : $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ , nisbahnya $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ , dayanya $0.20$ : $-7\,\mathrm{dB}$ . $1.020\,\mathrm{MHz}$ : $3.96$ , nisbahnya $0.25$ , dayanya $0.06$ : $-12\,\mathrm{dB}$ .

12. Pas-pasan: tetangganya hanya $7\,\mathrm{dB}$ lebih rendah. $Q$ yang lebih tinggi ( $R$ yang lebih rendah), atau beberapa tingkat terlaras yang berderet, mempertajam pemilihannya.

13. $0.50\,\mathrm{MHz}$ sampai $1.59\,\mathrm{MHz}$ : pita modulasi amplitudo.

14. $\underline U_C = \underline I/jC\omega$ ; pada $\omega_0$ , $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$ .

15. $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ : penguatan tegangan seratus kali tanpa penguat apa pun.

16. $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , $\underline U_C = -jQE$ : sama besar dan berlawanan, keduanya meniadakan; sumbernya melihat $R$ saja.

17. Tersimpan $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ; dilesapkan tiap periode $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ; $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$ .

18. $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Rangkaiannya tak dapat mengikuti perubahan yang lebih cepat daripada $\sim\tau$ : lebar pita $\Delta f$ hanya meloloskan modulasi yang lebih lambat daripada $\Delta f$ ; dengan $Q = 1000$ , $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ dan nada tinggi acaranya akan hilang.

19. $Q$ berkurang separuh menjadi $50$ , $\Delta f$ berlipat dua menjadi $20\,\mathrm{kHz}$ , $U_C$ berkurang separuh menjadi $0.5\,\mathrm{mV}$ .

20. $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$ : $Q = 1257/62.6 = 20$ , $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ , $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$ : kepekaan dan selektivitasnya sama-sama runtuh.

21. $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$ ; bagian di $R_a$ : $50/62.6 = 80\%$ .

22. Penyesuaian menuntut hambatan beban yang sama dengan $R_a$ , yaitu hambatan total yang besar; selektivitas menuntut hambatan total sekecil mungkin ( $Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$ ). Orang tak dapat memperoleh keduanya dengan sambungan langsung.

23. Sebuah sadapan atau kapasitor gandeng yang kecil hanya menyodorkan sebagian rangkaian resonannya kepada antena: hambatan antenanya “terlihat” jauh berkurang oleh rangkaiannya, sehingga $Q$ tetap tinggi, sementara antenanya tetap memberi daya di dekat optimumnya.

24. Pada frekuensi setengah daya reaktansinya sama dengan $\pm R$ , sehingga $\varphi = \pm45^\circ$ dan $\cos\varphi = 1/\sqrt2$ ; dengan $I = I_{\max}/\sqrt2$ pula, $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ menjadi separuh nilainya pada resonansi.

25. $Q$ mengalikan sinyalnya dengan $Q$ dan menyempitkan pitanya menjadi $f_0/Q$ , dengan harga tanggapan yang lebih lambat ( $\tau = 2Q/\omega_0$ ) dan gandengan yang rapuh ke antenanya; untuk kanal $10\,\mathrm{kHz}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ , $Q \approx 100$ adalah angkanya — dan antenanya harus digandengkan secara ringan agar angka itu bertahan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium