Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

17Partikel Bermuatan dalam Medan E dan B

Di dalam osiloskop yang menggambar jejak Bab 7, seberkas elektron dikemudikan melintasi layar oleh tegangan di antara dua keping; di dalam magnet sebuah spektrometer massa, ion dua isotop terpisah beberapa milimeter karena yang satu delapan persen lebih berat daripada yang lain; di dalam siklotron sebuah rumah sakit, proton berpilin keluar melewati dua ratus putaran sebelum pergi dengan sepertiga laju cahaya untuk membakar sebuah tumor. Ketiganya adalah dinamika yang sama: sebuah muatan dalam medan seragam, listrik atau magnet, dan hukum Newton. Bab ini menuntaskannya — parabola dalam medan listrik, lingkaran dan heliks dalam medan magnet — lalu mengubahnya menjadi alat yang memilah, mempercepat dan mengukur partikel bermuatan.

Siklotron 60 inci di Berkeley, 1939 (Departemen Energi Amerika Serikat): di antara kutub-kutub magnetnya, proton berpilin keluar sambil ditendang dua kali tiap putaran, persis seperti dalam soal akhir pekan.

17.1 Gaya Lorentz

Definisi 17.1 (Gaya Lorentz)

Sebuah partikel bermuatan $q$ yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ dalam medan listrik $\vect E$ dan medan magnet $\vect B$ menerima gaya

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

Bagian listriknya searah $\vect E$ (atau berlawanan, untuk $q < 0$ ) dan tak bergantung pada geraknya; bagian magnetnya tegak lurus baik pada $\vect v$ maupun pada $\vect B$ , sebanding dengan kelajuannya, dan lenyap bagi partikel yang diam. Satuan: $\vect E$ dalam $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (atau $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ), $\vect B$ dalam tesla ( $\mathrm{T}$ ): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ .

Proposisi 17.2 (Usaha gaya Lorentz)

Gaya magnet tidak melakukan usaha: dayanya $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ bernilai nol, sehingga medan magnet saja mengubah arah kecepatannya tetapi tak pernah kelajuan maupun energi kinetiknya. Gaya listriknya berdaya $q\vect E\cdot\vect v$ , dan di antara dua titik usahanya $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ (Bab 27): partikel bermuatan $q$ yang menyeberangi tegangan $U$ memperoleh energi kinetik $\abs{qU}$ .

Bukti. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ . Medan elektrostatiknya diturunkan dari potensialnya, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , sehingga $q\vect E$ bersifat konservatif dengan $E_p = qV$ . ∎

Definisi 17.3 (Elektronvolt)

Yang disebut elektronvolt adalah energi kinetik yang diperoleh sebuah muatan elementer ketika menyeberangi satu volt: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . Kimia berlangsung pada beberapa eV, tabung sinar-X pada puluhan keV, fisika inti pada MeV, fisika partikel pada GeV dan TeV.

Catatan 17.4 (Mengapa gravitasi diabaikan)

Bagi sebuah elektron dalam medan $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — nilai laboratorium yang sederhana — gaya listriknya $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , berbanding berat $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : $10^{13}$ kali lebih kecil. Berat dibuang dari setiap perhitungan bab ini tanpa perlu berpikir dua kali. (Batas relativistiknya soal lain: rumus-rumus di bawah berlaku untuk $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ , yakni di bawah kira-kira $50\,\mathrm{keV}$ bagi elektron dan $100\,\mathrm{MeV}$ bagi proton; lihat volume Tahun ke-3.)

17.2 Medan listrik seragam

Proposisi 17.5 (Percepatan dan pembelokan)

Dalam medan seragam $\vect E$ percepatan $\vect a = q\vect E/m$ bersifat tetap: geraknya adalah gerak sebuah proyektil, dengan $q\vect E/m$ menggantikan $\vect g$ .

Dilepaskan dari keadaan diam dan dipercepat melalui tegangan $U$ , partikelnya mencapai $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
Masuk dengan kelajuan $v_0$ menyusuri $x$ ke daerah sepanjang $L$ tempat $\vect E = E\vect e_y$ , ia menuruti parabola $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ dan keluar terbelokkan sebesar sudut $\alpha$ dengan $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , seolah-olah datang menyusuri garis lurus dari tengah kepingnya.

Bukti. Energi: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ . Pembelokan: $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; di pintu keluarnya, $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ dihitung di $L$ ; garis singgung di pintu keluar, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ , memotong sumbunya di $x = L/2$ . ∎

Pembelokan elektrostatik: di antara kepingnya elektron (di sini q < 0, terbelokkan menuju keping positif) menuruti sebuah parabola; di luar keping ia terbang lurus, seolah datang dari titik tengah kepingnya — geometri osiloskop tabung sinar katode. — Pembelokan elektrostatik: di antara kepingnya elektron (di sini $q < 0$ , terbelokkan menuju keping positif) menuruti sebuah parabola; di luar keping ia terbang lurus, seolah datang dari titik tengah kepingnya — geometri osiloskop tabung sinar katode.

Contoh 17.6 (Tabung osiloskop)

Elektron yang dipercepat melalui $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sepersepuluh $c$ — masih tak relativistik) melintasi keping sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$ yang terpisah $1.0\,\mathrm{cm}$ dan mengemban $100\,\mathrm{V}$ : $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , dan pada layar $30\,\mathrm{cm}$ di belakang pusat kepingnya bintiknya bergeser $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ tiap volt, itulah kepekaan tabungnya, yang ditetapkan semata-mata oleh geometri dan tegangan pemercepatnya.

17.3 Medan magnet seragam

Teorema 17.7 (Gerak dalam medan magnet seragam)

Sebuah partikel bermuatan $q$ , bermassa $m$ , berkecepatan $\vect v_0$ tegak lurus pada $\vect B$ yang seragam, melukiskan lingkaran dengan kelajuan tetap $v_0$ , berjari-jari dan berfrekuensi sudut

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

dengan frekuensi siklotron $\omega_c$ yang tak bergantung pada kelajuannya; arah putarannya bergantung pada tanda $q$ . Bila $\vect v_0$ juga mempunyai komponen $v_\parallel$ menyusuri $\vect B$ , komponen itu tak berubah dan lintasannya berupa heliks berjari-jari $mv_\perp/\abs qB$ dan berlangkah $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ yang membelit garis-garis medannya.

Bukti. Gaya $q\vect v\wedge\vect B$ tegak lurus pada $\vect v$ dan pada $\vect B$ ; kelajuannya tetap (tak ada usaha) dan komponen menyusuri $\vect B$ tak merasakan gaya. Pada bidang yang tegak lurus $\vect B$ gaya itu bernorma tetap $\abs qv_\perp B$ , selalu tegak lurus pada kecepatannya: gerak melingkar beraturan (Teorema 11.13) dengan $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ . Maka $\omega_c = v_\perp/R$ ; periode $2\pi m/\abs qB$ dikali $v_\parallel$ adalah langkahnya. ∎

Kiri: sebuah muatan yang kecepatannya tegak lurus pada B berputar dengan frekuensi siklotron qB/m, gaya magnetnya memasok percepatan sentripetalnya. Kanan: dengan komponen kecepatan menyusuri B, sebuah heliks membelit garis medannya — gerak elektron yang terperangkap dalam medan Bumi. — Kiri: sebuah muatan yang kecepatannya tegak lurus pada $\vect B$ berputar dengan frekuensi siklotron $\abs qB/m$ , gaya magnetnya memasok percepatan sentripetalnya. Kanan: dengan komponen kecepatan menyusuri $\vect B$ , sebuah heliks membelit garis medannya — gerak elektron yang terperangkap dalam medan Bumi.

Contoh 17.8 (Orde besar)

Sebuah elektron $1\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam $1\,\mathrm{mT}$ : $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , satu putaran dalam $36\,\mathrm{ns}$ — periode yang sama pada energi berapa pun, dan itulah yang memungkinkan siklotron. Sebuah proton angin matahari ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam medan Bumi $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ : $R = 92\,\mathrm{m}$ ; ia tak dapat menyeberangi garis medannya, hanya berpilin menyusurinya menuju kutub — aurora.

