Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

30Pengantar Fisika Kuantum

Sinarilah sebuah logam yang bersih dengan cahaya ultraungu dan elektron terlontar keluar seketika, dengan energi yang bergantung pada warna cahayanya dan sama sekali tak pada terangnya; sinarilah dengan cahaya merah dan tak ada yang keluar betapa pun terang lampunya. Kirimkanlah elektron satu demi satu lewat dua celah dan mereka mendarat sebagai titik, masing-masing di satu tempat — dan titik-titiknya menumpuk, setelah beribu-ribu, menjadi rumbai sebuah gelombang. Kedua kenyataan itu tak muat dalam fisika dua puluh sembilan bab pertama. Bab terakhir ini memperkenalkan gagasan yang memang memuatnya: cahaya datang dalam kuanta, yaitu foton; materi memiliki panjang gelombang; yang merambat adalah sebuah amplitudo yang kuadratnya sebuah peluang; kedudukan dan momentum tak dapat tajam dua-duanya; dan sebuah partikel terkurung hanya dapat memiliki energi tertentu — dan itulah sebabnya atom berukuran, spektrum bergaris, dan sebutir semikonduktor selebar beberapa nanometer berpendar dalam warna yang ditetapkan garis tengahnya.

30.1 Foton

Teorema 30.1 (Hubungan Planck–Einstein)

Cahaya berfrekuensi $\nu$ dan berpanjang gelombang $\lambda$ bertukar energi dengan materi hanya dalam kuanta, yaitu foton, yang berenergi dan bermomentum

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,

dengan tetapan Planck $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ( $\hbar = h/2\pi = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ). Berguna: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — sebuah foton $620\,\mathrm{nm}$ mengemban $2\,\mathrm{eV}$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Proposisi 30.2 (Efek fotolistrik)

Cahaya yang jatuh pada sebuah logam dengan fungsi kerja $W$ (energi yang mengikat elektronnya yang paling lemah terikat, beberapa eV) melontarkan elektron berenergi kinetik maksimal

E_{k,\max} = h\nu - W ,

jadi hanya di atas ambang $\nu_0 = W/h$ , seketika, dengan energi yang tak bergantung pada intensitasnya; intensitasnya menetapkan banyaknya elektron tiap sekon. Yang disebut potensial henti $V_s$ , yang tepat meniadakan arusnya, mengukur $E_{k,\max} = eV_s$ , dan grafik $V_s$ terhadap $\nu$ berupa garis lurus berkemiringan $h/e$ — begitulah Millikan mengukur $h$ .

Bukti. Tiap fotonnya diserap oleh satu elektron, yang paling banter menyimpan $h\nu - W$ ; sebuah gelombang akan menyalurkan energi secara sinambung kepada setiap elektronnya, energinya akan tumbuh bersama intensitasnya, dan cahaya yang lemah akan perlu berjam-jam untuk menumpuk $W$ pada satu atom (Soal 30.1) — tak satu pun teramati. Tafsiran Einstein (1905) diterima tanpa bukti sebagai hukumnya. ∎

Kiri: sel fotolistriknya — cahaya membebaskan elektron dari katodenya; tegangan balik V_s yang tepat cukup untuk menghentikannya mengukur energi maksimalnya. Kanan: potensial henti terhadap frekuensi berupa garis lurus bagi setiap logam, berkemiringan h/e; pintasannya memberi fungsi kerjanya, ambangnya memberi frekuensi minimumnya. — Kiri: sel fotolistriknya — cahaya membebaskan elektron dari katodenya; tegangan balik $V_s$ yang tepat cukup untuk menghentikannya mengukur energi maksimalnya. Kanan: potensial henti terhadap frekuensi berupa garis lurus bagi setiap logam, berkemiringan $h/e$ ; pintasannya memberi fungsi kerjanya, ambangnya memberi frekuensi minimumnya.

Contoh 30.3 (Orde besarnya)

Sebuah foton tampak: $2\,\mathrm{eV}$ ; sebuah foton sinar-X $0.1\,\mathrm{nm}$ : $12\,\mathrm{keV}$ ; sebuah foton radio pada $100\,\mathrm{MHz}$ : $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . Sebuah laser merah $1\,\mathrm{mW}$ memancarkan $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ foton tiap sekon; sebuah antena radio yang memungut $1\,\mathrm{pW}$ pada $100\,\mathrm{MHz}$ menerima $10^{13}$ tiap sekon — begitu banyak, begitu kecil, sehingga pemerian gelombangnya tepat untuk keperluan apa pun; sebaliknya mata dapat mencatat sebuah kilatan seratus foton. Sifat kuantum cahaya tampak ketika fotonnya sedikit atau bertenaga: sel fotolistrik, pendeteksi sinar-X, butiran sebuah foto yang samar.

Catatan 30.4 (Hamburan Compton)

Sebuah foton yang memantul dari elektron bebas memindahkan momentum seperti bola bilyar: panjang gelombangnya tumbuh sebesar $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$ , dengan $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (diterima tanpa bukti — sebuah tumbukan relativistik, Tahun ke-2). Tak terlihat bagi cahaya ( $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ ), ia menjadi efek $20\%$ bagi sinar-X, dan menjadi percobaan yang meyakinkan kaum peragu (1923) bahwa foton mengemban momentum $h/\lambda$ .

30.2 Gelombang materi

Teorema 30.5 (de Broglie)

Sebuah partikel bermomentum $p$ merambat sebagai gelombang berpanjang gelombang

\lambda = \frac{h}{p} ,

dan sejalan dengan itu memperlihatkan difraksi dan interferensi: elektron pada sebuah kristal (Davisson dan Germer, 1927), lewat dua celah (Jönsson, 1961), neutron, atom, dan molekul beratom karbon enam puluh. Bagi sebuah elektron yang dipercepat oleh $U$ , $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 30.6 (Mengapa kita tak pernah melihatnya)

Sebuah elektron $100\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , yaitu jarak antara atom dalam sebuah kristal — karena itulah difraksinya, dan mikroskop elektronnya. Sebuah neutron termal ( $0.025\,\mathrm{eV}$ ): $0.18\,\mathrm{nm}$ . Sebuah bola $1\,\mathrm{g}$ pada $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ , $10^{20}$ kali lebih kecil daripada sebuah inti: tak ada celah, tak ada kristal yang dapat mendifraksikannya. Sifat gelombang materi bersifat semesta; panjang gelombangnyalah yang membuatnya terlihat hanya bagi yang ringan dan yang lambat.

Proposisi 30.7 (Partikel tunggal membangun rumbainya)

Elektron yang dikirim satu per satu lewat dua celah (Tonomura, 1989) masing-masing membuat satu titik pada layarnya, di tempat yang tak dapat diramalkan; titiknya menumpuk menjadi pola interferensi dua celah sebuah gelombang berpanjang gelombang $h/p$ . Menutup salah satu celahnya menghapus rumbainya — polanya bukan dibuat oleh elektron yang berinterferensi satu sama lain, melainkan oleh gelombang tiap elektron yang lewat kedua celahnya. Mendeteksi lewat celah mana sebuah partikel pergi juga menghapus rumbainya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Elektron satu per satu lewat dua celah. Masing-masing tiba sebagai sebuah titik di suatu tempat (kiri, atas); titiknya menumpuk di tempat gelombang dua celahnya kuat (kiri, bawah), mengikuti kepadatan peluang | |2 amplitudo yang lewat kedua celahnya (kanan). Polanya sama bagi foton, neutron dan molekul. — Elektron satu per satu lewat dua celah. Masing-masing tiba sebagai sebuah titik di suatu tempat (kiri, atas); titiknya menumpuk di tempat gelombang dua celahnya kuat (kiri, bawah), mengikuti kepadatan peluang $|\psi|^2$ amplitudo yang lewat kedua celahnya (kanan). Polanya sama bagi foton, neutron dan molekul.

30.3 Amplitudo, peluang, dan asas ketakpastian

Definisi 30.8 (Fungsi gelombang)

Keadaan sebuah partikel dilukiskan oleh sebuah fungsi gelombang $\psi(x, t)$ (kompleks), sedemikian sehingga $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ adalah peluang menemukan partikelnya antara $x$ dan $x + \dd x$ ketika orang melihat: $|\psi|^2$ adalah sebuah kepadatan peluang, dan $\int|\psi|^2\dd x = 1$ . Amplitudonya berjumlah (superposisi): bila dua lintasan menuju titik yang sama, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ dan $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — suku terakhirnya adalah interferensinya. Sebuah pengukuran memberi salah satu hasil yang mungkin, secara acak dengan peluang yang ditetapkan amplitudonya, dan meninggalkan partikelnya dalam keadaan yang ditemukan.

Catatan 30.9 (Apa yang berayun)

$\psi$ bukan medan fisis seperti $\vect E$ : ia tak terukur, hanya kuadratnya yang terukur, dan ia melukiskan pengetahuan terbaik yang mungkin tentang di mana partikelnya akan ditemukan. Sebuah elektron tunggal tidak terhampar di seluruh layarnya; ia terdeteksi utuh, di satu titik; yang terhampar adalah peluangnya. Inilah isi teorinya, dan ia tak pernah gagal dalam satu uji pun.

Teorema 30.10 (Asas ketakpastian Heisenberg)

Kedudukan dan momentum sebuah partikel menyusuri sumbu yang sama tak dapat tajam dua-duanya: simpangan bakunya dalam keadaan apa pun memenuhi

\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .

Sebuah partikel yang terkurung dalam daerah berukuran $\ell$ karena itu memiliki sebaran momentum sekurang-kurangnya $\hbar/2\ell$ , jadi energi kinetik berorde $\hbar^2/2m\ell^2$ yang tak dapat dilenyapkan pendinginan apa pun: pengurungan menelan energi.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 30.11 (Ukuran atom hidrogen)

Sebuah elektron yang berada dalam jarak $r$ dari protonnya memiliki $p \gtrsim \hbar/r$ dan energi $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ : suku pertamanya meledak jika $r$ menyusut, dan suku keduanya jika jari-jarinya membesar. $\dd E/\dd r = 0$ pada

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :

yaitu jari-jari Bohr dan energi ionisasi hidrogen, sampai angka terakhirnya. Fisika klasik tak dapat menjelaskan mengapa elektronnya tak terpilin jatuh ke intinya (ia memancar) maupun mengapa semua atom sebuah unsur serupa; asas ketakpastian menjawab keduanya dalam satu baris: atomnya sekecil yang dapat dicapainya tanpa membuat energi kinetiknya melampaui energi ikatnya.

30.4 Kuantisasi energi

Proposisi 30.12 (Partikel dalam kotak)

Sebuah partikel bermassa $m$ yang terkurung di antara dua dinding tak tertembus sejauh $L$ hanya memiliki, seperti dawai Melde (Bab 5), gelombang berdiri $\lambda_n = 2L/n$ , jadi hanya momentum $p_n = nh/2L$ dan energi

E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

dengan fungsi gelombang $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$ . Energinya terkuantisasi; yang terendah, yaitu keadaan dasar $E_1 > 0$ , adalah energi pengurungan asas ketakpastian yang dibuat eksak; partikelnya melompat antartingkat dengan menyerap atau memancarkan sebuah foton berenergi $h\nu = E_p - E_n$ .

Bukti. $\psi$ harus lenyap di dindingnya (partikelnya tak dapat berada di sana), sehingga gelombangnya memuat setengah panjang gelombang sebanyak bilangan bulat dalam $L$ — yaitu syarat dawainya; de Broglie memberi $p$ , dan $E = p^2/2m$ . Bahwa $\psi$ memenuhi sebuah persamaan gelombang dengan syarat batas ini diterima tanpa bukti (yaitu persamaan Schrödinger, Tahun ke-2). ∎

Kiri: ketiga keadaan terendah sebuah partikel dalam kotak — fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri sebuah dawai, energinya tumbuh sebanding n2, dan keadaan dasarnya tak berada di nol. Kanan: tingkat energi atom hidrogen dan kedua deret garisnya yang pertama; tiap garisnya adalah sebuah foton berenergi sama dengan selang yang dijembataninya. — Kiri: ketiga keadaan terendah sebuah partikel dalam kotak — fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri sebuah dawai, energinya tumbuh sebanding $n^2$ , dan keadaan dasarnya tak berada di nol. Kanan: tingkat energi atom hidrogen dan kedua deret garisnya yang pertama; tiap garisnya adalah sebuah foton berenergi sama dengan selang yang dijembataninya.

Proposisi 30.13 (Atom hidrogen)

Elektron atom hidrogen memiliki energi diskret

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,

dengan $n = 1$ sebagai keadaan dasarnya dan $E \geq 0$ sebagai atom yang terionisasi. Spektrumnya terdiri atas garis pada $h\nu = E_p - E_n$ : deret Lyman yang turun ke $n = 1$ (ultraungu, $122\,\mathrm{nm}$ bagi $2 \to 1$ ), deret Balmer yang turun ke $n = 2$ (tampak: $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ , …), dan seterusnya. Model Bohr (1913) memperoleh energi ini dengan mengkuantisasi momentum sudut sebuah orbit lingkaran, $m_evr = n\hbar$ (Latihan 30.9); teori lengkapnya mengganti orbitnya dengan fungsi gelombang tetapi mempertahankan energinya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 30.14 (Warna dari ukuran: titik kuantum)

Sebuah nanokristal semikonduktor selebar beberapa nanometer mengurung elektronnya seperti sebuah kotak: makin kecil kristalnya, makin besar energi pengurungan yang ditambahkan pada senjang semikonduktornya, makin biru cahaya yang dipancarkannya. Titik kadmium selenida berjari-jari $2\,\mathrm{nm}$ berpendar biru, $3\,\mathrm{nm}$ kuning, $4\,\mathrm{nm}$ merah — satu bahan, warna yang dipilih dengan sebuah penggaris (Soal 30.1). Layar televisi memakainya.

Catatan 30.15 (Apa yang ditambahkan sisa teorinya)

Persamaan Schrödinger membuat kotaknya, atomnya dan molekulnya eksak; ia meramalkan bahwa sebuah partikel dapat menyeberangi penghalang yang tak cukup energinya untuk dipanjat (yaitu efek terowongan, yang menjadi dasar keradioaktifan dan mikroskop terowongan payar); bahwa partikel yang serupa entah suka berkumpul (boson — karena itulah laser, tempat foton menumpuk dalam satu ragam) atau eksklusif (fermion — karena itulah tabel berkala dan kekakuan materi); dan bahwa spin elektron adalah sebuah momen magnetik tanpa padanan klasik. Semuanya milik Tahun ke-2 dan seterusnya; semuanya bersandar pada beberapa gagasan bab ini.

30.5 Latihan

Latihan 30.1 ★

Energi sebuah foton: radio pada $100\,\mathrm{MHz}$ ; cahaya pada $500\,\mathrm{nm}$ ; sinar-X pada $0.10\,\mathrm{nm}$ ; sinar gamma $1\,\mathrm{MeV}$ (berikanlah panjang gelombangnya). Banyaknya foton tiap sekon dari sebuah laser $1.0\,\mathrm{mW}$ pada $633\,\mathrm{nm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.1.

$h\nu$ : $100\,\mathrm{MHz}$ : $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ ; $500\,\mathrm{nm}$ : $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$ ; $0.10\,\mathrm{nm}$ : $12.4\,\mathrm{keV}$ ; $1\,\mathrm{MeV}$ : $\lambda = 1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$ . Lasernya: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , sehingga $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ foton tiap sekon.

Latihan 30.2 ★

Natrium, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$ : panjang gelombang ambangnya; energi kinetik maksimal dan potensial hentinya bagi cahaya $400\,\mathrm{nm}$ ; apa yang berubah bila intensitasnya dilipatduakan? dan dengan cahaya $600\,\mathrm{nm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 30.2.

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$ . Pada $400\,\mathrm{nm}$ , $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$ : $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$ , $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$ . Melipatduakan intensitasnya melipatduakan arusnya dan membiarkan $V_s$ tetap. Pada $600\,\mathrm{nm}$ ( $2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$ ): tak ada apa pun, pada intensitas berapa pun.

Latihan 30.3 ★

Panjang gelombang de Broglie sebuah elektron $100\,\mathrm{eV}$ , $1.0\,\mathrm{keV}$ ; sebuah neutron $0.025\,\mathrm{eV}$ ; sebuah bola $1\,\mathrm{g}$ pada $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Mana di antaranya yang dapat didifraksikan sebuah kristal (berjarak $0.2\,\mathrm{nm}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 30.3.

Elektronnya: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$ ; pada $1\,\mathrm{keV}$ : $0.039\,\mathrm{nm}$ . Neutronnya: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$ . Bolanya: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ . Ketiga yang pertama memiliki $\lambda$ seorde jarak antaratomnya dan terdifraksikan (kristalografi elektron, neutron dan sinar-X); bolanya tak pernah.

Latihan 30.4 ★

Sebuah elektron dalam kotak $1.0\,\mathrm{nm}$ : $E_1$ , $E_2$ , panjang gelombang foton yang dipancarkan dari $2 \to 1$ . Sebuah proton dalam kotak $5\,\mathrm{fm}$ (sebuah inti): $E_1$ dalam $\mathrm{MeV}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.4.

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) = 6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$ ; fotonnya $1.13\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (inframerah dekat). Proton dalam $5\,\mathrm{fm}$ : $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) = 1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — yaitu skala energi inti, dari pengurungannya saja.

Latihan 30.5 ★★

Potensial henti yang terukur bagi sebuah logam: $0.40\,\mathrm{V}$ pada $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.23\,\mathrm{V}$ pada $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $2.05\,\mathrm{V}$ pada $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . Simpulkanlah $h$ (dengan $e$ diketahui) dan fungsi kerjanya; panjang gelombang ambangnya; logam apa kiranya ia (sesium $2.1\,\mathrm{eV}$ , kalium $2.3\,\mathrm{eV}$ , seng $4.3\,\mathrm{eV}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 30.5.

Kemiringannya $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = e \times 4.1 \times 10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$ , ambangnya $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$ : yaitu sesium.

Latihan 30.6 ★★

Compton: sebuah foton sinar-X $10\,\mathrm{pm}$ terhambur pada $90{}^{\circ}$ dari sebuah elektron. Panjang gelombang barunya; energi fotonnya sebelum dan sesudahnya; energi yang diberikan kepada elektronnya. Pergeseran nisbi bagi cahaya $500\,\mathrm{nm}$ — mengapa Compton memerlukan sinar-X.

Solusi

Solusi Latihan 30.6.

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$ : $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$ . Sebelumnya: $1240/0.010 = 124\,\mathrm{keV}$ ; sesudahnya: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$ ; elektronnya mengambil $24\,\mathrm{keV}$ . Bagi cahaya, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6}$ : tak terukur pada tahun 1923 — sinar-X membuat pergeserannya menjadi efek $25\%$ .

Latihan 30.7 ★★

Percobaan Jönsson. Elektron $50\,\mathrm{keV}$ (pakailah $p = \sqrt{2m_eE}$ ), dua celah yang terpisah $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ , layar pada $35\,\mathrm{cm}$ . Panjang gelombangnya; jarak rumbainya; mengapa diperlukan lensa elektron yang membesarkan. Dalam versi Tonomura satu elektron menyeberangi perantinya pada satu waktu: apa yang ditunjukkan layarnya setelah 10, setelah $10^5$ elektron, dan apa yang diajarkannya?

Solusi

Solusi Latihan 30.7.

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (kerelatifan mengoreksinya menjadi $5.4\,\mathrm{pm}$ ); jarak rumbainya $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : tak terlihat mata, karena itu diperlukan lensa pembesarnya. Sepuluh elektron: sepuluh titik, tampaknya acak; $10^5$ : rumbainya. Tiap elektron mendarat di satu titik; peluang pendaratannya mengikuti gelombang dua celahnya — gelombang satu elektron lewat kedua celahnya.

Latihan 30.8 ★★

Energi kinetik minimum, menurut asas ketakpastian, bagi: sebuah elektron yang terkurung dalam $0.1\,\mathrm{nm}$ (sebuah atom); sebuah elektron yang terkurung dalam $5\,\mathrm{fm}$ (sebuah inti — pakailah $E \approx pc$ bila hasilnya relativistik, lalu simpulkanlah apakah inti dapat memuat elektron); sebutir debu $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ yang terlokalkan dalam $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (berikanlah $\Delta v$ ).

Solusi

Solusi Latihan 30.8.

Atomnya: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$ : skalanya tepat. Intinya: $\Delta p \geq 1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta p^2/2m_e$ akan bernilai $400\,\mathrm{MeV}$ , jauh di atas $m_ec^2$ , sehingga pakailah $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$ : tak ada gaya di dalam intinya yang dapat menahan elektron setenaga itu — inti tak memuat elektron (elektron beta tercipta ketika dipancarkan). Butirannya: $\Delta v \geq \hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : tak berarti.

Latihan 30.9 ★★

Model Bohr. Elektron pada orbit lingkaran berjari-jari $r$ mengelilingi sebuah proton: (a) kelajuan dan energinya sebagai fungsi $r$ (dinamika Coulomb, Bab 16); (b) paksakanlah $m_evr = n\hbar$ lalu simpulkanlah $r_n = n^2a_0$ , $E_n = E_1/n^2$ dengan $a_0$ dan $E_1$ seperti dalam Contoh 30.11; (c) $v_1$ dan $v_1/c$ ; (d) panjang gelombang Lyman $\alpha$ ( $2 \to 1$ ) dan H $\alpha$ ( $3 \to 2$ ); (e) tunjukkan bahwa orbit $n$ tepat memuat $n$ panjang gelombang de Broglie.

Solusi

Solusi Latihan 30.9.

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ , $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ . (b) $m_evr = n\hbar$ dan $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : bagilah kuadrat yang pertama dengan yang kedua: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$ , $r_n = n^2a_0$ , dan $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0 = E_1/n^2$ dengan $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_1/c = 1/137$ . (d) $2 \to 1$ : $\tfrac34 \times 13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ ; $3 \to 2$ : $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ . (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (karena $m_ev_1a_0 = \hbar$ ), dan $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ .

Latihan 30.10 ★★★

Sistem serupa hidrogen. (a) Bagi sebuah inti bermuatan $Ze$ tunjukkan $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ dan $r_n = n^2a_0/Z$ : energi ionisasi He $^+$ dan elektron terakhir uranium ( $Z = 92$ ; berilah komentar). (b) Hidrogen muonik: muonnya bermassa $207$ kali massa elektron: jari-jari dan energi dasarnya; panjang gelombang garis Lyman $\alpha$ -nya; mengapa ia dipakai untuk mengukur ukuran proton (berjari-jari $0.84\,\mathrm{fm}$ ). (c) Positronium (elektron dan positron, bermassa sama): tunjukkan bahwa massa tereduksinya membuat energinya separuh: Lyman $\alpha$ -nya.

Solusi

Solusi Latihan 30.10.

(a) Gantilah $e^2$ dengan $Ze^2$ : $a_0 \to a_0/Z$ , $E_1 \to Z^2E_1$ . He $^+$ : $54.4\,\mathrm{eV}$ . U $^{91+}$ : $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — tetapi $v_1 = Z\alpha c = 0.67c$ : model tak relativistiknya hanya bersifat petunjuk di sana. (b) $a_0/207 = 256\,\mathrm{fm}$ , $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$ ; Lyman $\alpha$ -nya: $2.1\,\mathrm{keV}$ , $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (sinar-X). Orbit muonnya hanya $300$ jari-jari proton: tingkatnya bergeser secara terukur menurut ukuran protonnya, dan begitulah jari-jari proton diukur ulang (2010). (c) Kedua partikelnya mengorbit pusat bersamanya: massa tereduksinya $m_e/2$ membuat setiap energinya separuh: $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$ , Lyman $\alpha$ -nya pada $5.1\,\mathrm{eV}$ , $243\,\mathrm{nm}$ .

Latihan 30.11 ★★★

Titik kuantum. Dalam sebuah nanokristal bola berjari-jari $R$ energi pengurungan sebuah partikel bermassa efektif $m^\ast$ adalah $h^2/8m^\ast R^2$ (diterima tanpa bukti). CdSe: senjang $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ , $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ , $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (“lubang” yang ditinggalkan elektron yang tereksitasi juga terkurung). (a) Energi foton yang dipancarkan $E_g + E_e + E_h$ dan panjang gelombangnya bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ , $4.0\,\mathrm{nm}$ ; warnanya. (b) Jari-jari bagi pancaran pada $520\,\mathrm{nm}$ (hijau). (c) Mengapa CdSe ruahnya memancar hanya pada $713\,\mathrm{nm}$ ? (d) Sebaran jari-jari $10\,\%$ dalam sebuah kumpulan: sebaran panjang gelombangnya pada $3\,\mathrm{nm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.11.

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$ . $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/ (0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ , $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$ , totalnya $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ : biru. $3\,\mathrm{nm}$ : pengurungannya $\times4/9$ , $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ : kuning. $4\,\mathrm{nm}$ : $\times1/4$ , $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ : merah. (b) $520\,\mathrm{nm}$ setara $2.38\,\mathrm{eV}$ : pengurungannya $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$ , $R = 2.4\,\mathrm{nm}$ . (c) Tanpa pengurungan: $E_g$ saja, $713\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$ , yaitu $4\%$ dari $2.15\,\mathrm{eV}$ : kira-kira $20\,\mathrm{nm}$ sebaran — warna yang murni memerlukan kumpulan yang monodispers.

Latihan 30.12 ★★★

Energi titik nol. (a) Bagi sebuah osilator harmonik $E = p^2/2m + \tfrac12m\omega^2x^2$ , ambillah $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ lalu minimumkanlah $E \approx \Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ atas $\Delta x$ : tunjukkan $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (yaitu energi dasarnya yang eksak). (b) Molekul H $_2$ bergetar pada $\omega = 8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : energi titik nolnya dalam eV, dan suhu terendah yang membuat getarannya “termal” ( $k_BT \sim \hbar\omega$ ). (c) Helium cair tak pernah membeku pada tekanan atmosfer: taksirlah energi titik nol sebuah atom helium yang terlokalkan dalam $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (sebagian kecil jarak antaratomnya) dalam sebuah kristal, lalu bandingkan dengan energi ikatnya dalam zat padatnya, kira-kira $1\,\mathrm{meV}$ . (d) Bandingkan rumus kotaknya $E_1 = h^2/8mL^2$ dengan batas ketakpastiannya bagi $\Delta x = L/2$ : mana yang lebih besar, dan mengapa harus demikian?

Solusi

Solusi Latihan 30.12.

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ ; turunannya nol pada $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ , yang di sana kedua sukunya sama dengan $\hbar\omega/4$ : $E_{\min} = \hbar\omega/2$ . (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ ; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — pada suhu ruang getarannya beku dalam keadaan dasarnya. (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x = 1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times 10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$ : separuh energi ikatnya — atomnya tak dapat duduk cukup diam untuk mengkristal; helium tetap cair sampai nol mutlak kecuali bila diperas ( $25\,\mathrm{bar}$ ). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ terhadap $\hbar^2/2mL^2$ : sepuluh kali lebih besar, sebagaimana seharusnya — batasnya adalah batas bawah, dan keadaan kotaknya memiliki $\Delta x \approx 0.18L$ , bukan $L/2$ .

Spektrum pancaran hidrogen yang tampak: garis Balmer pada 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm dan 410\, nm, masing-masing sebuah lompatan turun ke n = 2. — Spektrum pancaran hidrogen yang tampak: garis Balmer pada $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ dan $410\,\mathrm{nm}$ , masing-masing sebuah lompatan turun ke $n = 2$ .

Titik kuantum dari satu bahan dalam botol: makin kecil nanokristalnya, makin besar energi pengurungannya dan makin biru cahayanya — warna yang dipilih menurut ukuran.

30.6 Soal: Spektrum hidrogen dan sebuah titik kuantum

Soal 30.1

Soal akhir pekan — mengukur $h$ dengan cahaya dan sebuah voltmeter, membangun atom hidrogen dari tiga tetapan, dan memilih warna sebuah kristal lewat ukurannya

Tetapan: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ , $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Bagian I — Mengukur tetapan Planck. Sebuah fotokatode kalium disinari cahaya monokromatik; potensial hentinya diukur: $0.30\,\mathrm{V}$ pada $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $0.69\,\mathrm{V}$ pada $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.13\,\mathrm{V}$ pada $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.50\,\mathrm{V}$ pada $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $2.36\,\mathrm{V}$ pada $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ .

Lukiskanlah selnya lalu jelaskan mengapa tegangan balik dapat menghentikan arusnya, dan apa yang diukur $eV_s$ .
Tuliskanlah hubungan Einstein lalu sebutkan apa yang diberikan kemiringan dan pintasan $V_s(\nu)$ .
Dari datanya (dengan pencocokan linear, atau dengan kedua titik ujungnya), simpulkanlah $h$ ; bandingkan dengan nilai yang diterima.
Fungsi kerja kalium dalam eV; frekuensi dan panjang gelombang ambangnya; dapatkah sebuah penunjuk laser merah melontarkan elektron?
Intensitas lampunya dilipatduakan: apa yang terjadi pada $V_s$ , pada arusnya? Mengapa ini tak sejalan dengan gambaran gelombang murni?
Taksiran klasik: cahaya $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ jatuh pada logamnya; sebuah atom menawarkan luas kira-kira $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : berapa lama waktu yang diperlukan untuk menumpuk $2.2\,\mathrm{eV}$ pada satu atom? Apa yang teramati sebagai gantinya?

Bagian II — Atom hidrogen Bohr.

Sebuah elektron pada orbit lingkaran berjari-jari $r$ mengelilingi sebuah proton yang tetap: kelajuan $v(r)$ dan energi mekanisnya $E(r)$ .
Syarat Bohr $m_evr = n\hbar$ : tunjukkan $r_n = n^2a_0$ lalu berikanlah $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ secara numerik.
$E_n = E_1/n^2$ dengan $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; nilai numeriknya dalam eV.
Kelajuan pada orbit pertamanya dan nisbah $v_1/c$ (yaitu tetapan struktur halus $\alpha \approx 1/137$ ).
Panjang gelombang garis $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ dan $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ , H $\beta$ ): mana yang tampak?
Tunjukkan bahwa $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ lalu hitunglah tetapan Rydberg $R_H$ ; panjang gelombang Balmer yang terpendek.
Energi ionisasi hidrogen dari keadaan dasarnya; panjang gelombang foton yang tepat mengionkannya.
De Broglie: tunjukkan bahwa keliling orbit $n$ adalah $n$ panjang gelombang — syarat Bohr adalah syarat gelombang berdiri.
Dua hal yang keliru pada modelnya, satu hal yang tepat benar, dan apa yang menggantikan orbitnya dalam teori lengkapnya.

Bagian III — Titik kuantumnya. Sebuah nanokristal CdSe berjari-jari $R$ mengurung sebuah elektron tereksitasi (bermassa efektif $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ ) dan lubang yang ditinggalkannya ( $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ ); energi pengurungan masing-masing dalam sebuah bola berjari-jari $R$ adalah $h^2/8m^\ast R^2$ (diterima tanpa bukti); senjang CdSe ruahnya $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ .

Turunkanlah energi $E_n = n^2h^2/8mL^2$ sebuah partikel dalam kotak satu dimensi dari syarat gelombang berdirinya, lalu ulaslah keserupaannya dengan rumus bolanya.
Energi pengurungan elektron dan lubangnya bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
Energi dan panjang gelombang foton yang dipancarkan bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ dan $4.0\,\mathrm{nm}$ ; warnanya.
Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa titik yang lebih kecil lebih biru.
Periksalah orde besarnya dengan asas ketakpastian: $\Delta p \sim \hbar/R$ bagi elektronnya pada $R = 2\,\mathrm{nm}$ , dan energi kinetik yang tersirat darinya.
Sebuah titik memancarkan $1.0\,\mathrm{nW}$ pada $577\,\mathrm{nm}$ : foton tiap sekon.

Bagian IV — Mencacah kuanta.

Foton tiap sekon dari sebuah laser $1.0\,\mathrm{mW}$ pada $633\,\mathrm{nm}$ .
Mata yang telah menyesuaikan diri dengan gelap mendeteksi kilatan kira-kira $100$ foton pada $500\,\mathrm{nm}$ yang tiba dalam $0.1\,\mathrm{s}$ : daya yang bersesuaian.
Sebuah antena FM menerima $1.0\,\mathrm{pW}$ pada $100\,\mathrm{MHz}$ : foton tiap sekon; adakah harapan mendeteksinya satu per satu?
Ringkaslah: dari $h$ , $e$ , $m_e$ saja, tiga besaran dunia atomik mana yang dihasilkan soal ini, dan dengan nilai berapa?

Solusi

Solusi Soal 30.1.

1. Cahaya membebaskan elektron dari katodenya dengan berbagai energi; ditahan pada $-V_s$ , anodenya menolaknya dan hanya yang berenergi $E_k > eV_s$ yang tiba. Arusnya lenyap ketika $eV_s = E_{k,\max}$ .

2. $eV_s = h\nu - W$ : kemiringannya $h/e$ , pintasannya $-W/e$ ; $V_s = 0$ pada ambang $\nu_0 = W/h$ .

3. Titik ujungnya: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (pencocokan pada kelimanya memberi $6.62$ ): berselisih $0.5\%$ dari $6.626 \times 10^{-34}$ .

4. $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W/h = 5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$ . Sebuah penunjuk merah ( $650\,\mathrm{nm}$ , $1.9\,\mathrm{eV}$ ) tak melontarkan apa pun.

5. $V_s$ tetap, arusnya berlipat dua: fotonnya dua kali lipat, masing-masing berenergi sama. Sebuah gelombang akan memberi tiap elektron energi lebih besar dengan intensitas lebih besar, dan sebuah ambang dalam intensitas alih-alih dalam frekuensi.

6. $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ pada atomnya; $2.2\,\mathrm{eV}$ $= 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ memerlukan $3.5 \times 10^7$ s — yaitu satu tahun. Pancarannya teramati dalam hitungan nanosekon: energinya tiba dalam kuanta yang utuh.

7. $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ ; $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ .

8. $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ dan $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : $r_n = n^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$ , $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$ .

9. $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$ ; $E_1 = -2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$ .

10. $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} = 1/137$ .

11. $2 \to 1$ : $10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ (ultraungu); $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (merah); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (biru-hijau): garis Balmerlah yang tampak.

12. $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$ : $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 = 1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ . Batas Balmernya ( $p \to \infty$ ): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$ .

13. $13.6\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$ .

14. $v_n = v_1/n$ , $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (karena $m_ev_1a_0 = \hbar$ ); $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ : orbitnya mengemban $n$ gelombang yang utuh — aturan Bohr adalah aturan gelombang berdiri.

15. Yang keliru: elektronnya tak memiliki orbit (ia akan memancar; keadaan dasarnya bermomentum sudut nol) dan modelnya gagal bagi atom mana pun yang berelektron dua. Yang tepat: tingkat hidrogennya, jadi setiap garis spektrumnya. Orbitnya digantikan sebuah fungsi gelombang, yaitu awan peluang berukuran $\sim n^2a_0$ .

16. Gelombang berdirinya: $L = n\lambda/2$ , $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$ , $E_n = p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$ . Rumus bolanya sama dengan $L \to R$ : keadaan dasarnya memuat setengah panjang gelombang dalam jari-jarinya.

17. $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ ; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$ .

18. $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ , biru; $3\,\mathrm{nm}$ : $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ , kuning; $4\,\mathrm{nm}$ : $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ , merah.

19. Energi pengurungannya tumbuh sebanding $1/R^2$ : kotak yang lebih kecil menaikkan tingkatnya, fotonnya lebih bertenaga, cahayanya lebih biru.

20. $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast = 1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$ : ordenya tepat (koefisien eksaknya $\pi^2/2$ dan $\Delta p$ yang kasar itu menjelaskan faktor sepuluhnya).

21. $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^9$ foton tiap sekon.

22. $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ tiap sekon.

23. $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ dalam $0.1\,\mathrm{s}$ : $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$ .

24. $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$ : $1.5 \times 10^{13}$ foton tiap sekon — dan masing-masing $10^5$ kali lebih kecil daripada energi termal $k_BT$ antenanya: tak ada harapan, dan tak ada keperluan; gambaran gelombangnya eksak di sana.

25. Ukuran atom, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$ ; skala energinya, $13.6\,\mathrm{eV}$ (jadi foton beberapa eV, kimia, spektrum tampak); dan kelajuan elektronnya, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ketiganya dari $h$ , $e$ dan $m_e$ (serta $\varepsilon_0$ ), tanpa satu pun disetel.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fungsi gelombang

Lihat semua 393 istilah di glosarium