Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

18Kerangka Tak Inersial; Dinamika di Bumi

Berdiri di dalam bus yang membelok ke kiri, Anda condong ke kanan, terdorong oleh gaya yang tak dikerahkan siapa pun. Seember air yang diputar di atas meja putar mencekungkan permukaannya menjadi sebuah mangkuk. Di bawah kubah sebuah museum sebuah bandul berayun berjam-jam, dan garis ayunannya merayap berputar perlahan, beberapa derajat tiap jam, seolah-olah sebuah tangan tak terlihat memutarnya. Tak satu pun di antaranya gaya baru: begitulah rupa hukum Newton ketika kerangka tempat kita melukiskan geraknya sendiri sedang dipercepat atau berputar. Bab ini memperlihatkan bagaimana kecepatan dan percepatan bertransformasi antar kerangka, bagaimana hukum dinamikanya diperbaiki dengan menambahkan gaya inersial, dan apa yang dilakukan gaya-gaya itu pada kerangka berputar yang paling penting — Bumi.

Bandul Foucault di Pantheon, Paris, tempat ia pertama kali digantung pada tahun 1851: kawat sepanjang 67\, m, beban 28\, kg, dan bidang ayun yang berputar terhadap lantainya. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0. — Bandul Foucault di Pantheon, Paris, tempat ia pertama kali digantung pada tahun 1851: kawat sepanjang $67\,\mathrm{m}$ , beban $28\,\mathrm{kg}$ , dan bidang ayun yang berputar terhadap lantainya. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.

18.1 Berganti kerangka: kinematika

Definisi 18.1 (Gerak relatif; kerangka bertranslasi, kerangka berotasi)

Misalkan $\mathcal R$ sebuah kerangka (titik asal $O$ ) dan $\mathcal R'$ kerangka lain (titik asal $O'$ ) yang bergerak terhadapnya. $\mathcal R'$ disebut bertranslasi bila sumbu-sumbunya menjaga arahnya tetap dalam $\mathcal R$ (setiap titik $\mathcal R'$ berkecepatan sama dengan $O'$ ); ia disebut berotasi terhadap sumbu tetap $\Delta$ bila $\Delta$ tetap dalam kedua kerangka dan $\mathcal R'$ berputar terhadapnya dengan kecepatan sudut $\Omega(t)$ . Kecepatan dan percepatan sebuah titik $M$ relatif terhadap $\mathcal R'$ , yaitu $\vect v'$ dan $\vect a'$ , adalah yang diukur seorang pengamat yang diam di $\mathcal R'$ .

Teorema 18.2 (Penyusunan kecepatan dan percepatan)

$\mathcal R'$ bertranslasi dengan kecepatan $\vect v_{O'}$ dan percepatan $\vect a_{O'}$ :

$\vect v = \vect v' + \vect v_{O'}, \qquad \vect a = \vect a' + \vect a_{O'} .$
$\mathcal R'$ berputar terhadap sumbu tetap $\Delta$ pada $\Omega$ (vektor $\vect\Omega = \Omega\vect e_z$ menyusuri sumbunya); $H$ proyeksi $M$ pada sumbunya:

$\vect v = \vect v' + \vect\Omega\wedge\vect{HM}, \qquad \vect a = \vect a' + \underbrace{\big(-\Omega^2\vect{HM} + \dot\Omega\,\vect e_z\wedge\vect{HM}\big)}_{\vect a_e} + \underbrace{2\vect\Omega\wedge\vect v'}_{\vect a_C} .$

$\vect a_e$ adalah percepatan seret (percepatan titik $\mathcal R'$ yang berimpit dengan $M$ : sentripetal menuju sumbunya bagi rotasi beraturan), $\vect a_C = 2\vect\Omega\wedge\vect v'$ adalah percepatan Coriolis, yang hadir hanya bila $M$ bergerak relatif terhadap kerangka berputarnya.

Bukti. Translasi: $\vect{OM} = \vect{OO'} + \vect{O'M}$ dengan komponen $\vect{O'M}$ dalam basis bersamanya; turunkan dua kali. Rotasi: pakailah koordinat tabung terhadap $\Delta$ di $\mathcal R$ , $(r, \theta, z)$ , dan di $\mathcal R'$ , $(r, \theta', z)$ dengan $\theta = \theta' + \int\Omega\,\dd t$ . Lalu Teorema 11.7 di $\mathcal R$ dengan $\dot\theta = \dot\theta' + \Omega$ : $\vect v = \dot r\vect e_r + r(\dot\theta' + \Omega)\vect e_\theta + \dot z\vect e_z = \vect v' + r\Omega\vect e_\theta$ , dan $r\Omega\vect e_\theta = \vect\Omega\wedge\vect{HM}$ . Untuk percepatannya, $\ddot\theta = \ddot\theta' + \dot\Omega$ : $\vect a = [\ddot r - r(\dot\theta' + \Omega)^2]\vect e_r + [r(\ddot\theta' + \dot\Omega) + 2\dot r(\dot\theta' + \Omega)]\vect e_\theta + \ddot z\vect e_z$ ; jabarkan lalu kelompokkan, $\vect a = \vect a' - r\Omega^2\vect e_r + r\dot\Omega\vect e_\theta + 2\Omega(-r\dot\theta'\vect e_r + \dot r\vect e_\theta)$ , dan kurung terakhirnya adalah $2\vect\Omega\wedge\vect v'$ karena $\vect e_z\wedge\vect e_r = \vect e_\theta$ , $\vect e_z\wedge\vect e_\theta = -\vect e_r$ . ∎

Contoh 18.3 (Berjalan di atas meja putar)

Latihan 11.12 menghitung percepatan seseorang yang berjalan secara radial dengan $u$ di atas meja putar yang berputar pada $\Omega$ : $-ut\Omega^2\vect e_r + 2u\Omega\vect e_\theta$ . Dalam bahasa yang baru: percepatan relatifnya nol, seretnya $-r\Omega^2\vect e_r$ , Coriolisnya $2\vect\Omega\wedge u\vect e_r = 2u\Omega\vect e_\theta$ .

18.2 Dinamika dalam kerangka tak inersial: gaya inersial

Teorema 18.4 (Hukum Newton dalam kerangka tak inersial)

Dalam kerangka $\mathcal R'$ yang tak inersial, gerak sebuah partikel menuruti

m\vect a' = \sum\vect F + \vect F_e + \vect F_C, \qquad \vect F_e = -m\vect a_e, \qquad \vect F_C = -m\vect a_C = -2m\vect\Omega\wedge\vect v' :

Hukum kedua Newton berlaku asalkan pada gaya-gaya nyatanya ditambahkan gaya seret (bagi kerangka yang berputar beraturan, yaitu gaya sentrifugal $+m\Omega^2\vect{HM}$ , terarah menjauhi sumbunya; bagi kerangka bertranslasi, $-m\vect a_{O'}$ ) dan gaya Coriolis. Gaya inersial ini bukan interaksi: tak ada benda yang mengerahkannya, ia tak mempunyai reaksi, dan ia lenyap dalam kerangka inersial.

Bukti. $m\vect a = \sum\vect F$ dalam kerangka inersial $\mathcal R$ ; substitusikan $\vect a = \vect a' + \vect a_e + \vect a_C$ lalu pindahkan kedua sukunya ke ruas kanan. ∎

Contoh 18.5 (Penumpang yang condong, unting-unting)

Di dalam bus yang mengerem pada $a = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sebuah pegangan gantung merasakan, dalam kerangka busnya, gravitasi ditambah gaya inersial ke depan $ma$ : ia menggantung menyusuri gravitasi semu $\vect g' = \vect g - \vect a_{O'}$ , yang condong ke depan sebesar $\arctan(a/g) = 17^\circ$ . Penumpang yang ingin berdiri diam harus mencondongkan badannya ke arah vertikal semu itu. Di dalam lift yang jatuh bebas, $\vect g' = \vect 0$ : ketakberbobotan, dilihat dari dalam.

Gaya inersial. Kiri: di dalam bus yang mengerem unting-untingnya menggantung menyusuri gravitasi semu g - a_O', condong ke depan. Kanan: dalam kerangka yang berputar pada , sebuah partikel merasakan gaya sentrifugal menjauhi sumbunya dan, bila ia bergerak, gaya Coriolis yang tegak lurus pada kecepatan relatifnya. — Gaya inersial. Kiri: di dalam bus yang mengerem unting-untingnya menggantung menyusuri gravitasi semu $\vect g - \vect a_{O'}$ , condong ke depan. Kanan: dalam kerangka yang berputar pada $\Omega$ , sebuah partikel merasakan gaya sentrifugal menjauhi sumbunya dan, bila ia bergerak, gaya Coriolis yang tegak lurus pada kecepatan relatifnya.

Contoh 18.6 (Ember yang berputar)

Air di dalam ember yang berputar pada $\Omega$ terhadap sumbu tegaknya diam dalam kerangka berputarnya di bawah gravitasi dan gaya sentrifugal: permukaan bebasnya tegak lurus pada gravitasi semu $\vect g' = -g\vect e_z + \Omega^2r\vect e_r$ (permukaan fluida yang diam tegak lurus pada medannya, Bab 21). Kemiringannya $\dd z/\dd r = \Omega^2r/g$ , sehingga $z = \Omega^2r^2/2g$ : sebuah paraboloid. Pada $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ tepi ember $10\,\mathrm{cm}$ berdiri $5\,\mathrm{cm}$ di atas pusatnya — asas teleskop bercermin cair, yang raksa berputarnya mengambil tepat bentuk parabolik yang dituntut sebuah cermin.

Metode 18.7 (Bekerja dalam kerangka tak inersial)

Pilihlah kerangka yang membuat pertanyaannya paling sederhana (busnya, meja putarnya, Buminya); daftarlah gaya-gaya nyatanya; tambahkan $-m\vect a_e$ dan, bila bendanya bergerak dalam kerangka itu, $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ ; lalu lanjutkan seperti pada Metode 12.10. Periksa: gaya inersial tak pernah muncul dalam neraca energinya sebagai “usaha yang dilakukan seseorang” — gaya Coriolis, yang tegak lurus pada $\vect v'$ , tak melakukan usaha; gaya sentrifugal diturunkan dari energi potensial $-\tfrac12 m\Omega^2r^2$ dalam kerangka yang berputar beraturan.

18.3 Kerangka Bumi

Definisi 18.8 (Kerangka geosentris dan kerangka Bumi)

Yang disebut kerangka geosentris berpusat di pusat Bumi dan bersumbu menunjuk ke bintang-bintang tetap; ia inersial dengan hampiran yang sangat baik bagi gerak sehari atau kurang (percepatannya sendiri mengelilingi Matahari hanya $6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dan hampir seragam di seluruh Bumi). Yang disebut kerangka Bumi, yang melekat pada tanah, berputar terhadapnya pada sumbu kutub dengan

\Omega = \frac{2\pi}{86\,164\,\mathrm{s}} = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} .

Proposisi 18.9 (Berat, dan perubahan $g$ )

Dalam kerangka Bumi sebuah benda yang diam merasakan tarikan gravitasi $m\vect{\mathcal G}$ dan gaya sentrifugal $m\Omega^2\vect{HM}$ ; jumlah keduanya adalah apa yang diukur sebuah neraca dan ditunjukkan garis unting-unting: berat $m\vect g = m\vect{\mathcal G} + m\Omega^2\vect{HM}$ . Suku sentrifugalnya terbesar di khatulistiwa, $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0.35\%$ dari $g$ ; ia mengurangi $g$ dari kutub ke khatulistiwa dan memiringkan vertikalnya menjauhi pusat Bumi sampai $0.1^\circ$ pada lintang menengah.

Bukti. Terapkan Teorema 18.4 dengan $\vect v' = \vect 0$ (tak ada gaya Coriolis); $\Omega^2R = (7.29\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6$ . Sudut simpangannya menyusul dari segitiga $m\vect{\mathcal G}$ dan gaya sentrifugalnya (Latihan 18.6). ∎

Proposisi 18.10 (Gaya Coriolis di Bumi)

Pada lintang $\lambda$ , sebuah benda yang bergerak mendatar dengan kelajuan $v'$ merasakan gaya Coriolis mendatar yang besarnya

F_C = 2m\Omega v'\sin\lambda ,

terarah ke kanan geraknya di belahan bumi utara dan ke kiri di belahan selatan, ke mana pun arah perjalanannya; benda yang jatuh tegak dibelokkan ke timur sebesar $2m\Omega v'\cos\lambda$ .

Bukti. Uraikan $\vect\Omega = \Omega(\cos\lambda\,\vect e_N + \sin\lambda\,\vect e_z)$ (utara dan vertikal setempat). Untuk $\vect v'$ yang mendatar, $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ mempunyai bagian mendatar $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ — terputar $90^\circ$ searah jarum jam dari $\vect v'$ dilihat dari atas, untuk $\lambda > 0$ — dan sebuah bagian tegak (dapat diabaikan terhadap gravitasi). Untuk $\vect v' = -v'\vect e_z$ yang tegak: $-2m\Omega\cos\lambda\,\vect e_N\wedge(-v'\vect e_z) = 2m\Omega v'\cos\lambda\, \vect e_E$ , ke timur. ∎

Kiri: pada lintang vektor rotasi Bumi mempunyai komponen tegak dan komponen ke utara . Kanan: dilihat dari atas di belahan bumi utara, sebuah benda yang bergerak mendatar didorong ke kanannya oleh gaya Coriolis dan lintasannya melengkung searah jarum jam. — Kiri: pada lintang $\lambda$ vektor rotasi Bumi mempunyai komponen tegak $\Omega\sin\lambda$ dan komponen ke utara $\Omega\cos\lambda$ . Kanan: dilihat dari atas di belahan bumi utara, sebuah benda yang bergerak mendatar didorong ke kanannya oleh gaya Coriolis dan lintasannya melengkung searah jarum jam.

Contoh 18.11 (Gaya kecil, akibat besar)

Sebuah kereta pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ di lintang $45^\circ$ : $a_C = 2 \times 7.29\times 10^{-5} \times 27.8 \times 0.71 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , tiga perseribu dari $g$ — rel kanan sebuah jalur searah aus sedikit lebih cepat. Udara yang mengalir pada $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ menuju pusat bertekanan rendah dibelokkan ke kanan sepanjang jalan masuknya dan berakhir mengitarinya berlawanan arah jarum jam: setiap siklon di belahan bumi utara berputar begitu, setiap siklon selatan sebaliknya. Sebuah batu yang dijatuhkan ke dalam sumur $100\,\mathrm{m}$ di lintang $45^\circ$ mendarat $1.6\,\mathrm{cm}$ di timur garis unting-untingnya (Latihan 18.7).

Proposisi 18.12 (Bandul Foucault)

Sebuah bandul yang berayun dengan amplitudo kecil di lintang $\lambda$ menjaga bidang osilasinya tetap terhadap kerangka geosentris, kecuali rotasi vertikal setempatnya: dilihat dalam kerangka Bumi, bidang itu berputar searah jarum jam (dari atas, di belahan bumi utara) dengan laju sudut $\Omega\sin\lambda$ , yakni satu putaran penuh dalam

T_F = \frac{23.93\,\mathrm{h}}{\sin\lambda} .

Bukti sebagian. Di kutub ( $\lambda = 90^\circ$ ) alasannya geometris: tak ada gaya mendatar yang bekerja pada bebannya selain tegangan talinya, yang komponen mendatarnya menyusuri arah ayunannya, sehingga dalam kerangka geosentris bidang ayunnya tetap sementara Bumi berputar di bawahnya pada $\Omega$ ; dilihat dari tanah ia berputar pada $-\Omega$ . Di lintang $\lambda$ , gaya Coriolis mendatarnya adalah $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ : tepat apa yang akan dihasilkan kerangka yang berputar pada $\Omega\sin\lambda$ terhadap vertikal setempatnya. Dalam kerangka yang ikut berputar bersama bidangnya pada $-\Omega\sin\lambda$ , gaya itu lenyap sampai orde pertama dan bandulnya menjadi osilator bidang biasa; maka bidangnya berpresesi pada $\Omega\sin\lambda$ dalam kerangka Bumi. Perhitungan lengkapnya, dengan suku orde kedua yang diabaikan, adalah soal akhir pekannya. ∎

Catatan 18.13 (Pasang surut, dalam dua baris)

Dalam kerangka pusat Bumi, yang jatuh bebas menuju Bulan, tarikan Bulan tidak seragam: sedikit lebih kuat di sisi dekatnya, lebih lemah di sisi jauhnya. Selisihnya, yang berorde $2GM_{\text{Bulan}}R/d^3 \approx 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , meregangkan lautan menjadi dua tonjolan — dua kali pasang sehari — dan sumbangan Matahari, $46\%$ dari sumbangan Bulan, membuat pasang purnama dan pasang perbani ketika keduanya sejajar atau bersilang (Latihan 18.12).

18.4 Latihan

Latihan 18.1 ★

Sebuah unting-unting menggantung di dalam mobil yang dipercepat pada $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : sudutnya terhadap vertikal, dan tegangan talinya dalam satuan $mg$ . Mobil yang sama mengerem pada laju yang sama?

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

$\tan\alpha = a/g = 0.255$ , $\alpha = 14^\circ$ (bebannya tertinggal ke belakang); $T = m\sqrt{g^2 + a^2} = 1.03\,mg$ . Mengerem: sudut dan tegangan yang sama, bebannya condong ke depan.

Latihan 18.2 ★

Seorang anak duduk $3.0\,\mathrm{m}$ dari sumbu komidi putar yang berputar sekali tiap $4.0\,\mathrm{s}$ . Percepatan sentrifugal dalam kerangka berputarnya, sebagai pecahan $g$ ; gaya nyata apa yang memasoknya?

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

$\Omega = 2\pi/4.0 = 1.57\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Omega^2r = 7.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0.75g$ , terarah keluar dalam kerangka berputarnya; tempat duduknya (gesekan dan sabuk penahan) memasok gaya nyata ke arah dalam.

Latihan 18.3 ★

Hitunglah kecepatan sudut Bumi $\Omega$ , percepatan sentrifugal di khatulistiwa, dan pecahannya terhadap $g$ . Pada periode rotasi berapa benda di khatulistiwa akan melayang lepas?

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

$\Omega = 2\pi/86164 = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0.35\%$ dari $g$ . Untuk melayang lepas dituntut $\Omega^2R = g$ : $T = 2\pi\sqrt{R/g} = 84\,\mathrm{min}$ — tujuh belas kali lebih cepat daripada sekarang.

Latihan 18.4 ★

Sebuah kereta $400\,\mathrm{t}$ berjalan pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ di lintang $45^\circ$ . Percepatan Coriolisnya dan gaya menyampingnya pada rel; rel mana yang terdorong bila menuju utara? bila menuju timur?

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2 \times 7.29\times10^{-5} \times 27.8 \times 0.707 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $F = 1.1\,\mathrm{kN}$ . Menuju utara: terdorong ke timur, ke rel kanannya (rel timurnya); menuju timur: terdorong ke selatan, sekali lagi rel kanannya.

Latihan 18.5 ★★

Sebuah ember berjari-jari $10\,\mathrm{cm}$ berputar pada $2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , lalu $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Kenaikan airnya di tepi relatif terhadap pusatnya. Mengapa bak raksa yang berputar merupakan cermin teleskop yang baik?

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

$z = \Omega^2r^2/2g$ : $2.0\,\mathrm{mm}$ pada $2\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $5.1\,\mathrm{cm}$ pada $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Paraboloid memfokuskan berkas sejajar ke satu titik: raksa yang berputar adalah cermin parabolik yang sempurna, murah, dan memoles dirinya sendiri (tetapi tak dapat dimiringkan).

Latihan 18.6 ★★

Tunjukkan bahwa garis unting-unting di lintang $\lambda$ menyimpang dari pusat Bumi kira-kira sebesar $\Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g$ radian, dan hitunglah pada $45^\circ$ dalam menit busur. Berapa lebih kecil $g$ di khatulistiwa daripada di kutub semata-mata karena rotasinya?

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

Percepatan sentrifugal $\Omega^2R\cos\lambda$ menunjuk menjauhi sumbunya; komponennya yang tegak lurus pada vertikal setempat adalah $\Omega^2R\cos\lambda \sin\lambda$ , yang memiringkan $\vect g$ sebesar $\delta \approx \Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g = 0.034 \times 0.5/9.81 = 1.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 6'$ . Khatulistiwa: $g$ berkurang sebesar $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ karena rotasinya (pemepatan Bumi menambahnya lagi).

Latihan 18.7 ★★

Sebuah batu jatuh dari keadaan diam ke dalam sumur $100\,\mathrm{m}$ di lintang $45^\circ$ . Perlakukan percepatan Coriolis $2\Omega v\cos\lambda$ (ke timur) sebagai usikan kecil dengan $v = gt$ ; integralkan dua kali untuk menemukan simpangan ke timur di dasarnya. Mengapa ke timur?

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

$\ddot x_E = 2\Omega gt\cos\lambda$ : $x_E = \tfrac13\Omega g\cos\lambda\,t^3$ ; $t = \sqrt{2h/g} = 4.5\,\mathrm{s}$ : $x_E = \tfrac13 \times 7.29\times10^{-5} \times 9.81 \times 0.707 \times 92 = 1.6\,\mathrm{cm}$ . Ke timur: mulut sumurnya bergerak ke timur lebih cepat (jari-jarinya lebih besar) daripada dasarnya; batunya menyimpan kelebihan itu — atau, dalam kerangka berputarnya, gaya Coriolis pada kecepatan ke bawah menunjuk ke timur.

Latihan 18.8 ★★

Periode presesi sebuah bandul Foucault di Paris ( $\lambda = 48.9^\circ$ ), di kutub, dan di khatulistiwa. Sebesar sudut berapa bidangnya berputar dalam satu jam di Paris?

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

$T_F = 23.93/\sin\lambda$ : Paris $31.8\,\mathrm{h}$ ; kutub $23.9\,\mathrm{h}$ ; khatulistiwa tak hingga (tanpa presesi). Paris: $360^\circ/31.8 = 11.3^\circ$ tiap jam.

Latihan 18.9 ★★

Udara mengalir pada $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ menuju pusat bertekanan rendah di $45^\circ$ utara. Percepatan Coriolisnya; ke arah mana udara itu akhirnya mengitari pusatnya? Mengapa pusaran kecil (wastafel, tornado) tidak menuruti aturan ini?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ke kanan. Udara yang memusat dari segala sisi dibelokkan ke kanan, sehingga ia berpilin masuk berlawanan arah jarum jam (dilihat dari atas): siklon belahan utara. Wastafel terkuras dalam beberapa sekon dan tornado terbentuk dalam beberapa menit: pembelokan Coriolis selama waktu sesingkat itu dapat diabaikan terhadap pusaran awal apa pun.

Latihan 18.10 ★★★

Sebuah balon helium bertali melayang di dalam sebuah mobil. Ketika mobilnya dipercepat maju, ke arah mana balonnya condong? Jelaskan dengan gravitasi semu dan gaya apung.

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

Dalam kerangka mobilnya gravitasi semu $\vect g - \vect a$ condong ke belakang. Udaranya, yang lebih berat, “jatuh” ke belakang; balonnya, yang lebih ringan daripada udara yang didesaknya, terapung naik menyusuri vertikal semunya — ia condong ke depan, berlawanan dengan unting-unting.

Latihan 18.11 ★★★

Sebuah stasiun luar angkasa berupa cincin berjari-jari $100\,\mathrm{m}$ yang diputar untuk memberi $1g$ gravitasi buatan di tepinya. Berapa periode rotasinya? Seorang antariksawan berjalan menyusuri tepinya pada $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : percepatan Coriolisnya, dan pengaruhnya pada berat semunya ketika berjalan searah dan berlawanan dengan rotasinya. Ia menjatuhkan sebuah bola dari $2.0\,\mathrm{m}$ : kira-kira berapa jauh dari kakinya bola itu mendarat?

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

$\Omega^2R = g$ : $\Omega = 0.31\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 20\,\mathrm{s}$ . $a_C = 2\Omega v = 0.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , kira-kira $0.1g$ : berjalan searah rotasinya ia merasa lebih berat sebesar $10\%$ (gaya Coriolisnya menunjuk keluar), berlawanan arah lebih ringan. Sebuah bola yang dijatuhkan: dalam kerangka inersial ia bergerak lurus sementara lantainya melengkung naik; sepanjang waktu jatuh $\sqrt{2h/g} = 0.64\,\mathrm{s}$ simpangannya berorde $\tfrac13\Omega\,g\,t^3 \cdot 2 \approx 2 \times 0.31 \times 9.81 \times 0.26/3 \approx 0.5\,\mathrm{m}$ — beberapa desimeter, berlawanan dengan rotasinya.

Latihan 18.12 ★★★

Tunjukkan bahwa selisih antara percepatan gravitasi Bulan di pusat Bumi dan di titik permukaan yang terdekat ke Bulan kira-kira $2GM_Mr/d^3$ ( $r$ jari-jari Bumi, $d$ jarak Bumi–Bulan); hitunglah, lalu hitung pula yang sama untuk Matahari; simpulkan nisbah pasang surut matahari terhadap pasang surut bulan.

Solusi

Solusi Latihan 18.12.

$GM/(d - r)^2 - GM/d^2 \approx 2GMr/d^3$ (orde pertama dalam $r/d$ ). Bulan: $2 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22} \times 6.37\times10^6/ (3.84\times10^8)^3 = 1.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; Matahari: $2 \times 1.33\times10^{20} \times 6.37\times10^6/(1.50\times10^{11})^3 = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; nisbahnya $0.46$ : pasang surut Matahari hampir separuh pasang surut Bulan, walaupun tarikannya $180$ kali lebih besar — pasang surut berjalan sebagai $M/d^3$ .

18.5 Soal: Bandul Foucault

Soal 18.1

Soal akhir pekan — sebuah beban 28 kilogram pada kawat sepanjang 67 meter di bawah sebuah kubah: mengapa bidang ayunnya berputar, seberapa cepat, apa yang dibuktikannya, dan sekecil apa gaya yang melakukannya

Pada tahun 1851 sebuah bandul sepanjang $\ell = 67\,\mathrm{m}$ dan bermassa $m = 28\,\mathrm{kg}$ berayun di bawah kubah Pantheon di Paris, lintang $\lambda = 48.85^\circ$ , dengan amplitudo kira-kira $x_0 = 3.0\,\mathrm{m}$ . $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Bagian I — Bandulnya sendiri.

Periode osilasi kecilnya; periksalah bahwa amplitudonya kecil ( $x_0/\ell$ ).
Kelajuan maksimal bebannya, dan tinggi maksimalnya di atas titik terendah.
Tegangan tali di titik terendah, dalam satuan $mg$ .
Taksirlah gaya hambat udara pada bebannya pada kelajuan maksimal (hukum kuadratik, $C_xS \approx 0.05\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) lalu bandingkan dengan gaya pemulih maksimal $m\omega_0^2x_0$ .
Mengapa kawatnya panjang dan bebannya berat? (Dua alasan, satu tentang periodenya, satu tentang peredamannya.)

Bagian II — Di kutub. Bayangkan bandul yang sama di kutub utara.

Dalam kerangka geosentris, daftarlah gaya-gaya pada bebannya dan tunjukkan bahwa tak ada yang dapat memutar bidang ayunnya.
Simpulkan apa yang dilihat seorang pengamat yang berdiri di atas esnya terhadap bidang itu, dan dalam berapa lama ia kembali ke arah semula.
Lukiskan lintasan bebannya di tanah (sebuah roset): berapa kelopak dalam sehari?

Bagian III — Di lintang $\lambda$ : suku Coriolisnya. Pakailah sumbu setempat: $x$ ke timur, $y$ ke utara, $z$ ke atas; osilasinya kecil, sehingga geraknya hampir mendatar, $\vect v' \approx (\dot x, \dot y, 0)$ ; gaya pemulihnya $-m\omega_0^2(x, y, 0)$ dengan $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ .

Tuliskan $\vect\Omega$ dalam sumbu-sumbu ini.
Hitunglah $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ dan pertahankan komponen mendatarnya; tunjukkan bahwa ia hanya melibatkan $\Omega\sin\lambda$ .
Tuliskan kedua persamaan geraknya untuk $x$ dan $y$ ; tetapkan $\omega_F = \Omega\sin\lambda$ lalu bandingkan $\omega_F$ dengan $\omega_0$ .
Perkenalkan $u = x + jy$ dan tunjukkan bahwa $\ddot u + 2j\omega_F\dot u + \omega_0^2u = 0$ .
Cobalah $u = \eu^{j\alpha t}$ : temukan kedua nilai $\alpha$ , dan tunjukkan bahwa untuk $\omega_F \ll \omega_0$ keduanya $\alpha \approx \pm\omega_0 - \omega_F$ .
Simpulkan bahwa $u \approx \eu^{-j\omega_Ft}(A\eu^{j\omega_0t} + B\eu^{-j\omega_0t})$ : tafsirkan faktor $\eu^{-j\omega_Ft}$ — ke arah mana, dengan laju berapa, bidang ayunnya berputar?
Hitunglah periode presesinya di Paris dan sudut yang ditempuhnya dalam satu jam.
Mengapa bidangnya tak berputar di khatulistiwa?

Bagian IV — Sekecil apa gayanya.

Hitunglah gaya Coriolis maksimal pada bebannya lalu bandingkan dengan beratnya dan dengan gaya pemulih maksimalnya.
Sejauh mana titik ujung ayunannya bergeser ke samping selama setengah periode? (Bidangnya berputar sebesar $\omega_FT/2$ .)
Pada tahun 1851 bebannya membawa sebuah jarum yang merobohkan pasak kecil yang diletakkan melingkar pada amplitudonya: kira-kira berapa lama sebelum pasak berikutnya jatuh?
Bandulnya diluncurkan dengan membakar seutas benang yang menahan bebannya ke samping. Mengapa tidak didorong dengan tangan saja?
Hambatan udara menghentikan sebuah bandul setelah beberapa jam. Bandul museum modern memakai elektromagnet kecil di bawahnya untuk memulihkan energinya tanpa menyentuh bidang ayunnya: mengapa tendangan itu harus benar-benar radial?

Bagian V — Apa yang dibuktikannya, dan apa lagi yang dilakukannya.

Peragaan Foucault meyakinkan khalayak akan rotasi Bumi. Apa persisnya yang diukur laju presesinya, dan dapatkah percobaannya menentukan lintang?
Pada lintang berapa bidangnya akan berputar sekali tepat dalam $48\,\mathrm{h}$ ?
Sebuah giroskop (roda yang berputar cepat dalam gimbal) menjaga sumbunya tetap dalam kerangka geosentris. Jelaskan dalam satu kalimat mengapa ia pun menyingkapkan rotasinya, dan sebutkan sebuah penerapan.
Ringkaslah: satu gaya inersial yang bertanggung jawab, kebergantungannya pada lintang, dan periode yang diberikannya di Paris.

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $T = 2\pi\sqrt{67/9.81} = 16.4\,\mathrm{s}$ ; $x_0/\ell = 0.045$ ( $2.6^\circ$ ): kecil.

2. $v_{\max} = x_0\omega_0 = 3.0 \times 0.383 = 1.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; tingginya $x_0^2/2\ell = 6.7\,\mathrm{cm}$ .

3. $T = mg + mv_{\max}^2/\ell = mg(1 + 0.002)$ : $1.002\,mg$ .

4. $\tfrac12\rho C_xSv_{\max}^2 = 0.5 \times 1.2 \times 0.05 \times 1.3 = 0.04\,\mathrm{N}$ , berbanding $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$ : tiga ratus kali lebih kecil, namun cukup untuk menghentikan bandulnya dalam beberapa jam.

5. Kawat yang panjang memberikan periode yang panjang, sehingga bebannya lambat dan hambatan nisbinya kecil, dan membuat presesi tiap ayunannya terlihat; beban yang berat menyimpan banyak energi untuk dimakan hambatannya — berjam-jam berayun.

6. Berat (tegak) dan tegangan tali (dalam bidang kawatnya dan vertikalnya, yakni dalam bidang ayunnya): tak ada gaya yang berkomponen tegak lurus pada bidang itu.

7. Bidangnya tetap di antara bintang-bintang; esnya berputar di bawahnya ke timur pada $\Omega$ , sehingga pengamatnya melihat bidang itu berputar searah jarum jam, kembali ke arah semula setelah satu hari sideris, $23.93\,\mathrm{h}$ .

8. Tiap setengah ayunan melukiskan tali busur yang sedikit terputar: sebuah roset; $86164/8.2 \approx 10500$ setengah ayunan, masing-masing $0.034^\circ$ lebih jauh berputar.

9. $\vect\Omega = \Omega(0, \cos\lambda, \sin\lambda)$ .

10. Dengan $\vect v' = (\dot x, \dot y, 0)$ : $\vect\Omega\wedge\vect v' = \Omega(-\sin\lambda\,\dot y,\ \sin\lambda\,\dot x,\ -\cos\lambda\,\dot x)$ , sehingga $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ berkomponen mendatar $2m\Omega\sin\lambda\,(\dot y, -\dot x)$ : hanya $\Omega\sin\lambda$ yang masuk.

11. $\ddot x = -\omega_0^2x + 2\omega_F\dot y$ , $\ddot y = -\omega_0^2y - 2\omega_F\dot x$ ; $\omega_F = 7.29\times10^{-5} \times 0.753 = 5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \ll \omega_0 = 0.38\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

12. $\ddot u = -\omega_0^2u + 2\omega_F(\dot y - j\dot x) = -\omega_0^2u - 2j\omega_F\dot u$ .

13. $-\alpha^2 - 2\omega_F\alpha + \omega_0^2 = 0$ : $\alpha = -\omega_F \pm \sqrt{\omega_F^2 + \omega_0^2} \approx -\omega_F \pm \omega_0$ .

14. Kurungnya adalah osilasi bidang (sebuah garis tetap melalui titik asal untuk $A = B$ real); faktor $\eu^{-j\omega_Ft}$ memutar seluruh polanya searah jarum jam pada $\omega_F$ : bidang ayunnya berpresesi searah jarum jam pada $\Omega\sin\lambda$ .

15. $T_F = 2\pi/\omega_F = 1.14 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 31.8\,\mathrm{h}$ ; $11.3^\circ$ tiap jam.

16. $\sin\lambda = 0$ : komponen vertikal setempat $\vect\Omega$ lenyap; gaya Coriolis mendatarnya nol bagi gerak mendatar.

17. $2m\omega_Fv_{\max} = 2 \times 28 \times 5.5\times10^{-5} \times 1.15 = 3.5\,\mathrm{mN}$ ; beratnya $275\,\mathrm{N}$ ( $10^{-5}$ darinya), gaya pemulihnya $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$ : tiga ribu kali lebih kecil.

18. $\omega_FT/2 = 5.5\times10^{-5} \times 8.2 = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : $x_0 \times 4.5\times10^{-4} = 1.4\,\mathrm{mm}$ tiap setengah ayunan.

19. Pasak yang berjarak satu sentimeter pada lingkarannya jatuh tiap $\sim 7$ setengah ayunan, kira-kira semenit sekali.

20. Dorongan tangan memberikan kecepatan menyamping: bebannya lalu melukiskan sebuah elips, yang presesi lambatnya sendiri (akibat amplitudo yang berhingga) menutupi presesi Foucault.

21. Tendangan radial menambah energi menyusuri ayunannya tanpa menambah kecepatan melintang, sehingga bidangnya tak tersentuh; komponen menyamping akan menggiring bandulnya menjadi elips dan memalsukan atau menyembunyikan presesinya.

22. Laju presesinya mengukur $\Omega\sin\lambda$ , yaitu komponen tegak rotasi Bumi; dengan $\Omega$ yang diketahui dari astronomi, laju itu memberikan lintangnya (dan sebaliknya).

23. $\sin\lambda = 23.93/48 = 0.499$ : $\lambda = 30^\circ$ .

24. Momentum sudutnya kekal, sehingga sumbunya tinggal tetap di antara bintang-bintang sementara Bumi berputar di bawahnya: itulah kompas giro, yang menemukan utara sejati tanpa magnet.

25. Gaya Coriolis $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ ; bagian mendatarnya tumbuh sebagai $\sin\lambda$ ; satu putaran dalam $23.93\,\text{h}/\sin\lambda$ , $31.8\,\mathrm{h}$ di Paris.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium