Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

2Optika Geometri: Sinar, Pemantulan, Pembiasan

Sedotan yang berdiri dalam segelas air tampak patah di permukaannya; perenang yang menengadah dari dasar kolam melihat seluruh langit terperas menjadi cakram terang, dilingkari cermin lantai kolam; serat kaca yang setipis rambut membawa percakapan telepon menyeberangi samudra dengan kehilangan yang lebih kecil daripada yang diderita kawat tembaga menyeberangi jalan. Tiga hukum — cahaya merambat lurus, memantul dengan sudut sama, membelok menurut kaidah Snell — menjelaskan semuanya, dan bab ini menyatakannya secara tepat, menandai di mana ketiganya berhenti berlaku, lalu mempekerjakannya.

Sebuah prisma membelokkan berkas putih ke arah alasnya dan menguraikannya: indeks kaca bergantung pada panjang gelombang, dan ungu yang paling banyak dibelokkan.

2.1 Model optika geometri

Definisi 2.1 (Sinar cahaya; medium homogen)

Dalam model optika geometri, cahaya merambat sepanjang sinar cahaya: kurva berarah yang berupa garis lurus dalam medium homogen (sifatnya sama di setiap titik) dan yang membawa energi saling bebas satu sama lain. Berkas adalah seikat sinar; sumber titik memancarkan sinar ke segala arah.

Definisi 2.2 (Indeks bias)

Medium bening meneruskan cahaya; di dalamnya cahaya merambat dengan laju $v < c$ . Indeks biasnya adalah

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

Hampa: $n = 1$ ; udara: $1.0003$ ; air: $1.33$ ; kaca biasa: $1.5$ sampai $1.6$ ; intan: $2.42$ . Gelombang berfrekuensi $\nu$ tetap memegang frekuensinya ketika memasuki medium, sehingga panjang gelombangnya menyusut dari $\lambda_0 = c/\nu$ di hampa menjadi $\lambda = \lambda_0/n$ .

Catatan 2.3 (Dispersi)

Di dalam materi indeksnya sedikit bergantung pada panjang gelombang — mediumnya dispersif. Untuk kaca di daerah tampak, hukum empiris Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ cocok dengan baik: $n$ lebih besar untuk biru daripada untuk merah, selisihnya sekitar $0.01$ sampai $0.02$ . Prisma dan pelangi, di penghujung bab ini, hidup dari selisih itu.

Catatan 2.4 (Batas model)

Cahaya adalah gelombang, dan gelombang yang melewati celah selebar $a$ melebar dengan sudut berorde $\lambda/a$ (difraksi, Bab 5). Sinar merupakan gambaran yang baik selama setiap celah, lensa dan penghalang jauh lebih besar daripada panjang gelombangnya ( $0.4\,$ sampai $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ untuk cahaya tampak): lubang $1\,\mathrm{mm}$ melebarkan berkas sebesar $10^{-3}$ radian, dapat diabaikan di atas meja kerja; lubang $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ melebarkannya ke seluruh setengah ruang, dan tak ada gambaran sinar yang bertahan. Inti $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ sebuah serat telekomunikasi moda tunggal sudah berada di luar jangkauan model ini.

Proposisi 2.5 (Jalan balik cahaya)

Lintasan sebuah sinar tidak bergantung pada arah rambat cahaya yang menempuhnya: jika cahaya berjalan dari $A$ ke $B$ menyusuri sebuah lintasan, cahaya dari $B$ menempuh lintasan yang sama menuju $A$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

2.2 Pemantulan dan pembiasan

Definisi 2.6 (Datangnya sinar)

Sinar yang menemui permukaan pemisah dua medium (sebuah permukaan bias) di titik $I$ membentuk terhadap garis normal permukaan di $I$ sebuah sudut datang $i_1$ . Bidang datang memuat sinar datang dan garis normalnya.

Teorema 2.7 (Hukum pemantulan dan pembiasan (Snell–Descartes))

Pada permukaan antara medium berindeks $n_1$ (sisi datang) dan $n_2$ :

sinar pantul dan sinar bias terletak di bidang datang;
sinar pantul membentuk terhadap garis normal sudut $i_1' = i_1$ , di sisi seberang garis normal;
sinar bias membentuk terhadap garis normal sudut $i_2$ sedemikian sehingga

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 2.8 (Dari mana hukum-hukum itu datang)

Kedua hukum itu menyusul dari asas Fermat: di antara dua titik, cahaya menempuh lintasan dengan waktu tempuh terkecil. Pemantulan dengan sudut sama adalah lintasan patah terpendek yang menyentuh cermin; hukum Snell adalah lintasan yang menukar rute lebih panjang di medium cepat dengan rute lebih pendek di medium lambat (Latihan 2.12). Dalam volume Tahun ke-2 kedua hukum itu diturunkan dari sifat gelombang cahaya di sebuah antarmuka.

Pemantulan dan pembiasan pada permukaan antara dua medium. Sinar biasnya membelok mendekati garis normal ketika n_2 > n_1; ketiga sinar dan garis normalnya terletak pada satu bidang, yaitu bidang gambar ini. — Pemantulan dan pembiasan pada permukaan antara dua medium. Sinar biasnya membelok mendekati garis normal ketika $n_2 > n_1$ ; ketiga sinar dan garis normalnya terletak pada satu bidang, yaitu bidang gambar ini.

Proposisi 2.9 (Ke mana sinarnya membelok)

Ketika memasuki medium yang lebih membiaskan ( $n_2 > n_1$ ), sebuah sinar membelok mendekati garis normal ( $i_2 < i_1$ ); ketika memasuki medium yang kurang membiaskan, ia membelok menjauhinya ( $i_2 > i_1$ ). Sinar yang berimpit dengan garis normal lewat tanpa dibelokkan.

Bukti. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ dengan $\sin$ yang naik pada $[0, \pi/2]$ . ∎

Contoh 2.10 (Kedalaman semu)

Sekeping uang logam terletak pada kedalaman $h$ di dalam air ( $n = 1.33$ ), dilihat hampir tegak lurus dari atas. Sinar dari uang itu mencapai permukaan dengan sudut kecil $i_2$ (di dalam air) lalu keluar pada $i_1$ dengan $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; untuk sudut kecil $i_1 \approx n\,i_2$ . Mata memperpanjang sinar yang keluar itu ke belakang: uangnya seolah datang dari kedalaman $h'$ dengan $\tan i_1 \approx x/h'$ dan $\tan i_2 \approx x/h$ untuk titik permukaan yang sama pada jarak $x$ dari garis tegak, sehingga $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ . Kolam sedalam $2.0\,\mathrm{m}$ tampak sedalam $1.5\,\mathrm{m}$ ; ikan melihat pemancing $1.33$ kali lebih tinggi daripada tingginya yang sebenarnya.

Teorema 2.11 (Pemantulan sempurna)

Cahaya yang berjalan dari medium berindeks $n_1$ menuju medium yang kurang membiaskan ( $n_2 < n_1$ ) hanya dibiaskan jika $i_1 \leq i_c$ , dengan sudut kritis yang memenuhi

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Untuk $i_1 > i_c$ tidak ada sinar bias: permukaannya memantulkan seluruh cahaya — pemantulan sempurna.

Bukti. Hukum Snell menuntut $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; nilai ini melampaui $1$ begitu $\sin i_1 > n_2/n_1$ , dan setelah itu tak ada sudut $i_2$ yang ada. Pada $i_1 = i_c$ sinar biasnya menyusur permukaan ( $i_2 = 90^\circ$ ). Bahwa seluruh energinya lalu dipantulkan adalah pernyataan tentang intensitas, yang tak ditangani optika geometri; pembahasan gelombang dalam volume Tahun ke-2 membenarkannya. ∎

Sinar-sinar dari sumber S di dalam air. Di bawah sudut kritis (i_c = 48.8 untuk air–udara) sebagian cahayanya keluar; pada i_c sinar biasnya menyusur permukaan; di atasnya, permukaan itu menjadi cermin sempurna — cakram langit terang si perenang dibatasi oleh sudut itu. — Sinar-sinar dari sumber $S$ di dalam air. Di bawah sudut kritis ( $i_c = 48.8^\circ$ untuk air–udara) sebagian cahayanya keluar; pada $i_c$ sinar biasnya menyusur permukaan; di atasnya, permukaan itu menjadi cermin sempurna — cakram langit terang si perenang dibatasi oleh sudut itu.

Contoh 2.12 (Intan dan perenang)

Kaca–udara: $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , yang menjelaskan mengapa prisma $45^\circ$ memantulkan sempurna dan menggantikan cermin di dalam teropong. Intan–udara: $i_c = 24.4^\circ$ ; intan yang diasah memerangkap cahaya yang masuk lewat bagian atasnya dan mengirimkan hampir seluruhnya kembali ke luar lewat atas — kilaunya adalah pemantulan sempurna, apinya adalah dispersi. Air–udara: $i_c = 48.8^\circ$ ; menengadah, penyelam melihat seluruh langit di dalam kerucut bersetengah sudut $48.8^\circ$ (“jendela Snell”) dan lantai kolam yang terpantul di luarnya.

2.3 Serat optik

Definisi 2.13 (Serat indeks tangga)

Serat optik indeks tangga adalah inti kaca berbentuk tabung berindeks $n_1$ yang dibungkus selubung berindeks $n_2$ yang sedikit lebih rendah. Cahaya yang memasuki intinya di dalam kerucut bersetengah sudut $\theta_a$ di sekitar sumbunya dituntun oleh pemantulan sempurna berturut-turut pada permukaan inti–selubung. Apertur numeriknya adalah $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ .

Proposisi 2.14 (Kerucut penerimaan dan pemuluran antarmoda)

Untuk serat yang muka masuknya berada di udara,

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

Sepanjang panjang $L$ , sinar terpandu yang menyusuri sumbu dan sinar terpandu yang paling curam tiba dengan selisih waktu

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

di antara keduanya (dispersi antarmoda).

Bukti. Sinar yang masuk dengan sudut $\theta$ terhadap sumbu dibiaskan menjadi $\theta'$ dengan $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ lalu menemui selubungnya dengan sudut datang $i = 90^\circ - \theta'$ . Penuntunan menuntut $\sin i \geq n_2/n_1$ , yaitu $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , yaitu $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; kalikan dengan $n_1$ . Sinar sumbunya menempuh $L$ dengan laju $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$ . Sinar paling curam berkelok dengan sudut $\theta'_{\max}$ dengan $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; lintasannya $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ , sehingga $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ , dan $\Delta t = t_1 - t_0$ . ∎

Serat indeks tangga. Sinar yang masuk di dalam kerucut penerimaan bersetengah sudut _a menemui selubungnya dengan sudut datang i ≥ i_c dan dituntun oleh pemantulan sempurna; sinar sumbunya menempuh rute terpendek, sinar terpandu yang paling curam rute terpanjang — sebuah pulsa meluruh melebar dalam waktu. — Serat indeks tangga. Sinar yang masuk di dalam kerucut penerimaan bersetengah sudut $\theta_a$ menemui selubungnya dengan sudut datang $i \geq i_c$ dan dituntun oleh pemantulan sempurna; sinar sumbunya menempuh rute terpendek, sinar terpandu yang paling curam rute terpanjang — sebuah pulsa meluruh melebar dalam waktu.

Contoh 2.15 (Angka-angka sebuah serat telekomunikasi)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , sehingga sinar terpandu tetap berada dalam $8.2^\circ$ dari sumbunya. Pemuluran antarmoda: $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Sepanjang $2\,\mathrm{km}$ sebuah pulsa melebar sebesar $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ , yang membatasi laju bitnya di sekitar $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : soal akhir pekan mengikuti keterbatasan ini sampai ke obatnya, yaitu serat moda tunggal.

2.4 Cermin datar

Proposisi 2.16 (Bayangan pada cermin datar)

Semua sinar dari sebuah titik $A$ yang dipantulkan cermin datar seolah datang dari titik $A'$ yang setangkup terhadap $A$ relatif terhadap bidang cerminnya: $A'$ adalah bayangan $A$ . Bayangan itu maya (tak ada cahaya yang melaluinya) dan cerminnya stigmatik secara ketat: setiap titik mempunyai bayangan titik yang eksak.

Bukti. Sinar dari $A$ yang mengenai cermin di $I$ dengan sudut datang $i$ keluar pada $i$ di sisi seberang garis normal. Garis pantulnya dan garis normal di $I$ membentuk sudut $i$ , sebagaimana garis $IA$ ; oleh kesetangkupan terhadap bidang cermin, garis pantulnya adalah bayangan cermin garis $IA$ , sehingga ia melalui titik setangkup $A'$ — untuk setiap $I$ . ∎

Proposisi 2.17 (Memutar sebuah cermin)

Memutar cermin datar sebesar sudut $\alpha$ terhadap sumbu yang terletak pada bidangnya dan tegak lurus bidang datang memutar sinar pantulnya sebesar $2\alpha$ .

Bukti. Garis normalnya berputar sebesar $\alpha$ , sehingga sudut datangnya berubah dari $i$ menjadi $i + \alpha$ ; sinar pantulnya, yang berada pada $i + \alpha$ di sisi seberang garis normal yang baru, telah bergeser sebesar $\alpha$ (normal) $+ \alpha$ (sudut) $= 2\alpha$ dari arahnya yang lama. ∎

Contoh 2.18 (Tuas sang galvanometer)

Cermin mungil yang dilekatkan pada kumparan sebuah galvanometer, disinari lampu dan melemparkan bintik cahaya pada skala sejauh $2\,\mathrm{m}$ : perputaran kumparan sebesar $1\,\mathrm{mrad}$ menggeser bintiknya sebesar $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — sebuah tuas optik yang memperbesar tanpa gesekan, asas galvanometer cermin dan pemindai laser.

2.5 Prisma

Proposisi 2.19 (Rumus prisma)

Sinar yang melintasi prisma bersudut puncak $A$ dan berindeks $n$ di udara, pada bidang yang tegak lurus rusuknya, dengan sudut $i$ (masuk), $r$ , $r'$ (di dalam) dan $i'$ (keluar) yang diukur dari garis-garis normalnya, memenuhi

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

dan dideviasikan sebesar $D = i + i' - A$ . Deviasinya minimum ketika lintasannya setangkup, $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; maka

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

Bukti. Hukum Snell pada tiap muka; $r + r' = A$ karena kedua garis normalnya membentuk sudut $A$ (segi empat yang dibentuk puncaknya, kedua titik datang dan perpotongan garis-garis normalnya). Deviasi totalnya $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ . Oleh jalan balik cahaya, deviasinya adalah fungsi yang sama dari $i$ maupun dari $i'$ ; jika minimumnya terjadi pada $i_0 \neq i_0'$ ia juga akan terjadi pada sudut datang terbalik $i_0'$ , sehingga ada dua minimum, yang dilarang oleh sifat monoton $D(i)$ pada tiap sisi minimumnya: minimumnya berada di $i = i'$ . Maka $r = r' = A/2$ dan $D_{\min} = 2i - A$ ; menyubstitusikan $i = (A + D_{\min})/2$ ke $\sin i = n\sin(A/2)$ memberi rumusnya. ∎

Sinar yang melewati prisma bersudut puncak A: dibiaskan ke arah alasnya saat masuk dan sekali lagi saat keluar, ia dideviasikan sebesar D = i + i' - A dari arahnya semula (garis putus-putus). Digambar pada deviasi minimum, sehingga lintasannya setangkup. — Sinar yang melewati prisma bersudut puncak $A$ : dibiaskan ke arah alasnya saat masuk dan sekali lagi saat keluar, ia dideviasikan sebesar $D = i + i' - A$ dari arahnya semula (garis putus-putus). Digambar pada deviasi minimum, sehingga lintasannya setangkup.

Contoh 2.20 (Mengukur sebuah indeks)

Prisma $60^\circ$ diputar sampai deviasi berkas kuning menjadi terkecil: $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Maka $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ . Deviasi minimum adalah cara baku mengukur indeks sebuah kaca — minimumnya yang tajam, ditemukan dengan memutar prismanya maju mundur, tidak peka terhadap salah setel yang kecil.

Catatan 2.21 (Prisma tipis dan spektroskop)

Untuk $A$ kecil dan sudut datang kecil, sinusnya sama dengan sudutnya dan $D \approx (n - 1)A$ , bebas dari $i$ : prisma tipis mendeviasikan setiap sinar dengan sudut yang sama — sebuah baji kaca adalah “prisma” yang membelokkan cahaya, dan lensa kelak ternyata merupakan tumpukan baji semacam itu. Karena $n$ bergantung pada $\lambda$ , deviasinya pun bergantung: prisma menguraikan cahaya putih menjadi spektrum (biru paling dideviasikan), jantung spektroskop prisma.

2.6 Pelangi

Contoh 2.22 (Pelangi Descartes)

Sinar matahari memasuki tetes hujan berbentuk bola dengan sudut datang $i$ , dibiaskan ( $\sin i = n\sin r$ ), memantul satu kali pada permukaan belakangnya, lalu keluar setelah pembiasan kedua. Tiap pembiasan mendeviasikannya sebesar $i - r$ , pemantulan dalamnya sebesar $\pi - 2r$ : deviasi totalnya $D(i) = \pi + 2i - 4r$ . Sinar memenuhi tetesnya pada setiap $i$ ; pengamat melihat cahaya paling terang di tempat banyak sinar keluar dengan arah yang nyaris sama, yaitu di tempat $D$ stasioner: $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ . Dengan menurunkan hukum Snell, $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , sehingga syaratnya berbunyi $2\cos i = n\cos r$ ; dikuadratkan dan dengan memakai $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ diperoleh

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

Untuk air, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ . Cahayanya kembali ke sisi Matahari pada $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ dari arah antimatahari: pelangi adalah kerucut bersetengah sudut $42^\circ$ di sekitar bayang-bayang kepala pengamat. Merah ( $n = 1.331$ ) duduk pada $42.4^\circ$ , ungu ( $n = 1.343$ ) pada $40.6^\circ$ — merah di luar, ungu di dalam.

Sinar Descartes yang menembus tetes hujan: dua pembiasan dan satu pemantulan dalam. Di dekat i = 59 deviasi D bersifat stasioner pada 138, sehingga sinar menumpuk di sana: pelangi utama, 42 dari titik yang berseberangan dengan Matahari. — Sinar Descartes yang menembus tetes hujan: dua pembiasan dan satu pemantulan dalam. Di dekat $i = 59^\circ$ deviasi $D$ bersifat stasioner pada $138^\circ$ , sehingga sinar menumpuk di sana: pelangi utama, $42^\circ$ dari titik yang berseberangan dengan Matahari.

2.7 Latihan

Latihan 2.1 ★

Hitunglah laju cahaya di dalam air ( $n = 1.33$ ), di dalam kaca ( $1.50$ ) dan di dalam intan ( $2.42$ ). Berapa lama cahaya menempuh $1.0\,\mathrm{km}$ serat berindeks $1.48$ ?

Solusi

Solusi Latihan 2.1.

$v = c/n$ : air $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , kaca $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , intan $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Serat: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Latihan 2.2 ★

Sinar di udara menemui air ( $n = 1.33$ ) pada $30^\circ$ , lalu pada $60^\circ$ dari garis normalnya: carilah sudut biasnya. Sinar di dalam air menemui permukaannya pada $50^\circ$ : apa yang terjadi?

Solusi

Solusi Latihan 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ . Dari dalam air pada $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , tak ada sinar bias — pemantulan sempurna ( $i_c = 48.8^\circ$ ).

Latihan 2.3 ★

Hitunglah sudut kritis untuk kaca–udara ( $n = 1.50$ ), intan–udara ( $2.42$ ) dan air–udara ( $1.33$ ). Berapa garis tengah sudut cakram langit yang dilihat seorang penyelam?

Solusi

Solusi Latihan 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : kaca $41.8^\circ$ , intan $24.4^\circ$ , air $48.8^\circ$ . Cakram langitnya membentang $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ .

Latihan 2.4 ★

Seseorang setinggi $1.70\,\mathrm{m}$ , matanya $10\,\mathrm{cm}$ di bawah puncak kepalanya, berdiri di depan cermin dinding yang tegak. Carilah cermin terkecil (tingginya, dan letak kedua tepinya di atas lantai) yang memperlihatkan seluruh tubuhnya. Apakah jawabannya bergantung pada jaraknya ke cermin?

Solusi

Solusi Latihan 2.4.

Matanya pada $1.60\,\mathrm{m}$ . Sinar dari kakinya mencapai mata setelah memantul pada separuh tinggi matanya, $0.80\,\mathrm{m}$ ; sinar dari puncak kepalanya memantul di tengah antara puncak dan mata, pada $1.65\,\mathrm{m}$ . Cermin dari $0.80\,\mathrm{m}$ sampai $1.65\,\mathrm{m}$ : tingginya $0.85\,\mathrm{m}$ , separuh tinggi badannya — bebas dari jaraknya (kaidah titik tengah berlaku pada jarak berapa pun).

Latihan 2.5 ★★

Sekeping uang logam terletak $1.2\,\mathrm{m}$ di dalam kolam; pada kedalaman berapa ia tampak bagi orang yang melihat dari atas? Mata seorang pemancing berada $1.8\,\mathrm{m}$ di atas air: setinggi apa matanya tampak bagi ikan yang menengadah? Berikan alasan keduanya dengan sinar bersudut kecil.

Solusi

Solusi Latihan 2.5.

Untuk sudut kecil: kedudukan semunya $h' = h/n$ bila dilihat dari medium yang lebih renggang, dan $h' = nh$ dari medium yang lebih rapat. Uang logam: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ . Pemancing: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ . Alasannya: untuk titik permukaan pada jarak mendatar $x$ , $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ dan $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ dengan $i_1 = n i_2$ .

Latihan 2.6 ★★

Sebuah prisma mempunyai $A = 60^\circ$ dan $n = 1.52$ . Hitunglah deviasi minimumnya. Tunjukkan bahwa sinar hanya dapat keluar dari muka kedua jika $A \leq 2 i_c$ , lalu periksalah bahwa prisma ini memenuhinya.

Solusi

Solusi Latihan 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , sehingga $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ , $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Agar keluar diperlukan $r' \leq i_c$ ; selain itu $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ memberi $r \leq i_c$ ; jadi $A = r + r' \leq 2i_c$ . Di sini $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ , $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : memenuhi.

Latihan 2.7 ★★

Serat indeks tangga mempunyai $n_1 = 1.50$ , $n_2 = 1.48$ . Hitunglah apertur numeriknya, sudut penerimaannya, selisih waktu antarmoda tiap kilometer, dan laju bit maksimum yang dihasilkannya sepanjang $1\,\mathrm{km}$ (ambil $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ ).

Solusi

Solusi Latihan 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ . $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Sepanjang $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Latihan 2.8 ★★

Prisma tipis bersudut puncak $10^\circ$ mempunyai $n = 1.510$ untuk merah dan $1.530$ untuk biru. Hitunglah deviasi tiap warnanya dan lebar sudut spektrum yang dihasilkannya.

Solusi

Solusi Latihan 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : merah $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , biru $5.30^\circ$ ; lebar spektrumnya $0.20^\circ$ .

Latihan 2.9 ★★

Sinar menemui pelat kaca bermuka sejajar ( $n = 1.50$ , tebal $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) pada $45^\circ$ . Tunjukkan bahwa ia keluar sejajar dengan arah datangnya, tergeser ke samping sebesar $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ , lalu hitunglah $d$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.9.

Masuk: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ . Kedua mukanya sejajar, sehingga sudut datang pada muka kedua adalah $r$ dan $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$ , sinar keluarnya sejajar dengan sinar datangnya. Sepanjang lintasan di dalamnya yang panjangnya $e/\cos r$ , geseran tegak lurusnya adalah $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 2.10 ★★★

Pelangi sekunder berasal dari sinar yang dipantulkan dua kali di dalam tetesnya. Tunjukkan bahwa $D = 2\pi + 2i - 6r$ , bahwa deviasi stasionernya memenuhi $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ , lalu hitunglah sudut pelangi sekunder dari arah antimatahari untuk $n = 1.333$ . Di mana letaknya relatif terhadap pelangi utama, dan dalam urutan apa warnanya?

Solusi

Solusi Latihan 2.10.

Dua pembiasan ( $2(i - r)$ ) dan dua pemantulan ( $2(\pi - 2r)$ ): $D = 2\pi + 2i - 6r$ . $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ memberi $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ . $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : pelanginya berada pada $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ dari titik antimatahari, di luar pelangi utama ( $42^\circ$ ). Merah ( $n = 1.331$ ) pada $50.4^\circ$ , ungu ( $1.343$ ) pada $53.6^\circ$ : warnanya terbalik, ungu di luar.

Latihan 2.11 ★★★

Di atas jalan yang panas, udara tepat di atas aspalnya berindeks $n_{\text{panas}} = 1.00026$ , udara yang lebih sejuk di atasnya $n_{\text{sejuk}} = 1.00029$ . Modelkan lapisannya sebagai antarmuka tajam: carilah sudut susur kritis (diukur dari jalannya) yang di bawahnya sinar dari langit dipantulkan sempurna ke atas. Mata pengemudi berada $1.2\,\mathrm{m}$ di atas jalan: di luar jarak berapa jalannya tampak seperti air?

Solusi

Solusi Latihan 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : sinar dalam $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ dari permukaan jalan dipantulkan sempurna (secara umum, sudut susurnya $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ ). Dari ketinggian $1.2\,\mathrm{m}$ , garis pandangnya menyusur dengan sudut ini di luar jarak $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : jalan di sana memantulkan langit — “genangan air” itu.

Latihan 2.12 ★★★

Titik $A$ (setinggi $a$ di atas sebuah antarmuka) dan $B$ (sedalam $b$ di bawahnya) terpisah mendatar sejauh $d$ ; cahaya merambat dengan $v_1$ di atas dan $v_2$ di bawah. Tuliskan waktu tempuh lintasan patah yang melalui titik antarmuka pada kedudukan mendatar $x$ , lalu tunjukkan bahwa waktunya stasioner tepat ketika $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — hukum Snell.

Solusi

Solusi Latihan 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , yang nol tepat ketika $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ , yaitu $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ dengan $n = c/v$ .

Pelangi ganda: pelangi utama pada 42 dengan merah di luar, pelangi sekunder yang lebih pucat pada 51 dengan warna yang terbalik, dan pita gelap Alexander di antara keduanya — pembiasan, pemantulan dan dispersi di dalam setiap tetesnya. — Pelangi ganda: pelangi utama pada $42{}^{\circ}$ dengan merah di luar, pelangi sekunder yang lebih pucat pada $51{}^{\circ}$ dengan warna yang terbalik, dan pita gelap Alexander di antara keduanya — pembiasan, pemantulan dan dispersi di dalam setiap tetesnya.

2.8 Soal: Sambungan serat optik

Soal 2.1

Soal akhir pekan — seutas benang kaca di bawah laut: sejauh dan secepat apa sebuah pulsa cahaya dapat membawa satu bit sebelum geometri, kaca dan dispersi mengaburkannya

Sebuah sambungan memakai serat indeks tangga dengan inti $n_1 = 1.480$ , selubung $n_2 = 1.465$ , jari-jari inti $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , pada panjang gelombang $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ . Data: $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Bagian I — Cahaya di dalam kaca.

Definisikan indeksnya lalu hitunglah laju cahaya di dalam intinya.
Berapa lama sebuah pulsa menempuh $50\,\mathrm{km}$ menyusuri sumbunya?
Hitunglah frekuensi cahayanya dan panjang gelombangnya di dalam inti.
Mengapa intinya dibungkus kaca berindeks lebih rendah dan bukan dibiarkan telanjang di udara, yang justru memberi tangga indeks lebih besar?

Bagian II — Penuntunan.

Hitunglah sudut kritis pada permukaan inti–selubung.
Simpulkan sudut terbesar yang dapat dibentuk sinar terpandu terhadap sumbunya.
Sinar masuk lewat muka ujung yang datar dari udara dengan sudut $\theta$ terhadap sumbunya. Tunjukkan bahwa ia terpandu jika $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , lalu hitunglah sudut penerimaannya $\theta_a$ .
Berikan apertur numeriknya. Mengapa tangga indeks yang lebih besar membuat serat itu lebih mudah diberi cahaya?
Seratnya dilengkungkan menyusuri lingkaran berjari-jari $R_b$ . Tinjaulah sinar yang berjalan sejajar sumbunya menyusuri tepi dalam intinya: tunjukkan bahwa ia menemui dinding luarnya dengan sudut datang $i$ yang memenuhi $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , lalu carilah $R_b$ terkecil yang masih menuntunnya.

Bagian III — Dispersi antarmoda.

Nyatakan waktu tempuh sinar sumbu dan sinar terpandu yang paling curam sepanjang panjang $L$ .
Simpulkan pemuluran $\Delta t$ tiap kilometer, dan nilainya sepanjang $L = 2\,\mathrm{km}$ .
Satu bit adalah pulsa pendek; dua pulsa berurutan harus tetap terpisah sekurang-kurangnya $2\Delta t$ agar dapat dibedakan. Taksirlah laju bit maksimum sepanjang $2\,\mathrm{km}$ .
Tunjukkan bahwa hasil kali (laju bit) $\times$ (panjang) tetap untuk serat ini, lalu hitunglah dalam $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
Dalam serat indeks berjenjang, indeksnya menurun mulus dari sumbu ke luar. Jelaskan secara kualitatif mengapa hal ini mengurangi pemuluran antarmoda.
Serat moda tunggal bergaris tengah inti sekitar $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Bandingkan dengan $\lambda_0$ lalu jelaskan mengapa model sinar tak dapat menggambarkannya; apa yang diperoleh?

Bagian IV — Redaman dan dispersi kromatik. Seratnya meredam dayanya sebesar $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ pada $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ . Pemancarnya melepaskan $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ ; penerimanya memerlukan sekurang-kurangnya $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ . Karena $n$ bergantung pada $\lambda$ , dua panjang gelombang merambat dengan laju yang sedikit berbeda: sumber berlebar spektrum $\Delta\lambda$ memberi pemuluran pulsa $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ dengan $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ .

Berapa bagian dayanya yang bertahan sepanjang $100\,\mathrm{km}$ ?
Carilah panjang maksimum sebelum sebuah penguat diperlukan.
Penguat dipasang tiap $100\,\mathrm{km}$ : berapa margin, dalam dB dan sebagai nisbah daya, yang tersisa bagi konektor dan sambungannya?
Hitunglah $\Delta t_c$ sepanjang $100\,\mathrm{km}$ untuk sumber LED ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) dan untuk laser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ); simpulkan laju bit maksimum masing-masing sepanjang jarak itu (kriteria yang sama seperti di atas).
Pada $850\,\mathrm{nm}$ silika meredam $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . Jarak berapa yang diizinkan anggaran daya yang sama di sana? Mengapa $1550\,\mathrm{nm}$ menjadi panjang gelombang telekomunikasi?
Kabel koaksial tembaga meredam sekitar $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ pada frekuensi yang diperlukan untuk $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . Bandingkan jarak antarpenguatnya dengan jarak antarpenguat seratnya.

Bagian V — Seluruh sambungannya.

Untuk serat indeks tangga sepanjang $2\,\mathrm{km}$ , pengaruh mana yang membatasi laju bitnya: pemuluran antarmoda, pemuluran kromatik (sumber laser) atau redaman? Berikan laju bit pembatasnya.
Untuk serat moda tunggal sepanjang $100\,\mathrm{km}$ dengan sumber laser: pengaruh mana yang membatasi, dan pada laju bit berapa?
Sambungan moda tunggal itu membawa $80$ laser pada panjang gelombang yang berjarak $0.8\,\mathrm{nm}$ (multipleksing panjang gelombang), masing-masing pada laju bit pertanyaan sebelumnya. Berapa kapasitas totalnya?
Bentuklah hasil kali laju bit dan panjang bagi sambungan indeks tangga dan bagi satu kanal moda tunggal; dengan faktor berapa serat moda tunggal menang, dan fakta fisis tunggal apa yang bertanggung jawab?

Solusi

Solusi Soal 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , tak berubah di dalam kaca; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ .

4. Inti telanjang hanya menuntun selama permukaannya benar-benar bersih dan tak tersentuh: debu, air atau genggaman tangan setempat menggantikan udara dengan indeks yang lebih tinggi dan cahayanya lolos, sedangkan goresan menghamburkannya. Selubungnya adalah antarmuka tertutup dan terkendali dengan tangga indeks yang dipilih dengan sengaja.

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; terpandu jika dan hanya jika $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , yaitu $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , yaitu $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ .

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ . Tangga yang lebih besar melebarkan kerucutnya, sehingga cahaya sumber yang menyebar (sebuah LED) lebih banyak tertangkap.

9. Sinarnya menyinggung lingkaran berjari-jari $R_b$ (tepi dalam) lalu menemui lingkaran berjari-jari $R_b + 2a$ (tepi luar); dalam segitiga siku-siku pusat–titik singgung–titik tumbukan, sudut di titik tumbukan antara sinarnya dan jari-jari (garis normalnya) memenuhi $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ . Terpandu jika dan hanya jika $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ . Lengkungan yang lebih tajam membocorkannya.

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; lintasan sinar paling curam $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , sehingga $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ .

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; sepanjang $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$ .

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. Sinar yang jauh dari sumbu menempuh lintasan lebih panjang tetapi di indeks yang lebih rendah, jadi lebih cepat; dengan profil yang dipilih baik kedua pengaruh itu saling meniadakan dan semua sinar tiba bersamaan.

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : intinya tidak besar dibandingkan panjang gelombangnya, sehingga difraksi mendominasi dan sinar tak lagi bermakna. Pembahasan gelombang memperlihatkan satu pola terpandu tunggal: sama sekali tak ada pemuluran antarmoda; hanya dispersi kromatik dan redaman yang tersisa.

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , satu persen.

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , sehingga $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ .

18. $100\,\mathrm{km}$ memakan $20\,\mathrm{dB}$ : marginnya $10\,\mathrm{dB}$ , sebuah faktor $10$ pada dayanya.

19. LED: $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ . Laser: $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , sepuluh kali lebih pendek. Silika paling bening di dekat $1550\,\mathrm{nm}$ (minimum redamannya), dan penguat optik tersedia di sana.

21. $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ antarpenguat, terhadap $150\,\mathrm{km}$ : seratnya menang dengan faktor $150$ .

22. Antarmoda: $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ); kromatik (laser): $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; redaman $0.4\,\mathrm{dB}$ , dapat diabaikan. Pemuluran antarmoda yang membatasi: $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

23. Tak ada pemuluran antarmoda; kromatiknya $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; redamannya $20\,\mathrm{dB}$ , masih di dalam anggaran. Dispersi kromatik yang membatasi, pada sekitar $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. Indeks tangga: $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; kanal moda tunggal: $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — sebuah faktor sekitar $3\times10^4$ . Satu fakta: lintasan terpandu yang tunggal, sehingga tak ada pemuluran waktu tiba yang bersifat geometri (antarmoda).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium