Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

21Statika Fluida

Sebuah kapal selam pada kedalaman tiga ratus meter mengemban, pada tiap meter persegi lambungnya, berat sebuah truk bermuatan. Sebuah bendungan menahan danau dengan dinding yang tebal di bawah dan tipis di atas, karena alasan yang sama sekali tak berhubungan dengan panjang danaunya. Sebuah kapal seratus ribu ton terapung karena ia menyisihkan seratus ribu ton air, dan tenggelam sejengkal lebih dalam ketika ia berlayar dari laut masuk ke sungai. Setiap satu di antaranya adalah akibat satu hubungan tunggal — tekanan bertambah ke bawah dalam fluida yang diam dengan laju $\rho g$ — dan bab ini menurunkannya, menerapkannya pada zat cair dan atmosfer, lalu menyimpulkan darinya gaya pada sebuah dinding dan hukum Archimedes.

Sebuah kapal selam dalam latihan muncul darurat (Angkatan Laut Amerika Serikat): tangki pemberatnya dikosongkan, ia menjadi lebih ringan daripada air yang didesaknya lalu naik — teorema Archimedes pada 7000\, t. — Sebuah kapal selam dalam latihan muncul darurat (Angkatan Laut Amerika Serikat): tangki pemberatnya dikosongkan, ia menjadi lebih ringan daripada air yang didesaknya lalu naik — teorema Archimedes pada $7000\,\mathrm{t}$ .

21.1 Tekanan dalam fluida yang diam

Proposisi 21.1 (Keisotropikan tekanan)

Dalam fluida yang diam, gaya yang dikerahkan fluidanya pada permukaan kecil $\dd S$ yang diletakkan di titik $M$ adalah $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ , tegak lurus pada permukaannya dan terarah menujunya, dengan tekanan $P(M)$ yang bergantung pada titiknya tetapi tidak pada arah hadap permukaannya.

Bukti sebagian. Fluida yang diam tak meneruskan gaya tangensial (kalau tidak, ia akan mengalir): gayanya tegak lurus. Tinjaulah sebuah prisma segitiga fluida yang amat kecil di $M$ dengan muka-muka berarah berbeda: ia setimbang di bawah gaya tekanan pada muka-mukanya dan beratnya; beratnya berskala sebagai volumenya (pangkat tiga ukurannya), gaya tekanannya sebagai luas (pangkat dua), sehingga bagi prisma yang cukup kecil hanya gaya tekanannya yang berperan, dan keseimbangannya ke segala arah menuntut $P$ yang sama pada tiap muka. ∎

Teorema 21.2 (Hubungan dasar statika fluida)

Dalam fluida yang diam di dalam gravitasi seragam $\vect g = -g\vect e_z$ ( $z$ ke atas), tekanannya hanya bergantung pada $z$ dan

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

dengan $\rho$ massa jenis fluidanya pada aras itu. Tekanan bertambah ke bawah; permukaan bertekanan sama (isobar) mendatar, demikian pula permukaan bebas sebuah zat cair.

Bukti. Ambil sebuah lempeng fluida mendatar seluas $S$ di antara $z$ dan $z + \dd z$ : ia didorong ke atas oleh $P(z)S$ dari bawah, ke bawah oleh $P(z + \dd z)S$ dari atas, dan ditarik ke bawah oleh beratnya $\rho gS\,\dd z$ . Dalam keadaan diam: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ . Lempeng fluida mendatar tak mendapat gaya mendatar dari gravitasi, sehingga secara mendatar $P$ seragam. ∎

Kiri: kesetimbangan sebuah lempeng fluida mendatar — tekanan di bawahnya harus melampaui tekanan di atasnya sebesar berat lempengnya tiap satuan luas. Kanan: bejana berhubungan — sebuah garis mendatar menemui tekanan yang sama di mana pun dalam zat cair yang terhubung, sehingga permukaan bebasnya berdiri pada satu aras berapa pun bentuknya.

Akibat 21.3 (Fluida tak termampatkan)

Dalam zat cair bermassa jenis seragam $\rho$ , tekanan pada kedalaman $h$ di bawah sebuah titik yang tekanannya $P_0$ adalah

P = P_0 + \rho gh .

Air: $1\,\mathrm{bar}$ lebih besar tiap $10\,\mathrm{m}$ . Dua titik zat cair terhubung pada aras yang sama bertekanan sama; permukaan bebas bejana berhubungan berdiri pada satu aras; tekanan yang dikenakan di mana pun pada zat cair terkurung diteruskan tanpa berkurang ke setiap titiknya (asas Pascal).

Bukti. Integralkan $\dd P/\dd z = -\rho g$ dengan $\rho$ tetap; sisanya adalah kemendataran isobar dan ketunggalan $P$ pada satu aras. ∎

Contoh 21.4 (Manometer dan kempa)

Sebuah tabung U berisi raksa ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) yang selisih tinggi kolomnya $h = 760\,\mathrm{mm}$ mengukur beda tekanan $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — yaitu atmosfer, yang menahan kolom air setinggi $10.3\,\mathrm{m}$ . Sebuah kempa hidraulik: gaya $F_1$ pada torak seluas $S_1$ menaikkan tekanannya sebesar $F_1/S_1$ di mana-mana; pada torak besar $S_2$ ia menghasilkan $F_2 = F_1S_2/S_1$ — lima puluh kali lebih besar untuk luas lima puluh kali lipat, dengan harga jarak tempuh lima puluh kali lebih pendek (energinya kekal: $F_1d_1 = F_2d_2$ ).

21.2 Atmosfer

Proposisi 21.5 (Atmosfer isotermal)

Bagi gas ideal bermassa molar $M$ pada suhu seragam $T$ di dalam gravitasi yang seragam,

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

itulah tinggi skala: kira-kira $8\,\mathrm{km}$ untuk udara; tekanannya menjadi separuh tiap $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ .

Bukti. $\rho = PM/RT$ (persamaan keadaan), sehingga $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : sebuah persamaan linear orde satu, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ . ∎

Contoh 21.6 (Udara tipis)

Dengan $T = 260\,\mathrm{K}$ (rata-rata atas atmosfer bawah), $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : $P = 0.52P_0$ pada $5000\,\mathrm{m}$ , $0.31P_0$ di puncak Everest — dekat dengan hasil ukur $0.54$ dan $0.33$ ; atmosfer yang sebenarnya mendingin terhadap ketinggian, dan volume Tahun ke-2 memperhitungkannya. Model ini juga memberitahukan mengapa laut berbeda: air delapan ratus kali lebih padat dan hampir tak termampatkan, sehingga tekanannya naik secara linear, satu bar tiap sepuluh meter, tanpa tinggi skala.

Atmosfer isotermal: tekanan (dan massa jenisnya) turun secara eksponensial terhadap ketinggian, menjadi separuh tiap 5.5\, km. Sembilan persepuluh udaranya terletak di bawah 17\, km. — Atmosfer isotermal: tekanan (dan massa jenisnya) turun secara eksponensial terhadap ketinggian, menjadi separuh tiap $5.5\,\mathrm{km}$ . Sembilan persepuluh udaranya terletak di bawah $17\,\mathrm{km}$ .

21.3 Gaya pada dinding

Proposisi 21.7 (Gaya pada dinding tegak)

Zat cair sedalam $h$ yang menekan dinding persegi panjang tegak selebar $L$ (tekanan atmosfer bekerja pada kedua mukanya dan saling meniadakan) mengerahkan gaya mendatar

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

yang setara dengan sebuah gaya tunggal yang bekerja di pusat tekanan, pada kedalaman $2h/3$ — resultannya bekerja di bawah, tempat tekanannya terbesar.

Bukti. Pada kedalaman $x$ tekanan toloknya $\rho gx$ ; pada jalur setinggi $\dd x$ gayanya $\rho gxL\,\dd x$ ; integralkan dari $0$ sampai $h$ . Momennya terhadap garis permukaannya adalah $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ; membaginya dengan $F$ memberikan lengan gaya $2h/3$ . ∎

Tekanan pada sebuah bendungan tumbuh linear terhadap kedalaman (anak panah), sehingga resultannya bekerja pada dua pertiga kedalamannya: dindingnya harus paling tebal di dasarnya. Gayanya bergantung pada h dan L, bukan pada berapa banyak air yang berada di belakangnya. — Tekanan pada sebuah bendungan tumbuh linear terhadap kedalaman (anak panah), sehingga resultannya bekerja pada dua pertiga kedalamannya: dindingnya harus paling tebal di dasarnya. Gayanya bergantung pada $h$ dan $L$ , bukan pada berapa banyak air yang berada di belakangnya.

Contoh 21.8 (Sebuah bendungan)

$h = 20\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — dua puluh ribu ton, yang bekerja $13\,\mathrm{m}$ di bawah permukaannya, sama saja apakah danau di belakangnya sebuah kolam atau sebuah fyord: itulah paradoks hidrostatik.

21.4 Teorema Archimedes

Teorema 21.9 (Archimedes)

Sebuah benda yang terendam dalam fluida yang diam menerima dari gaya tekanannya sebuah resultan — yaitu gaya apung — yang sama besar dan berlawanan dengan berat fluida yang didesaknya,

\vect\Pi = -\rho_{\text{fluida}}V_{\text{tercelup}}\,\vect g ,

yang bekerja di pusat massa fluida yang didesaknya (yaitu pusat apung).

Bukti. Gaya tekanan pada permukaan bendanya hanya bergantung pada bentuk permukaan itu dan pada fluida di luarnya. Gantilah bendanya, dalam pikiran, dengan fluida yang diam yang mengisi volume yang sama: fluida itu setimbang di bawah beratnya dan gaya tekanan yang sama, sehingga gaya tekanannya mengimbangi beratnya — jumlahnya $-\rho V\vect g$ , yang bekerja melalui pusat massanya. Batalkan percobaan pikirannya; gaya tekanannya tak berubah. ∎

Akibat 21.10 (Terapung)

Sebuah benda bermassa jenis $\rho_b$ terapung dalam fluida bermassa jenis $\rho_f > \rho_b$ dengan pecahan $\rho_b/\rho_f$ volumenya tercelup; bila $\rho_b > \rho_f$ ia tenggelam, dengan berat semu $(\rho_b - \rho_f)Vg$ .

Bukti. Berat $\rho_bVg$ sama dengan gaya apung $\rho_fV_{\text{terc}}g$ . ∎

Sebuah benda terapung: beratnya, yang bekerja di pusat massanya G, mengimbangi gaya apungnya, yang bekerja di pusat apungnya C (yaitu pusat volume yang tercelup). Es (= 917\, kg/ m3) di dalam air laut (1025\, kg/ m3): 89\% di bawah permukaannya. — Sebuah benda terapung: beratnya, yang bekerja di pusat massanya $G$ , mengimbangi gaya apungnya, yang bekerja di pusat apungnya $C$ (yaitu pusat volume yang tercelup). Es ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) di dalam air laut ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $89\%$ di bawah permukaannya.

Contoh 21.11 (Tiga gaya apung)

Sebuah hidrometer adalah tabung berpemberat yang tenggelam sampai ia mendesak beratnya sendiri: makin padat zat cairnya, makin dangkal ia tenggelam — sebuah pengukur massa jenis yang dibaca pada batangnya. Sebuah balon $2800\,\mathrm{m}^{3}$ berisi udara panas pada $373\,\mathrm{K}$ mendesak $3.4\,\mathrm{t}$ udara dingin dan berbobot $2.6\,\mathrm{t}$ udara panas: $0.7\,\mathrm{t}$ daya angkat (Soal 20.1). Sebuah kapal $100\,000\,\mathrm{t}$ mendesak $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ air laut; di air tawar ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ia harus mendesak $2.5\%$ lebih banyak dan tenggelam lebih dalam — itulah tanda Plimsoll pada lambungnya.

Catatan 21.12 (Kemantapan)

Sebuah benda terapung yang dimiringkan sedikit akan dipulihkan bila gaya apungnya, yang kini bekerja di pusat volume tercelup yang baru dan bergeser, menghasilkan momen pemulih — dan itu terjadi bila metasentrum (yaitu titik tempat garis kerja gaya apungnya memotong sumbu bendanya) terletak di atas $G$ . Pemberat yang rendah di dalam lambung menurunkan $G$ dan memantapkan kapalnya; perahu yang berat di atas akan terbalik.

21.5 Latihan

Latihan 21.1 ★

Tekanan mutlak pada $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ dan $1\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); gaya pada jendela bulat $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ pada $300\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ( $11\,\mathrm{bar}$ ), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ( $101\,\mathrm{bar}$ ). Pada $300\,\mathrm{m}$ : $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ , gayanya $3.1\,\mathrm{MN}$ pada $1\,\mathrm{m}^{2}$ (total, berbanding $1\,\mathrm{atm}$ di dalamnya: $3.0\,\mathrm{MN}$ ).

Latihan 21.2 ★

Tinggi kolom raksa yang mengimbangi $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; dan tinggi kolom air. Mengapa pompa isap tak dapat menaikkan air lebih daripada kira-kira $10\,\mathrm{m}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 21.2.

$h = P/\rho g$ : raksa $0.760\,\mathrm{m}$ ; air $10.3\,\mathrm{m}$ . Sebuah pompa paling banter dapat menciptakan hampa di atas airnya: atmosfernya lalu mendorong kolomnya naik sejauh $10.3\,\mathrm{m}$ , tidak lebih.

Latihan 21.3 ★

Sebuah dongkrak hidraulik: $100\,\mathrm{N}$ pada torak $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , berapa beban pada torak $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ; jarak yang ditempuh masing-masing bila torak kecilnya bergerak $20\,\mathrm{cm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (satu ton); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (volume yang dipindahkannya sama, usahanya sama).

Latihan 21.4 ★

Sebuah tabung U berisi air; minyak ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) dituangkan ke salah satu kakinya dan membentuk kolom setinggi $12\,\mathrm{cm}$ . Selisih tinggi kedua permukaan bebasnya.

Solusi

Solusi Latihan 21.4.

Tekanannya sama pada aras antarmuka minyak–air di kedua kakinya: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ , $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ air di atas aras itu di kaki yang lain; permukaan minyaknya berdiri $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ lebih tinggi.

Latihan 21.5 ★★

Tinggi skala atmosfer pada $273\,\mathrm{K}$ ; tekanan pada $5000\,\mathrm{m}$ dan pada $8848\,\mathrm{m}$ ; ketinggian tempat $P = P_0/2$ . Bandingkan dengan nilai yang dikutip di Bab 20.

Solusi

Solusi Latihan 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : $0.54$ pada $5\,\mathrm{km}$ , $0.33$ pada $8848\,\mathrm{m}$ ; separuhnya pada $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ — angka-angka yang dipakai di Bab 20.

Latihan 21.6 ★★

Sebuah bendungan persegi panjang selebar $100\,\mathrm{m}$ menahan air setinggi $20\,\mathrm{m}$ . Gaya totalnya, kedalaman pusat tekanannya, dan momen airnya terhadap dasar bendungannya. Mengapa sebuah bendungan dilengkungkan ke arah airnya?

Solusi

Solusi Latihan 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; pusat tekanannya pada kedalaman $13.3\,\mathrm{m}$ , yakni $6.7\,\mathrm{m}$ di atas dasarnya; momennya terhadap dasarnya $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Melengkungkan bendungannya ke arah airnya mengubah dorongannya menjadi tekanan pada lengkungnya, yang diteruskan ke dinding lembahnya.

Latihan 21.7 ★★

Pecahan gunung es yang berada di bawah permukaan (es $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , air laut $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); pecahan sebatang kayu bermassa jenis $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ di air tawar; sebuah rakit dari $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ kayu itu dapat mengangkut berapa orang $75\,\mathrm{kg}$ sebelum geladaknya tergenang?

Solusi

Solusi Latihan 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ; kayunya $60\%$ . Rakitnya: gaya apung pada pencelupan penuh $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ , beratnya sendiri $11.8\,\mathrm{kN}$ : tersisa $7.8\,\mathrm{kN}$ , sepuluh orang… yang kesepuluh berkaki basah: sembilan agar tetap kering ( $800\,\mathrm{kg}$ ).

Latihan 21.8 ★★

Sebuah hidrometer bermassa $20\,\mathrm{g}$ dengan batang berpenampang $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ terapung di air dengan $4.0\,\mathrm{cm}$ batangnya muncul. Berapa panjang batang yang muncul di air garam bermassa jenis $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? Berapa kepekaannya (cm tiap satuan massa jenis nisbi)?

Solusi

Solusi Latihan 21.8.

Volume tercelupnya $m/\rho$ : air $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; air garam $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ , $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ lebih kecil, yakni $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ batang tambahan: $7.6\,\mathrm{cm}$ muncul. Kepekaannya $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ tiap satuan massa jenis nisbi ( $3.6\,\mathrm{cm}$ tiap $0.1$ ).

Latihan 21.9 ★★

Sebuah kapal selam bervolume $3000\,\mathrm{m}^{3}$ bermassa $2800\,\mathrm{t}$ dengan tangki pemberat kosong. Pecahan yang muncul di permukaan (air laut); massa air yang harus dimasukkan agar keterapungannya netral; bagaimana bila ia lalu memasuki muara berair tawar?

Solusi

Solusi Latihan 21.9.

Volume yang didesaknya $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ) muncul. Netral: massanya $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ : masukkan $275\,\mathrm{t}$ . Air tawar: gaya apungnya turun ke $3000\,\mathrm{t}$ : $75\,\mathrm{t}$ terlalu berat — ia tenggelam kecuali $75\,\mathrm{t}$ dipompa keluar.

Latihan 21.10 ★★★

Sebuah balon anak berisi $10\,\mathrm{L}$ helium ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) pada $1\,\mathrm{bar}$ dan $293\,\mathrm{K}$ ; karetnya berbobot $3.0\,\mathrm{g}$ . Berapa daya angkat totalnya; berapa massa tali yang dapat diangkutnya.

Solusi

Solusi Latihan 21.10.

Udara yang didesaknya: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; helium di dalamnya $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; karetnya $3.0\,\mathrm{g}$ : daya angkat totalnya $7.3\,\mathrm{g}$ — tujuh meter tali yang ringan.

Latihan 21.11 ★★★

Buktikan bahwa pusat tekanan pada dinding persegi panjang tegak berada di $2h/3$ dengan menghitung momen gaya tekanannya terhadap garis permukaannya. Di mana letaknya bagi dinding yang hanya terendam sebagian, katakanlah dari kedalaman $h_1$ sampai $h_2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 21.11.

Momennya $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ , gayanya $\rho gLh^2/2$ : lengannya $2h/3$ . Dari $h_1$ sampai $h_2$ : momennya $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ , gayanya $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : kedalamannya $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ .

Latihan 21.12 ★★★

Sebuah hidrometer tabung (bermassa $m$ , berpenampang $S$ ) yang terapung dalam zat cair bermassa jenis $\rho$ ditekan ke bawah sejauh $x$ lalu dilepaskan. Tunjukkan bahwa ia berosilasi harmonik lalu berikan periodenya; hitunglah untuk $m = 20\,\mathrm{g}$ , $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , air. (Contoh 14.3 ditinjau kembali.)

Solusi

Solusi Latihan 21.12.

Pencelupan tambahan $x$ menambahkan gaya apung $\rho gSx$ ke atas: $m\ddot x = -\rho gSx$ , $\omega_0^2 = \rho gS/m$ , $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ .

Menggembungkan balon udara panas: udara yang dipanaskan kurang padat daripada udara dingin di sekitarnya, dan gaya apung Archimedes pada selubungnya melampaui beratnya.

21.6 Soal: Kapal selam

Soal 21.1

Soal akhir pekan — sebuah lambung baja tiga ratus meter di bawah permukaan: tekanan pada pelatnya, air yang harus ditelannya untuk turun dan disemburkannya untuk naik, penyelam yang meninggalkannya, dan kapal tanker yang lewat di atasnya

Air laut: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; air tawar $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Lambung kapal selamnya mengurung $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ; dengan tangki pemberat kosong massanya $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ .

Bagian I — Tekanan pada lambungnya.

Tekanan mutlak pada $300\,\mathrm{m}$ , dalam pascal dan dalam bar.
Gaya pada palka bundar bergaris tengah $0.80\,\mathrm{m}$ pada kedalaman itu; bandingkan dengan berat sebuah truk.
Gaya pada satu meter persegi lambung di lunasnya bila lambungnya setinggi $10\,\mathrm{m}$ dan puncaknya berada pada $300\,\mathrm{m}$ : seberapa berbeda dari puncaknya?
Air sedikit termampatkan ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): sebesar pecahan berapa air laut lebih padat pada $300\,\mathrm{m}$ daripada di permukaan? Apakah itu berpengaruh pada tekanan yang dihitung di atas?
Awak di dalamnya menghirup udara pada $1\,\mathrm{atm}$ : mengapa lambungnya harus berupa tabung yang tebal, dan mengapa tabung lebih tahan daripada kotak datar?
Sebuah kulit tabung tipis berjari-jari $R$ dan berdinding setebal $e$ di bawah kelebihan tekanan luar $\Delta P$ mengemban tegangan tekan $\Delta P\,R/e$ pada dindingnya. Untuk $R = 5.0\,\mathrm{m}$ dan $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ pada $300\,\mathrm{m}$ , hitunglah lalu bandingkan dengan tegangan luluh bajanya, kira-kira $600\,\mathrm{MPa}$ .

Bagian II — Menyelam dan mengapung.

Di permukaan dengan tangki kosong, berapa volume lambungnya yang muncul?
Berapa massa air laut yang harus dimasukkan tangki pemberatnya agar kapal selamnya melayang (keterapungan netral)?
Setelah melayang pada $300\,\mathrm{m}$ , lambungnya termampatkan sebesar $0.1\%$ oleh tekanannya. Hitunglah gaya total yang timbul lalu katakan apakah kesetimbangannya mantap terhadap kedalaman.
Kapalnya berlayar dalam keadaan melayang dari laut masuk ke muara berair tawar. Berapa gaya totalnya? Ke mana ia bergerak, dan apa yang harus dilakukan awaknya?
Sebuah torpedo $20\,\mathrm{t}$ ditembakkan. Apa yang harus segera dilakukan sistem pemberatnya, dan sebesar apa?
Mengapa kapal selam memakai udara mampat untuk mengosongkan tangkinya, dan mengapa tekanan udaranya membatasi sampai kedalaman berapa ia dapat mengosongkannya?
Taksirlah volume udara pada $1\,\mathrm{atm}$ yang diperlukan untuk mengosongkan $275\,\mathrm{m}^{3}$ tangki pada $300\,\mathrm{m}$ (hukum Boyle, $PV$ tetap).

Bagian III — Penyelamnya. Seorang penyelam meninggalkan permukaan dengan $6.0\,\mathrm{L}$ udara di paru-parunya.

Tekanan mutlak pada $10\,\mathrm{m}$ dan $30\,\mathrm{m}$ .
Bila ia turun sambil menahan napas, berapa volume paru-parunya pada $30\,\mathrm{m}$ ?
Seorang penyelam scuba menghirup udara pada tekanan sekitarnya di $30\,\mathrm{m}$ lalu naik sambil menahan napas: berapa volume yang akan dituntut paru-parunya di permukaan, dan apa pelajarannya.
Sebuah snorkel sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ : berapa beda tekanan antara air pada dada penyelamnya dan udara di paru-parunya; berapa gaya pada dada seluas $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; dapatkah ia menarik napas?
Tabung udaranya memuat $12\,\mathrm{L}$ pada $200\,\mathrm{bar}$ : berapa liter udara pada $30\,\mathrm{m}$ yang dihasilkannya, dan cukup untuk berapa lama pada $20\,\mathrm{L}$ tiap menit?

Bagian IV — Kapal tanker di atasnya.

Sebuah kapal tanker $100\,000\,\mathrm{t}$ terapung di air laut: berapa volume air yang didesaknya.
Luas bidang airnya $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : sebesar apa ia naik atau turun ketika ia masuk ke air tawar?
Memuat $10\,000\,\mathrm{t}$ minyak: berapa perubahan saratnya.
Kapal tanker yang kosong berpusat massa tinggi; ia mengangkut air laut sebagai pemberat ketika kosong. Mengapa, ditinjau dari metasentrumnya?
Lambung kapal tankernya di lunasnya (sarat $20\,\mathrm{m}$ ): berapa tekanan dan gayanya tiap meter persegi, dibandingkan dengan kapal selam pada $300\,\mathrm{m}$ .
Kapal tankernya lewat tepat di atas kapal selamnya. Apakah kapal selamnya merasakan $100\,000\,\mathrm{t}$ -nya? Jelaskan dengan medan tekanannya.
Ringkaslah: satu hubungan yang menetapkan setiap angka dalam soal ini, dan teorema yang menyusul darinya.

Solusi

Solusi Soal 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ .

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : gaya totalnya $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 ton, seperti truk bermuatan di atas sebuah palka.

3. Lunasnya $10\,\mathrm{m}$ lebih dalam: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ lebih besar, $3\%$ : lambungnya terbebani hampir seragam.

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : dapat diabaikan bagi tekanannya (beberapa kilopascal dari tiga juta).

5. Tiga puluh bar di luar, satu di dalam: lambungnya adalah bejana tekan yang terbebani ke dalam; tabung (atau bola) mengubah tekanannya menjadi tekanan menyusuri dindingnya, yang ditahan baja dengan baik, sedangkan pelat datar akan melengkung.

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : dekat dengan tegangan luluhnya — $300\,\mathrm{m}$ sudah dekat batas bagi lambung ini, dan kapal yang menyelam lebih dalam menuntut baja yang lebih tebal atau lebih kuat (atau titanium).

7. Volume yang didesaknya $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ muncul ( $9\%$ ).

8. Netral: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : masukkan $275\,\mathrm{t}$ .

9. Gaya apungnya turun sebesar $0.1\%$ dari $\rho Vg$ : $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ ke bawah (tiga ton). Makin dalam $\Rightarrow$ makin termampatkan $\Rightarrow$ makin berat: tak mantap — sebuah kapal selam harus terus menyetel pemberatnya (dan lambung baja termampatkan lebih sedikit daripada air, dan itu membantu; lambung yang terlalu lentur akan tenggelam tanpa kembali).

10. Gaya apungnya $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ berbanding beratnya $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : $0.74\,\mathrm{MN}$ ke bawah ( $75\,\mathrm{t}$ ); pompalah keluar $75\,\mathrm{t}$ .

11. Seketika $20\,\mathrm{t}$ lebih ringan: masukkan $20\,\mathrm{t}$ air ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) ke dalam tangki pengimbangnya.

12. Air hanya dapat disemburkan keluar oleh sesuatu yang bertekanan lebih tinggi daripada laut di luarnya; udara mampat dalam tabung mendorongnya keluar — hanya selama tekanan tabungnya melampaui tekanan sekitarnya pada kedalaman itu.

13. $PV$ tetap: $275\,\mathrm{m}^{3}$ pada $31\,\mathrm{bar}$ menuntut $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ udara pada $1\,\mathrm{atm}$ — disimpan pada $200\,\mathrm{bar}$ dalam tabung $43\,\mathrm{m}^{3}$ .

14. $2.0\,\mathrm{bar}$ pada $10\,\mathrm{m}$ ; $4.0\,\mathrm{bar}$ pada $30\,\mathrm{m}$ .

15. $PV$ tetap: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — rongga dadanya terhimpit ke dalam; penyelam bebas merasakannya.

16. Udara yang dihirup pada $4\,\mathrm{bar}$ memuai empat kali lipat: $24\,\mathrm{L}$ di paru-paru yang hanya memuat $6\,\mathrm{L}$ : pecah. Jangan pernah menahan napas ketika naik; embuskan terus-menerus.

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; gayanya $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ pada dadanya: otot pernapasannya tak dapat mengangkat lima puluh kilogram — snorkel hanya berhasil pada beberapa desimeter pertama.

18. $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ pada $1\,\mathrm{bar}$ , yakni $600\,\mathrm{L}$ pada $4\,\mathrm{bar}$ : $30\,\mathrm{min}$ .

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ .

20. Di air tawar ia harus mendesak $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ : $2400\,\mathrm{m}^{3}$ lebih banyak, yakni $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ lebih dalam.

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ lebih banyak: $1.2\,\mathrm{m}$ lebih dalam.

22. Dalam keadaan kosong, $G$ kapalnya duduk tinggi dan sedikit lambungnya yang tercelup: metasentrumnya dapat jatuh di bawah $G$ dan kapalnya terbalik dalam ombak. Air laut yang rendah di dalam lambungnya menurunkan $G$ dan memperdalam saratnya.

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : lima belas kali lebih kecil daripada $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ kapal selamnya.

24. Tidak: tekanan pada kedalaman kapal selamnya adalah $P_0 + \rho gh$ , yang ditetapkan oleh kedalamannya saja. Berat kapal tankernya dipikul air yang didesaknya, yang menaikkan aras lautnya di mana-mana sebesar jumlah yang tak terukur; tak ada beban tambahan yang sampai ke kapal selamnya.

25. $\dd P/\dd z = -\rho g$ — dari sinilah $P = P_0 + \rho gh$ bagi setiap kedalaman, gaya dan volume paru-paru di sini — dan teorema Archimedes, yaitu hubungan itu yang diintegralkan atas sebuah permukaan tertutup.