Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

9Tapis dan Fungsi Alih

Di dalam kotak sebuah pengeras suara, sebuah kumparan dan sebuah kapasitor memutuskan, tanpa satu pun transistor, bahwa nada rendah pergi ke kerucut besar dan nada tinggi ke kubah kecil. Tombol “AC” sebuah osiloskop menyingkirkan simpangan tetap yang menghanyut perlahan dan menyisakan geliat di atasnya. Sebuah catu daya mengubah tegangan jaringan yang telah disearahkan dan masih berdenyut menjadi tegangan yang mantap dengan satu kapasitor. Ketiganya adalah tapis: rangkaian linear yang memperlakukan tiap frekuensi secara berbeda. Karena setiap sinyal berkala merupakan jumlah sinusoid, mengetahui apa yang dilakukan sebuah rangkaian terhadap tiap sinusoid — fungsi alihnya — berarti mengetahui apa yang dilakukannya terhadap segalanya. Bab ini mendefinisikan fungsi alih, melukis diagram Bode-nya untuk rangkaian orde pertama dan orde kedua bab sebelumnya, lalu memakainya untuk meramalkan bagaimana gelombang persegi keluar dari sebuah tapis.

9.1 Fungsi alih dan diagram Bode

Definisi 9.1 (Fungsi alih)

Rangkaian linear dengan tegangan masukan $\underline U_e$ dan tegangan keluaran $\underline U_s$ (yang diambil tanpa apa pun tersambung pada keluarannya) mempunyai fungsi alih

\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e}, \qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,

yaitu penguatan $G$ (nisbah amplitudo) dan pergeseran fase $\varphi$ keluarannya relatif terhadap masukannya. Tapis adalah rangkaian semacam itu yang dipakai justru karena kebergantungannya pada frekuensi: sinusoid beramplitudo $E$ pada $\omega$ keluar sebagai $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$ .

Definisi 9.2 (Desibel; diagram Bode)

Penguatan dalam desibel adalah $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$ : faktor $10$ adalah $20\,\mathrm{dB}$ , faktor $2$ adalah $6\,\mathrm{dB}$ , $1/\sqrt2$ adalah $-3\,\mathrm{dB}$ . Diagram Bode menggambarkan $G_{\mathrm{dB}}$ dan $\varphi$ terhadap $\log_{10}\omega$ (atau $f$ ). Frekuensi potongnya adalah tempat $G$ jatuh ke $G_{\max}/\sqrt2$ ( $-3\,\mathrm{dB}$ dari maksimumnya); pita lolosnya adalah rentang frekuensi yang berada dalam $3\,\mathrm{dB}$ dari maksimumnya. Satu dekade adalah faktor $10$ pada frekuensinya, satu oktaf adalah faktor $2$ .

Metode 9.3 (Sifat sebuah tapis pada pandangan pertama)

Sebelum menghitung, lihatlah limitnya: pada frekuensi yang sangat rendah kapasitor adalah rangkaian terbuka dan kumparan adalah kawat; pada frekuensi yang sangat tinggi sebaliknya. Gantilah masing-masing lalu bacalah apakah keluarannya sama dengan masukannya (lolos) atau nol (terhalang). Meloloskan yang rendah, menghalangi yang tinggi: lolos rendah; sebaliknya: lolos tinggi; menghalangi keduanya: lolos pita; meloloskan keduanya: tolak pita. Lalu hitunglah $\underline H$ dengan pembagi tegangan.

9.2 Tapis orde pertama

Proposisi 9.4 (Lolos rendah orde pertama)

Pembagi RC dengan keluaran pada $C$ (atau pembagi RL dengan keluaran pada $R$ ) mempunyai

\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{atau } \frac{R}{L}\Big), \qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .

Asimtot Bode: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ untuk $\omega \ll \omega_c$ , sebuah garis lurus yang jatuh $20\,\mathrm{dB}$ tiap dekade untuk $\omega \gg \omega_c$ , yang bertemu pada $\omega_c$ tempat kurva sejatinya berada di $-3\,\mathrm{dB}$ dan $\varphi = -45^\circ$ . Untuk $\omega \gg \omega_c$ , $\underline H \approx \omega_c/(j\omega)$ : keluarannya sebanding dengan integral masukannya — tapisnya menjadi pengintegral di sana.

Bukti. Pembagi tegangan:

\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .

Jauh di atas frekuensi potongnya, $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$ , dan membagi amplitudo kompleks dengan $j\omega$ berarti mengintegralkan (Proposisi 8.3): $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$ . $20\log(\omega_c/\omega)$ kehilangan $20\,\mathrm{dB}$ tiap $\omega$ berlipat sepuluh. ∎

Proposisi 9.5 (Lolos tinggi orde pertama)

Pembagi CR dengan keluaran pada $R$ (atau LR dengan keluaran pada $L$ ) mempunyai

\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},

yang naik $20\,\mathrm{dB}$ tiap dekade di bawah $\omega_c$ , mendatar di atasnya, dan bernilai $-3\,\mathrm{dB}$ serta $+45^\circ$ pada $\omega_c$ . Untuk $\omega \ll \omega_c$ , $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ : keluarannya sebanding dengan turunan masukannya.

Bukti. $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ ; mengalikan dengan $j\omega$ berarti menurunkan. ∎

Diagram Bode tapis lolos rendah (biru) dan lolos tinggi (merah) orde pertama: penguatan dalam desibel beserta asimtotnya (garis putus-putus) yang bertemu di frekuensi potongnya, tempat penguatan sejatinya -3\, dB, dan fasenya, yang melintasi 45 di frekuensi potongnya. — Diagram Bode tapis lolos rendah (biru) dan lolos tinggi (merah) orde pertama: penguatan dalam desibel beserta asimtotnya (garis putus-putus) yang bertemu di frekuensi potongnya, tempat penguatan sejatinya $-3\,\mathrm{dB}$ , dan fasenya, yang melintasi $\mp45^\circ$ di frekuensi potongnya.

Contoh 9.6 (Gandengan AC)

Masukan AC sebuah osiloskop adalah tapis lolos tinggi dengan $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$ : sinyal $1\,\mathrm{kHz}$ yang menumpang pada simpangan tetap $5\,\mathrm{V}$ tembus pada $-0.0002\,\mathrm{dB}$ dengan simpangan tetapnya tersingkir. Namun gelombang persegi $50\,\mathrm{Hz}$ tampak tercacat — puncak datarnya melandai — karena pada $50\,\mathrm{Hz}$ tapisnya hanya satu dekade di atas frekuensi potongnya dan harmonik rendah sinyalnya bergeser fase (Latihan 9.12).

9.3 Tapis orde kedua

Proposisi 9.7 (RLC seri sebagai tiga tapis)

Dengan $x = \omega/\omega_0$ , $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ dan $Q = \sqrt{L/C}/R$ , RLC seri yang diberi $\underline U_e$ memberikan, menurut tempat keluarannya diambil:

\begin{align*} \text{pada } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\ \text{pada } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\ \text{pada } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}: \end{align*}

sebuah lolos rendah, sebuah lolos pita dan sebuah lolos tinggi orde kedua. Jauh dari $\omega_0$ , lolos rendah dan lolos tingginya jatuh $40\,\mathrm{dB}$ tiap dekade, sedangkan lolos pitanya $20\,\mathrm{dB}$ tiap dekade pada tiap sisinya; lolos pitanya bermaksimum $1$ pada $\omega_0$ dan berlebar pita $\Delta\omega = \omega_0/Q$ menurut Teorema 8.9.

Bukti. Pembagi tegangan dengan impedansi total $R + j(L\omega - 1/C\omega)$ ; kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $jC\omega$ lalu pakai $LC\omega_0^2 = 1$ , $RC\omega_0 = 1/Q$ . Lolos pitanya adalah resonansi arus bab sebelumnya yang dibaca sebagai tegangan pada $R$ . ∎

Proposisi 9.8 (Lolos rendah orde kedua: peranan $Q$ )

Untuk lolos rendahnya, $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ : untuk $Q > 1/\sqrt2$ penguatannya naik di atas $1$ di dekat $\omega_0$ (resonansi, puncaknya $\approx Q$ untuk $Q$ yang besar); untuk $Q = 1/\sqrt2$ ia “sedatar mungkin”, $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$ , tepat $-3\,\mathrm{dB}$ pada $\omega_0$ ; untuk $Q$ yang lebih kecil ia melandai lebih awal. Fasenya berjalan dari $0$ ke $-\pi$ , melalui $-\pi/2$ pada $\omega_0$ .

Bukti. $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$ : suku tengahnya lenyap untuk $Q^2 = \tfrac12$ , negatif (puncak) di atasnya, positif (landai) di bawahnya; perilakunya di dekat $x = 1$ telah dianalisis dalam Proposisi 8.10. ∎

Tapis orde kedua dari RLC seri. Kiri, lolos rendahnya (keluaran pada C) untuk tiga Q: puncak resonansi, tanggapan sedatar mungkin, atau landaian dini, yang semuanya bergabung ke asimtot -40\, dB/ dekade (garis putus-putus). Kanan, lolos pitanya (keluaran pada R): puncak selebar _0/Q yang jatuh 20\, dB/ dekade pada tiap sisinya. — Tapis orde kedua dari RLC seri. Kiri, lolos rendahnya (keluaran pada $C$ ) untuk tiga $Q$ : puncak resonansi, tanggapan sedatar mungkin, atau landaian dini, yang semuanya bergabung ke asimtot $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{dekade}$ (garis putus-putus). Kanan, lolos pitanya (keluaran pada $R$ ): puncak selebar $\omega_0/Q$ yang jatuh $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{dekade}$ pada tiap sisinya.

Contoh 9.9 (Sebuah crossover)

Woofer dan tweeter sebuah pengeras suara, masing-masing $8\,\Omega$ , berbagi penguat lewat sebuah lolos rendah (kumparan seri) dan sebuah lolos tinggi (kapasitor seri) yang dipotong pada $2\,\mathrm{kHz}$ : $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$ , $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Pada $2\,\mathrm{kHz}$ tiap penggeraknya memperoleh $-3\,\mathrm{dB}$ , yaitu separuh dayanya, dan $G_L^2 + G_H^2 = 1$ pada setiap frekuensi: dayanya dibagi, bukan hilang. Soal akhir pekan merancang versi yang lebih curam.

9.4 Menapis sinyal berkala

Teorema 9.10 (Penguraian Fourier)

Sinyal berkala berperiode $T = 2\pi/\omega$ (yang cukup teratur) merupakan jumlah sebuah tetapan dan sinusoid pada kelipatan $\omega$ :

s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),

dengan $c_0 = \langle s\rangle$ sebagai nilai rata-ratanya; suku $n = 1$ adalah nada dasarnya, sisanya harmoniknya, dan amplitudo $c_n$ membentuk spektrumnya. Gelombang persegi beramplitudo $\pm E$ mempunyai $c_n = 4E/(n\pi)$ untuk $n$ ganjil dan $0$ untuk $n$ genap; gelombang segitiga beramplitudo $\pm E$ mempunyai $c_n = 8E/(n\pi)^2$ untuk $n$ ganjil.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 9.11 (Apa yang perlu diambil darinya)

Teoremanya dan perhitungan $c_n$ termasuk kuliah matematika Tahun ke-2. Di sini ia sebuah alat: sudut yang tajam menuntut banyak harmonik (harmonik gelombang persegi hanya turun sebagai $1/n$ ), sinyal yang mulus menuntut sedikit (harmonik gelombang segitiga turun sebagai $1/n^2$ ). Kandungan harmonik sebuah sinyal adalah bahan warna bunyi sebuah alat musik, dan itulah yang dikerjai sebuah tapis.

Proposisi 9.12 (Penapisan linear sinyal berkala)

Lewat tapis berfungsi alih $\underline H$ , sinyal pada teorema itu menjadi

s_{\text{keluar}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):

tiap harmoniknya diskalakan oleh penguatan dan digeser oleh fase pada frekuensinya sendiri, lalu potongannya dijumlahkan. Maka:

lolos rendah dengan $\omega_c \ll \omega$ pada dasarnya hanya menyimpan $c_0$ : ia merata-ratakan (memuluskan, menyingkirkan riak), dan mengubah gelombang persegi menjadi segitiga kecil (pengintegralan);
lolos tinggi dengan $\omega_c \ll \omega$ menyingkirkan $c_0$ lalu meloloskan sisanya (gandengan AC); dengan $\omega_c \gg \omega$ ia menurunkan (paku pada tepi gelombang persegi);
lolos pita yang dilaraskan ke $n\omega$ dengan $Q \gg 1$ menyarikan harmonik ke- $n$ saja: sebuah sinusoid dari sebuah gelombang persegi.

Bukti. Superposisi untuk rangkaian linear (Teorema 6.18) yang diterapkan pada jumlah masukan sinusoidalnya, masing-masing diperlakukan menurut Definisi 9.1. ∎

Gelombang persegi lewat lolos rendah orde pertama. Kiri: spektrumnya (harmonik ganjil dalam 1/n) dan spektrumnya setelah tapis yang dipotong pada nada dasarnya. Kanan: sinyal waktunya untuk _c = (merah, busur eksponensial) dan _c = 10 (jingga, hanya sudutnya yang membulat); dengan _c keluarannya akan berupa segitiga kecil di sekitar rata-ratanya. — Gelombang persegi lewat lolos rendah orde pertama. Kiri: spektrumnya (harmonik ganjil dalam $1/n$ ) dan spektrumnya setelah tapis yang dipotong pada nada dasarnya. Kanan: sinyal waktunya untuk $\omega_c = \omega$ (merah, busur eksponensial) dan $\omega_c = 10\omega$ (jingga, hanya sudutnya yang membulat); dengan $\omega_c \ll \omega$ keluarannya akan berupa segitiga kecil di sekitar rata-ratanya.

Contoh 9.13 (Angka-angkanya)

Gelombang persegi $1\,\mathrm{kHz}$ beramplitudo $5\,\mathrm{V}$ : harmoniknya $6.37\,\mathrm{V}$ pada $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ pada $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ pada $5\,\mathrm{kHz}$ . Lewat lolos rendah RC yang dipotong pada $10\,\mathrm{Hz}$ ( $\tau = 16\,\mathrm{ms}$ ) keluarannya adalah segitiga beramplitudo $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ di sekitar nol; lewat lolos pita yang dilaraskan ke $3\,\mathrm{kHz}$ dengan $Q = 20$ , sebuah sinusoid $2.1\,\mathrm{V}$ pada $3\,\mathrm{kHz}$ dengan hanya beberapa persen tetangganya (Latihan 9.8).

9.5 Menderetkan tapis

Proposisi 9.14 (Deretan dan pembebanan)

Dua tapis yang berderet mempunyai $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — penguatannya berkalian, desibel dan fasenya berjumlahan — asalkan yang kedua tidak membebani yang pertama, yaitu menarik arus yang dapat diabaikan dari keluarannya. Bila tidak, hubungan pembaginya harus ditulis ulang untuk jaringan gabungannya. Sebuah pengikut penguat operasional (Bab 10) di antara tingkatnya membuat kaidah perkalian itu eksak.

Bukti. $\underline H_1$ didefinisikan dengan keluaran terbuka; jika impedansi masukan tingkat berikutnya jauh lebih besar daripada impedansi keluaran tingkat pertamanya (hambatan Thévenin-nya), tegangan keluarannya tak berubah dan tingkat kedua melihat tepat $\underline U_{s1}$ sebagai masukannya. ∎

Contoh 9.15 (Dua tingkat RC)

Dua lolos rendah RC yang serupa dan bersambungan tidak memberi $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$ : $R$ tingkat kedua membebani yang pertama. Hasil eksaknya adalah $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ , yaitu $-9.5\,\mathrm{dB}$ pada $\omega_c$ alih-alih $-6\,\mathrm{dB}$ yang dijanjikan kaidah perkaliannya, walaupun keduanya pada akhirnya mencapai kemiringan $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{dekade}$ yang sama.

9.6 Latihan

Latihan 9.1 ★

Ubahlah menjadi desibel: penguatan $0.5$ , $10$ , $1/\sqrt2$ , $100$ . Ubahlah menjadi nisbah: $-40\,\mathrm{dB}$ , $+6\,\mathrm{dB}$ . Dua tapis yang berderet (tanpa pembebanan) memberi $-6\,\mathrm{dB}$ dan $-20\,\mathrm{dB}$ pada suatu frekuensi: berapa penguatan keseluruhannya?

Solusi

Solusi Latihan 9.1.

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$ ; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$ ; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$ ; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$ . $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$ ; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$ . Berderet: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$ , yaitu nisbah $0.05$ .

Latihan 9.2 ★

Lolos rendah RC, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 16\,\mathrm{nF}$ : berapa frekuensi potongnya, dan penguatannya dalam desibel pada $100\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ , $100\,\mathrm{kHz}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.2.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Penguatannya $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$ : $100\,\mathrm{Hz}$ : $-0.04\,\mathrm{dB}$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; $10\,\mathrm{kHz}$ : $-20\,\mathrm{dB}$ ; $100\,\mathrm{kHz}$ : $-40\,\mathrm{dB}$ .

Latihan 9.3 ★

Tanpa menghitung, berikan sifatnya (lolos rendah, lolos tinggi, lolos pita) untuk: (a) $R$ terangkai seri, $C$ melintasi keluarannya; (b) $C$ terangkai seri, $R$ melintasi keluarannya; (c) $L$ terangkai seri, $C$ melintasi keluarannya; (d) $L$ dan $C$ terangkai seri, $R$ melintasi keluarannya.

Solusi

Solusi Latihan 9.3.

(a) lolos rendah ( $C$ menghubungsingkatkan keluarannya pada $f$ tinggi); (b) lolos tinggi ( $C$ membuka pada $f$ rendah); (c) lolos rendah orde kedua ( $L$ membuka pada $f$ tinggi, $C$ menghubungsingkatkan); (d) lolos pita ( $C$ menghalangi $f$ rendah, $L$ menghalangi $f$ tinggi).

Latihan 9.4 ★

Gelombang persegi $1.0\,\mathrm{kHz}$ beramplitudo $5.0\,\mathrm{V}$ : berikan frekuensi dan amplitudo tiga harmonik tak nol pertamanya. Mengapa ia tak mempunyai harmonik genap?

Solusi

Solusi Latihan 9.4.

$4E/n\pi$ : $6.37\,\mathrm{V}$ pada $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ pada $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ pada $5\,\mathrm{kHz}$ . Gelombang perseginya antisimetrik terhadap pergeseran setengah periode ( $s(t + T/2) = -s(t)$ ), sifat yang tak dimiliki harmonik genap.

Latihan 9.5 ★★

Lolos tinggi CR yang dipotong pada $10\,\mathrm{kHz}$ menerima gelombang segitiga beramplitudo $1.0\,\mathrm{V}$ pada $100\,\mathrm{Hz}$ . Jelaskan mengapa ia berlaku sebagai diferensiator lalu berikan bentuk dan amplitudo keluarannya.

Solusi

Solusi Latihan 9.5.

Pada $100\,\mathrm{Hz}$ dan harmonik bergunanya, $\omega \ll \omega_c$ : $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ , yaitu turunan yang dibagi $\omega_c$ . Kemiringan segitiganya $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ , sehingga keluarannya adalah gelombang persegi beramplitudo $400/(2\pi \times 10^4) = 6.4\,\mathrm{mV}$ .

Latihan 9.6 ★★

Lolos rendah RC yang dipotong pada $10\,\mathrm{Hz}$ menerima gelombang persegi $1.0\,\mathrm{kHz}$ beramplitudo $\pm1.0\,\mathrm{V}$ . Tunjukkan bahwa keluarannya berupa segitiga lalu hitunglah amplitudonya.

Solusi

Solusi Latihan 9.6.

$\omega \gg \omega_c$ : $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$ , $\tau = 1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$ . Integral $\pm E$ adalah segitiga yang naik sebesar $ET/2$ tiap setengah periode: ayunannya $ET/2\tau$ , amplitudonya $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ di sekitar nol.

Latihan 9.7 ★★

Lolos rendah RLC seri dengan $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ : berikan $f_0$ ; carilah $R$ untuk tanggapan sedatar mungkin; berikan penguatannya dalam desibel pada $f_0$ dan pada $10f_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.7.

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ . $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$ : $R = \sqrt2 \times 316 = 447\,\Omega$ . Pada $f_0$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; pada $10f_0$ : $1/\sqrt{1 + 10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$ .

Latihan 9.8 ★★

Sebuah lolos pita ( $Q = 20$ ) yang dilaraskan ke $3.0\,\mathrm{kHz}$ menerima gelombang persegi $1\,\mathrm{kHz}$ dari Latihan 9.4. Hitunglah penguatannya pada $1$ , $3$ dan $5\,\mathrm{kHz}$ , serta amplitudo keluaran harmonik itu; gambarkan keluarannya.

Solusi

Solusi Latihan 9.8.

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ dengan $x = f/3$ : $1\,\mathrm{kHz}$ : $x = 1/3$ , $Q(x - 1/x) = -53$ , $G = 0.019$ ; $3\,\mathrm{kHz}$ : $G = 1$ ; $5\,\mathrm{kHz}$ : $x = 5/3$ , $21$ , $G = 0.047$ . Keluarannya: $2.1\,\mathrm{V}$ pada $3\,\mathrm{kHz}$ , dengan $0.12\,\mathrm{V}$ pada $1\,\mathrm{kHz}$ dan $0.06\,\mathrm{V}$ pada $5\,\mathrm{kHz}$ — sinusoid $3\,\mathrm{kHz}$ yang nyaris murni.

Latihan 9.9 ★★

Dua lolos rendah RC yang serupa ( $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ ) yang berderet. Hitunglah fungsi alih eksaknya (yang kedua membebani yang pertama) dan penguatannya pada $\omega_c = 1/RC$ ; bandingkan dengan hasil kali kedua penguatan terpisahnya.

Solusi

Solusi Latihan 9.9.

Simpul: dengan $a = jRC\omega$ , kapasitor pertamanya melihat $R$ di hulunya dan $R + 1/jC\omega$ di hilirnya: $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$ , yaitu $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ . Pada $\omega_c$ : $1/3j$ , $G = 1/3$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ ; hasil kali kedua penguatan terpisahnya akan $1/2$ , $-6\,\mathrm{dB}$ . $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$ .

Latihan 9.10 ★★★

Sketsalah asimtot Bode $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/ (1 + j\omega/\omega_2)$ dengan $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_2 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : kemiringannya, sudutnya, dataran frekuensi tingginya dalam desibel, dan fasenya pada $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.10.

Di bawah $\omega_1$ : $0\,\mathrm{dB}$ ; antara $\omega_1$ dan $\omega_2$ : naik $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{dekade}$ ; di atas $\omega_2$ : mendatar pada $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$ . Fasenya $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$ : pada $\omega = 10^3$ , $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ = 78^\circ$ .

Latihan 9.11 ★★★

Sinus yang disearahkan gelombang penuh (jaringan $50\,\mathrm{Hz}$ ) berrata-rata $2E/\pi$ dan berharmonik pertama $100\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo $4E/3\pi$ . Sebuah lolos rendah RC harus menurunkan riak $100\,\mathrm{Hz}$ di bawah $1\%$ rata-ratanya: carilah frekuensi potong dan tetapan waktu yang diperlukan. Mengapa kapasitor saja (bersama hambatan bebannya) menjadi pilihan yang lazim?

Solusi

Solusi Latihan 9.11.

Jauh di atas frekuensi potongnya, $G \approx f_c/f$ ; nisbah riaknya setelah ditapis adalah

\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,

sehingga $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ dan $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$ . Bebannya sendiri menjadi $R$ : kapasitor yang dipasang melintasinya tak memakan biaya apa pun pada jatuh tegangan dan dayanya, sedangkan resistor seri akan memboroskan keduanya.

Latihan 9.12 ★★★

Gandengan AC sebuah osiloskop adalah lolos tinggi dengan $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ dan $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$ . Hitunglah $f_c$ . Sebuah gelombang persegi diterapkan: tunjukkan bahwa tiap puncak datarnya menjadi eksponensial yang meluruh lalu hitunglah kemerosotannya (bagian yang hilang sepanjang setengah periode) pada $50\,\mathrm{Hz}$ dan pada $1\,\mathrm{kHz}$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.12.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) = 10\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$ . Selama sebuah puncak datar kapasitornya mengisi lewat $R$ : keluarannya meluruh sebagai $\eu^{-t/\tau}$ dari tiap tepinya. Kemerosotan sepanjang $T/2$ : $1 - \eu^{-T/2\tau}$ : $50\,\mathrm{Hz}$ ( $T/2 = 10\,\mathrm{ms}$ ): $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ ( $T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ): $3\%$ .

Di dalam sebuah pengeras suara dua arah: kumparan dan kapasitor crossover-nya adalah tapis lolos rendah dan lolos tinggi yang mengirimkan nada rendah ke woofer dan nada tinggi ke tweeter.

9.7 Soal: Crossover pengeras suara

Soal 9.1

Soal akhir pekan — sebuah woofer, sebuah tweeter, sebuah kumparan dan sebuah kapasitor: bagaimana crossover pasif membelah musiknya, mengapa yang paling sederhana membocorkan nada rendah ke tweeter, dan apa yang dilakukan kumparan suara yang sesungguhnya terhadap rancangannya

Woofer dan tweeternya mula-mula dimodelkan sebagai hambatan murni $R = 8.0\,\Omega$ . Penguatnya adalah sumber tegangan ideal $\underline U_e$ . Frekuensi silangnya $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .

Bagian I — Crossover orde pertama. Woofernya diberi daya lewat kumparan seri $L$ , dan tweeternya lewat kapasitor seri $C$ .

Definisikan fungsi alih tiap cabangnya (tegangan pada penggeraknya dibagi $\underline U_e$ ) dan penguatannya dalam desibel.
Tunjukkan bahwa cabang woofernya adalah lolos rendah orde pertama lalu berikan frekuensi potongnya $\omega_c$ dalam $R$ dan $L$ .
Hitunglah $L$ untuk $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
Tunjukkan bahwa cabang tweeternya adalah lolos tinggi orde pertama; berikan $\omega_c$ lalu hitunglah $C$ .
Berikan penguatan tiap penggeraknya dalam desibel pada $f_c$ , pada $200\,\mathrm{Hz}$ dan pada $20\,\mathrm{kHz}$ .
Tunjukkan bahwa $G_L^2 + G_H^2 = 1$ pada setiap frekuensi. Apa artinya bagi daya yang ditarik dari penguatnya?
Berikan fase tiap cabangnya pada $f_c$ ; seberapa besar tegangan kedua penggeraknya berbeda fase di sana?
Berapa kemiringan kedua tanggapannya, dalam dB tiap oktaf, jauh dari $f_c$ ?

Bagian II — Crossover orde kedua. Woofernya kini diberi lewat kumparan seri $L$ dengan kapasitor $C$ yang terangkai paralel dengan penggeraknya.

Tunjukkan bahwa $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
Kenali $\omega_0$ dan $Q$ dalam $L$ , $C$ , $R$ .
Untuk $Q = 1/\sqrt2$ tunjukkan bahwa $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ dan bahwa penguatannya $-3\,\mathrm{dB}$ pada $\omega_0$ .
Hitunglah $L$ dan $C$ untuk $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ dan $Q = 1/\sqrt2$ .
Hitunglah penguatannya dalam desibel pada $4\,\mathrm{kHz}$ dan $8\,\mathrm{kHz}$ ; simpulkan kemiringannya dalam dB tiap oktaf.
Cabang tweeternya menukar peran $L$ dan $C$ ( $C$ seri, $L$ paralel): tuliskan fungsi alihnya tanpa perhitungan baru.
Hitunglah fase tiap cabangnya pada $f_0$ . Apa yang harus dilakukan terhadap pengawatan tweeternya, dan mengapa?

Bagian III — Musik lewat crossover-nya.

Nada sebuah selo pada $220\,\mathrm{Hz}$ membawa harmonik sampai harmonik ke-20. Harmonik mana yang sebagian besar pergi ke tweeternya, dengan crossover orde pertama?
Apa yang terjadi pada harmonik ke-9?
Gelombang persegi $1.0\,\mathrm{kHz}$ dipakai sebagai sinyal uji. Dengan crossover orde pertama, berikan penguatan tiap cabangnya untuk nada dasarnya serta harmonik ketiga dan kelimanya.
Penguatnya secara tak sengaja menimbulkan simpangan searah $1\,\mathrm{V}$ . Penggerak mana yang terlindungi, dan oleh apa?
Dengan crossover orde pertama, berapa bagian tegangan dan berapa bagian daya sebuah nada $500\,\mathrm{Hz}$ yang mencapai tweeternya? Sama untuk yang orde kedua. Mengapa hal ini penting bagi keselamatan tweeternya?

Bagian IV — Kumparan suara yang sesungguhnya. Woofernya sesungguhnya berupa $R = 8.0\,\Omega$ yang terangkai seri dengan induktansi kumparan suara $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$ .

Hitunglah impedansi woofernya (modulusnya) pada $2\,\mathrm{kHz}$ dan pada $8\,\mathrm{kHz}$ .
Hitunglah kembali penguatan woofer orde pertamanya pada $2\,\mathrm{kHz}$ dan $8\,\mathrm{kHz}$ dengan impedansi ini, lalu bandingkan dengan $-3\,\mathrm{dB}$ dan $-12.3\,\mathrm{dB}$ yang ideal. Apa yang terjadi pada landaiannya?
Sebuah “jaringan Zobel” — $R_z = R$ yang terangkai seri dengan $C_z = L_{vc}/R^2$ — dipasang paralel dengan woofernya. Tunjukkan bahwa gabungannya berlaku sebagai hambatan murni $R$ pada semua frekuensi, lalu hitunglah $C_z$ .
Penguatnya menyampaikan $50\,\mathrm{W}$ ke $8\,\Omega$ : berapa tegangan rmsnya, dan berapa daya yang diterima tiap penggeraknya pada $f_c$ (crossover orde pertama)? Pada $500\,\mathrm{Hz}$ , berapa yang mencapai tweeternya?
Ringkaslah tukar-tambahnya: kemiringan, fase, jumlah komponen, perlindungan tweeternya, dan perlunya jaringan Zobel.

Solusi

Solusi Soal 9.1.

1. $\underline H = \underline U_{\text{penggerak}}/\underline U_e$ ; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$ .

2. $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$ , $\omega_c = R/L$ .

3. $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$ .

4. $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ , $\omega_c = 1/RC$ ; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

5. Pada $f_c$ : $-3\,\mathrm{dB}$ masing-masing. $200\,\mathrm{Hz}$ ( $x = 0.1$ ): woofer $-0.04\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-20\,\mathrm{dB}$ . $20\,\mathrm{kHz}$ ( $x = 10$ ): woofer $-20\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-0.04\,\mathrm{dB}$ .

6. $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$ : dengan beban yang sama kedua dayanya berjumlah sama dengan daya yang akan diambil satu penggerak $8\,\Omega$ — dibagi, bukan hilang.

7. $-45^\circ$ (woofer) dan $+45^\circ$ (tweeter): terpisah $90^\circ$ ; pada $f_c$ kedua kerucutnya tidak bergerak bersama.

8. $\pm 6\,\mathrm{dB}$ tiap oktaf ( $20\,\mathrm{dB}$ tiap dekade).

9. Pembagi antara $jL\omega$ dan $R \parallel 1/jC\omega = R/(1 + jRC\omega)$ : $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .

10. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; $L\omega/R = x/Q$ memberi $Q = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ .

11. $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ untuk $Q^2 = \tfrac12$ ; pada $x = 1$ , $G = 1/\sqrt2$ .

12. $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$ ; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

13. $x = 2$ : $1/\sqrt{17}$ , $-12.3\,\mathrm{dB}$ ; $x = 4$ : $1/\sqrt{257}$ , $-24.1\,\mathrm{dB}$ : $12\,\mathrm{dB}$ tiap oktaf.

14. Menukar $L$ dan $C$ menukar $x \leftrightarrow 1/x$ (dan $Q$ tetap): $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$ .

15. Pada $x = 1$ : $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ( $-90^\circ$ ), $\underline H_H = jQ$ ( $+90^\circ$ ): kedua penggeraknya berlawanan fase pada frekuensi silangnya dan akan saling meniadakan secara akustik; tweeternya diawatkan dengan kutubnya dibalik.

16. Harmonik di atas $2\,\mathrm{kHz}$ : $n \geq 10$ ( $2.2\,\mathrm{kHz}$ ke atas) sebagian besar pergi ke tweeternya.

17. $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$ : terbagi rata, $-3\,\mathrm{dB}$ untuk masing-masing.

18. Woofer ( $G_L$ ): $x = 0.5$ : $0.89$ ; $x = 1.5$ : $0.55$ ; $x = 2.5$ : $0.37$ . Tweeter ( $G_H$ ): $0.45$ , $0.83$ , $0.93$ .

19. Tweeternya: kapasitor serinya menghalangi arus searah. Woofernya menerima simpangan tetapnya ( $1\,\mathrm{V}$ pada $8\,\Omega$ : $125\,\mathrm{mA}$ , $0.125\,\mathrm{W}$ kalor dan kerucut yang tergeser).

20. Orde pertama, $x = 0.25$ : $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ( $-12\,\mathrm{dB}$ ), bagian dayanya $6\%$ . Orde kedua: $0.0625/\sqrt{1 + 0.0039} = 0.06$ ( $-24\,\mathrm{dB}$ ), $0.4\%$ . Tweeter berdaya beberapa watt menerima $6\%$ dari sebuah nada rendah yang keras dengan rancangan orde pertama — ia bisa terbakar.

21. $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 6.3j$ , $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$ ; $8\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 25.1j$ , $26.3\,\Omega$ .

22. $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ( $-4.2\,\mathrm{dB}$ ); $8\,\mathrm{kHz}$ : $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ( $-6.9\,\mathrm{dB}$ ) alih-alih $-12.3\,\mathrm{dB}$ : impedansi kumparannya yang menaik melawan kumparan serinya, dan landaiannya mendatar menjadi beberapa dB tiap oktaf.

23. Admitansinya: $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$ ; dengan $C_z = L_{vc}/R^2$ suku keduanya menjadi $jL_{vc}\omega/[R(R + jL_{vc}\omega)]$ , dan jumlahnya $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)] = 1/R$ . $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

24. $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ rms. Pada $f_c$ tiap penggeraknya memperoleh separuh: $25\,\mathrm{W}$ . Pada $500\,\mathrm{Hz}$ tweeternya memperoleh $6\%$ : $3\,\mathrm{W}$ .

25. Orde pertama: dua komponen, saling melengkapi dalam daya, kemiringan $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{okt}$ yang landai, $90^\circ$ antara penggeraknya, dan nada rendah bocor ke tweeternya. Orde kedua: empat komponen, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{okt}$ , $180^\circ$ pada frekuensi silangnya (balikkan tweeternya), perlindungan tweeter yang jauh lebih baik. Bagaimanapun juga, induktansi woofernya harus dijinakkan jaringan Zobel agar rancangannya bertahan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium