Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

6Rangkaian Arus Searah: Hukum dan Teorema Kirchhoff

Putarlah kunci kontak pada pagi yang dingin: motor starternya menggeram, lampu dasbornya meredup sesaat, lalu mobilnya terbatuk hidup. Aki yang sesaat tadi memberi $12.6\,\mathrm{V}$ yang mantap kini turun ke sebelas volt selagi starternya menarik seratus lima puluh ampere — dan lampu depannya, yang terpasang paralel, ikut membayarnya. Segala hal dalam sekon itu diatur oleh dua hukum kekekalan dan sejumlah kecil teorema tentang rangkaian linear, yang dinyatakan, dibuktikan dan diterapkan bab ini: hukum Kirchhoff, model sumber dan resistor, pembagi, Thévenin dan Norton, serta seni grafis mencari titik kerja.

6.1 Arus, tegangan, dan rezim kuasi-tunak

Definisi 6.1 (Arus listrik)

Arus listrik yang melalui sebuah permukaan (penampang lintang sebuah kawat) adalah muatan yang menyeberanginya tiap satuan waktu, dihitung positif menurut arah yang dipilih:

i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ampere: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).

Membalik arahnya mengubah tanda $i$ . Di dalam logam pembawa muatannya adalah elektron, yang menghanyut berlawanan dengan arah arus konvensionalnya, dengan laju sepersekian milimeter tiap sekon.

Definisi 6.2 (Potensial dan tegangan)

Setiap titik sebuah rangkaian mempunyai potensial listrik $V$ (volt), yang terdefinisi sampai pada suatu tetapan yang ditetapkan dengan memilih sebuah titik tanah ( $V = 0$ ). Tegangan antara $A$ dan $B$ adalah beda potensial $u_{AB} = V_A - V_B$ , yang digambar sebagai anak panah dari $B$ ke $A$ . Energi yang dilepaskan muatan $q$ ketika berjalan dari $A$ ke $B$ adalah $q\,u_{AB}$ (ini bersambung ke potensial elektrostatik Bab 27).

Definisi 6.3 (Rezim kuasi-tunak (ARQS))

Rangkaian berukuran $\ell$ yang digerakkan pada frekuensi $f$ berada dalam rezim kuasi-tunak bila waktu rambat $\ell/c$ sinyal listrik di sepanjangnya dapat diabaikan terhadap periodenya $1/f$ : $\ell \ll c/f$ . Arusnya lalu sama di setiap titik kawat tak bercabang pada tiap saat, dan hukum di bawah ini berlaku pada tiap saat bagi arus dan tegangan yang berubah terhadap waktu (huruf kecil $i$ , $u$ ) persis seperti bagi yang tunak ( $I$ , $U$ ).

Contoh 6.4 (Sekuasi apa kuasi itu)

Pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $c/f = 6000\,\mathrm{km}$ : sebuah rumah berada dalam rezim kuasi-tunak. Pada $1\,\mathrm{MHz}$ , $300\,\mathrm{m}$ : sebuah radio pun masih. Pada $2\,\mathrm{GHz}$ , $15\,\mathrm{cm}$ : papan rangkaian sebuah telepon tidak, dan jalurnya harus diperlakukan sebagai saluran transmisi — sebuah pokok bahasan volume Tahun ke-2.

Teorema 6.5 (Hukum Kirchhoff)

Dalam rezim kuasi-tunak:

Hukum simpul: pada simpul tempat beberapa kawat bertemu, jumlah arus yang tiba sama dengan jumlah arus yang pergi, $\sum_{\text{masuk}} i_k = \sum_{\text{keluar}} i_k$ .
Hukum loop: mengelilingi sebarang loop tertutup, tegangan berjumlah nol bila dihitung dengan tanda yang diberikan arah penelusuran yang dipilih: $\sum_{\text{loop}} \pm u_k = 0$ .

Bukti. Muatan bersifat kekal dan, dalam rezim kuasi-tunak, tidak menumpuk di sebuah simpul: apa yang tiba tiap sekon pergi tiap sekon pula. Hukum loopnya adalah pernyataan bahwa potensialnya merupakan fungsi kedudukan: setelah mengelilingi sebuah loop dan kembali ke titik awalnya, jumlah penurunan potensialnya adalah $V_A - V_A = 0$ . ∎

Notasi 6.6 (Kesepakatan dan daya)

Untuk komponen berdua ujung (sebuah dipol), kesepakatan penerima menggambar anak panah tegangan dan anak panah arus dengan arah berlawanan; kesepakatan pembangkit menggambar keduanya searah. Dalam kesepakatan penerima, daya yang diterima dipolnya adalah

p = u\,i \qquad (\text{watt}),

positif bagi resistor yang memanas, negatif bagi baterai yang memberi. Dalam kesepakatan pembangkit, $p = ui$ adalah daya yang diberikan.

Dua kesepakatan tanda untuk sebuah dipol: anak panah berlawanan (penerima) atau searah (pembangkit). Fisikanya sama; hanya tanda ui yang dibacanya berbeda. — Dua kesepakatan tanda untuk sebuah dipol: anak panah berlawanan (penerima) atau searah (pembangkit). Fisikanya sama; hanya tanda $ui$ yang dibacanya berbeda.

6.2 Dipol dan modelnya

Definisi 6.7 (Karakteristik; resistor; hukum Ohm)

Karakteristik sebuah dipol adalah kurva $i(u)$ (atau $u(i)$ ) yang dipaksakannya. Sebuah resistor berkarakteristik linear yang melalui titik asal, yaitu hukum Ohm

u = R\,i \qquad (\text{kesepakatan penerima}),

dengan $R$ sebagai hambatannya (ohm, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ) dan $G = 1/R$ sebagai konduktansinya (siemens). Ia menerima $p = Ri^2 = u^2/R \geq 0$ , yang dilesapkan sebagai kalor (efek Joule). Kawat sepanjang $\ell$ , berpenampang $S$ dan berhambatan jenis $\rho$ mempunyai $R = \rho\ell/S$ .

Definisi 6.8 (Sumber ideal dan sumber nyata)

Sumber tegangan ideal memaksakan $u = E$ berapa pun arusnya; $E$ adalah gaya gerak listriknya (ggl). Sumber arus ideal memaksakan $i = I_N$ berapa pun tegangannya. Sumber nyata (aki, generator, catu daya) dimodelkan, dalam kesepakatan pembangkit, sebagai

u = E - r\,i \quad (\text{model Thévenin: ggl ideal } E \text{ seri dengan } r)

atau, secara setara, sebagai $i = I_N - u/r$ (model Norton: sumber arus ideal $I_N = E/r$ paralel dengan $r$ ); $r$ adalah hambatan dalamnya. $E$ adalah tegangan rangkaian terbukanya, dan $I_N = E/r$ arus hubung singkatnya.

Proposisi 6.9 (Neraca daya sebuah sumber nyata)

Sumber nyata $(E, r)$ yang memberi daya kepada resistor $R$ mengalirkan $i = E/(R + r)$ dan daya

P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},

yang maksimum dan sama dengan $E^2/4r$ ketika $R = r$ (penyesuaian impedansi), dengan efisiensi $P_R/(Ei) = R/(R + r)$ , hanya $50\%$ pada maksimumnya.

Bukti. Hukum loop: $E = ri + Ri$ . $P_R = Ri^2$ ; turunkan $R/(R + r)^2$ : $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$ , yang nol pada $R = r$ , positif sebelumnya dan negatif sesudahnya. Sumbernya memasok $Ei = (R + r)i^2$ , yang $ri^2$ di antaranya memanaskan sumbernya sendiri. ∎

Kiri: karakteristik sebuah sumber nyata (u = E - ri) dan sebuah beban resistif (u = Ri) bertemu di titik kerjanya. Kanan: daya yang diberikan kepada bebannya memuncak pada R = r, tempat separuh daya sumbernya terbuang di hambatannya sendiri. — Kiri: karakteristik sebuah sumber nyata ( $u = E - ri$ ) dan sebuah beban resistif ( $u = Ri$ ) bertemu di titik kerjanya. Kanan: daya yang diberikan kepada bebannya memuncak pada $R = r$ , tempat separuh daya sumbernya terbuang di hambatannya sendiri.

Contoh 6.10 (Aki mobil yang dibebani)

Rangkaian terbuka $12.6\,\mathrm{V}$ ; $11.4\,\mathrm{V}$ selagi starternya menarik $120\,\mathrm{A}$ : $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (karena itulah kunci pas yang terjatuh berbahaya setara mesin las). Beban tersesuaikan $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ akan mengambil $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ selama beberapa sekon — kira-kira sebesar kebutuhan sebuah motor starter.

Catatan 6.11 (Dipol lain)

Sebuah dioda menghantar hanya pada satu arah: model idealnya adalah rangkaian terbuka untuk $u < U_0$ dan tegangan tetap $u = U_0$ (sekitar $0.7\,\mathrm{V}$ untuk silikon, $2\,$ sampai $3\,\mathrm{V}$ untuk LED) ketika ia menghantar. Lampu pijar adalah resistor yang $R$ -nya tumbuh bersama suhunya, jadi bersama $i$ — karakteristik yang melengkung. Dalam keadaan tunak, kapasitor adalah rangkaian terbuka ( $i = C\,\dd u/\dd t = 0$ ) dan induktor adalah hubung singkat ( $u = L\,\dd i/\dd t = 0$ ); peranan keduanya dalam peralihan adalah Bab 7.

6.3 Perangkaian dan pembagi

Proposisi 6.12 (Resistor seri dan paralel)

Resistor yang terangkai seri (arus sama) saling menjumlah: $R = R_1 + R_2 + \cdots$ . Resistor yang terangkai paralel (tegangan sama) menjumlahkan konduktansinya: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$ ; untuk dua buah, $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$ , ditulis $R_1 \parallel R_2$ .

Bukti. Seri: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (hukum loop). Paralel: $i = i_1 + i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (hukum simpul). ∎

Proposisi 6.13 (Pembagi tegangan dan pembagi arus)

Dua resistor yang terangkai seri pada tegangan $u$ membaginya sebanding dengan hambatannya:

u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .

Dua resistor yang terangkai paralel dan dialiri arus $i$ membaginya berbanding terbalik:

i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .

Bukti. Seri: $i = u/(R_1 + R_2)$ dan $u_2 = R_2 i$ . Paralel: $u = (R_1 \parallel R_2)\,i$ dan $i_2 = u/R_2$ . ∎

Pembagi tegangan (kiri): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Pembagi arus (kanan): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — arusnya lebih menyukai hambatan yang lebih kecil. — Pembagi tegangan (kiri): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$ . Pembagi arus (kanan): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — arusnya lebih menyukai hambatan yang lebih kecil.

Catatan 6.14 (Membebani sebuah pembagi)

Rumus pembaginya hanya berlaku bila tak ada yang menarik arus dari titik tengahnya. Beban $R_L$ yang dipasang melintasi $R_2$ menggantikan $R_2$ dengan $R_2 \parallel R_L$ dan menurunkan $u_2$ — itulah “efek pembebanan”, dan alasan sebuah voltmeter harus berhambatan tinggi sedangkan sebuah potensiometer harus berhambatan rendah dibandingkan dengan apa yang diberinya (Latihan 6.4).

Metode 6.15 (Menyederhanakan sebuah jaringan)

Untuk mencari satu arus atau satu tegangan dalam jaringan resistor dengan satu sumber:

mulailah jauh dari sumbernya, ganti kelompok seri dan paralelnya dengan setaranya sampai satu resistor tunggal berhadapan dengan sumbernya;
hitunglah arus sumbernya;
berjalanlah kembali, membelah arusnya dengan pembagi arus dan tegangannya dengan pembagi tegangan, sampai ke cabang yang dicari.

Dengan beberapa sumber, atau untuk cabang yang tetangganya berubah, pakailah teorema subbab berikutnya.

6.4 Teorema untuk rangkaian linear

Definisi 6.16 (Dipol linear, rangkaian linear)

Sebuah dipol disebut linear bila karakteristiknya berupa garis lurus (resistor, sumber ideal dan sumber nyata); rangkaian yang hanya tersusun dari dipol linear disebut rangkaian linear. Besaran yang belum diketahui di dalamnya menuruti sistem persamaan linear (hukum Kirchhoff ditambah karakteristiknya), yang penyelesaiannya tunggal.

Teorema 6.17 (Thévenin dan Norton)

Dilihat dari dua ujungnya $A$ dan $B$ , setiap rangkaian linear setara dengan sebuah sumber nyata: ggl $E_{\mathrm{Th}}$ yang terangkai seri dengan hambatan $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), atau sumber arus $I_N = E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ yang terangkai paralel dengan $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), dengan

$E_{\mathrm{Th}}$ adalah tegangan rangkaian terbuka $u_{AB}$ ;
$I_N$ adalah arus hubung singkat dari $A$ ke $B$ ;
$R_{\mathrm{Th}}$ adalah hambatan yang terlihat antara $A$ dan $B$ ketika setiap sumber bebasnya dimatikan (sumber tegangan ideal diganti kawat, sumber arus ideal diganti rangkaian terbuka).

Bukti sebagian. Oleh kelinearannya, hubungan antara tegangan $u_{AB}$ dan arus $i$ yang ditarik pada ujungnya bersifat afin: $u_{AB} = a - b\,i$ . Menetapkan $i = 0$ mengenali $a = E_{\mathrm{Th}}$ ; menetapkan $u_{AB} = 0$ memberi $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$ . Bahwa $b$ sama dengan hambatan yang terlihat ketika sumbernya dimatikan menyusul dari superposisi (di bawah): bagian $u_{AB}$ yang berasal dari arus luarnya saja adalah apa yang akan dihasilkan jaringan pasif berhambatan $R_{\mathrm{Th}}$ . Bahwa setiap sistem linear mempunyai hubungan masukan–keluaran yang afin adalah aljabar persamaan linear. ∎

Teorema 6.18 (Superposisi)

Dalam rangkaian linear dengan beberapa sumber bebas, setiap arus atau tegangan adalah jumlah nilai yang diambilnya ketika tiap sumbernya bekerja sendirian, sedangkan yang lain dimatikan.

Bukti. Persamaannya linear terhadap besaran yang dicari, dengan sumbernya sebagai ruas kanan; penyelesaiannya merupakan fungsi linear dari ruas kanan itu, sehingga merupakan jumlah penyelesaian tiap sumbernya secara terpisah. ∎

Proposisi 6.19 (Teorema Millman)

Sebuah simpul $N$ yang tersambung ke titik-titik berpotensial $V_1, \dots, V_n$ lewat hambatan $R_1, \dots, R_n$ (dan tidak ke apa pun yang lain) mempunyai potensial

V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},

yaitu rata-rata potensial tetangganya yang terbobot konduktansi.

Bukti. Hukum simpul di $N$ : $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$ ; selesaikan untuk $V_N$ . ∎

Dua sumber yang memberi daya kepada beban bersama R_3. Dilihat dari ujung R_3, sisa rangkaiannya adalah sumber Thévenin (E_ Th, R_ Th); teorema Millman memberi potensial simpul N dalam satu baris. — Dua sumber yang memberi daya kepada beban bersama $R_3$ . Dilihat dari ujung $R_3$ , sisa rangkaiannya adalah sumber Thévenin ( $E_{\mathrm{Th}}$ , $R_{\mathrm{Th}}$ ); teorema Millman memberi potensial simpul $N$ dalam satu baris.

Contoh 6.20 (Tiga jalan menuju jawaban yang sama)

Pada gambar, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ , $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Millman: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 = 6.25\,\mathrm{V}$ . Superposisi: $E_1$ sendirian melihat $R_2 \parallel R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$ , sehingga $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sendirian melihat $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; totalnya $6.25\,\mathrm{V}$ . Thévenin dilihat dari $R_3$ : $E_{\mathrm{Th}}$ adalah tegangan rangkaian terbuka pembaginya $(E_1, R_1, R_2, E_2)$ : $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times 2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$ ; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ ; lalu $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$ .

6.5 Titik kerja; jembatan Wheatstone

Metode 6.21 (Titik kerja secara grafis)

Dipol tak linear (berkarakteristik $i = g(u)$ ) yang diberi daya oleh sumber Thévenin $(E, R)$ mapan di tempat kedua hubungannya berlaku: lukislah karakteristik dipolnya dan garis beban sumbernya $u = E - Ri$ pada sumbu yang sama; perpotongannya adalah titik kerjanya. Merancang resistor seri sebuah LED, sebuah penstabil Zener atau prategangan sebuah transistor persis merupakan lukisan ini.

Sebuah LED (ambangnya di dekat 2\, V) yang diberi daya oleh E = 5\, V lewat R = 200\,: garis bebannya u = E - Ri memotong karakteristik dioda pada 2.0\, V, 15\, mA. Menaikkan R memiringkan garisnya ke bawah dan meredupkan LED-nya. — Sebuah LED (ambangnya di dekat $2\,\mathrm{V}$ ) yang diberi daya oleh $E = 5\,\mathrm{V}$ lewat $R = 200\,\Omega$ : garis bebannya $u = E - Ri$ memotong karakteristik dioda pada $2.0\,\mathrm{V}$ , $15\,\mathrm{mA}$ . Menaikkan $R$ memiringkan garisnya ke bawah dan meredupkan LED-nya.

Proposisi 6.22 (Jembatan Wheatstone)

Empat resistor $R_1, R_2$ (satu cabang) dan $R_3, R_4$ (cabang lainnya) melintasi sumber $E$ ; keluaran jembatannya adalah tegangan antara kedua titik tengahnya:

u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),

yang nol (jembatannya setimbang) jika dan hanya jika $R_1R_4 = R_2R_3$ . Untuk jembatan setimbang yang $R_4$ -nya diusik menjadi $R_4(1 + \epsilon)$ , $\epsilon \ll 1$ , dan $R_3 = R_4$ : $u \approx -E\epsilon/4$ .

Bukti. Dua pembagi tegangan; kurangkan. Kesetimbangannya: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$ , yaitu $R_2R_3 = R_1R_4$ . Dengan $R_3 = R_4 = R$ dan $R_1 = R_2$ : $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 - 2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$ . ∎

Jembatan Wheatstone: dua pembagi berdampingan. Ketika setimbang, R_1R_4 = R_2R_3, ia mengubah perubahan mungil satu hambatan (pengukur regangan, termistor) menjadi tegangan di sekitar nol, yang jauh lebih mudah diperkuat daripada perubahan kecil sebuah tegangan besar. — Jembatan Wheatstone: dua pembagi berdampingan. Ketika setimbang, $R_1R_4 = R_2R_3$ , ia mengubah perubahan mungil satu hambatan (pengukur regangan, termistor) menjadi tegangan di sekitar nol, yang jauh lebih mudah diperkuat daripada perubahan kecil sebuah tegangan besar.

6.6 Latihan

Latihan 6.1 ★

Sebuah telepon mengisi daya pada $1.5\,\mathrm{A}$ selama satu jam: berapa muatan yang mengalir, dan berapa elektron? Taksirlah apakah rezim kuasi-tunak berlaku bagi kabel rumah pada $50\,\mathrm{Hz}$ , bagi rangkaian $10\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ , dan bagi rangkaian yang sama pada $1\,\mathrm{GHz}$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.1.

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ , $N = 5400/1.6\times10^{-19} = 3.4 \times 10^{22}$ elektron. $c/f$ : $6000\,\mathrm{km}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ (rumah: ya); $300\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ (rangkaian $10\,\mathrm{cm}$ : ya); $30\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{GHz}$ , sebanding dengan $10\,\mathrm{cm}$ : tidak.

Latihan 6.2 ★

Sebuah pemanas $2000\,\mathrm{W}$ pada $230\,\mathrm{V}$ : arusnya, hambatannya, dan energi yang dipakainya selama $3.0\,\mathrm{h}$ (dalam kWh dan dalam joule). Kabel tembaganya sepanjang $5.0\,\mathrm{m}$ berpenampang $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ( $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ): berapa daya yang hilang di dalam kabelnya?

Solusi

Solusi Latihan 6.2.

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$ ; $E = 6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ . Kabelnya: satu penghantar $R = 1.7\times10^{-8} \times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$ , dua penghantar $0.11\,\Omega$ : $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$ .

Latihan 6.3 ★

Dengan $10\,\Omega$ , $20\,\Omega$ dan $30\,\Omega$ : hitunglah hambatan ketiganya ketika terangkai seri, ketika terangkai paralel, dan hambatan $(10 \parallel 20) + 30$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.3.

Seri $60\,\Omega$ ; paralel $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$ ; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$ , ditambah $30$ : $36.7\,\Omega$ .

Latihan 6.4 ★

Sumber $12\,\mathrm{V}$ memberi daya kepada $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ dan $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ yang terangkai seri. Hitunglah tegangan pada $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ . Sebuah perangkat berhambatan $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ lalu dipasang melintasinya: berapa tegangannya sekarang? Simpulkan tentang efek pembebanannya.

Solusi

Solusi Latihan 6.4.

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$ . Berbeban: $2.2 \parallel 2.2 = 1.1\,\mathrm{k}\Omega$ , $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$ : bebannya menarik pembaginya turun sebesar $40\%$ — sebuah pembagi hanya “membagi” bila ia memberi sesuatu yang jauh lebih tinggi hambatannya.

Latihan 6.5 ★★

Sebuah aki terbaca $12.6\,\mathrm{V}$ ketika terbuka dan $11.4\,\mathrm{V}$ selagi memberi $120\,\mathrm{A}$ . Carilah hambatan dalam dan arus hubung singkatnya, daya yang diberikan kepada starternya dan daya yang hilang di dalamnya, serta efisiensinya.

Solusi

Solusi Latihan 6.5.

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ ; $I_N = 12.6/0.010 = 1260\,\mathrm{A}$ . Ke starternya $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$ ; hilang $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$ ; efisiensinya $1368/1512 = 90\%$ .

Latihan 6.6 ★★

Carilah setara Thévenin, dilihat dari ujung resistor $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ , bagi pembagi pada Latihan 6.4 ( $E = 12\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$ ). Pakailah untuk memperoleh kembali tegangan berbeban pada latihan itu.

Solusi

Solusi Latihan 6.6.

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (pembagi rangkaian terbuka); $R_{\mathrm{Th}} = 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (sumbernya dihubungsingkatkan). Berbeban: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$ .

Latihan 6.7 ★★

Dua aki, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ( $r_1 = 1.0\,\Omega$ ) dan $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ( $r_2 = 2.0\,\Omega$ ), dipasang paralel (kutub sejenis) melintasi beban $2.0\,\Omega$ . Carilah tegangan bebannya dengan superposisi, lalu dengan Millman, dan arus pada tiap akinya. Apakah aki yang lebih lemah sedang diisi atau sedang mengosong?

Solusi

Solusi Latihan 6.7.

Superposisi: $E_1$ sendirian melihat $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$ , $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sendirian melihat $r_1 \parallel R = 0.667\,\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; totalnya $6.25\,\mathrm{V}$ . Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$ . Aki 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ keluar; aki 2: $(5 - 6.25)/2 = -0.63\,\mathrm{A}$ , yaitu $0.63\,\mathrm{A}$ masuk ke dalamnya — ia sedang diisi oleh aki yang lebih kuat; bebannya $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$ .

Latihan 6.8 ★★

Sebuah sumber $E = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 3.0\,\Omega$ . Hitunglah daya yang diberikan kepada beban $1.0\,\Omega$ , $3.0\,\Omega$ , $12\,\Omega$ , dan efisiensinya pada tiap kasus. Beban mana yang akan dipilih seorang insinyur untuk perangkat bertenaga baterai, dan mengapa bukan beban yang tersesuaikan?

Solusi

Solusi Latihan 6.8.

$i = 9/(R + 3)$ , $P = Ri^2$ , $\eta = R/(R + 3)$ : $1\,\Omega$ : $5.1\,\mathrm{W}$ , $25\%$ ; $3\,\Omega$ : $6.75\,\mathrm{W}$ , $50\%$ ; $12\,\Omega$ : $4.3\,\mathrm{W}$ , $80\%$ . Perangkat bertenaga baterai menginginkan efisiensi (umur baterai), jadi $R \gg r$ ; beban yang tersesuaikan membuang separuh energinya sebagai kalor di dalam baterai.

Latihan 6.9 ★★

Sebuah LED menghantar pada $2.0\,\mathrm{V}$ dan harus membawa $15\,\mathrm{mA}$ dari catu daya $5.0\,\mathrm{V}$ . Pilihlah resistor serinya, hitunglah daya pada resistornya dan pada LED-nya, lalu sketsalah lukisan garis bebannya. Apa yang terjadi jika catu dayanya $3.3\,\mathrm{V}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 6.9.

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$ ; $P_R = 3.0 \times 0.015 = 45\,\mathrm{mW}$ , $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$ . Garis bebannya dari $(0, 25\,\mathrm{mA})$ ke $(5\,\mathrm{V}, 0)$ menemui karakteristik tegaknya pada $2.0\,\mathrm{V}$ . Pada $3.3\,\mathrm{V}$ resistor yang sama hanya memberi $6.5\,\mathrm{mA}$ ; untuk $15\,\mathrm{mA}$ diperlukan $R = 1.3/0.015 = 87\,\Omega$ .

Latihan 6.10 ★★★

Sebuah pengukur regangan $R_4 = R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , duduk dalam jembatan Wheatstone bersama tiga resistor tetap $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ melintasi $5.0\,\mathrm{V}$ . Turunkan tegangan keluarannya sampai orde pertama dalam $\epsilon$ lalu hitunglah untuk $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$ . Mengapa jembatannya lebih disukai daripada mengukur tegangan pengukurnya dalam pembagi biasa?

Solusi

Solusi Latihan 6.10.

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] = -E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} = -1.25\,\mathrm{mV}$ . Dalam pembagi biasa perubahan yang sama duduk di atas simpangan $2.5\,\mathrm{V}$ ( $2.501\,25\,\mathrm{V}$ ); jembatannya menyerahkan $1.25\,\mathrm{mV}$ di sekitar nol, yang dapat diperkuat seribu kali lipat tanpa menjenuhkan apa pun.

Latihan 6.11 ★★★

Dua belas resistor $R$ yang serupa membentuk rusuk sebuah kubus. Dengan memakai kesetangkupan (simpul mana yang berpotensial sama ketika arus $I$ masuk lewat satu sudut dan keluar lewat sudut seberangnya), tunjukkan bahwa hambatan antara sudut yang berseberangan adalah $5R/6$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.11.

Oleh kesetangkupannya, ketiga tetangga sudut masuknya berbagi satu potensial, dan ketiga tetangga sudut keluarnya berbagi potensial yang lain. Arus $I$ terbelah menjadi $I/3$ pada ketiga rusuk masuknya, masing-masing lalu menjadi dua $I/6$ menyusuri keenam rusuk tengahnya, yang bergabung kembali menjadi $I/3$ pada ketiga rusuk keluarnya. Tegangannya: $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$ , sehingga $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$ .

Latihan 6.12 ★★★

Sumber arus $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ yang terangkai paralel dengan $4.0\,\Omega$ disambungkan, lewat resistor $2.0\,\Omega$ , ke aki $6.0\,\mathrm{V}$ (hambatannya dapat diabaikan) yang gglnya berlawanan dengannya. Ubahlah sumber Nortonnya menjadi Thévenin lalu carilah arus pada resistor $2.0\,\Omega$ dan daya yang dipertukarkan tiap sumbernya.

Solusi

Solusi Latihan 6.12.

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ dengan $4.0\,\Omega$ terangkai seri. Loop: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$ , $i = 0.33\,\mathrm{A}$ menuju akinya. Akinya menerima $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (sedang diisi); resistor $2\,\Omega$ melesapkan $0.22\,\mathrm{W}$ ; tegangan pada ujung pasangan Nortonnya adalah $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$ , sehingga $4\,\Omega$ miliknya membawa $1.67\,\mathrm{A}$ dan melesapkan $11.1\,\mathrm{W}$ , dan sumber arusnya memberi $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — yang semuanya cocok.

Di bawah kap mesin: aki 12\, V, kabel tebalnya dan alternatornya — jaringan arus searah pada soal akhir pekan, dengan ratusan ampere pada saat menghidupkan mesin. — Di bawah kap mesin: aki $12\,\mathrm{V}$ , kabel tebalnya dan alternatornya — jaringan arus searah pada soal akhir pekan, dengan ratusan ampere pada saat menghidupkan mesin.

6.7 Soal: Sistem kelistrikan sebuah mobil

Soal 6.1

Soal akhir pekan — satu aki, sebuah starter, dua lampu depan, sebuah alternator dan beberapa meter tembaga: siapa yang mendapat arusnya, siapa yang membayarnya, dan mengapa lampunya meredup ketika mesinnya diengkol

Akinya adalah sumber nyata, ggl $E = 12.6\,\mathrm{V}$ , hambatan dalam $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$ . Tembaga: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Bagian I — Akinya sendirian.

Lukislah model Thévenin lalu tuliskan $u(i)$ dalam kesepakatan pembangkit.
Berikan tegangan rangkaian terbukanya dan arus hubung singkatnya. Mengapa kunci pas yang terjatuh tak boleh menjembatani kutubnya?
Tuliskan model Norton aki yang sama.
Akinya memberi daya kepada resistor $R$ : nyatakan arusnya, tegangan pada ujungnya, daya $P_R$ yang diberikan dan daya yang hilang di $r$ .
Tunjukkan bahwa $P_R$ maksimum untuk $R = r$ lalu hitunglah maksimum itu. Berapa efisiensinya ketika itu?
Seorang teknisi mengukur $u = 12.48\,\mathrm{V}$ pada $12\,\mathrm{A}$ dan $u = 11.40\,\mathrm{V}$ pada $120\,\mathrm{A}$ . Periksalah bahwa kedua titiknya terletak pada modelnya lalu jelaskan bagaimana deretan titik semacam itu memberi $E$ dan $r$ lewat pencocokan garis lurus.
Akinya menyimpan $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . Berapa lama ia dapat menyalakan kedua lampu depan $55\,\mathrm{W}$ itu sendirian (ambil $12\,\mathrm{V}$ )? Berapa besar energinya dalam joule?

Bagian II — Mengengkol dengan lampu menyala. Starternya adalah resistor $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$ ; tiap lampu depan berdaya $55\,\mathrm{W}$ pada $12.0\,\mathrm{V}$ dan diperlakukan sebagai resistor.

Hitunglah hambatan satu lampu depan dan hambatan keduanya ketika terangkai paralel.
Starter sendirian: arusnya, tegangan pada ujungnya, daya pada starternya, dan daya yang hilang di akinya.
Starter dan kedua lampu depan bersama-sama: hambatan beban setaranya, arus totalnya, tegangan pada ujungnya.
Pakailah pembagi arus untuk mencari arus starternya dan arus lampu depannya.
Hitunglah daya yang kini diterima tiap lampu depan lalu bandingkan dengan dayanya yang tertera: seberapa besar bagian lampunya meredup?
Jelaskan dalam dua kalimat, dengan memakai hukum loop, mengapa lampunya meredup justru karena starternya menarik arus yang besar.
Apakah kabel aki yang lebih tebal akan menolong lampunya? Berikan alasan kualitatif sekarang (Bagian IV menghitungnya).

Bagian III — Mesin hidup: alternatornya. Alternatornya adalah sumber nyata kedua, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$ , $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$ , yang terangkai paralel dengan akinya; starternya mati dan kedua lampu depannya menyala.

Lukislah rangkaiannya: dua sumber nyata dan beban lampu depannya terangkai paralel di antara dua simpul yang sama.
Terapkan teorema Millman untuk mencari tegangan bersama pada ujungnya.
Simpulkan arus alternatornya, arus akinya (perhatikan tandanya) dan arus lampu depannya; periksalah hukum simpulnya.
Apakah akinya sedang diisi atau sedang mengosong? Berapa daya yang diterimanya, dan berapa daya yang dipasok alternatornya?
Perolehlah kembali tegangan pada ujungnya lewat superposisi (tiap sumber sendirian, yang lain diganti hambatan dalamnya) lalu periksalah.

Bagian IV — Sensor dan kawat.

Sensor pendinginnya adalah termistor yang hambatannya turun dari $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ke $300\,\Omega$ pada $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ia menjadi resistor bawah sebuah pembagi yang diberi $5.0\,\mathrm{V}$ , dengan resistor atasnya $R_0$ . Nyatakan tegangan keluarannya, lalu hitunglah pada kedua suhu itu untuk $R_0 = 775\,\Omega$ .
Tunjukkan bahwa ayunan keluaran antara kedua suhu itu paling besar ketika $R_0$ merupakan rata-rata geometri kedua nilai sensornya, lalu periksalah nilai di atas.
Sensor yang sama dipasang dalam jembatan Wheatstone bersama tiga resistor $775\,\Omega$ : tuliskan keluaran jembatannya lalu katakan pada suhu berapa ia setimbang.
Kabel starternya sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$ untuk tiap arah. Hitunglah hambatan satu penghantar berpenampang $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , jatuh tegangan totalnya pada $140\,\mathrm{A}$ , dan daya yang dilesapkan di kabelnya.
Sama untuk kabel $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : mengapa kabel starter setebal itu?
Ringkaslah: berikan tegangan pada ujungnya selama pengengkolan, bagian daya yang mencapai starternya, dan satu hukum yang menjelaskan meredupnya lampu.

Solusi

Solusi Soal 6.1.

1. Ggl ideal $E$ terangkai seri dengan $r$ : $u = E - ri$ .

2. $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$ ; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$ . Kunci pas yang melintasi kutubnya akan membawanya: $16\,\mathrm{kW}$ dalam beberapa gram baja — ia melebur dan menyembur.

3. Sumber arus $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ terangkai paralel dengan $10\,\mathrm{m}\Omega$ .

4. $i = E/(R + r)$ ; $u = ER/(R + r)$ ; $P_R = E^2R/(R + r)^2$ ; $P_r = E^2r/(R + r)^2$ .

5. $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$ : maksimum pada $R = r$ , $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$ ; efisiensinya $R/(R + r) = 50\%$ .

6. $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$ ; $12.6 - 0.010 \times 120 = 11.40\,\mathrm{V}$ . Menggambarkan $u$ terhadap $i$ memberi garis lurus dengan perpotongan $E$ dan kemiringan $-r$ (kuadrat terkecil, Bab 1).

7. Dua lampu: $110\,\mathrm{W}$ pada $12\,\mathrm{V}$ , $9.2\,\mathrm{A}$ ; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$ . Energinya $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$ .

8. $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$ ; terangkai paralel $1.31\,\Omega$ .

9. $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$ ; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$ ; hilang $0.010 \times 140^2 = 196\,\mathrm{W}$ .

10. $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$ ; $i = 12.6/0.0854 = 148\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$ .

11. $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$ ; $i_h = 8.5\,\mathrm{A}$ untuk kedua lampunya.

12. Tiap lampu: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ terhadap $55\,\mathrm{W}$ : turun $14\%$ .

13. Hukum loop: tegangan pada ujungnya adalah $u = E - ri$ ; $140\,\mathrm{A}$ milik starternya menghasilkan jatuh tegangan $1.4\,\mathrm{V}$ di dalam akinya, dan lampunya, yang terangkai paralel pada ujung yang sama, menerima tegangan yang sudah berkurang itu.

14. Hanya sebagian: kabel yang lebih tebal memotong jatuh tegangan di kabelnya, bukan di $r$ ; lampu yang diberi daya dari ujung akinya tetap melihat $E - ri$ .

15. Tiga cabang di antara dua simpul yang sama: $(E, r)$ , $(E_a, r_a)$ dan $R_h = 1.31\,\Omega$ .

16. $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763} = \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$ .

17. Alternator $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$ ; aki $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (mengalir masuk ke dalamnya); lampu $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$ ; $28.3 = 18.6 + 9.8$ .

18. Sedang diisi. Ia menerima $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ( $234\,\mathrm{W}$ tersimpan, $3.5\,\mathrm{W}$ menjadi kalor); alternatornya memasok $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ pada ujungnya.

19. Aki sendirian (alternator $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$ ): bebannya $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 = 10.44\,\mathrm{V}$ . Alternator sendirian (aki $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$ ): bebannya $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 = 2.35\,\mathrm{V}$ . Jumlahnya $12.79\,\mathrm{V}$ .

20. $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$ : $3.60\,\mathrm{V}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1.40\,\mathrm{V}$ pada $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

21. $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$ ; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 + R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$ : $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} = 775\,\Omega$ .

22. $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$ , nol ketika $R_s = 775\,\Omega$ , yaitu pada suhu pertengahan tempat termistornya mencapai nilai itu.

23. $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} = 1.6\,\mathrm{m}\Omega$ tiap penghantar, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ seluruhnya; jatuh tegangannya $0.0032 \times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$ ; dayanya $63\,\mathrm{W}$ .

24. $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ tiap penghantar, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ seluruhnya: jatuh tegangannya $1.8\,\mathrm{V}$ , $250\,\mathrm{W}$ terbuang — starternya akan kehilangan seperenam tegangannya. Kabel tebal menjaga $R_{\text{kabel}} \ll R_s$ .

25. Sekitar $11.1\,\mathrm{V}$ pada ujungnya selama pengengkolan; starternya menerima $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ daya akinya; meredupnya lampu adalah hukum loop, $u = E - ri$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium