Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

5Perambatan Sinyal: Gelombang Berjalan dan Gelombang Berdiri

Petiklah senar gitar dan seluruh aula mendengar sebuah nada; sentuhlah titik tengahnya dengan jari dan nadanya melompat satu oktaf. Berdirilah di antara dua pengeras suara yang membunyikan nada yang sama dan, sambil berjalan perlahan, Anda melewati bintik-bintik yang nyaris senyap setiap beberapa desimeter. Cahaya dari dua lubang jarum melukis garis-garis pada layar. Tak ada apa pun yang terbawa dari satu tempat ke tempat lain dalam peristiwa itu — tak ada udara, tak ada senar, tak ada kaca yang berpindah — namun ada yang merambat: sebuah sinyal. Bab ini menggambarkan bagaimana sinyal bergerak, apa itu gelombang sinusoidal, dan apa yang terjadi ketika dua gelombang bertemu: matematika superposisi, interferensi, dan gelombang berdiri, yang akan dipakai kembali oleh setiap bab gelombang berikutnya — akustika, optika, dan fisika kuantum.

Enam senar, enam frekuensi dasar: masing-masing adalah gelombang berdiri yang terpasak di nat dan di jembatannya, dan jari memendekkannya untuk meninggikan nadanya.

5.1 Sinyal

Definisi 5.1 (Sinyal; sinyal sinusoidal)

Sebuah sinyal adalah besaran fisis yang berubah terhadap waktu dan membawa informasi: tekanan lebih akustik pada sebuah mikrofon, tegangan pada sebuah antena, simpangan melintang sebuah titik senar. Sinyal sinusoidal

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

mempunyai amplitudo $A > 0$ , frekuensi sudut $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), frekuensi $f = \omega/2\pi$ , periode $T = 1/f$ dan fase awal $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ adalah fasenya pada saat $t$ .

Catatan 5.2 (Spektrum)

Setiap sinyal berkala berperiode $T$ adalah jumlah sinusoid berfrekuensi $f_1 = 1/T$ (nada dasar) dan kelipatannya $nf_1$ (harmonik); daftar amplitudonya adalah spektrum sinyalnya. Seruling dan biola yang membunyikan nada yang sama berbagi nada dasarnya dan berbeda spektrumnya — itulah warna bunyi. Penguraiannya (menurut Fourier) dinyatakan dan dipakai dalam Bab 9; di sini ia penting karena sinusoid merambat secara sederhana, dan apa pun yang berlaku bagi tiap sinusoid berlaku pula, lewat penjumlahan, bagi sinyal apa pun.

Proposisi 5.3 (Layangan)

Jumlah dua sinusoid beramplitudo sama dan berfrekuensi berdekatan $f_1 > f_2$ ,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

adalah sinusoid pada frekuensi rata-ratanya yang amplitudonya $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ membengkak dan memudar pada frekuensi layangan $f_1 - f_2$ .

Bukti. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . Faktor lambatnya lenyap dua kali tiap periodenya sendiri $2/(f_1 - f_2)$ , sehingga selubung $\abs{\cdot}$ berfrekuensi $f_1 - f_2$ . ∎

Layangan antara 22\, Hz dan 20\, Hz: osilasi 21\, Hz yang selubungnya (garis putus-putus) melayang dua kali tiap sekon — selisih kedua frekuensinya. — Layangan antara $22\,\mathrm{Hz}$ dan $20\,\mathrm{Hz}$ : osilasi $21\,\mathrm{Hz}$ yang selubungnya (garis putus-putus) melayang dua kali tiap sekon — selisih kedua frekuensinya.

Contoh 5.4 (Melaras dengan telinga)

Garpu tala $440\,\mathrm{Hz}$ dan senar $443\,\mathrm{Hz}$ yang dibunyikan bersama berdenyut tiga kali tiap sekon; mengencangkan senarnya memperlambat denyutnya, dan ketika denyutnya berhenti senarnya sudah laras. Telinga mendengar frekuensi rata-ratanya ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) sebagai tinggi nadanya dan selubung $3\,\mathrm{Hz}$ -nya sebagai kenyaringan yang bergoyang: layangan membuat selisih frekuensi kurang dari satu persen menjadi terdengar.

5.2 Gelombang berjalan

Definisi 5.5 (Gelombang berjalan, cepat rambat)

Sinyal $s(x, t)$ yang terdefinisi sepanjang sebuah sumbu disebut gelombang berjalan yang bergerak ke arah $+x$ dengan cepat rambat $c$ jika

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

untuk suatu fungsi $f$ (atau $F$ ): bentuknya terbawa tanpa berubah, tergeser sejauh $c\,\Delta t$ dalam waktu $\Delta t$ . Gelombang yang bergerak menuju $-x$ berbentuk $g(t + x/c)$ . Medium yang di dalamnya setiap bentuk merambat tanpa cacat dengan $c$ yang sama disebut tak dispersif.

Proposisi 5.6 (Tundaan)

Sinyal yang diterima di $x_2$ adalah sinyal yang dipancarkan di $x_1 < x_2$ , tertunda sebesar $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

Bukti. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

Contoh 5.7 (Cepat rambat)

Bunyi di udara, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : guruh $3\,\mathrm{s}$ setelah kilatnya menempatkan sambarannya $1\,\mathrm{km}$ jauhnya. Bunyi di air, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; di baja, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Gelombang melintang pada senar bertegangan $F$ dan bermassa tiap satuan panjang $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ , seperti diramalkan analisis dimensi (Latihan 1.5) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ untuk senar gitar. Cahaya di hampa, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; di kaca, $c/n$ . Cepat rambatnya adalah sifat mediumnya, bukan sifat sumbernya: bisikan dan teriakan tiba bersama.

Proposisi 5.8 (Gelombang berjalan sinusoidal)

Sumber sinusoidal $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ melepaskan

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

Gelombangnya berkala dalam waktu (berperiode $T$ ) dan dalam ruang (berperiode panjang gelombang $\lambda$ ); $k$ adalah bilangan gelombang; dua titik yang berjarak $d$ berosilasi dengan beda fase $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — sefase jika $d = n\lambda$ , berlawanan fase jika $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . Laju gerak sebuah puncak, $v_\varphi = \omega/k$ , disebut kecepatan fase; di sini $v_\varphi = c$ .

Bukti. Substitusikan $f(u) = A\cos(\omega u)$ ke dalam $f(t - x/c)$ . Pada $x$ tetap sinyalnya berulang setelah $T = 2\pi/\omega$ ; pada $t$ tetap ia berulang setelah $\lambda$ dengan $k\lambda = 2\pi$ . Dua titik $x_1$ , $x_2 = x_1 + d$ : fasenya berselisih $kd$ . Sebuah puncak ( $\omega t - kx = \text{tetap}$ ) bergerak dengan $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

Keberkalaan ganda sebuah gelombang berjalan sinusoidal: potret pada waktu tetap berulang setiap panjang gelombang dan meluncur dengan laju c; sinyal pada sebuah titik tetap berulang setiap periode T, dengan = cT. — Keberkalaan ganda sebuah gelombang berjalan sinusoidal: potret pada waktu tetap berulang setiap panjang gelombang $\lambda$ dan meluncur dengan laju $c$ ; sinyal pada sebuah titik tetap berulang setiap periode $T$ , dengan $\lambda = cT$ .

Definisi 5.9 (Dispersi)

Sebuah medium disebut dispersif bila kecepatan fasenya bergantung pada frekuensinya. Sinyal tak sinusoidal, yang merupakan jumlah sinusoid, lalu berubah bentuk sambil berjalan, karena komponennya saling menjauh. Bunyi di udara dan cahaya di hampa bersifat tak dispersif; cahaya di kaca (Bab 2) dan gelombang di air dalam bersifat dispersif — alun panjang dari badai yang jauh tiba sehari sebelum riak pendeknya.

5.3 Superposisi dan interferensi

Teorema 5.10 (Superposisi)

Dalam medium linear, ketika beberapa gelombang merambat bersama, sinyal hasilnya pada tiap titik dan tiap saat adalah jumlah sinyal yang akan dihasilkan tiap gelombang sendirian.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 5.11 (Kelinearan)

Superposisi adalah pernyataan tentang persamaan mediumnya (yang linear terhadap sinyalnya), yang benar selama amplitudonya tetap kecil: bunyi di bawah ambang nyeri, cahaya di bawah intensitas pemotong laser, senar yang dipetik lembut. Dua berkas cahaya bersilangan tanpa saling mengganggu; dua riak saling menembus lalu keluar utuh. Apa yang teramati di tempat keduanya bertindih adalah pokok bahasan interferensi.

Teorema 5.12 (Dua sinyal sinusoidal berfrekuensi sama)

Pada sebuah titik tempat dua sinyal sinusoidal berfrekuensi sama tiba, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ dan $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , jumlahnya adalah sinusoid berfrekuensi sama yang amplitudonya memenuhi

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

Untuk gelombang yang intensitasnya (daya tiap satuan luas) sebanding dengan $A^2$ , intensitasnya menuruti rumus Fresnel

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

Interferensinya konstruktif ( $A = A_1 + A_2$ ) ketika $\Delta\varphi = 2n\pi$ , dan destruktif ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) ketika $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ , $n \in \Z$ .

Bukti. Jabarkan: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ dengan $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . Secara geometri: $A$ adalah panjang jumlah dua vektor yang panjangnya $A_1$ , $A_2$ dan membentuk sudut $\Delta\varphi$ (aturan kosinus). ∎

Proposisi 5.13 (Dua sumber sefase; beda lintasan)

Dua sumber yang memancar sefase pada panjang gelombang $\lambda$ , pada jarak $d_1$ dan $d_2$ dari sebuah titik $M$ , tiba di $M$ dengan $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ , dengan $\delta = d_2 - d_1$ sebagai beda lintasannya. Interferensi di $M$ konstruktif jika $\delta = n\lambda$ , dan destruktif jika $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

Bukti. Tiap gelombang tiba dengan ketertinggalan fase $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ akibat perjalanannya (Proposisi 5.8); selisihnya $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . Terapkan Teorema 5.12. ∎

Contoh 5.14 (Dua pengeras suara)

Dua pengeras suara yang berjarak $2.0\,\mathrm{m}$ membunyikan nada $850\,\mathrm{Hz}$ yang sama secara sefase ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). Pada sumbu bagi tegaknya $\delta = 0$ : keras di mana-mana. Sepanjang ruas yang menghubungkan keduanya, $\delta$ berubah sebesar $2\lambda$ tiap panjang gelombang perpindahan, sehingga bintik senyapnya ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) duduk setiap $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — sebuah gelombang berdiri, pokok bahasan subbab berikutnya. Baliklah kabel salah satu pengerasnya sehingga ia berbunyi berlawanan fase, dan yang keras dan yang senyap bertukar tempat.

Contoh 5.15 (Lubang Young)

Dua lubang jarum $S_1$ , $S_2$ yang berjarak $a$ , disinari satu sumber ekawarna (sehingga keduanya memancar sefase), mengirimkan cahaya ke layar berjarak $D \gg a$ . Pada sebuah titik layar yang berketinggian $x$ dari sumbunya, beda lintasannya

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(untuk $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , lalu kurangkan). Pita terang pada $x = n\lambda D/a$ : jarak antarpitanya adalah

i = \frac{\lambda D}{a} .

Dengan $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — sebatang mistar mengukur panjang gelombang cahaya. Di dalam medium berindeks $n$ , beda lintasan yang harus dipakai adalah lintasan optik, yaitu $n \times$ panjangnya, karena $\lambda = \lambda_0/n$ .

Lubang Young: dua sumber sefase yang berjarak a mencapai titik M sebuah layar jauh menyusuri lintasan yang berselisih ax/D. Intensitas pada layarnya, 4I_0 2(π x/i), berselang-seling terang dan gelap dengan jarak antarpita i = D/a. — Lubang Young: dua sumber sefase yang berjarak $a$ mencapai titik $M$ sebuah layar jauh menyusuri lintasan yang berselisih $\delta \approx ax/D$ . Intensitas pada layarnya, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ , berselang-seling terang dan gelap dengan jarak antarpita $i = \lambda D/a$ .

Catatan 5.16 (Koherensi)

Rumus Fresnel mengandaikan beda fase yang tetap. Dua lampu yang terpisah mempunyai fase yang melompat secara acak miliaran kali tiap sekon; rata-rata $\cos\Delta\varphi$ menjadi nol dan intensitasnya sekadar bertambah: tak ada pita. Interferensi menuntut sumber yang koheren — dalam praktiknya, dua gelombang yang keluar dari satu sumber, lewat dua lubang, dua celah, dua muka selaput tipis, atau sebuah pembelah berkas. Dua pengeras suara yang digerakkan satu pembangkit bersifat koheren; dua penyanyi tidak.

5.4 Gelombang berdiri

Teorema 5.17 (Gelombang berdiri)

Dua gelombang sinusoidal beramplitudo dan berfrekuensi sama yang berjalan berlawanan arah berjumlah

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

sebuah gelombang berdiri: setiap titik berosilasi sefase (atau berlawanan fase) dengan amplitudo $2A\abs{\cos kx}$ yang bergantung pada kedudukannya — nol di simpul $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ , dan maksimum di perut $x = n\lambda/2$ ; simpulnya berjarak $\lambda/2$ . Tak ada yang merambat: variabel $x$ dan $t$ terpisah.

Bukti. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ dengan $a = \omega t - kx$ , $b = \omega t + kx$ . ∎

Proposisi 5.18 (Moda senar yang terikat kedua ujungnya)

Senar sepanjang $L$ , bercepat rambat $c$ , yang terikat di $x = 0$ dan $x = L$ , hanya dapat menopang gelombang berdiri sinusoidal jika $L$ merupakan bilangan bulat setengah panjang gelombang:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Inilah modanya; $f_1 = c/2L$ adalah frekuensi dasarnya, dan $f_n$ harmoniknya. Ketika digerakkan pada salah satu ujungnya dengan frekuensi yang dekat dengan $f_n$ , senarnya beresonansi dalam bentuk moda $n$ (percobaan Melde); ketika dipetik, ia bergetar dalam superposisi moda, dan telinga mendengar $f_1$ sebagai tinggi nadanya.

Bukti. Ujung yang terikat adalah simpul. Gelombang yang dipantulkan di $x = L$ berjalan kembali lalu bersuperposisi dengan gelombang datangnya menjadi gelombang berdiri; agar simpulnya jatuh di $x = 0$ pula, $\cos kx$ harus diganti $\sin kx$ (geser titik asalnya) dan $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ , dan $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

Tiga moda pertama senar yang terikat kedua ujungnya: n setengah panjang gelombang muat dalam L; senarnya berayun di antara dua bentuk ekstremnya (gelap dan terang), sedangkan simpulnya tetap diam. Frekuensinya f_n = nf_1. — Tiga moda pertama senar yang terikat kedua ujungnya: $n$ setengah panjang gelombang muat dalam $L$ ; senarnya berayun di antara dua bentuk ekstremnya (gelap dan terang), sedangkan simpulnya tetap diam. Frekuensinya $f_n = nf_1$ .

Contoh 5.19 (Sebuah senar gitar)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , dilaraskan ke $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dengan $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ tegangannya $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — sepuluh kilogram tergantung pada tiap senarnya. Jari yang ditekan pada fret kedua belas memotong $L$ menjadi separuh dan melipatduakan $f_1$ : itulah oktafnya. Jari yang sekadar menyentuh titik tengahnya memaksa adanya simpul di sana dan mematikan setiap moda ganjil: senarnya berdering pada $2f_1$ , “harmonik” para gitaris.

Catatan 5.20 (Pipa, dan sebuah pratinjau)

Kolom udara sebuah seruling, yang terbuka di kedua ujungnya, mempunyai simpul tekanan di kedua ujungnya dan moda yang sama $f_n = nc/2L$ ; pipa yang tertutup di salah satu ujungnya mempunyai simpul di ujung tertutup dan perut di ujung terbukanya, sehingga $L = (2n + 1)\lambda/4$ dan hanya harmonik ganjil $f = (2n + 1)c/4L$ yang berbunyi — warna bunyi klarinet yang berongga. Mengurung gelombang di antara dua dinding dengan demikian mengkuantumkan frekuensinya; ketika gelombangnya adalah gelombang materi sebuah elektron di dalam atom, pencacahan setengah panjang gelombang yang sama mengkuantumkan energinya (Bab 30).

5.5 Latihan

Latihan 5.1 ★

Guruh tiba $6.0\,\mathrm{s}$ setelah kilatnya: seberapa jauh sambarannya? Denyut sonar kembali setelah $0.40\,\mathrm{s}$ di dalam air ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): seberapa dalam dasar lautnya?

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . Bolak-balik: kedalamannya $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

Latihan 5.2 ★

Gelombang bunyi $440\,\mathrm{Hz}$ merambat di udara ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Hitunglah panjang gelombangnya, beda fase antara dua mikrofon yang berjarak $20\,\mathrm{cm}$ menyusuri arah rambatnya, dan jarak-jarak yang membuat dua titik berosilasi sefase.

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ); sefase untuk pisah sejauh $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

Latihan 5.3 ★

Sebuah senar bertegangan $80\,\mathrm{N}$ dan bermassa tiap satuan panjang $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : hitunglah $c$ , dan panjang gelombang gelombang $200\,\mathrm{Hz}$ di atasnya.

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

Latihan 5.4 ★

Garpu tala $440\,\mathrm{Hz}$ dan senar $444\,\mathrm{Hz}$ : berapa layangan tiap sekon? Berapa periode selubungnya? Senarnya dikendurkan, dan layangannya melambat menjadi $1\,\mathrm{Hz}$ : berapa frekuensinya sekarang (secara asas ada dua jawaban — yang mana, dan bagaimana Anda memeriksanya)?

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

$444 - 440 = 4$ layangan tiap sekon; periode selubungnya $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . Mengendurkannya menurunkan senarnya: $441\,\mathrm{Hz}$ (mencapai $439\,\mathrm{Hz}$ berarti harus melewati kesenyapan pada $440\,\mathrm{Hz}$ ); periksalah dengan mengendurkannya sedikit lagi: layangannya harus lenyap, lalu kembali.

Latihan 5.5 ★★

Senar sepanjang $0.60\,\mathrm{m}$ , $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , terikat di kedua ujungnya. Berikan tiga frekuensi moda pertamanya dan kedudukan simpul moda ketiganya. Di mana senarnya harus disentuh agar berbunyi pada $600\,\mathrm{Hz}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; $400$ , $600\,\mathrm{Hz}$ . Moda ketiga: simpul di $0$ , $0.20$ , $0.40$ , $0.60\,\mathrm{m}$ . Sentuhlah pada $20\,\mathrm{cm}$ (atau $40\,\mathrm{cm}$ ) dari sebuah ujung: simpul di sana hanya menyisakan $n = 3, 6, \dots$ , dan senarnya berbunyi pada $600\,\mathrm{Hz}$ .

Latihan 5.6 ★★

Dua pengeras suara berjarak $2.0\,\mathrm{m}$ memancarkan $850\,\mathrm{Hz}$ sefase ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Tentukan letak bintik senyapnya pada ruas yang menghubungkan keduanya, lalu katakan apa yang didengar pendengar yang berjalan menyusuri sumbu bagi tegaknya. Apa yang berubah jika kabel salah satu pengerasnya dipasang berlawanan fase?

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . Pada ruasnya, pada jarak $x$ dari pengeras suara 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; senyap untuk $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, setiap $20\,\mathrm{cm}$ ; titik tengahnya keras. Pada sumbu baginya $\delta = 0$ : keras di sepanjangnya (hanya ada peluruhan $1/r$ ). Berlawanan fase: yang keras dan yang senyap bertukar — senyap di titik tengahnya dan setiap $20\,\mathrm{cm}$ darinya.

Latihan 5.7 ★★

Lubang Young: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , cahaya natrium $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Hitunglah jarak antarpitanya; lalu untuk cahaya biru pada $450\,\mathrm{nm}$ ; berapa pita terang yang muat dalam $2.0\,\mathrm{cm}$ di sekitar pusatnya dengan lampu natrium itu?

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; biru: $3.4\,\mathrm{mm}$ . Dalam $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : pita di $0$ , $\pm 4.4$ , $\pm 8.8$ mm — lima buah.

Latihan 5.8 ★★

Dua gelombang koheren berintensitas $I_0$ dan $I_0$ berinterferensi: berikan $I_{\max}$ dan $I_{\min}$ . Pertanyaan yang sama untuk $I_0$ dan $I_0/4$ . Definisikan kontrasnya $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ lalu hitunglah pada kedua kasus.

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

Sama besar: $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , kontrasnya $1$ . $I_0$ dan $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; kontrasnya $2.0/2.5 = 0.8$ .

Latihan 5.9 ★★

Sebuah pipa sepanjang $0.50\,\mathrm{m}$ ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Berikan tiga frekuensi resonansi pertamanya jika ia tertutup di salah satu ujungnya, lalu jika ia terbuka di kedua ujungnya. Mana klarinet, mana seruling?

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

Tertutup–terbuka: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ , $850\,\mathrm{Hz}$ (hanya harmonik ganjil: klarinetnya). Terbuka–terbuka: $nc/2L = 340$ , $680$ , $1020\,\mathrm{Hz}$ (serulingnya).

Latihan 5.10 ★★★

Di air dalam, kecepatan fase gelombang sinusoidal adalah $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . Hitunglah untuk $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ dan $100\,\mathrm{m}$ . Badai sejauh $1000\,\mathrm{km}$ membangkitkan keduanya: alun mana yang mencapai pantai lebih dulu, dan berapa lebih cepatnya? Mengapa hal ini membuat lautan “dispersif”?

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ untuk $100\,\mathrm{m}$ . Alun panjangnya lebih dulu: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ terhadap $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , dua hari lebih awal. Lajunya bergantung pada panjang gelombang: lautan bercampur menyortir dirinya menurut panjang gelombang sambil berjalan — itulah dispersi.

Latihan 5.11 ★★★

Tunjukkan bahwa menyentuh senar dengan ringan di titik $L/3$ dari salah satu ujungnya hanya menyisakan moda berfrekuensi $3f_1, 6f_1, \dots$ , dan bahwa memetik senar di titik tengahnya tidak membangkitkan moda genap. (Petunjuk: apa yang dituntut sebuah simpul, atau simpangan maksimum, di titik itu dari $\sin(n\pi x/L)$ tiap modanya?)

Solusi

Solusi Latihan 5.11.

Moda $n$ berbentuk $\sin(n\pi x/L)$ . Simpul yang dipaksakan di $x = L/3$ menuntut $\sin(n\pi/3) = 0$ , yaitu $n$ kelipatan $3$ : frekuensinya $3f_1, 6f_1, \dots$ Memetik di $L/2$ memberi senarnya simpangan maksimum di sana, yang hanya dapat disumbang moda $n$ jika $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : moda genap, yang bersimpul di $L/2$ , tak menerima apa pun.

Latihan 5.12 ★★★

Sebuah penerima radio berjarak $d$ di depan dinding logam menerima gelombang langsung dari pemancar jauh dan gelombang yang dipantulkan dindingnya, yang menempuh $2d$ lebih jauh dan memperoleh tambahan fase $\pi$ pada pemantulannya. Pada $f = 100\,\mathrm{MHz}$ , carilah jarak $d$ yang membuat sinyalnya lenyap dan jarak yang membuatnya paling kuat. Bagaimana hal ini menjelaskan “bintik mati” radio mobil di dalam terowongan?

Solusi

Solusi Latihan 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . Beda fasenya $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destruktif ketika ia sama dengan $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; konstruktif ketika $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. Dinding dan atap terowongan memantulkan gelombangnya: sebuah pola berdiri dengan bintik mati setiap setengah panjang gelombang menyusuri jalur mobilnya.

5.6 Soal: Senar Melde dan gitar

Soal 5.1

Soal akhir pekan — senar bergetar di atas meja kerja, sebuah katrol dan beberapa beban, lalu sebuah gitar: bagaimana pencacahan setengah panjang gelombang menetapkan setiap nada pada papan frennya

Senar bermassa tiap satuan panjang $\mu$ direntangkan mendatar dengan tegangan $F$ antara penggetar elektromagnetik kecil di $x = L$ (yang menggoyangnya secara melintang dengan amplitudo mungil pada frekuensi $f$ ) dan titik tetap di $x = 0$ ; gelombang melintang di atasnya berjalan dengan $c = \sqrt{F/\mu}$ (diturunkan dalam volume Tahun ke-2).

Bagian I — Gelombang pada senarnya.

Periksalah dengan analisis dimensi bahwa $\sqrt{F/\mu}$ adalah sebuah laju.
Penggetarnya mengirimkan ke arah $x = 0$ gelombang $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Mengapa tandanya $+kx$ ? Berikan $k$ dalam $f$ dan $c$ .
Untuk $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ dan $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , hitunglah $c$ , $\lambda$ dan $k$ .
Dua titik senarnya berjarak $15\,\mathrm{cm}$ . Berapa beda fase antara geraknya untuk gelombang berjalan ini?
Untuk $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , berapa kecepatan melintang maksimum sebuah titik senarnya? Bandingkan dengan $c$ .

Bagian II — Pemantulan dan gelombang berdiri. Pada ujung tetap $x = 0$ gelombangnya dipantulkan dengan tanda terbalik: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

Mengapa gelombang pantulnya harus memuat $-kx$ dalam fasenya, dan mengapa amplitudonya terbalik (pikirkan berapa seharusnya sinyal totalnya di $x = 0$ )?
Tunjukkan bahwa $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
Tentukan letak simpul dan perutnya; berikan jarak antara dua simpul yang bertetangga.
Amplitudo penggetarnya sendiri begitu kecil sehingga $x = L$ praktis merupakan simpul. Simpulkan syarat pada $L$ agar gelombang berdirinya besar (resonansi), dan frekuensi $f_n$ yang diizinkan.
Dengan $L = 1.20\,\mathrm{m}$ dan data pertanyaan 3, berapa setengah panjang gelombang (“perut”) yang muncul? Apakah senarnya beresonansi?
Dengan menahan $f = 50\,\mathrm{Hz}$ dan $L$ , tegangan berapa yang memberi resonansi dengan $3$ dan dengan $6$ perut?
Sebaliknya, orang mencacah perutnya untuk mengukur $\mu$ : dengan $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ perut pada $50\,\mathrm{Hz}$ sepanjang $1.20\,\mathrm{m}$ , hitunglah $\mu$ .
Tegangannya disetel dengan massa gantung $m$ lewat sebuah katrol, $F = mg$ , dengan $m$ diketahui sampai $\pm1\,\mathrm{g}$ dari $163\,\mathrm{g}$ , dan $L$ sampai $\pm2\,\mathrm{mm}$ . Pengukuran mana yang membatasi $\mu$ , dan berapa ketidakpastian nisbinya?

Bagian III — Gitarnya. Enam senar dengan panjang getar $L = 650\,\mathrm{mm}$ dilaraskan ke $82.4\,\mathrm{Hz}$ (E rendah), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ dan $329.6\,\mathrm{Hz}$ (E tinggi).

Moda mana yang diambil telinga sebagai tinggi nadanya? Nyatakan $c$ pada tiap senarnya dari $L$ dan tinggi nadanya, lalu hitunglah untuk kedua senar E.
Senar E rendah mempunyai $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , senar E tinggi $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : hitunglah tegangannya. Mengapa senar bas dililit logam alih-alih sekadar ditarik lebih kencang?
Musik Barat membagi oktaf menjadi dua belas seminada yang sama: tiap fret mengalikan frekuensinya dengan $2^{1/12}$ . Tunjukkan bahwa fret ke- $n$ harus duduk pada jarak $L(1 - 2^{-n/12})$ dari natnya, lalu hitunglah kedudukan fret $1$ , $5$ , $7$ dan $12$ .
Jarak antarfretnya menyusut ke arah ujung lehernya: dengan faktor berapa dari satu fret ke fret berikutnya?
Sebuah kapo yang dijepitkan pada fret $3$ memendekkan setiap senarnya: dengan faktor berapa ia meninggikan tiap nadanya, dan berapa panjang getarnya yang baru?
Menyentuh (bukan menekan) senar E rendah di atas fret $12$ , lalu di atas fret $7$ (pada $L/3$ ), memberi dua “harmonik”: frekuensi berapa, dan moda mana yang bertahan?
Memetik dekat jembatannya terdengar lebih cerah daripada memetik di atas lubang suaranya. Jelaskan dengan bentuk modanya.
Dua senar dilaraskan berjarak satu kuint ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Ketika keduanya dimainkan bersama, seorang pendengar mendengar layangan lemah $2\,\mathrm{Hz}$ antara harmonik ketiga senar bawahnya dan harmonik kedua senar atasnya: berapa nisbah $f_2/f_1$ yang sebenarnya, jika $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

Bagian IV — Melaras dengan garpu tala.

Senar A ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) dilaraskan terhadap garpu tala $440\,\mathrm{Hz}$ . Harmonik senar mana yang melayang terhadap garpu talanya? Jika terdengar $3\,$ layangan tiap sekon, berapa dua frekuensi senar yang mungkin?
Memutar pasaknya menaikkan tegangannya sedikit dan layangannya makin cepat: yang mana di antara keduanya tadi, dan dengan perubahan nisbi berapa tegangannya harus berubah untuk mencapai nada yang benar?
Tunjukkan bahwa perubahan nisbi tegangan $\dd F/F$ mengubah frekuensinya sebesar $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
Ringkaslah rangkaian hasilnya: bagaimana panjang, tegangan dan massa senarnya menetapkan nada dasarnya, bagaimana fret menetapkan tangga nadanya, dan bagaimana layangan melaraskannya — lalu sebutkan satu hubungan yang mendasari semuanya.

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : kuadrat sebuah laju.

2. Gelombang menuju $-x$ bergantung pada $t + x/c$ , yaitu pada $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lima puluh kali lebih kecil daripada $c$ : titik-titik senarnya bergerak lambat sementara bentuknya melesat.

6. Ia berjalan menuju $+x$ : fasenya $\omega t - kx$ . Pada ujung tetapnya simpangan totalnya lenyap setiap saat: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , sehingga $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. Simpul: $\sin kx = 0$ , $x = n\lambda/2$ ; perut $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; simpul bertetangga berjarak $\lambda/2$ .

9. $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$ , yaitu $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : empat perut, sebuah bilangan bulat — resonansi.

11. $3$ perut: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . $6$ perut: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; massanya yang membatasi.

14. Nada dasarnya. $c = 2Lf_1$ : E rendah $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; E tinggi $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : E rendah $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; E tinggi $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tegangan yang sebanding. Menurunkan $f$ dengan faktor $4$ pada $L$ dan $\mu$ tetap akan menuntut tegangan $16$ kali lebih kecil: senar yang lembek dan mendengung. Lilitannya menaikkan $\mu$ sebagai gantinya.

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ dan $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$ , jaraknya dari nat $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : fret 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , fret 5 $163\,\mathrm{mm}$ , fret 7 $216\,\mathrm{mm}$ , fret 12 $325\,\mathrm{mm}$ .

17. Tiap jaraknya $2^{-1/12} = 0.944$ kali jarak sebelumnya.

18. Faktornya $2^{3/12} = 1.19$ (tiga seminada); panjangnya $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. Menyentuh di $L/2$ : hanya moda genap, nadanya $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; di $L/3$ : kelipatan $3$ , nadanya $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. Dekat sebuah ujung, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ tumbuh bersama $n$ : moda tinggi relatif lebih terbangkitkan — cerah. Di atas lubang suaranya (dekat tengahnya) moda genapnya lemah dan nada dasarnya mendominasi — lembut.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ melayang $2\,\mathrm{Hz}$ terhadap $2f_2$ : $f_2 = 166$ atau $164\,\mathrm{Hz}$ , nisbahnya $1.509$ atau $1.491$ (kuint bertemperamen sama adalah $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. Harmonik keempat, $4f$ . Tiga layangan: $4f = 437$ atau $443\,\mathrm{Hz}$ , $f = 109.25$ atau $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. Layangannya makin cepat ketika dikencangkan, jadi senarnya terlalu tinggi: $110.75\,\mathrm{Hz}$ . Ia harus turun sebesar $0.75/110.75 = 0.68\%$ , yaitu tegangannya sebesar $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , sehingga $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{tetap}$ dan $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : panjangnya menetapkan $\lambda_1 = 2L$ , tegangan dan massanya menetapkan $c$ , fret menskalakan $L$ dengan $2^{-n/12}$ , dan layangan menyingkap $f - f_{\text{acuan}}$ . Di balik semuanya, satu hubungan: $\lambda f = c$ , dengan syarat gelombang berdiri $L = n\lambda/2$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium