Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

1Satuan, Dimensi, dan Pengukuran

Di sebuah laboratorium di ruang bawah tanah sebuah bandul berayun, sebuah stopwatch berdetak, dan seorang mahasiswa menuliskan $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Apakah itu nilai yang “benar”? Buku teks menyebut $9.81$ . Apakah kedua angka itu selaras, apakah percobaannya dirancang dengan baik, langkah mana yang membatasinya — tidak satu pun dapat diputuskan dari digitnya saja. Fisika mengukur, dan pengukuran tanpa ketidakpastiannya hanyalah kabar angin. Bab ini menyiapkan bahasa bersama bagi seluruh bab berikutnya: satuan, dimensi, orde besar, dan aritmetika ketidakpastian yang jujur.

Neraca Kibble NIST-4, salah satu instrumen yang kini mewujudkan kilogram dari tetapan Planck: sebuah massa ditimbang terhadap gaya elektromagnetik yang diukur dalam satuan listrik. Foto: J. L. Lee, NIST (domain publik).

1.1 Sistem Satuan Internasional

Definisi 1.1 (Besaran fisis dan satuan)

Sebuah besaran fisis adalah sifat yang dapat diukur: panjang, selang waktu, massa, arus. Mengukurnya berarti membandingkannya dengan besaran acuan sejenis, yaitu satuan: hasilnya sebuah bilangan dikali satuan, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$ . Bilangannya saja tidak berarti apa-apa; satuannya saja tidak mengukur apa pun.

Definisi 1.2 (Satuan dasar SI)

Sistem Satuan Internasional (SI) bertumpu pada tujuh satuan dasar: sekon ( $\mathrm{s}$ ), meter ( $\mathrm{m}$ ), kilogram ( $\mathrm{kg}$ ), ampere ( $\mathrm{A}$ ), kelvin ( $\mathrm{K}$ ), mol ( $\mathrm{mol}$ ) dan candela ( $\mathrm{cd}$ ). Sejak 2019 masing-masing didefinisikan dengan menetapkan nilai numerik sebuah tetapan alam: frekuensi hiperhalus sesium $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ mendefinisikan sekon; laju cahaya $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu mendefinisikan meter; tetapan Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ mendefinisikan kilogram; muatan elementer $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ mendefinisikan ampere; tetapan Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ mendefinisikan kelvin; tetapan Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ mendefinisikan mol; dan efikasi cahaya tetap $K_{\mathrm{cd}}$ mendefinisikan candela. Setiap satuan lain adalah satuan turunan, hasil kali pangkat-pangkat satuan dasar: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ , $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ .

Tujuh satuan dasar (cincin luar) dan tujuh tetapan pendefinisi (cincin dalam). Sebuah tetapan yang ditetapkan hanya mendefinisikan satuannya bersama satuan yang sudah terdefinisi (garis putus-putus): c mengubah sekon menjadi meter, h memerlukan meter dan sekon untuk mendefinisikan kilogram, e memerlukan sekon untuk mendefinisikan ampere. — Tujuh satuan dasar (cincin luar) dan tujuh tetapan pendefinisi (cincin dalam). Sebuah tetapan yang ditetapkan hanya mendefinisikan satuannya bersama satuan yang sudah terdefinisi (garis putus-putus): $c$ mengubah sekon menjadi meter, $h$ memerlukan meter dan sekon untuk mendefinisikan kilogram, $e$ memerlukan sekon untuk mendefinisikan ampere.

Catatan 1.3 (Nama dan lambang)

Satuan yang dinamai menurut nama orang ditulis dengan huruf kecil bila dieja penuh (newton, joule, pascal) dan dengan huruf besar sebagai lambang ( $\mathrm{N}$ , $\mathrm{J}$ , $\mathrm{Pa}$ ); dieja penuh dengan huruf besar, kata itu berarti orangnya. Awalan menskalakan dengan pangkat sepuluh, dari p ( $10^{-12}$ ) melalui n, $\mu$ , m, k, M, G sampai T ( $10^{12}$ ); kilogram adalah satu-satunya satuan dasar yang membawa awalan pada namanya.

Contoh 1.4 (Menguraikan sebuah satuan turunan)

Volt: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$ . Ohm: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$ . Farad: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$ . Penguraian seperti ini adalah pemeriksaan teraman bahwa sebuah rumus diingat dengan benar — subbab berikut membuatnya sistematis.

1.2 Analisis dimensi

Definisi 1.5 (Dimensi)

Dimensi sebuah besaran $X$ , ditulis $[X]$ , mencatat bagaimana $X$ tersusun dari tujuh besaran dasar, terlepas dari satuan yang dipilih: panjang $L$ , massa $M$ , waktu $T$ , arus listrik $I$ , suhu $\Theta$ , jumlah zat $N$ , intensitas cahaya $J$ . Kelajuan berdimensi $[v] = L\,T^{-1}$ , gaya $[F] = M\,L\,T^{-2}$ , energi $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ . Besaran berdimensi $1$ (sudut, nisbah, indeks bias) disebut tak berdimensi.

Teorema 1.6 (Asas kehomogenan dimensi)

Dalam sebuah hukum fisika, kedua ruas sebuah kesamaan berdimensi sama, dan setiap suku sebuah penjumlahan berdimensi sama dengan keseluruhannya. Argumen eksponensial, logaritma, sinus atau kosinus tak berdimensi.

Bukti. Hukum-hukum fisika tidak bergantung pada satuan yang dipilih manusia. Mengubah satuan panjang dengan faktor $\lambda$ mengalikan setiap besaran berdimensi $L^a \cdots$ dengan $\lambda^{-a}$ : sebuah kesamaan antara suku-suku berdimensi berbeda akan berlaku dalam satu sistem satuan dan gagal dalam sistem yang lain. Untuk fungsi seperti $\exp$ , deret $1 + x + x^2/2 + \dots$ menjumlahkan pangkat-pangkat $x$ yang berbeda dimensi kecuali jika $x$ tak berdimensi. ∎

Metode 1.7 (Memeriksa sebuah rumus)

Tuliskan dimensi setiap lambang.
Sederhanakan tiap ruas (tiap suku) menjadi hasil kali $L^a M^b T^c \cdots$ .
Pangkat sama pada kedua ruas: rumusnya mungkin benar. Pangkat berbeda: rumusnya pasti salah — ada faktor $g$ yang hilang, besaran yang dikuadratkan padahal tidak seharusnya, atau pangkat yang berdimensi.

Rumus yang homogen masih bisa salah pada faktor tak berdimensi ( $2$ , $\pi$ , $\tfrac12$ ): dimensi tidak pernah melihatnya.

Contoh 1.8 (Periode sebuah bandul)

Sebuah bandul sepanjang $\ell$ bermassa $m$ berayun dalam gravitasi $g$ . Andaikan periodenya $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ dengan $k$ tak berdimensi. Maka $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , sehingga $\beta = 0$ , $\gamma = -\tfrac12$ , $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

Tanpa menyelesaikan satu pun persamaan gerak: massanya lenyap, dan melipatduakan panjangnya mengalikan periodenya dengan $\sqrt2$ . Dinamika (Bab 14) kelak memberi $k = 2\pi$ untuk ayunan kecil.

Proposisi 1.9 (Kelompok tak berdimensi)

Jika sebuah besaran $Y$ bergantung pada $n$ besaran $X_1, \dots, X_n$ yang melibatkan $r$ dimensi dasar yang bebas, hubungan itu dapat ditulis ulang antara $n + 1 - r$ kombinasi tak berdimensi dari $X_i$ dan $Y$ . Ketika $n + 1 - r = 1$ , kombinasi tunggal itu harus tetap, dan analisis dimensi memberikan hukumnya sampai pada sebuah faktor numerik.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 1.10 (Menggunakan proposisi)

Pernyataan umumnya (teorema Vaschy–Buckingham) adalah sepotong aljabar linear atas vektor-vektor pangkat. Yang penting di sini resepnya: daftarkan besaran yang relevan, hitung dimensinya, bentuk kelompok tak berdimensinya. Dalam Contoh 1.8, $n = 3$ ( $\ell, m, g$ ), $r = 3$ ( $L, M, T$ ), sehingga ada satu kelompok $\tau\sqrt{g/\ell}$ dan ia harus tetap. Hambatan pada sebuah bola berjari-jari $R$ yang bergerak dengan laju $v$ dalam fluida bermassa jenis $\rho$ dan berkekentalan $\eta$ melibatkan $n = 4$ besaran dan $r = 3$ dimensi: dua kelompok, $F/(\rho v^2 R^2)$ dan $\rho v R/\eta$ (bilangan Reynolds), dan dimensi saja tidak dapat mengatakan bagaimana yang pertama bergantung pada yang kedua — percobaan yang harus.

1.3 Orde besar

Definisi 1.11 (Orde besar)

Orde besar sebuah besaran adalah pangkat sepuluh yang terdekat kepadanya: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (jari-jari Bumi) berorde besar $10^7$ ; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ berorde $10^3$ ; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ lebih dekat ke $10^3$ daripada ke $10^4$ pada skala logaritmik (batasnya $\sqrt{10} \approx 3.16$ ). Dua besaran disebut “seorde” bila nisbahnya di bawah kira-kira $3$ .

Metode 1.12 (Menaksir)

Untuk menaksir besaran yang tidak diukurkan siapa pun untuk Anda:

uraikan menjadi faktor-faktor yang dapat Anda taksir sampai pada faktor $2$ atau $3$ masing-masing;
taksir tiap faktor, pertahankan satu angka penting;
kalikan, pertahankan pangkat sepuluh dan satu digit.

Galat pada faktor yang berbeda sebagian saling meniadakan; hasilnya biasanya benar sampai pada faktor $3$ sampai $10$ , yang seringkali sudah cukup untuk menerima atau menolak sebuah hipotesis.

Contoh 1.13 (Massa atmosfer)

Tekanan atmosfer $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ adalah berat kolom udara di atas satu meter persegi, $P_0 = m_{\text{kol}}\,g$ , sehingga $m_{\text{kol}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ tiap meter persegi. Permukaan Bumi seluas $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; jadi atmosfer berbobot sekitar $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ . Nilai yang diterima $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — taksiran itu hanya memerlukan $P_0$ dan $R$ .

Definisi 1.14 (Angka penting)

Angka penting sebuah bilangan tertulis adalah digitnya terhitung dari yang pertama tak nol: $0.0820$ punya tiga, $8.20 \times 10^{-2}$ punya tiga yang sama, $820$ bermakna ganda (dua atau tiga) kecuali ditulis $8.2 \times 10^{2}$ atau $8.20 \times 10^{2}$ . Sebuah hasil ditulis dengan angka penting sebanyak yang diizinkan ketidakpastiannya (Metode 1.20 di bawah): bukan “ $g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ” bila digit keempatnya tak diketahui.

1.4 Ketidakpastian pengukuran

Definisi 1.15 (Besaran ukur, galat, ketidakpastian)

Besaran ukur adalah besaran yang hendak diukur. Mengulang sebuah pengukuran memberi nilai yang berpencar: pengukurannya bersifat beragam. Galat sebuah hasil adalah selisihnya yang tak diketahui terhadap nilai benar; ketidakpastian baku $u(x)$ sebuah hasil $x$ adalah simpangan baku nilai-nilai yang secara masuk akal dapat dikaitkan dengan besaran ukur — besaran yang justru dapat dievaluasi. Sumbernya: pengamat (waktu reaksi, paralaks), lingkungan (suhu, getaran), instrumen (resolusi, kalibrasi), dan metodenya (model yang hanya hampir benar).

Proposisi 1.16 (Evaluasi tipe A)

Dari $n$ nilai ulangan yang saling bebas $x_1, \dots, x_n$ dengan rata-rata $\bar x = \frac1n \sum x_i$ dan simpangan baku eksperimen

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

taksiran terbaik besaran ukurnya adalah $\bar x$ dan ketidakpastian bakunya

u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

Bukti sebagian. Bahwa $s$ menaksir pencaran satu pengukuran tunggal adalah definisi simpangan baku eksperimen ( $n - 1$ dan bukan $n$ karena rata-ratanya sendiri ditaksir dari datanya). Bahwa rata-rata $n$ nilai yang saling bebas berpencar $\sqrt n$ kali lebih sempit daripada satu nilai adalah penjumlahan ragam: ragam jumlah $n$ peubah yang saling bebas sama dengan $n$ kali ragam satu peubah, sehingga ragam rata-ratanya $s^2 n / n^2 = s^2/n$ . Kuliah peluang tahun ini membuktikan keduanya. ∎

Lima puluh pencatatan waktu periode bandul yang sama, dibin per 0.01\, s. Pencarannya s 0.016\, s (satu pencatatan); rata-rata kelimapuluhnya diketahui sampai s/√50 0.002\, s. Kurva lonceng adalah kurva Gauss dengan rata-rata dan pencaran yang sama. — Lima puluh pencatatan waktu periode bandul yang sama, dibin per $0.01\,\mathrm{s}$ . Pencarannya $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (satu pencatatan); rata-rata kelimapuluhnya diketahui sampai $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$ . Kurva lonceng adalah kurva Gauss dengan rata-rata dan pencaran yang sama.

Proposisi 1.17 (Evaluasi tipe B)

Ketika sebuah nilai dibaca satu kali, ketidakpastiannya dievaluasi dari apa yang diketahui tentang instrumennya. Jika nilai benarnya dapat terletak di mana saja antara $x - a$ dan $x + a$ tanpa kecenderungan (distribusi seragam berlebar separuh $a$ ),

u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

Untuk skala berskala bagi $\delta$ (lebar separuh $a = \delta/2$ ), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$ ; hal yang sama berlaku bagi digit terakhir sebuah tampilan digital. Toleransi pabrikan yang disebut “ $\pm a$ ” diperlakukan dengan cara yang sama kecuali lembar datanya menyatakan lain.

Bukti. Ragam distribusi seragam pada $[x - a, x + a]$ adalah $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$ ; simpangan bakunya $a/\sqrt3$ . ∎

Sebuah pembacaan yang hanya diketahui terletak dalam ± a: kepadatan seragam 1/(2a), simpangan baku a/√3 0.58\,a — lebih kecil daripada a, karena ujung-ujungnya tak lebih mungkin daripada pusatnya. — Sebuah pembacaan yang hanya diketahui terletak dalam $\pm a$ : kepadatan seragam $1/(2a)$ , simpangan baku $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — lebih kecil daripada $a$ , karena ujung-ujungnya tak lebih mungkin daripada pusatnya.

Teorema 1.18 (Ketidakpastian gabungan)

Misalkan $y = f(x_1, \dots, x_n)$ dihitung dari nilai-nilai terukur yang saling bebas dengan ketidakpastian baku $u(x_i)$ . Maka

u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

Khususnya:

jumlah atau selisih $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
hasil kali atau hasil bagi $y = x_1 x_2$ atau $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
pangkat $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

Bukti. Untuk simpangan kecil $\delta x_i$ , uraian Taylor orde pertama memberi $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$ . Simpangan itu saling bebas dan berrata-rata nol, sehingga ragam jumlahnya adalah jumlah ragamnya, masing-masing diskalakan dengan kuadrat koefisiennya — persis rumus yang dipajang. Kasus khususnya menyusul: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ memberi $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$ , lalu bagi dengan $y^2 = x_1^2 x_2^2$ ; untuk $y = kx^\alpha$ , $\partial y/\partial x = \alpha y/x$ . ∎

Contoh 1.19 (Massa jenis sebuah silinder)

Sebuah silinder: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ( $u = 0.01\,\mathrm{g}$ ), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.02\,\mathrm{mm}$ ), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.1\,\mathrm{mm}$ ). $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ , sehingga kuadrat ketidakpastian nisbinya menjumlahkan $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$ , $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ dan $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ : diameternya yang menentukan, karena ia dikuadratkan dan diukur sampai $0.17\%$ . $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%$ ; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , jadi $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — kuningan.

Metode 1.20 (Menuliskan sebuah hasil)

Bulatkan ketidakpastiannya ke satu angka penting (dua bila angka pertamanya $1$ atau $2$ ).
Bulatkan nilainya ke tempat desimal yang sama.
Tuliskan nilai dan ketidakpastian beserta satuannya: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , atau $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Simpan digit tambahan selama perhitungan; bulatkan hanya di akhir.

Definisi 1.21 (Simpangan ternormalisasi)

Dua hasil $x_1 \pm u_1$ dan $x_2 \pm u_2$ atas besaran ukur yang sama dibandingkan melalui simpangan ternormalisasi

z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

Keduanya sesuai bila $z \leq 2$ ; $z$ yang lebih besar menunjuk pada pengaruh yang tak diperhitungkan — atau pada ketidakpastian yang ditaksir terlalu rendah. Bila $x_2$ nilai acuan tanpa ketidakpastian yang disebutkan, ambil $u_2 = 0$ .

Catatan 1.22 (Mengapa 2)

Jika kedua hasil berpencar seperti kurva Gauss, selisihnya bersimpangan baku $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ , dan sebuah kurva Gauss melampaui dua kali simpangan bakunya pada sekitar $5\%$ kasus. “ $z \leq 2$ ” adalah kesepakatan, bukan teorema: ia menerima kira-kira satu di antara dua puluh pengukuran yang baik sebagai ketaksesuaian palsu.

1.5 Mencocokkan model dengan data

Proposisi 1.23 (Garis kuadrat terkecil)

Diberikan $n$ titik $(x_i, y_i)$ yang diharapkan memenuhi $y = a x + b$ , garis lurus yang meminimumkan jumlah kuadrat jarak tegaknya $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ mempunyai

a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

Bukti. Jumlah itu fungsi kuadrat dari $(a, b)$ ; menyamakan kedua turunan parsialnya dengan nol memberi dua persamaan linear: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$ , yang berarti $\bar y = a \bar x + b$ , dan $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$ . Menyubstitusikan $b$ ke persamaan kedua lalu memusatkan variabelnya menghasilkan $a$ . Peminimuman itu sendiri dikerjakan dalam kuliah matematika tentang fungsi dua variabel. ∎

Metode 1.24 (Menguji model secara grafik)

Pilih variabel yang membuat hukum yang diharapkan menjadi garis lurus: $\tau^2$ terhadap $\ell$ untuk bandul, $\ln y$ terhadap $\ln x$ untuk hukum pangkat $y = Cx^\alpha$ (kemiringan $\alpha$ ).
Gambarkan titik-titiknya beserta batang ketidakpastiannya.
Cocokkan garisnya; modelnya dapat diterima bila batangnya mengangkangi garisnya tanpa kecenderungan sisaan yang sistematik, dan bila perpotongannya sesuai ramalan model (nol, di sini).
Baca fisikanya dari kemiringannya, beserta ketidakpastiannya.

2 terhadap untuk lima panjang bandul, beserta batang ketidakpastiannya; garis kuadrat terkecilnya melewati titik asal dalam batas ketidakpastian dan kemiringannya 4π2/g memberi g. — $\tau^2$ terhadap $\ell$ untuk lima panjang bandul, beserta batang ketidakpastiannya; garis kuadrat terkecilnya melewati titik asal dalam batas ketidakpastian dan kemiringannya $4\pi^2/g$ memberi $g$ .

Contoh 1.25 (Membaca $g$ dari sebuah kemiringan)

Kelima titik pada gambar mempunyai $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ , $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ , dan jumlah-jumlah $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$ , $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$ : kemiringan $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , perpotongan $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ , dapat diabaikan. Dengan $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ , $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

1.6 Latihan

Latihan 1.1 ★

Nyatakan joule, watt, pascal dan coulomb dalam satuan dasar. Simpulkan bahwa $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ adalah satuan energi.

Solusi

Solusi Latihan 1.1.

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$ ; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (usaha gaya tekanan, $P\,\dd V$ ).

Latihan 1.2 ★

Berikan dimensi tekanan, daya, muatan listrik, tegangan, dan dimensi tetapan $G$ (dalam $F = Gm_1m_2/r^2$ ), $h$ (dalam $E = h\nu$ ) serta $k_B$ (dalam $E = k_B T$ ).

Solusi

Solusi Latihan 1.2.

Tekanan $M L^{-1} T^{-2}$ ; daya $M L^2 T^{-3}$ ; muatan $I\,T$ ; tegangan $=$ daya/arus $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$ . $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$ ; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$ ; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$ .

Latihan 1.3 ★

Apakah rumus-rumus ini homogen? $v = \sqrt{2gh}$ ; $E = \tfrac12 m v$ ; $P = \rho g h$ untuk sebuah tekanan; $x = v_0 t + \tfrac12 g t^2$ ; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$ ; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.3.

$\sqrt{2gh}$ : $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$ , homogen. $\tfrac12 mv$ : $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$ , bukan energi. $\rho g h$ : $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$ , sebuah tekanan. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$ : kedua sukunya $L$ , homogen. $2\pi\sqrt{g/\ell}$ : $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — sebuah frekuensi, bukan periode. $I_0\eu^{-t/RC}$ : $RC$ dalam $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$ , argumennya tak berdimensi, homogen.

Latihan 1.4 ★

Sebuah mistar berskala milimeter; sebuah neraca digital menampilkan langkah $0.01\,\mathrm{g}$ ; lembar data sebuah voltmeter menjanjikan “ $\pm 0.5\%$ dari pembacaan”. Berikan ketidakpastian baku tipe B bagi panjang $12.7\,\mathrm{cm}$ , massa $5.43\,\mathrm{g}$ dan pembacaan $4.80\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.4.

Mistar: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$ , $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ . Neraca: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$ . Voltmeter: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$ , $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$ .

Latihan 1.5 ★★

Laju $v$ gelombang pada tali teregang bergantung pada tegangan talinya $F$ (sebuah gaya) dan pada massa tiap satuan panjangnya $\mu$ . Carilah $v$ sampai pada sebuah faktor tak berdimensi. Pertanyaan yang sama untuk laju bunyi dalam gas bertekanan $P$ dan bermassa jenis $\rho$ .

Solusi

Solusi Latihan 1.5.

$v = k F^\alpha \mu^\beta$ : $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$ , sehingga $\alpha + \beta = 0$ , $\alpha - \beta = 1$ , $-2\alpha = -1$ : $\alpha = \tfrac12$ , $\beta = -\tfrac12$ , $v = k\sqrt{F/\mu}$ (sesungguhnya $k = 1$ ). Bunyi: $P/\rho$ berdimensi $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$ , sehingga $v = k\sqrt{P/\rho}$ ( $k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ untuk udara).

Latihan 1.6 ★★

Delapan pencatatan waktu jatuh yang sama, dalam milisekon: $452$ , $447$ , $461$ , $455$ , $449$ , $458$ , $444$ , $454$ . Hitunglah rata-ratanya, simpangan baku eksperimennya dan ketidakpastian baku rata-ratanya; tuliskan hasilnya.

Solusi

Solusi Latihan 1.6.

Jumlah $= 3620\,\mathrm{ms}$ , $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$ . Simpangannya $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$ ; jumlah kuadratnya $226$ ; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$ ; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . Hasilnya: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$ .

Latihan 1.7 ★★

Sebuah hambatan diukur sebagai $R = U/I$ dengan $U = 4.80\,\mathrm{V}$ , $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ dan $I = 12.4\,\mathrm{mA}$ , $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$ . Hitunglah $R$ dan $u(R)$ ; pengukuran mana yang harus diperbaiki lebih dahulu?

Solusi

Solusi Latihan 1.7.

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$ . Ketidakpastian nisbinya $0.03/4.80 = 0.63\%$ dan $0.2/12.4 = 1.6\%$ ; gabungannya $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$ , $u(R) = 7\,\Omega$ : $R = (387 \pm 7)\,\Omega$ . Arusnya yang menentukan — perbaiki amperemeternya (atau jangkauannya) lebih dahulu.

Latihan 1.8 ★★

Dua kelompok mengukur laju bunyi: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Apakah keduanya sesuai? Kelompok ketiga memperoleh $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : sesuai dengan yang pertama? dengan yang kedua?

Solusi

Solusi Latihan 1.8.

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$ : sesuai. Yang ketiga terhadap yang pertama: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$ : tepat di batas, nyaris sesuai. Yang ketiga terhadap yang kedua: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$ : tak sesuai — sekurang-kurangnya salah satu dari keduanya mengandung galat sistematik atau ketidakpastian yang ditaksir terlalu rendah.

Latihan 1.9 ★★

Volume sebuah bola dihitung dari diameternya $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ yang diukur dengan jangka sorong, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$ . Hitunglah $V$ , ketidakpastian nisbi dan mutlaknya, lalu tuliskan hasilnya.

Solusi

Solusi Latihan 1.9.

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$ . $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$ , $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$ : $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Latihan 1.10 ★★★

Sebuah bola kecil berjari-jari $R$ jatuh perlahan dalam cairan kental; hambatannya bergantung pada $R$ , pada laju $v$ dan pada kekentalan $\eta$ , yang berdimensi $M L^{-1} T^{-1}$ . Tunjukkan bahwa $F = k\,\eta R v$ . Pada laju tinggi hambatannya justru bergantung pada $R$ , $v$ dan massa jenis fluida $\rho$ : carilah hukum barunya. Taksirlah, untuk sebuah tetes hujan ( $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , udara: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), rezim mana yang berlaku dengan membandingkan kedua taksiran itu.

Solusi

Solusi Latihan 1.10.

$F = k\eta^a R^b v^c$ : $M$ : $a = 1$ ; $T$ : $-a - c = -2$ , $c = 1$ ; $L$ : $-a + b + c = 1$ , $b = 1$ : $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$ ). Dengan $\rho$ sebagai gantinya: $M$ : $a = 1$ ; $T$ : $-c = -2$ , $c = 2$ ; $L$ : $-3 + b + 2 = 1$ , $b = 2$ : $F = k\rho R^2 v^2$ . Tetes hujan: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ ; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , tiga ratus kali lebih besar: rezim inersial (laju tinggi) yang berlaku — nisbah $\rho v R/\eta \approx 330$ adalah bilangan Reynolds.

Latihan 1.11 ★★★

Empat pengukuran tegangan pada sebuah resistor untuk arus yang menaik: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$ , $(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V})$ , $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$ , $(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V})$ . Hitunglah kemiringan dan perpotongan kuadrat terkecilnya; simpulkan $R$ ; apakah perpotongannya sesuai dengan nol bila tiap $U$ membawa $u = 0.02\,\mathrm{V}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 1.11.

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$ , $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$ ; simpangan pada $I$ : $-3, -1, 1, 3$ ; pada $U$ : $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$ . $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$ , $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$ : $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$ , $b = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}$ . Dengan $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ tiap titik, perpotongan $0.005\,\mathrm{V}$ masih jauh di dalam ketidakpastian: sesuai dengan nol, resistornya ohmik, $R \approx 199\,\Omega$ .

Latihan 1.12 ★★★

Dari $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ dan $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bentuklah dengan analisis dimensi sebuah panjang, sebuah waktu dan sebuah massa (satuan Planck). Hitunglah semuanya dan bandingkan dengan ukuran sebuah proton ( $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) serta dengan massa manusia.

Solusi

Solusi Latihan 1.12.

$\ell = G^a h^b c^c$ : $M$ : $-a + b = 0$ ; $T$ : $-2a - b - c = 0$ ; $L$ : $3a + 2b + c = 1$ . Jadi $b = a$ , $c = -3a$ , $2a = 1$ : $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$ ; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$ . Panjang Planck dua puluh orde besar di bawah sebuah proton; massa Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$ , sebutir debu — raksasa bagi sebuah partikel, mungil bagi seorang manusia ( $10^9$ kali lebih ringan).

Bahan mentah bab ini: sebuah jangka sorong, sebuah stopwatch, sebuah bola, sebuah mistar, dan sekolom pembacaan berulang yang tak pernah benar-benar sama.

1.7 Soal: Mengukur $g$ dengan sebuah bandul

Soal 1.1

Soal akhir pekan — seutas tali, sebuah bandulan, sebuah stopwatch dan sebuah pita ukur: seberapa baik meja dapur dapat mengukur medan gravitasi Bumi, dan mana di antara empat angkanya yang lemah

Sebuah bandul adalah bola baja yang digantung pada titik tetap dengan tali ringan; ayunan kecilnya berperiode $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ dengan $\ell$ jarak dari titik gantung ke pusat bolanya. Tujuannya sebuah nilai $g$ dengan ketidakpastian yang dapat dipertanggungjawabkan.

Bagian I — Modelnya.

Periksalah kehomogenan $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
Bolanya bermassa $m$ . Tunjukkan dengan dimensi saja bahwa periodenya tidak mungkin bergantung pada $m$ jika ia hanya bergantung pada $\ell$ , $g$ dan $m$ .
Periodenya juga bergantung, sedikit, pada amplitudo $\theta_0$ ayunannya. Mengapa analisis dimensi mengizinkan hal ini, dan apa yang harus dilakukan secara eksperimental agar rumusnya berlaku?
Nyatakan $g$ sebagai fungsi $\ell$ dan $\tau$ .

Bagian II — Mengukur panjangnya. Pita ukurnya berskala milimeter; talinya sepanjang $99.0\,\mathrm{cm}$ dari gantungan sampai puncak bolanya, diameter bolanya $2.00\,\mathrm{cm}$ , keduanya dibaca satu kali.

Hitunglah $\ell$ .
Evaluasilah ketidakpastian tipe B sebuah pembacaan tunggal pada pita ukurnya.
Menentukan letak titik gantung dan pusat bolanya menambahkan taksiran galat yang mungkin sebesar $\pm5\,\mathrm{mm}$ (seragam). Gabungkan dengan butir sebelumnya menjadi $u(\ell)$ , lalu berikan ketidakpastian nisbinya $u(\ell)/\ell$ .

Bagian III — Mengukur periodenya. Untuk mengurangi pengaruh waktu reaksi, orang mencatat waktu sepuluh periode. Delapan pencatatan semacam itu, dalam sekon: $20.12$ , $20.05$ , $20.18$ , $20.09$ , $20.15$ , $20.02$ , $20.11$ , $20.08$ .

Mengapa mencatat sepuluh periode dan bukan satu? Mengapa mengulangi pencatatannya delapan kali?
Hitunglah rata-rata $\overline{t_{10}}$ dan simpangan baku eksperimen $s$ kedelapan pencatatan itu.
Simpulkan ketidakpastian baku rata-ratanya, lalu periodenya $\tau$ dan ketidakpastiannya $u(\tau)$ .
Bandingkan $u(\tau)/\tau$ dengan $u(\ell)/\ell$ .

Bagian IV — Hasilnya dan titik lemahnya.

Hitunglah $g$ .
Tuliskan $u(g)/g$ dalam $u(\ell)/\ell$ dan $u(\tau)/\tau$ , lalu hitunglah.
Tuliskan hasilnya dalam bentuk baku.
Bandingkan dengan nilai acuan $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ melalui simpangan ternormalisasi. Kesimpulannya?
Manakah di antara kedua besaran terukur itu yang membatasi ketelitian $g$ ? Usulkan dua perbaikan yang konkret dan katakan seberapa besar masing-masing akan menurunkan ketidakpastian nisbinya.
Andaikan, karena penjajaran yang ceroboh, setiap panjang ditaksir terlalu besar sebanyak $5\,\mathrm{mm}$ . Apakah hal ini sudah tercakup dalam anggaran ketidakpastiannya? Nama apa yang disandang galat semacam ini, dan bagaimana mendeteksinya?

Bagian V — Lima panjang dan sebuah garis lurus. Percobaannya diulang untuk $\ell = 0.400$ , $0.600$ , $0.800$ , $1.000$ dan $1.200\,\mathrm{m}$ , memberi $\tau^2 = 1.62$ , $2.41$ , $3.25$ , $4.04$ dan $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ , masing-masing dengan $u(\tau^2) \approx 1\%$ .

Mengapa menggambarkan $\tau^2$ terhadap $\ell$ dan bukan $\tau$ terhadap $\ell$ ?
Hitunglah $\bar\ell$ dan $\overline{\tau^2}$ .
Hitunglah kemiringan kuadrat terkecil $a$ dan perpotongan $b$ .
Simpulkan $g$ dari kemiringannya.
Tafsirkan perpotongannya: apa yang akan disingkapkan oleh $b$ yang jelas tak nol?
Pencocokan oleh komputer melaporkan $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Simpulkan $u(g)$ lalu tuliskan hasilnya.
Bandingkan hasil panjang tunggal Bagian IV dengan hasil ini melalui simpangan ternormalisasi.
Seorang mahasiswa mengusulkan untuk mengukur sebagai gantinya satu ayunan bandul sepanjang $10\,\mathrm{m}$ di sebuah tangga dengan pita ukur dan stopwatch yang sama. Taksirlah ketidakpastian nisbi $g$ yang akan diberikannya, lalu simpulkan strategi terbaiknya.

Solusi

Solusi Soal 1.1.

1. $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$ .

2. $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ memberi $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , sehingga $\beta = 0$ : tidak ada kombinasi $\ell$ dan $g$ yang dapat meniadakan sebuah massa.

3. $\theta_0$ tak berdimensi, sehingga setiap faktor $f(\theta_0)$ tak terlihat oleh dimensi. Jagalah amplitudonya tetap kecil (di bawah kira-kira $10^\circ$ ), tempat $f \approx 1$ dengan ketelitian lebih baik daripada $0.2\%$ .

4. $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$ .

5. $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$ .

6. $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ .

7. Penjajaran: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$ ; gabungannya $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — pembacaan pita ukurnya dapat diabaikan. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

8. Galat waktu reaksi (sekitar $0.1\,\mathrm{s}$ ) sama saja entah satu atau sepuluh periode yang dicatat, sehingga pengaruhnya pada satu periode sepuluh kali lebih kecil. Mengulanginya menyingkap pencarannya (karena itu $s$ ) dan membagi ketidakpastian rata-ratanya dengan $\sqrt8$ .

9. Jumlah $= 160.80\,\mathrm{s}$ , $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$ . Simpangannya $0.02$ , $-0.05$ , $0.08$ , $-0.01$ , $0.05$ , $-0.08$ , $0.01$ , $-0.02$ ; jumlah kuadratnya $188 \times 10^{-4}$ ; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$ .

10. $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$ , $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$ .

11. $u(\tau)/\tau = 0.09\%$ , tiga kali lebih kecil daripada $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

12. $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

13. $g \propto \ell\,\tau^{-2}$ : $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%$ .

14. $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

15. $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$ : sesuai.

16. Panjangnya ( $0.29\%$ terhadap $0.18\%$ untuk suku periodenya). Menentukan letak kedua ujungnya sampai $\pm1\,\mathrm{mm}$ menurunkan $u(\ell)/\ell$ ke $0.06\%$ dan $u(g)/g$ ke $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$ ; melipatduakan panjangnya memotong $u(\ell)/\ell$ menjadi separuh dan memperpanjang $\tau$ , sehingga menolong kedua suku. Mencatat dua puluh periode dan bukan sepuluh hanya memotong suku periodenya: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — untung kecil selagi panjangnya yang menjadi penghambat.

17. Tidak: pergeseran yang sama pada setiap pembacaan adalah galat sistematik (sebuah bias); anggarannya mencakup pencaran acak dan toleransi yang dinyatakan, bukan simpangan yang tetap. Ia terdeteksi dengan mengganti metode atau instrumen, atau — Bagian V — lewat perpotongan garis $\tau^2$ – $\ell$ yang tak nol.

18. $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ adalah garis lurus melalui titik asal: kelinearan dan perpotongan nolnya sama-sama dapat diuji dengan mata dan dengan kuadrat terkecil; $\tau \propto \sqrt\ell$ tidak.

19. $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ ; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ .

20. Simpangan pada $\ell$ : $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$ ; pada $\tau^2$ : $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$ . Jumlah silangnya $= 1.614$ , $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$ : $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ .

21. $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

22. $b \approx 0$ , seperti diramalkan modelnya. Sebuah $b$ yang jelas tak nol akan menyingkap simpangan sistematik $\delta$ pada setiap panjang ( $\tau^2 = a(\ell_{\text{ukur}} - \delta)$ memberi $b = -a\delta$ ), misalnya pusat bola yang salah letak — atau sebuah pengaruh amplitudo.

23. $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$ , $u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

24. $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$ : sepenuhnya sesuai. Pengukuran tunggal yang cermat itu lebih teliti; garisnya mengesahkan modelnya dan menjaga dari simpangan panjang.

25. $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$ ; satu ayunan yang dicatat dengan waktu reaksi sekitar $0.2\,\mathrm{s}$ memberi $u(\tau)/\tau \approx 3\%$ , jadi $u(g)/g \approx 6\%$ , sementara $u(\ell)/\ell$ turun ke $0.03\%$ : dua puluh kali lebih buruk daripada Bagian IV. Keuntungan panjangnya terbuang oleh pencatatan satu periode saja. Strategi terbaik: bandul panjang dan banyak periode, diulang — sepuluh ayunan bandul $10\,\mathrm{m}$ , delapan kali, memberi $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ dan $u(g)/g \approx 0.07\%$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium

1.1 Sistem Satuan Internasional

1.2 Analisis dimensi

1.3 Orde besar

1.4 Ketidakpastian pengukuran

1.5 Mencocokkan model dengan data

1.6 Latihan

1.7 Soal: Mengukur ggg dengan sebuah bandul

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

1.7 Soal: Mengukur $g$ dengan sebuah bandul