Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

13Usaha, Energi, dan Energi Potensial

Seorang pesepeda berhenti mengayuh di puncak bukit lalu tiba di dasarnya dengan laju yang bergantung pada turunannya, bukan pada bentuk jalannya. Seorang peloncat bungee jatuh enam puluh meter lalu berhenti, sesaat, tepat di tempat tarikan talinya telah memakan seluruh laju yang diberikan jatuhnya. Sebuah atom hidrogen yang terikat pada atom klor bergetar di dalam sumur yang kedalamannya adalah energi yang harus dibayar untuk mencerai-beraikan molekulnya. Pada tiap kasus, satu angka dipertukarkan antara berbagai bentuknya — gerak, ketinggian, regangan, ikatan — dan ketika dijumlahkan, ia tidak berubah. Bab ini membangun pembukuan itu dari hukum kedua Newton: usaha dan daya, teorema energi kinetik, energi potensial bagi gaya yang mengizinkannya, dan kekekalan energi mekanik yang mengubah banyak soal dinamika menjadi aljabar satu baris serta menjelaskan, lewat bentuk sebuah sumur potensial, kedudukan mana yang mantap.

Bandul sang dosen: dilepaskan dari hidungnya, bola bolingnya kembali ke hidungnya dan tak lebih jauh — energi mekaniknya kekal, dan tak pernah terlampaui.

13.1 Daya dan usaha

Definisi 13.1 (Daya dan usaha sebuah gaya)

Daya sebuah gaya $\vect F$ yang bekerja pada sebuah titik yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ adalah

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{watt}),

dan usahanya antara saat $t_1$ dan $t_2$ (kedudukan $A$ dan $B$ ) adalah daya yang terhimpun,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{joule}),

yaitu jumlah usaha elementer $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ sepanjang perpindahan elementer $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ pada lintasannya. Usahanya positif bila gayanya mendorong searah geraknya (memacu), negatif bila melawannya (menghambat), dan nol bila tegak lurus.

Proposisi 13.2 (Usaha yang sering ditemui)

Gaya tetap: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , apa pun lintasannya. Berat: $W = mg(z_A - z_B)$ , dengan $z$ dihitung ke atas.
Pegas berkekakuan $k$ , dari pertambahan panjang $x_A$ ke $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
Reaksi normal permukaan tetap, tegangan tali pada benda yang bergerak tegak lurus terhadapnya: $W = 0$ (gaya $\perp$ perpindahan).
Gesekan kinetis dan gaya hambat: $W < 0$ selalu (gayanya melawan gerak relatifnya), dan bergantung pada panjang lintasannya.

Bukti. $\vect F$ tetap: $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; dengan $\vect F = -mg\vect e_z$ , $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . Pegas: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , dan $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . Gesekan: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , sehingga $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

Usaha elementer sebuah gaya sepanjang perpindahan kecil titik tangkapnya: hanya komponen F yang searah geraknya yang berusaha. Dijumlahkan sepanjang lintasan dari A ke B, ia memberi W_A B. — Usaha elementer sebuah gaya sepanjang perpindahan kecil titik tangkapnya: hanya komponen $\vect F$ yang searah geraknya yang berusaha. Dijumlahkan sepanjang lintasan dari $A$ ke $B$ , ia memberi $W_{A\to B}$ .

13.2 Teorema energi kinetik

Teorema 13.3 (Teorema energi kinetik dan teorema daya)

Dalam kerangka inersial, energi kinetik $E_k = \tfrac12 mv^2$ sebuah partikel titik menuruti

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

perubahan energi kinetik antara dua kedudukan sama dengan usaha total semua gaya yang diterapkan di sepanjang jalannya.

Bukti. Kalikan titik hukum kedua Newton dengan $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , sedangkan $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . Integralkan terhadap waktu. ∎

Contoh 13.4 (Jarak pengereman)

Sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ) yang direm oleh gaya tetap $7.0\,\mathrm{kN}$ berhenti setelah $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : jaraknya tumbuh sebagai kuadrat lajunya. Karena gaya rem maksimumnya adalah $\mu_smg$ (Bab 12), jarak berhenti terpendeknya adalah $v^2/2\mu_sg$ berapa pun massa mobilnya — dan ia berlipat dua di jalan basah tempat $\mu_s$ berkurang separuh.

13.3 Gaya konservatif dan energi potensial

Definisi 13.5 (Gaya konservatif; energi potensial)

Sebuah gaya disebut konservatif bila usahanya antara dua titik tidak bergantung pada lintasan yang diikuti. Setara dengan itu, ada sebuah fungsi kedudukan, yaitu energi potensial $E_p$ , sedemikian sehingga

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

dengan $E_p$ terdefinisi sampai pada sebuah tetapan tambahan (pilihan titik asalnya).

Proposisi 13.6 (Gaya dari energi potensial)

Gaya konservatif diturunkan dari energi potensialnya:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

dan dalam satu dimensi $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : gayanya menunjuk ke arah energi potensial yang menurun, “menuruni bukit” pada grafik $E_p$ .

Bukti. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ untuk setiap perpindahan: kenali koefisiennya (diferensial sebuah fungsi beberapa variabel, dari kuliah matematika). ∎

Proposisi 13.7 (Energi potensial yang lazim)

Berat: $E_p = mgz + \text{tetapan}$ ( $z$ ke atas).
Pegas: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{tetapan}$ .
Gravitasi Newton oleh massa $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{tetapan}$ , dengan tetapannya biasanya dipilih agar $E_p \to 0$ di tak hingga.
Gaya elektrostatik pada muatan $q$ dalam potensial $V$ : $E_p = qV$ (Bab 27).

Gesekan kinetis dan gaya hambat fluida bukan gaya konservatif (usahanya bergantung pada lintasannya, dan selalu negatif).

Bukti. Masing-masing dibaca dari usaha Proposisi 13.2: $W = -\Delta E_p$ . Untuk gravitasinya, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ dan $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 Energi mekanik

Teorema 13.8 (Energi mekanik)

Misalkan $E_m = E_k + E_p$ adalah energi mekanik, dengan $E_p$ sebagai jumlah energi potensial gaya konservatifnya. Maka

\Delta E_m = W_{\text{nk}} ,

yaitu usaha total gaya yang tak konservatif. Jika gaya itu tak berusaha (tanpa gesekan, atau gaya kendalanya tegak lurus geraknya), $E_m$ bersifat kekal: geraknya konservatif.

Bukti. $\Delta E_k = W_{\text{k}} + W_{\text{nk}} = -\Delta E_p + W_{\text{nk}}$ . ∎

Metode 13.9 (Memakai energi)

Ketika sebuah soal menanyakan laju pada suatu kedudukan (bukan waktu, bukan gaya), cobalah energi lebih dahulu:

daftarkan gayanya; periksa mana yang berusaha dan mana yang konservatif;
tuliskan $E_m$ pada kedua kedudukannya, dengan titik asal $E_p$ yang jelas;
samakan keduanya (dengan menambahkan $W_{\text{nk}}$ bila ada gesekan) lalu selesaikan untuk laju atau kedudukan yang dicari.

Energi tak pernah memberi waktunya atau gaya kendalanya; untuk keduanya, kembalilah ke hukum Newton — sering dengan laju yang baru saja diberikan energinya.

Contoh 13.10 (Hukum kelajuan loopnya)

Pada loop tanpa gesekan Soal 11.1, reaksi lintasannya tegak lurus geraknya dan tidak berusaha: $E_m$ kekal. Dengan $z = R(1 - \cos\theta)$ di atas dasarnya, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : itulah hukum kelajuan $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ yang dipakai di sana, kini diturunkan dalam satu baris. Laju masuk minimum $\sqrt{5gR}$ lalu menyusul dari syarat puncaknya $v^2 \geq gR$ pada Contoh 12.16.

Contoh 13.11 (Energi yang hilang oleh gesekan)

Sebuah balok tergelincir menuruni lereng bersudut $\alpha$ dan bertinggi $h$ dengan gesekan kinetis $\mu_d$ : $W_{\text{nk}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , sehingga $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . Untuk $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.20$ : $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ alih-alih $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; sepertiga energi potensialnya menjadi kalor.

13.5 Kesetimbangan, kemantapan, dan potret fase

Proposisi 13.12 (Kesetimbangan dan kemantapan dalam satu dimensi)

Sebuah partikel yang bergerak pada sebuah sumbu di bawah gaya konservatif berenergi potensial $E_p(x)$ :

berada dalam kesetimbangan di $x_0$ jika dan hanya jika $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : yaitu pada ekstremum $E_p$ ;
kesetimbangannya mantap bila $E_p$ mempunyai minimum lokal di sana ( $E_p''(x_0) > 0$ ): perpindahan kecil menghasilkan gaya pemulih; dan goyah pada sebuah maksimum;
di dekat kesetimbangan yang mantap, gerak kecilnya bersifat harmonik, dengan

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

Bukti. Rumus Taylor (kuliah matematika): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , sehingga $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ dan $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — sebuah pegas berkekakuan $E_p''(x_0)$ . Untuk $E_p'' < 0$ “kekakuan”nya negatif: kepergian yang eksponensial. ∎

Sebuah bentang potensial satu dimensi: minimumnya adalah kesetimbangan mantap, dan maksimumnya kesetimbangan goyah. Partikel berenergi E_1 di bawah penghalangnya terperangkap dalam satu sumur di antara dua titik balik (tempat E_p = E_1, anak panah) dan berosilasi; dengan E_2 di atas penghalangnya ia lewat dengan bebas dari satu sumur ke sumur yang lain. — Sebuah bentang potensial satu dimensi: minimumnya adalah kesetimbangan mantap, dan maksimumnya kesetimbangan goyah. Partikel berenergi $E_1$ di bawah penghalangnya terperangkap dalam satu sumur di antara dua *titik balik* (tempat $E_p = E_1$ , anak panah) dan berosilasi; dengan $E_2$ di atas penghalangnya ia lewat dengan bebas dari satu sumur ke sumur yang lain.

Definisi 13.13 (Titik balik; gerak terikat dan gerak bebas)

Untuk gerak satu dimensi yang konservatif berenergi $E_m$ , partikelnya hanya dapat berada di tempat $E_p(x) \leq E_m$ (karena $E_k \geq 0$ ); titik tempat $E_p = E_m$ disebut titik balik, tempat kecepatannya lenyap lalu berbalik. Ketika terperangkap di antara dua titik balik dalam sebuah sumur potensial, geraknya terikat dan berkala; ketika ia dapat mencapai tak hingga, geraknya bebas; sedangkan penghalang potensial yang lebih tinggi daripada $E_m$ tak dapat dilintasi.

Definisi 13.14 (Potret fase)

Potret fase sebuah gerak satu dimensi adalah keluarga kurva yang dijejakkan titik $(x, \dot x)$ pada bidang fase. Untuk sistem konservatif, tiap kurvanya adalah garis aras $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : kurva tertutup di sekitar kesetimbangan mantap (osilasi), kurva terbuka bagi gerak bebas, dan, lewat kesetimbangan goyah, separatriks yang membagi keduanya. Kurvanya ditelusuri searah jarum jam ( $\dot x > 0$ berarti $x$ menaik) dan tak pernah berpotongan.

Potret fase bandul sederhana, 1/2 2 + _02(1 - ) = tetap. Kurva tertutup (biru): ayunan di sekitar kesetimbangan mantap = 0; kurva terbuka (jingga): perputaran penuh; di antara keduanya separatriks (merah) lewat kesetimbangan goyah = ±π, yaitu gerak yang tepat mencapai puncaknya. — Potret fase bandul sederhana, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{tetap}$ . Kurva tertutup (biru): ayunan di sekitar kesetimbangan mantap $\theta = 0$ ; kurva terbuka (jingga): perputaran penuh; di antara keduanya separatriks (merah) lewat kesetimbangan goyah $\theta = \pm\pi$ , yaitu gerak yang tepat mencapai puncaknya.

Contoh 13.15 (Bentang bandulnya)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum di $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , sehingga $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — hasil osilasi kecil Contoh 12.12 yang dibaca dari kelengkungan sumurnya; maksimum di $\theta = \pi$ , yaitu bandul terbalik, yang goyah. Energi $E_m < mg\ell$ : osilasi antara $\pm\theta_{\max}$ ; $E_m > mg\ell$ : ia melewati puncaknya lalu berputar; $E_m = mg\ell$ : separatriksnya, yaitu pendekatan yang sangat lambat menuju puncaknya.

13.6 Latihan

Latihan 13.1 ★

Sebuah peti $20\,\mathrm{kg}$ diangkat $3.0\,\mathrm{m}$ dengan laju tetap dalam $5.0\,\mathrm{s}$ . Berapa usaha gaya angkatnya, usaha beratnya, dan daya yang dipasok? Peti yang sama didorong $3.0\,\mathrm{m}$ menyusuri lantai dengan $\mu_d = 0.30$ : berapa usaha gesekannya?

Solusi

Solusi Latihan 13.1.

Gaya angkatnya $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; beratnya $-589\,\mathrm{J}$ ; dayanya $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . Gesekan: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

Latihan 13.2 ★

Berapa energi kinetik sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; jarak berhentinya dengan gaya rem tetap $7.0\,\mathrm{kN}$ ; apa yang terjadi pada jaraknya jika lajunya dilipatduakan?

Solusi

Solusi Latihan 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; melipatduakan $v$ melipatempatkan $E_k$ dan $d$ : $220\,\mathrm{m}$ .

Latihan 13.3 ★

Sebuah pegas berkekakuan $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ditekan sejauh $10\,\mathrm{cm}$ lalu dilepaskan terhadap sebuah bola $50\,\mathrm{g}$ pada lintasan mendatar tanpa gesekan. Berapa energi tersimpannya; berapa laju bolanya?

Solusi

Solusi Latihan 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 13.4 ★

Sebuah bandul sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ dilepaskan dari keadaan diam pada $60^\circ$ : berapa lajunya di dasarnya menurut energi; lalu, dengan hukum Newton, berapa tegangannya di sana (dalam satuan $mg$ )?

Solusi

Solusi Latihan 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tegangannya: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , $T = 2mg$ .

Latihan 13.5 ★★

Sebuah balok tergelincir dari keadaan diam menuruni lereng $30^\circ$ setinggi $2.0\,\mathrm{m}$ , dengan $\mu_d = 0.20$ . Berapa lajunya di dasarnya menurut teorema energi; berapa bagian energi potensial awalnya yang hilang oleh gesekan?

Solusi

Solusi Latihan 13.5.

Gesekannya berusaha $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ , sehingga

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ hilang.

Latihan 13.6 ★★

Dengan memakai $E_p = -GMm/r$ , tunjukkan bahwa laju yang diperlukan untuk lepas dari tarikan Bumi dari permukaannya adalah $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , lalu hitunglah ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). Berapa laju lepas dari benda bermassa jenis sama tetapi berjari-jari dua kali lipat?

Solusi

Solusi Latihan 13.6.

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ agar bendanya mencapai tak hingga (tempat $E_p = 0$ dan $v \to 0$ ): $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , yaitu

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

Massa jenis sama, $M \propto R^3$ : $v_e \propto R$ , jadi $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Latihan 13.7 ★★

Bungee: seorang peloncat $70\,\mathrm{kg}$ , dengan tali berpanjang alami $20\,\mathrm{m}$ dan berkekakuan $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , melompat dari keadaan diam. Carilah regangan maksimum talinya, jatuh totalnya, dan tegangan maksimumnya (dalam satuan beratnya). Di mana lajunya terbesar?

Solusi

Solusi Latihan 13.7.

Titik terendah: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; jatuh totalnya $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (bersihnya $2\,\mathrm{g}$ ke atas). Lajunya terbesar di tempat gaya totalnya lenyap, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , $34\,\mathrm{m}$ di bawah titik lompatnya.

Latihan 13.8 ★★

Seorang pesepeda ( $80\,\mathrm{kg}$ bersama sepedanya) mendaki lereng $5\%$ pada $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ melawan gaya hambat $\tfrac12\rho C_xSv^2$ dengan $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . Berapa daya melawan gravitasinya, melawan hambatnya, dan totalnya?

Solusi

Solusi Latihan 13.8.

Gravitasi: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; hambat: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; totalnya $234\,\mathrm{W}$ .

Latihan 13.9 ★★

Sebuah partikel bermassa $m$ mempunyai $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . Carilah kesetimbangannya dan kemantapannya, kedalaman sumurnya, dan frekuensi sudut osilasi kecil di sekitar kesetimbangan yang mantap.

Solusi

Solusi Latihan 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ . $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ di $0$ (maksimum yang goyah, $E_p = 0$ ), $+8E_0/a^2$ di $\pm a$ (minimum yang mantap, $E_p = -E_0$ ): sumur sedalam $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

Latihan 13.10 ★★★

Untuk osilator harmonik $E_p = \tfrac12 kx^2$ , tunjukkan bahwa kurva fasenya berupa elips, berikan setengah sumbunya untuk energi $E$ , lalu jelaskan mengapa semuanya ditelusuri dalam waktu yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : sebuah elips bersetengah sumbu $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ dan $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . Geraknya harmonik dengan periode $2\pi\sqrt{m/k}$ berapa pun amplitudonya (keisokronan), sehingga setiap elipsnya memakan waktu yang sama.

Latihan 13.11 ★★★

Sebuah benda kecil tergelincir dari keadaan diam di puncak setengah bola tanpa gesekan berjari-jari $R$ . Dengan memakai energi dan hukum Newton, carilah sudut dari garis tegak tempat ia meninggalkan permukaannya, ketinggiannya, dan lajunya ketika itu.

Solusi

Solusi Latihan 13.11.

Energi: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . Radial: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , sehingga $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , yang nol pada $\cos\theta = 2/3$ ( $\theta = 48^\circ$ ): tingginya $2R/3$ , lajunya $\sqrt{2gR/3}$ .

Latihan 13.12 ★★★

Sebuah mobil pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tergelincir sampai berhenti sepanjang $80\,\mathrm{m}$ dengan roda terkunci. Carilah $\mu_d$ dari energinya. Ke mana energinya pergi? Mengapa sistem antiblokir (rodanya dijaga tetap menggelinding) memberhentikannya lebih pendek?

Solusi

Solusi Latihan 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . Menjadi kalor pada sentuhan ban–jalan (dan sebuah bekas gelincir). Roda yang menggelinding memakai gesekan statis, $\mu_s > \mu_d$ : gaya rem yang lebih besar, jarak yang lebih pendek, dan kemudi yang tetap terjaga.

13.7 Soal: Sumur energi sebuah ikatan kimia

Soal 13.1

Soal akhir pekan — dua atom, satu kurva: energi potensial sebuah ikatan yang dibaca sebagai sebuah bentang — lantainya, dindingnya, getaran kecil di dasarnya, dan energi yang dituntut untuk memanjatnya keluar

Interaksi kedua atom sebuah molekul dwiatom dimodelkan oleh energi potensial

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

dengan $r$ jarak antara kedua intinya. Untuk hidrogen klorida ambil $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ , $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ , dan biarkan atom hidrogen yang ringan ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) bergerak sementara klor yang berat tinggal diam. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

Bagian I — Bentangnya.

Berikan limit $E_p$ ketika $r \to 0$ dan $r \to \infty$ , lalu sketsalah kurvanya.
Tunjukkan bahwa $E_p$ mempunyai satu minimum tunggal, pada $r = \sigma$ , yang bernilai $-\epsilon$ .
Dengan $u = (\sigma/r)^6$ , tunjukkan bahwa $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : sebuah parabola dalam $u$ . Perolehlah kembali minimumnya darinya.
Nyatakan gayanya $F(r)$ (positif bila menolak) lalu berikan tandanya pada tiap sisi $\sigma$ .
Hitunglah $E_p$ dan $F$ pada $r = 1.2\sigma$ (dalam eV dan dalam nN).
Berapa energi disosiasi molekulnya, dalam eV dan dalam $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Energi ikat HCl yang terukur: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
Periksalah kriteria kemantapannya pada $r = \sigma$ : hitunglah $E_p''(\sigma)$ .

Bagian II — Getaran kecil.

Tuliskan uraian Taylor orde kedua $E_p$ di sekitar $\sigma$ lalu kenali sebuah kekakuan efektif $k$ .
Hitunglah $k$ (dalam $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
Simpulkan frekuensi sudut, frekuensi dan panjang gelombang getarannya, serta bilangan gelombangnya $1/\lambda$ dalam $\mathrm{cm}^{-1}$ .
Getaran HCl yang terukur berada pada $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Berikan komentar tentang kecocokannya dan tentang apa yang sudah tepat pada modelnya.
Pada $300\,\mathrm{K}$ energi getaran rata-ratanya berorde $k_BT$ . Taksirlah amplitudo getarannya lalu bandingkan dengan $\sigma$ .
Simpulkan laju maksimum atom hidrogennya dalam getaran itu.

Bagian III — Osilasi besar dan jalan keluarnya.

Gambarkan potret fasenya: energi mana yang memberi kurva tertutup, mana yang memberi kurva terbuka, dan apa yang memisahkan keduanya?
Untuk $E_m = -\epsilon/2$ , carilah kedua titik baliknya (dalam satuan $\sigma$ ).
Tunjukkan bahwa titik tengahnya terletak di luar $\sigma$ , lalu jelaskan mengapa pemanasan (menaikkan energi getarannya) membuat panjang ikatan rata-ratanya tumbuh — asal-usul pemuaian.
Apakah periode osilasi besarnya lebih panjang atau lebih pendek daripada $2\pi/\omega_0$ ? Berikan alasan dari bentuk dindingnya.
Dari $E_m = -\epsilon/2$ , berapa energi yang harus dipasok untuk mencerai-beraikan molekulnya? Jika diberikan sebagai energi kinetik atom hidrogennya pada $r = \sigma$ , berapa lajunya?
Dua atom yang saling mendekat dari kejauhan dengan energi total positif tak dapat membentuk molekul terikat dengan sendirinya. Mengapa? Apa yang diperlukan?

Bagian IV — Usaha, gaya, dan suhu.

Hitunglah usaha gaya ikatannya ketika $r$ berjalan dari $2\sigma$ ke $\sigma$ . Apakah gayanya memacu atau menghambat di sana?
Hitunglah usaha yang harus dilakukan agen luar untuk meregangkan ikatannya dari $\sigma$ ke $1.5\sigma$ dengan laju yang menuju nol.
Hitunglah $F$ pada $r = 0.9\sigma$ lalu bandingkan dengan $r = 1.2\sigma$ : apa yang diberitahukan ketaksetangkupannya tentang menekan lawan meregangkan?
Pada suhu berapa $k_BT$ akan sama dengan $\epsilon$ ? Mengapa molekul tercerai-berai pada suhu yang jauh lebih rendah dalam praktiknya?
Model yang lebih baik (Morse) mengubah bentuk dindingnya tetapi tetap mempunyai minimum pada panjang ikatannya. Hasil mana di atas yang bertahan tanpa berubah metodenya, dan angka mana yang akan berubah?
Ringkaslah ketiga cara metode energi dipakai: untuk mencari kesetimbangan, untuk mencari frekuensi getarannya, dan untuk mencari apa yang diperlukan agar lepas.

Solusi

Solusi Soal 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ (suku $r^{-12}$ ); $r \to \infty$ : $0^-$ . Dinding yang curam, sebuah sumur, dan ekor yang panjang.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ jika dan hanya jika $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , minimum pada $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) dengan nilai $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positif (menolak) untuk $r < \sigma$ , negatif (menarik) di luarnya.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , dekat dengan $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ yang terukur.

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; pada $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : mantap.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. Faktor $2.4$ terlalu tinggi: dinding modelnya terlalu curam (inti $r^{-12}$ itu pengganti yang kasar bagi sebuah ikatan kovalen), tetapi orde besarnya — getaran inframerah pada $10^{14}$ Hz — sudah tepat, dan metodenya (kelengkungan sumurnya) persis metode yang dipakai dengan potensial yang lebih baik.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : ikatannya nyaris hanya menggigil.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : kurva tertutup di sekitar $(\sigma, 0)$ — getaran, terikat; $E_m > 0$ : kurva terbuka — atomnya berpisah; $E_m = 0$ : separatriksnya, yaitu atom yang tepat dapat mencapai tak hingga.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ dengan $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ atau $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ dan $1.23\sigma$ .

16. Titik tengahnya $1.07\sigma > \sigma$ : dinding luarnya lebih lunak daripada dinding dalamnya, sehingga atomnya menghabiskan lebih banyak ruang di luar; jarak rata-rata waktunya tumbuh bersama energinya — ikatan yang dipanaskan memanjang, dan zat padat memuai.

17. Lebih panjang: gaya pemulih pada sisi luarnya yang lunak lebih lemah daripada yang diandaikan hampiran harmoniknya, sehingga kembalinya memakan lebih banyak waktu.

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; sebagai energi kinetik di $\sigma$ : $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}}$ $= 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Kekekalan energi: $E_m > 0$ tetap $> 0$ , kurvanya terbuka, dan atomnya terbang berpisah setelah satu perjumpaan. Benda ketiga (molekul lain, sebuah dinding, sebuah foton) harus membawa kelebihannya pergi.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , positif: tarikannya menarik atomnya masuk, jadi memacu.

21. $W_{\text{luar}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , sepuluh kali tarikannya pada $1.2\sigma$ : menekan sebuah ikatan sebesar $10\%$ jauh lebih mahal daripada meregangkannya sebesar $20\%$ .

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . Gas sungguhan tercerai-berai jauh di bawahnya karena energinya terdistribusi: sebagian molekulnya membawa berkali-kali $k_BT$ (Bab 20).

24. Yang bertahan: kesetimbangan di minimumnya, $k = E_p''$ di minimumnya, energi disosiasi $=$ kedalamannya, titik balik dari $E_p = E_m$ , dan ketaksetangkupan $\Rightarrow$ pemuaian. Yang berubah: nilai $k$ , nilai frekuensinya dan nilai titik baliknya.

25. Kesetimbangan: $E_p' = 0$ ; getaran: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; lepas: $E_m$ dibandingkan dengan bibir sumurnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium