Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

23Hukum Kedua: Entropi

Jatuhkan sendok panas ke dalam secangkir air dingin: sendoknya mendingin, airnya menghangat, dan keduanya berakhir pada satu suhu. Hukum pertama akan mengizinkan kebalikannya sama saja — airnya makin dingin sementara sendoknya makin panas, dengan energi yang kekal sampai ke joule — namun itu tak pernah terjadi. Film yang diputar mundur langsung dikenali; molekulnya menuruti hukum yang tak berarah, sedangkan dunianya berarah. Hukum kedua termodinamika menamai besaran yang membedakan kedua arah itu: entropi, yang hanya dapat diciptakan sebuah sistem tertutup, tak pernah dimusnahkan. Bab ini menyatakan hukumnya, menghitung entropi bagi sistem dalam volume ini, memperlihatkan bagaimana ia mengukur ketakreversibelan, dan memberinya, pada akhirnya, maknanya dalam hal pencacahan.

Sebongkah es yang mencair dalam kopi panas: kalornya mengalir hanya ke satu arah, dan entropi yang tercipta mengukur seberapa jauh percampurannya dari reversibel.

23.1 Hukum kedua

Teorema 23.1 (Hukum kedua termodinamika)

Setiap sistem tertutup memiliki fungsi keadaan yang ekstensif, yaitu entropi $S$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ), sehingga dalam sebarang transformasi

\Delta S = S_{\mathrm{tukar}} + S_{\mathrm{cipta}}, \qquad S_{\mathrm{tukar}} = \int\frac{\delta Q}{T_{\mathrm{ext}}}, \qquad S_{\mathrm{cipta}} \geq 0 ,

dengan $\delta Q$ adalah kalor yang diterima dari lingkungannya pada suhu $T_{\mathrm{ext}}$ tempat ia masuk, dan $S_{\mathrm{cipta}} = 0$ jika dan hanya jika transformasinya reversibel. Sistem terkucil ( $\delta Q = 0$ ) hanya dapat melihat entropinya tumbuh, dan kesetimbangannya adalah keadaan berentropi maksimum.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 23.2 (Membaca hukumnya)

Tak seperti energi, entropi tidak kekal: ia dipertukarkan bersama kalor (dan hanya bersama kalor — usaha tak membawa entropi) dan diciptakan oleh setiap proses tak reversibel: gesekan, kalor yang mengalir menyeberangi selisih suhu, gas yang menyerbu masuk ke hampa, percampuran. Suku ciptaannya adalah ukuran ketakreversibelan, dan sebuah transformasi hanya mungkin bila suku itu tak negatif. “Reversibel” adalah idealisasi — kuasistatik, tanpa gesekan, kalor yang dipertukarkan menyeberangi selisih suhu yang lenyap — yang didekati proses nyata tetapi tak pernah dicapainya.

Neraca entropi: kalor membawa entropi Q/T_ ext menyeberangi batasnya, usaha tak membawa apa pun, dan proses tak reversibel di dalamnya menciptakan sebagian — tak pernah memusnahkannya. — Neraca entropi: kalor membawa entropi $\delta Q/T_{\mathrm{ext}}$ menyeberangi batasnya, usaha tak membawa apa pun, dan proses tak reversibel di dalamnya menciptakan sebagian — tak pernah memusnahkannya.

Proposisi 23.3 (Identitas dasar; entropi gas ideal dan fase terkondensasi)

Bagi sistem tertutup yang komposisinya tetap, sepanjang sebarang lintasan reversibel, $\delta Q_{\mathrm{rev}} = T\,\dd S$ dan $\delta W_{\mathrm{rev}} = -P\,\dd V$ , sehingga

\dd U = T\,\dd S - P\,\dd V ,

yaitu hubungan antar fungsi keadaan yang berlaku bagi sebarang perubahan yang sangat kecil. Akibatnya, bagi $n$ mol gas ideal,

S(T, V) = nC_{V,m}\ln T + nR\ln V + \text{tetap}, \qquad S(T, P) = nC_{P,m}\ln T - nR\ln P + \text{tetap},

dan bagi fase terkondensasi berkapasitas kalor $C$ , $S(T) = C\ln T + \text{tetap}$ .

Bukti. Reversibel: $T_{\mathrm{ext}} = T$ dan $S_{\mathrm{cipta}} = 0$ memberikan $\dd S = \delta Q/T$ ; hukum pertamanya lalu memberikan identitasnya, yang tak lagi mengacu pada sebuah lintasan. Gas ideal: $\dd S = (\dd U + P\,\dd V)/T = nC_{V,m}\dd T/T + nR\,\dd V/V$ ; integralkan; pakailah $PV = nRT$ untuk bentuk yang lain. Fase terkondensasi: $\dd V = 0$ , $\dd S = C\,\dd T/T$ . ∎

Contoh 23.4 (Membaca rumusnya)

Transformasi adiabatik reversibel bersifat isentropik: $S(T, V)$ yang tetap memberikan $T^{C_{V,m}}V^R$ tetap, yakni $TV^{\gamma - 1}$ tetap — hukum Laplace sekali lagi. Melipatduakan volume satu mol gas pada suhu tetap menaikkan entropinya sebesar $R\ln2 = 5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , baik dilakukan secara reversibel (entropinya masuk sebagai kalor dari rendamannya) maupun melalui ekspansi Joule ke dalam hampa (tanpa kalor: $5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ yang sama lalu diciptakan). Fungsi keadaannya tak peduli bagaimana ia sampai ke sana; neracanya peduli.

23.2 Neraca entropi

Proposisi 23.5 (Kalor yang dipertukarkan dengan termostat)

Sebuah sistem yang menerima kalor $Q$ dari termostat pada $T_0$ (apa pun yang terjadi di dalamnya) mempunyai $S_{\mathrm{tukar}} = Q/T_0$ , dan entropi termostatnya sendiri berubah sebesar $-Q/T_0$ : sebuah termostat mempertukarkan entropi secara reversibel.

Bukti. $T_{\mathrm{ext}} = T_0$ tetap; keadaan dalam termostatnya berubah secara sangat kecil, sehingga ciptaannya sendiri dapat diabaikan. ∎

Contoh 23.6 (Benda panas di dalam danau yang dingin)

Sebuah balok besi ( $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ , $c = 450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) pada $T_1 = 373\,\mathrm{K}$ yang dijatuhkan ke dalam danau bersuhu $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ : ia berakhir pada $T_0$ , dengan $\Delta S_{\text{balok}} = mc\ln(T_0/T_1) = -109\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ dan $Q = mc(T_0 - T_1) = -36\,\mathrm{kJ}$ diberikan kepada danaunya, sehingga $S_{\mathrm{tukar}} = Q/T_0 = -123\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ dan $S_{\mathrm{cipta}} = -109 + 123 = +14\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ . Entropi baloknya turun, entropi danaunya naik lebih besar: prosesnya tak reversibel, dan angkanya mengukur seberapa besar.

Proposisi 23.7 (Dua akibat)

(Clausius) Kalor tak mengalir secara spontan dari benda yang dingin ke benda yang lebih panas: kalor $Q > 0$ yang berpindah dari $T_h$ ke $T_c < T_h$ menciptakan $S = Q(1/T_c - 1/T_h) > 0$ ; kebalikannya akan memusnahkan entropi.
(Kelvin) Tak ada mesin bersiklus yang dapat menghasilkan usaha dari satu termostat saja: sepanjang satu siklus $\Delta S = 0 = Q/T_0 + S_{\mathrm{cipta}}$ memaksa $Q \leq 0$ , sehingga $W = -Q \geq 0$ — mesinnya hanya dapat menerima usaha dan membuang kalor.

Bukti. Keduanya adalah neracanya yang diterapkan pada sistem “kedua termostatnya” atau “mesinnya sepanjang satu siklus”, dengan $S$ sebuah fungsi keadaan sehingga $\Delta S = 0$ sepanjang satu siklus. ∎

Definisi 23.8 (Diagram entropi)

Pada bidang $(S, T)$ sebuah transformasi reversibel berupa kurva, dan kalor yang diterima adalah luas di bawahnya: $Q_{\mathrm{rev}} = \int T\,\dd S$ . Sebuah isoterm reversibel mendatar, sebuah isentropik (adiabatik reversibel) tegak; sebuah siklus reversibel melingkupi luas yang sama dengan kalor yang diterimanya dan karenanya, menurut hukum pertama, dengan usaha yang disampaikannya (Bab 24).

Kiri: pada diagram entropi sebuah siklus reversibel dari dua isoterm dan dua isentropik menerima T_h S pada suhu panasnya, membuang T_c S pada suhu dinginnya, dan menyampaikan selisihnya sebagai usaha — yaitu siklus Carnot bab berikutnya. Kanan: entropi yang tercipta ketika dua benda yang sama pada T_1 dan T_2 disentuhkan: nol hanya bila T_1 = T_2, positif selain itu. — Kiri: pada diagram entropi sebuah siklus reversibel dari dua isoterm dan dua isentropik menerima $T_h\Delta S$ pada suhu panasnya, membuang $T_c\Delta S$ pada suhu dinginnya, dan menyampaikan selisihnya sebagai usaha — yaitu siklus Carnot bab berikutnya. Kanan: entropi yang tercipta ketika dua benda yang sama pada $T_1$ dan $T_2$ disentuhkan: nol hanya bila $T_1 = T_2$ , positif selain itu.

Metode 23.9 (Membuat neraca entropi)

Hitunglah $\Delta S$ sistemnya dari fungsi keadaannya (Proposisi 23.3): keadaan awal dan akhirnya saja.
Hitunglah $S_{\mathrm{tukar}}$ dari kalor yang benar-benar diterima dan suhu sumbernya: $\sum Q_i/T_i$ bagi termostat, $\int\delta Q/T_{\mathrm{ext}}$ selain itu.
Simpulkan $S_{\mathrm{cipta}} = \Delta S - S_{\mathrm{tukar}}$ ; ia harus $\geq 0$ — bila tidak, transformasinya mustahil (atau ada kekeliruan perhitungan); $= 0$ bagi yang reversibel.

Contoh 23.10 (Mencampur yang panas dan yang dingin)

Dua massa air yang sama $m$ pada $T_1$ dan $T_2$ yang dicampur dalam termos berakhir pada $(T_1 + T_2)/2$ (hukum pertama); $\Delta S = mc[\ln\frac{T_f}{T_1} + \ln\frac{T_f}{T_2}] = mc\ln\frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1T_2} \geq 0$ (rata-rata hitung di atas rata-rata ukur), tanpa pertukaran: semuanya tercipta. Untuk $1\,\mathrm{kg}$ pada $300\,\mathrm{K}$ dan $400\,\mathrm{K}$ : $86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ . Soal akhir pekannya memperlihatkan bahwa dengan mencampurnya secara reversibel — melalui sebuah mesin ideal — kita justru akan memperoleh usaha dan berakhir pada $\sqrt{T_1T_2}$ .

23.3 Apa yang dicacah entropi

Proposisi 23.11 (Rumus Boltzmann)

Sebuah keadaan makroskopik (dengan $U$ , $V$ , $N$ tertentu) dapat diwujudkan oleh sejumlah $\Omega$ konfigurasi mikroskopik (keadaan mikro). Entropinya adalah

S = k_B\ln\Omega .

Sistem terkucil berkembang menuju keadaan makroskopik yang mempunyai, jauh melebihi yang lain, keadaan mikro terbanyak: pertumbuhan entropi adalah perjalanan menuju apa yang secara luar biasa paling mungkin.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 23.12 (Mengapa gasnya tak pernah kembali)

$N$ molekul yang bebas berada di separuh mana pun sebuah kotak: $2^N$ susunan, semuanya sama mungkin; hanya satu yang menempatkan semuanya di sebelah kiri. Membiarkan gas yang terkurung di satu separuhnya memuai melipatgandakan $\Omega$ dengan $2^N$ , sehingga $\Delta S = Nk_B\ln2 = nR\ln2$ — tepat hasil ekspansi Joule di atas, kini dengan sebuah makna: molekulnya mempunyai $2^N$ kali lebih banyak cara untuk berada. Peluang kembalinya secara spontan adalah $2^{-N}$ : satu dalam seribu bagi sepuluh molekul, satu dalam $10^{30}$ bagi seratus, dan bagi satu mol sebuah bilangan dengan $10^{23}$ angka nol. Hukum kedua bukanlah larangan; ia adalah peluang yang begitu berat sebelah sehingga ia tak pernah sekali pun tertangkap gagal.

Dua puluh molekul dalam sebuah kotak: banyaknya susunan dengan k di antaranya berada di separuh kirinya. Pembagian yang rata terwujud dalam 184756 cara, keadaan semua-di-kiri hanya sekali. Dengan 1023 molekul puncaknya menjadi paku berlebar nisbi 10-11: gas yang seragam bukanlah sebuah hukum, ia adalah satu-satunya hal yang pernah dapat kita amati. — Dua puluh molekul dalam sebuah kotak: banyaknya susunan dengan $k$ di antaranya berada di separuh kirinya. Pembagian yang rata terwujud dalam $184756$ cara, keadaan semua-di-kiri hanya sekali. Dengan $10^{23}$ molekul puncaknya menjadi paku berlebar nisbi $10^{-11}$ : gas yang seragam bukanlah sebuah hukum, ia adalah satu-satunya hal yang pernah dapat kita amati.

23.4 Latihan

Latihan 23.1 ★

Perubahan entropi $1.0\,\mathrm{kg}$ es yang mencair pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), dan $1.0\,\mathrm{kg}$ air yang mendidih pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ). Mengapa yang kedua jauh lebih besar?

Solusi

Solusi Latihan 23.1.

$\Delta S = mL/T$ : peleburan $334000/273 = 1.22\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ ; pendidihan $2260000/ 373 = 6.06\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ . Penguapan membebaskan molekulnya satu sama lain sepenuhnya — jauh lebih banyak ketakteraturan mikroskopik, dan jauh lebih banyak kalor tiap kelvin.

Latihan 23.2 ★

Perubahan entropi $1.0\,\mathrm{kg}$ air yang dipanaskan dari $20\,$ ke $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Apakah ia bergantung pada cara pemanasannya?

Solusi

Solusi Latihan 23.2.

$\Delta S = mc\ln(T_2/T_1) = 4180\ln(353/293) = 0.78\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — sebuah fungsi keadaan: tak bergantung pada caranya (entropi yang tercipta tidak begitu).

Latihan 23.3 ★

Satu mol gas ideal melipatduakan volumenya pada suhu tetap. Berapa $\Delta S$ ; entropi yang dipertukarkan dan yang tercipta bila ekspansinya reversibel; lalu bila ia berupa ekspansi Joule ke dalam hampa.

Solusi

Solusi Latihan 23.3.

$\Delta S = nR\ln2 = 5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ . Isotermal reversibel: $Q = nRT\ln2$ dari rendamannya pada $T$ , $S_{\mathrm{tukar}} = nR\ln2$ , yang tercipta $0$ . Joule: $Q = 0$ , $S_{\mathrm{tukar}} = 0$ , yang tercipta $5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Latihan 23.4 ★

Tunjukkan dari $S(T, V)$ bahwa transformasi adiabatik reversibel sebuah gas ideal menuruti $TV^{\gamma - 1} =$ tetap. Berapa perubahan entropi dalam pemampatan adiabatik yang tiba-tiba (Latihan 22.11)? Hitunglah untuk angka-angka latihan itu.

Solusi

Solusi Latihan 23.4.

$S = nC_{V,m}\ln T + nR\ln V$ tetap: $T^{C_{V,m}}V^R$ tetap, yakni $TV^{R/C_{V,m}} = TV^{\gamma - 1}$ tetap. Pemampatan yang tiba-tiba: $Q = 0$ , sehingga $S_{\mathrm{tukar}} = 0$ dan $\Delta S = S_{\mathrm{cipta}}$ ; dengan $T$ : $300 \to 643$ K, $V$ : $24.9 \to 10.7$ L: $\Delta S = 20.8\ln(643/300) + 8.314\ln(10.7/ 24.9) = 15.9 - 7.0 = +8.9\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ yang tercipta.

Latihan 23.5 ★★

Sebuah balok besi $1.0\,\mathrm{kg}$ ( $c = 450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ dijatuhkan ke dalam danau bersuhu $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Perubahan entropi baloknya, danaunya, dan semestanya.

Solusi

Solusi Latihan 23.5.

Baloknya: $450\ln(293/373) = -109\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; danaunya: $+36000/293 = +123\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; semestanya: $+14\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Latihan 23.6 ★★

Dua massa air $1.0\,\mathrm{kg}$ pada $300\,\mathrm{K}$ dan $400\,\mathrm{K}$ dicampur secara adiabatik. Suhu akhirnya, entropi yang tercipta. Tunjukkan secara umum bahwa entropi yang tercipta $mc\ln[(T_1 + T_2)^2/4T_1T_2]$ tak negatif.

Solusi

Solusi Latihan 23.6.

$T_f = 350\,\mathrm{K}$ ; $S = 4180[\ln(350/400) + \ln(350/300)] = 4180 \times 0.0206 = 86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , semuanya tercipta. $(T_1 + T_2)^2 - 4T_1T_2 = (T_1 - T_2)^2 \geq 0$ , sehingga argumen logaritmanya $\geq 1$ .

Latihan 23.7 ★★

Kebocoran kalor $1.0\,\mathrm{kJ}$ menyeberangi sebuah dinding dari ruangan bersuhu $300\,\mathrm{K}$ ke luar yang bersuhu $280\,\mathrm{K}$ . Entropi yang tercipta. Kalor yang sama dari tungku $1000\,\mathrm{K}$ ke ruangannya: bandingkan, lalu berilah komentar tentang di mana “kerugiannya” paling besar.

Solusi

Solusi Latihan 23.7.

$S = Q(1/T_c - 1/T_h)$ : $1000(1/280 - 1/300) = 0.24\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; dari tungku ke ruangannya: $1000(1/300 - 1/1000) = 2.3\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , sepuluh kali lebih besar: makin besar selisih suhu yang diseberangi sebuah aliran kalor, makin tak reversibel ia — turunan dari tungku ke ruanganlah tempat energi bermutu tinggi itu disia-siakan.

Latihan 23.8 ★★

Buktikan pernyataan Kelvin dari neraca entropi sebuah mesin yang menjalankan satu siklus dalam sentuhan dengan satu termostat. Mengapa mesin sebuah kapal tak sekadar mengambil kalor dari lautnya?

Solusi

Solusi Latihan 23.8.

Siklus: $\Delta S = 0 = Q/T_0 + S_{\mathrm{cipta}}$ dengan $S_{\mathrm{cipta}} \geq 0$ , sehingga $Q \leq 0$ dan $W = -Q \geq 0$ : mesinnya tak dapat menyampaikan usaha. Lautnya adalah satu termostat: kalornya tak dapat diubah menjadi usaha tanpa benda yang lebih dingin untuk menampung entropinya.

Latihan 23.9 ★★

Satu mol nitrogen dan satu mol oksigen, pada $T$ dan $P$ yang sama, dipisahkan sebuah dinding di dalam kotak bervolume total $2V$ , dibiarkan bercampur. Perubahan entropinya (perlakukan tiap gas sebagai memuai ke seluruh kotaknya). Apakah ia tercipta atau dipertukarkan? Bagaimana bila kedua sisinya berisi nitrogen?

Solusi

Solusi Latihan 23.9.

Tiap gasnya memuai dari $V$ ke $2V$ pada $T$ tetap: $\Delta S = 2 \times R\ln2 = 11.5\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , tercipta (tak ada kalor yang dipertukarkan, kotaknya terkucil). Dua separuh nitrogen: menyingkirkan dindingnya tidak mengubah apa pun yang bersifat makroskopik — $\Delta S = 0$ (paradoks Gibbs: molekul yang identik tidak “tercampur”).

Latihan 23.10 ★★★

Sebuah bohlam $100\,\mathrm{W}$ menyala selama satu jam; seluruh energinya berakhir sebagai kalor di sebuah ruangan bersuhu $293\,\mathrm{K}$ . Entropi yang tercipta. Di mana, secara fisis, ia tercipta?

Solusi

Solusi Latihan 23.10.

$Q = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ masuk ke ruangan bersuhu $293\,\mathrm{K}$ : $S = 1230\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ tercipta — di dalam filamennya (usaha listrik yang berubah menjadi kalor) dan dalam aliran kalor itu dari filamen yang panas ke ruangan yang sejuk; usaha listriknya sendiri tak membawa entropi.

Latihan 23.11 ★★★

Sebuah benda berkapasitas kalor $C$ pada $T_1$ didinginkan sampai $T_0 < T_1$ (a) dengan sentuhan langsung dengan termostat pada $T_0$ , (b) dalam dua tahap melalui termostat antara pada $\sqrt{T_1T_0}$ , (c) melalui kontinum termostat. Entropi yang tercipta pada tiap kasusnya; simpulkan apa yang akan dituntut “pendinginan yang reversibel”.

Solusi

Solusi Latihan 23.11.

$\Delta S_{\text{benda}} = C\ln(T_0/T_1)$ pada tiap kasusnya. (a) yang dipertukarkan $C(T_0 - T_1)/T_0$ : yang tercipta $C[T_1/T_0 - 1 - \ln(T_1/T_0)]$ . (b) dua tahap yang masing-masing bernisbah $r = \sqrt{T_1/T_0}$ : yang tercipta $2C[r - 1 - \ln r]$ , lebih kecil (untuk $T_1/T_0 = 2$ : $0.193C$ berbanding $0.307C$ ). (c) tahap yang tak berhingga banyaknya: masing-masing menciptakan $C[(1 + \epsilon) - 1 - \ln(1 + \epsilon)] \approx C\epsilon^2/2$ , yang berjumlah nol ketika $\epsilon \to 0$ : pendinginan reversibel menuntut termostat pada setiap suhu antaranya — kalor tak boleh menyeberangi selisih yang berhingga.

Latihan 23.12 ★★★

Peluang bahwa $N$ molekul semuanya duduk di separuh kiri sebuah kotak, bagi $N = 10$ , $100$ , $10^{22}$ (nyatakan yang terakhir sebagai pangkat sepuluh). Tunjukkan bahwa $\Delta S = k_B\ln(2^N)$ sama dengan $nR\ln2$ lalu berilah komentar tentang kata “tak reversibel” dan “mustahil”.

Solusi

Solusi Latihan 23.12.

$2^{-10} = 10^{-3}$ ; $2^{-100} = 8 \times 10^{-31}$ ; $2^{-10^{22}} = 10^{-3\times10^{21}}$ . $k_B\ln2^N = Nk_B\ln2 = nR\ln2$ . “Mustahil” secara ketat berarti peluangnya nol; di sini ia $10^{-3\times10^{21}}$ — bukan nol, tetapi bilangan yang begitu kecil sehingga tak ada bedanya yang pernah dapat diamati: ketakreversibelan adalah statistika pada skala $10^{23}$ .

23.5 Soal: Secangkir kopi dan anak panah waktu

Soal 23.1

Soal akhir pekan — secangkir kopi yang mendingin, sebuah rendaman yang tercampur, sebuah lemari es dan sekotak molekul: empat neraca entropi, dan berapa nilai entropi yang tercipta itu seandainya diubah menjadi usaha

Air: $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ; ruangan (sebuah termostat): $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Bagian I — Cangkir yang mendingin. Secangkir kopi $0.25\,\mathrm{kg}$ pada $T_1 = 363\,\mathrm{K}$ mendingin sampai suhu ruangannya.

Kalor yang diberikan kepada ruangannya, dan perubahan entropi ruangannya.
Perubahan entropi kopinya.
Entropi yang tercipta; periksalah tandanya.
Kopinya diminum ketika mencapai $330\,\mathrm{K}$ : entropi yang tercipta sampai saat itu.
Tunjukkan bahwa bagi sebarang $T_1 > T_0$ , $S_{\mathrm{cipta}} = mc[T_1/T_0 - 1 - \ln(T_1/T_0)] \geq 0$ (selidikilah $f(x) = x - 1 - \ln x$ ).
Kopinya mendingin lebih cepat bila diaduk atau ditiup: apakah itu mengubah entropi yang tercipta? Mengapa ya atau mengapa tidak?

Bagian II — Mencampur, dengan buruk dan dengan baik. Dua massa air $1.0\,\mathrm{kg}$ pada $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ dan $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ , di dalam sebuah termos.

Pencampuran langsung: suhu akhirnya $T_f$ dan entropi yang tercipta.
Sebagai gantinya, sebuah mesin ideal mengambil kalor dari air panasnya, membuang kalor ke air dinginnya lalu menyampaikan usaha, sampai keduanya bersuhu sama $T_f'$ ; seluruh prosesnya reversibel. Tuliskan neraca entropinya lalu tunjukkan bahwa $T_f' = \sqrt{T_1T_2}$ .
Hitunglah $T_f'$ dan usaha yang disampaikannya (hukum pertama pada kedua airnya).
Periksalah neraca entropi skema reversibelnya secara numerik: entropi yang hilang dari air panasnya sama dengan yang diperoleh air dinginnya.
Bandingkan usahanya dengan $T_0 \times S_{\mathrm{cipta}}$ pertanyaan 6 (ambillah ruangannya sebagai suhu acuan di sini, $T_0 \approx T_2$ ): apa yang diukur entropi yang tercipta pada pencampuran yang serampangan itu?
Mengapa tak ada dapur yang memperoleh kembali usaha itu?

Bagian III — Lemari esnya. Sebuah lemari es menjaga bagian dalamnya pada $T_c = 278\,\mathrm{K}$ di dalam ruangan bersuhu $T_0$ ; kalor bocor masuk ke dalamnya sebesar $40\,\mathrm{W}$ , dan mesinnya memompanya keluar kembali.

Sepanjang satu sekon, tuliskan neraca entropi mesinnya (sebuah peranti bersiklus): entropi yang diterima dari bagian dalamnya yang dingin, yang diberikan ke ruangannya, dan yang tercipta di dalamnya.
Simpulkan usaha minimum tiap sekon (yaitu daya listriknya) yang diperlukan, dan koefisien kinerja maksimum yang bersesuaian $Q_c/W$ .
Nyatakan batas itu hanya dengan $T_c$ dan $T_0$ , lalu hitunglah bagi sebuah pembeku pada $T_c = 255\,\mathrm{K}$ .
Sebuah lemari es nyata seukuran ini menyedot kira-kira $15\,\mathrm{W}$ : entropi yang tercipta tiap sekon.
Bila dibiarkan terbuka, pintu lemari esnya membiarkan kalor masuk sebesar $200\,\mathrm{W}$ : berapa daya minimumnya kini, dan mengapa lemari es yang terbuka menghangatkan ruangan.
Apa yang akan dikatakan hukum kedua tentang sebuah lemari es yang sama sekali tak memerlukan listrik?

Bagian IV — Mencacah. Sebuah kotak dibagi menjadi dua separuh yang sama oleh sebuah dinding; $N$ molekul gas ideal berada di sebelah kiri. Dindingnya lalu disingkirkan.

Banyaknya keadaan mikro sebelum dan sesudahnya (tiap molekul boleh berada di separuh mana pun), dan $\Delta S$ menurut rumus Boltzmann.
Periksalah terhadap $\Delta S = nR\ln2$ dari rumus termodinamika bagi ekspansi Joule.
Bagi $N = 50$ , berapa peluang menemukan semua molekulnya kembali di sebelah kiri pada saat yang acak; bagi satu mol, berapa orde besar peluang itu sebagai pangkat sepuluh.
Berapa banyak pertanyaan ya/tidak (bit) yang menetapkan separuh mana yang ditempati tiap molekul dari $N$ molekulnya? Bandingkan dengan $\Delta S/(k_B\ln2)$ .
Entropi yang dipertukarkan dan yang tercipta dalam ekspansi Joule; mengapa ia menjadi contoh baku ketakreversibelan?
Gas yang sama dimampatkan kembali secara reversibel dan isotermal ke separuh kirinya: usaha yang diterimanya, kalor yang diberikan ke ruangannya, entropi yang dipertukarkan; apa yang harus dipasok untuk membatalkan ekspansi bebasnya?
Ringkaslah dalam tiga baris: apa yang dikekalkan hukum kedua (tak ada), apa yang dilarangnya, dan berapa harga entropi yang tercipta.

Solusi

Solusi Soal 23.1.

1. $Q = mc(T_0 - T_1) = 0.25 \times 4180 \times (-70) = -73\,\mathrm{kJ}$ bagi kopinya: ruangannya memperoleh $73\,\mathrm{kJ}$ , $\Delta S_{\text{ruangan}} = 73150/293 = +250\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

2. $mc\ln(T_0/T_1) = 1045\ln(293/363) = -224\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

3. $S_{\mathrm{cipta}} = -224 - (-250) = +26\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$ .

4. $\Delta S = 1045\ln(330/363) = -99.6\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $Q = 1045 \times (-33) = -34.5\,\mathrm{kJ}$ , $S_{\mathrm{tukar}} = -117.7\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ : tercipta $18\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ sejauh ini — sebagian besar ketakreversibelannya terjadi selagi kopinya paling panas.

5. $\Delta S - Q/T_0 = mc[\ln(T_0/T_1) - (T_0 - T_1)/T_0] = mc[x - 1 - \ln x]$ dengan $x = T_1/T_0$ ; $f'(x) = 1 - 1/x$ lenyap di $x = 1$ tempat $f = 0$ , dan $f'' = 1/x^2 > 0$ : minimumnya $0$ .

6. Tidak: keadaan awal dan akhirnya sama, kalornya sama, ruangannya termostat yang sama — entropi yang tercipta ditetapkan oleh keadaannya, bukan oleh kecepatannya.

7. $T_f = 350\,\mathrm{K}$ ; yang tercipta $4180\ln(350^2/120000) = 86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

8. Reversibel: entropi totalnya kekal: $mc\ln(T_f'/T_1) + mc\ln(T_f'/ T_2) = 0$ , sehingga $T_f'^2 = T_1T_2$ .

9. $T_f' = \sqrt{120000} = 346.4\,\mathrm{K}$ ; kedua airnya kehilangan $mc[(T_1 - T_f') + (T_2 - T_f')] = 4180 \times (53.6 - 46.4) = 30\,\mathrm{kJ}$ , yang disampaikan sebagai usaha.

10. Yang panas: $4180\ln(346.4/400) = -601\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; yang dingin: $4180\ln(346.4/ 300) = +601\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ : jumlahnya nol, seperti yang dituntut kereversibelannya.

11. $T_0S_{\mathrm{cipta}} = 300 \times 86 = 26\,\mathrm{kJ}$ , dekat dengan $30\,\mathrm{kJ}$ yang dapat dipulihkan: entropi yang tercipta, dikali suhu acuannya, adalah usaha yang dibuang oleh lintasan tak reversibelnya.

12. Ia akan menuntut sebuah mesin yang bekerja di antara dua air suam-suam kuku yang suhunya terus berubah — beberapa puluh kilojoule bagi sebuah mesin besar: tak sepadan, tetapi hukum kedua mengatakan usahanya ada di sana.

13. Yang diterima dari bagian dalamnya $Q_c/T_c = 40/278 = 0.144\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; yang diberikan ke ruangannya $Q_0/T_0 = (40 + W)/293$ ; neracanya sepanjang satu siklus: $0 = 0.144 - (40 + W)/293 + S_c$ .

14. $S_c \geq 0$ : $(40 + W)/293 \geq 0.144$ , $W \geq 42.2 - 40 = 2.2\,\mathrm{W}$ ; COP $\leq 40/2.2 = 18$ ( $= T_c/(T_0 - T_c)$ ).

15. $\mathrm{COP}_{\max} = T_c/(T_0 - T_c)$ : bagi sebuah pembeku $255/38 = 6.7$ — makin dingin kotaknya, makin mahal tiap joule yang dikeluarkan.

16. Dengan $W = 15$ : $S_c = (55/293) - 0.144 = 0.044\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ tercipta tiap sekon.

17. $W \geq 200 \times 15/278 = 10.8\,\mathrm{W}$ ; mesinnya membuang $200\,\mathrm{W}$ ditambah usahanya sendiri ke dalam ruangannya sementara bagian dalamnya tinggal dingin: perolehan total ruangannya adalah $W$ — lemari es yang terbuka adalah sebuah pemanas.

18. $W = 0$ akan memberikan $S_c = Q_c(1/T_0 - 1/T_c) < 0$ : terlarang — itulah pernyataan Clausius.

19. Sebelumnya: $1$ (semuanya di kiri); sesudahnya: $2^N$ ; $\Delta S = k_B\ln2^N = Nk_B\ln2$ .

20. $Nk_B = nR$ : $\Delta S = nR\ln2$ , yaitu hasil ekspansi Joule.

21. Satu bit tiap molekul: $N$ bit; dan $\Delta S/(k_B\ln2) = N$ — entropi mencacah informasi yang kita perlukan untuk memakukan molekulnya di tempatnya.

22. $2^{-50} = 9 \times 10^{-16}$ ; bagi satu mol $2^{-6\times10^{23}} = 10^{-1.8\times10^{23}}$ .

23. Tak ada kalor ( $Q = 0$ ): yang dipertukarkan $0$ , yang tercipta $nR\ln2$ — kasus yang paling murni: tak ada usaha, tak ada kalor, hanya penyebaran gasnya.

24. $W = nRT\ln2$ diterima, $Q = -nRT\ln2$ diberikan ke ruangannya, $S_{\mathrm{tukar}} = -nR\ln2$ (entropi gasnya kembali ke nilai awalnya, secara reversibel): membatalkan ekspansi bebasnya menuntut usaha $nRT\ln2$ dan membuang $nR\ln2$ entropi ke dalam ruangannya — semestanya menyimpan $nR\ln2$ yang tercipta itu untuk selamanya.

25. Entropi tidak kekal pada apa pun yang nyata — hanya pada limit reversibel yang diidealkan; hukumnya melarang setiap proses yang akan memusnahkannya (kalor yang mendaki, usaha dari satu termostat, penguraian campuran secara cuma-cuma); dan tiap bit yang tercipta adalah usaha yang hilang, sebesar $T_0S_{\mathrm{cipta}}$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Diagram entropi

Lihat semua 393 istilah di glosarium