17.4 Instrumen

Proposisi 17.9 (Selektor kecepatan dan spektrometer massa)

Dalam medan seragam bersilang $\vect E \perp \vect B$ , sebuah partikel yang bergerak tegak lurus pada keduanya lewat tanpa dibelokkan jika dan hanya jika $v = E/B$ , berapa pun muatan dan massanya (selektor kecepatan). Dalam medan magnet saja, partikel yang kelajuannya diketahui melukiskan setengah lingkaran bergaris tengah $2mv/\abs qB$ : mengukurnya memberikan $m/q$ (spektrometer massa). Ion yang dipercepat melalui tegangan $U$ lalu dibelokkan dalam $B$ mendarat pada

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

dua isotop bermassa $m$ dan $m + \Delta m$ terpisah sejauh $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ .

Bukti. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ menuntut $vB = E$ dengan arah yang tepat. $R = mv/qB$ dengan $v = \sqrt{2qU/m}$ ; diferensialkan $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{tetapan}$ . ∎

Contoh 17.10 (Isotop karbon)

Ion $^{12}$ C dan $^{13}$ C bermuatan tunggal yang dipercepat melalui $20\,\mathrm{kV}$ dalam $0.50\,\mathrm{T}$ : $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ dan $14.7\,\mathrm{cm}$ , terpisah $5.8\,\mathrm{mm}$ — dua bintik terpisah pada detektornya, dan nisbah intensitasnya adalah kelimpahan isotopnya, yaitu bahan mentah penanggalan radiokarbon dan setiap analisis isotop.

Proposisi 17.11 (Siklotron)

Dua setengah tabung berongga (“dee”) dalam medan seragam $\vect B$ , dengan tegangan bolak-balik $U$ di antaranya pada frekuensi siklotron: partikelnya berputar di dalam tiap dee (tak ada medan di sana), dipercepat sebesar $\abs qU$ pada masing-masing dari dua penyeberangan celah tiap putaran, dan berpilin keluar dengan $R \propto v$ ; pada jari-jari ekstraksi $R_{\max}$ energi kinetiknya adalah

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

tak bergantung pada tegangannya, yang hanya menetapkan jumlah putarannya.

Bukti. Karena $\omega_c$ tak bergantung pada kelajuannya, tegangan yang frekuensinya tetap terus selaras dengan partikelnya putaran demi putaran; $v = \abs qBR/m$ pada jari-jari $R$ . ∎

Siklotron: dua dee dalam medan magnet seragam; partikelnya berputar di dalam dee dan ditendang oleh tegangan celahnya dua kali tiap putaran, selalu sefase karena periodenya tak bergantung pada kelajuannya. Energi di tepinya hanya bergantung pada B dan jari-jarinya. — Siklotron: dua dee dalam medan magnet seragam; partikelnya berputar di dalam dee dan ditendang oleh tegangan celahnya dua kali tiap putaran, selalu sefase karena periodenya tak bergantung pada kelajuannya. Energi di tepinya hanya bergantung pada $B$ dan jari-jarinya.

Contoh 17.12 (Sebuah siklotron rumah sakit)

Proton, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , pada $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ . Dengan $50\,\mathrm{kV}$ pada dee-nya, $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran: $270$ putaran dalam $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Di atas beberapa puluh MeV pertambahan massa relativistiknya (volume Tahun ke-3) membuat protonnya keluar dari langkah; mesin terapi pada $230\,\mathrm{MeV}$ memodulasi frekuensi atau medannya untuk mengimbanginya — itulah pokok soal akhir pekannya.

Proposisi 17.13 (Efek Hall)

Sebuah pita setebal $d$ yang mengalirkan arus $I$ berupa pembawa bermuatan $q$ dan berkonsentrasi $n$ , dalam medan $B$ yang tegak lurus pada pitanya, membangkitkan pada lebarnya tegangan Hall

U_H = \frac{IB}{nqd} :

sebanding dengan $B$ (sebuah magnetometer) dan berbanding terbalik dengan $n$ (sebuah penduga konsentrasi dan tanda pembawanya).

Bukti. Gaya magnet $qv_dB$ pada pembawanya (laju hanyut $v_d$ ) mendorongnya ke satu tepi sampai medan listrik melintang $E_H$ mengimbanginya: $qE_H = qv_dB$ , dan $U_H = E_Hw$ sepanjang lebar $w$ ; dengan $I = nqv_dwd$ , $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ . ∎

17.5 Latihan

Latihan 17.1 ★

Ubahlah $1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ , $1\,\mathrm{MeV}$ menjadi joule. Kelajuan sebuah elektron dan sebuah proton yang dipercepat dari keadaan diam melalui $1.0\,\mathrm{kV}$ .

Solusi

Solusi Latihan 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . $v = \sqrt{2eU/m}$ : elektron $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; proton $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ kali lebih lambat).

Latihan 17.2 ★

Sebuah elektron $1.0\,\mathrm{keV}$ masuk tegak lurus ke dalam medan $1.0\,\mathrm{mT}$ . Jari-jari, frekuensi sudut siklotron, periode.

Solusi

Solusi Latihan 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ .

Latihan 17.3 ★

Sebuah proton pada $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam medan Bumi ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ): jari-jari lingkarannya. Apa yang terjadi bila kecepatannya membentuk $30^\circ$ dengan medannya?

Solusi

Solusi Latihan 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ . Pada $30^\circ$ : sebuah heliks berjari-jari $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ dan berlangkah $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ , menghanyut menyusuri garis medannya.

Latihan 17.4 ★

Sebuah selektor kecepatan mempunyai $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dan $B = 20\,\mathrm{mT}$ . Kelajuan mana yang lolos? Apa yang terjadi pada ion yang lebih cepat, dan pada kelajuan yang sama dengan muatan berlawanan?

Solusi

Solusi Latihan 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ion yang lebih cepat: gaya magnetnya menang, mereka melengkung ke sisi magnetnya; muatan berlawanan pada kelajuan yang sama: kedua gayanya membalik dan tetap berimbang — selektornya buta terhadap tanda dan terhadap massanya.

Latihan 17.5 ★★

Osiloskop: elektron pada $2.0\,\mathrm{kV}$ , keping sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$ , terpisah $1.0\,\mathrm{cm}$ , $100\,\mathrm{V}$ di antaranya, layar $30\,\mathrm{cm}$ di belakang pusat kepingnya. Pembelokan pada layarnya dan kepekaannya dalam mm/V. Mengapa tegangan pemercepat yang lebih tinggi mengurangi kepekaannya?

Solusi

Solusi Latihan 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; pembelokannya $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; kepekaannya $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ . Elektron yang lebih cepat lebih singkat berada di antara kepingnya: $\tan\alpha \propto 1/U_0$ .

Latihan 17.6 ★★

Ion $^{12}$ C dan $^{13}$ C bermuatan tunggal, dipercepat melalui $20\,\mathrm{kV}$ , masuk ke dalam medan $0.50\,\mathrm{T}$ ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ). Jari-jari dan pemisahan kedua bintiknya setelah setengah putaran.

Solusi

Solusi Latihan 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; pemisahan $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ di antara kedua titik jatuhnya (jari-jarinya berselisih $5.8\,\mathrm{mm}$ , garis tengahnya dua kali itu).

Latihan 17.7 ★★

Sebuah siklotron proton mempunyai $B = 1.5\,\mathrm{T}$ dan $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ . Frekuensi tegangan dee-nya, energi kinetik maksimalnya, jumlah putaran untuk $50\,\mathrm{kV}$ pada dee-nya, waktu yang dihabiskan di dalamnya. Sebesar pecahan berapa massa protonnya bertambah di pintu keluar ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran: $270$ putaran; waktunya $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ .

Latihan 17.8 ★★

Sebuah elektron pada $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ masuk ke dalam medan $2.0\,\mathrm{mT}$ pada $30^\circ$ terhadap garis medannya. Jari-jari dan langkah heliksnya; jumlah putaran tiap meter menyusuri medannya.

Solusi

Solusi Latihan 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; periode $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , langkah $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : kira-kira $64$ putaran tiap meter.

Latihan 17.9 ★★

Sebuah bilah tembaga setebal $1.0\,\mathrm{mm}$ mengalirkan $5.0\,\mathrm{A}$ dalam $1.0\,\mathrm{T}$ ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). Tegangan Hallnya. Mengapa penginderaan Hall dibuat dari semikonduktor ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : di bawah satu mikrovolt. Dengan $n$ sepuluh juta kali lebih kecil, semikonduktor memberikan milivolt — penginderaan yang dapat dipakai.

Latihan 17.10 ★★★

Buktikan dari hukum Newton bahwa sebuah muatan dalam medan magnet apa pun (seragam atau tidak), tanpa medan listrik, mempertahankan kelajuan yang tetap. Sebuah elektron $10\,\mathrm{keV}$ masuk ke daerah bermedan kuat dan tak seragam: apa yang dapat dan tak dapat berubah?

Solusi

Solusi Latihan 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; kalikan secara skalar dengan $\vect v$ : $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ berapa pun $\vect B(\vect r, t)$ , asalkan tak ada $\vect E$ . Arah kecepatannya, jari-jari kelengkungannya, dan langkahnya semuanya dapat berubah; kelajuannya dan energi kinetiknya ( $10\,\mathrm{keV}$ ) tidak.

Latihan 17.11 ★★★

Sebuah muatan $q$ mulai dari keadaan diam di titik asal dalam $\vect E = E\vect e_y$ dan $\vect B = B\vect e_z$ . Tuliskan persamaan geraknya, tunjukkan bahwa partikelnya menghanyut secara rata-rata dengan kecepatan $E/B$ menyusuri $\vect e_x$ (petunjuk: carilah penyelesaian berbentuk $\vect v = \vect u + \vect w$ dengan $\vect u$ tetap), dan lukiskan lintasannya (sebuah sikloida). Angkanya untuk sebuah elektron dengan $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ .

Solusi

Solusi Latihan 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ . Dengan $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ : $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — rotasi siklotron murni dari $\vect w$ pada $\omega_c$ . Mulai dari keadaan diam, $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ berputar dengan norma tetap $E/B$ , sehingga kecepatannya adalah hanyutan $E/B$ ditambah vektor berputar bernorma sama — sebuah sikloida, dengan titik runcing di tempat $\vect v = \vect 0$ . Elektron: hanyutan $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , tinggi lengkungnya $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Latihan 17.12 ★★★

Pada osiloskop Latihan 17.5, gantilah kepingnya dengan kumparan pembelok magnetik yang menghasilkan $1.0\,\mathrm{mT}$ sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$ yang sama. Sudut pembelokannya (sudut kecil: busur berjari-jari $R$ sepanjang $L$ ), dan pembelokan pada layarnya. Mengapa tabung televisi, dengan sudutnya yang besar, memakai pembelokan magnetik dan bukan listrik?

Solusi

Solusi Latihan 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (kira-kira $15^\circ$ ): pembelokannya $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ untuk satu militesla yang sederhana. Sudut yang besar dengan keping akan menuntut kilovolt dan keping yang panjang; sebuah kumparan membelokkan berkasnya sampai puluhan derajat tanpa tegangan sama sekali.

17.6 Soal: Proton melawan sebuah tumor

Soal 17.1

Soal akhir pekan — siklotron di balik dinding sebuah rumah sakit: bagaimana proton dipusingkan sampai sepertiga laju cahaya, mengapa mesin sederhananya berhenti bekerja sebelum mencapai energi yang dituntut seorang terapis, dan berapa banyak proton yang diperlukan untuk mengobati sebuah tumor

Proton: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Siklotron: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , jari-jari ekstraksi $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , amplitudo tegangan dee $U = 50\,\mathrm{kV}$ .

Bagian I — Satu putaran.

Tuliskan gaya Lorentz pada sebuah proton yang bergerak dengan $\vect v$ tegak lurus pada $\vect B$ , dan tunjukkan bahwa kelajuannya tak dapat berubah di dalam sebuah dee.
Turunkan jari-jari lingkarannya dan periodenya; tunjukkan bahwa periodenya tak bergantung pada kelajuannya.
Hitunglah frekuensi siklotron $f_c$ bagi proton-proton ini.
Energi yang diperoleh pada tiap penyeberangan celah; tiap putaran.
Mengapa tegangan dee-nya harus berbolak-balik tepat pada $f_c$ ? Apa yang terjadi bila ia meleset sedikit?
Protonnya disuntikkan di pusat dengan kelajuan yang dapat diabaikan: jari-jari setelah putaran pertama? Setelah $n$ putaran?

Bagian II — Menuju tepi.

Energi kinetik pada ekstraksinya (dalam J dan MeV), dan kelajuannya, sebagai pecahan $c$ .
Jumlah putaran yang diperlukan dan waktu yang dihabiskan di dalam mesinnya.
Panjang total lintasan pilinnya (jumlah kelilingnya — hampirilah jumlahnya dengan sebuah integral).
Apakah hasil pertanyaan 7 bergantung pada $U$ ? Pada apa $U$ bekerja?
Hampa di dalamnya harus baik: taksirlah jarak yang ditempuh sebuah proton di antara dua tumbukan dengan molekul gas sisa bila lintasan bebas rata-ratanya harus melampaui panjang pilinnya; lintasan bebas rata-rata berskala sebagai $1/p$ dan kira-kira $70\,\mathrm{nm}$ pada tekanan atmosfer. Tekanan berapa yang diperlukan?
Hitunglah $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ pada ekstraksinya dan perubahan nisbi periodenya yang menyusul. Sepanjang jumlah putaran yang ditemukan di atas, sebesar pecahan periode berapa protonnya tergelincir terhadap tegangannya? Berilah komentar.

Bagian III — 230 MeV. Terapi proton menuntut kira-kira $230\,\mathrm{MeV}$ untuk mencapai tumor sedalam $30\,\mathrm{cm}$ .

Dengan rumus tak relativistiknya, hasil kali $BR$ berapa yang akan memberikan $230\,\mathrm{MeV}$ ? Dengan $B = 2.0\,\mathrm{T}$ , berapa jari-jarinya?
Pada energi itu $\gamma - 1 = 0.245$ : apa yang terjadi pada periode siklotronnya ketika protonnya memperoleh energi, dan mengapa siklotron berfrekuensi tetap gagal?
Ada dua penawarnya: mengubah-ubah frekuensi tegangannya selama pemercepatan (sinkrosiklotron), atau membuat $B$ tumbuh terhadap jari-jari sehingga $B/\gamma$ tinggal tetap (siklotron isokron). Jelaskan masing-masing dalam satu kalimat dan sebutkan satu kelemahan yang pertama.
Momentum relativistiknya adalah $p = \gamma mv$ dan jari-jarinya $R = p/qB$ masih berlaku: dengan $\gamma = 1.245$ dan $v = 0.60c$ , hitunglah $R$ untuk $B = 2.0\,\mathrm{T}$ dan bandingkan dengan pertanyaan 13.
Berkas yang diekstraksi lewat di antara dua keping sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ dengan $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ agar dikemudikan sebesar sudut kecil: taksirlah sudut pembelokannya (secara tak relativistik, dengan $p$ dari pertanyaan sebelumnya sebagai pengganti $mv$ ). Apakah pengemudian listrik praktis di sini?
Pengemudian yang sama dengan magnet $1.0\,\mathrm{T}$ sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ : sudutnya? Simpulkan mengapa saluran berkas memakai magnet.

Bagian IV — Dosisnya.

Sebuah proton $230\,\mathrm{MeV}$ menyimpan sebagian besar energinya di dekat ujung jangkauannya (puncak Bragg). Bila semuanya diserap dalam sebuah tumor bermassa $0.50\,\mathrm{kg}$ , berapa banyak proton yang menyampaikan dosis $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )?
Arus berkasnya $1.0\,\mathrm{nA}$ : berapa proton tiap sekon, dan lamanya satu sesi.
Daya yang dibawa berkasnya; bandingkan dengan sebuah bohlam.
Protonnya diperlambat sampai berhenti di dalam tubuh pasiennya: berapa kira-kira energi yang disimpan tiap proton pada sentimeter terakhirnya, bila seperempat energinya hilang di sana? Dalam elektronvolt tiap mikrometer?
Tiap ionisasi dalam jaringan menuntut kira-kira $30\,\mathrm{eV}$ : berapa banyak ionisasi yang ditimbulkan satu proton sepanjang seluruh lintasannya?
Mengapa berkas proton lebih disukai daripada sinar-X bagi tumor yang dalam, dalam satu kalimat tentang ke mana energinya pergi?
Ringkaslah rantainya dari gaya Lorentz sampai dosisnya: persamaan mana yang menetapkan energinya, jari-jarinya, jumlah putarannya, dan waktu pengobatannya.

Solusi

Solusi Soal 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : tak ada daya, kelajuannya tetap.

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , bebas dari $v$ .

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ .

4. $eU = 50\,\mathrm{keV}$ tiap penyeberangan, $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran.

5. Celahnya harus berpolaritas mempercepat tiap kali protonnya tiba, berselang setengah periode; bila frekuensinya meleset, fasenya tergelincir dan tendangannya lama-lama justru memperlambat.

6. Setelah satu putaran $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; setelah $n$ putaran $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ dan $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ .

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ .

8. $270$ putaran; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ .

10. Tidak: $E_k$ hanya bergantung pada $B$ dan $R_{\max}$ ; $U$ menetapkan jumlah putarannya dan waktunya.

11. Lintasannya $560\,\mathrm{m}$ : dituntut $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ , yakni $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — hampa yang tinggi.

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; periodenya tumbuh sebesar $2.9\%$ . Sepanjang $270$ putaran gelincirnya menumpuk sampai beberapa periode — putaran terakhirnya akan keluar fase; dalam praktiknya $B$ dan fase suntikannya disetel, dan $27\,\mathrm{MeV}$ sudah dekat batas mesin sederhananya.

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; $R = 1.1\,\mathrm{m}$ pada $2\,\mathrm{T}$ .

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ tumbuh sebesar $24\%$ dari pusat ke tepi: frekuensi yang tetap kehilangan langkahnya sama sekali.

15. Sinkrosiklotron: turunkan frekuensinya seiring bertambahnya energi gumpalannya — hanya satu gumpalan sekali jalan, arus rata-ratanya kecil. Isokron: bentuklah $B(R) \propto \gamma$ sehingga periodenya tinggal tetap — berkas yang sinambung, pilihan modern.

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , sedikit lebih besar daripada $1.1\,\mathrm{m}$ yang tak relativistik.

17. Impuls melintangnya $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; sudutnya $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : tak ada harapan untuk mengemudi.

18. Secara magnetik: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , sudutnya $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : seribu kali lebih besar — maka magnetlah pilihannya.

19. Energi tiap proton $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; dosisnya $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : $2.7\times10^{10}$ proton.

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{proton}/\mathrm{s}$ : kira-kira $4.4\,\mathrm{s}$ .

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : sebuah lampu malam, disampaikan tepat di tempat yang dikehendaki.

22. $58\,\mathrm{MeV}$ dalam $1\,\mathrm{cm}$ : kira-kira $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — ionisasi yang padat menyusuri lintasan terakhirnya.

23. $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionisasi tiap proton — kerusakan molekuler yang membunuh selnya.

24. Sinar-X menyimpan energinya di sepanjang lintasannya, terbanyak di dekat pintu masuknya; proton menyimpan sebagian besarnya di ujung jangkauannya, menyisihkan jaringan di depannya dan tak meninggalkan apa pun di belakang.

25. $R = mv/eB$ dan $T = 2\pi m/eB$ (lingkarannya), $E_k = (eBR)^2/2m$ (energinya), $E_k/2eU$ (putarannya), dosis $=$ (proton $\times$ energi)/massa dan arus $= e \times$ laju (waktunya).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium