Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

22Hukum Pertama Termodinamika

Pompalah ban sepeda dan tabung pompanya menjadi terlalu panas untuk dipegang. Sebuah mesin diesel tak berbusi: ia memampatkan udaranya sampai dua puluh kali lebih kecil, dan udaranya menjadi cukup panas untuk menyalakan bahan bakarnya sendiri. Sebuah tabung gas mampat berselimut embun beku ketika ia mengosong. Pada tiap kasusnya energinya berganti rupa — usaha menjadi kalor, kalor menjadi usaha, keduanya menjadi energi dalam — dan hukum pertama termodinamika adalah pembukuan yang membuat neracanya seimbang. Bab ini mendefinisikan usaha dan kalor bagi sebuah sistem termodinamika, menyatakan hukum pertamanya, memperkenalkan energi dalam dan entalpi sebagai besaran yang dikekalkannya, lalu menerapkannya pada transformasi gas ideal dan pada kalorimetri.

Sebuah pompa sepeda: usaha tangan pada udara yang terperangkap menaikkan energi dalamnya, dan tabungnya menjadi hangat — hukum pertama di dalam telapak tangan.

22.1 Transformasi, usaha, dan kalor

Definisi 22.1 (Sistem, transformasi)

Yang disebut sistem termodinamika adalah materi di dalam batas yang dipilih; selebihnya adalah lingkungannya. Sebuah transformasi membawanya dari satu keadaan setimbang ke keadaan setimbang yang lain. Ia disebut kuasistatik bila sistemnya melewati rentetan keadaan setimbang (cukup lambat agar $P$ , $T$ terdefinisi di seluruhnya), dan reversibel bila, di samping itu, membalikkan syarat luarnya membalikkan lintasannya (tanpa gesekan, tanpa selisih suhu atau tekanan yang berhingga dengan lingkungannya). Namanya menurut apa yang tetap: isotermal ( $T$ ), isobarik ( $P$ ), isokorik ( $V$ ); adiabatik bila tak ada kalor yang dipertukarkan; monobarik (monotermal) bila tekanan (suhu) luarnya tetap, apa pun yang terjadi di dalamnya.

Proposisi 22.2 (Usaha gaya tekanan)

Sebuah sistem yang volumenya berubah sebesar $\dd V$ melawan tekanan luar $P_{\mathrm{ext}}$ menerima usaha

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

Bagi transformasi kuasistatik $P_{\mathrm{ext}} = P$ (tekanan sistemnya sendiri) dan $W = -\int P\,\dd V$ adalah minus luas di bawah lintasannya pada diagram Clapeyron: positif ketika dimampatkan, negatif ketika memuai.

Bukti. Sebuah torak seluas $S$ yang didorong lingkungannya dengan gaya $P_{\mathrm{ext}}S$ bergerak sejauh $\dd x$ ke luar: lingkungannya melakukan usaha $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ pada sistemnya. Sebarang batas adalah kumpulan torak semacam itu. Kuasistatik: toraknya setimbang, $P_{\mathrm{ext}} = P$ sampai selisih yang lenyap. ∎

Definisi 22.3 (Kalor)

Yang disebut kalor $Q$ adalah energi yang dipindahkan ke sistemnya selain melalui usaha makroskopik — melalui tumbukan molekul pada sebuah dinding (konduksi), melalui peredaran sebuah fluida (konveksi), melalui radiasi. Sebuah termostat adalah benda yang begitu besar sehingga suhunya tak berubah berapa pun kalor yang dipertukarkannya. Perjanjian tanda di seluruh buku: $W$ dan $Q$ diterima oleh sistemnya, positif ketika keduanya masuk.

22.2 Hukum pertama

Teorema 22.4 (Hukum pertama termodinamika)

Sebuah sistem tertutup memiliki fungsi keadaan, yaitu energi dalamnya $U$ (ekstensif), sehingga bagi sebarang transformasi

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

dengan $E_k$ energi kinetik makroskopiknya (nol bagi sistem yang diam): energi yang diterima sebagai usaha dan kalor tersimpan sebagai energi dalam. $W$ dan $Q$ masing-masing bergantung pada lintasannya; jumlahnya tidak.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 22.5 (Apa yang dikatakannya)

Ia adalah kekekalan energi, dengan kalor diakui sebagai perpindahan energi (percobaan roda dayung Joule: usaha yang terukur selalu menaikkan suhu air sebanyak kalor yang terukur). “ $U$ adalah fungsi keadaan” berarti $\Delta U$ ditetapkan oleh keadaan awal dan akhirnya — sehingga sebuah siklus mempunyai $\Delta U = 0$ dan $W + Q = 0$ : mesin yang menyampaikan usaha harus menerima kalor. Isi mikroskopik $U$ adalah isi Definisi 20.10.

Definisi 22.6 (Entalpi; kapasitas kalor)

Yang disebut entalpi $H = U + PV$ adalah fungsi keadaan yang cocok bagi transformasi pada tekanan tetap. Yang disebut kapasitas kalor pada volume tetap dan pada tekanan tetap adalah

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

dalam $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; tiap mol $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ ; tiap kilogram kalor jenisnya $c_V$ , $c_P$ .

Proposisi 22.7 (Kalor pada volume tetap dan pada tekanan tetap)

Bagi sistem yang diam yang bertukar usaha hanya melalui gaya tekanan:

transformasi isokorik: $W = 0$ dan $Q_V = \Delta U$ ;
transformasi monobarik di antara dua keadaan pada tekanan luar $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ .

Bukti. Isokorik: $\dd V = 0$ . Monobarik: $W = -P_0(V_2 - V_1)$ , sehingga $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ karena $P_1 = P_2 = P_0$ . ∎

Proposisi 22.8 (Gas ideal: $U$ , $H$ , hubungan Mayer)

Bagi gas ideal, $U$ dan $H$ hanya bergantung pada $T$ (hukum Joule): $\dd U = C_V\,\dd T$ , $\dd H = C_P\,\dd T$ , dan

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

$\gamma = 5/3$ bagi gas monoatomik, $7/5$ bagi gas diatomik pada suhu biasa. Bagi fase terkondensasi dalam model Proposisi 20.13, $C_P \approx C_V = C$ dan $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ .

Bukti. $H = U + nRT$ ; turunkan terhadap $T$ . $C_{V,m} = \tfrac32 R$ atau $\tfrac52 R$ dari Proposisi 20.11. ∎

22.3 Transformasi gas ideal

Proposisi 22.9 (Keempat transformasi baku)

Bagi $n$ mol gas ideal:

isokorik: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ;
isobarik (kuasistatik): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ;
isotermal reversibel: $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ;
adiabatik reversibel: $Q = 0$ , $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , dan sepanjang lintasannya berlaku hukum Laplace

$PV^\gamma = \text{tetap}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{tetap}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{tetap} .$

Bukti. Isokorik dan isobarik: proposisi sebelumnya. Isotermal: $W = -\int nRT\,\dd V/V$ . Adiabatik: $\dd U = \delta W$ , yakni $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ , sehingga $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (memakai $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ ); integralkan: $TV^{\gamma - 1}$ tetap; bentuk yang lain dari $PV = nRT$ . ∎

Kiri: pada diagram Clapeyron usaha yang diterima dalam pemampatan kuasistatik adalah luas di bawah lintasannya; berangkat dari titik yang sama, adiabatnya lebih curam daripada isotermnya (> 1): gas yang dimampatkan tanpa kehilangan kalor akan memanas dan memanjat ke isoterm yang lebih tinggi. Kanan: usaha lingkungan pada sebuah torak. — Kiri: pada diagram Clapeyron usaha yang diterima dalam pemampatan kuasistatik adalah luas di bawah lintasannya; berangkat dari titik yang sama, adiabatnya lebih curam daripada isotermnya ( $\gamma > 1$ ): gas yang dimampatkan tanpa kehilangan kalor akan memanas dan memanjat ke isoterm yang lebih tinggi. Kanan: usaha lingkungan pada sebuah torak.

Contoh 22.10 (Pompa dan diesel)

Udara ( $\gamma = 1.4$ ) yang dimampatkan secara adiabatik dari $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ke $7\,\mathrm{bar}$ (sebuah pompa sepeda): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ untuk sesaat, dan itulah yang dirasakan tabungnya. Nisbah kompresi sebuah diesel $20$ : $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ , $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — di atas suhu nyala sendiri bahan bakarnya: mesinnya tak memerlukan busi (soal akhir pekannya menjalankan seluruh siklusnya).

Catatan 22.11 (Transformasi tak reversibel)

Ketika transformasinya tidak kuasistatik, hukum Laplace dan $W = -\int P\,\dd V$ tak berlaku; yang berlaku hanya $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ dan hukum pertamanya. Dua kasus klasik: gas yang memuai ke dalam hampa (ekspansi Joule) tak menerima usaha dan, dalam dinding adiabatik, tak menerima kalor — $\Delta U = 0$ , dan gas ideal menjaga suhunya; gas yang tiba-tiba dimampatkan oleh tekanan luar yang melonjak ke $P_2$ menerima $W = -P_2\Delta V$ , lebih besar daripada usaha reversibel ke tekanan yang sama, dan berakhir lebih panas (Latihan 22.11).

22.4 Kalorimetri

Metode 22.12 (Neraca kalorimetrik)

Benda-benda yang disentuhkan secara termal di dalam bejana terisolasi pada tekanan tetap (atmosfer) bertukar kalor hanya di antara mereka sendiri: totalnya $\Delta H = \sum Q_P = 0$ . Bagi tiap benda $\Delta H = mc\,\Delta T$ (tanpa perubahan wujud) atau $\pm mL$ bagi perubahan wujud pada suhu peralihannya, dengan $L$ adalah kalor latennya (entalpi peleburan atau penguapan tiap satuan massa: air, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ). Tuliskan neracanya, selesaikan untuk suhu akhirnya, lalu periksa bahwa wujud yang diandaikan bagi tiap benda konsisten dengannya.

Contoh 22.13 (Es di dalam air)

$50\,\mathrm{g}$ es pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ke dalam $200\,\mathrm{g}$ air pada $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ : peleburannya menuntut $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; airnya dapat memberikan $25.1\,\mathrm{kJ}$ ketika mendingin ke $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , sehingga seluruh esnya mencair dan neraca $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ memberikan $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Seandainya esnya $100\,\mathrm{g}$ , $33.4\,\mathrm{kJ}$ akan dituntut: hanya sebagian yang mencair dan $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — pemeriksaan itu berarti.

Memanaskan satu kilogram air dari es pada -20 C menjadi uap: suhunya berhenti pada tiap perubahan wujud selama kalor latennya diberikan — 334\, kJ untuk mencair, 2260\, kJ untuk mendidih, jauh lebih besar daripada 418\, kJ yang membawa zat cairnya dari 0\, ke 100 C. — Memanaskan satu kilogram air dari es pada $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ menjadi uap: suhunya berhenti pada tiap perubahan wujud selama kalor latennya diberikan — $334\,\mathrm{kJ}$ untuk mencair, $2260\,\mathrm{kJ}$ untuk mendidih, jauh lebih besar daripada $418\,\mathrm{kJ}$ yang membawa zat cairnya dari $0\,$ ke $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

22.5 Latihan

Latihan 22.1 ★

Satu mol udara ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) dipanaskan dari $300\,\mathrm{K}$ ke $400\,\mathrm{K}$ pada tekanan tetap. Kalor yang diterimanya, usaha yang diterimanya, perubahan energi dalamnya.

Solusi

Solusi Latihan 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ .

Latihan 22.2 ★

Satu mol gas pada $300\,\mathrm{K}$ dimampatkan secara isotermal dan reversibel dari $2.0\,\mathrm{L}$ ke $0.50\,\mathrm{L}$ . Usaha yang diterimanya, kalor yang dipertukarkan, $\Delta U$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 0$ sehingga $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (diberikan kepada rendamannya).

Latihan 22.3 ★

Udara pada $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ dimampatkan secara adiabatik dan reversibel sampai sepersepuluh volumenya. Suhu dan tekanan akhirnya.

Solusi

Solusi Latihan 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ .

Latihan 22.4 ★

Berikan $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ dan $\gamma$ untuk argon dan untuk nitrogen. Untuk air cair ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ), mengapa pembedaan antara $c_P$ dan $c_V$ ditiadakan?

Solusi

Solusi Latihan 22.4.

Argon: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ , $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ J/(mol K), $\gamma = 1.67$ ; nitrogen: $20.8$ , $29.1$ , $\gamma = 1.40$ . Bagi air, pemuaiannya ketika dipanaskan amat kecil, sehingga usaha $P\,\dd V$ pada tekanan tetap dapat diabaikan terhadap kalornya: $c_P - c_V \approx 0$ .

Latihan 22.5 ★★

$200\,\mathrm{g}$ air pada $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ dicampur dengan $300\,\mathrm{g}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ di dalam cangkir terisolasi. Suhu akhirnya; apa yang berubah bila cangkirnya sendiri berkapasitas kalor $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ dan bermula pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Dengan cangkirnya: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Latihan 22.6 ★★

$50\,\mathrm{g}$ es pada $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c_{\text{es}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) dijatuhkan ke dalam $200\,\mathrm{g}$ air pada $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Wujud dan suhu akhirnya. Pertanyaan yang sama dengan $150\,\mathrm{g}$ es.

Solusi

Solusi Latihan 22.6.

Esnya: hangatkan sampai $0$ : $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ; lalu cairkan: $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; totalnya $17.8\,\mathrm{kJ}$ . Airnya dapat memberikan $25.1\,\mathrm{kJ}$ sampai $0$ : seluruhnya mencair; lalu $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ: $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Dengan $150\,\mathrm{g}$ : dituntut $53.3\,\mathrm{kJ}$ $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : hanya $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ es yang mencair, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $84\,\mathrm{g}$ es tersisa.

Latihan 22.7 ★★

Sebuah gas menuruti siklus persegi panjang pada diagram Clapeyron: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ dengan $V_2 > V_1$ , $P_2 > P_1$ . Usaha yang diterimanya sepanjang siklusnya, sebagai fungsi luasnya; tandanya, dan makna tanda itu.

Solusi

Solusi Latihan 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : siklusnya ditempuh berlawanan arah jarum jam (memuai pada tekanan rendah, memampat pada tekanan tinggi), sehingga gasnya menerima usaha total, sebesar luas yang dilingkupinya; searah jarum jam ia akan menyampaikannya — sebuah mesin.

Latihan 22.8 ★★

Sebuah pompa sepeda memampatkan udara dari $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ke $7\,\mathrm{bar}$ cukup cepat sehingga adiabatik. Suhu yang dicapainya; mengapa pompanya menghangat; dan mengapa tekanan bannya turun sedikit setelah pemompaannya berhenti.

Solusi

Solusi Latihan 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ . Udara mampat yang panas memanaskan tabungnya secara konduksi pada tiap langkah. Di dalam bannya udaranya mendingin ke suhu sekitarnya pada volume tetap: $P \propto T$ , tekanannya turun menurut nisbah suhunya — tambahkanlah lagi.

Latihan 22.9 ★★

Sebuah gas ideal memuai ke dalam bejana hampa yang terisolasi (ekspansi Joule). Usaha, kalor, $\Delta U$ , $\Delta T$ . Apakah transformasinya reversibel? Apa yang akan dilakukan gas nyata?

Solusi

Solusi Latihan 22.9.

$W = 0$ (tak ada tekanan luar untuk dilawan), $Q = 0$ : $\Delta U = 0$ , sehingga $\Delta T = 0$ bagi gas ideal. Tak reversibel: gasnya tak pernah mengalir kembali dengan sendirinya. Gas nyata, yang molekulnya saling menarik, mendingin sedikit (sebagian energi kinetiknya menjadi energi potensial ketika mereka saling menjauh).

Latihan 22.10 ★★★

Mendidihkan $1.0\,\mathrm{kg}$ air pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $1\,\mathrm{atm}$ (volume uapnya $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ ). Kalor yang diberikan, usaha yang dipertukarkan dengan atmosfernya, $\Delta U$ . Ke mana sebagian besar kalor latennya pergi?

Solusi

Solusi Latihan 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : $93\%$ kalornya dipakai untuk memisahkan molekulnya (energi dalam), $7\%$ untuk mendorong mundur atmosfernya.

Latihan 22.11 ★★★

Satu mol gas diatomik pada $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ , di dalam tabung terisolasi, dimampatkan dengan tiba-tiba menetapkan tekanan luarnya ke $5\,\mathrm{bar}$ lalu menunggu kesetimbangannya. Suhu dan volume akhirnya (hukum pertama dengan $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ ); bandingkan dengan pemampatan adiabatik reversibel ke $5\,\mathrm{bar}$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ , $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , $V_2 = nRT_2/P_2$ , $V_1 = nRT_1/P_1$ : $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ , $3.5T_2 = 2250$ , $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ . Reversibel: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ . Pemampatan yang tiba-tiba melakukan lebih banyak usaha pada gasnya (seluruh $5\,\mathrm{bar}$ bekerja sejak awal) dan berakhir lebih panas serta kurang termampatkan.

Latihan 22.12 ★★★

Bunyi adalah pemampatan yang cepat, sehingga adiabatik: lajunya $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (nilai isotermal $\sqrt{P/\rho}$ adalah kekeliruan Newton). Hitunglah keduanya untuk udara pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ lalu bandingkan dengan hasil ukur $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tunjukkan bahwa $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ lalu bandingkan dengan kelajuan rms Bab 20.

Solusi

Solusi Latihan 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $15\%$ terlalu kecil. Dengan $P/\rho = RT/M$ : $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ; berbanding $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ .

22.6 Soal: Dari pompa sepeda ke mesin diesel

Soal 22.1

Soal akhir pekan — sebuah pompa tangan yang membakar jari, sebuah tabung yang menyalakan bahan bakarnya sendiri, dan sebuah bola baja yang memantul di atas bantalan udara: hukum pertama dalam tiga pemampatan

Udara: gas diatomik ideal, $\gamma = 1.40$ , $C_{V,m} = \tfrac52 R$ , $C_{P,m} = \tfrac72 R$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . Keadaan awal di mana-mana: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ .

Bagian I — Pompa sepeda. Tabung pompanya bervolume $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ ; udara di dalamnya dimampatkan secara reversibel dan adiabatik sampai mencapai tekanan bannya, $7.0\,\mathrm{bar}$ .

Jumlah zat udara di dalam tabungnya.
Volumenya pada akhir pemampatannya.
Suhunya pada akhir pemampatannya.
Usaha yang diterima udaranya selama satu langkah.
Bannya ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) harus dibawa dari $1\,\mathrm{bar}$ ke $7\,\mathrm{bar}$ pada $300\,\mathrm{K}$ : berapa langkah, dan berapa usaha seluruhnya (ambillah usaha tiap langkahnya tetap)?
Udara panasnya lalu mendingin di dalam bannya sampai $300\,\mathrm{K}$ : apa yang terjadi pada tekanan bannya, dan apa yang dilakukan pesepedanya?
Bandingkan usaha adiabatik tiap langkahnya dengan usaha sebuah pemampatan isotermal ke $7\,\mathrm{bar}$ yang sama. Mengapa usaha isotermalnya lebih besar padahal gasnya berakhir lebih dingin?

Bagian II — Pemampatan dieselnya. Sebuah tabung $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ memampatkan udaranya secara reversibel dan adiabatik dengan faktor $20$ .

Jumlah zat udaranya, dan suhu $T_2$ setelah pemampatannya.
Tekanan $P_2$ .
Bahan bakarnya menyala sendiri di atas kira-kira $500\,\mathrm{K}$ : jelaskan mengapa diesel tak memerlukan busi, dan mengapa mesin bensin (nisbah $\approx 10$ , lihat Latihan 22.3) tak boleh menyala sendiri.
Usaha yang diterima udaranya selama pemampatannya.
Pada $3000\,\mathrm{rpm}$ satu tabung memampatkan $25$ kali tiap sekon: daya yang diserap pemampatannya (ia dikembalikan kemudian dalam siklusnya).
Pemampatan yang sebenarnya berlangsung cepat (ketakreversibelan) dan kehilangan kalor ke dindingnya: ke arah mana masing-masing pengaruh itu menggeser $T_2$ ?

Bagian III — Pembakaran dan ekspansi. Di puncak langkahnya $20\,\mathrm{mg}$ bahan bakar (nilai kalor $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) terbakar sementara toraknya mulai turun, pada tekanan tetap $P_2$ ; lalu gasnya memuai secara reversibel dan adiabatik kembali ke $V_1$ . Perlakukan gasnya sebagai udara di seluruhnya.

Kalor yang dilepaskan bahan bakarnya.
Suhu $T_3$ dan volume $V_3$ pada akhir pembakaran isobariknya.
Usaha yang dipertukarkan selama tahap isobariknya (perhatikan tandanya!).
Suhu $T_4$ pada akhir ekspansi adiabatiknya, dan usaha yang dipertukarkan selama itu.
Usaha total yang disampaikan gasnya sepanjang keempat langkahnya, dan nisbahnya terhadap kalor yang dilepaskan (efisiensi idealnya).
Bandingkan efisiensi itu dengan $1 - T_1/T_3$ , yaitu batas yang akan ditegakkan Bab 24 bagi sebarang mesin yang bekerja di antara kedua suhu ekstrem ini.
Kalor yang dibuang bersama gas buangnya, menurut hukum pertama sepanjang siklusnya; periksalah neracanya.

Bagian IV — Mengukur $\gamma$ dengan bola yang berosilasi. Sebuah bola baja bermassa $m = 16.5\,\mathrm{g}$ pas di dalam tabung kaca tegak berpenampang $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ yang tertutup di bawahnya oleh labu bervolume $V = 10\,\mathrm{L}$ berisi udara pada $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ ; bila digeser sejauh $x$ dari kedudukan setimbangnya, ia berosilasi.

Mengapa pemampatan dan ekspansi udaranya boleh dianggap adiabatik? Tuliskan hubungan antara simpangan kecil $x$ dan perubahan tekanan $\dd P$ (hukum Laplace, yang dilinearkan).
Simpulkan gaya pemulih pada bolanya lalu tunjukkan bahwa geraknya harmonik, dengan $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .
Hitunglah periodenya, dan nilai $\gamma$ yang akan disimpulkan dari periode terukur $1.10\,\mathrm{s}$ .
Mengapa gesekan antara bola dan tabungnya, dan kebocoran udaranya, membuat hasilnya berat sebelah, dan ke arah mana?
Ringkaslah ketiga pemampatannya: besaran mana yang dikekalkan hukum pertama pada masing-masing, dan apa yang diatur eksponen adiabatik $\gamma$ .

Solusi

Solusi Soal 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ .

2. $PV^\gamma$ tetap: $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ .

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ .

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ .

5. Udara yang harus ditambahkan: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ langkah, kira-kira $2.2\,\mathrm{kJ}$ — semenit usaha yang sungguh-sungguh.

6. Pada volume tetap $P \propto T$ : tekanannya turun ketika udaranya mendingin (sampai sebesar $300/523$ bagi udara langkah terakhirnya); pesepedanya menambah beberapa langkah setelah jeda.

7. $W_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : lintasan isotermalnya memampatkan gasnya lebih jauh (ke $30\,\mathrm{cm}^{3}$ dan bukan $53\,\mathrm{cm}^{3}$ ) untuk mencapai $7\,\mathrm{bar}$ , karena ia tetap dingin — volume yang disapu lebih besar, usahanya lebih besar.

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ .

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ .

10. $994\,\mathrm{K}$ jauh di atas titik nyala sendiri bahan bakarnya: bahan bakar yang disuntikkan menyala begitu bersentuhan. Mesin bensin memampatkan campuran udara–bahan bakarnya hanya sampai kira-kira $750\,\mathrm{K}$ agar ia tak menyala sebelum businya memercik; nisbah yang terlalu tinggi menimbulkan “ketukan”.

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ .

12. $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ tiap tabung, yang tersimpan dalam gas panasnya dan dikembalikan pada ekspansinya.

13. Ketakreversibelan (gasnya tak menuruti lintasan kuasistatiknya; ada usaha tambahan yang terlesapkan) menaikkan $T_2$ ; kalor yang hilang ke dindingnya menurunkannya. Pada mesin yang sebenarnya biasanya yang kedua menang: $T_2$ sedikit di bawah nilai idealnya.

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ .

15. Isobarik: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ , $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ .

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : usaha yang disampaikan gasnya.

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ .

18. Usaha total yang disampaikannya $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ; nisbahnya $537/860 = 62\%$ (efisiensi Diesel ideal pada setelan ini; mesin yang sebenarnya mencapai kira-kira $40\%$ ).

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : siklus Diesel ideal tinggal jauh di bawah batas Carnot, karena kalornya diterima sepanjang suatu rentang suhu dan bukan pada suhu tertingginya.

20. Sepanjang satu siklus $\Delta U = 0$ : $Q_{\text{keluar}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ , yakni $323\,\mathrm{J}$ pergi bersama gas buangnya; periksa: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ .

21. Osilasinya cepat (sekitar sesekon) dibandingkan dengan konduksi kalor melalui $10\,\mathrm{L}$ udara: adiabatik. Dengan melinearkan $PV^\gamma$ : $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ .

22. Gaya pada bolanya $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ , harmonik, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ . Dari $T = 1.10\,\mathrm{s}$ : $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ .

24. Gesekan meredam geraknya dan, bila ia kering, menggeser kedudukan setimbangnya; kebocoran di sisi bolanya melepaskan udara selama pemampatan, sehingga gaya pemulihnya mengecil: keduanya memperpanjang periodenya dan membuat $\gamma$ berat sebelah ke bawah — seperti $1.35$ di atas.

25. Pompa dan diesel: $Q = 0$ , sehingga $\Delta U = W$ — usaha menjadi energi dalam dan suhu, menurut hukum Laplace dengan eksponen $\gamma$ . Bolanya: pemampatan yang cepat bersifat adiabatik, dan $\gamma$ menetapkan kekakuan sebuah pegas udara.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium