Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

4Alat Optik dan Mata

Dari deretan bangku paling belakang sebuah gedung konser, sepasang teropong binokuler menarik wajah sang penyanyi sampai sejangkauan lengan; mikroskop mengubah setetes air kolam menjadi kebun binatang; telepon setebal jari memotret Bima Sakti. Setiap alat itu berupa beberapa lensa tipis yang disusun untuk satu tujuan: menyajikan kepada mata, atau kepada sensor, bayangan yang lebih besar, lebih terang atau lebih tajam daripada yang dapat dibentuk mata sendirian. Maka bab ini dimulai dari matanya sendiri — apa yang dapat dan tak dapat dilakukannya — lalu membangun kaca pembesar, mikroskop, teleskop dan kamera dari hubungan konjugasi bab sebelumnya.

Teleskop bias 40 inci Observatorium Yerkes (1897), sampai kini teleskop lensa terbesar yang pernah dibuat: lensa objektif sepanjang satu meter dan tabung sepanjang sembilan belas meter. Di atas ukuran ini sebuah lensa melendut oleh beratnya sendiri, dan astronomi pun beralih ke cermin.

Sebuah teleskop bias kecil pada senja hari: lensa objektif berjarak fokus panjang dan lensa okuler berjarak fokus pendek — teleskop afokal bab ini, dibidikkan ke Bulan yang menjadi soal akhir pekannya.

4.1 Mata

Definisi 4.1 (Mata tereduksi)

Mata tereduksi memodelkan kornea dan lensa matanya sebagai satu lensa tipis konvergen berjarak fokus berubah-ubah, dan retinanya sebagai layar pada jarak tetap $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ di belakangnya. Otot mengubah kelengkungan lensanya agar bayangan benda yang dipandang tetap jatuh di retina: itulah akomodasi. Iris di depan lensanya adalah bukaan berubah-ubah bergaris tengah $2\,$ sampai $8\,\mathrm{mm}$ , yaitu pupil.

Definisi 4.2 (Titik jauh, titik dekat)

Titik jauh (punctum remotum) adalah titik benda yang terlihat tajam tanpa berakomodasi; titik dekat (punctum proximum) adalah titik terdekat yang terlihat tajam dengan akomodasi maksimum. Bagi mata normal (emetrop), titik jauhnya di tak hingga dan titik dekatnya pada $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ , yaitu jarak penglihatan jelas yang disepakati. Selisih vergensi yang diperlukan untuk keduanya adalah amplitudo akomodasi: sekitar $4\,\delta$ bagi orang dewasa muda, dan menyusut seiring usia.

Contoh 4.3 (Vergensi mata)

Benda jauh: bayangan pada $d = 17\,\mathrm{mm}$ berarti $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ . Benda pada $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ . Empat dioptri akomodasi dari enam puluh: lensa matanya hanya menambahkan beberapa persen pada kerja korneanya, tetapi beberapa persen itulah segalanya bagi membaca.

Proposisi 4.4 (Cacat mata dan koreksinya)

Mata miopi terlalu konvergen: titik jauhnya berada pada jarak berhingga $D_r$ ; lensa divergen berjarak fokus $f' = -D_r$ (dipakai dekat mata) membayangkan tak hingga pada titik jauhnya dan memulihkan penglihatan jauh. Mata hipermetropi kurang konvergen: titik jauhnya maya (di belakang mata) dan titik dekatnya terlalu jauh; lensa konvergen mengoreksinya. Presbiopi adalah hilangnya akomodasi seiring usia: titik dekatnya mundur dan membaca menuntut lensa konvergen, apa pun titik jauhnya.

Bukti. Lensa yang dekat dengan mata dan mata itu sendiri membentuk sistem yang bendanya harus berupa apa yang dapat dilihat matanya: lensanya harus mengubah benda di tak hingga menjadi bayangan maya di titik jauhnya, $\overline{OA'} = -D_r$ untuk $\overline{OA} = -\infty$ , sehingga $f' = \overline{OA'} = -D_r$ . Kasus lainnya adalah alasan yang sama dengan titik-titik yang bersangkutan. ∎

Mata tereduksi: lensa tipis berjarak fokus berubah-ubah dan retina 17\, mm di belakangnya. Ketika rileks, ia memfokuskan benda jauh; ketika berakomodasi, ia memendekkan f' untuk membawa bayangan benda dekat ke retinanya. Bayangannya terbalik — otaklah yang membalikkannya kembali. — Mata tereduksi: lensa tipis berjarak fokus berubah-ubah dan retina $17\,\mathrm{mm}$ di belakangnya. Ketika rileks, ia memfokuskan benda jauh; ketika berakomodasi, ia memendekkan $f'$ untuk membawa bayangan benda dekat ke retinanya. Bayangannya terbalik — otaklah yang membalikkannya kembali.

Definisi 4.5 (Ukuran sudut dan daya urai)

Ukuran sudut sebuah benda setinggi $h$ pada jarak $D$ adalah $\theta \approx h/D$ (sudut kecil). Mata membedakan dua titik hanya jika pisah sudutnya melampaui daya urai sudutnya, yaitu sekitar $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (satu menit busur): jarak antarsel kerucutnya dan difraksi pada pupilnya sama-sama menetapkan batas ini.

Catatan 4.6 (Untuk apa sebuah alat optik)

Dibawa ke titik dekat, rincian sebesar $1\,\mathrm{mm}$ membentang $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : tiga belas kali batas daya urainya; rincian $0.05\,\mathrm{mm}$ membentang $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ dan tak terlihat. Alat yang memandang benda dekat (kaca pembesar, mikroskop) memperbesar ukuran sudutnya melampaui apa yang dapat dicapai dengan mendekatkan bendanya; alat untuk benda jauh (teleskop) memperbesar ukuran sudut benda yang tak dapat didekati; sedangkan kamera menggantikan retina dengan sensor yang dapat mengumpulkan cahaya selama beberapa sekon lalu diperbesar sesudahnya.

4.2 Kaca pembesar

Definisi 4.7 (Perbesaran sudut)

Untuk alat yang dipakai mata, perbesaran sudutnya adalah $G = \theta'/\theta$ , dengan $\theta'$ ukuran sudut bayangan yang dilihat lewat alatnya dan $\theta$ ukuran sudut bendanya yang dilihat mata telanjang — pada titik dekat $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ untuk benda dekat, dan di tempatnya untuk benda jauh.

Proposisi 4.8 (Kaca pembesar)

Lensa konvergen berjarak fokus $f' < d_m$ dengan bendanya di bidang fokus bendanya memberi bayangan di tak hingga, yang terlihat tanpa akomodasi, dengan

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

Bukti. Benda $AB$ setinggi $h$ di bidang fokusnya: sinar dari $B$ keluar sejajar, dengan sudut sinar yang melalui $O$ , $\theta' = h/f'$ . Mata telanjang sebaik-baiknya: $\theta = h/d_m$ . Nisbahnya $d_m/f'$ . ∎

Contoh 4.9 (Kaca pembesar tukang jam)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , dijual sebagai “ $10\times$ ”. Rincian $0.05\,\mathrm{mm}$ lalu membentang $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , terurai dengan nyaman. Mendorong $G$ lebih tinggi berarti $f'$ beberapa milimeter, yaitu lensa mungil yang ditempelkan ke mata — batas lensa tunggal, dan alasan keberadaan mikroskop.

4.3 Mikroskop

Definisi 4.10 (Mikroskop majemuk)

Mikroskop adalah lensa objektif $L_1$ berjarak fokus pendek $f_1'$ yang membentuk bayangan antara yang nyata dan diperbesar dari benda yang dekat, tepat di bidang fokus benda sebuah lensa okuler $L_2$ (berjarak fokus $f_2'$ ), yang berlaku sebagai kaca pembesar. Jarak $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ antara fokus bayangan objektifnya dan fokus benda okulernya disebut selang optik, yang dibakukan $160\,\mathrm{mm}$ pada alat klasik.

Proposisi 4.11 (Perbesaran sebuah mikroskop)

Dengan bayangan akhirnya di tak hingga,

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

Bukti. Bayangan antaranya $A_1B_1$ terletak di bidang fokus benda okulernya, yaitu pada $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; hubungan Newton memberi $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ . Okulernya lalu memperlihatkan $A_1B_1$ (setinggi $\abs{\gamma_1} h$ ) di tak hingga dengan sudut $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ , terhadap $\theta = h/d_m$ bagi mata telanjang. ∎

Mikroskop: objektifnya membentuk bayangan antara yang nyata, diperbesar dan terbalik A_1B_1 di bidang fokus benda okulernya; okulernya mengirimkannya ke tak hingga, tempat mata yang rileks memandangnya dengan sudut yang besar. — Mikroskop: objektifnya membentuk bayangan antara yang nyata, diperbesar dan terbalik $A_1B_1$ di bidang fokus benda okulernya; okulernya mengirimkannya ke tak hingga, tempat mata yang rileks memandangnya dengan sudut yang besar.

Contoh 4.12 (Mikroskop mahasiswa)

Objektif $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , okuler $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ . Bendanya duduk pada $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ dari $F_1$ : $4.1\,\mathrm{mm}$ dari objektifnya. Memfokuskan berarti menggeser seluruh tabungnya sepersekian milimeter.

Catatan 4.13 (Batas daya urai)

Perbesaran tanpa batas tak akan berguna: cahaya adalah gelombang, dan objektif yang menerima sinar dalam setengah sudut $u$ (di dalam medium berindeks $n$ ) tak dapat memisahkan dua titik yang lebih dekat daripada kira-kira $\lambda/(2n\sin u)$ — pembahasan gelombang volume Tahun ke-2 menurunkannya. Dengan $n\sin u \approx 1.4$ (imersi minyak) dan $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , batasnya di dekat $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Agar rincian itu terlihat mata ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ pada $25\,\mathrm{cm}$ , yaitu $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), perbesaran sekitar $400$ sudah cukup; di atas $1000$ bayangannya hanya lebih besar, bukan lebih kaya: perbesaran hampa.

4.4 Teleskop astronomi

Proposisi 4.14 (Teleskop bias)

Lensa objektif $L_1$ dan lensa okuler $L_2$ dengan $F_1' = F_2$ membentuk sistem afokal: sebuah bintang (di tak hingga) terlihat di tak hingga, mata yang rileks memandangnya, dan

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

Bayangan tepi objektifnya lewat okulernya disebut pupil keluar: cakram terang bergaris tengah $D/\abs G$ yang terletak $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ di belakang okulernya, tempat pupil mata harus diletakkan agar menerima seluruh cahayanya.

Bukti. $G$ telah diturunkan dalam Proposisi 3.18. Objektifnya, dilihat dari $L_2$ , adalah benda pada $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ ; Descartes memberi $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , dan perbesarannya $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ menskalakan garis tengah $D$ menjadi $D/\abs G$ . Setiap sinar yang masuk ke objektifnya keluar lewat pupil keluarnya, karena setiap titik objektifnya dibayangkan di sana. ∎

Teleskop astronomi: berkas sejajar dari sebuah bintang difokuskan objektifnya di bidang fokus bersamanya lalu dikirim kembali ke tak hingga oleh okulernya, dengan sudut G kali lebih besar. Seluruh cahaya yang dikumpulkan objektif bergaris tengah D melewati pupil keluarnya, yang bergaris tengah D/ G. — Teleskop astronomi: berkas sejajar dari sebuah bintang difokuskan objektifnya di bidang fokus bersamanya lalu dikirim kembali ke tak hingga oleh okulernya, dengan sudut $\abs G$ kali lebih besar. Seluruh cahaya yang dikumpulkan objektif bergaris tengah $D$ melewati pupil keluarnya, yang bergaris tengah $D/\abs G$ .

Proposisi 4.15 (Apa yang diperoleh sebuah teleskop)

Dibandingkan dengan mata telanjang (pupil $d_p$ ):

ukuran sudut: dikalikan $\abs G$ ;
cahaya yang terkumpul dari sumber titik: dikalikan $(D/d_p)^2$ , asalkan pupil keluarnya tidak lebih besar daripada pupil matanya, yaitu $\abs G \geq D/d_p$ ;
daya urai sudut: difraksi pada objektifnya membatasinya pada $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (kriteria Rayleigh), jauh di bawah $\epsilon$ milik mata; perbesaran yang membuat batas ini terlihat adalah $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , dan perbesaran yang lebih besar hanya memperbesar kekaburannya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 4.16 (Teleskop bias 150 milimeter seorang amatir)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , okuler $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; pupil keluarnya $3.1\,\mathrm{mm}$ ; penguatan cahayanya $(150/7)^2 \approx 460$ terhadap pupil yang teradaptasi gelap sebesar $7\,\mathrm{mm}$ ; daya urainya $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , sehingga kawah selebar $1.7\,\mathrm{km}$ di Bulan; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — okuler $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) tak memperlihatkan rincian lebih banyak, hanya cakram yang lebih besar dan lebih pudar. Soal akhir pekan merancang alat ini.

Catatan 4.17 (Teleskop pantul, teropong binokuler, teropong Galileo)

Cermin cekung berjarak fokus $f_1'$ menggantikan lensa objektif dalam teleskop pantul (tanpa dispersi warna, dan cermin dapat dibuat selebar beberapa meter serta ditopang dari belakang): segala hal di atas tetap berlaku dengan $f_1'$ sebagai jarak fokus cerminnya. Bayangannya terbalik — tak berbahaya bagi bintang; untuk pemakaian di bumi, teropong binokuler menyisipkan sepasang prisma pemantul sempurna untuk menegakkannya, dan teropong Galileo memakai okuler divergen ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), lebih pendek tetapi bermedan pandang sempit.

4.5 Kamera

Definisi 4.18 (Kamera; bilangan-f)

Kamera adalah lensa konvergen berjarak fokus $f'$ yang membentuk bayangan nyata pada sensor, pada $\overline{OA'} \approx f'$ untuk objek jauh; memfokuskannya berarti menggeser lensanya. Diafragma bergaris tengah $D$ membatasi berkasnya; bilangan-fnya adalah $N = f'/D$ (ditulis $f/N$ ). Sudut pandangnya adalah $2\arctan(\ell/2f')$ untuk sensor selebar $\ell$ .

Proposisi 4.19 (Pajanan dan kedalaman medan)

Iradiansi pada sensornya menskala sebagai $1/N^2$ , sehingga waktu pajanan untuk kecerahan bayangan tertentu menskala sebagai $N^2$ . Titik yang berjarak lain daripada jarak yang difokuskan membentuk cakram kabur; dengan menuntut cakram itu tetap di bawah garis tengah yang ditoleransi $c$ , lensa yang difokuskan pada jarak hiperfokal

H = \frac{f'^2}{N c}

membuat segala sesuatu dari $H/2$ sampai tak hingga tampak cukup tajam.

Bukti. Iradiansi $=$ daya/luas $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (bayangan objek tertentu berukuran tetap yang ditetapkan $f'$ , sedangkan daya yang terkumpul tumbuh sebagai $D^2$ ). Fokuskan pada jarak $p$ dengan bayangannya di $q \approx f'$ ; titik di tak hingga memfokus di $f'$ , yaitu $q - f'$ sebelum sensornya; kerucut sinarnya, yang beralas $D$ di lensanya, bergaris tengah $D(q - f')/q$ pada sensornya (segitiga sebangun). Dengan $1/q = 1/f' - 1/p$ secara paraksial, $q - f' \approx f'^2/p$ untuk $p \gg f'$ , sehingga kekaburannya $Df'/p = f'^2/(Np)$ ; ia sama dengan $c$ ketika $p = H$ . Geometri yang sama pada sisi dekatnya memberi batas $H/2$ . ∎

Kedalaman medan: lensanya difokuskan pada titik berjarak p (bayangannya di sensor); titik di tak hingga memfokus di F', sebelum sensornya, dan meninggalkan cakram kabur bergaris tengah c = Df'/p — lebih kecil untuk bukaan kecil (N besar), karena itu ada tukar-tambah antara ketajaman dan waktu pajanan. — Kedalaman medan: lensanya difokuskan pada titik berjarak $p$ (bayangannya di sensor); titik di tak hingga memfokus di $F'$ , sebelum sensornya, dan meninggalkan cakram kabur bergaris tengah $c = Df'/p$ — lebih kecil untuk bukaan kecil ( $N$ besar), karena itu ada tukar-tambah antara ketajaman dan waktu pajanan.

Contoh 4.20 (Bingkai penuh dan telepon)

Lensa $50\,\mathrm{mm}$ pada sensor selebar $36\,\mathrm{mm}$ : sudut pandangnya $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; pada $f/8$ dengan $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : difokuskan pada $10\,\mathrm{m}$ , segala sesuatu di luar $5\,\mathrm{m}$ menjadi tajam. Lensa telepon, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ pada $f/1.8$ dengan sensor $6\,\mathrm{mm}$ dan $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : sudut pandang yang sama (selebar $70{}^{\circ}$ ), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — hampir segala sesuatu terfokus sekaligus, itulah sebabnya telepon memalsukan kaburnya latar belakang dengan perangkat lunak.

Lensa uji dan bingkai uji milik optometris: lensa konvergen atau divergen dengan vergensi yang tepat di depan mata memindahkan titik jauhnya kembali ke tak hingga.

4.6 Latihan

Latihan 4.1 ★

Dengan retina $17\,\mathrm{mm}$ di belakang lensanya, hitunglah vergensi mata normal yang memandang tak hingga, lalu yang memandang $25\,\mathrm{cm}$ ; simpulkan amplitudo akomodasinya. Berapa jarak fokus keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

Tak hingga: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ . $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ . Amplitudonya $4.0\,\delta$ .

Latihan 4.2 ★

Mata miopi mempunyai titik jauh pada $40\,\mathrm{cm}$ . Lensa apa yang mengoreksinya (jarak fokus, vergensi)? Mata hipermetropi tak dapat berakomodasi pada apa pun yang lebih dekat daripada $1.0\,\mathrm{m}$ : lensa apa yang memungkinkannya membaca pada $25\,\mathrm{cm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

Miopi: tak hingga harus dibayangkan di titik jauhnya, $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ . Hipermetropi: benda pada $25\,\mathrm{cm}$ harus dibayangkan (secara maya) pada $1.0\,\mathrm{m}$ : $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ .

Latihan 4.3 ★

Kaca pembesar mempunyai $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ . Berikan perbesaran sudutnya, di mana perangkonya harus dipegang, dan ukuran sudut rincian $2\,\mathrm{mm}$ lewat kaca itu, dibandingkan dengan mata telanjang pada $25\,\mathrm{cm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; perangkonya di bidang fokus, $4.0\,\mathrm{cm}$ dari lensanya. Rincian $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , terhadap $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ pada $25\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 4.4 ★

Teleskop bias mempunyai $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ . Hitunglah $G$ dengan okuler $25\,\mathrm{mm}$ dan dengan okuler $9\,\mathrm{mm}$ , panjang tabungnya pada tiap kasus, dan ukuran semu Bulan ( $0.52^\circ$ ).

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

$G = 900/25 = 36$ dan $900/9 = 100$ ; panjang tabungnya $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ dan $909\,\mathrm{mm}$ ; Bulan: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ dan $52^\circ$ .

Latihan 4.5 ★★

Mikroskop: $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ . Hitunglah $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ , dan jarak benda–objektifnya. Sejauh apa tabungnya harus bergeser untuk membawa bendanya $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ lebih dalam ke dalam fokus?

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ . $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : bendanya $4.1\,\mathrm{mm}$ dari objektifnya. Bendanya harus tetap berada pada jarak itu dari objektifnya, sehingga seluruh tabungnya bergeser $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — itulah tombol fokus halusnya.

Latihan 4.6 ★★

Dua lampu depan berjarak $1.5\,\mathrm{m}$ . Dari jarak berapa mata telanjang ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) dapat membedakan keduanya? Sebuah teleskop dengan $D = 100\,\mathrm{mm}$ : hitunglah batas difraksinya ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), jarak yang masih memisahkan kedua lampu itu, dan perbesaran $G_r$ yang di atasnya ia tak memperlihatkan apa pun yang baru.

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

Mata telanjang: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ . Teleskop: $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; kedua lampu terpisah sampai $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (secara asas — udara dan kelengkungan bumi ikut campur lebih dahulu). $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ .

Latihan 4.7 ★★

Lensa $50\,\mathrm{mm}$ pada $f/2$ : berapa garis tengah bukaannya? Sebuah pemandangan terpajan dengan benar pada $f/2$ selama $1/500$ $\mathrm{s}$ ; berapa waktu pajanan pada $f/8$ ? Apa yang dibeli bukaan yang lebih kecil?

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ . Pajanan $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ kali lebih lama, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ . Ia membeli kedalaman medan (dan lebih sedikit aberasi) dengan harga kabur gerak atau sebuah tripod.

Latihan 4.8 ★★

Hitunglah jarak hiperfokal lensa $35\,\mathrm{mm}$ pada $f/11$ dengan $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , dan rentang jarak yang tajam ketika ia difokuskan pada $H$ . Pemotret jalanan menyetelnya lebih dulu: mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; tajam dari $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ sampai tak hingga. Disetel lebih dulu pada $H$ , kameranya tak perlu difokuskan: gambarnya dapat diambil pada saat kejadiannya berlangsung.

Latihan 4.9 ★★

Teropong binokuler “ $8\times30$ ” mempunyai $G = 8$ dan $D = 30\,\mathrm{mm}$ . Hitunglah pupil keluarnya; apakah seluruh cahayanya terpakai oleh pupil malam $7\,\mathrm{mm}$ ? Bagaimana untuk “ $7\times50$ ”? Pasangan mana yang lebih baik pada senja hari, dan mengapa “ $20\times30$ ” merupakan pilihan yang buruk?

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

$8\times30$ : pupil keluarnya $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , seluruh cahayanya masuk ke mata. $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , cocok dengan pupil malamnya, dan $(50/30)^2 = 2.8$ kali lebih banyak cahaya yang terkumpul: itulah pasangan untuk senja hari. $20\times30$ : pupil keluarnya $1.5\,\mathrm{mm}$ , bayangannya pudar, medannya sempit dan getar tangan diperbesar dua puluh kali.

Latihan 4.10 ★★★

Titik jauh seorang miopi berada $25\,\mathrm{cm}$ dari matanya. Hitunglah vergensi lensa kontak yang mengoreksinya, lalu vergensi lensa kacamata yang dipakai $15\,\mathrm{mm}$ di depan matanya. Koreksi mana yang lebih kuat, dan mengapa keduanya berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

Lensa kontak: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ . Kacamata: titik jauhnya $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ dari lensanya, sehingga $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — lebih kuat. Lensanya harus membentuk bayangan di titik jauh matanya, yang jaraknya dari lensa bergantung pada di mana lensanya duduk.

Latihan 4.11 ★★★

Teropong Galileo: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ . Carilah pisah lensanya agar sistemnya afokal, $G$ , dan arah bayangannya. Tentukan letak pupil keluarnya lalu jelaskan mengapa medan pandangnya sempit.

Solusi

Solusi Latihan 4.11.

Afokal: $F_1' = F_2$ , pisahnya $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (lebih pendek daripada $40\,\mathrm{cm}$ milik teropong Kepler dengan $G$ yang sama). $G = -30/(-10) = +3$ : tegak. Pupil keluarnya $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : maya, di dalam tabungnya, tempat matanya tak bisa berada; mata di belakang okulernya hanya menangkap berkas yang kebetulan sampai kepadanya — medan yang sempit, keluhan klasik tentang teropong opera.

Latihan 4.12 ★★★

Sebuah teleskop $200\,\mathrm{mm}$ dan pupil $7\,\mathrm{mm}$ . Dengan faktor berapa cahaya dari sebuah bintang bertambah? Astronom menilai kecerahan dengan magnitudo, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; mata mencapai magnitudo $6$ : magnitudo pembatas berapa yang diberikan teleskop itu? Berapa kali lebih jauh sebuah lampu tertentu dapat terlihat?

Solusi

Solusi Latihan 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : magnitudo pembatasnya $13.3$ . Fluksnya $\propto 1/r^2$ , sehingga lampunya terlihat $\sqrt{820} = 29$ kali lebih jauh.

Sisi dekat Bulan (LRO, NASA): sasaran teleskop pada soal akhir pekan, selebar 3476\, km pada jarak 384\,000\, km. — Sisi dekat Bulan (LRO, NASA): sasaran teleskop pada soal akhir pekan, selebar $3476\,\mathrm{km}$ pada jarak $384\,000\,\mathrm{km}$ .

4.7 Soal: Merancang teleskop untuk Bulan

Soal 4.1

Soal akhir pekan — teleskop bias 150 milimeter di halaman rumput: pilih okulernya, tempatkan matanya, hitung cahayanya, lalu cari tahu sekecil apa kawah yang dapat diperlihatkannya

Lensa objektifnya adalah lensa konvergen $L_1$ berjarak fokus $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ dan bergaris tengah $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; tersedia okuler $L_2$ berjarak fokus $25\,\mathrm{mm}$ dan $6\,\mathrm{mm}$ . Bulan berjarak $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ dan membentang $0.52^\circ$ ; pupil malam matanya $7\,\mathrm{mm}$ , daya urainya $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Bagian I — Susunan afokal.

Di mana okulernya harus ditempatkan agar sebuah bintang terlihat tanpa akomodasi? Berikan jarak objektif–okuler untuk tiap okulernya.
Periksalah dengan hubungan Descartes, yang diterapkan pada tiap lensa berturut-turut, bahwa titik di tak hingga pada sumbunya dibayangkan di tak hingga.
Tunjukkan bahwa berkas dari bintang bersudut $\alpha$ terhadap sumbunya keluar sebagai berkas sejajar bersudut $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
Hitunglah $G$ untuk tiap okulernya dan garis tengah semu Bulan lewat masing-masingnya.
Bayangannya terbalik. Mengapa hal itu dapat diterima di sini, dan apa yang akan ditambahkan sebuah teropong pengamat di bumi?
Di mana bayangan antara Bulan yang nyata itu berada, dan berapa garis tengahnya? (Ia dapat difoto di sana.)

Bagian II — Ke mana matanya diletakkan.

Tunjukkan bahwa okulernya membentuk bayangan nyata tepi objektifnya pada $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ di belakangnya, bergaris tengah $D/\abs G$ (pupil keluarnya).
Hitunglah kedudukan dan garis tengah pupil keluarnya untuk tiap okulernya.
Mengapa pupil matanya harus diletakkan pada pupil keluarnya? Apa yang terjadi pada medan pandangnya jika ia diletakkan lebih ke belakang?
Agar cahaya sebuah bintang terpakai sepenuhnya, pupil keluarnya tak boleh melampaui pupil matanya: simpulkan perbesaran berguna minimum teleskop ini pada malam hari.

Bagian III — Daya urai.

Hitunglah batas difraksinya $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ dalam radian dan dalam detik busur.
Kawah sekecil apa yang bersesuaian dengan sudut ini di Bulan? Dan bagi mata telanjang?
Definisikan lalu hitunglah perbesaran pengurai $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ . Okuler mana yang paling dekat dengannya?
Dengan okuler $6\,\mathrm{mm}$ bayangannya tampak lebih kabur dan lebih pudar daripada dengan okuler $25\,\mathrm{mm}$ . Jelaskan kedua pengaruh itu.
Pergolakan atmosfer mengaburkan bayangan bintang sampai sekitar $1''$ . Untuk garis tengah objektif berapa batas Rayleigh berhenti berarti dari permukaan bumi, dan apa yang masih dibeli $D$ yang lebih besar?

Bagian IV — Cahaya.

Dengan faktor berapa objektifnya mengumpulkan lebih banyak cahaya daripada pupil malam?
Ubahlah ini menjadi magnitudo ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ dari nisbahnya); jika mata mencapai magnitudo $6$ , magnitudo berapa yang dicapai teleskopnya?
Bulan purnama menyampaikan iradiansi sekitar $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ di permukaan bumi. Berapa daya yang masuk ke objektifnya, dan bagaimana daya itu tersebar di retina dibandingkan dengan pengamatan mata telanjang (pakai alasan daya tiap satuan sudut ruang yang sama: bandingkan kecerahan permukaan lewat kedua okulernya)?
Mengapa teleskop tidak membuat permukaan Bulan lebih cerah tiap satuan luas daripada bagi mata telanjang, padahal ia membuat bintang lebih cerah?

Bagian V — Medan pandang. Okulernya membawa, di bidang fokusnya, diafragma medan berbentuk lingkaran bergaris tengah $20\,\mathrm{mm}$ (okuler $25\,\mathrm{mm}$ ) atau $5\,\mathrm{mm}$ (okuler $6\,\mathrm{mm}$ ).

Tunjukkan bahwa medan pandang sejatinya adalah $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ untuk diafragma bergaris tengah $\phi$ .
Hitunglah untuk kedua okulernya lalu katakan apakah seluruh Bulan muat dalam pandangannya.
Hitunglah medan semunya (sudut yang membuat mata melihat diafragmanya lewat okulernya) untuk keduanya.
Bumi berputar $15''$ tiap sekon waktu: berapa lama Bulan menyeberangi medan tiap okulernya tanpa penjejakan?
Ringkaslah rancangannya: okuler mana untuk seluruh Bulan, mana untuk kawah, dan berapa ukuran kawah terkecil yang dapat disingkapkan alat itu — satu angkanya.
Objektif yang sama diganti cermin cekung $150\,\mathrm{mm}$ berjarak fokus yang sama. Hasil mana di atas yang berubah?

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : pisahnya $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (okuler $25\,\mathrm{mm}$ ) atau $1206\,\mathrm{mm}$ (okuler $6\,\mathrm{mm}$ ).

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (bayangan di $F_1'$ ). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , sehingga $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : bayangannya di tak hingga.

3. Berkasnya memfokus di bidang fokus bersamanya pada ketinggian $h = f_1'\alpha$ (sinar melalui $O_1$ ); dari sana sinar yang melalui $O_2$ menetapkan arah keluarnya, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .

4. $G = -48$ dan $-200$ ; Bulan: $25^\circ$ dan $104^\circ$ .

5. Atas dan bawah tak bermakna di langit; teropong pengamat menambahkan sepasang prisma penegak (atau relai lensa).

6. Di bidang fokus $L_1$ , bergaris tengah $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ .

7. Benda $O_1$ pada $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; perbesarannya $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , garis tengahnya $D/\abs G$ .

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , garis tengahnya $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ . $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ di belakang, garis tengahnya $0.75\,\mathrm{mm}$ .

9. Setiap sinar yang masuk ke objektifnya melewati pupil keluarnya: mata yang diletakkan di sana menerima seluruh medannya. Lebih ke belakang ia hanya mencegat berkas pusatnya: medannya menyusut menjadi lubang kunci.

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; mata telanjang $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ .

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; okuler $25\,\mathrm{mm}$ ( $48$ ) yang paling dekat, sedikit di bawahnya; okuler $6\,\mathrm{mm}$ ( $200$ ) tiga kali di atasnya.

14. Pada $G = 200$ kekaburan difraksinya membentang $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : tampak berbulu. Cahaya Bulan tersebar pada luas $(200/48)^2 = 17$ kali lebih besar di retinanya: lebih pudar.

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ . Di atas itu, keburaman atmosfer yang membatasi daya urai dari permukaan bumi (kecuali dengan optika adaptif); $D$ yang lebih besar tetap mengumpulkan lebih banyak cahaya, sehingga mencapai objek yang lebih redup.

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitudo $12.7$ .

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , $460$ kali milik mata telanjang. Bayangan retinanya $\abs G^2$ kali lebih luas: nisbah kecerahan permukaannya $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ), $0.012$ ( $G = 200$ ) — sama dengan $(D/\abs G)^2/d_p^2$ , yaitu kuadrat nisbah pupil keluar terhadap pupil mata.

19. Untuk benda yang terurai, cahaya yang terkumpul tumbuh sebagai $D^2$ tetapi luas bayangannya sebagai $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : kecerahan permukaannya paling banter menyamai nilai mata telanjang (pupil keluar $=$ pupil mata). Bintang tak terurai: seluruh cahayanya mendarat di satu bintik difraksi, sehingga kecerahannya tumbuh sebagai $(D/d_p)^2$ .

20. Titik bersudut $\beta$ dibayangkan pada ketinggian $f_1'\beta$ di bidang fokusnya; diafragmanya meloloskan $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : medan penuhnya $\phi/f_1'$ (sudut kecil).

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : seluruh Bulan muat. $5/1200 = 0.24^\circ$ : tidak muat.

22. Medan semunya $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ .

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , hampir empat menit; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ .

24. Okuler $25\,\mathrm{mm}$ ( $G = 48$ , dekat $G_r$ , terang, seluruh Bulan) untuk cakramnya; okuler $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) untuk menengok kawah lebih dekat, lebih pudar dan lebih kabur. Angka alat itu: kawah sampai sekecil $1.7\,\mathrm{km}$ .

25. $f_1'$ dan $D$ yang sama: $G$ , medan, pupil keluar, daya urai dan cahaya yang sama pula (dikurangi penghalang pusat, bila ada). Yang diperoleh: tak ada aberasi warna. Perubahan praktisnya: fokusnya terletak di depan cerminnya, sehingga cermin sekunder yang kecil harus melipat berkasnya ke luar menuju okulernya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium