Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

11Kinematika Titik

Kereta pada sebuah kereta luncur memasuki loopnya pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , melambat sambil menanjak, tergantung sesaat di puncaknya, lalu meraung keluar lagi; penumpangnya merasa terhimpit ke kursinya di dasar dan nyaris tanpa berat di puncaknya. Menggambarkan perjalanan itu — di mana keretanya, seberapa cepat ia bergerak, bagaimana kecepatannya berbelok dan berubah — itulah kinematika, dan ia menuntut lebih daripada $x$ , $y$ , $z$ sebuah jalan lurus: koordinat polar untuk apa pun yang berputar, dan kerangka yang ikut berjalan bersama keretanya sendiri. Bab ini menyiapkan perkakas itu, membuktikan rumus kecepatan dan percepatan pada masing-masingnya, lalu menerapkannya pada gerak yang akan dipanggil setiap bab berikutnya: melingkar, heliks, harmonik, dan gerak menyusuri sebarang kurva.

11.1 Kedudukan, kecepatan, percepatan

Definisi 11.1 (Kerangka acuan; kedudukan; lintasan)

Kerangka acuan adalah benda tegar yang dianggap tetap (laboratorium, Bumi, sebuah kereta), bersama sebuah jam. Partikel titik $M$ — benda yang ukurannya tak berarti bagi gerak yang dipelajari — ditentukan letaknya pada tiap saat oleh vektor posisinya $\vect{OM}(t)$ dari titik asal $O$ yang melekat pada kerangkanya; kurva yang digambarkan $M$ adalah lintasannya. Gerak selalu berupa gerak relatif terhadap sebuah kerangka: penumpang yang sama diam di dalam keretanya dan bergerak di stasiunnya.

Definisi 11.2 (Kecepatan dan percepatan)

Kecepatan dan percepatan $M$ dalam kerangkanya adalah

\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

yaitu turunan fungsi vektor: turunan sebuah vektor diperoleh dengan menurunkan komponennya dalam basis yang tetap di dalam kerangkanya. Kecepatannya menyinggung lintasannya dan menunjuk searah geraknya; normanya $v$ adalah kelajuannya. Satuannya: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Proposisi 11.3 (Koordinat Kartesius)

Dengan basis ortonormal tetap $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ dan $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$ ,

\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

dengan titik menyatakan $\dd/\dd t$ .

Bukti. Vektor basisnya tetap; hanya komponennya yang berubah. ∎

Contoh 11.4 (Proyektil)

Ditembakkan dari $O$ dengan laju $v_0$ dan sudut $\alpha$ di atas mendatar, koordinat sebuah bola (dinamika, bab berikutnya) adalah $x = v_0\cos\alpha\,t$ , $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$ . Maka $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ , $\vect a = -g\vect e_z$ : percepatannya tetap sementara kecepatannya berbelok; di puncaknya ( $\dot z = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g$ ) kecepatannya mendatar dan percepatannya tegak lurus terhadapnya. Dengan menghilangkan $t$ : $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ , sebuah parabola.

Parabola sebuah proyektil: kecepatannya menyinggung lintasannya dan berbelok, sedangkan percepatan g tetap. Di puncaknya kecepatan dan percepatannya tegak lurus: kelajuannya sesaat stasioner sementara arahnya masih berubah. — Parabola sebuah proyektil: kecepatannya menyinggung lintasannya dan berbelok, sedangkan percepatan $\vect g$ tetap. Di puncaknya kecepatan dan percepatannya tegak lurus: kelajuannya sesaat stasioner sementara arahnya masih berubah.

11.2 Koordinat silinder

Definisi 11.5 (Koordinat silinder dan basisnya)

Titik $M$ ditentukan letaknya oleh $r \geq 0$ (jaraknya ke sumbu $z$ ), sudut $\theta$ proyeksinya pada bidang $xy$ terhadap $\vect e_x$ , dan $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$ , dengan

\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

dan $\vect e_z$ membentuk basis lokal $(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z)$ , yang ortonormal dan langsung, dan yang bergerak bersama $M$ . Pada bidangnya ( $z$ tetap) inilah koordinat polar $(r, \theta)$ .

Lema 11.6 (Turunan basis lokalnya)

\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

Bukti. Turunkan komponennya: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$ , dan serupa untuk $\vect e_\theta$ . Turunan sebuah vektor satuan yang berputar tegak lurus terhadapnya, dengan norma sebesar laju sudutnya. ∎

Teorema 11.7 (Kecepatan dan percepatan dalam koordinat silinder)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

Bukti. Turunkan $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ dengan lemanya: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$ . Turunkan sekali lagi: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; lalu kumpulkan. ∎

Koordinat polar: basis lokalnya ( e_r, e_ ) berputar bersama M; kecepatannya mempunyai bagian radial r dan bagian ortoradial r. Di sini lintasannya (merah) memilin ke luar, sehingga r > 0 dan v condong ke luar dari garis singgung lingkarannya. — Koordinat polar: basis lokalnya $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ berputar bersama $M$ ; kecepatannya mempunyai bagian radial $\dot r$ dan bagian ortoradial $r\dot\theta$ . Di sini lintasannya (merah) memilin ke luar, sehingga $\dot r > 0$ dan $\vect v$ condong ke luar dari garis singgung lingkarannya.

Akibat 11.8 (Gerak melingkar)

Pada lingkaran berjari-jari $R$ ( $r = R$ , $z = 0$ ), dengan kecepatan sudut $\omega = \dot\theta$ :

\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

Untuk gerak melingkar beraturan ( $\omega$ tetap), percepatannya murni sentripetal, bernorma $v^2/R = R\omega^2$ , walaupun kelajuannya tetap.

Bukti. Tetapkan $\dot r = \ddot r = 0$ dalam teoremanya; $v = R\omega$ . ∎

Contoh 11.9 (Dua lingkaran)

Sebuah mobil memutari bundaran berjari-jari $20\,\mathrm{m}$ pada $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , separuh $g$ , terarah ke pusatnya — itulah yang harus dipasok bannya. Bulan ( $R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ): $\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , seper $3600$ dari $g$ di permukaan Bumi, pada enam puluh jari-jari Bumi — perbandingan yang dibuat Newton (Bab 16).

11.3 Koordinat bola

Definisi 11.10 (Koordinat bola)

Titik $M$ ditentukan letaknya oleh jaraknya $r = OM$ , kolatitude $\theta \in [0, \pi]$ antara $\vect{OM}$ dan $\vect e_z$ , serta azimut $\varphi$ proyeksinya pada bidang $xy$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ dengan

\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

$\vect e_\theta$ (menyinggung meridiannya, ke arah $\theta$ yang menaik) dan $\vect e_\varphi$ (menyinggung lingkaran lintangnya) melengkapi basis ortonormal lokalnya. Di Bumi, $\theta$ adalah $90^\circ$ dikurangi lintangnya dan $\varphi$ adalah bujurnya.

Proposisi 11.11 (Kecepatan dalam koordinat bola)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

Bukti. $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi$ : suku pertamanya adalah perputaran pada bidang meridiannya (seperti pada kasus polarnya), suku keduanya perputaran terhadap $\vect e_z$ dengan laju $\dot\varphi$ sebuah vektor yang jaraknya ke sumbunya adalah $\sin\theta$ . Lalu $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$ . Percepatannya tak diperlukan tahun ini. ∎

Koordinat bola (r, , ) dan basis lokalnya: e_r radial, e_ menyusuri meridiannya (ke arah selatan pada sebuah bola dunia), e_ menyusuri lingkaran lintangnya (ke arah timur). — Koordinat bola $(r, \theta, \varphi)$ dan basis lokalnya: $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ menyusuri meridiannya (ke arah selatan pada sebuah bola dunia), $\vect e_\varphi$ menyusuri lingkaran lintangnya (ke arah timur).

11.4 Basis Frenet

Definisi 11.12 (Absis lengkung; basis Frenet)

Sepanjang sebuah lintasan, absis lengkung $s(t)$ adalah panjang busur dari sebuah titik acuan, yang dihitung secara aljabar; $v = \dot s$ . Di $M$ , vektor singgung satuan $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ menunjuk ke arah $s$ yang menaik; jari-jari kelengkungan $\rho > 0$ dan vektor normal satuan $\vect N$ , yang menunjuk ke sisi cekungnya (pusat kelengkungannya), didefinisikan oleh

\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

$(\vect T, \vect N)$ adalah basis Frenet; $\rho = \infty$ pada garis lurus, dan $\rho = R$ pada lingkaran berjari-jari $R$ .

Teorema 11.13 (Percepatan dalam basis Frenet)

\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

Komponen tangensial $\dd v/\dd t$ mengukur seberapa cepat kelajuannya berubah; komponen normal $v^2/\rho$ , yang selalu ke arah pusat kelengkungannya, mengukur seberapa cepat arahnya berbelok. Geraknya beraturan jika dan hanya jika $\vect a \perp \vect v$ ; ia lurus jika dan hanya jika $\vect a \parallel \vect v$ .

Bukti. $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$ . Lalu $\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$ . Bahwa $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ menyusul dari $\vect T\cdot\vect T = 1$ yang diturunkan. ∎

Basis Frenet pada sebuah titik kurva: T searah geraknya, N ke arah pusat kelengkungannya C. Percepatannya terbelah menjadi bagian tangensial v T (mempercepat atau mengerem) dan bagian normal (v2/ ) N (berbelok). — Basis Frenet pada sebuah titik kurva: $\vect T$ searah geraknya, $\vect N$ ke arah pusat kelengkungannya $C$ . Percepatannya terbelah menjadi bagian tangensial $\dot v\vect T$ (mempercepat atau mengerem) dan bagian normal $(v^2/\rho)\vect N$ (berbelok).

Contoh 11.14 (Mengerem di sebuah tikungan)

Sebuah mobil pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) di tikungan berjari-jari $100\,\mathrm{m}$ mengerem pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Bagian normalnya mendominasi: tikungan pertama-tama adalah perbelokan, dan cengkeraman bannya (bab berikutnya) membatasi $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$ , yang menjelaskan mengapa orang mengerem sebelum tikungannya.

11.5 Gerak baku

Proposisi 11.15 (Gerak lurus berubah beraturan)

Pada sebuah sumbu, $\ddot x = a$ tetap, dari $x_0$ dan $v_0$ : $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ , dan $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Bukti. Integralkan dua kali; hilangkan $t$ di antara kedua hubungan pertamanya. ∎

Proposisi 11.16 (Gerak heliks)

$r = R$ , $\theta = \omega t$ , $z = v_zt$ (dengan $R$ , $\omega$ , $v_z$ tetap): kelajuannya $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ tetap, percepatannya $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ sentripetal dan bernorma tetap, dan jari-jari kelengkungannya $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$ .

Bukti. Teorema 11.7 dengan $\dot r = 0$ , $\ddot\theta = 0$ , $\ddot z = 0$ ; geraknya beraturan, sehingga $\vect a$ murni normal dan $v^2/\rho = R\omega^2$ . ∎

Proposisi 11.17 (Gerak harmonik)

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , $\ddot x = -\omega^2 x$ . Kecepatannya mendahului kedudukannya seperempat periode dan percepatannya berlawanan dengan kedudukannya; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . Inilah proyeksi pada sebuah garis tengah dari gerak melingkar beraturan berjari-jari $A$ dan berkecepatan sudut $\omega$ .

Bukti. Turunkan; untuk proyeksinya, ambil $x = A\cos\theta$ dengan $\theta = \omega t + \varphi$ . ∎

Metode 11.18 (Memilih koordinat)

Gerak lurus atau parabolik, dengan percepatan tetap: Kartesius.
Gerak mengelilingi sebuah sumbu atau sebuah titik (lingkaran, pilinan, orbit, meja putar): silinder/polar; basisnya bergerak, jadi pakailah Teorema 11.7, jangan pernah menurunkan komponennya secara naif.
Sebuah kurva tertentu (lintasan, tikungan, loop) ketika hukum kelajuannya diketahui: Frenet, yang memisahkan “seberapa cepat” dari “ke arah mana”.

Apa pun pilihannya, $\vect v$ dan $\vect a$ adalah vektor yang bergantung pada kerangkanya, dan sebuah hasil baru lengkap bila kerangkanya disebutkan.

11.6 Latihan

Latihan 11.1 ★

Sebuah mobil berangkat dari keadaan diam dengan $x(t) = 2.0\,t^2$ (satuan SI). Berapa kecepatan dan percepatannya pada $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; jarak yang ditempuhnya dalam $5\,\mathrm{s}$ pertama; dan waktu untuk mencapai $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 11.1.

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $t = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}$ .

Latihan 11.2 ★

Sebuah titik bergerak pada sebuah bidang dengan $r = 2.0\,\mathrm{m}$ dan $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Berikan $\vect v$ dan $\vect a$ dalam basis polarnya, normanya, dan sifat geraknya.

Solusi

Solusi Latihan 11.2.

$\dot r = 0$ , $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Gerak melingkar beraturan: kelajuannya tetap, percepatannya sentripetal.

Latihan 11.3 ★

Sebuah titik di khatulistiwa ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$ ): berapa kelajuan dan percepatannya dalam kerangka geosentrik? Bandingkan percepatannya dengan $g$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.3.

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , yaitu $g/290$ .

Latihan 11.4 ★

Sebuah bola dilemparkan dengan $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $\alpha = 40^\circ$ ; koordinatnya seperti pada Contoh 11.4. Carilah waktu sampai puncaknya, tinggi maksimumnya, jangkauannya, dan kecepatannya saat mendarat.

Solusi

Solusi Latihan 11.4.

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Puncaknya pada $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$ , tingginya $7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}$ . Jangkauannya $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$ . Saat mendarat: $(9.19, -7.71)$ , $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $40^\circ$ di bawah mendatar.

Latihan 11.5 ★★

Seorang pesepeda pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ memasuki tikungan berjari-jari $25\,\mathrm{m}$ lalu mempercepat pada $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Berikan $\vect a$ dalam basis Frenet dan normanya; bagaimana setelah $5\,\mathrm{s}$ dengan percepatan yang sama pada tikungan yang sama?

Solusi

Solusi Latihan 11.5.

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Setelah $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Latihan 11.6 ★★

Sebuah titik menyusuri pilinan $r = b\theta$ , $\theta = \omega t$ (dengan $b$ , $\omega$ tetap). Hitunglah $\vect v$ , kelajuannya, dan $\vect a$ dalam basis polarnya. Dari mana suku $2\dot r\dot\theta$ berasal?

Solusi

Solusi Latihan 11.6.

$r = b\omega t$ , $\dot r = b\omega$ , $\ddot r = 0$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ , $v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta$ . Suku $2\dot r\dot\theta$ mempunyai dua paruh yang sama besar: arah kecepatan radialnya berputar dengan laju $\dot\theta$ (memberi $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$ ), dan bergerak ke luar memperbesar kelajuan ortoradialnya $r\dot\theta$ (satu $\dot r\dot\theta$ lagi).

Latihan 11.7 ★★

Heliks: $R = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berapa kelajuan, percepatan, kisar heliksnya, dan jari-jari kelengkungannya?

Solusi

Solusi Latihan 11.7.

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ke arah sumbunya; kisarnya $v_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$ .

Latihan 11.8 ★★

Sebuah torak bergerak sebagai $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Berikan $v_{\max}$ , $a_{\max}$ , hubungan fase antara $x$ , $v$ , $a$ , dan kedudukan tempat $\abs v$ dan $\abs a$ terbesar.

Solusi

Solusi Latihan 11.8.

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ mendahului $x$ seperempat periode, dan $a = -\omega^2x$ berlawanan dengan $x$ . $\abs v$ terbesar pada $x = 0$ , $\abs a$ pada ujungnya $x = \pm A$ .

Latihan 11.9 ★★

Berangkat dari $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$ , turunkan $\dd\vect e_r/\dd t$ dan $\dd\vect e_\theta/\dd t$ , lalu kecepatan dan percepatan polar Teorema 11.7.

Solusi

Solusi Latihan 11.9.

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$ . Lalu $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ , dan dengan menurunkannya sekali lagi memakai kaidah hasil kali diperoleh percepatan Teorema 11.7.

Latihan 11.10 ★★★

Untuk proyektil Contoh 11.4, carilah jari-jari kelengkungan lintasannya di puncaknya dan di titik tembaknya (pakailah komponen normal $\vect g$ ). Yang mana yang lebih kecil, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 11.10.

Puncak: $v = v_0\cos\alpha$ , $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$ . Titik tembak: $v = v_0$ , $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$ . Jari-jari di puncaknya lebih kecil dengan faktor $\cos^3\alpha$ : parabolanya paling membengkok di tempat ia paling lambat dan di tempat seluruh $\vect g$ bersifat normal.

Latihan 11.11 ★★★

Sebuah roda berjari-jari $R$ menggelinding tanpa tergelincir dengan laju $v$ ; sebuah titik pada peleknya berkoordinat $x = vt - R\sin(vt/R)$ , $y = R - R\cos(vt/R)$ (sebuah sikloid). Hitunglah kecepatan dan percepatannya; tunjukkan bahwa ketika ia menyentuh tanah kecepatannya lenyap dan percepatannya $v^2/R$ ke atas; lalu carilah kelajuannya di puncaknya.

Solusi

Solusi Latihan 11.11.

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ , $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R)$ , $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$ . Di tanahnya ( $vt/R = 2\pi n$ ): $\dot x = \dot y = 0$ dan $\vect a = (0, v^2/R)$ , ke atas. Di puncaknya ( $vt/R = \pi$ ): $\dot x = 2v$ , $\dot y = 0$ : kelajuannya $2v$ .

Latihan 11.12 ★★★

Seseorang berjalan ke luar menyusuri jari-jari sebuah meja putar yang berputar dengan $\omega$ tetap, dengan laju tetap $u$ relatif terhadap meja putarnya: $r = ut$ , $\theta = \omega t$ . Hitunglah $\vect a$ dalam basis polarnya, kenali kedua sukunya, lalu hitunglah keduanya untuk $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ pada $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Suku mana yang tak berpadanan bagi orang yang berjalan di atas tanah?

Solusi

Solusi Latihan 11.12.

$\ddot r = 0$ , $\dot r = u$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$ . Pada $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Yang pertama adalah suku sentripetal perputarannya; yang kedua, $2\dot r\dot\theta$ , ada hanya karena arah radialnya sendiri berputar — di atas tanah, berjalan lurus dengan laju tetap sama sekali tak memberi percepatan.

Sebuah loop tegak (Yomiuriland, Tokyo): berbentuk tetes air mata dan bukan lingkaran, sehingga kelengkungannya terbesar di puncaknya tempat kelajuannya terkecil — geometri soal akhir pekan. Foto: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.

11.7 Soal: Loop kereta luncur

Soal 11.1

Soal akhir pekan — sebuah kereta memasuki loop tegak pada sembilan puluh kilometer tiap jam: di mana ia melambat, ke mana percepatannya menunjuk, berapa $g$ yang dirasakan penumpangnya, dan mengapa loop modern bukan lingkaran

Sebuah kereta, yang diperlakukan sebagai titik $M$ , berjalan pada loop melingkar tegak berjari-jari $R = 10\,\mathrm{m}$ , berpusat $C$ . Kedudukannya diberikan oleh sudut $\theta$ antara $\vect{CM}$ dan garis tegak ke bawah ( $\theta = 0$ di dasarnya, $\pi$ di puncaknya). Gesekan diabaikan, dan hukum kelajuannya (diturunkan dalam Bab 13) adalah

v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

dengan $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sebagai kelajuan di dasarnya; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Bagian I — Kinematika pada lingkarannya.

Dalam koordinat polar yang berpusat di $C$ (dengan $\vect e_r$ dari $C$ ke $M$ ), tuliskan $\vect v$ dan $\vect a$ bagi gerak pada lingkarannya.
Kenali vektor Frenet $\vect T$ dan $\vect N$ dalam $\vect e_r$ dan $\vect e_\theta$ , serta jari-jari kelengkungannya.
Hitunglah kelajuannya di puncaknya, dan di titik sampingnya $\theta = \pi/2$ dan $3\pi/2$ .
Turunkan hukum kelajuannya terhadap waktu untuk menunjukkan bahwa percepatan tangensialnya $a_T = -g\sin\theta$ . Tafsirkan tandanya pada perjalanan naik dan pada perjalanan turun.
Nyatakan percepatan normalnya $a_N(\theta)$ lalu hitunglah di dasarnya, di sampingnya dan di puncaknya.
Berikan norma $\vect a$ pada keempat titik itu dan sudut yang dibentuknya dengan garis tegak di puncaknya.
Pada titik mana $\vect a$ tegak lurus terhadap $\vect v$ ? Sejajar?

Bagian II — Laju sudut dan pewaktuannya.

Nyatakan $\dot\theta$ sebagai fungsi $\theta$ lalu hitunglah di dasarnya dan di puncaknya.
Tunjukkan bahwa $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (persamaan sebuah bandul) lalu berikan komentar.
Sebagai pembanding, hitunglah periode osilasi kecil sebuah bandul sederhana sepanjang $R$ (Contoh 1.8 telah memberikan bentuknya; $k = 2\pi$ ).
Taksirlah waktu untuk mengelilingi loopnya, dengan memakai rata-rata kelajuan pada keempat titik acuannya.
Kelajuan minimum di puncaknya agar keretanya tetap pada lintasannya (bab berikutnya) adalah $\sqrt{gR}$ . Apakah syarat itu terpenuhi? Berapa $v_0$ minimum yang diperlukan?

Bagian III — Apa yang dirasakan penumpangnya. Berat semu tiap satuan massa yang dirasakan seorang penumpang adalah $\vect a - \vect g$ (diterima saja di sini, diturunkan dalam Bab 12); normanya dalam satuan $g$ disebut “beban- $g$ ”.

Hitunglah beban- $g$ di dasarnya.
Hitunglah di puncaknya, lalu katakan ke arah mana penumpangnya tertekan (ke kursinya atau ke pengamannya).
Hitunglah di titik sampingnya.
Penumpang menoleransi sekitar $4g$ untuk waktu singkat. Apakah loop ini lolos? Di mana masalahnya?
Tunjukkan bahwa, untuk loop melingkar yang dimasuki tepat cukup cepat untuk melewati puncaknya (berat semunya nol di sana), beban- $g$ di dasarnya niscaya $6g$ , berapa pun $R$ -nya.

Bagian IV — Loop klotoid. Loop modern berbentuk “tetes air mata”: jari-jari kelengkungannya besar di dasarnya dan kecil di puncaknya.

Dengan memakai bentuk Frenet $\vect a$ , jelaskan mengapa mengubah $\rho$ di sepanjang lintasannya mengubah $a_N$ tanpa mengubah hukum kelajuannya (yang hanya bergantung pada ketinggiannya).
Pilihlah $\rho_{\text{dasar}}$ agar beban- $g$ di dasarnya $3g$ dengan $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Di puncaknya, ketinggiannya tetap $2R = 20\,\mathrm{m}$ di atas dasarnya. Pilihlah $\rho_{\text{puncak}}$ agar beban- $g$ di sana $1.5g$ .
Sebuah klotoid berkelengkungan sebanding dengan panjang busurnya, $1/\rho = s/A^2$ . Menyusuri jalan masuk semacam itu, dengan kelajuan yang nyaris tetap, bagaimana $a_N$ tumbuh terhadap waktu, dan mengapa hal itu lebih lembut bagi leher daripada lingkaran (yang $a_N$ -nya melompat di jalan masuknya)?
Sketsalah bentuk loop yang dihasilkannya secara kualitatif lalu ringkaslah dalam dua kalimat mengapa ia menggantikan lingkarannya.

Bagian V — Dilihat dari tanah. Sebuah kamera setinggi tanah, $50\,\mathrm{m}$ dari pusat loopnya pada bidangnya, mengikuti keretanya.

Ketika keretanya berada di puncaknya, bergerak mendatar pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dengan laju sudut berapa (rad/s) kameranya harus berputar? (Koordinat polar dari kameranya.)
Mengapa kamera yang berputar dengan laju tetap merupakan pengikut yang buruk bagi gerak melingkar beraturan?
Ringkaslah pelajaran bab ini dari loopnya: sistem koordinat mana yang menjawab pertanyaan yang mana.

Solusi

Solusi Soal 11.1.

1. $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$ .

2. $\vect T = \vect e_\theta$ (gerak dengan $\theta$ yang menaik), $\vect N = -\vect e_r$ (ke arah $C$ ), $\rho = R$ .

3. Puncak: $v^2 = 625 - 392 = 233$ , $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Samping: $625 - 196 = 429$ , $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

4. $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ dan $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$ . Negatif untuk $0 < \theta < \pi$ (melambat pada perjalanan naik), positif pada perjalanan turun.

5. $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : dasarnya $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sampingnya $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; puncaknya $62.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

6. Dasar: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (tanpa bagian tangensial); samping: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; puncak: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , menunjuk lurus ke bawah ke arah $C$ : sudutnya $0$ dengan garis tegaknya.

7. Tegak lurus di dasarnya dan di puncaknya ( $a_T = 0$ ); tak pernah sejajar ( $a_N > 0$ di mana-mana).

8. $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : dasarnya $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , puncaknya $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

9. $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : persamaan bandul sederhana sepanjang $R$ — keretanya di atas lintasannya adalah bandulan yang melewati puncaknya.

10. $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$ .

11. Rata-rata $25$ , $20.7$ , $15.3$ , $20.7$ : sekitar $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; panjangnya $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : kira-kira $3\,\mathrm{s}$ .

12. $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : ya. Minimumnya: $v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490$ , $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

13. Dasar: $\vect a = 62.5$ ke atas, $\vect g$ ke bawah: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$ .

14. Puncak: keduanya ke bawah, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$ , yang menekan penumpangnya ke kursinya (ke arah pusatnya, yaitu ke atas bagi penumpang yang terbalik).

15. Samping: $\vect a = 42.9$ mendatar ke arah $C$ ditambah $9.8$ ke bawah (tangensial); $\vect a - \vect g$ adalah $42.9$ mendatar: $4.4g$ ke samping, ke arah pusatnya.

16. Tak lolos: $7.4g$ di dasarnya (puncak dan sampingnya baik-baik saja).

17. Berat semunya nol di puncaknya: $v_{\text{puncak}}^2 = gR$ ; lalu $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ , $a_N = 5g$ di dasarnya dan bebannya $5g + g = 6g$ , bebas dari $R$ .

18. $a_N = v^2/\rho$ : $v$ ditetapkan oleh ketinggiannya (energi), $\rho$ oleh geometri lintasannya; $\rho$ yang berbeda pada ketinggian yang sama mengubah $a_N$ saja.

19. $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$ , $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}$ .

20. $v_{\text{puncak}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$ .

21. $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : ia tumbuh linear dari nol — laju perubahan percepatan yang tetap — alih-alih melompat dari $0$ ke $v^2/R$ di jalan masuk sebuah lingkaran, yang dirasakan leher sebagai sebuah pukulan.

22. Sebuah tetes air mata: lebar dan melengkung landai di dasarnya tempat keretanya cepat, sempit di puncaknya tempat ia lambat. Ia menjaga bebannya di dekat $3g$ di sepanjangnya dan mendatangkannya secara berangsur.

23. Garis pandangnya: jarak mendatar $50\,\mathrm{m}$ , tinggi $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$ , sudut ketinggiannya $\beta = 21.8^\circ$ . Komponen melintang kecepatan mendatarnya adalah $v\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

24. Dilihat dari titik yang tak sepusat, laju sudut garis pandangnya tidak tetap (cepat ketika keretanya dekat, lambat ketika jauh): kamera berlaju tetap akan hanyut meninggalkan keretanya.

25. Koordinat polar di $C$ untuk kecepatan dan percepatan pada lingkarannya; pemisahan Frenet untuk “mempercepat” lawan “berbelok” dan untuk klotoidnya; koordinat polar di kameranya untuk laju pengikutannya; energi (bab berikutnya) untuk hukum kelajuannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium