Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

12Hukum Dinamika Newton

Seorang penerjun payung melangkah keluar dari pesawatnya dan, dalam belasan sekon, berhenti mengalami percepatan: pada dua ratus kilometer tiap jam udara mendorong balik sekuat tarikan Bumi. Sebuah mobil mengambil tikungan terlalu cepat dan bannya menyerah; sebuah truk di jalan gunung merangkak pada gigi rendah, ditahan oleh gesekan yang sama yang memungkinkannya berhenti di jalan datar. Kinematika menggambarkan gerak; dinamika menjelaskannya, dari satu hukum yang menghubungkan percepatan sebuah benda dengan gaya yang bekerja padanya. Bab ini menyatakan ketiga hukum Newton, mendaftar gaya yang ditemui pada tingkat volume ini — berat, pegas, tali, sentuhan, gesekan kering dan fluida — lalu memperlihatkan cara berjalan dari gambar gayanya ke sebuah persamaan diferensial dan penyelesaiannya.

Stasiun Luar Angkasa Internasional yang terlihat dari pesawat ulang-alik yang meninggalkannya (NASA): segala sesuatu di dalamnya jatuh bebas bersama-sama, dan itulah sebabnya tak ada apa pun di dalamnya yang tampak mempunyai berat.

12.1 Massa, momentum, dan ketiga hukumnya

Definisi 12.1 (Massa, momentum, gaya)

Sebuah partikel titik mempunyai massa inersia $m > 0$ (kilogram), yaitu ukuran perlawanannya terhadap perubahan kecepatan, yang bebas dari kerangkanya. Momentumnya dalam sebuah kerangka adalah

\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Sebuah gaya $\vect F$ (newton) adalah tindakan benda lain terhadap partikelnya; gaya berjumlah sebagai vektor, dan resultannya adalah jumlahnya $\sum\vect F$ .

Teorema 12.2 (Hukum Newton)

Asas kelembaman. Ada kerangka, yang disebut inersial (atau Galilei), yang di dalamnya partikel yang tak dikenai gaya, atau dikenai gaya yang resultannya nol, bergerak lurus dengan kecepatan tetap. Sebarang kerangka yang bertranslasi lurus beraturan terhadap kerangka inersial juga bersifat inersial.
Hukum momentum. Dalam kerangka inersial,

$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{yaitu}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ untuk massa tetap } m .$
Aksi dan reaksi. Jika benda $A$ mengerahkan $\vect F_{A\to B}$ pada benda $B$ , maka $B$ mengerahkan $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ pada $A$ , menyusuri garis yang menghubungkan keduanya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 12.3 (Apa yang dikatakan hukum-hukum itu)

Hukum pertamanya bukan kasus khusus hukum kedua: ia mendefinisikan kerangka yang di dalamnya hukum kedua berlaku. Dalam praktik, sebuah laboratorium di Bumi bersifat inersial dengan ketelitian yang sangat baik bagi percobaan yang berlangsung beberapa menit (Bab 18 mengukur galatnya); kerangka yang melekat pada Matahari dan bintang jauh lebih baik lagi. Hukum keduanya adalah persamaan vektor: tiga persamaan skalar, satu tiap sumbu, dan pemilihan sumbunya (Bab 11) adalah keputusan pertama setiap soal. Hukum ketiganya berlaku pada tiap saat bagi gaya sentuh dan gaya gravitasi volume ini.

Definisi 12.4 (Sistem tertutup; kekekalan momentum)

Sistem tertutup tidak bertukar materi dengan luarnya. Untuk sistem partikel, gaya dalamnya saling meniadakan berpasangan (hukum ketiga), dan momentum totalnya $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ menuruti $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$ : ia kekal ketika gaya luarnya lenyap (Bab 19 mengembangkannya).

12.2 Gaya-gaya yang lazim

Proposisi 12.5 (Berat dan gravitasi)

Di dekat permukaan Bumi, benda bermassa $m$ ditarik oleh beratnya $\vect P = m\vect g$ , dengan $\vect g$ sebagai medan gravitasi setempat, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , yang terarah ke bawah (ke pusatnya, nyaris tepat). Secara lebih umum, massa $M$ pada jarak $r$ menarik $m$ dengan $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ (Bab 16); di permukaan sebuah bola berjari-jari $R$ , $g = GM/R^2$ . Perhatikan satuannya: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ dan $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ adalah sama, dan itulah sebabnya semua benda jatuh dengan cara yang sama.

Bukti. Hukum gravitasi Newton diterima saja di sini dan digali dalam Bab 16; $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ∎

Proposisi 12.6 (Pegas; tali)

Sebuah pegas ideal berkekakuan $k$ dan berpanjang alami $\ell_0$ , yang teregang sampai panjang $\ell$ menyusuri vektor satuan $\vect u$ yang menunjuk dari ujung tetapnya ke bendanya, mengerahkan pada bendanya gaya pemulih

\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{hukum Hooke}),

ke arah panjang alaminya. Tali ideal (tak bermassa, tak dapat memanjang) mengerahkan tegangan $\vect T$ menyusuri dirinya sendiri, yang menarik, dengan besar yang sama pada kedua ujungnya dan di sepanjangnya (bahkan melalui katrol tak bermassa tanpa gesekan).

Bukti. Hukum Hooke adalah model empiris yang berlaku untuk perubahan bentuk yang kecil. Talinya: elemen tak bermassa menuruti $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ dari hukum kedua Newton, sehingga tegangannya diteruskan tanpa berubah. ∎

Proposisi 12.7 (Gaya sentuh: reaksi normal dan gesekan kering)

Permukaan padat mengerahkan pada benda yang menyentuhnya sebuah reaksi normal $\vect N$ , yang tegak lurus permukaannya dan menolak ( $N \geq 0$ : permukaan tak dapat menarik), dan sebuah gaya gesek tangensial $\vect T$ . Hukum Coulomb: jika bendanya tidak tergelincir, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (gesekan statis menyesuaikan diri dengan apa yang diperlukan, sampai batas itu); jika ia tergelincir dengan kecepatan $\vect v_g$ relatif terhadap permukaannya, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (gesekan kinetis, yang melawan gelincirannya), dengan $\mu_d \leq \mu_s$ berupa koefisien berorde $0.1$ sampai $1$ bergantung pada bahannya, bebas dari luas sentuhnya dan dari kelajuannya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: gaya-gaya pada sebuah balok di bidang miring — berat, reaksi normal, gesekan menyusuri permukaannya — beserta sumbu alaminya. Kanan: hukum Coulomb: ketika diam, gesekannya mengimbangi gaya terapannya sampai _sN; begitu gelincirannya mulai, ia jatuh ke _dN dan tinggal di sana. — Kiri: gaya-gaya pada sebuah balok di bidang miring — berat, reaksi normal, gesekan menyusuri permukaannya — beserta sumbu alaminya. Kanan: hukum Coulomb: ketika diam, gesekannya mengimbangi gaya terapannya sampai $\mu_sN$ ; begitu gelincirannya mulai, ia jatuh ke $\mu_dN$ dan tinggal di sana.

Proposisi 12.8 (Gesekan fluida)

Benda yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ menembus fluida yang diam merasakan gaya hambat yang berlawanan dengan $\vect v$ : pada laju rendah (benda kecil, fluida kental) ia linear, $\vect F = -\alpha\vect v$ — untuk bola berjari-jari $r$ dalam fluida berkekentalan $\eta$ , $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); pada laju tinggi (benda besar dan cepat di udara atau air) ia kuadratik,

\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

dengan $\rho$ massa jenis fluidanya, $S$ penampang lintang bendanya yang menghadap alirannya dan $C_x$ sebuah koefisien hambat tak berdimensi ( $0.5$ untuk bola, $0.3$ untuk mobil, $1$ untuk cakram datar). Bilangan Reynolds $\rho vL/\eta$ (Catatan 1.10) yang memutuskan: linear di bawah $1$ , kuadratik di atas kira-kira $1000$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 12.9 (Gaya lainnya)

Gaya apung (Archimedes) adalah resultan gaya tekanan, yang diturunkan dalam Bab 21; gaya listrik dan gaya magnetik pada sebuah muatan adalah pokok bahasan Bab 17. Semua gaya bab ini adalah model interaksi sentuh atau medan, yang berlaku dalam batas yang dinyatakan — pegas Hooke patah, gesekan Coulomb gagal pada tekanan tinggi, gaya hambat Stokes gagal pada laju tinggi. Bagian dari setiap penyelesaian adalah memeriksa bahwa model yang dipakai memang berlaku.

12.3 Menyelesaikan sebuah soal dinamika

Metode 12.10 (Dari situasinya ke persamaannya)

Sistem: sebutkan benda yang diperlakukan sebagai titik.
Kerangka: sebutkan kerangkanya lalu periksa bahwa ia inersial (atau perlakukan demikian sampai ketelitian yang diminta).
Gaya: daftarkan setiap benda yang menyentuh atau menarik sistemnya, lalu lukiskan tiap gayanya pada sebuah gambar (diagram benda bebas); tak ada yang lain yang masuk.
Koordinat: pilihlah sumbu yang cocok dengan geraknya (Metode 11.18) lalu nyatakan $\vect a$ .
Proyeksikan $m\vect a = \sum\vect F$ pada sumbunya; pakailah kendalanya (benda di atas permukaan tetap di atasnya: $a_\perp = 0$ ; tali berpanjang tetap: kelajuannya sama pada kedua ujungnya).
Selesaikan lalu periksalah: dimensinya, kasus batasnya, tandanya ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ bila diam).

Contoh 12.11 (Balok di bidang miring)

Balok bermassa $m$ pada bidang yang miring sebesar $\alpha$ , dengan koefisien $\mu_s$ , $\mu_d$ . Sumbunya: $x$ menuruni lerengnya, $y$ menyusuri normalnya. Berat $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$ , reaksi $(0, N)$ , gesekan $(-T, 0)$ bila ia tergelincir turun. Menyusuri $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Ketika diam, menyusuri $x$ : $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$ , yaitu $\tan\alpha \leq \mu_s$ : baloknya bertahan sampai sudut $\arctan\mu_s$ — sebuah pengukuran $\mu_s$ yang tak memerlukan neraca. Ketika tergelincir: $ma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha$ , sehingga $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$ , bebas dari $m$ : $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ untuk $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.2$ .

Contoh 12.12 (Bandul sederhana)

Massa $m$ pada tali sepanjang $\ell$ , bersudut $\theta$ dari garis tegak ke bawah. Koordinat polar di titik gantungnya: $\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$ ; gayanya: berat $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ dan tegangan $-T\vect e_r$ . Menyusuri $\vect e_\theta$ : $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$ ,

\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

yang untuk sudut kecil ( $\sin\theta \approx \theta$ ) menjadi persamaan harmonik dengan $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : periodenya $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , yaitu $k = 2\pi$ yang tak dapat dipasok Contoh 1.8. Menyusuri $\vect e_r$ : $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — talinya menarik paling kuat di dasarnya, tempat kelajuannya terbesar.

Kiri: bandul sederhana, kedua gayanya dan basis polar yang dipakai untuk memproyeksikan hukum Newton. Kanan: benda yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah gaya hambat: kelajuannya mendekati laju terminal v_∈fty, secara eksponensial untuk hambat linear (= m/), dan sebagai tangen hiperbolik untuk hambat kuadratik (= v_∈fty/g). — Kiri: bandul sederhana, kedua gayanya dan basis polar yang dipakai untuk memproyeksikan hukum Newton. Kanan: benda yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah gaya hambat: kelajuannya mendekati laju terminal $v_\infty$ , secara eksponensial untuk hambat linear ( $\tau = m/\alpha$ ), dan sebagai tangen hiperbolik untuk hambat kuadratik ( $\tau = v_\infty/g$ ).

Proposisi 12.13 (Jatuh dengan gaya hambat; laju terminal)

Benda bermassa $m$ yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah gaya hambat mencapai laju terminal tempat keduanya mengimbangi. Hambat linear: $m\dot v = mg - \alpha v$ , $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ dengan $v_\infty = mg/\alpha$ , $\tau = m/\alpha$ . Hambat kuadratik: $m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ dengan

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

Bukti. Linear: persamaan orde pertama, $\tau\dot v + v = v_\infty$ (Teorema 7.2). Kuadratik: dengan $u = v/v_\infty$ , $\dot u = (1 - u^2)/\tau$ ; dengan memisahkan variabelnya, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (pecahan rasional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ terintegral menjadi $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$ ), sehingga $u = \tanh(t/\tau)$ . ∎

Contoh 12.14 (Dua laju terminal)

Seorang penerjun payung, $m = 80\,\mathrm{kg}$ , tengkurap, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ di udara ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , yang dicapai (sampai $90\%$ ) dalam kira-kira $1.5\tau = 6\,\mathrm{s}$ . Sebuah tetes kabut, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dalam rezim Stokes ( $\eta_{\text{udara}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ): $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — dan itulah sebabnya kabut menggantung di udara.

12.4 Gerak pada lingkaran: gaya kendala

Proposisi 12.15 (Tuntutan sentripetal)

Partikel yang bergerak pada lingkaran berjari-jari $R$ dengan laju $v$ harus menerima dari resultan gayanya sebuah komponen $mv^2/R$ yang terarah ke pusatnya. Apa pun yang memasoknya — tegangan sebuah tali, gesekan, reaksi jalan yang miring, gravitasi — menetapkan laju maksimum atau laju minimum yang membuat geraknya mungkin.

Bukti. Hukum kedua Newton dengan percepatan Frenet: komponen normal $\sum\vect F$ sama dengan $mv^2/\rho$ . ∎

Contoh 12.16 (Tiga lingkaran)

Tikungan datar: gesekannya harus memasok $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$ , sehingga $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ untuk $R = 50\,\mathrm{m}$ , $\mu_s = 0.8$ . Tikungan miring bersudut $\beta$ , tanpa gesekan: reaksi $\vect N$ tegak lurus jalannya; secara tegak $N\cos\beta = mg$ , secara mendatar $N\sin\beta = mv^2/R$ , sehingga $v^2 = gR\tan\beta$ — satu-satunya laju yang membuat tikungan itu dapat diambil tanpa gesekan sama sekali. Loop: di puncaknya, dengan $\vect N$ menunjuk ke bawah ke arah pusatnya, $N + mg = mv^2/R$ , dan $N \geq 0$ menuntut $v \geq \sqrt{gR}$ : di bawah itu, keretanya meninggalkan lintasannya (Soal 11.1 lagi, kini dijelaskan).

Sebuah tikungan miring dilihat pada penampang lintangnya: tanpa gesekan, reaksi normal jalannya harus sekaligus menahan mobilnya dan mendorongnya ke arah pusatnya; komponen mendatarnya N memasok mv2/R, yang terjadi tepat pada satu laju, v = √gR. — Sebuah tikungan miring dilihat pada penampang lintangnya: tanpa gesekan, reaksi normal jalannya harus sekaligus menahan mobilnya dan mendorongnya ke arah pusatnya; komponen mendatarnya $N\sin\beta$ memasok $mv^2/R$ , yang terjadi tepat pada satu laju, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$ .

12.5 Latihan

Latihan 12.1 ★

Seseorang bermassa $70\,\mathrm{kg}$ berdiri di atas timbangan di dalam sebuah lift. Berapa yang terbaca pada timbangannya (dalam newton dan dalam “kilogram”) ketika liftnya mempercepat ke atas pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ke bawah pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , bergerak dengan kecepatan tetap, dan jatuh bebas?

Solusi

Solusi Latihan 12.1.

Bacaan timbangannya $N = m(g + a)$ dengan $a$ percepatan ke atasnya: ke atas, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“ $84\,\mathrm{kg}$ ”); ke bawah, $70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N}$ (“ $56\,\mathrm{kg}$ ”); kecepatan tetap, $687\,\mathrm{N}$ ( $70\,\mathrm{kg}$ ); jatuh bebas, $0$ .

Latihan 12.2 ★

Sebuah balok $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ di atas meja tanpa gesekan diikat dengan tali lewat katrol tanpa gesekan ke massa gantung $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Carilah percepatan dan tegangannya.

Solusi

Solusi Latihan 12.2.

Percepatan $a$ yang sama bagi keduanya (tali tak dapat memanjang): $m_1a = T$ , $m_2a = m_2g - T$ , sehingga $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$ .

Latihan 12.3 ★

Sebuah balok tergelincir menuruni bidang miring $30^\circ$ dengan $\mu_d = 0.20$ . Hitunglah percepatannya dan kelajuannya setelah $5.0\,\mathrm{m}$ dari keadaan diam. Apakah jawabannya bergantung pada massanya?

Solusi

Solusi Latihan 12.3.

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tak ada massa yang terlihat.

Latihan 12.4 ★

Sebuah massa $0.50\,\mathrm{kg}$ tergantung pada pegas berkekakuan $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Carilah pertambahan panjang statisnya; lalu frekuensi sudut dan periode osilasi tegaknya di sekitar kesetimbangannya (tunjukkan bahwa persamaan geraknya harmonik).

Solusi

Solusi Latihan 12.4.

$k\Delta\ell = mg$ : $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$ . Dengan $x$ sebagai simpangan dari kesetimbangannya, $m\ddot x = -kx$ (beratnya dan regangan statisnya saling meniadakan): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.31\,\mathrm{s}$ .

Latihan 12.5 ★★

Sebuah peti duduk di atas landasan yang dimiringkan; ia mulai tergelincir pada $22^\circ$ . Carilah $\mu_s$ . Sebuah mobil di jalan datar dengan $\mu_s = 0.80$ : berapa laju maksimumnya di tikungan berjari-jari $50\,\mathrm{m}$ , dan di jalan basah dengan $\mu_s = 0.40$ ?

Solusi

Solusi Latihan 12.5.

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$ . Tikungan: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); ketika basah, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Latihan 12.6 ★★

Laju terminal: seorang penerjun payung ( $m = 80\,\mathrm{kg}$ , $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); sebuah tetes kabut berjari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ di udara ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), memakai hukum Stokes. Periksalah dengan bilangan Reynolds bahwa tiap rezimnya memang yang tepat.

Solusi

Solusi Latihan 12.6.

Penerjun payung: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6$ : kuadratik. Tetes kabut: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$ : linear.

Latihan 12.7 ★★

Sebuah bandul sepanjang $\ell$ dilepaskan dari keadaan diam pada $\theta_0 = 60^\circ$ . Diketahui bahwa kelajuannya di dasarnya adalah $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energi, bab berikutnya), carilah tegangan talinya di dasarnya dalam satuan $mg$ , dan di titik pelepasannya.

Solusi

Solusi Latihan 12.7.

Dasar: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$ ; $T = mg + mv^2/\ell = 2mg$ . Titik pelepasannya: $v = 0$ , $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$ .

Latihan 12.8 ★★

Sebuah tikungan berjari-jari $200\,\mathrm{m}$ dimiringkan sebesar $15^\circ$ . Pada laju berapa ia dapat diambil tanpa gesekan sama sekali? Apa yang harus dilakukan gesekannya pada laju yang lebih rendah dan yang lebih tinggi?

Solusi

Solusi Latihan 12.8.

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Lebih lambat: mobilnya cenderung tergelincir menuruni kemiringannya, gesekannya harus menunjuk mendaki; lebih cepat: gesekannya menunjuk menurun untuk menambah gaya sentripetalnya.

Latihan 12.9 ★★

Bandul kerucut: sebuah massa pada tali sepanjang $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ menggambarkan lingkaran mendatar, dengan talinya membentuk $30^\circ$ terhadap garis tegak. Carilah kecepatan sudutnya, periodenya dan tegangannya (dalam satuan $mg$ ).

Solusi

Solusi Latihan 12.9.

$T\cos\alpha = mg$ , $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$ : $\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , periodenya $1.9\,\mathrm{s}$ ; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$ .

Latihan 12.10 ★★★

Sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ mencapai $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dari keadaan diam dalam $8.0\,\mathrm{s}$ dengan percepatan tetap. Carilah gaya resultannya, dan koefisien gesek minimum antara ban penggeraknya dan jalannya jika roda penggeraknya memikul seluruh beratnya. Apa yang membatasi mobil sport di jalan basah?

Solusi

Solusi Latihan 12.10.

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $F = 3.5\,\mathrm{kN}$ ; $F \leq \mu_smg$ memberi $\mu_s \geq a/g = 0.35$ . Di jalan basah $\mu_s \approx 0.4$ membatasi percepatannya di dekat $0.4g$ berapa pun mesinnya: cengkeraman, bukan tenaga.

Latihan 12.11 ★★★

Sebuah benda jatuh dari keadaan diam dengan gaya hambat linear, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$ . Tuliskan $v(t)$ lalu turunkan jarak jatuhnya $z(t)$ ; hitunglah $v_\infty$ , dan $z$ setelah $2.0\,\mathrm{s}$ ; bandingkan dengan jatuh bebas.

Solusi

Solusi Latihan 12.11.

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ , $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$ . Pada $2.0\,\mathrm{s}$ : $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$ , terhadap $\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m}$ di hampa.

Latihan 12.12 ★★★

Sebuah kereta bermassa $m$ berjalan di sisi dalam loop melingkar tegak berjari-jari $R$ (Soal 11.1). Nyatakan reaksi normal lintasannya sebagai fungsi sudut $\theta$ dari dasarnya dan kelajuannya $v(\theta)$ ; simpulkan laju minimum di puncaknya; dengan memakai $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ , carilah laju masuk minimum dan reaksinya di dasarnya pada kasus itu.

Solusi

Solusi Latihan 12.12.

Proyeksi radial (ke arah pusatnya): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$ , sehingga $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$ . Puncak ( $\theta = \pi$ ): $N = m(v^2/R - g) \geq 0$ jika dan hanya jika $v \geq \sqrt{gR}$ . Dengan hukum kelajuannya, $v_{\text{puncak}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR$ : $v_0 \geq \sqrt{5gR}$ ; lalu di dasarnya $N = m(5g + g) = 6mg$ .

Jatuh bebas dengan udara: setelah beberapa sekon gaya hambat kuadratiknya mengimbangi beratnya dan penerjunnya jatuh dengan laju terminal mendekati 200\, km/ h — soal akhir pekan. — Jatuh bebas dengan udara: setelah beberapa sekon gaya hambat kuadratiknya mengimbangi beratnya dan penerjunnya jatuh dengan laju terminal mendekati $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — soal akhir pekan.

12.6 Soal: Sang penerjun payung

Soal 12.1

Soal akhir pekan — dari pintu pesawat sampai ke tanah: jatuh bebas, udara yang mendorong balik, payung yang terbuka terlalu cepat, dan pendaratannya — satu hukum gerak, dua hukum hambat

Seorang penerjun payung beserta perlengkapannya bermassa $m = 80\,\mathrm{kg}$ . Udara: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Ketika jatuh tengkurap, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$ ; di bawah payung terbuka, $C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $z$ dihitung ke bawah dari titik terjunnya.

Bagian I — Tanpa udara.

Tuliskan hukum kedua Newton lalu berikan $v(t)$ dan $z(t)$ ; hitunglah keduanya pada $t = 10\,\mathrm{s}$ .
Hitunglah beratnya.
Penerjunnya merasa “tanpa berat” selama tahap ini walaupun gravitasi bekerja sepenuhnya. Jelaskan dengan gayanya (apa yang hilang dibandingkan dengan berdiri di atas tanah).
Apakah kerangka Bumi cukup inersial bagi soal ini? Sebutkan apa yang diabaikan.

Bagian II — Jatuh menembus udara.

Tuliskan gaya hambat untuk jatuh tengkurap sebagai fungsi $v$ .
Tuliskan persamaan gerak untuk $v(t)$ .
Carilah laju terminalnya $v_\infty$ (dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
Dengan $u = v/v_\infty$ dan $\tau = v_\infty/g$ , tunjukkan bahwa $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; lalu hitunglah $\tau$ .
Selesaikan dengan pemisahan variabel lalu tunjukkan bahwa $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
Setelah berapa lama $v = 0.9v_\infty$ ? $0.99v_\infty$ ?
Tunjukkan bahwa $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ lalu hitunglah jarak jatuhnya pada $t = 10\,\mathrm{s}$ ; bandingkan dengan Bagian I.
Taksirlah bilangan Reynolds pada $v_\infty$ dengan $L = 0.5\,\mathrm{m}$ lalu benarkan hukum kuadratiknya.

Bagian III — Payungnya terbuka.

Hitunglah laju terminal yang baru di bawah payung yang terbuka.
Jika payungnya terbuka seketika pada $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , berapa perlambatannya, dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ dan dalam $g$ ? Mengapa hal ini tak dapat diterima?
Payung sungguhan terbuka dalam sekitar $3\,\mathrm{s}$ . Taksirlah perlambatan rata-ratanya dan gaya rata-rata tali pengikatnya pada penerjunnya.
Begitu payungnya terbuka penuh, kelajuannya meluruh menuju $v_\infty$ yang baru: berapa tetapan waktunya yang baru $\tau' = v_\infty'/g$ , dan apa artinya bagi pendekatan ke penurunan yang tunak?
Dalam penurunan yang tunak, berapa gaya tali pengikatnya? Berikan alasan dengan hukum kedua.
Jelaskan mengapa laju terminalnya berubah sebagai $1/\sqrt{C_xS}$ : dengan faktor berapa payung yang luasnya separuh akan menaikkannya?
Seorang penerjun yang lebih berat ( $100\,\mathrm{kg}$ ) di bawah payung yang sama: berapa laju terminalnya?

Bagian IV — Pendaratan.

Laju mendaratnya adalah $v_\infty$ payungnya. Dari ketinggian berapa orang harus melompat, tanpa udara, untuk membentur tanah dengan laju itu?
Pendaratan berkaki kaku menghentikan tubuhnya sepanjang $0.5\,\mathrm{m}$ ; berguling sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$ . Taksirlah perlambatan rata-ratanya (dalam $g$ ) dan gaya rata-rata pada kakinya pada tiap kasus, lalu simpulkan.
Tepat sebelum menyentuh tanah, penerjunnya menarik kedua tali kendalinya, yang sesaat memperbesar gaya hambat payungnya. Jelaskan secara kualitatif pengaruhnya pada kelajuannya.

Bagian V — Benda kecil jatuh secara berbeda.

Sebuah tetes hujan berjari-jari $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): hitunglah laju terminalnya dengan hukum kuadratiknya, lalu periksalah bilangan Reynoldsnya.
Sebuah tetes kabut berjari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : pakailah hukum Stokes untuk $v_\infty$ lalu periksalah bahwa bilangan Reynoldsnya memang kecil.
Ringkaslah: satu persamaan gerak, dua rezim hambat, dan ketiga angka ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) yang memutuskan apakah sesuatu jatuh seperti batu, seperti daun, atau tidak jatuh sama sekali.

Solusi

Solusi Soal 12.1.

1. $m\dot v = mg$ : $v = gt$ , $z = \tfrac12 gt^2$ ; pada $10\,\mathrm{s}$ : $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $490\,\mathrm{m}$ .

2. $mg = 785\,\mathrm{N}$ .

3. Di atas tanah, lantainya mendorong ke atas dengan $N = mg$ — dorongan itulah yang dirasakan orang sebagai berat. Dalam jatuh bebas tak ada gaya sentuh: gravitasi bekerja pada setiap bagiannya sama rata dan tak ada yang menekan.

4. Ya, sampai sepersekian persen selama satu menit; yang diabaikan: perputaran Bumi (suku sentrifugal dan Coriolis, Bab 18) dan anginnya.

5. $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

6. $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$ .

7. $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. Bagi dengan $mg$ : $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$ ; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ .

9. $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ , sehingga $u = \tanh(t/\tau)$ .

10. $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$ ; $0.99$ : $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$ .

11. $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ ; pada $10\,\mathrm{s}$ : $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$ , terhadap $490\,\mathrm{m}$ .

12. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}$ : jauh di atas $1000$ , jadi kuadratik.

13. $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

14. Hambatnya $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$ ; $a = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$ : tali pengikatnya akan putus, atau penerjunnya.

15. Rata-rata $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$ ; gaya tali pengikatnya $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$ .

16. $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$ : dalam beberapa sekon setelah terbuka penuh, penurunannya sudah tunak.

17. $\vect a = \vect 0$ : gaya tali pengikatnya $= mg = 785\,\mathrm{N}$ .

18. Keseimbangan $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ memberi $v \propto (C_xS)^{-1/2}$ : luasnya separuh, lajunya $\sqrt2$ kali ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

19. $v \propto \sqrt m$ : $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

20. $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$ : sebuah lompatan dari lantai satu.

21. $a = v^2/2d$ : $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $5.3g$ ) sepanjang $0.5\,\mathrm{m}$ , gayanya $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$ ; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $1.8g$ ) sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$ , $2.2\,\mathrm{kN}$ . Bergulinglah.

22. Gaya hambat yang lebih besar (dan sedikit gaya angkat) sesaat melampaui beratnya: penerjunnya melambat lalu mendarat di bawah $v_\infty'$ .

23. $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ , $S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$ : kuadratik (kira-kira).

24. $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (Latihan 12.6); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$ : Stokes berlaku, secara taat asas.

25. $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{hambat}}$ ; gaya hambatnya linear terhadap $v$ bagi benda kecil dan lambat, dan kuadratik bagi benda besar dan cepat. Angkanya: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi benda yang jatuh, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di bawah payung (atau bagi tetes hujan), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ bagi kabut — hukum yang sama membentang empat orde besar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium