Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

20Teori Kinetik dan Gas Ideal

Udara di dalam sebuah ruang kelas seberat seorang dewasa, dan memuat lebih banyak molekul daripada butir pasir di Bumi, masing-masing terbang dengan laju peluru senapan dan bertumbukan sepuluh miliar kali tiap sekon dengan tetangganya. Tak seorang pun dapat mengikuti satu di antaranya; tak seorang pun perlu. Segenggam rata-rata — tekanan, suhu, volume, jumlah zat — melukiskan udaranya secara lengkap bagi setiap keperluan keteknikan, dan gambaran sederhana tentang molekul yang memantul dari dinding menjelaskan dari mana rata-rata itu datang dan bagaimana semuanya berhubungan. Bab ini membuka bagian termodinamika volume ini dengan memandang materi dari kedua ujungnya: kekacauan mikroskopik dan ketenangan makroskopik, serta teori kinetik yang menghubungkan keduanya pada kasus gas ideal.

20.1 Dua skala pemerian

Definisi 20.1 (Skala mikroskopik dan makroskopik)

Pada skala mikroskopik materi tersusun atas molekul: $1\,\mathrm{mol}$ memuat $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ di antaranya, masing-masing berukuran $0.3\,\mathrm{nm}$ ; dalam gas pada keadaan biasa jaraknya $3\,\mathrm{nm}$ , bergerak dengan ratusan meter tiap sekon dan bertumbukan tiap $70\,\mathrm{nm}$ atau sekitarnya. Pada skala makroskopik sebuah sistem dilukiskan oleh beberapa variabel keadaan — tekanan $P$ , volume $V$ , suhu $T$ , jumlah zat $n$ — yang merupakan rata-rata atas molekul yang jumlahnya luar biasa besar. Sebuah variabel disebut ekstensif bila ia berlipat dua ketika sistemnya dilipatduakan ( $V$ , $n$ , massa, energi), intensif bila tidak ( $P$ , $T$ , massa jenis).

Definisi 20.2 (Kesetimbangan termodinamika)

Sebuah sistem berada dalam kesetimbangan termodinamika bila variabel keadaannya seragam dan tetap terhadap waktu serta tak ada aliran materi atau energi makroskopik yang melintasinya. Barulah ketika itu $P$ dan $T$ terdefinisi bagi sistemnya sebagai keseluruhan; persamaan keadaan menghubungkan keduanya dengan $V$ dan $n$ .

Definisi 20.3 (Tekanan)

Fluida yang diam mendorong setiap unsur permukaan $\dd S$ sebuah dinding dengan gaya $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ yang tegak lurus padanya, menuju dindingnya; $P$ adalah tekanan, dalam pascal ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ); $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . Pada sebuah titik ia tak bergantung pada arah hadap permukaannya (Bab 21).

Definisi 20.4 (Suhu)

Dua sistem yang bersentuhan melalui dinding yang meneruskan energi lama-kelamaan mencapai keadaan bersama: keduanya lalu bersuhu sama, itulah suhu, dan dua benda yang masing-masing setimbang dengan benda ketiga juga setimbang satu sama lain (hukum ke-nol). Skala kelvin ditetapkan oleh $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ secara eksak; Celsius: $\theta = T - 273.15$ . Teori kinetik di bawah memberi $T$ makna mikroskopiknya.

20.2 Model kinetik gas ideal

Definisi 20.5 (Gas ideal, model mikroskopik)

Yang disebut gas ideal (gas sempurna) adalah kumpulan $N$ molekul, yang diperlakukan sebagai titik bermassa $m$ , bergerak bebas dan acak — tanpa interaksi selain tumbukan singkat — di dalam wadah bervolume $V$ . Pada kesetimbangan distribusi kecepatannya isotropik dan tunak; $n^* = N/V$ adalah konsentrasi molekulnya dan $\langle v^2\rangle$ kelajuan kuadrat rata-ratanya.

Teorema 20.6 (Tekanan kinetik)

Tekanan yang dikerahkan gasnya pada dindingnya adalah

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

dengan $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ adalah energi kinetik rata-rata sebuah molekul.

Bukti sebagian. Ambil model sederhana yang di dalamnya semua molekulnya berkelajuan $u$ dan bergerak menyusuri ketiga sumbunya, seperenam ke tiap arah. Sebuah molekul yang menghantam dinding $x = 0$ tegak lurus memantul balik secara lenting dan menyampaikan momentum $2mu$ kepadanya. Dalam waktu $\dd t$ , molekul yang bergerak menuju dindingnya dan mencapai luas $S$ adalah molekul di dalam lempeng setebal $u\,\dd t$ , yaitu seperenam dari $n^*Su\,\dd t$ molekul di sana. Gaya $=$ momentum tiap waktu $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , sehingga $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Merata-ratakan atas distribusi kelajuan dan arah yang sebenarnya menggantikan $u^2$ dengan $\langle v^2\rangle$ (keisotropikannya memberikan $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ); volume Tahun ke-2 mengerjakannya secara lengkap. ∎

Kiri: asal kinetik tekanan — molekul yang menghantam sebuah dinding lalu memantul balik menyampaikan momentum kepadanya; jumlahnya tiap sekon dikali 2mu adalah gayanya. Kanan: kelajuan yang sebenarnya tersebar (distribusi Maxwell, di sini untuk nitrogen pada dua suhu); satu-satunya u pada modelnya digantikan oleh kelajuan rms. — Kiri: asal kinetik tekanan — molekul yang menghantam sebuah dinding lalu memantul balik menyampaikan momentum kepadanya; jumlahnya tiap sekon dikali $2mu$ adalah gayanya. Kanan: kelajuan yang sebenarnya tersebar (distribusi Maxwell, di sini untuk nitrogen pada dua suhu); satu-satunya $u$ pada modelnya digantikan oleh kelajuan rms.

Definisi 20.7 (Suhu kinetik; persamaan keadaan)

Suhu sebuah gas ideal didefinisikan oleh energi kinetik rata-rata molekulnya,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

sehingga, digabungkan dengan Teorema 20.6,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

itulah persamaan keadaan gas ideal. Yang disebut kelajuan rms (akar rata-rata kuadrat) adalah $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ , dengan $M$ massa molarnya.

Contoh 20.8 (Angka-angka untuk udara)

Nitrogen pada $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hidrogen, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; makin berat makin lambat, sebagai $1/\sqrt M$ . Pada $1\,\mathrm{bar}$ dan $300\,\mathrm{K}$ , $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $24\,\mathrm{L}$ tiap mol, $2.7 \times 10^{22}\,$ molekul dalam satu liter. Ruang kelas $200\,\mathrm{m}^{3}$ : $8300\,\mathrm{mol}$ , $240\,\mathrm{kg}$ udara.

Catatan 20.9 (Mengapa modelnya berhasil, dan kapan ia gagal)

Di antara dua tumbukan sebuah molekul udara terbang sejauh lintasan bebas rata-rata $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — dua ratus kali ukurannya: gasnya sebagian besar kosong, interaksinya jarang, dan $PV = nRT$ berlaku dengan ketelitian lebih baik daripada satu persen pada tekanan biasa. Pada tekanan tinggi atau suhu rendah volume molekulnya sendiri dan tarikannya berperan: persamaan van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ mengoreksi keduanya, dan di bawah suhu kritis gasnya mencair (Bab 25).

Diagram Clapeyron sebuah gas ideal: pada tiap suhu isotermnya berupa hiperbola P = nRT/V, makin tinggi untuk T yang makin tinggi. Sebuah transformasi adalah lintasan pada bidang ini; sebuah siklus, lintasan tertutup (). — Diagram Clapeyron sebuah gas ideal: pada tiap suhu isotermnya berupa hiperbola $P = nRT/V$ , makin tinggi untuk $T$ yang makin tinggi. Sebuah transformasi adalah lintasan pada bidang ini; sebuah siklus, lintasan tertutup (Bab 24).

20.3 Energi dalam gas ideal

Definisi 20.10 (Energi dalam)

Yang disebut energi dalam $U$ sebuah sistem adalah jumlah energi kinetik molekulnya dalam kerangka tempat sistemnya diam ditambah energi potensial timbal baliknya; ia adalah fungsi keadaan yang ekstensif.

Proposisi 20.11 (Energi dalam gas ideal)

Bagi gas ideal $U$ hanya bergantung pada $T$ (hukum Joule pertama):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatomik: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatomik pada suhu biasa: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

sehingga kapasitas kalor molar pada volume tetap $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ berturut-turut bernilai $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ dan $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Bukti sebagian. Tak ada energi potensial timbal balik menurut hipotesisnya, sehingga $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ bagi molekul titik. Molekul diatomik juga berputar: masing-masing dari kedua derajat kebebasan rotasinya mengemban, pada kesetimbangan, $\tfrac12 k_BT$ yang sama seperti tiap derajat kebebasan translasinya (teorema ekipartisi, diterima tanpa bukti; volume Tahun ke-3 menurunkannya dan menjelaskan mengapa getarannya baru ikut serta di atas seribu kelvin). ∎

Contoh 20.12 (Sekelas udara)

Udara $8300\,\mathrm{mol}$ di ruang kelas pada $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — energi satu setengah liter bensin, yang tersimpan dalam gerak molekul. Menghangatkan ruangannya sebesar $1$ K menuntut $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (pada volume tetap).

20.4 Fase terkondensasi

Proposisi 20.13 (Model fase tak termampatkan dan tak termuaikan)

Zat cair dan zat padat dimodelkan, pada tingkat ini, sebagai fase yang volumenya tetap — tak termampatkan maupun termuaikan — yang energi dalamnya hanya bergantung pada $T$ : $\dd U = C\,\dd T$ dengan $C = mc$ , dengan $c$ kalor jenisnya ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ untuk air, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ untuk baja). Simpangan nyatanya yang kecil diukur oleh koefisien pemuaian $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ untuk logam, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ untuk zat cair) dan kompresibilitas isotermal $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ untuk air, berbanding $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ untuk gas).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 20.14 (Seberapa tak termampatkan)

Air di dasar Palung Mariana ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) termampatkan sebesar $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ; sebatang rel baja $30\,\mathrm{m}$ yang dihangatkan sebesar $50$ K memanjang sebesar $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ — itulah alasan sambungan muai. Dibandingkan gas, yang volumenya menjadi separuh di bawah tekanan yang dilipatduakan, model volume tetap ini baik sampai beberapa persen pada kebanyakan keadaan dalam volume ini.

20.5 Latihan

Latihan 20.1 ★

Jumlah molekul dalam $1.0\,\mathrm{L}$ gas pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $1\,\mathrm{atm}$ ; jarak rata-rata antar tetangga; bandingkan dengan ukuran molekulnya $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , sepuluh kali ukuran molekulnya.

Latihan 20.2 ★

Kelajuan rms H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ dan CO $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ , dan N $_2$ pada $77\,\mathrm{K}$ (nitrogen yang mendidih).

Solusi

Solusi Latihan 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; N $_2$ pada $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 20.3 ★

Sebuah ban mobil bervolume $30\,\mathrm{L}$ dipompa sampai tekanan tolok $2.5\,\mathrm{bar}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Jumlah zat dan massa udara di dalamnya; tekanan mutlaknya setelah perjalanan yang memanaskannya sampai $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Solusi

Solusi Latihan 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ mutlak: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , $125\,\mathrm{g}$ . Pada $323\,\mathrm{K}$ , $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ (tolok $2.85\,\mathrm{bar}$ ).

Latihan 20.4 ★

Taksirlah lintasan bebas rata-rata molekul udara pada $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ), dan frekuensi tumbukan satu molekul. Pada tekanan berapa lintasan bebas rata-ratanya mencapai $1\,\mathrm{m}$ (sebuah “hampa”)?

Solusi

Solusi Latihan 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; frekuensinya $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ pada $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

Latihan 20.5 ★★

Massa jenis udara pada $1.013\,\mathrm{bar}$ dan $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), lalu pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Daya angkat sebuah balon udara panas $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (selisih kedua berat udaranya).

Solusi

Solusi Latihan 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $293\,\mathrm{K}$ , $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $373\,\mathrm{K}$ . Daya angkatnya $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : kira-kira $720\,\mathrm{kg}$ .

Latihan 20.6 ★★

Udara terdiri atas $21\%$ O $_2$ menurut jumlah molekulnya. Tekanan parsial oksigen di permukaan laut; pada $5000\,\mathrm{m}$ tempat $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ; di puncak Everest ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). Mengapa tubuh kepayahan di sana?

Solusi

Solusi Latihan 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $0.11\,\mathrm{atm}$ pada $5000\,\mathrm{m}$ ; $0.07\,\mathrm{atm}$ di Everest — sepertiga nilainya di permukaan laut. Oksigen masuk ke dalam darah sebanding dengan tekanan parsialnya; pada sepertiganya, paru-paru tak dapat menjenuhkan hemoglobinnya.

Latihan 20.7 ★★

Satu mol CO $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ dalam $1.0\,\mathrm{L}$ : tekanannya menurut hukum gas ideal, lalu menurut van der Waals ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). Koreksi mana yang berkuasa di sini?

Solusi

Solusi Latihan 20.7.

Gas ideal: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : tarikannya ( $-3.6$ bar) mengalahkan volume tersingkirnya ( $+1.2$ bar); CO $_2$ yang sebenarnya $10\%$ di bawah nilai idealnya.

Latihan 20.8 ★★

Energi dalam udara di sebuah ruangan $50\,\mathrm{m}^{3}$ pada $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ; energi untuk menghangatkannya sebesar $5\,\mathrm{K}$ pada volume tetap; waktunya dengan pemanas $2\,\mathrm{kW}$ (tanpa kerugian).

Solusi

Solusi Latihan 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $104\,\mathrm{s}$ dengan $2\,\mathrm{kW}$ .

Latihan 20.9 ★★

Sebatang rel baja $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) di antara $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : perubahan panjangnya. Sebuah cincin kuningan ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) bergaris tengah dalam $49.95\,\mathrm{mm}$ harus dapat disarungkan pada poros $50.00\,\mathrm{mm}$ : sebesar apa ia harus dipanaskan?

Solusi

Solusi Latihan 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . Cincin: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (lubangnya memuai seperti logam di sekelilingnya).

Latihan 20.10 ★★★

Energi tiap molekul pada $300\,\mathrm{K}$ ( $\tfrac32 k_BT$ ) dalam joule dan eV; kapasitas kalor molar $C_{V,m}$ argon dan nitrogen; mengapa kapasitas kalor nitrogen lebih besar padahal molekulnya lebih ringan?

Solusi

Solusi Latihan 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . Argon $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; nitrogen $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : molekul diatomiknya juga menyimpan energi dalam rotasi (dua derajat kebebasan tambahan), berapa pun massanya.

Latihan 20.11 ★★★

Ulangi penurunan tekanan kinetiknya pada model enam arah, lalu tunjukkan bahwa bagi distribusi kecepatan yang isotropik $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ dan bahwa rumus tekanannya tak berubah.

Solusi

Solusi Latihan 20.11.

Model enam arah: seperti dalam teksnya, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Keisotropikan: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ dan jumlah ketiganya $\langle v^2\rangle$ , sehingga masing-masing $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . Alasan fluksnya dengan sebuah distribusi memberikan $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (molekul dengan $v_x > 0$ yang menghantam dindingnya, masing-masing bermomentum $2mv_x$ , berfluks $n^*v_x/2$ tiap kelas kelajuan, lalu dirata-ratakan), yakni $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — sama saja.

Latihan 20.12 ★★★

Kelajuan rms H $_2$ dan O $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ dibandingkan dengan laju lepas Bumi, dan laju lepas Bulan ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Dengan mengetahui bahwa pecahan molekul yang lebih cepat daripada $3u$ kecil tetapi tak nol, jelaskan mengapa Bumi telah kehilangan hidrogennya dan Bulan seluruh atmosfernya.

Solusi

Solusi Latihan 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Bumi $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , Bulan $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Bagi O $_2$ di Bumi, $v_e/u = 23$ : ekor distribusi di luar itu sama sekali dapat diabaikan; bagi H $_2$ , $v_e/u \approx 6$ : pecahan yang amat kecil tetapi tetap lolos tiap tahun, dan sepanjang miliaran tahun hidrogennya habis. Di Bulan, $v_e/u$ bernilai $5$ bagi O $_2$ dan $1.2$ bagi H $_2$ : semuanya bocor pergi.

20.6 Soal: Udara di dalam ruangan

Soal 20.1

Soal akhir pekan — seruang kelas udara: menghitung molekulnya, menimbangnya, mengukur waktu terbangnya, dan memulihkan dari model yang sama daya angkat sebuah balon, tipisnya udara gunung, dan laju bunyi

Sebuah ruang kelas berukuran $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ; udaranya berada pada $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $T = 293\,\mathrm{K}$ , massa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $79\%$ N $_2$ dan $21\%$ O $_2$ menurut jumlah molekulnya. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Bagian I — Menghitung dan menimbang.

Jumlah zat udara (mol) dan jumlah molekul di dalam ruangannya.
Massa udaranya; bandingkan dengan seorang manusia.
Konsentrasi molekulnya $n^*$ dan jarak rata-rata antar molekul ( $n^{*-1/3}$ ); bandingkan dengan garis tengah molekulnya $0.37\,\mathrm{nm}$ .
Kelajuan rms N $_2$ dan O $_2$ ; mengapa gas yang lebih berat bergerak lebih lambat pada suhu yang sama?
Energi kinetik rata-rata satu molekul; energi kinetik translasi total udara di ruangan itu; bandingkan dengan energi kinetik sebuah mobil pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Lintasan bebas rata-rata $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ dan waktu rata-rata antara dua tumbukan sebuah molekul.

Bagian II — Tekanan dari hantaman.

Dengan memakai model enam arah dengan $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hitunglah jumlah hantaman tiap sekon pada $1\,\mathrm{cm}^{2}$ dindingnya.
Hitunglah momentum yang disampaikan tiap sekon, lalu periksalah bahwa ia menghasilkan kembali tekanan atmosfernya.
Gaya total udaranya pada satu dinding seluas $8\,\mathrm{m}$ kali $2.5\,\mathrm{m}$ ; mengapa dindingnya tak bergerak?
Ruangannya dihangatkan sampai $303\,\mathrm{K}$ dengan jendela tertutup dan tersegel: berapa tekanan barunya, dan berapa gaya total pada dindingnya kini.
Penghangatan yang sama dengan jendela terbuka: apa yang pergi, dan berapa banyak?

Bagian III — Gaya apung.

Massa jenis udara di ruangan itu, dan massa jenis udara pada $373\,\mathrm{K}$ pada tekanan yang sama.
Sebuah balon udara panas bervolume $2800\,\mathrm{m}^{3}$ diisi udara pada $373\,\mathrm{K}$ : berat udara panasnya, berat udara dingin yang didesaknya, dan daya angkat yang tersedia (Archimedes, Bab 21).
Selubung, keranjang, pembakar dan gasnya berbobot $300\,\mathrm{kg}$ : berapa banyak penumpang $75\,\mathrm{kg}$ yang dapat diangkatnya?
Sampai suhu berapa udaranya harus dipanaskan untuk melipatduakan daya angkatnya, dan mengapa itu tidak dilakukan (selubungnya nilon)?
Sebuah balon helium bervolume sama pada $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): berapa daya angkatnya? Mengapa balon wisata tetap memakai udara panas?

Bagian IV — Udara tipis dan laju bunyi.

Tekanan parsial oksigen di dalam ruangan itu.
Di puncak Everest $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ dan $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : konsentrasi molekul oksigennya dibandingkan dengan yang di ruangan itu.
Tekanan atmosfer turun terhadap ketinggian kira-kira sebagai $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ dengan $H = RT/Mg$ (Bab 21): hitunglah $H$ untuk $260\,\mathrm{K}$ dan ketinggian tempat $P = P_0/2$ .
Laju bunyi dalam gas ideal adalah $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ dengan $\gamma = 1.4$ untuk udara (Bab 22): hitunglah pada $293\,\mathrm{K}$ lalu bandingkan dengan kelajuan rms-nya; tafsirkan kedekatannya.
Bagaimana $c_s$ berubah terhadap $T$ ? Laju bunyi di ruangan itu pada $303\,\mathrm{K}$ , dan dalam helium pada $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): mengapa suara helium terdengar tinggi?
Di puncak Everest, apakah bunyi lebih cepat atau lebih lambat daripada di ruangan itu? Sebesar apa?
Udara di ruangan itu diganti argon pada $P$ dan $T$ yang sama: apa yang berubah pada jumlahnya, massanya, kelajuannya, dan energi dalamnya?
Energi dalam udara di ruangan itu ( $U = \tfrac52 nRT$ ) dan energi untuk menghangatkannya sebesar $10\,\mathrm{K}$ pada volume tetap.
Ringkaslah dalam tiga baris apa yang diberikan model kinetiknya: besaran makroskopik mana yang dijelaskannya, dan dari satu rata-rata mikroskopik yang mana.

Solusi

Solusi Soal 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : tiga orang.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; jaraknya $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , sembilan garis tengah molekul.

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dengan $\tfrac32 k_BT$ yang sama tiap molekul: $\tfrac12 mu^2$ tetap, sehingga $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; totalnya $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — gerak molekul di ruangan itu setara delapan puluh mobil.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; waktunya $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. Hantaman tiap sekon pada $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. Masing-masing memberi $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): gayanya $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ pada $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . Modelnya menghasilkan kembali tekanan atmosfer.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — dua ratus ton; tekanan yang sama bekerja di sisi lainnya.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; selisihnya $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ ke luar: tujuh ton pada dindingnya.

11. Udaranya mengalir keluar sampai tekanannya menyamai: $n \propto 1/T$ pada $P$ , $V$ tetap: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , $8\,\mathrm{kg}$ pergi.

12. $\rho = PM/RT$ : $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $293\,\mathrm{K}$ ; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $373\,\mathrm{K}$ .

13. Udara panasnya $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; udara dingin yang didesaknya $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; daya angkatnya $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : lima penumpang.

15. Daya angkatnya $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : untuk melipatduakan $1 - 293/373 = 0.215$ dituntut $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), jauh di atas yang ditahan nilon (kira-kira $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. Helium $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : daya angkatnya $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), empat kali lebih besar — tetapi helium mahal dan hilang pada tiap pendaratan, sedangkan udara panas gratis dan daya angkatnya dapat diatur dengan pembakarnya.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : ruangan $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; Everest $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $38\%$ dari nilai di ruangan itu.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ pada $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , berbanding $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi campurannya: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . Bunyi adalah usikan yang dibawa oleh molekulnya sendiri, sehingga ia merambat dengan laju yang seorde dengan laju molekulnya — sedikit lebih kecil, karena hanya komponen menyusuri arah rambatnya yang berperan.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Helium: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : resonansi saluran suaranya berskala dengan $c_s$ , sehingga setiap forman menjadi tiga kali lebih tinggi.

22. Lebih dingin: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\%$ lebih lambat; tekanannya tak masuk hitungan.

23. $N$ sama (dengan $P$ , $V$ , $T$ yang sama); massanya $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; kelajuannya $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $U = \tfrac32 nRT$ dan bukan $\tfrac52$ : $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. Satu rerata, $\langle v^2\rangle$ , menetapkan tekanannya ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), mendefinisikan suhunya ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), memberikan persamaan keadaannya dan energi dalamnya, serta menetapkan skala laju bunyinya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium